20ème Journée Calcul Scientifique et Modélisation Mathématique d’Amiens
Mardi 8 JUIN 2021
20ème Journée Calcul Scientifique et Modélisation Mathématique d’Amiens
Mardi 8 JUIN 2021
Laboratoire Amiénois de Mathématique
Fondamentale et Appliquée
CNRS UMR 7352
Résumés
Jean-Marc Hérard (EDF R&D)
Modélisation d'écoulements multiphasiques et applications
Dans cette présentation, on abordera tout d'abord une classe de modèles pour les écoulements multiphasiques à phases compressibles, en considérant des composants immiscibles (eau-vapeur [1]/ eau liquide -vapeur eau- métal liquide [2]).
On donnera les principales propriétés de ces modèles (hyperbolicité, caractérisation entropique, symétrisation), et on commentera quelques points concernant la relaxation.
On basculera ensuite sur le cadre hybride où coexistent des composants miscibles et non miscibles, à trois ou quatre champs ([3,4]).
Le principe global des schémas actuellement développés pour la simulation de ces modèles sera présenté brièvement, et complété par des références bibliographiques.
Deux exemples de simulations seront fournis : impact d’une onde de choc sur un lit de gouttes, et premiers essais de simulation d' explosion vapeur [5,6].
[1] Coquel F., Gallouët T., Hérard J.M., Seguin N.,
Closure laws for a two-fluid two-pressure model, CRAS Mathématique, vol. 334 (10), 927-932 (2002).
[2] A three-phase flow model, Hérard J.M., Math. Comp. Modeling, vol. 45 (5), 732-755 (2007).
[3] A three-phase flow model with two miscible phases, Hérard J.M., H. Mathis, ESAIM:M2AN, vol. 53, 1373–1389 (2019).
[4] A four-field three-phase flow model with both miscible and immiscible components, Hérard J.M., Hurisse O., Quibel L., ESAIM:M2AN, vol. 55, S251-S278 (2021).
[5] Boukili H., Hérard J.M., Relaxation and simulation of a barotropic three-phase flow model, ESAIM:M2AN, vol. 53 (3), 1031-1059 (2019).
[6] Boukili H., Hérard J.M., Simulation and preliminary validation of a three-phase flow model with energy, Computers and Fluids, vol. 221. (2021).
Stella Krell (Laboratoire Dieudonné, Université de Nice)
Un schéma DDFV non linéaire pour les équations de diffusion-convection
Nous cherchons à préserver les états d’équilibre pour les problèmes de Fokker-Planck avec les méthodes DDFV. L’idée est de coupler la discrétisation des deux termes de diffusion et convection, fournissant une discrétisation précise des équations de diffusion-convection (ordre 2 et préservation des états d’équillibre), en particulier pour les modèles à convection dominante. La difficulté est que nous obtenons un schéma non linéaire (alors que le problème est linéaire), ce qui complique son analyse. Le schéma est conçu pour préserver au niveau discret, même sur des maillages déformés, les états d’équilibre et la relation d’énergie/dissipation. Cette relation est d’une importance primordiale pour rendre compte de façon précise du comportement en temps long du problème. Pour le respecter, l’équation de diffusion-convection linéaire est réécrite sous une forme non linéaire avant d’être discrétisée. La discrétisation DDFV a l’avantage d’avoir une matrice masse diagonale ce qui permet de démontrer la version discrète de la relation d’énergie/dissipation. Nous établissons l’existence de solutions positives au schéma. Grâce à des arguments de compacité, la convergence de la solution approchée vers une solution faible est démontré. Enfin, nous fournissons des illustrations numériques du bon comportement du schéma lorsque les paramètres de discrétisation tendent vers 0 et lorsque le temps tend vers
l’infini.
Yannick Privat (IRMA, Université de Strasbourg)
Asymptotique de la constante d'observabilité pour l'équation des ondes
Dans cet exposé, nous étudions les propriétés asymptotiques des constantes d'observabilité pour les équations d'onde lorsque le temps d'observation T tend vers $+\infty$.
Dans une première partie, étant donné une équation d'onde sur une variété sans bord, et étant donné un sous-ensemble d'observation arbitraire, nous prouvons que la constante d'observabilité asymptotique en temps est le minimum de deux quantités : la première est purement spectrale, et contient des informations sur les propriétés d'ergodicité quantiques de la variété ; la seconde est purement géométrique et met en jeu les rayons se propageant dans la variété selon les lois de l’optique.
Dans une deuxième partie, nous discuterons d’une application de ce résultat à la question du design optimal de capteurs dans une cavité acoustique.
Martin Vohralík (Inria Paris)
Equivalence of local- and global-best approximations (a posteriori tools in a priori analysis)
Potential and flux reconstructions are nowadays well-established procedures in a posteriori error analysis. We show that they lead to simple a priori error estimates as well, in that they yield equivalences of local-best and global-best approximations. More precisely, let a H^1 function be given. Then its (global-)best approximation in the H^1 seminorm by continuous piecewise polynomials has, up to a constant, the same precision as its (local-)best approximation by (discontinuous) piecewise polynomials. This yields optimal a priori error estimates for conforming finite elements under minimal regularity. Similarly, given an arbitrary function in H(div), we show that the error attained by its (global-)best approximation by H(div)-conforming piecewise polynomials, under additional constraints on the divergence and normal flux on the boundary, is equivalent to the sum of independent (local-)best approximation errors over individual mesh elements, without any constraints on the divergence or normal fluxes. This yields optimal a priori error estimates for mixed finite elements under minimal regularity.