Irréductibilité des produits tensoriels et éléments de Jucys-Murphy généralisés

A. Marin

Pour un groupe de Coxeter fini (W, S) donné, nous considérons B (resp. P) son groupe des tresses (pures), et étudions le problème de l’irréductibilité des produits tensoriels de n représentations de l’algèbre de Hecke H_{q}(W) associée à W pour l’action de B (resp. P), pour des valeurs génériques q_{1}, …, q_{n} du paramètre de l’algèbre de Hecke. Il suffit en fait de considérer l’action de P.

Un cadre naturel pour l’etude de ce problème est le suivant : ces représentations de P apparaissent comme monodromie de représentations d’une algebre de Lie graduée 𝔤, l’algèbre d’holonomie de l’arrangement d’hyperplans associé. La construction commute aux produits tensoriels et preserve l’irréductibilité, pour des valeurs génériques des paramètres de l’algèbre de Hecke.

Il suffit donc de savoir si le produit tensoriel d’une famille de représentations de 𝔤 correspondant aux représentations irréductibles de l’algèbre de Hecke est encore irréductible pour l’action de 𝔤. Nous montrons qu’il suffit pour cela de déterminer dans l’algèbre de groupe CW de W des éléments qui généralisent les éléments de Jucys-Murphy du groupe symétrique. Nous concluons ainsi à l’irréductibilité générique pour les groupes de Coxeter ne comportant que des facteurs de type A, B, I_{2}(m), F_{4}, H_{3}.

Pour des valeurs égales q_{1} = … = q_{n} = q des paramètres, mais avec toujours q générique, les produits tensoriels ne sont plus irréductibles en général. Le problème de leur décomposition mène à l’étude d’une � algèbre de Hecke infinitésimale � H(W), sous-algèbre de Lie réductive de CW engendrée par les réflexions. Nous exposons certains résultats sur ces algèbres de Lie.