Fédération de Recherche

Mathématique des Hauts-de-France

CNRS FR 2037

Laboratoire Amiénois de Mathématique

Fondamentale et Appliquée

CNRS UMR 7352

Résumés

Erwan Hingant (LAMFA, UPJV)

Quelques résultats sur la nucléation

La nucléation est un phénomène qui se caractérise par l'apparition d'une nouvelle structure ou d'une nouvelle phase thermodynamique suite à l'assemblage de particules élémentaires. Par exemple, on retrouve le phénomène dans de nombreuses applications allant de la physique statistique (formation de gouttelette ou de planète), en passant par la chimie (formation de cristal et gel) et la biologie (formation de plaque amyloïde ou d'ADN). Nous présenterons dans cet exposé quelques modèles et résultats mathématiques sur ce phénomène en s'intéressant particulièrement aux différentes échelles.

Frédéric Lagoutière (ICJ, Lyon 1)

Homogénéisation pour un modèle de mélange de fluides de Navier-Stokes

Ce travail, fruit d'une collaboration avec Didier Bresch et Cosmin Burtea, permet d'obtenir de manière rigoureuse un modèle de type Baer et Nunziato à deux espèces à partir des équations et lois d'état de chacun des fluides purs, par homogénéisation. Je présenterai dans cet exposé la convergence d'une modèle semi-discret (continu en temps et discret en espace) et illustrerai le résultat par des résultats numériques obtenus par une discrétisation à la fois en espace et en temps.

Marcela Szopos (MAP5, Université de Paris)

Modélisation multi-échelle des fluides biologiques : aspects théoriques et numériques

La modélisation et la simulation numérique des fluides biologiques ont connu de nombreux développements au cours des dernières années. Parmi les difficultés en lien avec la compréhension des phénomènes observés cliniquement, il faut noter que la description de la dynamique complexe des fluides dans le corps humain fait intervenir une large gamme d’échelles spatiales et temporelles.
Dans le but de modéliser in silico cette dynamique, nous présenterons dans cet exposé une approche de type “multi-échelles géométriques”. Dans cette approche, les différentes échelles spatiales sont prises en compte à travers un couplage entre un système d’équations aux dérivées partielles issu de la mécanique des fluides et un système d’équations différentielles, potentiellement de grande taille et non linéaire, qui modélise l’écoulement dans le reste du réseau. Ce problème couplé s’avère difficile à résoudre numériquement et de nombreuses méthodes de couplage faible ou fort ont été développées. Nous discuterons brièvement les avantages et les inconvénients de ces approches et nous proposerons un nouvel algorithme pour la résolution numérique de ce problème. Des simulations seront présentées pour illustrer cette stratégie dans des cas-tests analytiques et ensuite dans un cas issu de la modélisation des fluides biologiques dans le système couplé œil-cerveau.

Antoine Zurek (LMAC, UTC)

Existence of traveling wave solutions for the Diffusion Poisson Coupled Model: a computer-assisted proof

In France one option under study for the storage of high-level radioactive waste is based on an underground repository. More precisely, the waste shall be confined in a glass matrix and then placed into cylindrical steel canisters. These containers shall be placed into micro-tunnels in the highly impermeable Callovo-Oxfordian claystone layer at a depth of several hundred meters. The Diffusion Poisson Coupled Model (DPCM) aims to investigate the safety of such long term repository concept by describing the corrosion processes appearing at the surface of carbon steel canisters in contact with a claystone formation. It involves drift-diffusion equations on the density of species (electrons, ferric cations and oxygen vacancies), coupled with a Poisson equation on the electrostatic potential and with moving boundary equations. So far, no theoretical results giving a precise description of the solutions, or at least under which conditions the solutions may exist, are avalaible in the literature. However, a finite volume scheme has been developed to approximate the equations of the DPCM model. In particular, it was observed numerically the existence of traveling wave solutions for the DPCM model. These solutions are defined by stationary profiles on a fixed size domain with interfaces moving at the same velocity. The main objective of this talk is to present how we apply a computer-assisted method in order to prove the existence of such traveling wave solutions for the system. This approach allows us to obtain for the first time a precise and certified description of some solutions. This work is in collaboration with Maxime Breden and Claire Chainais-Hillairet.