Tresses sur les surfaces

Paolo Bellingeri

1 Résumé

Le premier but de cet exposé est de donner des (nouvelles) présentations des groupes de tresses sur les surfaces orientables. Lorsque la surface est fermée nous obtenons une présentation équivalente (mais avec un nombre inférieur de relations) à celle trouvée par Gonzales-Meneses ([1]). La preuve s’inspire de la preuve de Morita pour les tresses classiques ([4]) et elle est liée au problème de l’existence d’une section pour la suite exacte de groupes de tresses pures sur les surfaces ([3]). On montre ensuite quelques résultats sur des sous-groupes des groupes de tresses pures sur une surface F, P (n, F). Soit K_{n} la clôture normale du groupe de tresses pures P_{n} dans P (n, F). Ce groupe est isomorphe au noyau de l’application naturelle χ : P (n, F) → π_{1}(F)^{n} et il a été utilisé dans [2] pour introduire une notion d’invariants de Vassiliev pour les tresses sur des surfaces orientables et fermées. Soit F une surface de genre g avec au moins une composante de bord. Soit E la sous-surface de F obtenue en enlevant g anses. Nous généralisons les résultats sur les propriétés résiduelles de K_{n}, montrés dans [2], au groupe H_{n} ⊃ K_{n}, qui est la clôture normale du groupe de tresses pures P (n, E) dans P (n, F). Nous terminons en exhibant une présentation pour P (n, F), où toutes les relations sont des produits de commutateurs. Comme conséquence de ce résultat nous montrons que K_{n} coincide avec le commutateur de P (n, F) si et seulement si F est le tore, et que l’on a une inclusion stricte dans les autres cas.

Références

[1] J. Gonzáles-Meneses, New presentations of surface braid groups, math.GT/9910020, à paraître dans J. Knot Theory Ramifications.

[2] J.González-Meneses and L.Paris, Vassiliev Invariants for braids on surfaces, math.GT/0006014, à paraître dans Trans. A. M. S.

[3] J. Guaschi and P. Gonçalves, On the structure of surface pure braid groups, Prépublication.

[4] J.Morita, A Combinatorial proof for Artin’s Presentation of the braid group and some cyclic analogue, Tsukuba J. Math., 16 (1992), no. 2, 439-442.