Alexander ZIMMERMANN LAMFA Faculté de Mathématiques et d’Informatique Université de Picardie Jules Verne 33, rue Saint Leu 80039 Amiens CEDEX 01 courrier électronique : Alexander.Zimmermann@u-picardie.fr

Résumé des travaux

Introduction

Les travaux de recherche résumés ici constituent des approches aux solutions des problèmes suivants :

1. – Etant donnés deux groupes G et H non isomorphes, peuvent-ils avoir des anneaux

de groupes sur les entiers relatifs ℤG et ℤH isomorphes ?

– L’étude des automorphismes d’un anneau de groupe ℤG sur les entiers relatifs pour un groupe fini G.

– L’étude de la structure des groupes d’unités d’un anneau de groupe ℤG sur les

entiers relatifs pour un groupe fini G.

2. – La définition et l’étude du groupe de Picard d’une catégorie de modules dérivée.

– L’étude des anneaux A et B ayant des catégories dérivées équivalentes en tant que catégories triangulées.

– Etant donné un anneau A, développer des méthodes pour trouver des anneaux B tels que les catégories dérivées de A et de B soient équivalentes en tant que catégories triangulées.

– La construction explicite des foncteurs qui induisent une équivalence entre des

catégories dérivées de deux anneaux.

3. Soient G un groupe fini, H un sous-groupe du groupe d’automorphismes de G et R

un anneau muni d’une structure de G-module trivial.

– Y-a-t’il un p-groupe G possédant un automorphisme α extérieur induisant l’identité sur la cohomologie de groupe H^{∗}(G, R).

– Quelle est la structure de l’anneau de cohomologie H^{∗}(G, R) en tant que RHmodule ?

A première vue il semble que ces trois thèmes de recherche ne sont pas très liés l’un à l’autre, mais on trouvera dans ce resumé les idées communes, les questions et méthodes qui conduisent de façon naturelle d’un point au suivant ce qui fera le lien entre les recherches citées ci-dessus.

1 Représentations de groupes finis sur les nombres entiers relatifs

1.1 Le problème d’isomorphisme

La question naturelle

ℤG ≃ ℤH ⟹ G ≃ H ?

figure comme problème 2 dans la liste de problèmes en théorie des représentations des groupes finis établie en 1963 par R. Brauer [Bra-63].

Ma thèse de “Diplom” [RogZi-92, Zi-92b] discute ce problème et j’ai trouvé une réponse positive (dans laquelle le point d’interrogation devient un point d’exclamation) pour un certain type de groupes. Il s’agit des extensions par un groupe abélien d’un produit direct G de groupes résolubles G_{i}, d’ordre premiers entre eux avec certaines restrictions concernant l’ordre de A en rélation avec la structure de sous groupes distingués des G_{i}.

Cela est une généralisation d’un théorème de Roggenkamp et Scott démontrant cet énoncé pour G nilpotent.

1.2 Automorphismes

Le problème d’isomorphisme est étroitement lié aux automorphismes de l’anneau de groupe. H. Zassenhaus a conjecturé que si H est un sous-groupe fini d’unités de ℤG du même ordre que G, tel que la somme des coefficients des éléments de H est 1, alors il existe un élément u ∈ ℤG qui est inversible dans ℚG tel que uGu^{−1} = H. Cela implique que tout automorphisme α de ℤG préservant la représentation triviale de G, s’écrit comme produit α = γρ pour un automorphisme de groupe ρ de G et un automorphisme γ qui est intérieur dans ℚG. Ces idées sont à la source de toute une théorie et une grande partie des progrès sur le problème d’isomorphisme leurs est due.

Un raffinement de cette observation est le thème principal de l’article [RogZi-95]. On regarde un groupe fini G et on se demande si un automorphisme α de G peut induire un automorphisme α′ de ℤG qui est intérieur, bien que l’automorphisme α ne le soit pas.

Un argument simple montre que dans ce cas là l’automorphisme α de G, qui induit un automorphisme α^{∗} de l’anneau de cohomologie H^{∗}(G, ℤ), puisque H^{∗}(−, ℤ) est un foncteur, vérifie α^{∗} = id. L’existence d’un tel automorphisme était une question de Jackowski et Marciniak [JaMa-87].

Nous avons procédé d’abord localement. A l’aide d’un groupe d’ordre 64 qui admet un automorphisme presque intérieur (c.-à-d. qui stabilise chaque classe de conjugaison) on construit un groupe G et un automorphisme α non intérieur qui induit des automorphismes intérieurs α′_{p} dans chaque anneau de groupe ℤ_{p}G; où ℤ_{p} est l’anneau des entiers p-adiques, p étant un nombre premier et α′ de ℤG. On utilise ensuite un théorème de A. Fröhlich [Fr-73] qui permet d’identifier α′_{p} comme localisation d’une auto-équivalence de la catégorie ℤG-mod, la catégorie des ℤG-modules. Puisque les α′_{p} sont intérieurs, ils représentent l’autoéquivalence “identité” sur la catégorie ℤ_{p}G-mod, et donc, vérifier que l’automorphisme α′ est intérieur revient à prouver que l’auto-équivalence définie ci-dessus est l’identité. Le théorème de Fröhlich identifie ces auto-équivalences avec un certain groupe de classes du centre de ℤG. Un théorème de Jacobinski [Jaco-68] (qui est l’adaption du résultat analogue de la théorie des corps de classes à la situation des ordres non-commutatifs) permet de montrer l’existence d’un anneau d’entiers R d’un corps global de caractéristique 0 de telle façon que α′ étendu à RG devient intérieur. Il est facile de construire à partir de cela deux groupes G_{1} et G_{2} infinis non isomorphes mais tels que RG_{1} ≃ RG_{2} [RogZi-95a].

Comme la demonstration n’est pas constructive, il semble difficile de décider si α′ est déjà intérieur.

Martin Hertweck a réussi non seulement à raffiner la construction ci-dessus pour qu’on puisse resoudre cette question, mais aussi à construire deux groupes G_{1} et G_{2} finis non isomorphes avec ℤG_{1} ≃ ℤG_{2} [He-97].

1.3 Le groupe d’unités d’un anneau de groupe sur les entiers

Dans ma thèse [Zi-92, Zi-92a, Zi-95] j’ai cherché à classifier les unités d’ordre fini d’un anneau de groupe ℤG pour certains classes de groupes G. Il y a très peu d’exemples et pour ces unités il n’y a presque pas de méthodes générales. Une méthode développé par K. W. Roggenkamp et L. L. Scott permet de compter les classes de conjugaison de telles unités. Le thème général ici est de nouveau le groupe de Picard des auto-équivalences des catégories de modules.

Une généralisation de la théorie de Fröhlich citée ci-dessus permet de calculer les classes de conjugaison d’unités d’ordre fini de ℤG à l’aide du calcul d’un certain groupe de classes d’un ordre, cette fois éventuellement non-commutatif. Le rapport entre les différentes classes de conjugaison, se détermine par les rapports entre les différents groupes de classes.

Comme ℤG est au fond un objet arithmétique, le résultat fait appel à plusieurs propriétés de certains corps de nombres. Il est donc peu étonnant qu’on puisse obtenir à l’aide de cette méthode une relation entre des propriétés arithmétiques (certains nombres de classes de corps de nombres) et des propriétés algébriques concernant la structure des unités d’un anneau de groupe.

Dans [Zi-95, Zi-93] le cas d’un 2-groupe G diédral et semidiédral est discuté ; on prouve qu’un certain élément exotique dans le groupe d’unités de ℤG existe si et seulement si une conjecture de Cohen sur la trivialité d’un groupe de classes d’un corps cyclique est vraie. Dans le cas semidiédral on sait que le groupe de classes correspondant n’est pas trivial. En effet dans une suite de Mayer-Vietoris le K_{1} de ces ordres donne un idéal autre que le module libre dans le groupe de classes, et on peut déduire qu’un tel élément exotique existe. Le cas semidiédral se trouve pour la première fois dans [Zi-93] et est généralisé dans [Zi-95]. L’article [Zi-93] et la dernière partie de [Zi-95] ne font pas partie de la thèse [Zi-92].

Dans [Zi-96] le cas d’un groupe diédral d’indice premier est traité. On aboutit à certains propriétés qui lient encore plus des invariants arithmétiques, concernants notamment des nombres premiers, et des questions algébriques de classes de conjugaison dans l’anneau de groupe. Ces résultats indiquent que des énoncés généraux pour une grande classe de groupes doivent mettre en évidence plusieurs propriétés des nombres premiers, jusqu’à maintenant non démontrées, comme par exemple l’existence d’une infinité de nombres premiers réguliers. Le contenu de [Zi-96] va au-delà de la thèse, mais les premiers résultats sont déjà inclus dans [Zi-92].

2 Catégories dérivées

2.1 Auto-équivalences des catégories dérivées

Les méthodes que j’ai utilisées dans les travaux concernants la théorie des représentations des groupes finis sur un anneau de Dedekind font presque toujours appel aux équivalences et auto-équivalences des catégories de modules, ainsi qu’aux généralisations de celles-ci. Après avoir assisté à une série d’exposés de Michel Broué et d’un exposé de Raphaël Rouquier à Galway, Irlande, en 1993, où ils ont exposé la théorie de Jeremy Rickard [Ri-89, Ri-91] sur les équivalences entre des catégories dérivées, je m’ai posé la question de l’unicité d’une telle équivalence, lorsqu’elle existe. Cette unicité est mésuré, comme on voit facilement, par des auto-équivalences de la catégorie dérivée. L’objet à définir et à discuter est le groupe T rP ic(Λ) pour un ordre Λ [RouZi-98]. Il est évident que T rP ic(Λ) est un groupe contenant P ic(Λ), le groupe de Picard de A. Fröhlich [Fr-73].

Le projet avec Raphaël Rouquier d’étudier le groupe ainsi défini a donné lieu à plusieurs propriétés intéressantes des catégories dérivées. Il faut considérer les auto-équivalences dites de type standard (une équivalence entre deux catégories dérivées est de type standard si elle est induite par un produit tensoriel dérivé à gauche) au lieu des auto-équivalences en général pour obtenir une théorie satisfaisante. A ce jour, nous ne savons pas s’il existe des équivalences qui ne soient pas de type standard.

Comme le groupe T rP ic(Λ) est un invariant de la catégorie dérivée D^{b}(Λ), il se peut que dans un avenir pas trop éloigné on découvre à l’aide de T rP ic(Λ) une équivalence nonstandard. En effet, si on peut déterminer le carquois d’Auslander-Reiten d’une catégorie dérivée on peut, au moins en principe, déterminer les auto-équivalences d’une catégorie dérivée, de type standard ou non. Le calcul de T rP ic(Λ) et la comparaison entre les deux pourrait mener à un exemple.

Pour l’instant nous avons pu prouver que dans un certain nombre de cas le groupe T rP ic(Λ) ne se distingue guère de P ic(Λ) ; ils sont égaux à un facteur trivial près. En effet, supposons que Λ soit indécomposable en tant qu’anneau. Le décalage de degrés dans la catégorie dérivée donne lieu à un sous-groupe central cyclique infini < [1] > de T rP ic(Λ). Si Λ est un R-ordre commutatif ou bien local ou bien héréditaire, alors T rP ic(Λ) est isomorphe à un produit de P ic(Λ) et ce facteur direct “décalage de degrés”.

Il est possible de définir des sous-groupes T rP icent(Λ) et T rI(Λ) de T rP ic(Λ) qui généralisent les sous-groupes P icent(Λ) et I(Λ) de P ic(Λ). Ceci n’est pas trivial car Λ n’est pas forcément projectif en tant que module sur son centre et la théorie de Jeremy Rickard ne marche bien que si Λ est une R-algèbre pour un anneau commutatif R telle quel Λ est projectif en tant que R-module. Même les améliorations et généralisations apportées par Bernhard Keller [Ke-93] à la théorie de Rickard supposent que Λ soit plat en tant que Rmodule. Dans [Fr-73] le groupe P icent(Λ) est le centre d’intéret puisque P ic(Λ) est une extension de celui-ci par un sous-groupe d’automorphismes du centre de Λ. Le morphisme P ic(Λ) ⟶ Aut(Z(Λ)) factorise par le plongement de P ic(Λ) dans T rP ic(Λ) et on définit T rP icent(Λ) comme noyau. Une grande partie des résultats concernant P icent(Λ) peut être généralisée à T rP icent(Λ).

Plus intéressant encore est le calcul des exemples concrets où l’on voit qu’en général T rP ic(Λ) est un groupe bien plus riche que P ic(Λ). Du Point de vue théorie des groupes les anneaux les plus simples sont les blocs des anneaux de groupes à défaut cyclique. Ces anneaux ont une structure relativement simple, les séries de composition des modules projectifs indécomposables étant déterminées par un algorithme simple à base d’un graphe appelé“arbre de Brauer”. Modulo le radical de l’anneau de base, il n’y a qu’un nombre fini de modules indécomposables. De façon abstraite on peut définir une algèbre d’arbre de Brauer, et ordre de Green qui remplacent le bloc de kG et RG à défaut cyclique. Deux algèbres d’arbre de Brauer avec deux “arbres de Brauer” qui ont le même nombre d’arêtes et de sommets ainsi que les mêmes multiplicités exceptionnelles sur les mêmes corps de base ont des catégories dérivées équivalentes. De même, deux ordres de Green sur le même anneau de base et avec les mêmes données combinatoires (définies de façon analogue à ce qu’on définit à ce sujet pour les algèbres d’arbre de Brauer) ont des catégories dérivées équivalentes [Zi-96a]. Il est naturel d’essayer ce cas en premier lieu.

Soit Λ_{n} un R-ordre de Green sans sommet exceptionnel avec n arêtes et n + 1 sommets. On définit n éléments de T rP ic_{R}(Λ) qui vérifient les relations de tresses. La démonstration consiste à calculer l’image des modules indécomposables projectifs, et à montrer que cela suffit pour avoir l’égalité des équivalences dérivées apparaissant dans les relations à vérifier. Essentiellement il s’agit d’une caractérisation d’automorphismes de ces algèbres/ordres.

Dans une discussion beaucoup plus détaillée utilisant l’isomorphisme bien connu entre P SL_{2}(ℤ) et B_{3}/Z(B_{3}), le groupe de tresses à 3 brins modulo son centre, on démontre que

T rP ic(Λ_{2})/ < [1] >≃ B_{3}/Z(B_{3}) ≃ P SL_{2}(ℤ)

De plus, les matrices de P SL_{2}(ℤ) ont une interprétation très simple en termes d’images des modules projectifs indécomposables de Λ_{2}. On voit que T rP icent(Λ_{2})/ < [1] > est le sous-groupe de congruence de niveau 2 et que T rI(Λ_{2}) est libre non abélien.

Quelques notations ; complexes basculants

Il s’avère commode d’introduire quelques notations utilisées dans la théorie des équivalences entre des catégories dérivées.

– Soient A et B deux anneaux. Si F : D^{b}(B) ⟶ D^{b}(A) est une équivalence qu’on suppose toujours être une équivalence des catégories triangulées, alors l’image T du B-module libre de rang 1 sous F est isomorphe à un complexe borné de A-modules projectifs de type fini tel que RHom_{D^{b}(A)}(T, T) ≃ B en tant qu’algèbre différentielle graduée. De plus, la catégorie triangulée engendrée par add(T) contient A. Un tel complexe T est dit complexe basculant unilatère. L’existence d’un complexe basculant unilatère avec anneau d’endomorphismes B est équivalent à l’existence d’une équivalence entre D^{b}(A) et D^{b}(B) [Ri-89] (voir également [KöZi-98]).

– Soit R un anneau commutatif et soient A et B deux R-algèbres. Un complexe X dans D^{b}(B ⊗_{R} A^{op}) induit un foncteur

F_{X} := X⊗_{A}^{𝕃} : D^{b}(A) ⟶ D^{b}(B) .

Si F_{X} est une équivalence, X est dit un complexe basculant bilatère. L’existence de X est montré par Rickard [Ri-91] si A et B sont des R-algèbres projectives en tant que R-modules et si D^{b}(A) et D^{b}(B) sont équivalentes. Keller [Ke-93] a montré ce résultat en supposant seulement que B est plat en tant que R-module. On voit facilement sous les hypothèses du théorème de Rickard qu’un complexe basculant bilatère X est un complexe basculant unilatère dans D^{b}(B) et dans D^{b}(A^{op}). Une équivalence entre des catégories dérivées induite par un complexe basculant bilatère est dite de type standard.

Trouver des complexes basculants unilatères n’est pas difficile en général, cependant trouver un complexe basculant unilatère avec un anneau d’endomorphismes bien précis donné à priori est très difficile en général. La donné d’un complexe basculant unilatère T sur A ne décrit pas une équivalence entre les catégories dérivées de A et de End_{D^{b}(A)}(T) de façon explicite. Un complexe basculant unilatère ne prouve que l’existence d’une équivalence. Néanmoins, Keller montre [Ke-93] qu’il existe pour tout complexe basculant unilatère T dans D^{b}(A) avec anneau d’endomorphismes B un complexe basculant bilatère X dans D^{b}(A ⊗_{R} B^{op}) isomorphe à T dans D^{b}(A) si A est plat sur R. La construction de X de manière explicite à base de T est très difficile en général. De même, trouver tous les complexes basculants unilatères T sur un anneau donné A est très difficile en général. Deux complexes basculants bilatères X et Y dans D^{b}(A ⊗_{R} B^{op}) avec X ≃ Y dans D^{b}(A) se distingent par un élément dans Aut_{R}(B) si A et B sont projectifs en tant que R-modules.

Une équivalence entre deux catégories dérivées des catégories de modules des anneaux A et B induit des liens étroits entre plusieurs invariants des anneaux A et B : Les groupes de Grothendieck sont isomorphes (et l’isomorphisme est explicite à partir d’un complexe basculant bilatère), les anneaux d’homologie et de cohomologie de Hochschild sont isomorphes, la K-théorie de ces anneaux est la même, les homologies cycliques sont isomorphes, les catégories stables sont isomorphes, et beaucoup d’autres. Pour les démonstrations et une liste plus étendue consulter [KöZi-98]. Si l’on connait le complexe basculant bilatère on arrive à expliciter plusieurs de ces liens, notamment l’isomorphisme entre les groupes de Grothendieck. Cela est d’une importance fondamentale pour la conjecture de Broué : Broué conjecture qu’étant donnés deux groupes finis G et H, un anneau de valuation discrète R complet de caractéristique 0, un bloc B_{G} de RG et B_{H} de RH avec des groupes de défaut D_{G} et D_{H}, tel que N_{G}(D_{G}) ≃ N_{H}(D_{H}), tels que B_{G} et B_{H} ont les mêmes correspondants de Brauer, alors les catégories dérivées de B_{G} et de B_{H} sont équivalentes. Cela implique entre autres une relation très intime entre les tables de caractères de B_{G} et de B_{H}, une “isométrie parfaite” [Bro-90]. Des conséquences et des démonstations sont exposés dans [KöZi-98, Chapitre 4.2.2 et 6.6.3].

2.2 Équivalences dérivées ; l’exemple d’un ordre héréditaire

Entrant dans un territoir inconnu, la première chose à entreprendre est de commencer à accumuler un ensemble d’exemples sur lesquels on arrive à vérifier un grand nombre de propriétés donnant une idée du type de lois qui règnent dans ce territoir. Dans [KöZi-96] le cas d’un ordre héréditaire est discuté. Soit Λ un R-ordre héréditaire indécomposable pour un anneau de valuation discrète complet. La structure de ces anneaux est complètement connue. Il est donc naturel d’essayer de classifier les anneaux qui ont une catégorie dérivée équivalente à celle de Λ. De plus, la théorie des algèbres artiniennes considère les algèbres héréditaires de dimension finie comme le cas le plus simple, donc celui à résoudre en premier lieu. Les catégories dérivées de ces algèbres sont particulièrement simples à décrire : le carquois d’Auslander-Reiten de la catégorie de ces algèbres est simplement une réunion d’un nombre dénombrable de copies du carquois d’Auslander-Reiten de la catégorie de modules, où deux copies voisines sont liées par les Ext^{1}(−, −) de leurs objets indécomposables. La situation dans le cas d’un ordre héréditaire est analogue.

La classification de tous les anneaux A ayant une catégorie dérivée équivalente à la catégorie dérivée d’un ordre héréditaire nécessite l’introduction de certaines données combinatoires vérifiant un système d’axiomes. Il se trouve qu’il n’y a qu’un nombre fini de tels anneaux A et il se trouve de plus que si il y a une équivalence entre les deux catégories dérivées d’un tel ordre héréditaire et d’une algèbre A comme ci-dessus, alors il n’y a qu’un seul complexe basculant unilatère possible. On voit en plus que la seule algèbre A possible, qui est de nouveau un ordre, est l’ordre héréditaire du départ. Ceci prouve que T rP ic(Λ) = C_{∞} × P ic_{R}(Λ). Ici, P ic_{R}(Λ) est connu et s’exprime à l’aide de certains indices de ramification des corps gauches qui interviennent dans le théorème principal sur la structure des ordres héréditaires. Par conséquent, on connaît toutes les équivalences de type standard entre Λ et un A : il s’agit de l’équivalence donnée, modifiée par un décalage de degrés et une auto-équivalence de Λ−mod. A l’exception des algèbres d’arbre de Brauer, où Rickard a procédé à une classification à l’aide d’un théorème profond de Gabriel et Riedtmann, et des cas triviaux, c’est la première fois que l’on peut déterminer la totalité des anneaux possédant une catégorie dérivée équivalente à une catégorie dérivée donnée.

Comme le produit tensoriel dérivé à gauche n’est pas associatif, il reste la question de déterminer les équivalences de type standard entre deux A_{1} et A_{2} ayant des catégories dérivées équivalentes à la catégorie dérivée d’un ordre héréditaire Λ commun.

Inutile de remarquer qu’on souhaite rester dans le monde des ordres. L’exemple des ordres héréditaires montre qu’il faut se ramener aux ordres avec une structure supplémentaire. Dans [Zi-98] j’ai pu montrer qu’un anneau A ayant une catégorie dérivée équivalente à celle d’un ordre symétrique est lui-même un ordre symétrique. En effet, si le R-dual d’une R-algèbre A qui est plat en tant que R-module est isomorphe à A en tant que bimodule, et si de plus A et la R-algèbre B ont des catégories dérivées équivalentes, alors on a aussi B ≃ Hom_{R}(B, R). On utilise pour cette propriété la généralisation du théorème principal de Rickard par Keller [Ke-93]. Un argument de rang montre que cela implique que B est aussi un ordre. La question m’a été posée par K. W. Roggenkamp en 1994 lors d’un exposé sur [KöZi-96] et à l’époque je ne pouvais pas répondre à cette question.

Il semble donc que les ordres symétriques sont les ordres bien adaptés à ce genre de questions.

2.3 Les équivalences dérivées pour des ordres de Gorenstein

Nous avons vu que les ordres généraux ne sont pas bien adaptés à létude des équivalences dérivées. On se ramène aux ordres symétriques ou au moins aux ordres de Gorenstein.

Soit R un anneau de Dedekind et soit Λ un R-ordre de Gorenstein. Bien souvent on rencontre en pratique des équivalences dérivées où le complexe basculant unilatère associé est concentré en deux degrés i et i + 1 seulement.

Supposons de plus que l’homologie de ce complexe basculant unilatère est un réseau, et supposons qu’il n’y a pas de morphismes entre l’homologie en degré i et le module projectif qui apparaît en degré i + 1. Alors l’anneau B est de nouveau un R-ordre et les propriétés sont facilement déductibles à partir de l’anneau Λ et de l’homologie du complexe basculant unilatère dans la catégorie dérivée de Λ. En effet c’est un produit fibré des anneaux d’endomorphismes des homologies décrites ci-dessus.

Les résultats restent vrais si l’on remplace Λ par une algèbre auto-injective. Ceci est développé dans [KöZi-97]. Une extension de la partie concernant les algèbres auto-injectives se trouve dans [KöZi-98, Chapitre 5.1]. Là on s’occupe surtout d’une asymétrie dans la partie correspondante de [KöZi-97]. Le produit fibré n’est valable que pour des ordres de Gorenstein. Néanmoins, une certaine suite reste exacte également pour une algèbre autoinjective. Les bords de cette suite exacte courte sont des anneaux d’endomorphismes de l’homologie du complexe cité ci-dessus, ou plus précisement un certain idéal là-dedans pour l’homologie en degré i + 1. Il n’est pas facile d’échanger les rôles de ces deux anneaux d’endomorphismes dans le cas d’une algèbre auto-injective quelconque. C’est tout de même possible et [KöZi-98, Chapitre 5.1] contient une discussion de cela.

Une application est de décrire de façon uniforme et systématique beaucoup d’équivalences dérivées connues, par itération de ce principe. L’idée d’itérer une équivalence dérivée facilement contrôlable pour obtenir un résultat complexe était nouvelle à l’époque. Ce principe est élaboré en détail pour les ordres de Green dans [KöZi-97] et pour les algèbres d’arbre de Brauer dans [KöZi-98, Chapitre 5.2]. Un ordre de Green est un ordre pour lequel certains réseaux admettent une résolution projective périodique. La résolution est décrite par un certain graphe connexe : un arbre de Brauer. Il est possible d’ajouter certains “poids” en forme de R-ordres locaux à chaque sommet ainsi qu’un homomorphisme de chacun de ces ordres dans une R-algèbre de torsion commune. Ces ordres de Green sont pour les ordres donc ce que sont les algèbres d’arbre de Brauer pour les algèbres. En effet, si k est un corps parfait, et si A est une algèbre d’arbre de Brauer, alors il existe toujours un anneau de valuation discrète complet R avec corps résiduel k et un R-ordre de Green Λ tel que Λ ⊗_{R} k ≃ A. Des considérations générales mettent en évidence que toute équivalence dérivée entre deux ordres Λ et Γ dont l’un est un ordre de Green, implique une équivalence analogue entre Λ ⊗_{R} k et Γ ⊗_{R} k. Soient Λ et Γ deux R-ordres de Green avec le même nombre de classes d’isomorphisme de modules simples. Supposons qu’il y a une bijection entre les sommets de l’arbre associé à Λ et les sommets de l’arbre associé à Γ préservant les “poids” et leurs amalgames en un certain sens. Alors, il y a une équivalence entre les catégories dérivées de Λ et de Γ. Si Λ est un ordre de Gorenstein, on trouve la démonstration dans [KöZi-97]. Sans cette hypothèse supplémentaire on trouve la démonstration dans [Zi-96a]. Pour des algèbres de l’arbre de Brauer la construction est expliquée dans [KöZi-98, Chapitre 5.2].

Evidemment, dans le cas d’un ordre [KöZi-97] décrit de manière très simple la structure complet d’un anneau B si on connaît la structure de l’anneau A et si les catégories dérivées de A et de B sont équivalentes par des équivalences satisfaisant les hypothèses [KöZi-97]. J’ai explicité cette idée dans le cas d’une équivalence entre les blocs principaux de 𝔽_{4}A_{4} et 𝔽_{4}A_{5}. Cette équivalence se relève à une équivalence entre les blocs principaux des anneaux de groupes RA_{4} et RA_{5}, lorsque R est l’extension non-ramifiée de degré deux des entiers 2adiques. Le théorème s’applique et donne la structure de RA_{5}. Cette structure était connue bien avant, mais les méthodes utilisées sont très différentes.

2.4 Les foncteurs entre deux catégories dérivées

Jusqu’ici on s’est intéréssé uniquement à l’existence d’une équivalence entre deux catégories dérivées. Il est également important de connaître le foncteur qui induit l’équivalence, au moins si ce foncteur est le foncteur dérivé d’un produit tensoriel ou bien son adjoint à gauche. Soient donc A et B deux anneaux qui possèdent des catégories dérivées équivalentes. Supposons que A est une R-algèbre plate en tant que R-module. Keller a montré qu’il existe un objet X dans D^{b}(B ⊗_{R} A^{op}) tel que X ⊗_{A}^{𝕃} − induit une équivalence entre D^{b}(A) et D^{b}(B). Ceci généralise un résultat de Rickard prouvant la même chose mais sous l ’hypothèse plus forte que A et B sont projectifs en tant que R-modules. Ni la démonstration de Keller ni la démonstration de Rickard ne sont constructives. Keller utilise une résolution projective en tant qu’algèbre différentielle graduée, Rickard utilise la connaissance de l’équivalence dérivée induite sur les catégories de bimodules, ce qui est difficilement exploitable en pratique.

Les approches antérieures ont utilisé surtout la structure d’algèbre de groupe pour A et pour B, ou bien même la construction à partir d’un complexe de la cohomologie d’intersection d’une variété de Deligne-Lusztig comme il était conjecturé par M. Broué pour des algèbres de groupe des groupes algébriques. Bien que ces approches donnent des informations profondes et très intéressantes sur les groupes concernés, très souvent ils n’expliquent pas les phénomènes au niveau des anneaux qui interviennent. Souvent il faut exiger des propriétés supplémentaires des complexes basculants bilatères qui induisent les équivalences dérivées.

La construction explicite d’un X comme décrit ci-dessus dans un cadre aussi général que possible était l’un des buts des travaux [Zi-97], [KöZi-98, Chapitre 6.4] et [Zi-97a].

Comme les ordres de Green ont une structure connue en détail, et comme [Zi-96a, KöZi-97] donnent une méthode à la fois efficace et simple pour obtenir une équivalence dérivée à base de pas élémentaires, il est possible de construire un complexe X pour ces pas élémentaires de façon uniforme, et en tensorisant les complexes ainsi obtenus on obtient l’objet X pour l’équivalence finale. La construction elle-même devient technique, mais tout est explicite et aucune structure supplémentaire n’est utilisée. Ceci donne donc une version combinatoire de l’équivalence dérivée entre deux blocs à défaut cyclique d’algèbres de groupe sur le même anneau de base, les normalisateurs des groupes de défaut étant isomorphes. L’article [Zi-97] décrit la construction dans un langage standard, et [KöZi-98, Chapitre 6.4] décrit la construction dans un langage développé pour les ordres et plus adapté et utilisé dans cette situation.

Une deuxième construction est faite pour les ordres de Gorenstein Λ et Γ en toute généralité [Zi-97a]. Si D^{b}(Λ) et D^{b}(Γ) sont équivalentes par une équivalence du même type que dans [KöZi-97], alors sous une hypothèse supplémentaire on arrive à une construction en tant que produit fibré d’un complexe basculant bilatère X.

Les méthodes pour ces deux constructions se ressemblent. Il faut d’abord trouver des complexes basculants unilatères de Λ-modules et de Γ^{op}-modules avec anneaux d’endomorphismes Γ et Λ respectivement. On commence par deviner la structure d’un bimodule isomorphe à gauche et à droite à l’homologie de ces deux complexes basculants unilatères, dans les degrés respectifs. A partir de ce bimodule on construit les termes du complexe basculant bilatère par une construction de produits fibrés différente selon les cas. Il doit être souligné que le complexe X qui sort de [Zi-97a] pour la situation d’une équivalence dérivée entre deux ordres de Gorenstein est isomorphe dans la catégorie dérivée des bimodules au complexe qui est construit dans [Zi-97], mais ils ne sont pas égaux.

On peut remarquer que les résultats de [KöZi-97], [KöZi-98, Chapitre 5.1], [Zi-97a] et [Zi-98] conduisent à un calcul simplifié des équivalences dérivées. Soit Λ un R-ordre symétrique. On commence avec un réseau L. On calcule la première et la deuxième syzygie de L et on vérifie les hypothèses de [KöZi-97, Zi-97a] à l’aide des caractères ordinaires de ces syzygies. Le calcul des anneaux d’endomorphismes des syzygies et du dual de la deuxième syzygie permet d’identifier sans grand effort l’anneau d’endomorphismes du complexe basculant avec homologie L en degré i du type discuté dans [KöZi-97]. Le résultat dans [Zi-98] donne le complexe basculant bilatère associé sans calcul et de manière explicite. Même si L n’est pas un ordre, [KöZi-98, Chapitre5.1] donne une suite exacte courte qui décrit plus ou moins explicitement l’anneau d’endomorphismes d’un tel complexe ; [Zi-98] montre que cet anneau est de nouveau un ordre ce qui limite les L possibles ainsi que le calcul des anneaux d’endomorphismes des syzygies concernées.

A partir du choix de L et du calcul des deux premières syzygies tout est quasi automatique.

3 Certains aspectes de la cohomologie des groupes

3.1 Les automorphismes extérieurs vus dans la cohomologie

Les questions posés par Z. Marciniak et S. Jackowski et qui ont inspiré les travaux publiés dans [RogZi-95] peuvent être vues sous un angle “catégories dérivées” et peuvent être discutées de façon abstraite. Soit G un groupe fini et soit R un anneau muni d’une structure de G-module trivial. Tout automorphisme α de G induit par fonctorialité un automorphisme α^{∗} de H^{∗}(G, R). Si α est intérieur dans RG, évidemment α^{∗} est trivial. Un exemple d’un α qui n’est pas intérieur dans G mais qui est intérieur dans RG est donné dans [RogZi-95]. Le groupe construit dans cet article n’est pas un p-groupe. En effet, si G est un p-groupe, un théorème de Coleman montre qu’une telle construction n’est pas possible pour des R raisonnables.

Dans la liste de problèmes donnés à l’occasion du colloque “American Mathematical Society Summer Research Institute ‘Group representations : Cohomology, Group Actions and Topology’ 1996” à Seattle (Etats-Unis) auquel j’ai pu assister, S. Jackowski a demandé (problème 18) si l’on peut avoir un automorphisme α d’un p-groupe G qui n’est pas intérieur mais tel que α^{∗} est l’identité pour un R convenable, comme par exemple ℤ ou 𝔽_{p}.

Ce problème fait objet des travaux publiés dans [JeZi-98]. Le problème est difficile. A la première vue, la méthode la plus naturelle est de regarder la suite spectrale de Lyndon-Hochschild-Serre par rapport à un des sous-groupes caractéristiques d’un p-groupe, comme par exemple le centre ou bien le sous-groupe de Frattini. Malheureusement, les automorphismes sur H^{∗}(G, R) ont une grande tendance à être occultés par la graduation, donc la convergence de la suite spectrale ne donne pas suffisamment d’information sur le comportement de l’automorphisme. On peut observer ces phénomènes dans le cas du groupe C_{8} ×Aut(C_{8}) qui admet un automorphisme α presque intérieur (c.-à-d. tout élément est conjugué à son image par α). Cet α induit déjà l’identité sur le deuxième terme de la suite spectrale par rapport au centre, mais la stratification de Quillen de la variété de cohomologie à valeurs dans 𝔽_{2} implique que l’action de α sur cette variété n’est pas trivial, et donc n’est pas triviale sur H^{∗}(G, 𝔽_{2}).

L’idée est donc de rester dans la catégorie dérivée et de construire l’action de α sur les objets de la catégorie dérivée des bicomplexes concernés. Là on peut très bien utiliser les factorisations du foncteur cohomologique selon les sous-groupes distingués comme on le fait aussi pour la suite de Lyndon-Hochschild-Serre. Néanmoins, on ne passe pas directement à la cohomologie. On reste bien au niveau des complexes pour déterminer les actions de α sur chaque degré d’une résolution projective, et ensuite on passe à la cohomologie.

Un argument très simple montre qu’il y a énormément de p-groupes et d’automorphismes α non-intérieurs induisant l’identité sur la cohomologie à valeurs dans 𝔽_{p}. En effet, même un groupe cyclique non-simple donne un exemple [JeZi-98]. Pour la question concernant la cohomologie à valeurs mod p il est donc naturel de se ramener aux automorphismes presque intérieurs. Dans [JeZi-98] nous avons discuté le cas d’un p-groupe G possédant un sous-groupe cyclique distingué ayant un supplément abélien. Ce cas est le plus proche du cas abélien, et tous les automorphismes presque intérieurs induisant l’identité sur la cohomologie mod p sont intérieurs. Par curiosité nous avons aussi essayé le groupe d’ordre 64 utilisé dans [RogZi-95] puisque l’argument passant par la stratification de Quillen ne marche plus dans ce cadre là, mais dans ce cas également on ne trouve pas d’automorphisme presque intérieur (non intérieur) induisant l’identité sur la cohomologie mod 2.

3.2 La cohomologie en tant que module

A ce stade là il est naturel de se demander quelle est la structure de H^{∗}(G, R) en tant que H-module pour un sous-groupe H de Aut(G) puisque précédemment on a décrit la structure de H^{∗}(G, R) en tant que R<α>-module. Ceci est une question très intéressante car H^{∗}(G, R) est fonctoriel dans les deux variables et on peut lier ainsi les représentations en différentes caractéristiques, des différents groupes liés, etc. Dans [JeZi-98] nous avons discuté et complètement décrit la structure de H^{∗}(C_{q} × C_{q}, R) en tant que SL_{2}(ℤ)-module pour n’importe quels R et q. Le résultat est surprenant et simple, au moins pour des R “raisonnables”. Le module est induit par l’action naturelle de SL_{2}(ℤ) sur des anneaux de polynômes en deux variables qui commutent si R n’a pas de q-torsion. Les composantes homogènes apparaissent dans des degrés différents. Si R a de q-torsion le résultat est plus compliqué.

Un travail très récent [JeZi-98a] étudie l’action du groupe symétrique S_{n} de degré n sur H^{∗}(C_{q}^{n}, ℤ). Le groupe S_{n} agit permutant une base de C_{q}^{n}. La méthode ici est légèrement différente de celle de [JeZi-98]. On utilise à présent la structure multiplicative de l’anneau H^{∗}(C_{q}^{n}, ℤ) contrairement au cas de l’action de SL_{2}(ℤ) sur H^{∗}(C_{q}^{2}, R) où l’on n’en avait pas besoin. En pratique néanmoins, engendrer H^{∗}(C_{q}^{n}, ℤ) est compliqué et trouver les relations entre les générateurs l’est encore plus. Chapman [Ch-82] a trouvé des générateurs et les relations de H^{∗}(G, ℤ) pour un groupe fini abélien d’ordre impair G.

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