Laboratoire Amiénois de Mathématique

Fondamentale et Appliquée

CNRS UMR 7352

Résumés

Sébastien Boyaval (Laboratoire d'hydraulique Saint-Venant)

Ecoulements de fluide viscoélastique avec des lois de conservation

Les fluides viscoélastiques sont souvent considérés comme des modèles mécaniques qui permettraient de bien relier entre eux les états liquides et solides. Mais l'intérêt pratique de ces modèles est réduit par la difficulté à les utiliser, dans des problèmes de Cauchy par exemple. En général, les modèles sont construits en généralisant à plusieurs dimensions des modèles 1D (comme celui de Maxwell) avec des principes de dissipation de l'énergie libre et d'invariance par changement de référentiel. On aboutit alors à des systèmes d'EDPs non-linéaires qui ne se réduisent pas à des lois de conservation, même quand ils sont quasilinéaires (d'ordre 1) et hyperboliques. Rien que la définition d'une solution est alors difficile. Afin de résoudre les problèmes pratiques évoqués ci-dessus, on propose de nouveaux modèles de fluides viscoélastiques qui généralisent le modèle 1D de Maxwell avec des lois de conservation, et pour lesquels la notion de solution au sens des distributions est bien définie. Puis on construit des approximations discrètes avec la méthode des volumes finis, qui satisfont une inégalité d'entropie discrète. On illustrera numériquement la discrétisation par des applications 2D à des écoulements à surface libre.

Charles Dapogny (LJK, Grenoble)

Au sujet de nouvelles contraintes induites par les techniques d'impression 3D sur le processus d'optimisation de formes

Bien qu'elles permettent en théorie d'assembler des structures d'une complexité quasi-arbitraire - et suscitent en cela beaucoup d'intérêt dans les milieux d'ingénierie - les techniques modernes de fabrication additive (ou impression 3D) soulèvent des difficultés inédites qui doivent être prises en compte dès les étapes préliminaires de la conception, et notamment lors de l'optimisation des designs considérés. Au cours de cette présentation, on s'intéressera à la modélisation et à la prise en compte de deux tels enjeux majeurs liés aux processus de construction additive. Le premier de ces enjeux consiste à éviter l'apparition de régions en porte-à-faux au cours du processus d'optimisation de formes, c'est-à-dire de grandes régions presque horizontales, reposant sur du vide, sans support de la part de la structure inférieure. La seconde difficulté cruciale à laquelle on s'intéressera est liée au fait que les processus de construction additive impliquent une altération sensible de la performance mécanique du matériau constitutif de la forme produite : celui-ci devient inhomogène, bien souvent anisotrope (dépendant de la forme elle-même). Il s'agit de travaux en collaboration avec Grégoire Allaire, Rafael Estevez, Alexis Faure et Georgios Michailidis.

Sonia Fliss (POems, ENSTA)

La méthode des demis-espaces raccordés ou Halfspace Matching Method pour la resolution de problèmes posés en domaines non bornés

Depuis quelques années maintenant, je travaille sur l’analyse et la simulation de phénomènes de propagation d’ondes dans des milieux non bornés et complexes. La complexité ici vient de la nature des équations (équations de Maxwell ou élasticité), des caractéristiques physiques du milieu ( représentés par des coefficients qui peuvent être constants par morceaux, périodiques ou anisotropes jusqu’a l'infini) ou sa géométrie (milieux infinis 2D ou 3D, plaques 3D). L’analyse et la simulation des équations d’ondes acoustiques, électromagnétiques ou élastiques est un sujet assez ancien et classique dans le cas où les milieux sont infinis mais homogènes et isotropes. Elle fait encore l’objet de beaucoup de travaux. Il existe beaucoup moins de travaux quand le milieu est complexe et d’ailleurs les méthodes qui marchent dans le cas où le milieu est homogène isotrope ne s’étende pas à mes milieux complexes. Nous avons proposé une méthode dite des demis-espaces raccordés ou Halfspace Matching Method qui permet de traiter les complexités évoquées plus haut. Elle repose sur une idée assez simple et générale: la solution de problèmes de demi-espace peut être exprimée grâce à sa trace au bord du demi-espace, via la transformée de Fourier dans la direction transversale dans le cas où le milieu est homogène ou autre exemple, via la transformation de Floquet-Bloch dans le cas où le milieu est périodique, et ce quelque soit l’équation pourvue qu’elle soit linéaire. Il suffit ensuite de coupler ces différentes representations intégrales de la solution par un calcul Elements finis en domaine borné qui prendrait en compte des termes sources ou des perturbations. Dans cette présentation, je présenterai la méthode et quelques éléments d’analyse sur un problème simple et j’expliquerai comment elle s’étend à des situations plus complexes. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia (POEMS), Patrick Joly (POEMS), Yohanes Tjandrawidjaja (POEMS), Antoine Tonnoir (Universite de Rouen).

Magali Ribot (Institut Denis Poisson, Orléans)

Modèles de mélange pour la croissance de biofilms

Nous présentons dans cet exposé la construction de modèles d’EDPs décrivant l’évolution de micro-algues ou de bactéries en interaction entre elles, mais aussi avec leur environnement. Ces modèles sont basés sur la théorie des mélanges et sont couplés avec des équations de réaction-diffusion ou des équations de la mécanique des fluides. Nous commencerons par décrire la croissance de biofilms de micro-algues au fond de fontaine, puis la croissance de biofilms de micro-algues produisant des lipides en fonction des nutriments disponibles et enfin l’évolution temporelle et spatiale du microbiote intestinal en interaction avec la rhéologie du gros intestin.