Groupes de tresses

David Bessis

1 Géométrie des groupes de réflexions

Soit G un sous-groupe fini de GL(V), où V est un espace vectoriel de dimension finie (sur k de caractéristique nulle). L’objet de la théorie des invariants est l’étude de l’algèbre k[V]^{G} des fonctions polynomiales sur V invariantes par G. Un théorème classique de Shephard et Todd établit que cette algèbre est isomorphe à une algèbre de polynômes si et seulement si G est engendré par des réflexions. Cette caractérisation remarquable se reformule en termes géométriques : G est engendré par des réflexions si et seulement si la variété quotient V/G est lisse.

Dans la situation où k = R, il est bien connu que les groupes de réflexions sont décrits par les présentations de Coxeter, et que ces présentations, après oubli des relations quadratiques, donnent naissance à des groupes d’Artin (analogues, pour tous les types de Coxeter, du groupe des tresses classique à n brins). Cependant, il est plus naturel de définir le groupe des tresses B(W) associé à un groupe de réflexions W comme le groupe fondamental de l’espace des orbites régulières pour l’action de W sur V ⊗ C. Un avantage de cette approche est qu’elle s’applique naturellement aux groupes de réflexions complexes.

Springer a mis en évidence de remarquables propriétés de la géométrie des groupes de réflexions complexes. Suivant une approche due à Broué, Malle, Michel et Rouquier, la théorie des éléments réguliers de Springer amène à formuler un certain nombre de conjectures sur les groupes de tresses associés.

2 Présentations des groupes de tresses associés

Pour aborder les conjectures mentionnées, il est nécessaire de pouvoir calculer dans les groupes de tresses, et notamment de disposer de présentations.

Dans le cas où W est un groupe de Coxeter, selon un théorème de Brieskorn, le groupe de tresses défini topologiquement est isomorphe au groupe d’Artin correspondant.

Dans le cas général, on peut montrer que la théorie de Springer fournit précisément des présentations naturelles de B(W). Ces présentations sont un premier pas vers les conjectures : il y a bien une correspondance entre des propriétés géométriques de W et des propriétés combinatoires de B(W).

3 Combinatoire des monoïdes

Malheureusement, il ne suffit pas de disposer d’une présentation pour pouvoir calculer dans un groupe, encore faut-il savoir résoudre le problème des mots.

Pour les groupes d’Artin, l’approche de Garside, poursuivie par Deligne et Brieskorn-Saito, permet d’obtenir de très commodes formes normales. Plus récemment, ces méthodes ont été généralisées (notamment par Dehornoy-Paris et Corran). La notion de monoïde de Garside semble être la plus adaptée à la situation.

Au delà de l’obtention de présentations, on peut se demander s’il existe des systèmes générateurs naturels de B(W) tels que le sous-monoïde engendré soit un monoïde de Garside. En fixant un point base dans l’espace des orbites régulières, il y a une définition naturelle pour un monoïde “local” dont la structure dépend du choix du point base. Pour des raisons encore assez mystérieuses, certains choix (liés à la théorie de Springer) permettent d’obtenir ainsi des monoïdes de Garside. Ainsi peuvent être réglés certains cas particuliers des conjectures mentionnées – mais le cas général reste ouvert.