Paires critiques dans les mots de tresses triviaux

Patrick Dehornoy

L’expérience suggère que, si w est un mot de tresse quelconque représentant la tresse triviale, alors il existe toujours une paire critique dans w, cette dernière étant définie comme un sous-mot v de w de la forme σ_{i}^{e}uσ_{j}^{−e} avec e = ±1 tel que v soit équivalent a u : autrement dit on peut supprimer les deux lettres σ_{i}^{e} et σ_{j}^{−e} sans changer la tresse. On démontre cette propriété dans le cas du groupe B_{3} en utilisant une partition du graphe de Cayley liée à la forme normale de Deligne. Pour chaque tresse x dans B_{n}, et pour chaque entier i entre 1 et n − 1, on peut définir un entier relatif p_{i}(x) comme l’exposant p maximal tel que σ_{i}^{p} divise x à gauche. Ceci permet de partitionner le graphe de Cayley du groupe B_{3} en trois régions, à savoir l’ensemble R_{<} des x vérifiant p_{1}(x) < p_{2}(x), l’ensemble R_{=} des x vérifiant p_{1}(x) = p_{2}(x), et l’ensemble R_{>} des x vérifiant p_{1}(x) > p_{2}(x). Alors, les propriétés de Garside du monoïde B_{n}^{+} entraînent que, pour tout k, on a p_{i}(x) ≤ p_{i}(xσ_{k}) ≤ p_{i}(x)+1, ce qui implique qu’un chemin dans le graphe de Cayley de B_{3} ne peut passer de la région R_{<} à la région R_{>} sans passer par R_{=}. En considérant les intersections avec R_{=} d’un chemin fermé dans le graphe de B_{3}, on déduit l’existence d’une paire critique dans tout mot de tresses représentant la tresse triviale de B_{3}.