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Séminaire de Théorie des Groupes en 2015-2016

par Laurent Renault - publié le

Le mercredi à 14h, BC101

Contacts :

Serge Bouc

Ivan Marin

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Année 2015-2016

23 septembre 2015
Maxime Ducellier (Amiens) : Étude de l’algèbre essentielle pour les bimodules de p-permutation

Résumé : On considère la catégorie dont les objets sont les groupes finis et les morphismes d’un groupe G vers un groupe H sont donnés par le groupe de Grothendieck des (kH,kG)-bimodules de p-permutation, étendu par le corps C des complexes. On s’intéresse aux foncteurs de p-permutation c’est-à-dire les foncteurs C-linéaires depuis cette catégorie vers la catégorie des C-espaces vectoriels. Par un résultat dû à Serge Bouc on a accès à un "paramétrage" des foncteurs de p-permutation simples donné par un groupe G et un module simple V pour une algèbre appelé algèbre essentielle.
L’objectif de cet exposé et de donner une description de cette algèbre qui permette d’obtenir un paramétrage de ses modules simples et ainsi d’expliciter la forme des foncteurs de p-permutation simples.

30 septembre 2015
Olivier Brunat (Paris) : Sur une conjecture de Eaton et Moreto

Résumé : Récemment, Eaton et Moreto ont proposé un prolongement de la conjecture de hauteur zéro de Brauer. Dans cette exposé, on présentera des exemples confirmant cette conjecture, notamment pour les blocs des groupes réductifs finis en caractéristique naturelle. Ce travail est une collaboration avec Gunter Malle.

7 octobre 2015
David Chataur (Amiens) : Produit d’intersection et type d’homotopie

Résumé : Dans cet exposé on se propose d’emprunter la route qui débute avec les travaux de Poincaré sur les nombres d’intersection et aboutit à l’introduction des techniques modernes de l’algèbre homotopique. Ainsi on sera amené à expliquer comment les structures algébriques fines associées au produit d’intersection peuvent distinguer efficacement des types d’homotopies d’espaces topologiques. On espère aussi aborder quelques questions relatives à la topologie des variétés compactes.

14 octobre 2015
David Chataur (Amiens) : Vers un type d’homotopie d’intersection

Résumé : Au début des années 1980 les travaux de Goresky et Mac-Pherson en homologie d’intersection ont permis d’étendre la dualité de Poincaré au cadre des espaces singuliers. Très tôt il est apparu naturel d’essayer d’étendre la théorie homotopique présentée dans le premier exposé au cadre de la cohomologie d’intersection. Nous présenterons une réalisation d’une partie de ce programme, obtenue en collaboration avec Martin Saralegui et Daniel Tanré et expliquerons quelques applications de cette théorie.

21 octobre 2015
Zhengfang Wang (Amiens) : La cohomologie de Hochschild singulière et une
structure d’algèbre de Gerstenhaber
Résumé : ici

4 novembre 2015
Raphaël Bonis (Saint Quentin) : Une extension de SL_n

Résumé : Des relations de tresses à paramètre entre générateurs du groupe SL_n entraînent la définition d’un groupe G plus gros que SL_n lui-même.
On étudie le noyau de l’homomorphisme de G sur SL_n en termes géométriques et en termes d’extension de corps.

18 novembre 2015
Radu Stancu (Amiens) : Dimension projective des foncteurs de Mackey (cohomologiques).

Résumé : Les foncteurs de Mackey (cohomologiques) pour un groupe fini G, sur un anneau R peuvent être vus comme des modules sur l’algèbre de Mackey (cohomologique). Dans cet expose, les résultats principaux duquel vient d’un travail en commun avec Serge Bouc et Peter Webb, je vais expliquer comment des condition de finitude des résolutions projectives des foncteurs de Mackey (cohomologiques) en caractéristique p se reflètent dans la classe d’isomorphisme d’un p-sous-groupe de Sylow de G.

25 novembre 2015
Exposé reporté - (pour cause soutenance HDR)

2 décembre 2015
Lucie Malo (Amiens) : Combinatoire des (m+2)-angulations et catégories amassées supérieures de type Dn.

Résumé : Afin de comprendre et catégorifier les m-amas construits par Fomin et Reading, qui sont une généralisation des amas dans les algèbres amassées, les catégories amassées supérieures ont été définies indépendamment par Keller et Thomas. Après avoir exhibé une réalisation géométrique de la catégorie amassée supérieure en termes d’arcs au sein d’une (m+2)-angulation, nous construirons une bijection entre les (m+2)-angulations et des objets particuliers de la catégorie étudiée, les objets m-amas-basculants.

9 décembre 2015
Ramla Abdellatif (Amiens) : Représentations de groupes p-adiques et programme de Langlands, I.

Résumé : Soit p un entier premier. Dans ce premier exposé, nous présenterons un (nécessairement bref) panorama des idées menant à la formulation des correspondances de Langlands pour les groupes réductifs p-adiques, ainsi que quelques-uns des principaux résultats connus ou restant à démontrer dans ce contexte.

16 décembre 2015
Ramla Abdellatif (Amiens) : Représentations de groupes p-adiques et programme de Langlands, II.

Résumé : Soit p un entier premier. Dans ce second exposé, nous détaillerons un peu plus les constructions permettant de comprendre les représentations lisses irréductibles des groupes p-adiques à coefficients complexes en nous concentrant sur le cas du groupe linéaire général (qui permet déjà de comprendre beaucoup de choses). Si le temps le permet, nous expliquerons comment certaines de ces constructions restent valables pour des groupes p-adiques plus généraux.

6 janvier 2016 - Attention, séance double !
14h :
Ahmed Moussaoui : Correspondance de Langlands et correspondance de Springer.

Résumé : En théorie des représentations des groupes réductifs p-adiques, on dispose de deux paramétrages des représentations irréductibles : l’un par la décomposition de Bernstein, l’autre conjectural par la correspondance de Langlands. Nous allons voir comment la correspondance de Springer généralisée permet de comprendre les liens entre ces deux paramétrages.

15h30 :
Rémi Molinier (Kansas State University) : Existence et unicité des systèmes de liaison

Résumé : La question d’existence et d’unicité d’un système de liaison est centrale dans l’étude des systèmes de fusion et encore plus pour la théorie homotopique de ceux-ci. Ce problème a connu plusieurs rebondissements importants ces dernières années. Nous parlerons donc ici de son évolution ainsi que des ingrédients apportés au fur et à mesure.

13 janvier 2016
Nadia Romero (Guanajuato) : An application of genetic bases to Whitehead groups.

Résumé : Genetic bases provide a refinement of Roquette’s theorem, which gives a description of the rational group algebra QP, for a p-group P, in terms of faithful irreducible Q-representations of certain subquotients of P. Roughly speaking, a subgroup of P is called genetic if it gives rise to one of these subquotients, and a genetic basis of P is a set of representatives of the genetic subgroups of P, under a certain equivalence relation.
In this talk we will see how one can apply information obtained from the genetic bases of some p-groups with p odd, to results about Whitehead groups, to calculate the torsion part of the Whitehead groups of the groups in question.

20 janvier 2016 Lionel Schwartz (Paris 13) : L’action du foncteur de Lannes sur les modules instables injectifs

Résumé : On étudie l’action du fonceur $T$ de Lannes (on en rappellera définition et propriétés) sur les modules instables injectifs indécomposables. Ces modules sont les facteurs directs indécomposables, comme modules sur l’algèbre de Steenrod, de $H^*(Z/)^n$). On montre qu’il apparaît naturellement sur ces objets une structure de $H^*Z/2$-module. Puis on relie cela aux représentations projectives sur le corps $\mathbf F_2$ du groupe linéaire $GL_n(\mathbf F_2)$. En particulier on montrera que ceci induit une restriction "exotique" de ces représentations vers celles de $GL_n-1(\mathbf F_2)$.

27 janvier 2016
Ivan Marin (Amiens) : Variétés plates, groupes crystallographiques et groupes de tresses complexes.

Résumé : Gonçalvez, Guaschi et Ocampo ont montré cette année (2015) que l’on pouvait réaliser des variétés plates compactes, ce qui est équivalent à la construction de groupes crystallographiques sans torsion, par une construction simple basée sur
un quotient du groupe de tresses ordinaire. Ce quotient, que Tits a été le premier à définir pour les groupes de tresses associés aux groupes de Coxeter finis (= groupes d’Artin), admet une généralisation aux groupes de tresses généralisés associés aux groupes de réflexions complexes. Nous montrons que la construction de Gonçalvez, Guaschi et Ocampo s’étend en toute généralité à ce cadre.

3 février 2016
Hiroyuki Nakaoka (Amiens) : A simultaneous generalization of mutation and recollement on a triangulated category.

Résumé : In this talk, we introduce the notion of concentric twin cotorsion pair on a triangulated category. To any such a pair, we can associate a pretriangulated subquotient category. This enables us to give a simultaneous generalization of the Iyama-Yoshino reduction and the recollement of cotorsion pairs.

10 février 2016
François Digne (Amiens) : titre non précisé.

24 février 2016
Serge Bouc (Amiens) : K-théorie, génotypes, et bi-ensembles.

Résumé : Dans cet exposé, j’expliquerai comment retrouver les génotypes des représentations rationnelles irréductibles d’un p-groupe P, pour p impair, à partir de la K-théorie de l’algèbre de groupe QP. Il en résulte une structure de foncteur de bi-ensembles pour le produit direct des génotypes des irréductibles de P, pour laquelle je donnerai des formules explicites. Si le temps le permet, je montrerai que ce foncteur se factorise par la catégorie de Roquette des p-groupes.

2 mars 2016
Sophie Morier-Genoud (Paris 6) : Frises, équations aux différences et espaces de modules.

Résumé : Les frises de nombres sont des constructions algébriques introduites et étudiées par Coxeter au début des années 70. Coxeter établit des propriétés étonnantes en lien avec des objets classiques de la théorie des nombres ou encore de la géométrie projective. Les frises connaissent un regain d’intérêt ces dernières années dû à des connections avec la théorie des algèbres amassées de Fomin-Zelevinsky. Cet exposé commencera par une courte introduction aux frises de Coxeter et leurs généralisations, puis on expliquera comment les espaces de frises s’identifient avec des espaces d’équations aux différences et des espaces de modules de points dans les espaces projectifs. Cette "trialité" permet de combiner des points de vue et des méthodes combinatoires, analytiques ou géométriques dans l’étude de ces espaces. On illustrera ce principe avec la transformée de Gale. (travail en commun avec Ovsienko, Schwartz, Tabachnikov)

9 mars 2016
Thomas Gobet (Kaiserslautern) : Filtrations tordues de bimodules de Soergel et complexes de Rouquier linéaires.

Résumé : L’algèbre de Iwahori-Hecke d’un système de Coxeter possède une base standard et une base costandard, ainsi que deux bases canoniques. M. Dyer a conjecturé dans sa thèse que les coordonnées dans la base standard d’un produit d’un élément de la base canonique par un élément de la base standard sont des polynômes à coefficients positifs. Il a également conjecturé que les coordonnées dans la base canonique d’un produit d’un élément de la base standard par un élément de la base costandard sont des polynômes à coefficients positifs. Les deux conjectures, équivalentes lorsque le groupe est fini, on été prouvés pour les groupes de Weyl finis par M. Dyer de G. Lehrer, puis étendus aux groupes de Coxeter finis par M. Dyer.

Les deux conjectures de M. Dyer peuvent se généraliser en deux énoncés utilisant des bases standard tordues par des ensembles de racines bifermés. Les éléments de ces bases s’obtiennent comme images de tresses Mikado via l’application allant du groupe d’Artin vers l’algèbre de Hecke. Nous démontrons le premier énoncé pour les groupes de Coxeter arbitraires en utilisant des filtrations tordues de bimodules de Soergel et la récente preuve de la conjecture de Soergel par B. Elias et G. Williamson. Nous conjecturons la linéarité du complexe de Rouquier miminal d’une tresse Mikado (un certain complexe de bimodules de Soergel vu dans la catégorie homotopique bornée), impliquant le second énoncé pour les groupes de Coxeter arbitraires, et le démontrons dans le cas où l’ensemble de racines bifermé provient d’un ensemble d’inversions d’élément du groupe ou de son complémentaire (ce qui prouve la seconde conjecture de Dyer).

16 mars 2016
Eric Hoffbeck (Paris 13) : Utilisation de catégories supérieures pour les résolutions

Résumé : Des propriétés homologiques des monoïdes peuvent être prouvées grâce aux polygraphes (des catégories supérieures, construites inductivement, dont le but est d’encoder la géométrie des relations d’un monoïde, des relations entre les relations, etc). Dans cet exposé, j’exposerai une généralisation de cette notion : les polygraphes linéaires, servant à étudier l’homologie des algèbres associatives. À partir d’une algèbre définie par générateurs et relations, on définit la notion de présentation convergente de cette algèbre, et on construit un polygraphe linéaire associé. On peut en déduire une résolution (explicite) de l’algèbre, permettant de faire des calculs d’homologie. Travail en commun avec Yves Guiraud et Philippe Malbos.

23 mars 2016
Eddy Godelle (Caen) : Converger vers le mot trivial dans un groupe d’Artin-Tits.

Résumé : Considérons une présentation d’un groupe d’Artin-Tits. Une conjecture de Dehornoy affirme que chaque mot qui représente l’ élément unité peut être transformé en le mot trivial en utilisant uniquement les relations de tresses, certaines relations dérivées de la présentation et les réductions libres, mais sans introduire de facteur $ss^-1$ ou de facteur $s^-1s. Nous montrerons que cette conjecture est valide pour différentes familles de groupes d’Artin-Tits.

30 mars 2016 Attention, séance double !
14h :
Arnaud Bodin (Lille) : Groupe de tresse d’un collier.

Résumé : Je présenterai le groupe de tresse associé à un entrelacs
particulier "le collier", ainsi que l’action induite sur les
automorphismes du groupe libre. Mais je commencerai par présenter ces
résultats pour le groupe de tresse usuel ainsi que pour le groupe de
tresse punaisé. Ceci est un travail commun avec Paolo Bellingeri.

15h30 :
Antonio Díaz (Malaga) : On Carlson’s conjecture.

Résumé : In 2005, Carlson conjectured that there are finitely many isomorphism types of mod-p cohomology rings of p-groups of a fixed coclass and he proved the conjecture for p=2. In this talk, we show some recent progress on this conjecture : we prove the conjecture for non-twisted p-groups for any prime p and we indicate how to proceed in the twisted case. This is joint work with Oihana Garaialde and Jon Gonz\’alez.

20 avril 2016
Ivo Dell’Ambrogio (Lille) : La classification des sous-catégories épaisses dans le cas affine et régulier

Résumé : Depuis que, en homotopie stable, Devinatz, Hopkins et Smith ont classifié les sous-catégories épaisses des spectres finis (1988-97), des résultats analogues ont été rapidement découverts en algèbre commutative par Hopkins et Neeman, en géométrie algébrique par Thomason, et en théorie de la représentation modulaire par Benson, Carlson et Rickard. Depuis, plusieurs aspects de la question ont été bien compris et formalisés en termes de catégories triangulées par de nombreux chercheurs : Hovey-Palmieri-Strickland, Balmer, Benson-Iyengar-Krause,... Dans cet exposé, je vais motiver le problème de la classification et expliquer le cadre formel. Ensuite je présenterai des travaux récents en commun avec Don Stanley (http://arxiv.org/abs/1511.02395) : si, dans une catégorie triangulée tensorielle, l’objet unité tensorielle engendre la catégorie et si son anneau gradué des endomorphismes est suffisamment régulier, alors la classification des sous-catégories épaisses peut s’obtenir de façon formelle en termes du spectre de Zariski de l’anneau. Ce résultat abstrait s’applique par exemple à la catégorie dérivée de certaines dg-algèbres et spectres en anneaux.

27 avril 2016
Clément Dupont (MPI Bonn) : Arrangements d’hypersurfaces, pureté et formalité.

Résumé : Les arrangements d’hypersurfaces sont des objets géométriques qui ressemblent localement à des arrangements d’hyperplans, et généralisent les diviseurs à croisements normaux. Leur étude est une version globale de l’étude classique des arrangements d’hyperplans, due à Arnold, Brieskorn et Orlik-Solomon, et mêle géométrie et combinatoire. Dans cet exposé on introduira des outils pour calculer les groupes de cohomologie associés aux arrangements d’hypersurfaces, et prouver des résultats de formalité.

4 mai 2016
Eirini Chavli (Amiens et Paris 7) : La conjecture de BMR pour les groupes exceptionnels de rang 2.

Résumé : Entre 1994 et 1998, M. Broué, G. Malle et R. Rouquier ont généralisé aux groupes de réflexions complexes la définition naturelle des algèbres de Hecke associées aux groupes de Coxeter finis. Dans la tentative de généraliser certaines propriétés de ces algèbres, ils ont annoncé des conjectures parmi lesquelles la conjecture importante de liberté de BMR. Il est connu que cette dernière conjecture est vraie sauf pour 16 cas qui concernent presque tous les groupes exceptionnels de rang 2. Ces derniers se plongent dans 3 familles : tétraédrale, octaédrale et icosaédrale. On va expliquer comment on a prouvé la conjecture de liberté de BMR pour les groupes exceptionnels appartenant aux deux premières familles et on va donner une jolie description de la base, ce qui est similaire au cas classique d’ un groupe de Coxeter fini.

11 mai 2016
Götz Pfeiffer (Galway) : Double Burnside Rings of Small Groups.

Résumé : The double Burnside ring B(G,G) of a finite group G
is the Grothendieck ring of the category of finite
(G,G)-bisets with respect to disjoint union and
tensor products over G. In contrast to the (ordinary)
Burnside ring B(G), the double Burnside ring, in general,
is not commutative, and the algebra Q B(G,G) is not
semi-simple. In this talk I will discuss some recently
developed tools that allow an explicit construction of
the algebra $Q B(G,G), as a matrix algebra of relatively
small dimension, for some groups G of modest size. This work
in progress is joint work with B. Masterson and S. Park.

18 mai 2016
Patrick Dehornoy (Caen) : Réduction des multifractions pour les groupes d’Artin-Tits

Résumé : Un résultat classique de O. Ore affirme que, si M est un monoïde simplifiable dans lequel deux éléments quelconques admettent un plus petit commun multiple, alors tout élément du groupe enveloppant U(M) de M peut être représenté de façon unique comme une fraction irréductible sur M. On étend ce résultat en affaiblissant la condition sur l’existence des multiples communs, au prix de considérer des sortes de fractions itérées ("multifractions"). Lorsque le monoïde de base M admet une famille de Garside finie, ceci mène à un algorithme d’un type nouveau (mais reminiscent de l’algorithme de Dehn pour les groupes hyperboliques) pour le problème de mot du groupe U(M). Cette méthode est en défaut pour certains monoïdes, mais on conjecture qu’elle s’applique à tous les monoïdes d’Artin-Tits.

25 mai 2016
Julien Hauseux (King’s College, Londres) : Induction parabolique et extensions.

Résumé : Soit G un groupe réductif p-adique. L’étude des représentations lisses admissibles de G sur un corps de caractéristique p est fortement motivée par la recherche d’une possible correspondance de Langlands modulo p. Il est attendu que les représentations apparaissant dans une telle correspondance possèdent de nombreux constituants irréductibles, d’où l’intérêt d’étudier les extensions entre ces derniers. Dans cet exposé, nous expliquons le lien entre l’induction parabolique (qui permet de construire des représentations de G à partir de représentations de ses sous-groupes de Levi) et la formation des extensions. Plus précisément, nous déterminons les extensions entre induites paraboliques de G en termes d’extensions entre représentations de ses sous-groupes de Levi et d’induction parabolique. Pour cela, nous calculons le delta-foncteur des parties ordinaires dérivées d’Emerton sur un induite parabolique de G.

1 juin 2016
Jacques Thévenaz (EPFL, Lausanne) : Modules endo-triviaux et homomorphismes faibles

Résumé : Parmi les représentations d’un groupe fini G en caractéristique p, les modules endo-triviaux jouent un rôle important. Il sont classifiés dans le cas d’un p-groupe, mais seuls des résultats partiels sont connus en général. Les classes d’équivalence de modules endo-triviaux pour le groupe G forment un groupe abélien T(G) dont on cherche la structure. Si P est un p-sous-groupe de Sylow de G,
la structure de T(P) est connue et on définit K(G) comme le noyau de la restriction de T(G) à T(P). On sait que K(G) est un groupe abélien fini, qu’on cherche à
déterminer. Un résultat récent de Balmer établit un isomorphisme entre K(G) et le groupe A(G) de tous les P-homomorphismes faibles de G dans k*. L’exposé donnera une introduction au sujet, ainsi que quelques résultats sur la structure de K(G).

8 juin 2016
Mathieu Klimczak (Lille) : Structures de Hodge mixtes sur les espaces d’intersection.

Résumé : Dès le départ, Poincaré savait que sa "dualité de Poincaré" ne marchait que sur des variétés, il a même donné un contre exemple a son théorème : la suspension du tore.
Depuis, on sait qu’il y a au moins deux façon de restaurer la dualité de Poincaré sur les espaces dits singuliers :
- Comme un faisceau auto-dual (au sens de Verdier) ou comme une cohomologie auto-duale. C’est ce qui a donné naissance à l’homologie d’intersection.
- Comme une spatialisation : étant donné un espace singulier X, on essaye de lui associer un nouvel espace X_DP vérifiant la dualité de Poincaré. Cette idée est à l’origine des espaces d’intersection.

Cet exposé va se concentrer sur la deuxième solution. Etant donné une pseudovariété X à singularités isolées et dont les entrelacs sont simplement connexes (termes que l’on définira), il est possible de lui assigner une famille d’espaces topologiques I^pX, indexés sur un nombre fini d’entiers p, que l’on appelle les espaces d’intersection p-pervers associés à X. Plus particulièrement, on se concentrera sur le cas où X est une variété algébrique complexe projective à singularités isolées. De par leur méthode de construction les espaces d’intersections ne sont pas des variétés algébriques, même si X l’est, pourtant des résultats récents montrent qu’ils possèdent une propriété particulièrement intéressante des variétés algébriques : pour un certain entier, que l’on appelle la perversité milieu, ces espaces possèdent une structure de Hodge mixte. Une question naturelle se pose alors, peut on définir une structure de Hodge mixte canonique sur TOUTE la famille des espaces d’intersections ? Via des techniques d’homotopie rationnelle nous montrerons que c’est le cas et nous en déduirons des résultats de formalité sur ces espaces. Ces espaces founissent alors des exemples d’espaces topologiques qui ne sont ni des variétés algébriques ni des variétés complexes mais qui pourtant possède une structure de Hodge mixte.

15 juin 2016
Pas de séance : journée du labo.


22 juin 2016
Manuel Saorín Castaño (Murcia) : La théorie "silting" et sa relation avec la condition modulaire du coeur d’une t-structure

Résumé : La notion de t-structure dans une catégorie triangulée a été introduite par Beilinson, Bernstein and Deligne dans leur étude de la perversité des faisceaux quasi-cohérents sur une variété algébrique ou analytique. Elle consiste en la donné d’un couple $(\mathcalU,\mathcalV)$ de sous-catégories de la catégorie triangulée $\mathcalD$ où on travaille, avec certains axiomes qui garantissent que l’intersection $\mathcalH=\mathcalU\cap\mathcalV$, appelé le coeur de la t-structure, est une catégorie abélienne et qu’on a un foncteur cohomologique sous-jacent $H :\mathcalD\longrightarrow\mathcalH$. Dès le début il y a eu un intérêt à trouver des conditions nécessaires et suffisantes (sur la catégorie $\mathcalD$ et sur la t-structure elle-même) pour que ce coeur soit une ’bonne’ catégorie abélienne, par exemple, une catégorie de Grothendieck ou une catégorie de modules.

De l’autre côté il y a eu récemment un développement rapide de la théorie "silting". C’est une théorie qui étend la théorie classique de basculement (tilting theory) et dont la motivation initiale a été la fermeture par mutation de la classe des objets inclinés dans une catégorie triangulé ’compacte’ et, par conséquence, son application à la catégorification des mutations dans les algèbres amassées.

Dans cet exposé, nous montrerons comme une extension de la théorie "silting" au-delà du contexte compact nous permet d’étudier le problème de la condition modulaire ou Grothendieck du coeur d’une t-structure dans une catégorie triangulée avec des coproduits arbitraires.

Année 2014-2015

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Année 2013-2014

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