Tresses cylindriques, algèbres de Hecke affines, et structures cellulaires

G.I. Lehrer

On peut réaliser l’algèbre { \atop H_{n}^{a}(q)} de Hecke affine de type Ã_{n−1} comme quotient de l’algèbre de groupe du groupe de tresses de type B_{n}. Il existe un quotient de { \atop H_{n}^{a}(q)}, appellé l’algèbre de Temperley-Lieb affine, aussi réalisé comme algèbre aux diagrammes, dont la théorie des représentations peut être analysée grâce à la théorie des algèbres cellulaires. Nous démontrons que les “modules cellulaires” de l’algèbre de Temperley-Lieb affine ont, vus comme modules pour l’algèbre de Hecke affine de type A, les mêmes facteurs de composition que certains modules “standards” qui sont définis homologiquement (cf. les travails de V. Ginzburg et Kazhdan-Lusztig), et qui dépend sur la réalisation de { \atop H_{n}^{a}(q)} comme algèbre de composition des faisceuax cohérents sur une certaine variété. Au passage, nous relions ces modules aux modules cellulaires pour l’algèbre de Temperley-Lieb de type B, qui est de dimension finie. Une des applications est la détermination explicite des nombres de décomposition de certains modules standards aux racines de l’unité, qui implique à son tour la détermination de certains polynômes de Kazhdan-Lusztig associés aux clôtures d’orbites nilpotentes. En particulier, on peut démontrer par ce moyen que certaines variétés algébriques, associées à des représentations nilpotentes du carquois de type Ã_{n−1}, sont rationnellement lisses. Nos méthodes consistent à étudier les rapports entre certaines algèbres de concaténation de diagrammes de tresses ou analogues, et entre ces algèbres et les algèbres de Hecke. Ce travail est aussi relié aux travaux précedents de Bernstein-Zelevinski dans le cas “génerique” et de Jones sur les invariants des entrelacs. Il s’agit ici d’un travail commun avec J. Graham.