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Colloquium 2015-2016

par Laurent Renault - publié le

  • 1er juin 2016 : Jacques Thevenaz (EPFL)

Titre : Représentations linéaires d’ensembles finis

Résumé : Une correspondance entre deux ensembles finis X et Y est un sous-ensemble de X x Y. On peut définir aisément la composition de correspondances.
Une représentation linéaire de tous les ensembles finis est la donnée de :
- un espace vectoriel F(X) pour chaque ensemble fini X ;
- une application linéaire F(U) de F(X) vers F(Y), pour chaque X, chaque Y et chaque correspondance U entre X et Y ;
- la condition que ces applications se comportent bien pour la composition des correspondances.
Une telle donnée, notée simplement F, est à la fois très élémentaire et très riche. A défaut de pouvoir les classer toutes, on peut décrire au moins toutes les représentations linéaires S qui sont simples, c’est-à-dire sans aucune sous-représentation autre que 0.
L’exposé donnera une introduction au sujet, ainsi que quelques résultats sur les représentations simples S, en particulier la dimension de chaque espace vectoriel S(X). Il s’agit d’un travail commun avec Serge Bouc.

  • 27 avril 2016 : Frédéric Bayart (Clermont-Ferrand)

Titre : Ensembles de divergences de séries de Fourier.

Résumé : Depuis l’exemple de Du Bois Reymond, on sait que la série de Fourier d’une fonction même continue peut diverger en certains points. En revanche, le célèbre théorème de Carleson affirme que, si une fonction est de carré intégrable, sa série de Fourier converge presque partout. Nous nous intéressons aux ensembles de divergence de ces séries. À quelle vitesse la série peut-elle diverger ? Comment mesurer la taille des ensembles où la série diverge à une vitesse donnée ? Nous verrons que des réponses à ces questions peuvent être apportées dans un cadre général, mais que des difficultés supplémentaires apparaissent pour les séries de Fourier.

  • 23 mars 2016 : Christine Lescop (Grenoble)

Titre : Sur des invariants d’entrelacs et de variétés de dimension trois obtenus en comptant des configurations de graphes.

Résumé : Nous allons voir comment compter des configurations de graphes dans les variétés de dimension 3 pour obtenir des invariants de noeuds, entrelacs et variétés de dimension 3, en suivant Gauss (1833) et, plus récemment, Witten, Bar-Natan, Kontsevich et bien d’autres.
Nous commencerons par étudier plusieurs définitions équivalentes du nombre d’enlacements, qui est le plus simple des invariants obtenus, avant de survoler des constructions plus générales.

  • 3 février 2016 : Bertrand Maury (Paris-Orsay)

Titre : Modèles mathématiques de mouvement de foules.

Résumé : La modélisation de systèmes de particules en interaction a suscité une somme considérable de travaux de recherche, et constitue encore aujourd’hui une source de problèmes ouverts ou imparfaitement compris. Récemment, physiciens et mathématiciens ont exploré l’idée que des modèles analogues pouvaient être susceptibles de représenter le mouvement de foules humaines. Le point de départ de la plupart de ces modèles est la prise en compte de deux phénomènes : chaque individu tend à réaliser un projet personnel (comme de sortir au plus vite d’un bâtiment dans le cas d’une évacuation d’urgence), tout en adaptant son comportement à la présence des individus alentour, de façon volontaire (tendances sociales), ou subie (contact physique avec les voisins).

Nous proposons de présenter quelques aspects de cette démarche, en détaillant en particulier les modèles de type « flot de gradient », basés sur la considération que la foule peut être vue comme une entité unique qui cherche à minimiser son insatisfaction globale. Cette approche, développée dans un cadre microscopique, nécessite l’utilisation d’outils récents d’analyse convexe, et permet de reproduire des phénomènes non triviaux observés en pratique. Nous montrons comment l’extension de la démarche au cadre macroscopique (foule représentée par une densité diffuse) rentre assez naturellement dans le cadre des flot-gradient dans l’espace de Wasserstein (basée sur la distance issue du transport optimal).

  • 20 janvier 2016 : Lionel Schwartz (Paris 13)

Titre : Propriétés de finitude pour les représentations génériques.

Résumé : Soient G_n\subset G_n+1 une suite de groupes finis emboités les uns dans les autres : par exemple les groupes symétriques ou les groupes linéaires d’un corps fini k : GL_n(k). Une représentation générique de cette famille de groupes est la donnée d’une suite de représentations R_n "cohérentes" par restriction de G_n+1 à G_n. Le cas le plus simple est la représentation triviale de dimension 1 de chaque G_n, puis la représentation standard k^n de GL_n(k). Un autre exemple est donné de la manière suivante : on fixe un entier d ; et étant donné un espace vectoriel V on considère le k-espace vectoriel de base V^\oplus d : P_d(V)=k[V^\oplus d]. Ceci fournit une représentation de GL(V) et donne lieu à une représentation générique des groupes linéaires.
Une question, paradoxalement issue de la topologie algébrique, est de savoir si les sous-représentations des P_d sont finiments engendrées. La réponse positive, et d’une approche simple, est venue par des méthodes (proches de l’informatique) combinatoires par Sam et Snowden et une utilisation des bases de Gröbner.
On donnera le contexte et les grandes lignes de la preuve, et des directions pour les applications.

  • 2 décembre 2015 : Gilles Godefroy (Paris-UPMC)

Titre : Espaces de Banach libres.

Résumé : Soit M un espace métrique. On peut associer à M un espace de Banach F(M), appelé l’espace libre sur M, qui jouit de bonnes propriétés fonctorielles : en effet, l’espace libre sur M contient une copie isométrique de M, et toute application Lipschitzienne entre espaces métriques se prolonge uniquement en une application linéaire continue entre leurs espaces libres. Ces espaces simples à définir, qui permettent donc de linéariser les applications Lipschitziennes, ont une structure assez délicate qui fait l’objet de travaux récents. Nous examinerons quelques-uns d’entre eux, qui concernent en particulier la propriété d’approximation, au sens de Grothendieck.

  • 18 novembre 2015 : Olivier Glass (Paris-Dauphine)

Titre : Autour de l’équation d’Euler des fluides parfaits incompressibles.

Résumé : L’équation d’Euler est une équation fondamentale de la mécanique des fluides. Elle décrit l’évolution d’un fluide incompressible sans viscosité. Plus de 250 ans après l’article original d’Euler, elle laisse encore beaucoup de questions ouvertes. Nous décrirons quelques travaux fondamentaux concernant cette équation, et évoquerons quelques questions plus récentes.

  • 14 octobre 2015 : Antoine Ayache (Lille)

Titre : Fonctions aléatoires erratiques : le concept de non-déterminisme local
et l’exemple du champ fractionnaire stable harmonisable

Résumé : En général, établir la nulle-part différentiabilité d’une fonction n’est pas un problème trivial ; on doit même parfois faire face à des difficultés sérieuses. L’objectif de cet exposé est de décrire une stratégie générale, reposant sur l’analyse de Fourier, qui permet de montrer que la trajectoire typique d’un champ aléatoire est partout irrégulière (nulle-part différentiable entre autres).
D’abord, on présente la notion de "temps local" (autrement dit "le temps de séjour d’une trajectoire en un point") qui a été introduite par Paul Lévy, dans le cadre de ses travaux pionniers sur le "mouvement brownien". Ensuite, on expose le principe fondamental de Simeon M. Berman permettant de ramener le
problème de l’étude de l’irrégularité trajectorielle d’un champ, à celui de l’étude de la régularité du "temps local" associé. Puis, on rattache ce dernier problème à la propriété dite "non-déterminisme local", qui généralise, de façon souple, la propriété "d’indépendance des accroissements" d’un processus stochastique. Enfin, on donne les principales idées de la démonstration permettant d’établir le "non-déterminisme local" du "champ fractionnaire stable harmonisable". Signalons que ce champ est, dans le cadre des lois de probabilité à queue lourde, l’une des généralisations les plus classiques des "mouvements browniens et browniens fractionnaires". Signalons aussi que l’une des principales difficultés de cette démonstration est l’absence de l’inégalité de Hölder dans les espaces L^p, lorsque l’indice p est strictement plus petit que 1.

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