Endliche Untergruppen der Einheitengruppe ganzzahliger Gruppenringe

Von der Universität Stuttgart zur Erlangung der Würde eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Abhandlung

von

Alexander Zimmermann

geboren in Stuttgart

Hauptberichter:  Prof. Dr. rer. nat. K. W. Roggenkamp
Mitberichter:  Dr. rer. nat. habil. W. Kimmerle
Tag der Einreichung:  27. August 1992
Tag der mündlichen Prüfung:  7. Oktober 1992

Mathematisches Institut B der Universität Stuttgart

1 Einleitung

Gruppenringe sind ein Hauptgegenstand des Interesses der Darstellungstheorie endlicher Gruppen. Eines der zentralen Themen ist die Frage, welche Eigenschaften einer abstrakten Gruppe in ihrem Gruppenring gemessen werden können. Das Isomorphieproblem ganzzahliger Gruppenringe ist die Frage nach der stärksten Antwort, nämlich ob aus der Isomorphie der ganzzahligen Gruppenringe ZZG ≃ ZZH zweier Gruppen G und H als augmentierte Algebren auf die Isomorphie der Gruppen G und H geschlossen werden kann. G. Higman bearbeitete in seiner Dissertation [Hi-39] dieses Problem erstmals. H. Zassenhaus vermutete ([Se-83]), daß aus ZZG = ZZH als augmentierte Algebren für eine geeignete Einheit a ∈ U(QG) sogar G = a · H · a^{−1} folgt. K. W. Roggenkamp und L. L. Scott konstruierten in [RS-87c] eine Serie von metabelschen Gegenbeispielen zu dieser Vermutung: Die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen über dem Körper mit 4 Elementen mit Einsen in der Hauptdiagonalen, die geeignet auf der zyklischen Gruppe der Ordnung 3·5·7 operiert, liefert ein solches. In einer Reihe von Arbeiten wurden in den letzten 10 Jahren wegweisende Ergebnisse von K. W. Roggenkamp und L. L. Scott [RS-87a, RS-86, RS-87b, Sc-85] sowie von A. Weiss [Wei-88] erzielt. Der Anwendung und Erweiterung zweier dieser Resultate ist der erste Teil der vorliegenden Arbeit gewidmet.

Genauer lautet das Hauptresultat des Kapitels 2:

Satz 1 Sei P eine endliche Menge von n rationalen Primzahlen und sei

G = H × ∏_{p∈P} G_{p}

ein direktes Produkt von n + 1 Gruppen paarweiser relativ primer Ordnung, so daß für jedes p die Gruppen G_{p} p–auflösbar mit O_{p′}(G_{p}) = 1 sind. Eine p–Sylowuntergruppe von G_{p} sei mit P_{p} bezeichnet. ZZH erfülle die Zassenhausvermutung. Weiterhin sei E eine endliche Gruppe mit abelschem Normalteiler N und E/N ≃ G, für den die Beziehung

(|N|, \frac{|G|}{∏_{p∈P} |P_{p}|}) = 1

gilt. Dann hat das Isomorphieproblem für ZZE eine positive Antwort.

Ist G nilpotent, so ergibt sich das Resultat von K. W. Roggenkamp und L. L. Scott aus [RS-86, Sc-85] für ZZ als Koeffizientenring als Spezialfall. Genauer bewiesen K. W. Roggenkamp und L. L. Scott in [RS-86, Sc-85], daß für eine endliche Gruppe E mit abelschem Normalteiler N und nilpotentem E/N aus RE = RE′ für einen Dedekindbereich R, in dem kein Primteiler der Gruppenordnung invertierbar ist, die Isomorphie von E und E′ folgt.

Die Frage nach der Gültigkeit der Zassenhausvermutung war lange Zeit und ist immer noch Leitfaden für Arbeiten über das Isomorphieproblem. Aus diesem Grunde sind viele positive Ergebnisse erzielt worden. Einige Beispiele seien explizit genannt: Das diesbezüglich weitreichendste Resultat ist das Ergebnis von K. W. Roggenkamp und L. L. Scott aus [RS-87b]. Für ganzzahlige Gruppenringe vieler einfacher Gruppen kann die Gültigkeit der Zassenhausvermutung aus der Untersuchung von Brauer-Bäumen abgeleitet werden [Ki-92b, §3]. Diese Gruppen eignen sich als Gruppen H ebenso wie Gruppen A ≀ S_{n} mit abelschem oder symmetrischen A und n ∈ IN nach A. Giambruno, S.K. Sehgal, A. Valenti [GVS-91] und A. Valenti [Va-92].

Das Resultat von A. Weiss ([Wei-88]) zeigt für p–Gruppen G die Konjugiertheit endlicher Untergruppen U der Einheitengruppe p–adischer Gruppenringe zu einer Untergruppe einer Gruppenbasis^{1}, falls U Augmentation 1 besitzt.

Gilt dies auch ganzzahlig?

Ist genauer jede endliche Untergruppe der Einheitengruppe V (ZZG)^{2} konjugiert zu einer Untergruppe einer Gruppenbasis, falls sie dies in V (ẐZ_{q}G) für jede Primzahl q und auch in V (QG) ist? Diese Frage läßt sich natürlich sinnvoll nicht nur für p–Gruppen G sondern für alle Gruppen G, deren ganzzahliger Gruppenring der Zassenhausvermutung genügt, stellen. Andere Einheiten von RG sind in diesem Zusammenhang nicht relevant, da U(RG) = V (RG)×U(R) ([RS-87a, (1.1.1)]). Wir sprechen im Fall der Konjugiertheit in V (ẐZ_{q}G) für alle Primzahlen q beziehungsweise Konjugiertheit in V (QG) von lokaler beziehungsweise von rationaler Konjugiertheit, während Konjugiertheit in V (ZZG) mit ganzzahliger Konjugiertheit bezeichnet wird.

Man kann natürlich auch fragen, in wievielen Gruppenbasen eine feste Untergruppe von G liegt. Dazu finden sich in der Literatur zwei Beispiele:

1Eine Gruppenbasis von ZZG ist eine Untergruppe der Einheitengruppe von ZZG der Augmentation 1, die eine ZZ-Basis von ZZG bildet.

2Dabei bezeichnet V (RG) die Gruppe der Einheiten mit Augmentation 1 im Gruppenring RG über dem Integritätsbereich R.

I. Hughes und K. E. Pearson ([HP-72]) bewiesen, daß in dem ganzzahligen Gruppenring der symmetrischen Gruppe der Ordnung 6 eine Involution existiert, die nicht in einer Gruppenbasis liegt. Sie ist aber sogar 2-adisch nicht zu einem Element einer ganzzahligen Gruppenbasis konjugiert.

C. Polcino Milies bewies in [PM-74], daß im ganzzahligen Gruppenring der Diedergruppe mit 8 Elementen zwei Konjugationsklassen von Gruppenbasen existieren und daß alle Einheiten endlicher Ordnung in einer Gruppenbasis liegen.

Im zweiten Teil der vorliegenden Arbeit werden für alle Diedergruppen von 2-Potenzordnung sowohl die Anzahl der Involutionen bis auf Konjugation als auch die Anzahl der Gruppenbasen bis auf Konjugation bestimmt, in der eine feste Involution liegt. Ebenso werden bis auf Konjugation alle Gruppenbasen explizit angegeben.

In [Ro-89, RT-92] wird eine von L. L. Scott und K. W. Roggenkamp entwickelte Theorie dargestellt, um die V (QG)–Konjugationsklasse einer festen Untergruppe U ≤ G auf Zerfall in V (ZZG)–Konjugationsklassen zu untersuchen.

Im einzelnen lassen sich die Ergebnisse aus [Ro-89], falls der Zentralisator C_{ZZG}(U) von U in ZZG abelsch ist und ZZG lokal freie Kürzbarkeit erlaubt, wie folgt zusammenfassen. Für eine p–Gruppe G parametrisiert der Kern Cl_{ZZG}(C_{ZZG}(U)) des natürlichen Homomorphismus von der Klassengruppe Cl(C_{ZZG}(U)) des Zentralisators von U in ZZG in die Klassengruppe Cl(ZZG) von ZZG die Menge der Konjugationsklassen einer U(QG)-Konjugationsbahn von U in ZZG. Diese Aussage verwendet den Satz von A. Weiss aus [Wei-88], der von K. W. Roggenkamp in [Ro-92] und unabhängig von G. Thompson unter Anleitung von L. L. Scott in [Th-89] verallgemeinert wurde. Ist G keine p–Gruppe, so liefert die Theorie Ergebnisse für die Anzahl der V (ZZG)– Konjugationsklassen lokal und gleichzeitig rational zu einer festen Untergruppe U von G konjugierter Untergruppen von V (ZZG). Diese Theorie lehnt sich an die von A. Fröhlich entwickelte Theorie von Picardgruppen von Ordnungen ([Fr-73]) an.

Genauer untersucht man Isomorphieklassen von ZZ(U ×G^{op})-Moduln^{3} M mit Q · M ≃ QG als Q(U × G^{op})-Moduln und M ≃ ZZG als ZZG^{op}-Moduln. Man kann annehmen, daß QM = QG ist. Dann ist M ⊆ QG und sogar M = a · ZZG für eine Einheit a von QG als ZZ(U × G^{op})-Moduln. Man zeigt, daß zwei dieser Bimoduln a·ZZG und a′·ZZG genau dann isomorph sind, wenn a = a′ · u für eine Einheit u von ZZG. Somit parametrisieren diese Isomorphieklassen von Moduln die Konjugationsklassen von Einbettungen von U in V (ZZG), die durch Konjugationen mit Einheiten von QG induziert werden. Man zeigt, daß ẐZ_{p}M ≃ ẐZ_{p}G als ẐZ_{p}(U × G^{op})-Modul für alle Primzahlen p genau dann gilt, wenn M = J · ZZG für ein Ideal J mit Isomorphieklasse (J) in Cl_{ZZG}(C_{ZZG}(U)) := ker(Cl(C_{ZZG}(U)) ⟶ Cl(ZZG)). Dem Homomorphismus Cl_{ZZG}(C_{ZZG}(G)) ⟶ Cl_{ZZG}(C_{ZZG}(U)) entspricht hier die Einschränkung des ZZ(G×G^{op})-Moduls J ·ZZG für ein Gitter J mit stabiler Isomorphieklasse in Cl_{ZZG}(C_{ZZG}(G)) als ZZ(U ×G^{op})-Modul. Aus dieser Beobachtung erschließt man, daß eine Konjugationsklasse rational zu U konjugierter Untergruppen genau dann aus in lokal zu G konjugierten Gruppenbasen liegenden Elementen besteht, falls ihr zugehöriges Ideal im Bild des Homomorphismus der Klassengruppen, wie oben angegeben, liegt.

3d.h. U operiert von links durch Multiplikation und G operiert von rechts durch Multiplikation mit dem Inversen.

Diese Untersuchung wird in der vorliegenden Arbeit auf ganzzahlige Gruppenringe von Diedergruppen D_{q} mit der Ordnung 2q ∈ {u ∈ IN|u = 2p oder u = 2^{n+1}, n ∈ IN, p prim} und Untergruppen U der Ordnung 2 angewandt.

Die Klassengruppe des ganzzahligen Gruppenrings von Diedergruppen D_{q} der Ordnung 2q ∈ {2p, 2^{n+1} | p prim, n ∈ IN} ist auf zahlentheoretische Größen reduziert durch Arbeiten von M. P. Lee [Lee-64], deren Arbeit von S. Galovich, I. Reiner und S. Ullom in [GRU-72] und Cassou-Nouguès in [CN-76] verallgemeinert wurde, im Fall einer Primzahl q sowie von A. Fröhlich, M. E. Keating und S. M. J. Wilson ([FKW-74]) im Fall einer 2-Potenz q. Die Klassengruppe des Zentrums von ZZD_{p} und das Bild des Normhomomorphismus nach der Klassengruppe des maximalen reellen Teilkörpers des Körpers der p-ten Einheitswurzeln über Q, Cl(ZZ[η(p)]), wurde von A. Fröhlich, I. Reiner und S. Ullom in [FRU-74] bestimmt. Den Fall ZZD_{m} für alle natürlichen Zahlen m behandelten diesbezüglich S. Endo, T. Miyata und K. Sekiguchi in [EMS-82]. Teile dieser Ergebnisse waren T. Miyata schon 1987 bekannt ([Miy-80]). H. Cohn vermutete ([ACH-65, Co-60]), daß Cl(ZZD_{2^{n}}) = 1 für alle n ∈ IN ist.^{4} A. Fröhlich, I. Reiner und S. Ullom zeigten in [FRU-74] die Isomorphie von Cl(Z(ZZD_{p})) und P icent(ZZD_{p}), S. Endo, T. Miyata und K.

4M. Pohst, P. Roquette und B. Volkmann danke ich für ihre Antwort auf meine Frage nach Ergebnissen zur Cohnschen Vermutung.

Sekiguchi bewiesen die Isomorphie von Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) und P icent(ZZD_{2^{n}}) in [EMS-82].

Es ergibt sich zum Vorkommen von Involutionen im Gruppenring ZZD_{2^{n}} der

Satz 2 Sei D_{2^{n}} die Diedergruppe mit 2^{n+1} Elementen.

1. Die V (QD_{2^{n}})–Bahn einer nicht zentralen Involution b ∈ D_{2^{n}} zerfällt in 2^{n−1} · ∏_{k≤n} h_{k}^{+} Konjugationsklassen über ZZD_{2^{n}}, wobei h_{k}^{+} die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers des 2^{k}–ten Kreisteilungskörpers über Q ist.

2. Von diesen Konjugationsklassen bestehen 2^{n−1} Klassen aus Involutionen, die in Gruppenbasen liegen.

3. Cl(C_{ZZD_{2^{n}}}(b)) ≃ C_{2^{n−1}} × ∏_{k≤n} Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}])^{2}, wobei ζ_{2^{n}}^{2^{n−1}} + 1 = 0.

4. Cl_{ZZD_{2^{n}}}(C_{ZZD_{2^{n}}}(b)) ≃ C_{2^{n−1}} × ∏_{k≤n} Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}]).

Eine unmittelbare Konsequenz ist

Korollar 1 Die Vermutung von H. Cohn ([ACH-65]) ist genau dann richtig, wenn für alle n ∈ IN jede Involution von ZZD_{2^{n}} in einer Gruppenbasis liegt.

Satz 2 ergänzt die Untersuchung von S. Endo, T. Miyata und K. Sekiguchi ([EMS-82]), die den Isomorphietyp der äußeren zentralen Automorphismengruppe^{5} von ZZD_{m} für alle Diedergruppen D_{m} der Ordnung 2m mit m ∈ IN bestimmt haben. Dort wurde bewiesen, daß

Outcent(ZZD_{2^{n}}) ≃ C_{2^{n−1}} × C_{2^{n−2}}.

(Ob die Arbeit von H. Weber [Web-1886] den Autoren von [EMS-82] bekannt war, wird aus der Arbeit [EMS-82] nicht klar, denn in [EMS-82] wird zudem noch eine Untergruppe der 2-Sylowuntergruppe von ∏_{k≤n} Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}]) als direkter Faktor angefügt. H. Weber zeigt jedoch in [Web-1886], daß die 2-Sylowuntergruppe von Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} +ζ_{2^{k}}^{−1}]) für alle Zahlen k einelementig ist.) Die Klassengruppe des Zentrums von ZZD_{2^{n}} wurde in [EMS-82] zu

5Ein Ringautomorphismus heißt zentral, wenn er das Zentrum des Rings punktweise fixiert. Ein Gruppenautomorphismus heißt zentral, wenn seine natürliche Erweiterung als Automorphismus des ganzzahligen Gruppenrings zentral ist.

Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) ≃ Outcent(ZZD_{2^{n}}) × ∏_{k≤n} Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}])

berechnet. Damit liegt b in genau 2^{n−2} Repräsentanten verschiedener Konjugationsklassen von Gruppenbasen.

Erzeugende Elemente für Outcent(ZZD_{2^{n}}) wurden in [EMS-82] konkret nicht angegeben. Unter Verwendung von Satz 2 zeigen wir in der vorliegenden Arbeit den

Satz 3 Die äußere zentrale Automorphismengruppe Outcent(ZZD_{2^{n}}) des ganzzahligen Gruppenrings der Diedergruppe D_{2^{n}} mit 2^{n+1} Elementen wird erzeugt von der Konjugation mit a − b + 1, einem Automorphismus der Ordnung 2^{n−1} modulo inneren Automorphismen, und der Konjugation mit 1 + b · (a + a^{−1}), einem Automorphismus der Ordnung 2^{n−2} modulo inneren Automorphismen. Dabei ist a ein Element der Ordnung 2^{n} in D_{2^{n}} und b eine nicht zentrale Involution in D_{2^{n}}.

Unter Verwendung des Satzes von Roggenkamp und Scott [RS-87a] können hiermit für jedes n ∈ IN Repräsentanten aller Konjugationsklassen von Gruppenbasen angegeben werden. J. Whitcomb untersuchte den Fall n = 2 schon in [Wh-68] und erhielt eine zweite Gruppenbasis durch Konjugation mit 1 + a + ba. Diese Einheit kann durch einen Ringautomorphismus auf a − b + 1 abgebildet werden. Eine globale Übersicht über das Konjugationsverhalten von Gruppenbasen ist in [Wh-68] im Gegensatz zu der Arbeit von C. Polcino Milies und der vorliegenden Diskussion nicht erzielt worden.

Im Beweis des Satzes 2 ist ein zentraler Punkt die Existenz eines Automorphismus σ von ZZC_{2^{n}}, der ein Erzeugendes a von C_{2^{n}} auf −a abbildet.^{6} Identifiziert man a mit der Drehung um den Winkel 2π/2^{n}, so kommutiert σ mit der Operation von b, einer nicht zentralen Involution von D_{2^{n}}. Damit ist σ ein Automorphismus von

H^{0}(< b >, ZZD_{2^{n}}) = C_{ZZD_{2^{n}}}(b).

Außerdem ist

H^{0}(< σ >, ZZD_{2^{n}}) = ZZD_{2^{n−1}}

6C_{m} bezeichne die zyklische Gruppe mit m Elementen.

mit der kanonischen Identifikation C_{2^{n−1}} ≤ C_{2^{n}}. Diese Beobachtung macht das Problem Induktionsmethoden zugänglich und wird im Beweis von Lemma 5 und im Beweis von Lemma 9 an zwei zentralen Stellen wesentlich verwendet.

Der kompliziertere Fall ungerader Diedergruppen der Ordnung 2 · m, wobei (2, m) = 1 wird in Kapitel 3.9 für Primzahlen m begonnen. Es sei für eine abelsche Gruppe A mit A_{[2]} der Kern des durch a ⟶ a^{2} für alle a ∈ A definierten Endomorphismus von A bezeichnet. ZZ[η(p)] sei der Ring der algebraisch ganzen Zahlen im maximalen reellen Teilkörper des p-ten Einheitswurzelkörpers über Q. Es konnte der folgende Satz gezeigt werden.

Satz 4 Sei D_{p} die Diedergruppe mit 2p Elementen, wobei p eine ungerade Primzahl ist.

1. Es existieren in ZZD_{p} genau

\frac{|Cl(ZZ[η(p)]C_{2})|}{|Cl(ZZ[η(p)])|}

Konjugationsklassen von Involutionen, die lokal und rational zu b konjugiert sind.

2. Eine Involution b ∈ D_{p} ist in genau \frac{p−1}{2} Repräsentanten von Konjugationsklassen von Gruppenbasen enthalten.

3. Von den Konjugationsklassen lokal und rational zu b konjugierter Involutionen in ZZD_{p} bestehen genau |(Cl(ZZ[η(p)]))_{[2]}| Konjugationsklassen aus Involutionen, die in einer Gruppenbasis liegen.

4. Falls p ∈ {(2nq)^{2} + 1|n ∈ ZZ, n ≥ 2, qZZ ∈ Spec(ZZ)} Primzahl ist, existiert eine Konjugationsklasse von Involutionen, deren Elemente in V (ẐZ_{r}D_{p}) für alle Primzahlen r konjugiert zu b sind, die aber in keiner Gruppenbasis von ZZD_{p} liegen.

Beispiele für Primzahlen p = (2qn)^{2} + 1 sind einfach zu finden und alle Zahlen in {257, 401, 577, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 7057, 8101} sind Primzahlen von der obigen Form. Zum Beweis des letzten Punktes im Satz 4 wird im wesentlichen nur die Arbeit [ACH-65] angewendet. Damit erhält man leicht weitere Beispiele aus den Tafeln von K. Schaffenstein in [Sch-28] oder aus den Abschätzungen von H. Hasse in [Ha-65]. Sehr viele Konjugationsklassen lokal zu b konjugierter Involutionen in V (ZZD_{p}) (nämlich wenigstens 4 · 3 · 5 · 179 · 223 · 6961 = 16671734220) erhält man mit der Arbeit [CW-82, SWW-83] von G. Cornell und L. C. Washington sowie von E. Seah, L. C. Washington und H. Williams für p = 11290018777. Von diesen Konjugationsklassen bestehen höchstens 4 aus in Gruppenbasen liegenden Elementen. Die Arbeiten [CW-82, SWW-83] verwenden wesentlich Computerberechnungen.

Durch Verwendung des Computeralgebra-Programms ‘maple V’ konnte unter Anwendung eines Satzes von van der Linden ([Ma-78, vdL-82]) berechnet werden, daß es in ZZD_{37} und, falls man die verallgemeinerte Riemannschen Vermutung voraussetzt, auch in ZZD_{101} Involutionen gibt, die lokal konjugiert zu einer Involution in einem festen D_{p} ⊂ ZZD_{p} sind, ganzzahlig jedoch in keiner Gruppenbasis liegen.

Hier ist jedoch auf die prinzipielle Schwierigkeit hinzuweisen, die sich oft bei Beweisen ergibt, die an wesentlicher Stelle Gebrauch von elektronischen Rechenmaschinen machen. Dabei ist ein “Verstehen” im Sinne von M. Atiyah^{7} häufig nur eingeschränkt möglich.

Die Gliederung der Arbeit ist wie folgt: Kapitel 2 befaßt sich mit dem Beweis von Satz 1 während Kapitel 3 den Beweis der Sätze 2—4 zum Thema hat.

In Kapitel 2.1 wird zuerst der Fall zerfallender Erweiterungen halbeinfacher Normalteiler mit Gruppen, deren ganzzahliger Gruppenring der Zassenhausvermutung genügt, behandelt.

Automorphismen von ZZG, die von Automorphismen von ZZE induziert werden, stehen im Mittelpunkt von Kapitel 2.2. Das Ergebnis dieses Kapitels stammt von K. W. Roggenkamp. Teile davon resultieren aus Arbeiten von L. L. Scott und K. W. Roggenkamp.

Wird P festgehalten, so genügt der Schnitt aller Normalteiler N, die den Voraussetzungen des Satzes 1 genügen, wieder den Voraussetzungen. Der Beweis dieser Aussage wird in Kapitel 2.3 geführt.

Satz 1 wird dann in Kapitel 2.4 bewiesen.

Der Inhalt des Kapitels 2 wurde in [RZ-91] veröffentlicht^{8}.

7(cf. The Mathematical Intelligencer Vol. 6 No. 1 (1984). )

8Der Fakultät Mathematik sei für die Genehmigung der Veröffentlichung gedankt.

In Kapitel 3.2 wird der Zentralisator einer nicht zentralen Involution b ∈ D_{2^{n}}, der Diedergruppe der Ordnung 2^{n+1}, in ZZD_{2^{n}} iterativ als Pullback durch die Wedderburn-Komponenten von ZZD_{2^{n}} dargestellt.

In Kapitel 3.3 werden die Vorbereitungen zur Bestimmung einer oberen Schranke für die Klassenzahl von C_{ZZD_{2^{n}}}(b) weit vorangetrieben. Außerdem werden Vorarbeiten für die Diskussionen in Kapitel 3.7 geleistet. Dabei wird ein zahlentheoretisches Lemma bewiesen, das garantiert, daß in den Pullbackdiagrammen aus Kapitel 3.2 nicht alle Einheiten des gemeinsamen Quotienten der beiden Faktoren Bilder von Einheiten eines der beiden Faktoren, nämlich des Bildes von C_{ZZD_{2^{n}}}(b) · \frac{1}{2}(1 + a^{2^{n−1}}) im größten Wedderburnblock von ZZD_{2^{n−1}} = ZZD_{2^{n}} · \frac{1}{2}(1 + a^{2^{n−1}}), sind.

Daß die nun leicht abzuleitende obere Schranke auch den tatsächlichen Wert liefert, wird in Kapitel 3.4 gezeigt, indem C_{ZZD_{2^{n}}}(b) ≃ Ĉ(n) ⊗_{ZZ} ZZC_{2} für einen geeigneten Ring Ĉ(n) verwendet wird. In diesem Kapitel werden idèletheoretische Methoden benützt. Genauer werden die Mayer-Vietoris-Sequenzen der Pullbackdiagramme von C_{ZZD_{2^{n−1}}}(b) und von C_{ZZD_{2^{n}}}(b) ·

\frac{1+a^{2^{n−1}}}{2} bezüglich des Quasiidempotents 1+b verglichen: Da C_{ZZD_{2^{n+1}}}(b)·\frac{1+a^{2^{n}}}{2} eine Teilordnung von C_{ZZD_{2^{n}}}(b) in derselben Algebra ist, existieren Homomorphismen zwischen den Gruppen in den Mayer-Vietoris-Sequenzen der beiden Pullbackdiagramme. Diese führen auf die Diskussion des kommutativen Diagramms

\begin{aligned}& & 1 & → & U(B̂_{n}) & →^{ι_{n}} & U(Ĉ(n))/ < a^{2^{n−1}} > & ⟶ & 1 \\ & & ↓ & & ↓ π_{B} & & ↓ π′_{C} \\ 1 & → & C_{2} & → & U( ˆ\overline{B}_{n}) & → & U( ˆ\overline{C}(n))/ < a^{2^{n−1}} > & → & 1 \\ & & ↓ & & ↓ & & ↓ \\ 1 & → & K_{n} & → & \frac{U( ˆ\overline{B}_{n})}{π_{B}(U(B̂_{n}))} & → & \frac{U( ˆ\overline{C}(n))}{π_{C}(U(Ĉ(n)))} & → & 1 \\ & & & & ↓ & & ↓ \\ & & & & 1 & & 1 \end{aligned} ,

wobei die folgenden Bezeichnungen gewählt sind:

B̂_{n} := C_{ZZD_{2^{n+1}}}(b) · \frac{1 + a^{2^{n}}}{2} · \frac{1 + b}{2},
Ĉ(n) := C_{ZZD_{2^{n}}}(b) · \frac{1 + b}{2},
ˆ\overline{B}_{n} := B̂_{n}/2B̂_{n},

ˆ\overline{C}(n) := Ĉ(n)/2Ĉ(n).

Dabei wird a^{2^{n−1}} ∈ D_{2^{n}} mit seinem Bild in Ĉ(n) identifiziert. Weiter ist K_{n} der Kern des natürlichen Epimorphismus zwischen der Klassengruppe von C_{ZZD_{2^{n+1}}}(b) · \frac{1+a^{2^{n}}}{2} auf die Klassengruppe von C_{ZZD_{2^{n}}}(b). Verwendet man jetzt noch, daß aus Kapitel 3.3 die Beziehung

Cl(C(n)) = Cl(B(n − 1)) × Cl(ZZ[ζ_{2^{n}} + ζ_{2^{n}}^{−1}]C_{2})

nachgewiesen wurde, lassen sich dann die Untersuchungen auf die Berechnung der Größen Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}]C_{2}) für alle k ∈ IN zurückführen. Man zeigt genauer (Lemma 9), daß das nicht triviale Element im Kern der Abbildung

ρ_{n} : U( ˆ\overline{B}_{n}) ⟶ U( ˆ\overline{C}(n))/ < a^{2^{n−1}} >

nicht im Bild der Abbildung π_{B} liegt. Damit ist dann

ι_{n}(π_{B}(U(B̂_{n}))) ⊆ π′_{C}(U(Ĉ_{n})/ < a^{2^{n−1}} >),

wenn ι_{n} den natürlichen Homomorphismus von der Einheitengruppe U(B̂_{n}) nach U(Ĉ(n))/ < a^{2^{n−1}} > via der Einbettung von B̂_{n} in Ĉ(n) bezeichnet. Da ι_{n} aber ein Isomorphismus ist, ist ρ_{n} surjektiv und das Schlangenlemma zeigt, daß K_{n} zweielementig sein muß.

Die Berechnung von Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}]C_{2}) für alle k ∈ IN wird in Kapitel 3.5 durchgeführt und die Berechnung von Cl(C_{ZZD_{2^{n}}}(b)) wird damit auf zahlentheoretische Größen zurückgeführt. Genauer wird gezeigt, daß

Cl(ZZ[ζ_{2^{n}} + ζ_{2^{n}}^{−1}] < b >) = Cl(ZZ[ζ_{2^{n}} + ζ_{2^{n}}^{−1}])^{2}.

Die Berechnung von Cl_{ZZD_{2^{n}}}(C_{ZZD_{2^{n}}}(b)) und damit die Bestimmung der Anzahl der Konjugationsklassen von Involutionen erfolgt in Kapitel 3.6 und geht weitgehend unter Verwendung universeller Argumente, da die Klassengruppe der Diedergruppe D_{2^{n}} gleich der einer maximalen Ordnung in QD_{2^{n}} ist.

In Kapitel 3.7 wird die Anzahl der Konjugationsklassen von Gruppenbasen, die einen Repräsentanten besitzen, der b enthält, bestimmt. Wieder kommen idèletheoretische Methoden, diesmal wesentlich, zum Einsatz.

Mit den dadurch gewonnenen Kenntnissen ist es möglich, die äußere Automorphismengruppe von ZZD_{2^{n}} explizit anzugeben. Dies wird in Kapitel 3.8 durchgeführt. Dabei ist der Fall n = 2 und der Fall n = 3 zuerst elementar durchzuführen, danach ist der allgemeine Fall eine einfache Folgerung.

Kapitel 3.9 ist der Untersuchung ganzzahliger Gruppenringe ungerader Diedergruppen gewidmet. Eine besondere Schwierigkeit ist dabei die Bestimmung der Klassenzahl von ZZ[ζ_{p}+ζ_{p}^{−1}] < b >, für die keine allgemeine Formel hergeleitet werden konnte.

Im Anhang finden sich die Computerprogramme und die Ergebnisse der damit durchgeführten Berechnungen für einige kleine Diedergruppen D_{p}.

An dieser Stelle möchte ich Herrn Professor Dr. K. W. Roggenkamp meinen aufrichtigen Dank nicht nur für zahlreiche Hinweise, den Inhalt des für Satz 1 unentbehrlichen Kapitels 2.2, sondern auch für die Auswahl des interessanten Themas, der stetigen Anteilnahme an dem Fortgang der Arbeit und der freien Arbeitsatmosphäre am 3. Lehrstuhl des Mathematischen Instituts B zum Ausdruck bringen.

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Zum Isomorphieproblem 14 2.1 Halbeinfache Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Automorphismen auf Bildern des Gruppenringes . . . . . . . . 15 2.3 Ein gruppentheoretisches Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Der Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Involutionen in Gruppenringen 26 3.1 Präliminarien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Einheiten aus der Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Zentralisatoren als Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 Die Klassenzahl von ZZ[η(n)]C_{2} . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.6 Picardgruppen und zentrale Automorphismen . . . . . . . . . 43 3.7 Involutionen und Gruppenbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.8 Explizite Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.9 Einige ungerade Diedergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.10 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2 Isomorphie von Gruppenringen

2.1 Halbeinfache Normalteiler

Der erste Schritt zu unserem Ziel, das Isomorphieproblem einer positiven Lösung für einige Gruppen zuzuführen, wird das folgende Lemma sein. Ein R–Modul M, dessen R–Operation durch σ ∈ Aut(R) getwistet^{9} ist, wird mit ^{σ}M bezeichnet. Ein R − S–Bimodul M, dessen R–Operation mit σ ∈ Aut(R) und dessen S–Operation mit τ ∈ Aut(S) getwistet ist, wird mit _{σ}M_{τ} bezeichnet ([Fr-73]).

Lemma 1 Sei G eine endliche Gruppe und sei M ein einfacher ZZG–Modul, dann ist für jeden zentralen Automorphismus σ von ZZG der Modul ^{σ}M zu M isomorph.

Beweis. Da M einfach ist, existiert eine Primzahl p von ZZ, so daß M ein IF_{p}G–Modul ist. Sei P_{M} =: P die projektive Decke von M als ẐZ_{p}G–Modul. Dann ist natürlich ^{σ}P_{M} =: P′ die projektive Decke von ^{σ}M als ẐZ_{p}G–Modul. Es ist nämlich

σ(ẐZ_{p}G)_{1} ≃ _{1}(ẐZ_{p}G)_{σ^{−1}}

als Bimoduln und daher ist P′ projektiv. Nun ist aber Q ⊗_{ZZ} P′ ≃ Q ⊗_{ZZ} P nach dem Skolem–Noether Theorem, da σ zentral ist. Also ist nach [Sw-60, Theorem 1] P ≃ P′ und somit M ≃ ^{σ}M. q.e.d.

Bemerkung 1 K. W. Roggenkamp bemerkte, daß dieses Lemma leicht für charakteristische Schnitte eines projektiven Moduls verallgemeinert werden kann und daß die Aussage nicht für jeden Modul M gilt.

Dieses Resultat wird für die folgende vorbereitende Proposition verwendet:

Proposition 1 Sei G eine endliche Gruppe, für deren ganzzahligen Gruppenring die Zassenhausvermutung gilt und sei N ein halbeinfacher endlicher ZZG–Modul. Dann hat das Isomorphieproblem ganzzahliger Gruppenringe für ZZ(N ×G) eine positive Antwort.

9d.h. für alle r ∈ R und alle m ∈ ^{σ}M ist r · m := σ(r)m

Beweis. Wir setzen E := N ×G. Sei ZZE = ZZE_{1} als augmentierte Algebren und sei der in der Normalteilerkorrespondenz ([Pa-65, Theorem D], [RT-92, part1, section V], [Ki-92a]) zu N gehörige Normalteiler N_{1} von E_{1} vorgelegt. Dann ist I(N)E = I(N_{1})E_{1} und somit ist E_{1}/N_{1} isomorph zu einer Gruppenbasis G_{1} von ZZG. Da für ZZG die Zassenhausvermutung gilt, existiert ein zentraler Automorphismus α von ZZG mit α(G) = G_{1}. Da nach Voraussetzung I(N)E = I(N_{1})E_{1} und I(E) = I(E_{1}), ist auch

N ≃ I(N)E/(I(N)I(E)) = I(N_{1})E_{1}/(I(N_{1})I(E_{1})) ≃ N_{1}

eine Kette von ZZG–Isomorphismen.

Daher ist mit dem obigen Lemma ^{α}N_{1} ≃ N als ZZG–Moduln. Daher folgt die Behauptung mit einem wohlbekannten Lemma (cf. z.B. [Zi-90, Kriterium 5.3]). Es ist nämlich für diesen Isomorphismus ϕ dann ϕ̂: N ×G ⟶ N_{1} ×G_{1} mit ϕ̂(n, g) := (ϕ(n), α(g)) ein Gruppenisomorphismus. q.e.d.

Diese Proposition gilt auch für allgemeinere Koeffizientenringe S, nämlich für Dedekindbereiche R, in denen kein Primteiler der Ordnung von E invertierbar ist. Der Beweis ist wörtlich der gleiche, wenn man statt Q den Quotientenkörper von R verwendet und zusätzlich [Ro-80] heranzieht.

2.2 Automorphismen auf Bildern des Gruppenringes

Wir diskutieren in diesem Abschnitt Automorphismen ganzzahliger Gruppenringe direkter Produkte von Gruppen, wie sie für den in diesem Kapitel zu beweisenden Satz von Bedeutung sind. Die wesentlichen Argumente dieses Unterabschnittes sind auf Ideen von L. L. Scott und K. W. Roggenkamp zurückzuführen.

Sei G = G_{1} × G_{2} ein direktes Produkt endlicher Gruppen relativ primer Ordnung. Weiter soll ZZG der Zassenhaus–Vermutung genügen und es sei G_{1} p–auflösbar und O_{p′}(G) = G_{2}.

Ein normierter Automorphismus α von ZZG erweitert sich zu einem Automorphismus von ẐZ_{p}G und ist nach [Zi-90, Behauptung 6.3.1] p–adisch von der Form

α = γ · ( ∏_{i=1}^{k(p)} σ_{i}(p)) · ρ,

wobei σ_{i}(p) zentrale Gruppenautomorphismen von G_{1} sind, γ einen inneren Automorphismus von ẐZ_{p}G bezeichnet und ρ ein Gruppenautomorphismus von G ist. Dabei sind die Automorphismen σ_{i}(p) von G_{1} so zu verstehen, daß die zentralen Idempotente von ẐZ_{p}G alle von der Form 1 ⊗_{ẐZ_{p}} e für Idempotente e von ẐZ_{p}G_{2} sind und somit ẐZ_{p}G_{1} Teilring jedes Blockes von B_{i}(p) , (i = 1, .., k(p)) von ẐZ_{p}G ist, denn O_{p′}(G_{1}) = 1 und somit ist ẐZ_{p}G_{1} der Hauptblock.

Diese Methode findet sich im wesentlichen schon in [RS-87a].

Sei jetzt α′ ein normierter Automorphismus des ganzzahligen Gruppenringes ZZE, wobei E durch eine p–auflösbare Gruppenerweiterung E ⟶ ⟶ G mit Kern N definiert ist.

Es sei in diesem Unterkapitel vorausgesetzt, daß α′ das von N auf ZZE induzierte Augmentationsideal I(N)E normalisiert, d.h.

α′(I(N)E) = I(N)E.

Dann induziert α′ einen normalisierten Automorphismus α auf ZZG. Dieser ist, da für ZZG die Zassenhaus–Vermutung gilt, Produkt eines zentralen Automorphismus β und eines von einem Automorphismus ρ der Gruppenbasis G induzierten Ringautomorphismus:

α = β · ρ.

Da O_{p′}(E) ein Normalteiler von E ist, dessen Ordnung ihn im Normalteilerverband von E auszeichnet, fixiert α′ das Ideal I(O_{p′})E als Menge und induziert einen Automorphismus \overline{α} von ZZE/O_{p′}(E). Da aber E nach Voraussetzung p–auflösbar ist und O_{p′}(E/O_{p′}(E)) = 1 gilt, ist für ZZE/O_{p′}(E) die Zassenhausvermutung richtig. Es ist also

\overline{α} = δ(p) · τ(p)

für einen p–adisch inneren Automorphismus δ(p) von ZZE/O_{p′}(E) und einen von einem Automorphismus der Gruppenbasis E/O_{p′}(E) induzierten Automorphismus τ(p) von ZZE/O_{p′}(E) wie in der obigen Diskussion von α. Da nun aber α′ sowohl I(N)E als auch I(O_{p′}(E))E fixiert, induziert α einen Automorphismus \underline{α} von

ZZE/(I(N)E + I(O_{p′}(E))E) = ZZ(E/(N · O_{p′}(E))) .

Da aber

\frac{ZZE/I(N)E}{(I(O_{p′}(E))E + I(N)E)/I(N)E} = ZZE/(I(N)E + I(O_{p′}(E))E)

ebenso wie

\frac{ZZE/I(O_{p′}(E))E}{(I(O_{p′}(E))E + I(N)E)/I(O_{p′}(E))E} = ZZE/(I(N)E + I(O_{p′}(E))E),

ist p–adisch

\underline{α} = γ(p)(∏_{i=1}^{t(p)} σ_{i}(p))ρ = δ(p)τ(p)

für innere Automorphismen γ(p) und δ(p) von ẐZ_{p}E/(N · O_{p′}(E)) und zentralen Gruppenautomorphismen σ_{i}(p) von G_{1} für i = 1, ..., t(p), für jeden ẐZ_{p}G–Block im Bild des ẐZ_{p}E–Hauptblockes.

Offensichtlich ist τ(p)ρ^{−1} zentraler Gruppenautomorphismus von G und fixiert daher jedes zentrale Idempotent von ẐZ_{p}E/(N · O_{p′}(E)).

Daher unterscheiden sich die Automorphismen σ_{i}(p) für i = 2, ..., t(p) von σ_{1}(p) nur durch innere Automorphismen von G_{1}.

2.3 Ein gruppentheoretisches Hilfsmittel

Bekanntlich ([Hu-67, III, 2.5 Satz c]) existiert ein eindeutiger minimaler Normalteiler einer endlichen Gruppe G mit nilpotentem Quotienten. Diese Eigenschaft endlicher Gruppen geht an wesentlicher Stelle in den Beweis von K. W. Roggenkamp und L. L. Scott [RS-86] zum Isomorphieproblem von nilpotenten auf abelschen Gruppen ein. Da diese Arbeit hier verallgemeinert werden soll, ist ein entsprechender Satz für Gruppen, die in unserer Situation auftreten, zu zeigen.

Sei G eine endliche Gruppe, die die folgende Struktur besitzt:

G = H × ∏_{p∈P} G_{p}

mit

1. einer Gruppe H, für deren ganzzahligen Gruppenring ZZH die Zassenhausvermutung gilt, 18 2 ZUM ISOMORPHIEPROBLEM

2. einer n–elementigen Menge P von rationalen Primzahlen,

3. p-auflösbaren Gruppen G_{p} mit O_{p′}(G_{p}) = 1,

4. so daß alle n + 1 Gruppen paarweise relativ prime Ordnung besitzen.

5. Sei weiter N ein abelscher Normalteiler der endlichen Gruppe E mit

E/N ≃ G, so daß

(|N|, \frac{|G|}{∏_{p∈P} |P_{p}|}) = 1

wobei P_{p} eine p–Sylowuntergruppe von G_{p} ist. Man beachte, daß dadurch G eine p–auflösbare Gruppe für alle p ∈ P ist.

Wir zeigen, daß bei fest gehaltenem P ein eindeutiger Normalteiler N_{0} minimaler Ordnung in E mit Faktorgruppe G_{0} existiert, so daß sowohl N_{0} als auch G_{0} den obigen Bedingungen genügen.

Wir fixieren einige Bezeichnungen, um die Gedankenführung durchsichtiger zu machen:

• π_{p} ist die Menge der Primzahlen, die die Ordnung von G_{p} teilen.

• G_{p′} := G/G_{p}.

• Nach Voraussetzung ist π_{p} ∩ π_{q} = ∅ für alle p ≠ q; p, q ∈ P.

• Mit N_{p} ist mit der obigen Bezeichnung die p–Sylowgruppe von N bezeichnet, denn die Voraussetzungen an N und G garantieren, daß unter den Primzahlen in π_{p} nur p die Ordnung von N teilt.

• π(E) := {q prim : q| |E|}.

Seien jetzt in E zwei abelsche Normalteiler N und M mit E/N = G und E/M = Γ gegeben, so daß die Paare (N, G) und (M, Γ) den obigen Voraussetzungen 1 — 5 genügen. Zu zeigen ist, daß (N ∩ M, E/(N ∩ M)) auch diesen Voraussetzungen genügt. Behauptung 1 Es ist E/(N ∩ M) ≃ K = K_{0} × ∏_{p∈P} K_{p} und K_{p} sind π_{p}–Gruppen, |K_{0}| ist relativ prim zu |K/K_{0}|.

Beweis. Es ist sicher K isomorph zu einer Untergruppe von G × Γ durch die natürliche Einbettung von E/(N ∩ M) in E/N × E/M. Da E aber π_{p}– auflösbar nach Voraussetzung ist, enthält E/(N ∩ M) wenigstens eine π_{p}– Halluntergruppe. Diese ist in der einzigen π_{p}–Halluntergruppe von E/N × E/M enthalten. Alle π_{p}–Halluntergruppen von E/(N ∩ M) sind konjugiert in E/(N ∩ M).

Nun ist aber die π_{p}–Halluntergruppe von E/(N ∩ M) in dem Schnitt der π_{p}–Halluntergruppe Π_{p} von E/N × E/M und E/(N ∩ M) enthalten. Π_{p} ∩ E/(N ∩ M) ist sicher eine normale π_{p}–Untergruppe von E/(N ∩ M). Also existiert nur eine π_{p}–Halluntergruppe von E/(N ∩ M), welche dann als direkter Faktor abspaltet, da analog auch ihr Komplement normal ist.

Für K_{0} definiert man

π_{0} := π(E) \ ∪_{p∈P}π_{p}

und führt analoge Schlüsse. q.e.d.

Behauptung 2 Es ist E/(N_{p} × M_{p′}) ≃ G_{p} × Γ_{p′}.

Beweis. Sicherlich ist N_{p}·M_{p′} = N_{p}×M_{p′}, da sowohl N_{p} als auch M_{p′} normale Untergruppen relativ primer Ordnung sind.

Es sei U das volle Urbild von G_{p} in E. Da (|N_{p′}|, |U/N_{p′}|) = 1, ist U/N_{p′} isomorph zu einer π_{p}–Halluntergruppe von E nach dem Satz von Schur– Zassenhaus.

Nach der Behauptung 1 ist E/(N ∩ M) = K_{p} × K_{p′} für eine π_{p}–Gruppe K_{p} und eine π_{p′}–Gruppe K_{p′}. Da aber N ∩ M Untergruppe von N_{p} × M_{p′} ist, ist der natürliche Homomorphismus E/(N ∩M) ⟶ E/(N_{p} ×M_{p′}) surjektiv. Also ist E/(N_{p} × M_{p′}) =: X = X_{p} × X_{p′} wieder eine Zerlegung wie oben.

Sei nun V das volle Urbild von X_{p} in E, dann ist wegen (|V/M_{p′}|, |M_{p′}|) = 1 auch V/M_{p′} isomorph zu einer π_{p}–Halluntergruppe von E wieder nach dem Satz von Schur–Zassenhaus.

Somit sind U/N_{p′} und V/M_{p′} konjugiert in E. Da N_{p} eine normale π_{p}– Gruppe ist, liegt sie in jeder π_{p}–Halluntergruppe. Also ist

G_{p} = U/(N_{p} × N_{p′})
= (U/N_{p′})/N_{p}
≃ (V/M_{p′})/N_{p}
= V/(N_{p} × M_{p′})
= X_{p},

und wenn man noch die Rollen von π_{p} und π_{p′} vertauscht, erhält man das Ergebnis. q.e.d.

Behauptung 3 Falls M_{p′} = N_{p′}, folgt aus O_{p′}(G_{p}) = 1 die Gleichung O_{p′}((E/(N ∩ M))_{p}) = 1.

Beweis. Die Isomorphie von G_{p′} und Γ_{p′} folgt aus Behauptung 2.

Nach der Behauptung 1 ist E/(N ∩ M) = X_{p} × X_{p′} mit der obigen Notation. Wir faktorisieren N_{p′} und verändern die Situation dadurch nicht.

Sei U das volle Urbild von G_{p} in E und V das volle Urbild von (E/(N ∩ M))_{p} in E. Dann sind sowohl U als auch V zwei π_{p}–Halluntergruppen von E und somit konjugiert. Da N eine normale π_{p}–Gruppe ist, liegt sie in U ∩ V. Also ist

1 = O_{p′}(G_{p})
= O_{p′}(U/N)
= O_{p′}(V/N)
= O_{p′}((V/(N ∩ M))/(N/(N ∩ M)))
≥ O_{p′}(V/(N ∩ M))
= O_{p′}(X_{p}),

da in Bildern von Gruppen Bilder von Normalteilern wieder Normalteiler sind. Dies war jedoch die Behauptung. q.e.d.

Nun kann das Gesamtziel ins Auge gefaßt werden: Normalteiler N heißen geeignet, wenn N zusammen mit E/N die Voraussetzungen 1 — 5 von oben erfüllen. Falls nun N und M geeignete Normalteiler von E sind, so ist nach Behauptung 2 auch N_{p} × M_{p′} ein geeigneter Normalteiler. Mit Behauptung 3 sind dann aber auch (N_{p} ∩ M_{p}) × N_{p′} sowie (N_{p} ∩ M_{p}) × M_{p′} geeignete Normalteiler. Mit diesen werde das Verfahren fortgeführt und man erhält, daß N ∩ M ein geeigneter Normalteiler ist.

Proposition 2 Es existiert in E ein eindeutiger minimaler Normalteiler N_{0}, der den Voraussetzungen 1 — 5 von oben genügt.

Beweis.

N_{0} := ⋂_{N geeignet} N.

q.e.d.

Lemma 2 N_{0} besitzt ein Komplement.

Beweis. Es ist N abelsch und somit gilt für alle natürlichen Zahlen i mit G_{0} = E/N_{0} für die i-te Kohomologiegruppe

H^{i}(G_{0}, N_{0}) ≃ ∏_{p| |N_{0}|} H^{i}(G_{0}, (N_{0})_{p}).

Wir zeigen, daß H^{i}(G_{0}, N_{0}) = 0 ist und können daher annehmen, daß N_{0} eine p–Gruppe ist.

Da nun aber

Ext_{ẐZ_{p}G_{0}}^{i}(ẐZ_{p}, N_{0}) = Ext_{ZZG_{0}}^{i}(ZZ, N_{0}) = H^{i}(G_{0}, N_{0})

gilt, ist man fertig, wenn N_{0} keinen Beitrag zum ẐZ_{p}G_{0} Hauptblock besitzt.

Da ẐZ_{p}G_{p′} separabel und ẐZ_{p}G_{p} eine unzerlegbare Algebra ist, ist die Einschränkung des ẐZ_{p}G Hauptblocksummanden N_{0}(0) von N_{0} auf G_{p′} ein trivialer Modul. Sei N_{0}(0) ⊕ N_{R} = N_{0}. Es sei Y das volle Urbild von G_{p′} in E/N_{R}. Nach dem Satz von Schur–Zassenhaus besitzt N_{0}(0) in Y ein zu G_{p′} isomorphes Komplement. Zudem ist N_{0}(0) zentraler Normalteiler von Y, da G_{p′} trivial auf N_{0}(0) operiert. Somit ist N_{0}(0) direkter Faktor von Y und G_{p′} ist normale π_{p′}–Halluntergruppe von Y. Da Y Normalteiler von E/N_{R} ist und da G_{p′} charakteristischer Normalteiler von Y ist, ist G_{p′} normale π_{p′}–Halluntergruppe von E/N_{R}.

Sei G̃_{p} das volle Urbild von G_{p} in E/N_{R}. Offensichtlich ist G̃_{p} normale π_{p}– Halluntergruppe von E/N_{R}. Da außerdem G_{p} Bild von G̃_{p} ist und O_{p′}(G_{p}) = 1 gilt, ist O_{p′}(G̃_{p}) = 1.

Da nun aber G̃_{p} und G_{p′} Normalteiler relativ primer Ordnung von E/N_{R} sind, zerfällt E/N_{R} in ein direktes Produkt von Gruppen, so daß N_{R} zusammen mit E/N_{R} den Voraussetzungen 1–5 genügen. Mit der Minimalität von N_{0} folgt N_{0}(0) = 1. q.e.d.

Wir können daher das folgende Korollar formulieren:

Korollar 2 Es ist H^{i}(G_{0}, N_{0}) = 0 für alle positiven ganzen Zahlen i.

2.4 Der Isomorphiesatz

Wir zeigen in diesem Unterabschnitt mit den bisher bereitgestellten Hilfsmitteln den Satz 1 Sei P eine endliche Menge von n rationalen Primzahlen und sei

G = H × ∏_{p∈P} G_{p}

ein Produkt von n + 1 Gruppen paarweise relativ primer Ordnung, so daß für jedes p die Gruppen G_{p} p–auflösbar mit O_{p′}(G_{p}) = 1 sind. Eine p– Sylowuntergruppe von G_{p} sei mit P_{p} bezeichnet. ZZH erfülle die Zassenhausvermutung. Weiterhin sei E eine endliche Gruppe mit abelschem Normalteiler N und E/N ≃ G, für den die Beziehung

(|N|, \frac{|G|}{∏_{p∈P} |P_{p}|}) = 1

gilt. Dann hat das Isomorphieproblem für ZZE eine positive Antwort.

Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit ist N = N_{0} in der Bezeichnungsweise von Unterabschnitt 2.3. Sei weiter

A := rad_{ZZG}N = ∏_{p| |N|} rad_{ẐZ_{p}G}N_{p},

so daß N/A ein halbeinfacher ZZG–Modul ist. In Anlehnung an Unterabschnitt 2.3 bezeichnet N_{p} die p–Sylowuntergruppe von N und (N/A)_{p} die p–Sylowuntergruppe von N/A. Falls für ein ẐZ_{p}G–Blockidempotent e nun

eN_{p}/eA_{p} = 0

gilt, so ist wegen der Additivität des Radikals eN_{p} = 0. Also gehört (N/A)_{p} zu genau denselben ẐZ_{p}G–Blöcken wie N_{p}.

Sei nun ZZE = ZZE_{1} für eine normalisierte Untergruppe E_{1} der Einheiten von ZZE, so existiert zu N ⊴ E ein Normalteiler M ⊴ E_{1} von E_{1}, so daß die induzierten Augmentationsideale von N und M übereinstimmen ([Pa-65, Theorem D][RT-92, Ki-92a]):

I(N)E = I(M)E_{1}.

Ebenso existiert zu A ⊴ E ein B ⊴ E_{1} mit

I(A)E = I(B)E_{1}.

Es seien

\overline{N} := N/A , \overline{E} := E/A , \overline{E}_{1} ≃ E_{1}/B , \overline{M} := M/B und G^{1} ≃ E_{1}/M

Gruppen der Augmentation 1, so daß ZZG = ZZG^{1} und ZZ\overline{E} = ZZ\overline{E}_{1} sind.

Sicherlich ist für ZZG die Zassenhausvermutung richtig [Zi-90, Bemerkung 3.2.2.] und [RS-87b].

Da N der kleinste Normalteiler in E ist, der den Vorraussetzungen des Satzes genügt, ist \overline{N} der kleinste Normalteiler von \overline{E}, der den Voraussetzungen des Satzes genügt. Wäre das nicht der Fall, so würde in \overline{E} ein kleinerer Normalteiler \overline{N}_{0} existieren, der den Voraussetzungen des Satzes genügt. Dieser besitzt das volle Urbild N′_{0} in E mit isomorphem Quotienten:

\overline{E}/\overline{N}_{0} ≃ E/N′_{0}.

Es ist nur noch zu zeigen, daß die Bedingung 5 aus Unterabschnitt 2.3 nicht verletzt ist. Dies folgt aus dem Beweis von Lemma 2: N hat keinen Beitrag zum ẐZ_{p}G–Hauptblock, fehlte aber in \overline{N}_{0} eine p–Sylowgruppe, die in N nicht fehlt, so gehörte \overline{N}_{p} zum ẐZ_{p}G–Hauptblock.

Somit fixiert jeder augmentierte Automorphismus α von ZZ\overline{E} das induzierte Augmentationsideal I(\overline{N})\overline{E} als Ganzes. Es würde sonst zu I(\overline{N})\overline{E} einen Normalteiler \overline{N}′ von \overline{E} mit derselben Ordnung wie \overline{N} geben, der der Beziehung

I(\overline{N}′)\overline{E} = α(I(\overline{N})\overline{E})

genügt. Da dann aber

ZZ\overline{E}/\overline{N} ≃ ZZ\overline{E}/\overline{N}′

und mithin

\overline{E}/\overline{N} ≃ \overline{E}/\overline{N}′

aus der positiven Antwort auf das Isomorphieproblem für ZZ\overline{E}/\overline{N} folgt, ist daher, verwendet man |\overline{N}| = |\overline{N}′|, auch \overline{N}′ geeignet, die Voraussetzungen des Satzes anzuwenden. Aus der Minimalität von \overline{N} ist dann sogar \overline{N} = \overline{N}′ zu folgern. Damit ist die Zwischenbehauptung gezeigt.

Mit Proposition 1 erhält man einen Ringautomorphismus α′ von ZZ\overline{E}, der \overline{E} auf \overline{E}_{1} abbildet und daher augmentiert ist. Dieser induziert dann mit der obigen Diskussion einen Automorphismus α von ZZG, der dann G auf G^{1} abbildet.

Die Diskussion in Unterabschnitt 2.2 erlaubt uns nun, die p–adische Erweiterung von α für jedes p ∈ P als

α = γ(p)( ∏_{i=1}^{k(p)} σ_{i}(p))ρ

für jeden ẐZ_{p}G–Block B_{1}, .., B_{k(p)} und zentrale Gruppenautomorphismen σ_{i}(p) von G_{p}, innere Automorphismen γ(p) von ẐZ_{p}G und einen Gruppenautomorphismus ρ von G zu schreiben. Dabei unterscheiden sich für festes p die σ_{i}(p) auf dem Bild des ẐZ_{p}\overline{E}–Hauptblockes B_{1} ⊕B_{2} ⊕...⊕B_{t(p)} nur durch innere Automorphismen, die durch Variation von γ(p) beschrieben werden können.

Nun müssen noch die verschiedenen Primstellen ausgeglichen werden. Da σ_{1}(p) ein zentraler Gruppenautomorphismus von G_{p} ist, ist er global definierbar und an der Primstelle q ≠ p ist er inner: Da |G/G_{p}| · ẐZ_{p} = ẐZ_{p}, ist die Gruppe der äußeren Automorphismen Outcent(ẐZ_{p}G/G_{p}) trivial ([RS-87a, (1.2.13)]).

Daher ist

σ := ∏_{p∈P} σ_{1}^{−1}(p)

ein zentraler Gruppenautomorphismus von G und

φ := αρ^{−1}σ^{−1}

ein Ringautomorphismus von ZZG, der G auf G^{1} abbildet und der auf dem Bild des ẐZ_{p}\overline{E}–Hauptblockes an den Primstellen p ∈ P innerer Automorphismus ist.

Nun ist aber

[(\overline{N})_{p}, O_{p′}(\overline{E})] ≤ ((\overline{N})_{p} ∩ O_{p′}(\overline{E})) = 1,

da die beiden Gruppen Normalteiler relativ primer Ordnung in E sind, und somit (\overline{N})_{p} zum ẐZ_{p}\overline{E} Hauptblock gehörig ist. Da aber (\overline{N})_{p} und N_{p} zu den gleichen ẐZ_{p}G–Blöcken gehören, gehört N_{p} zum ẐZ_{p}\overline{E}–Hauptblock.

Da nun aber

φN ≃ N

als ZZG–Moduln und unter Benützung des kleinen Gruppenrings ZZE/(I(N)I(E)) die ZZG–Modulisomorphie

N ≃ I(N)E/(I(N)I(E)) = I(M)E_{1}/(I(M)I(E_{1})) ≃ M

gilt ([RS-87a]), schließt man

E ≃ E_{1}

aus [Zi-90, Kriterium 5.3]. q.e.d.

Unter den vielen Konsequenzen des Satzes sei eine besonders hervorgehoben:

Korollar 3 [Sc-85, RS-86] Sei E eine endliche Gruppe mit abelscher Hyperkommutatorgruppe^{10} N. Dann hat ZZE eine positive Antwort auf das Isomorphieproblem.

Beweis. Mit H = 1 und G_{p} = P_{p} für alle p ∈ P ist der obige Satz auf E anwendbar. q.e.d.

Beispiele für Gruppen E, die den Voraussetzungen des Satzes aber nicht den Voraussetzungen des Korollars genügen, sind leicht in vielfältiger Ausprägung zu gewinnen. Für die Rolle als G_{p} prädestiniert sind zum Beispiel affine Gruppen C_{p} ×C_{q} für Primzahlen p, q und q|(p−1) mit Galoisoperation.

Für P = ∅ ist das Ergebnis von Sehgal, Sehgal und Zassenhaus [SSZ-84] in Satz 1 enthalten.

10das ist der Kern des Epimorphismus auf den größten nilpotenten Quotienten

3 Involutionen in Gruppenringen

3.1 Präliminarien

Wir beginnen mit einem wohlbekannten Lemma, das wegen seiner Bedeutung für die vorliegende Arbeit angegeben werden soll:

Lemma 3 Sei K ein Körper und sei A eine K–Algebra mit zentralem Idempotent e verschieden von 1 und 0. Sei R ein Dedekindbereich und sei Λ eine R–Ordnung in A mit K = frac(R). Dann gilt für jede R–flache, kommutative R–Algebra S

S ⊗_{R} Λ  ⟶ S ⊗_{R} Λ · e
↓  ↓
S ⊗_{R} Λ · (1 − e) ⟶ S ⊗_{R} \overline{Λ}

mit \overline{Λ} := Λ · e/(Λ ∩ Λ · e) ist ein Pullbackdiagramm.

Als nächstes werden wir ein weiteres Lemma in Anlehnung an [GR-87b, Theorem 2.7] beweisen, das uns die Arbeit sehr erleichtern wird:

K sei der Quotientenkörper des Dedekindbereiches R der Charakteristik 0.

Lemma 4 Seien Λ eine R–Ordnung in einer endlich dimensionalen K– Algebra A und Δ eine R–Ordnung in der endlich dimensionalen K–Algebra B, so daß Λ ≤ Δ und A ≤ B und sei J ein lokal freies Λ–Rechtsideal. Dann ist J ⊗_{Λ} Δ ≃ J · Δ ausgewertet in B.

Beweis. Es ist

0 ⟶ Δ ⟶ B ⟶ B/Δ ⟶ 0

eine exakte Sequenz von Δ–Moduln und somit auch von Λ-Moduln. Dann ist eine exakte Sequenz von Λ–Moduln induziert:

T or_{1}^{Λ}(J, B/Δ) ⟶ J ⊗_{Λ} Δ ⟶ J ⊗_{Λ} B

Da aber J projektiv ist, gilt

T or_{1}^{Λ}(J, B/Δ) = 0.

Somit ist mit

J ⊗_{Λ} B ≃ (J ⊗_{Λ} Δ) ⊗_{R} K
≃ K ⊗_{R} J ⊗_{Λ} Δ
≃ (J ⊗_{R} K) ⊗_{Λ} Δ
≃ A ⊗_{Λ} Δ
≃ K ⊗_{R} Λ ⊗_{Λ} Δ
≃ K ⊗_{R} Δ
≃ B

die Behauptung bewiesen, wenn man die Isomorphismen in den exakten Sequenzen verfolgt. q.e.d.

Im Verlaufe der folgenden Untersuchungen wird ein zahlentheoretisches Lemma benötigt werden. Wir definieren für alle i ∈ ZZ die Zahl η_{i}(n) := ζ_{2^{n}}^{i} + ζ_{2^{n}}^{−i}. Manchmal wird auch η_{i} statt η_{i}(n) und η statt η(n) geschrieben.

Lemma 5 Sei ζ_{2^{n}} eine primitive 2^{n}–te Einheitswurzel.

η(n) := ζ_{2^{n}} + ζ_{2^{n}}^{−1}

Dann gilt für alle k ≥ 2 und alle x ∈ ZZ[η(n)]:

(1 + 2^{k}x) ∈ U(ZZ[η(n)]) ⟹ x ∈ η(n)ZZ[η(n)]

für alle n ≥ 2.

Beweis von Lemma 5. Wir führen eine Induktion über n durch.

Sei n = 2 : Dann ist die Behauptung trivial, da η(2) = 0.

Sei die Behauptung bewiesen für n − 1. Dann sei jetzt die Körpererweiterung Q[η(n)] : Q[η(n − 1)] betrachtet. Die Ganzheitsringe in diesen Körpern sind ZZ[η(n)] bzw. ZZ[η(n − 1)], welche den ZZ–Rang 2^{n−2} bzw. 2^{n−3} haben. Damit ist unsere Körpererweiterung quadratisch. Mit Nr sei die Norm dieser Erweiterung und mit tr die Spur bezeichnet. Sei x ∈ ZZ[η(n)] mit

x = α + ∑_{i} α_{i}η_{2i} + ∑_{j} β_{j}η_{2j+1}

mit ganzzahligen Koeffizienten. Sei σ Erzeugendes der Galoisgruppe der Erweiterung von ZZ[η(n)] : ZZ[η(n − 1)]. Da diese Untergruppe der zyklischen Galoisgruppe von ZZ[η(n)] über ZZ ist ([Hu-67, I,13.19]) und die Ordnung 2 hat, ist

x^{σ} = α + ∑_{i} α_{i}η_{2i} − ∑_{j} β_{j}η_{2j+1}.

Das Hauptargument des Beweises ist das folgende: Es berechnet sich die Norm von 1 + 2^{k}x zu

Nr(1 + 2^{k}x) = (1 + 2^{k}x) · (1 + 2^{k}x^{σ})
= 1 + 2^{k}tr(x) + 2^{2k}Nr(x)
∈ U(ZZ[η(n − 1)]).

Es ist

tr(x) = 2 · (α + ∑_{i} α_{i}η_{2i})

und somit

Nr(1 + 2^{k}x) = 1 + 2^{k+1}(α + ∑_{i} α_{i}η_{2i}) + 2^{2k}Nr(x)
= 1 + 2^{k+1}(α + ∑_{i} α_{i}η_{2i} + 2^{k−1}Nr(x)).

Mit der Induktionsannahme ist

α + ∑_{i} α_{i}η_{2i} + 2^{k−1}Nr(x) ∈ η(n − 1)ZZ[η(n − 1)].

Da k ≥ 2 gilt, ist 2^{k−1}Nr(x) ∈ η(n−1)ZZ[η(n−1)] und somit wegen η_{2i}(n) ∈ η(n − 1)ZZ[η(n − 1)] auch

α ∈ (η(n − 1)ZZ[η(n − 1)]) ∩ ZZ = 2ZZ.

Damit ist jedoch auch x ∈ η(n)ZZ[η(n)]. Es folgt die Behauptung. q.e.d.

Es wurde dabei verwendet, daß Nr(η(n)) = 2 — die Norm nach ZZ— und daß die Galoisgruppe von ZZ[η(n)] über ZZ auf η(n)ZZ[η(n)] operiert. Dies ist jedoch eine lange bekannte Tatsache (z.B. [Ha-49, III §27 c2. Seite 391]).

Bemerkung 2 Man vergleiche diesen Beweis mit dem Beweis von Lemma 9, da auch dort der Galoisautomorphismus σ und die Norm Nr die Schlüsselrolle spielen.

3.2 Grundlegende Definitionen

Es sei für ein festes n ∈ IN

D_{2^{n}} =< a, b|a^{2^{n}}, b^{2}, baba >

die Diedergruppe der Ordnung 2^{n+1}. Dann ist

C(n) := C_{ZZD_{2^{n}}}(b) =< 1, a^{i} + a^{−i}, a^{2^{n−1}}|1 ≤ i ≤ 2^{n−1} − 1 >_{ZZ<b>}

der Zentralisator von b in ZZD_{2^{n}}. Mit Lemma 3 und einem zentralen Idempotent e = \frac{1}{2}(1 + a^{2^{n−1}}) in QD_{2^{n}} ist ZZD_{2^{n}} ein Pullback mit einer ZZ-Ordnung Λ_{n} und IF_{2} := ZZ/2ZZ wie folgt ([Ro-89]):

ZZD_{2^{n}} ⟶^{σ_{n}} ZZD_{2^{n−1}}
↓ τ_{n}  ↓ ϕ_{n}
Λ_{n}  ⟶^{ψ_{n}} IF_{2}D_{2^{n−1}}

Dabei ist σ_{n} Multiplikation mit e gefolgt von dem Isomorphismus

D_{2^{n}}/ < a^{2^{n−1}} >≃ D_{2^{n−1}}

und τ_{n} ist die Multiplikation mit (1 − e). Wir schreiben C(n) iterativ als Pullback in Ringen algebraisch ganzer Zahlen ZZ[η(k)]. Mit Lemma 3 ist damit ein Pullbackdiagramm von C(n) induziert:

C(n) ⟶^{σ_{n}} B_{n−1}
↓ τ_{n}  ↓ \overline{ϕ}_{n}
Γ_{n}  ⟶^{\overline{ψ}_{n}} \overline{B}_{n−1}

Es ist Λ_{n} äquivalent zur Darstellung

a ⟶ ( \begin{matrix}cos\frac{2π}{n} & sin\frac{2π}{n} \\ −sin\frac{2π}{n} & cos\frac{2π}{n} \end{matrix} ) , b ⟶ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

und somit

τ_{n}(a^{k} + a^{−k}) = (ζ_{2^{n}}^{k} + ζ_{2^{n}}^{−k}) · 1 für alle k ∈ IN.

Daher ist Γ_{n} = ZZ[η(n)] < b > mit η_{i}(n) := ζ_{2^{n}}^{i} + ζ_{2^{n}}^{−i} und η(n) := η_{1}(n). Weiter ist

B_{n−1} = σ_{n}(C(n)) =< 1, a^{i} + a^{−i}, 2a^{2^{n−2}}|i = 1, .., 2^{n−2} − 1 >_{ZZ<b>} .

Man beachte den Unterschied zu C(n):

C(n)/B_{n} = (ZZ < b > a^{2^{n−1}})/(2ZZ < b > a^{2^{n−1}}).

Da C(n)e = B_{n}e und C(n)(1 − e) = B_{n}(1 − e), ist ein Pullbackdiagramm wie folgt gegeben:

B_{n} ⟶ B_{n−1}
↓  ↓ ϕ̃
Γ_{n} ⟶^{ψ̃_{n}} B̃_{n−1}

Zum Beweis von Satz 2 benötigen wir noch weitere Ringe, die als Pullbacks geschrieben werden sollen. Wir setzen Ĉ(n) := C(n)/((1−b)C(n)) und B̂_{n} := B(n)/((1 − b)B(n)). Dann erhalten wir Pullbackdiagramme

\begin{matrix}B̂_{n} & ⟶ & B̂_{n−1} \\ ↓ & & ↓ \\ ZZ[η(n)] & ⟶ & ˜B̂_{n−1} \end{matrix} , \begin{matrix}Ĉ(n) & ⟶ & B̂_{n−1} \\ ↓ & & ↓ \\ ZZ[η(n)] & ⟶ & \overline{B̂}_{n−1}. \end{matrix}

Damit ist

(1−e)Ĉ(n) =< \frac{1}{2}(1−a^{2^{n−1}}), \frac{1}{2}(a^{i}+a^{−i}−a^{2^{n−1}−i}−a^{2^{n−1}+i})|1 ≤ i ≤ 2^{n−2}−1 >_{ZZ}

und

(1−e)Ĉ(n)∩Ĉ(n) =< 1−a^{2^{n−1}}, a^{i}+a^{−i}−a^{2^{n−1}−i}−a^{2^{n−1}+i}|1 ≤ i ≤ 2^{n−2}−1 >_{ZZ} .

In ZZ[η(n)] ist dies gleich 2ZZ[η(n)]. Genauso verfahren wir mit B̂_{n}:

(1−e)B̂_{n} =< \frac{1}{2}(1−a^{2^{n−1}}), \frac{1}{2}(a^{i}+a^{−i}−a^{2^{n−1}−i}−a^{2^{n−1}+i})|1 ≤ i ≤ 2^{n−2}−1 >_{ZZ}

und

(1−e)B̂_{n}∩B̂_{n} =< 2−2a^{2^{n−1}}, a^{i}+a^{−i}−a^{2^{n−1}−i}−a^{2^{n−1}+i}|1 ≤ i ≤ 2^{n−2}−1 >_{ZZ} .

In ZZ[η(n)] ist dies gleich 2η(n)ZZ[η(n)].

Damit ist

\overline{B̂}_{n−1} = ZZ[η(n)]/(2ZZ[η(n)]) und ˜ B̂_{n−1} = ZZ[η(n)]/(2η(n)ZZ[η(n)]).

3.2 Grundlegende Definitionen 31 Da C(n) = ZZ < b > ⊗_{ZZ} Ĉ(n) und B_{n} = ZZ < b > ⊗_{ZZ} B̂_{n}, ist

\overline{B}_{n−1} = ZZ < b > ⊗_{ZZ}ZZ[η(n)]/(2ZZ[η(n)])

und

B̃_{n−1} = ZZ < b > ⊗_{ZZ}ZZ[η(n)]/(2η(n)ZZ[η(n)]).

Präziser:

\overline{B}_{n} = ZZ/2ZZ < b > + ∑_{i=1}^{2^{n−1}−1} ZZ/2ZZ < b > (a^{i} + a^{−i}),

B̃_{n} = ZZ/4ZZ < b > + ∑_{i=1}^{2^{n−1}−1} ZZ/2ZZ < b > (a^{i} + a^{−i}).

Für spätere K−theoretische Anwendungen beweisen wir das Lemma 6 Es ist 2 − b ∈ U(B̃_{n−1}) kein Bild einer Einheit von Γ_{n}. Beweis. Die Faser von 2 − b in Γ_{n} ist

2 − b + 2η(n)ZZ[η(n)] < b >

und ein Element x aus dieser Menge also von der Form:

x = 2 − b + 2x_{1}η(n) + 2y_{1}bη(n) mit x_{1}, y_{1} ∈ ZZ[η(n)].

Da ZZ[η(n)] < b >⊆ ZZ[η(n)] ⊕ ZZ[η(n)], drückt sich x in den Wedderburn Komponenten wie folgt aus:

x = (1 + 2x_{1}η(n) + 2y_{1}η(n), 3 + 2x_{1}η(n) − 2y_{1}η(n)).

Falls es solch ein x gibt, so auch eines mit Augmentation 1:

Es existieren nämlich zwei kommutative Diagramme wie folgt:

\begin{matrix}Γ_{n} & ⟶^{ϕ̃} & B̃_{n} \\ ↓ ϵ & & ϵ̃ ↓ \\ ZZ[η(n)] & ⟶^{π̃} & ˜B̂_{n} \end{matrix} und \begin{matrix}Γ_{n} & ⟶^{ϕ̃} & B̃_{n} \\ ↑ σ & & σ̃ ↑ \\ ZZ[η(n)] & ⟶^{π̃} & ˜B̂_{n} \end{matrix}

mit σ(x) = x · 1. Außerdem ist ϵσ = id_{ZZ[η(n)]} und ϵ̃σ̃ = id_{˜B̂_{n}}. Jetzt ist für irgend ein Urbild x von 2 − b

ϕ̃((σϵ)(x)) = (ϕ̃σϵ)(x) = σ̃(π̃ϵ(x)) = σ̃(1) = 1

und es wäre daher mit x·((σϵ(x))^{−1} ein Urbild mit Augmentation 1 gefunden. Man kann also ohne Beschränkung der Allgemeinheit

2x_{1}η(n) + 2y_{1}η(n) = 0

annehmen, wodurch dann die Projektion auf die zweite Komponente eine Einheit

u = −1 + 4z mit z = 1 + η(n)y_{1}

wäre. Die Bedingung an z definiert genau die Elemente in ZZ[η(n)] \ η(n)ZZ[η(n)]. Solch ein Element gibt es aber nicht wie man mit Lemma 5 sieht.

3.3 Einheiten aus der Zahlentheorie

Lemma 7 Es sei C_{2} =< b > gegeben. Dann sind 1+ζ_{2^{n}}^{i}+ζ_{2^{n}}^{−i} und b+ζ_{2^{n}}^{i}+ζ_{2^{n}}^{−i} Einheiten in ZZ[ζ_{2^{n}} + ζ_{2^{n}}^{−1}]C_{2} = Γ_{n}.

Beweis von Lemma 7. Für n = 2 ist die Aussage klar, da dann die fraglichen Einheiten gleich 1 oder b sind. Sonst ist mit

(1 + ζ_{2^{n}}^{i} + ζ_{2^{n}}^{−i}) · (1 − ζ_{2^{n}}^{i} − ζ_{2^{n}}^{−i}) = −1 · (1 + ζ_{2^{n}}^{2i} + ζ_{2^{n}}^{−2i})

und

(b + ζ_{2^{n}}^{i} + ζ_{2^{n}}^{−i}) · (b − ζ_{2^{n}}^{i} − ζ_{2^{n}}^{−i}) = −1 · (1 + ζ_{2^{n}}^{2i} + ζ_{2^{n}}^{−2i})

die Aussage induktiv bewiesen.

Lemma 8 Es ist

1. |U(B̃_{n−1}) : ψ̃_{n}(U(Γ_{n}))| = 2.

2. \overline{ψ}_{n}(U(Γ_{n})) = U(\overline{B}_{n−1}).

für alle n ≥ 3.

Beweis von Lemma 8. Zuerst folgern wir aus Teil 2 die Aussage von Teil 1. Sei

B̃_{n} ⟶^{ϱ_{n}} \overline{B}_{n}

die natürliche Projektion. Da ϱ_{n} surjektiv ist und kerϱ_{n} im Radikal von B̃_{n} liegt, ist jedes Urbild einer Einheit von \overline{B}_{n} Einheit in B̃_{n}. Falls \overline{u} = 1 + x mit x ∈ rad \overline{B}_{n} eine Einheit in \overline{B}_{n} ist, hat sie vier Urbilder in B̃_{n} : 1 + x, −1 + x, 1 + 2b + x, −1 + 2b + x. Somit ist

|U(B̃_{n})| = 4 · |U(\overline{B}_{n})|.

Dann sieht man: Es hat also ψ̃_{n}(U(Γ_{n})) in U(B̃_{n−1}) den Index 1,2 oder 4. Da aber −1 im Kern von \overline{ψ}_{n} aber nicht im Kern von ψ̃_{n} liegt, ist der Index höchstens 2, denn mit u ist auch −u eine Einheit von Γ_{n}.

Nach Lemma 6 ist der Index aber mindestens 2 also ist

|U(B̃_{n−1}) : ψ̃_{n}(U(Γ_{n}))| = 2.

Somit ist dann auch 1. bewiesen.

Wir zeigen jetzt Teil 2. in mehreren Schritten. Dies erfolgt durch den Beweis der Behauptungen 4–7 unter Verwendung von Lemma 7:

Behauptung 4 Es ist

U(\overline{B}_{n}) = U(\overline{B̂}_{n}) + (1 + b) · \overline{B̂}_{n}.

Beweis von Behauptung 4. Da \overline{B}_{n} = \overline{B̂}_{n} + b · \overline{B̂}_{n}, folgt die Behauptung aus der Nilpotenz von (1 + b) · \overline{B̂}_{n}. q.e.d.

Da (1 + b) · \overline{B̂}_{n} nilpotent vom Grade zwei ist, rechnet man

(1 + (b + 1)x) · (1 + (b + 1)y) = 1 + (b + 1)(x + y)

und somit wird U(\overline{B}_{n}) von U(\overline{B̂}_{n}), b und 1 + (b + 1)y_{i} für eine IF_{2}–Basis \{y_{i}\} von \overline{B̂}_{n} erzeugt. Denn \{1 + (b + 1)y_{i}, b\} erzeugen 1 + (b + 1)\overline{B̂}_{n} und

< U(\overline{B̂}_{n}), 1 + (b + 1)\overline{B̂}_{n} >= U(\overline{B}_{n})

nach Behauptung 4.

Wir definieren

x_{i} := a^{i} + a^{−i} ∈ \overline{B}_{n} ⊆ IF_{2}C_{2^{n}}.

Behauptung 5 Es ist {x_{i}(1+x_{i})^{−1}|i ungerade} eine 2^{n−2}–elementige linear unabhängige Menge in \overline{B̂}_{n}/\overline{B̂}_{n−1}.

Beweis von Behauptung 5. Es sei G die Automorphismengruppe der zyklischen Gruppe der Ordnung 2^{n}. Nach [Hu-67, I,13.19] ist

G ≃ C_{2} × C_{2^{n−2}}.

Diese operiert auf X := ∑_{i ungerade} IF_{2}x_{i} auf offensichtliche Weise. Dabei werde C_{2} ×1⊴G von a ⟶ a^{−1} erzeugt. Das operiert jedoch trivial auf X. Somit sind X und

Ỹ := ∑_{i} IF_{2} \frac{x_{i}}{1 + x_{i}} ≤ ∑_{i} IF_{2}x_{i}

IF_{2}C_{2^{n−2}}–Moduln. Wir betrachten nun den IF_{2}C_{2^{n−2}}-Modulhomomorphismus

∑_{alle i} IF_{2}x_{i} ⟶^{μ} ∑_{alle i} IF_{2}x_{i}/ ∑_{gerade i} IF_{2}x_{i}

(μ ist nichts anderes als die Restklassenabbildung von \overline{B̂}_{n} modulo \overline{B̂}_{n−1}) und stellen fest, daß der natürliche Homomorphismus

∑_{alle i} IF_{2}x_{i}/ ∑_{gerade i} IF_{2}x_{i} ⟶^{ν} X

ein IF_{2}C_{2^{n−2}}-Modulisomorphismus ist. (Es ist nämlich X ein moduldirekter Summand von ∑_{alle i} IF_{2}x_{i}.)

Sei Y das Bild von Ỹ in X via νμ. Wir wollen zeigen, daß Y = X gilt und nehmen an, daß Y ein echter Teilmodul von X ist. Offensichtlich ist X ≃ IF_{2}C_{2^{n−2}} unzerlegbar. Damit ist dann Y im Radikal von X und daher von ∑_{τ∈C_{2^{n−2}}} τ annuliert.

Es ist

\frac{x_{1}}{1 + x_{1}} = x_{1} + x_{1}^{3} + x_{1}^{5} + ... ,

die geraden Potenzen weglassend, denn diese liegen im Teilraum der x_{2i}. Nun ist aber

x_{1}^{2i+1} = x_{1} · x_{1}^{2i} = x_{1} · (∑_{j} α_{2j}x_{2j}) = ∑_{j} α_{2j} · (x_{2j−1} + x_{2j+1})

für geeignete α_{2j} ∈ IF_{2}, also eine gerade Anzahl von Summanden x_{k}. Summiert man über alle Konjugierten bezüglich C_{2^{n−2}}, ergibt sich, sobald i > 0 ist, das Ergebnis 2 · Δ = 0, wobei Δ := ∑_{i ungerade} x_{i}. Insgesamt erhält man also (∑_{τ∈C_{2^{n−2}}} τ)(Y) ∈ Δ ≠ 0. q.e.d.

Behauptung 6 Es ist < 1, \frac{x_{i}}{1+x_{i}} > eine IF_{2}–Basis von \overline{B̂}_{n}.

Beweis. Es ist \{\frac{x_{i}}{1−x_{i}} | i ungerade \} eine linear unabhängige Menge in \overline{B̂}_{n}/\overline{B̂}_{n−1}

nach Behauptung 5. Damit spannen sie \overline{B̂}_{n}/\overline{B̂}_{n−1} linear auf. Nach Induktion ist < 1, \frac{x_{i}}{1+x_{i}} | i gerade >= \overline{B̂}_{n−1}. Daher folgt die Behauptung. q.e.d.

Behauptung 7 \{1 + a^{i} + a^{−i}, 1 + b(a^{i} + a^{−i}), b|i = 1, .., 2^{n−1} − 1\} ⊆ \overline{B}_{n} erzeugt ganz U(\overline{B}_{n}).

Beweis von Behauptung 7. Nach [GR-87a, Lemma 3.12], (siehe auch [Ta-84, 7, (2.10)]) wird U(\overline{B̂}_{n}) von \{1 + a^{i} + a^{−i}|i ∈ IN\} erzeugt. Wegen

1 + b(a^{i} + a^{−i}) = (1 + a^{i} + a^{−i}) · (1 + (b + 1)\frac{a^{i} + a^{−i}}{1 + a^{i} + a^{−i}})

ist unter Verwendung der bisherigen Untersuchungen

< U(\overline{B̂}_{n}), 1 + b(a^{i} + a^{−i}), b|i ungerade >= U(\overline{B}_{n}).

q.e.d.

Faßt man jetzt alles zusammen sieht man das folgende: Die Bilder der Einheiten 1+η_{i}(n+1), b+η_{i}(n+1); i ∈ IN aus Lemma 7 erzeugen zusammen mit b die Einheiten von U(\overline{B}_{n}) und das Lemma 8 ist bewiesen.

3.4 Zentralisatoren als Tensorprodukte

Die Bestimmung der Einheiten von B_{n} ist überaus schwierig und ein weiterer Ansatz scheint geboten.

ZZC_{2} ⟶ ZZ
↓  ↓
ZZ ⟶ IF_{2}

ist ein Pullbackdiagramm und man erhält durch Tensorieren mit Ĉ(n) beziehungsweise mit B̂_{n} die induzierten Pullbackdiagramme

\begin{matrix}C(n) & ⟶ & Ĉ(n) \\ ↓ & & ↓ ψ_{2} \\ Ĉ(n) & ⟶^{ψ_{1}} & IF_{2} ⊗_{ZZ} Ĉ(n) =: \overline{Ĉ}(n) \end{matrix} und \begin{matrix}B_{n} & ⟶ & B̂_{n} \\ ↓ & & ↓ ϕ_{2} \\ B̂_{n} & ⟶^{ϕ_{1}} & IF_{2} ⊗_{ZZ} B̂_{n} =: ˆ \overline{B}_{n} \end{matrix}

Bemerkung 3 I. Reiner und S. Ullom stellten in [RU-74] ihre Theorie der Mayer-Vietoris-Sequenzen für Klassengruppen vor, die in der vorliegenden Arbeit eine zentrale Rolle spielen wird: Falls R ein Dedekindbereich ist mit einem globalen Quotientenkörper K der Charakteristik 0, und falls Λ eine R-Ordnung in der separablen, endlich dimensionalen K-Algebra A ist, falls weiter ein Pullbackdiagramm

\begin{matrix}Λ & ⟶^{α} & Λ_{1} \\ ↓ & & ↓ π_{1} \\ Λ_{2} & ⟶^{π_{2}} & \overline{Λ} \end{matrix}

von Ringen mit einer surjektiven Abbildung α und endlichem Ring \overline{Λ} gegeben ist und weiter QΛ die Eichler-Bedingung über R erfüllt, so besagt der Satz von I. Reiner und S. Ullom, daß die folgende Sequenz von Gruppen exakt ist:

U(Λ_{1}) × U(Λ_{2}) ⟶ U(\overline{Λ}) ⟶^{δ} Cl(Λ) ⟶ Cl(Λ_{1}) ⊕ Cl(Λ_{2}) ⟶ 0

Dabei ist

δ(u) = {(λ_{1}, λ_{2}) ∈ Λ_{1} × Λ_{2}|π_{1}(λ_{1}) = u · π_{2}(λ_{2})}

Diese Theorie fußt auf Milnors Mayer-Vietoris-Sequenzen für K-Gruppen wie sie in [Mil-71] dargestellt ist. Die Eichler-Bedingung ist sicherlich für kommutative Ordnungen erfüllt.

Eine erste Anwendung erhält man aus den Vorarbeiten in Kapitel 3.3 durch Betrachtung des Pullbackdiagramms

\begin{matrix}C(n) & ⟶ & B_{n−1} \\ ↓ & & ↓ \\ Γ_{n} & ⟶ & \overline{B}_{n−1} \end{matrix} .

Dabei verwendet man nun Lemma 8 und erhält, daß

Cl(C(n)) ≃ Cl(B_{n−1}) ⊕ Cl(Γ_{n})

ist. Außerdem ist dadurch gewährleistet, daß

|Cl(B_{n})| ≤ 2 · |Cl(B_{n−1})| · |Cl(Γ_{n})|

gilt. Dies folgt aus dem Pullbackdiagramm

B_{n} ⟶ B_{n−1}
↓  ↓
Γ_{n} ⟶ B̃_{n−1}

und Reiner Ulloms Mayer-Vietoris-Sequenz hierzu.

Alle Ringe in den obigen Pullbacks sind kommutativ und daher sind

U(Ĉ(n)) ⟶^{π_{C}} U( ˆ\overline{C}(n)) ⟶ Cl(C(n)) ⟶ (Cl(Ĉ(n)))^{2} ⟶ 0

und

U(B̂_{n}) ⟶^{π_{B}} U( ˆ\overline{B}_{n}) ⟶ Cl(B_{n}) ⟶ (Cl(B̂_{n}))^{2} ⟶ 0

die zugehörigen Mayer-Vietoris-Sequenzen.

Außerdem ist C(n) eine Oberordnung von B_{n} in QB_{n}. Dann ist

Cl(B_{n}) ⟶ ⟶ Cl(C(n))

ein Epimorphismus durch Induzieren (z.B. [Ta-84, 1. (3.8)]). Man erhält

Cl(B̂_{n}) = Cl(B̂_{n−1}) ⊕ Cl(ZZ[η(n)]) = ∏_{k≤n} Cl(ZZ[η(k)]),

da U(ZZ[η(n)]) surjektiv auf ZZ/4ZZ+∑_{i} ZZ/2ZZ(a^{i}+a^{−i}) abbildet ([GR-87a, Lemma 3.12, Lemma 3.14], [Ta-84, 7, (2.10)]).

Daher sieht man

Cl(Ĉ(n)) = Cl(B̂_{n−1}) ⊕ Cl(ZZ[η(n)]) = ∏_{k≤n} Cl(ZZ[η(k)]).

Da Induzieren einen Epimorphismus von Cl(B̂_{n}) auf Cl(Ĉ(n)) vermittelt ([Ta-84, 1. (3.8)]), ist Cl(B̂_{n}) ≃ Cl(Ĉ(n)).

Man hat also das kommutative Diagramm mit exakten Zeilen:

U(Ĉ(n)) ⟶^{π_{C}} U( ˆ\overline{C}(n)) ⟶^{δ_{C}} Cl(C(n)) ⟶ (Cl(Ĉ(n)))^{2} ⟶ 0
↑ π ↑ α ∥
U(B̂_{n}) ⟶^{π_{B}} U( ˆ\overline{B}_{n}) ⟶^{δ_{B}} Cl(B_{n}) ⟶ (Cl(B̂_{n}))^{2} ⟶ 0

Die Mayer-Vietoris-Sequenzen von I. Reiner und S. Ullom entspringen aus der allgemeineren Theorie der Mayer-Vietoris-Sequenzen, die von J. Milnor in [Mil-71] algebraisiert wurde. Daher ist die Kommutativität wegen der Funktorialität der dort auftauchenden K–Gruppen nur an den Verbindungshomomorphismen δ_{B} und δ_{C} zu zeigen. Sei

J = {(b_{1}, b_{2}) ∈ (B̂_{n})^{2}|ϕ_{1}(b_{1}) = uϕ_{2}(b_{2})}

ein Ideal welches zu u ∈ U( ˆ\overline{B}_{n}) via δ_{B} korrespondiert. Gesucht ist das zu J gehörige Idèle. Sei v ein beliebiges Urbild von u^{−1} in ẐZ_{2}B̂_{n}. Dann ist

(1, v) × 1 × 1 × 1 × ...

ein Idèle. Wegen ϕ_{1}(1) ≠ ϕ_{2}(v) = u^{−1} ist es nur dann das triviale Idèle, wenn u = 1 ist. Da sicherlich J_{p} = (B_{n})_{p} für alle p ≠ 2 und

(J · C(n))_{2} = J_{2} · (C(n))_{2}
= (B_{n})_{2} · (1, v) · (C(n))_{2}
= (B_{n})_{2} · ((C(n))_{2} · (1, v))

und somit

(C(n))_{2} · (1, v) = {(c_{1}, c_{2} · v) ∈ (Ĉ(n))^{2}|ψ_{1}(c_{1}) = ψ_{2}(c_{2})}
= {(c_{1}, c_{2} · v) ∈ (Ĉ(n))^{2}|ψ_{1}(c_{1}) = ψ_{2}(c_{2} · v)π(u)}
= {(x_{1}, x_{2}) ∈ (Ĉ(n))^{2}|ψ_{1}(x_{1}) = ψ_{2}(x_{2})π(u)},

bildet das zu diesem Idèle gehörige Ideal auf δ_{C}(π(u)) ab.

Analog sieht man, daß das obige Idèle zu J gehört:

(B_{n})_{2} · (1, v) = {(c_{1}, c_{2} · v) ∈ (B̂_{n})^{2}|ϕ_{1}(c_{1}) = ϕ_{2}(c_{2})}
= {(c_{1}, c_{2} · v) ∈ (B̂_{n})^{2}|ϕ_{1}(c_{1}) = ϕ_{2}(c_{2} · v)u}
= {(x_{1}, x_{2}) ∈ (B̂_{n})^{2}|ϕ_{1}(x_{1}) = ϕ_{2}(x_{2})u}.

Sei x = (λ_{1}, λ_{2}) ∈ J mit ϕ_{1}(λ_{1}) = ϕ_{2}(λ_{2})u. Dann ist

(λ_{1}, λ_{2}v^{−1}) ∈ (B_{n})_{2},

denn

ϕ_{2}(λ_{2}v^{−1}) = ϕ_{2}(λ_{2})u = ϕ_{1}(λ_{1}).

Die Wahl des Urbildes v beeinflußt das Ideal J nicht, da (v, v) eine Einheit in ẐZ_{2}B_{n} ist.

Bezüglich dieser Untersuchung sei auf [CR-82-87, Exercise 53.1] verwiesen.

Zu untersuchen ist ker(α). Das ist aber isomorph zu

ker[U( ˆ\overline{B}_{n})/π_{B}(U(B̂_{n})) ⟶ U( ˆ\overline{C}(n))/π_{C}(U(Ĉ(n))].

Die Einheitengruppe von ˆ \overline{B}_{n} ist genau

1 + 2ZZ/4ZZa^{2^{n−1}} + ∑_{i=1}^{2^{n−1}−1} ZZ/2ZZ(a^{i} + a^{−i})

und die von ˆ \overline{C}(n) ist

(1 + ∑_{i=1}^{2^{n−1}−1} ZZ/2ZZ(a^{i} + a^{−i})) ∪^{·} (a^{2^{n−1}} + ∑_{i=1}^{2^{n−1}−1} ZZ/2ZZ(a^{i} + a^{−i})).

Da a^{2^{n−1}} eine Einheit in Ĉ(n) ist, sieht man, daß

1 ⟶ C_{2} ⟶ U( ˆ\overline{B}_{n}) ⟶ U( ˆ\overline{C}(n))/ < a^{2^{n−1}} >⟶ 1

exakt ist. Man erhält also ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:

1 → U(B̂_{n}) →^{ι_{n}} U(Ĉ(n))/ < a^{2^{n−1}} > ⟶ ⟶ γ_{n}
↓ ↓ π_{B} ↓ π′_{C}
1 → C_{2} → U( ˆ\overline{B}_{n}) →^{ϱ_{n}} U( ˆ\overline{C}(n))/ < a^{2^{n−1}} > → 1
↓  ↓  ↓
1 → K_{n} → \frac{U( ˆ\overline{B}_{n})}{π_{B}(U(B̂_{n}))} →  \frac{U( ˆ\overline{C}(n))}{π_{C}(U(Ĉ(n)))}  → 1
↓  ↓
1  1

Sei jetzt

x = k_{0} + l_{0} · a^{2^{n−1}} + ∑_{i} k_{i} · (a^{i} + a^{−i})

eine Einheit in Ĉ(n). Ihr Bild in ˆ \overline{C}(n) ist wieder eine Einheit. Daher ist k_{0} + l_{0} ungerade. Durch Multiplikation mit a^{2^{n−1}} kann man erreichen, daß k_{0} ungerade ist. Bildet man wieder das Inverse zu x nach ˆ \overline{C}(n) ab, sieht man, daß auch das Inverse einen ungeraden Koeffizienten der 1 hat. Somit ist modulo < a^{2^{n−1}} > jede Einheit von Ĉ(n) eine Einheit von B̂_{n}. Also ist γ_{n} = 1.

Das Schlangenlemma ist auf das obige Diagramm nicht anwendbar, da π_{B}(U(B̂_{n})) Kern der Projektion modulo π_{B}(U(B̂_{n})) von U( ˆ\overline{B}_{n}) ist und nicht U(B̂_{n})), sowie π′_{C}(U(Ĉ(n))/ < a^{2^{n−1}} >) Kern der Projektionsabbildung ist und nicht etwa U(Ĉ(n))/ < a^{2^{n−1}} >.

Wir benötigen noch ein Lemma:

Lemma 9 U(B̂_{n}) ∩ (1 + 2ZZ + 2(2ZZ + 1)a^{2^{n−1}} + 2 ∑_{i} ZZ(a^{i} + a^{−i})) = ∅.

Beweis. Wir zeigen sogar, daß es kein Element aus B̂_{n} gibt, das modulo 2^{l}B̂_{n} auf 1 + 2^{l}a^{2^{n−1}} abbildet für l ≥ 1.

Man definiert σ : ZZC_{2^{n}} ⟶ ZZC_{2^{n}} via a ⟶ −a, falls

C_{2^{n}} =< a|a^{2^{n}} = 1 > .

Dadurch wird ein Ringautomorphismus definiert und schränkt man diesen auf B̂_{n} ⊆ ZZC_{2^{n}} ein, gilt σ ∈ Aut(B̂_{n}).

Für n = 2 ist die Behauptung trivial, da U(B̂_{2}) = {1, −1}.

Die Behauptung sei für alle Zahlen kleiner n für alle l bewiesen. Falls nun x ∈ U(B̂_{n}) modulo 2^{l}B̂_{n} auf 1 + 2^{l}a^{2^{n−1}} abbildet, ist

x = 1 + 2^{l}a^{2^{n−1}} + 2^{l}y

für ein y ∈ B̂_{n}. Damit ist wegen y + σ(y) ∈ 2B̂_{n}

x · σ(x) = (1 + 2^{l}a^{2^{n−1}} + 2^{l}y) · (1 + 2^{l}a^{2^{n−1}} + 2^{l}σ(y))
= 1 + 2^{l+1}a^{2^{n−1}} + 2^{l}(y + σ(y)) + 2^{2l}(1 + a^{2^{n−1}}(y + σ(y)) + y · σ(y))
= 1 + 2^{l+1}a^{2^{n−1}} + 2^{l+1}z

für ein z ∈ B̂_{n}.

Da nun aber

H^{0}(< σ >, B̂_{n}) = B̂_{n−1}

mit der kanonischen Einbettung B̂_{n−1} ⊆ B̂_{n} via C_{2^{n−1}} ≤ C_{2^{n}} gilt, ist wegen

σ(x · σ(x)) = x · σ(x)

in U(B̂_{n−1}) ein Urbild von 1+2^{l+1}a^{2^{n−2}} modulo 2^{l+1} existent, ein Widerspruch zur Induktionsannahme!

Das Lemma ist somit bewiesen. q.e.d.

Bemerkung 4 Man vergleiche diesen Beweis mit dem von Lemma 5, denn auch dort wurde die Norm eines Elements berechnet und man konnte Induktion anwenden. Ähnliche Argumente werden hier verwendet.

Somit ist gezeigt, daß ker π_{B}ϱ_{n} = ker π_{B}: Sicher ist ker π_{B} ⊆ ker π_{B}ϱ_{n}. Sei x ∈ ker π_{B}ϱ_{n} \ ker π_{B}. Dann ist π_{B}(x) = 1 + 2a^{2^{n−1}}. Dies ist ein Widerspruch zu unserem Lemma. Somit ist

ι_{n}(ker π_{B}) = ι_{n}(ker π_{B}ϱ_{n}) = ι_{n}(ker ι_{n}π′_{C}) = ker(π′_{C}),

da ι_{n} ein Isomorphismus ist. (In der letzten Gleichung gilt “⊆” immer und mit x ∈ ker π′_{C} ist ι_{n}ι_{n}^{−1}(x) ∈ ι_{n}(ker ι_{n}π′_{C}).)

Daher sieht man, daß ι_{n} den Kern L_{n} der Abbildungen U(B̂_{n}) ⟶ U( ˆ\overline{B}_{n}) isomorph auf den Kern L′_{n} von

(U(Ĉ(n))/ < a^{2^{n−1}} >) ⟶ (U( ˆ\overline{C}(n))/ < a^{2^{n−1}} >)

abbildet. Daher ist das folgende Diagramm kommutativ mit exakten Zeilen und Spalten:

1  1
↓  ↓
1 ⟶ U(B̂_{n})/L_{n} ⟶ (U(Ĉ(n))/ < a^{2^{n−1}} >)/L′_{n} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ C_{2} ⟶ U( ˆ\overline{B}_{n}) ⟶  U( ˆ\overline{C}(n))/ < a^{2^{n−1}} >  ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ K_{n} ⟶ \frac{U( ˆ\overline{B}_{n})}{π_{B}(U(B̂_{n}))} ⟶  \frac{U( ˆ\overline{C}(n))}{π_{C}(U(Ĉ(n)))}  ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1  1  1

und daher ist K_{n} = C_{2}.

Somit ist

|Cl(B_{n})| = 2|Cl(C(n))|.

Da wir aber früher schon gesehen haben, daß

Cl(C(n)) = Cl(B_{n−1}) ⊕ Cl(Γ_{n}),

ist

|Cl(C(n))| = |Cl(B_{n−1})| · |Cl(Γ_{n})| = 2|Cl(C(n − 1))| · |Cl(Γ_{n})|.

Insgesamt erhält man induktiv:

|Cl(C(n))| = 2^{n−1} · ∏_{k≤n} |Cl(Γ_{k})|.

Bemerkung 5 Man beachte auch das Licht, das dieses Resultat auf die Einheiten von B_{n} wirft. Sie sind nämlich vollständig im Urbild von ψ̃_{n}(U(Γ_{n})) unter ϕ̃_{n} enthalten und haben daher eine entsprechende Form. Insbesondere bildet keine Einheit von B_{n} auf eine Einheit der Form (2 − b) · x ab, wobei x Bild einer Einheit in Γ_{n} ist.

Lemma 10 Es ist ϕ̃_{n}(U(B_{n})) ≤ ψ̃_{n}(U(Γ_{n})).

3.5 Die Klassenzahl von ZZ[η(n)]C_{2}

Es ist jetzt nur noch Cl(Γ_{n}) zu berechnen. Dazu erinnert man sich, daß

ZZC_{2} ⟶ ZZ
↓  ↓
ZZ ⟶ IF_{2}

ein Pullbackdiagramm ist und somit, wenn man Lemma 3 verwendet,

Γ_{n}  ⟶ ZZ[η(n)]
↓  ↓
ZZ[η(n)] ⟶ \overline{B̂}_{n}

auch Pullbackdiagramm ist. Da offensichtlich QΓ_{n} die Eichler Bedingung über ZZ erfüllt, sieht man jetzt, da nach [GR-87a, Ta-84] die untere Zeile einen Epimorphismus von Einheiten induziert, mit Milnors Mayer-Vietoris-Sequenz

Cl(ZZ[η(n)])^{2} ≃ Cl(Γ_{n}).

Sei h_{n} := h_{n}^{+} die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers der 2^{n}-ten Einheitswurzeln über Q. Es ist somit die folgende Gleichheit gezeigt:

Proposition 3 Es ist

|Cl(C(n))| = |Cl(B_{n−1})| · h_{n}^{2} und |Cl(B_{n})| = 2 · |Cl(B_{n−1})| · h_{n}^{2}.

Bemerkung 6 Da nach [ACH-65] h_{n} = 1 für alle n ∈ IN von H. Cohn vermutet wurde, wäre dann, sollte sich die Cohnsche Vermutung bestätigen, |Cl(C(n))| = 2^{n−1}.

Falls also h_{n} = 1 für jedes n, ist für ein (A) ∈ Cl(C(n)) die Gleichung

A · ZZG ≃ ZZG

als ZZG–Rechtsmodul richtig ([FKW-74, Remark (4)]).

Bemerkung 7 H. Cohn schreibt in [Co-60]: “We still have obtained no evidence to doubt that every h_{t} = 1.”

3.6 Picardgruppen und zentrale Automorphismen

Wir sind interessiert an

Cl_{ZZD_{2^{n}}}(C(n)) := {I ∈ Cl(C(n))|I · ZZD_{2^{n}} ≃ ZZD_{2^{n}}}.

Dies ist genau der Kern des natürlichen Homomorphismus:

Cl(C(n)) ⟶ Cl(ZZD_{2^{n}})
(J) ⟶ (J ⊗_{C(n)} ZZD_{2^{n}})

Dieser sei mit K_{n} abgekürzt und wird induktiv berechnet:

0  0  0  0
↓  ↓  ↓  ↓
0 →  0  →  K_{n}  →  K′_{n−1}  ⊕ K′′_{n} → 0
↓  ↓  ↓  ↓
0 →  0  → Cl(C(n)) → Cl(B_{n−1}) ⊕ Cl(Γ_{n}) → 0
↓  ↓  ↓  ↓
0 → D(ZZD_{2^{n}}) → Cl(ZZD_{2^{n}}) → Cl(ZZD_{2^{n−1}}) ⊕ Cl(Λ_{n}) → 0

ist ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten. Dabei ist nach A. Fröhlich, M. E. Keating und S. M. J. Wilson [FKW-74] D(ZZD_{2^{n}}) = 0 und Λ_{n} = (ZZ[η(n)])_{2×2}.

Die ersten beiden Zeilen sind exakt nach dem letzten Paragraph wie man aus Milnors Mayer-Vietoris-Sequenz sieht. Es gilt also K′′_{n} und K′_{n} zu berechnen.

Dazu sieht man, daß

0  0  0  0
↓  ↓  ↓  ↓
0 → C_{2} →  K′_{n}  →  K′_{n−1}  ⊕ K′′_{n} → 0
↓  ↓  ↓  ↓
0 → C_{2} → Cl(B_{n}) → Cl(B_{n−1}) ⊕ Cl(Γ_{n}) → 0
↓ ↓ ↓ ↓
0 → 0 → Cl(ZZD_{2^{n}}) → Cl(ZZD_{2^{n−1}}) ⊕ Cl(Λ_{n}) → 0

wiederum ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten ist.

Zu berechnen ist K′′_{n}. Nach A. Fröhlich, M. E. Keating und S. M. J. Wilson [FKW-74] und R. G. Swan ([Sw-62, Corollary 4]), da die Strahlklassengruppe hier gleich der Klassengruppe ist, ist Cl(Λ_{n}) ≃ Cl(ZZ[η(n)]) via der reduzierten Norm–Abbildung nr. Sei jetzt ein lokal freies ZZ[η(n)]–Ideal J gegeben, dann betrachten wir

(J⊗_{ZZ[η(n)]}Γ_{n})⊗_{Γ_{n}}(ZZ[η(n)])_{2×2} = J⊗_{ZZ[η(n)]}(ZZ[η(n)])_{2×2} = ( \begin{matrix}J & J \\ J & J \end{matrix} ) ⟶^{nr} J^{2}

und sehen ein, daß wenigstens (Cl(ZZ[η(n)]))^{[2]} im Bild der Abbildung liegt. (Dabei sei für eine abelsche Gruppe A die Sequenz

1 ⟶ A_{[2]} ⟶ A ⟶^{a→a^{2}} A^{[2]} ⟶ 1

exakt). Auf der anderen Seite ist aber |Cl(ZZ[η(n)])| ungerade ([Web-1886, Seite 244, Satz C]) und daher Cl(ZZ[η(n)]) = (Cl(ZZ[η(n)]))^{[2]}.

Somit sehen wir ein, daß Cl(Γ_{n}) ⟶ Cl(Λ_{n}) surjektiv ist. Da Cl(Γ_{n}) = Cl(ZZ[η(n)])^{2}, ist |K′′_{n}| = h_{n}. Außerdem ist K′′_{n} Untergruppe von Cl(ZZ[η(n)]^{2}. Dies berechtigt jedoch nicht, auf den Isomorphietyp von K′′_{n} zu schließen, es ist also nicht klar, ob K′′_{n} ≃ Cl(ZZ[η(p)]) ist.

Daher ist

|K_{n}| = 2^{n−1} · ∏_{i=1}^{n} h_{i} = \frac{|Cl(C(n))|}{∏_{i=1}^{n} h_{i}} = \frac{|Cl(C(n))|}{|Cl(ZZD_{2^{n}})|}

mit h_{i} := |Cl(ZZ[η(i)])|.

Wir können jedoch einiges mehr sagen: Ein Ideal A von ZZ[η(n)] ist isomorph zu 2 · A, denn 2 erzeugt nach Definition ein Hauptideal. Es sei (α) das zu A gehörige Idèle und (β) das zu einem zweiten Ideal B von ZZ[η(n)] gehörige Idèle.

Dann induziert das Paar (A, B) ein Ideal von ZZ[η(n)]C_{2}. Es seien

(α) = ∏_{℘∈Spec(ZZ[η(n)])} α_{℘} und (β) = ∏_{℘∈Spec(ZZ[η(n)])} β_{℘}

die zugehörigen Id‘ele. Dann gehört

∏_{℘}[(1 + b) · 1 + (1 − b) · α_{℘}]

zu einem Urbild von (A, ZZ[η(n)]) in Cl(ZZ[η(n)]C_{2}). Verwendet man die Darstellung aus [Ro-83] ist

(γ) := ∏_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘} & 0 \\ (2 + η(n)) · (β_{℘} − α_{℘}) & 2β_{℘} \end{matrix} )

ein zu (A, B) gehöriges Idèle. Da aber

( \begin{matrix}1 & 0 \\ (2 + η(n)) & 2 \end{matrix} )

eine Einheit in QΛ_{n} ist, ist (γ) aufgefaßt als Idèle von QΛ_{n} äquivalent zum Idèle

( \begin{matrix}1 & 0 \\ (2 + η(n)) & 2 \end{matrix} ) · (γ) = ∏_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘} & 0 \\ 2(2 + η(n))β_{℘} & 4β_{℘} \end{matrix} ) =: (γ′).

Mit R := ZZ[η(n)] induziert (γ′) das Ideal

C := ⋂_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘} & 0 \\ 2(2 + η(n))β_{℘} & 4β_{℘} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}R_{℘} & R_{℘} \\ R_{℘} & R_{℘} \end{matrix} ) .

Dies ist aber gleich

⋂_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘}R_{℘} & 2α_{℘}R_{℘} \\ 2(2 + η(n))β_{℘}R_{℘} + 4β_{℘}R_{℘} & 2(2 + η(n))β_{℘}R_{℘} + 4β_{℘}R_{℘} \end{matrix} ) .

46 3 INVOLUTIONEN IN GRUPPENRINGEN

Da aber 2 ∈ (2 + η(n))R, vereinfacht sich dies zu

⋂_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘}R_{℘} & 2α_{℘}R_{℘} \\ 2η(n)β_{℘}R_{℘} & 2η(n)β_{℘}R_{℘} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2A & 2A \\ 2 · η(n) · B & 2 · η(n) · B \end{matrix} ) .

Dessen reduzierte Norm ist dann aber 4 · η(n) · A · B ≃ A · B. Also ist ker[Cl(Γ_{n}) ⟶ Cl(ZZ[η(n)])] = {[A]×[A^{−1}] ∈ Cl(ZZ[η(n)])^{2}} ≃ Cl(ZZ[η(n)]).

3.7 Involutionen und Gruppenbasen

Wir berechnen den Kern und den Kokern des natürlichen Homomorphismus

Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) ⟶ Cl(C_{ZZD_{2^{n}}}(< b >)).

Dazu beweisen wir jetzt Teile^{11} der Ergebnisse von Ergebnisse von S. Endo, T. Miyata und K. Sekiguchi [EMS-82] mit unseren Methoden.

Es ist

Z(ZZD_{2^{n}}) =< 1, a^{2^{n−1}}, a^{i} + a^{−i}, δ_{n}b, δ_{n}ab|i = 1, .., 2^{n} − 1 >_{ZZ}=: Z_{n}; mit δ_{n} := 1 + a^{2} + a^{4} + ... + a^{2^{n}−2} und es sei

Z_{n}(k) :=< 1, 2a^{2^{n−1}}, a^{i} + a^{−i}, 2^{k}δ_{n}b, 2^{k}δ_{n}ab|i = 1, .., 2^{n} − 1 >_{ZZ} Dann erhalten wir die Pullbackdiagramme

Z_{n}  ⟶ Z_{n−1}(1)
↓  ↓
ZZ[η(n)] ⟶ \overline{B̂}_{n−1}

sowie

Z_{n}(k) ⟶ Z_{n−1}(k + 1)
↓  ↓
ZZ[η(n)] ⟶  ˜  B̂_{n−1},

11Auf allgemeine metazyklische Gruppen gehen wir im Gegensatz zu S. Endo, T. Miyata und K. Sekiguchi nicht ein.

denn mit e := \frac{1}{2}(1 + a^{2^{n−1}}) und f := 1 − e ist

Z_{n}f = \frac{1}{2}ZZ(1 − a^{2^{n−1}}) + ∑_{i} \frac{1}{2}ZZ(a^{i} + a^{−i} − a^{2^{n−1}−i} − a^{2^{n−1}+i})

ebenso ist

Z_{n}(k)f = \frac{1}{2}ZZ(1 − a^{2^{n−1}}) + ∑_{i} \frac{1}{2}ZZ(a^{i} + a^{−i} − a^{2^{n−1}−i} − a^{2^{n−1}+i})

Damit ist aber

Z_{n}f ∩ Z_{n} = ZZ(1 − a^{2^{n−1}}) + ∑_{i} ZZ(a^{i} + a^{−i} − a^{2^{n−1}−i} − a^{2^{n−1}+i})

sowie

Z_{n}(k)f ∩ Z_{n}(k) = 2ZZ(1 − a^{2^{n}}) + ∑_{i} ZZ(a^{i} + a^{−i} − a^{2^{n−1}−i} − a^{2^{n−1}+i})

Damit ergeben sich die obigen Pullbackdiagramme.

Nach [GR-87a, Ta-84] ist damit, schreibt man Mayer-Vietoris-Sequenzen zu diesen Pullbacks an,

Cl(Z_{n}) = Cl(Z_{n−1}(1)) ⊕ Cl(ZZ[η(n)])

und

Cl(Z_{n}(k)) = Cl(Z_{n−1}(k + 1)) ⊕ Cl(ZZ[η(n)])

für alle n ≥ 2. Für n = 0 erhält man auf die gleiche Weise durch Zerlegung modulo b das Pullbackdiagramm

\begin{matrix}ZZ + 2^{k}ZZb & ⟶ & ZZ \\ ↓ & & ↓ \\ ZZ & ⟶ & ZZ/(2^{k+1}ZZ) \end{matrix} .

Für n = 1 erhält man das Pullbackdiagramm

\begin{matrix}Z_{1}(k) = ZZ + 2^{k}ZZb + 2^{k}ZZab + 2ZZa & ⟶ & ZZ + 2^{k}ZZb = Z_{0}(k) \\ ↓ & & ↓ \\ Z_{0}(k) = ZZ + 2^{k}ZZb & ⟶ & ZZ/4ZZ + 2^{k}ZZ/2^{k+1}ZZb \end{matrix} .

Daher ist

|Cl(Z_{1}(k))| = 2|Cl(ZZ + 2^{k}ZZb)|^{2}

und

Cl(ZZ + 2^{k}ZZb) = ZZ/2^{k−1}ZZ

wieder mit der Mayer-Vietoris-Sequenz. Nach dem eben bewiesenen ist

Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) = ZZ/2^{n−2}ZZ × ZZ/2^{n−2}ZZ × ZZ/2ZZ × Cl(ZZD_{2^{n}})

oder

Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) = ZZ/2^{n−1}ZZ × ZZ/2^{n−2}ZZ × Cl(ZZD_{2^{n}})

je nach dem ob die Mayer-Vietoris-Sequenz zum obigen Pullbackdiagramm zerfällt oder nicht. S. Endo, T. Miyata und K. Sekiguchi ([EMS-82]) zeigen, daß diese Sequenz nicht zerfällt. Später sind wir in der Lage, diese Aussage auch mit unseren Methoden zu beweisen (cf. Bemerkung 8). S. Endo, T. Miyata und K. Sekiguchi führen detaillierte Untersuchungen über die Kerne der Pullbacks durch und erhalten so das Ergebnis. Wir können darauf verzichten, da unser idèletheoretischer Zugang den Isomorphietyp von P icent(ZZD_{2^{n}}) direkt ergibt. Da wir jedoch auch wesentlich tiefere Aussagen machen können, ist unser Beweis etwas länger als der von S. Endo, T. Miyata und K. Sekiguchi.

Nun sind wir in der Lage, die Klassengruppe des Zentrums Z_{n} mit der Klassengruppe des Zentralisators der Involution b, C(n), zu vergleichen.

Wir erhalten mit den Mayer-Vietoris-Sequenzen ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten wie folgt:

(1)  \begin{aligned}& & 1 & & 1 & & 1 \\ & & ↑ & & ↑ & & ↑ \\ & & C_{2} & ⟶ & γ_{n}(k) & ⟶ ⟶ & γ_{n−1}(k + 1) ⊕ V (n) \\ & & ↑ & & ↑ & & ↑ \\ 1 & ⟶ & C_{2} & ⟶ & Cl(B_{n}) & ⟶ ⟶ & Cl(B_{n−1}) ⊕ Cl(Γ_{n}) \\ & & ↑ & & ↑ & & ↑ \\ 1 & ⟶ & 1 & ⟶ & Cl(Z_{n}(k)) & ⟶ ⟶ & Cl(Z_{n−1}(k + 1)) ⊕ Cl(ZZ[η(n)]) \\ & & ↑ & & ↑ & & ↑ \\ 1 & ⟶ & 1 & ⟶ & K_{n}(k) & ⟶ & K_{n−1}(k + 1) \\ & & & & ↑ & & ↑ \\ & & & & 1 & & 1 \end{aligned}

mit einer zu |Cl(ZZ[η(n)])| isomorphen Gruppe V (n), da |Cl(ZZ[η(n)])| ungerade ist. Dabei ist der nach dem Schlangenlemma existierende Homomorphismus abelscher Gruppen K_{n−1}(k +1) ⟶ C_{2} noch zu bestimmen. Es wird sich zeigen, daß dieser surjektiv ist.

Wir beginnen mit einer allgemeinen Betrachtung, wie aus iterativen Pullbacks die zugehörigen Ideale aus den Verschränkungen der zugehörigen Mayer-Vietoris-Sequenzen in idèletheoretischer Formulierung bestimmt werden können.

Sei J ein lokal freies Ideal in einer ZZ–Ordnung Λ in einer kommutativen separablen Q–Algebra A. Das Idèle α = ∏_{p} a_{p} gehöre zu J. Wir können annehmen, daß J ⊆ A. Dann ist J_{p} = Λ_{p} · a_{p} für alle p wiederum mittels einer Identifikation. Sei e ein zentrales Idempotent in A.

Da

0 ⟶ Λ · e ⟶ A · e ⟶ (A · e)/(Λ · e) ⟶ 0

exakt ist und da ein lokal freies Ideal J von Λ flach ist, ist auch

0 ⟶ J ⊗_{Λ} Λ · e ⟶ J ⊗_{Λ} A · e

exakt und wegen

J ⊗_{Λ} (A · e) = J ⊗_{Λ} ((Λ · e) ⊗_{ZZ} Q)
= (J ⊗_{Λ} (Λ · e)) ⊗_{ZZ} Q
= Q ⊗_{ZZ} (J ⊗_{Λ} (Λ · e))
= (Q ⊗_{ZZ} J) ⊗_{Λ} (Λ · e)
= (Q ⊗_{ZZ} Λ) ⊗_{Λ} (Λ · e)
= Q ⊗_{ZZ} (Λ ⊗_{Λ} (Λ · e))
= Q ⊗_{ZZ} (Λ · e)
= A · e

ist J · e ≃ J ⊗_{Λ} (Λ · e).

Weiterhin ist daher

(J · e)_{p} = J_{p} · e = Λ_{p} · a_{p} · e = (Λ_{p} · e) · (a_{p} · e).

Somit ist ein zu J · e gehöriges Idèle in A · e gleich α · e.

In unserem vorliegendem Fall ist

Cl(Z_{n}(k)) = Cl(Z_{n−1}(k + 1)) ⊕ Cl(ZZ[η(n)]),

falls n ≥ 2. Somit erhält man also, falls ein Paar von Idèlen α und β von QZ_{n−1}(k+1) und von Q[η(n)] gegeben ist, das Urbild als Idèle α·e+β·(1−e), falls Z_{n}(k) · e = Z_{n−1}(k + 1). Für n = 1 ist die Situation ähnlich, denn obige Konstruktion gibt eines der Urbilder. Das andere erhält man durch Multiplikation mit dem Idèle

(1, 1 + 2^{k}b) × 1 × 1 × 1 × ...,

falls die diskutierte Ordnung Z_{n−1}(k) ist, wie man aus der Diskussion in Kapitel 3.4 ersieht.

Gesucht ist also ein Ideal von Z_{n}(k), das durch Induktion auf B_{n} auf den Pullback von B_{n−1} mit Γ_{n} via (2 − b) abbildet. Genau dann, wenn es dieses Ideal gibt, vergrössert sich der Kokern dieser Abbildung aus Diagramm (1) nicht. In Z_{0}(k) hat man 2^{k−1} Ideale, nämlich die mit den Einheiten von ZZ/2^{k+1}ZZ modulo < −1 > getwisteten Pullbacks der Wedderburn Komponenten.^{12} Die die Klassengruppe von Z_{0}(k) erzeugende Idèle können wie folgt angegeben werden:

\frac{1}{2}(1 + b) · r + \frac{1}{2}(1 − b),

wobei r = (r_{0}, 1, 1, 1, ...) und r_{0} ∈ {1, 3, 5, ..., 2^{k+1} − 1}.

Zum Pullback

Z_{1}(k)  ⟶^{e_{0}}  Z_{0}(k)
↓ (1 − e_{0})  ↓
Z_{0}(k)  ⟶ ZZ/4ZZ + 2^{k}ZZ/2^{k+1}ZZb

erhält man alle lokal freien Ideale von Z_{1}(k) durch die Idèle

e_{0} · (\frac{1}{2}(1 + b) · r + \frac{1}{2}(1 − b)) + (1 − e_{0}) · (\frac{1}{2}(1 + b) · s + \frac{1}{2}(1 − b))

und deren Produkt mit

(e_{0} + (1 − e_{0}) · (1 + 2^{k}b)) × 1 × 1 × 1 × ...

Zum Pullback

Z_{2}(k) ⟶^{e_{0}} Z_{1}(k)
↓ (1 − e_{0})  ↓
ZZ  ⟶ ZZ/4ZZ

12cf. Bemerkung 3

erhält man also alle lokal freien Ideale J durch

(1 − e_{1}) + e_{1} · [e_{0} · (\frac{1}{2}(1 + b) · r + \frac{1}{2}(1 − b)) + (1 − e_{0}) · (\frac{1}{2}(1 + b) · s + \frac{1}{2}(1 − b))] =

= (1 − e_{1}) + (e_{1} − e_{0}) · (\frac{1}{2}(1 + b) · s + \frac{1}{2}(1 − b)) + e_{0} · (\frac{1}{2}(1 + b) · r + \frac{1}{2}(1 − b)),

sowie dem getwisteten von oben auf analoge Weise. Dies ist auch die Form aller weiteren Idèle in der 2-Sylowgruppe von Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) bei allen höheren Pullbacks wie man leicht sieht bei Verwendung der Beziehung e_{n}·e_{n−1} = e_{n−1}. Dabei bildet die Multiplikation mit e_{k} auf den Gruppenring ZZD_{2^{k}} ab.

Weiter zeigen wir mit diesen idèletheoretischen Methoden, daß die Klassengruppe Cl(C_{ZZD_{2^{n}}}(b)) eine zyklische 2–Sylow Gruppe besitzt. Zuerst jedoch geben wir ein einfaches Lemma an. Sei dazu

α_{k} := ((1 − e_{k} + e_{k} · (1 + 2b)) × ∏_{p≠2} 1).

Lemma 11 Seien (J), (J′) ∈ Cl(B_{n}) mit e_{k}·J ≃ e_{k}·J′ in B_{k}. Dann existiert ein u ∈< (α_{n−1}), ..., (α_{k}) >, so daß (J) · (u) = (J′) in Cl(B_{n}).

Beweis. Für k = n − 1 ist die Aussage klar, denn sie entspricht genau der Definition von α_{n−1}. Sei die Aussage für alle k zwischen n−1 und k_{0}+1 bewiesen und sei (e_{k_{0}} ·J) = (e_{k_{0}} · J′) in Cl(B_{k_{0}}). Nach Definition existiert ein δ ∈ {0, 1} mit

(e_{k_{0}+1} · J) = (e_{k_{0}+1} · J′) · (α_{k_{0}})^{δ}.

Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein u ∈< α_{n−1}, ..., α_{k_{0}+1} > mit

(J) = (J′) · (α_{k_{0}})^{δ} · (u).

Die Aussage ist mit Induktion bewiesen, wenn u_{0} := α_{k_{0}} · u gewählt wird. q.e.d.

Lemma 12 Die 2–Sylowgruppe von Cl(C_{ZZD_{2^{n}}}(b)) ist zyklisch. Das erzeugende Ideal ist das zu

(1 − e_{0} + e_{0} · (1 − 2b)) × ∏_{pZZ∈SpecZZ\{2ZZ}} 1

gehörige Idèle.

Beweis. Wir zeigen, daß α_{k} die Ordnung 2^{n−k} in Cl(B_{n}) hat. Sicher hat α_{n−1} die Ordnung 2 in Cl(B_{n}), da ja α_{n−1} genau das zur Einheit 1 + 2b in Cl(B_{n}) korrespondierende Idèle ist.

Dann gilt

\frac{1}{2}(1 − a^{2^{k}}) + \frac{1}{2}(1 + a^{2^{k}}) · (1 + 2b)^{2} = \frac{1}{2}(1 − a^{2^{k}}) + \frac{1}{2}(1 + a^{2^{k}}) · (5 + 4b)
= 1 + \frac{1}{2}(1 + a^{2^{k}}) · (4 + 4b)
= 1 + 2 · (1 + a^{2^{k}}) · (1 + b)
= 3 + 2b + 2 · a^{2^{k}} · (1 + b),

was in B̃_{k+1} kongruent −1 + 2b ist. Nun ist aber −1 in B̃_{k+1} Bild einer globalen Einheit und daher ist e_{k+2}(α_{k})^{2} ≃ e_{k+2}(α_{k+1}) und mithin ist (α_{k})^{2} modulo einem u in < α_{n−1}, ..., α_{k+2} > nach Lemma 11 äquivalent zum Idèle α_{k+1}. Dieses besitzt mit Induktion die Ordnung 2^{n−k−1}. Die Ordnung von u ist aber nach der Induktionsannahme ein Teiler von 2^{n−(k+2)}. Dies ist dann aber der Beweis der obigen Aussage. q.e.d.

Da aber für r_{0} = s_{0} = 3 das Idèle α_{1} im Bild der Abbildung

Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) ⟶ Cl(C_{ZZD_{2^{n}}}(b))

liegt und für s_{0} = 3, r_{0} = 1 liegt α_{1} · α_{0}^{−1} im Bild, so auch α_{0} und die obige Abbildung der 2–Sylowuntergruppen der Klassengruppen ist surjektiv.

Den Fall n = 2 behandelt man separat, da dort die Idèle, die in der vorangegangenen Untersuchung die führende Rolle gespielt haben, nicht auftauchen. Jedoch taucht das Idèle α_{0} direkt auf bei der Wedderburn Zerlegung von Z_{2}(1). Damit liefert die Induktion einen Isomorphismus der 2– Sylowuntergruppen der Klassengruppen des Zentrums von D_{2^{n}} und des Zentralisators von b für alle n. Der Cokern der Induktionsabbildung ist also ordnungsgleich zu Cl(ZZD_{2^{n}}) und der Kern ist trivial.

Bemerkung 8 Die Surjektivität der Restriktion dieses Homomorphismus auf die 2-Sylowuntergruppen impliziert dann aber auch die Struktur der äußeren Automorphismengruppe von ZZD_{2^{n}} als C_{2^{n−1}} × C_{2^{n−2}}, eines der Ergebnisse von S. Endo, T. Miyata und K. Sekiguchi ([EMS-82]).

Wie im letzten Abschnitt gesehen, ist die 2–Sylowgruppe von Cl(C(n)) gleich der 2–Sylowgruppe des Kerns der natürlichen Abbildung Cl(C(n)) ⟶ Cl(ZZD_{2^{n}}). Daher ist die analoge Rechnung wie oben mit dem Kern dieser Abbildung statt mit dem Kern der Abbildung nach Cl(C(n)) direkt zu machen und das Ergebnis ist ebenfalls das gleiche, denn Outcent(ZZD_{2^{n}}) ist die 2–Sylowgruppe von P icent(ZZD_{2^{n}}) ([EMS-82] in Kombination mit [Web-1886]).

Da nach [RS-87a] Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) = P icent(ZZD_{2^{n}}) via des natürlichen Homomorphismus ist und durch die Restriktion P icent(ZZD_{2^{n}}, < b >) nach P icent(ZZD_{2^{n}}) abbildet, und da D_{2^{n}} eine 2–Gruppe ist, die Automorphismengruppe von < b > trivial ist, ist das Bild der Restriktionsabbildung genau das Bild der auf den Klassengruppen induzierten Abbildung Cl(Z(ZZD_{2^{n}})) ⟶ Cl(C(n)). Diese ist jedoch genau die natürliche Induktion durch (J) ⟶ (J ⊗_{Z_{n}} C(n)).

Liegt eine Isomorphieklasse eines Ideals J im Bild des Homomorphismus, so ist ein Repräsentant der Konjugationsklasse der zugehörigen Involutionen in einem Reprs̈entanten der zugehörigen Konjugationsklasse von Gruppenbasen enthalten.

Die Restriktionsabbildung

Outcent(ZZD_{2^{n}}) ⟶ Outcent(ZZD_{2^{n}}, < b >)

ist die Abbildung, die einem aD_{2^{n}}a^{−1} das aba^{−1} zuweist. Es sind dabei zwei Phänomene denkbar:

1. aD_{2^{n}}a^{−1} ≠ D_{2^{n}} aber aba^{−1} = b modulo Konjugation in ZZD_{2^{n}}.

2. aba^{−1} ∈ ZZD_{2^{n}} aber aD_{2^{n}}a^{−1} ⊈ ZZD_{2^{n}} modulo Konjugation in ZZD_{2^{n}}.

Das erste Phänomen wird im Kern der Restriktionsabbildung gemessen, das zweite im Kokern. Falls aba^{−1} = ubu^{−1} für eine ganzzahlige Einheit u, so ist mit u^{−1}a =: a′ ein b fixierendes konjugierendes Element gefunden, das aber genau dann D_{2^{n}} in eine nicht konjugierte Gruppenbasis abbildet, wenn a dies bewirkt.

Faßt man nun alles zusammen, so erhält man den

Satz 2 Sei D_{2^{n}} die Diedergruppe mit 2^{n+1} Elementen.

1. Eine V (QD_{2^{n}})–Bahn einer nicht zentralen Involution b ∈ D_{2^{n}} zerfällt in 2^{n−1} · ∏_{k≤n} h_{k}^{+} Konjugationsklassen über ZZD_{2^{n}}, wobei h_{k}^{+} die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers des 2^{k}–ten Kreisteilungskörpers über Q ist.

2. Von diesen Konjugationsklassen bestehen 2^{n−1} aus Involutionen, die in Gruppenbasen liegen.

3. Die Vermutung von H. Cohn ([ACH-65]) ist genau dann richtig, wenn für alle n ∈ IN jede Involution in einer Gruppenbasis liegt.

4. Cl(C_{ZZD_{2^{n}}}(b)) ≃ C_{2^{n−1}} × ∏_{k≤n} Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}])^{2}, wobei ζ_{2^{n}}^{2^{n−1}} + 1 = 0.

5. Cl_{ZZD_{2^{n}}}(C_{ZZD_{2^{n}}}(b)) ≃ C_{2^{n−1}} × ∏_{k≤n} Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}]).

Teile der Ergebnisse von S. Endo, T. Miyata, K. Sekiguchi seien hier noch einmal angegeben, um ein höheres Maß an Vollständigkeit zu erreichen. Es sei nur noch einmal bemerkt, daß wir in der Lage waren, mit unseren Methoden diese Teile der Ergebnisse aus [EMS-82] zu beweisen.

Lemma 13 ([EMS-82] )

1. ZZD_{2^{n}} besitzt 2^{2n−3} Konjugationsklassen von Gruppenbasen.

2. P icent(ZZD_{2^{n}}) ≃ C_{2^{n−1}} × C_{2^{n−2}} × ∏_{k≤n} Cl(ZZ[ζ_{2^{k}} + ζ_{2^{k}}^{−1}]).

3. Outcent(ZZD_{2^{n}}) ≃ C_{2^{n−1}} × C_{2^{n−2}}.

Bemerkung 9 Die Cohnsche Vermutung wurde von F. J. van der Linden für n ≤ 7 bewiesen, für n = 8 wird die verallgemeinerte Riemann-Vermutung benötigt ([vdL-82]).

3.8 Explizite Berechnungen

Ziel dieses Unterabschnitts ist, die zentrale Automorphismengruppe von ZZD_{2^{n}} bis auf innere Automorphismen so explizit wie möglich zu beschreiben. Dabei wird sich zeigen, daß wir erzeugende Elemente der äusseren Automorphismengruppe explizit in Termen der Gruppenbasis D_{2^{n}} angeben können.

Es ist

ZZD_{2^{n}} ⟶ ZZD_{2^{n−1}}
↓  ↓ ϕ_{n}
Λ_{n}  ⟶^{ψ_{n}} IF_{2}D_{2^{n−1}}

ein Pullbackdiagramm und wir zeigen folgendes Lemma:

Lemma 14 Sei u eine Einheit von ẐZ_{2}D_{2^{n}} im Normalisator der Oberordnung ZZV_{4} × ∏_{n≥k≥2} Λ_{k} in Q̂_{2}D_{2^{n}} von ZZD_{2^{n}}, die man erhält, wenn man das Produkt der Projektionen von ZZD_{2^{n}} in die Wedderburnkomponenten von QD_{2^{n}} bildet. Dann ist u im Normalisator von ZZD_{2^{n}}:

N_{U(Q̂_{2}D_{2^{n}})}(ZZV_{4} × ∏_{n≥k≥2} Λ_{k}) ∩ U(ẐZ_{2}D_{2^{n}}) = N_{U(ẐZ_{2}D_{2^{n}})}(ZZD_{2^{n}})

Beweis. Wir verwenden vollständige Induktion. Sicher normalisiert u den Ring ZZV_{4}.

Es ist

ẐZ_{2}D_{2^{n}} = {(λ, x) ∈ ẐZ_{2}Λ_{n} × ẐZ_{2}D_{2^{n−1}}|ϕ_{n}(x) = ψ_{n}(λ)}

und somit

(Λ_{n} × ZZD_{2^{n−1}}) ∩ ẐZ_{2}D_{2^{n}} = {(λ, x) ∈ Λ_{n} × Ẑ_{2}D_{2^{n}}|ϕ_{n}(x) = ψ_{n}(λ)}
= ZZD_{2^{n}}.

Daher, da u aber sowohl Λ_{n} × ZZD_{2^{n−1}} (nach der Induktionsannahme) als auch ẐZ_{2}D_{2^{n−1}} normalisiert, normalisiert u auch den Schnitt der beiden Ringe, folgt also die Behauptung. q.e.d.

Beispiele für ein solches u sind, legt man die Darstellung aus [Ro-83] zugrunde, a − b + 1—dieses ist gleich

( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 + η(k) \end{matrix} )

im Block Λ_{k}—sowie 1 + b · (a + a^{−1}), denn

1 + b · (a + a^{−1}) = ( \begin{matrix}1 − η(k) & 0 \\ η(k) · (2 + η(k)) & 1 + η(k) \end{matrix} )

in Λ_{k}.

Wir zeigen nun, daß Konjugation mit u = 1 + b · (a + a^{−1}) nicht inner ist in ZZD_{8}.

Falls es eine Einheit v ∈ ZZD_{8} gibt mit ^{v}x = ^{u}x für alle x ∈ ZZD_{8}, so ist v^{−1}u im Zentrum von ZZD_{8}.

Die Zerlegung von u in die Wedderburn–Komponenten bezüglich der Darstellung aus [Ro-83] ist

u = ( \begin{matrix}1 − \sqrt{2} & 0 \\ 2 + \sqrt{2} & 1 + \sqrt{2} \end{matrix} ) ⊕ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ⊕ (1 + 2ab).

Sei u · μ = v. In der Wedderburn–Zerlegung ist

μ = μ_{3} ⊕ μ_{2} ⊕ μ_{1}.

Es ist aber mit π : ZZD_{8} ⟶ ZZD_{4}.

π(u) ∈ Z(ZZD_{4}) ≤ C_{ZZD_{4}}(b) ≤ ZZ(C_{4} × C_{2}),

wobei ≤ eine Inklusion von Ringen bezeichnet. Da ZZ(C_{4} × C_{2}) nur triviale Einheiten besitzt, erkennt man, daß die Projektion von v in ZZD_{4} Element von {±1, ±a^{2}} sein muß.

Somit ist

π(u) · (μ_{2} ⊕ μ_{1}) ∈ ±{1, a^{2}}.

Nun ist aber

(1 + b(a + a^{7})) · (α_{0} + α_{1}(a + a^{7})) = α_{0} + α_{1}(a + a^{7}) + b(α_{0}(a + a^{7}) + 2α_{1})

in Λ_{3}. Damit v aber ganzzahlige Einheit in ZZD_{8} wird, müssen α_{1}, der Koeffizient von a + a^{7}, und α_{0}, der Koeffizient von b · (a + a^{7}), beide gerade ganze Zahlen sein. Obiges Element stellt aber die Komponente von v in Λ_{3} dar. Falls v ganzzahlige Einheit sein soll, muß auch diese Projektion in Λ_{3} ganzzahlige Einheit sein. Dies ist bei geradem α_{0} und geradem α_{1} nicht gegeben.

Daß Konjugation mit u′ = a − b + 1 nicht innerer Automorphismus von ZZD_{4} sein kann, zeigt man ähnlich: Sei v′ = u′·λ ganzzahlige Einheit mit einer zentralen rationalen Einheit λ. Zentrale Einheiten von Λ_{2} sind nur Vielfache der Einheitsmatrix. Projektion von a − b + 1 nach ZZV_{4}, erzwingt, daß die Projekton von v′ nach ZZV_{4} in {±1, ±a, ±b, ±ab} liegt. Jedoch mit α_{0} ∈ Q,

(α_{0} · (a − b + 1) · \frac{1}{2}(1 − a^{2}) ± \frac{1}{2}(1 + a^{2}) · \{1, a, b, ab\}) ∩ ZZD_{4} = ∅.

Wir zeigen im folgenden, daß Konjugation mit 1+a−b und 1+b·(a+a^{−1}) die Gruppe Outcent(ZZD_{2^{n}}) erzeugt.

Es sei bei einer abelschen Gruppe A deren 2-Sylowgruppe mit A_{2} bezeichnet und wir definieren weiterhin e := (1 + a^{2^{n−1}})/2, ein zentrales Idempotent in ZZD_{2^{n}}. Wir behaupten, daß der Homomorphismus

Outcent(ZZD_{2^{n}}) ⟶ Outcent(ZZD_{2^{n−1}})
(M) ⟶ (M · e)

surjektiv ist. Aus einer Mayer-Vietoris-Sequenz erhält man, daß für ein Ideal J von Z(ZZD_{2^{n}})

(Cl(Z(ZZD_{2^{n}})))_{2} ⟶ (Cl(Z_{n−1}(1)))_{2}
(J) ⟶ (J · e) = (J ⊗_{Z(ZZD_{2^{n}})} Z(ZZD_{2^{n}})e)

surjektiv ist. Da aber Z_{n−1}(1) und Z(ZZD_{2^{n−1}})) Ordnungen in derselben separablen Algebra sind, ist der Homomorphismus

(Cl(Z_{n−1}(1)))_{2} ⟶ (Cl(Z(ZZD_{2^{n−1}})))_{2}
(J) ⟶ (J ⊗_{Z_{n−1}(1)} Z(ZZD_{2^{n−1}})) = (J · Z(ZZD_{2^{n−1}}))

ebenfalls surjektiv. Nun ist aber mit Λ := ZZD_{2^{n}}, Z_{n} := Z(ZZD_{2^{n}}) und Λ^{G} = H^{0}(D_{2^{n}}, Λ) sowie (Λe)^{G} = H^{0}(D_{2^{n}}, Λe)

((J ⊗_{Z_{n}} Z_{n}e) ⊗_{Z_{n}e} (Λe)^{G}) ⊗_{(Λe)^{G}} Λe = (J ⊗_{Z_{n}} Z_{n}e) ⊗_{Z_{n}e} Λe
= J ⊗_{Z_{n}} Λe
= (J ⊗_{Z_{n}} Λ) ⊗_{Λ} Λe

und somit das folgende Diagramm kommutativ:

1 ⟶ (Cl(Z(ZZD_{2^{n}})))_{2} ˜ ⟶ Outcent(ZZD_{2^{n}}) ⟶ 1
↓ ·e  ↓ ·e
(Cl(Z_{n−1}(1)))_{2}  Outcent(ZZD_{2^{n−1}})
↓  ∥
1 ⟶ (Cl(Z(ZZD_{2^{n−1}})))_{2} ˜ ⟶ Outcent(ZZD_{2^{n−1}}) ⟶ 1

Dabei sind die vertikalen Homomorphismen links surjektiv und die mittleren horizontalen Homomorphismen bijektiv, also ist die Behauptung gezeigt. Man beachte, daß falls (M) = (a · ZZD_{2^{n}}) mit einem a ∈ U(QD_{2^{n}}), (Me) = ((a · e) · (ZZD_{2^{n}} · e)) abgebildet wird und somit die Konjugation mit a auf die Konjugation mit a · e abgebildet wird.

Es ist

Outcent(ZZD_{2^{n}}) ≃ C_{2^{n−1}} × C_{2^{n−2}} =:< α_{n} > × < β_{n} >

Sei γ_{a}(x) = a · x · a^{−1} für ein a ∈ U(QD_{2^{n}}) und alle x ∈ ZZD_{2^{n}}. Aus γ_{a}(b) = b folgt unmittelbar γ_{a· \frac{1}{2} ·(1+a^{2^{n−1}})}(b) = b. Nach den vorangegangenen Untersuchungen kann angenommen werden, daß 1×C_{2^{n−2}} ≤ Outcent(ZZD_{2^{n}}) auf b trivial operiert.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit parametrisiert wieder C_{2^{n−1}} × 1 die ganzzahligen Konjugationsklassen von Gruppenbasen, die die der Standardinvolution b enthalten. Sei β′_{n} ein Urbild eines Erzeugendes β′_{n−1} von 1 × C_{2^{n−3}} in Outcent(ZZD_{2^{n−1}}), das die Standardinvolution b stabilisiert. Da aber β′_{n−1} die Ordnung 2^{n−3} hat, muß β′_{n} wenigstens die Ordnung 2^{n−3} haben. Hätte β′_{n} die Ordnung 2^{n−3}, so wäre

β′_{n} = β_{n}^{j} · α_{n}^{i}

mit natürlichen Zahlen i und j. Da

(β′_{n})^{2^{n−3}} = β_{n}^{j·2^{n−3}} · α_{n}^{i·2^{n−3}} = 1,

wäre dann i ≡ 0 mod 4 und j ≡ 0 mod 2, also hätte β′_{n} eine Wurzel

γ_{n} := βn^{\frac{j}{2}} · αn^{\frac{i}{2}},

was unter Epimorphie erhalten bleibt. Nun hat aber β_{n−1} keine Wurzel und wir erhalten einen Widerspruch. Dieses Argument zeigt auch, daß j ≢ 0 mod 2, da β′_{n} die Standardinvolution b fixiert und die Untergruppe der Automorphismen, die die Eigenschaft haben, b zu fixieren, die Ordnung 2^{n−2} hat, und somit i ≡ 0 mod 2 gilt. Daher hätte dann β_{n−1} eine Wurzel, Widerspruch. Da sowohl β′_{n} als auch β das Element b fixieren, ist i ≡ 0 mod 2^{n−1}.

Wir zeigen als nächsten Schritt, daß jedes Urbild α′_{n} von α_{n−1} in Outcent(ZZD_{2^{n}}) die Ordnung 2^{n−1} hat. Da

π′_{3} · π′_{4} ⋯ π′_{n} : Outcent(ZZD_{2^{n}}) ⟶ ⟶ Outcent(ZZD_{4})

ein Epimorphismus mit β_{n} im Kern ist, wäre mit

α′_{n} = α_{n}^{2·j} · β_{n}^{i}

auch α_{n}^{2·j} ein Urbild von α_{2}. Es ist nämlich, da β_{n−1} im Kern von π′_{3} ⋯ π′_{n−1} liegt, α_{n−1} ein Urbild von α_{2} in Outcent(ZZD_{2^{n−1}}). Damit ist jedoch α_{2} wie α_{n}^{2·j} = (α_{n}^{j})^{2} ein Quadrat. Das ist ein Widerspruch.

Somit erzeugen die Konjugation mit a − b + 1 zusammen mit der Konjugation mit 1 + b · (a + a^{−1}) die Gruppe Outcent(ZZD_{2^{n}}) für alle n ∈ IN. Die Gruppe Outcent(ZZD_{2^{n}}) ist somit vollkommen in Gruppenringelementen beschrieben.

Falls die Cohnsche Vermutung nicht richtig ist, so stört das die Diskussion in diesem Unterabschnitt nicht, da die Terme, die durch die Klassengruppen der Ringe ZZ[η(n)] auftreten, nicht zu Involutionen gehören, die sich in Gruppenbasen befinden. Unsere Einheiten sind aber so angelegt, daß sie den Gruppenring normalisieren und somit Involutionen in Gruppenbasen erzeugen.

Satz 3 Die äußere zentrale Automorphismengruppe Outcent(ZZD_{2^{n}}) des ganzzahligen Gruppenrings der Diedergruppe D_{2^{n}} mit 2^{n+1} Elementen wird erzeugt von der Konjugation mit a − b + 1, einem Automorphismus der Ordnung 2^{n−1} modulo inneren Automorphismen, und der Konjugation mit 1 + b · (a + a^{−1}), einem Automorphismus der Ordnung 2^{n−2} modulo inneren Automorphismen. Dabei ist a ein Element der Ordnung 2^{n} in D_{2^{n}} und b eine nicht zentrale Involution in D_{2^{n}}.

3.9 Einige ungerade Diedergruppen

Sei D_{p} die Diedergruppe der Ordnung 2p für eine ungerade Primzahl p: D_{p} :=< a, b|a^{p}, b^{2}, baba >. Es soll die Klassengruppe des Zentralisators C(p) := C_{ZZD_{p}}(b) — in Abänderung der Notation — der Involution b von D_{p} in ZZD_{p} berechnet werden.

Da QD_{p} = QC_{2} ⊕ (Q[η(p)])_{2×2} mit η(p) = ζ(p) + ζ(p)^{−1} sowie ∑_{i=0}^{p−1} ζ(p)^{i} = 0, somit ist ζ(p) eine primitive p-te Einheitswurzel. Dann ist C(p) durch das folgende Pullbackdiagramm bestimmt:

C_{ZZD_{p}}(b)  ⟶ ZZ < b >
↓  ↓
ZZ[η(p)] < b > ⟶ IF_{p} < b >

Da ZZ[η(p)] = ZZ[η(2p)], sind sowohl die zyklotomischen Einheiten

u_{k}(p) := 1 + η_{1}(p) + η_{2}(p) + .. + η_{k}(p); k = 1, .., \frac{p − 3}{2}

als auch die Elemente

v_{k}(p) := 1 − η_{1}(p) + η_{2}(p) ± .. ± η_{k}(p); k = 1, .., \frac{p − 3}{2}

mit η_{i}(p) = ζ(p)^{i} + ζ(p)^{−i} Einheiten.

Da wir eine Primzahl p fixieren, lassen wir die Bezeichnung ‘(p)’ künftig fort.

Man rechnet

\frac{1 + b}{2}u_{k} + \frac{1 − b}{2}v_{k} = \{ \begin{matrix}(1 + η_{2} + η_{4} + .. + η_{k}) + (η_{1} + η_{3} + .. + η_{k−1})b & für k gerade \\ (1 + η_{2} + η_{4} + .. + η_{k−1}) + (η_{1} + η_{3} + .. + η_{k})b & für k ungerade \end{matrix}

Dies bildet in IF_{p} < b > auf

\{ \begin{matrix}(k + 1) + k · b & für k ungerade \\ k + (k + 1) · b & für k gerade \end{matrix}

ab. In den Wedderburn Komponenten von IF_{p}C_{2} sind diese Elemente gleich

(2k + 1, 1) k gerade
(2k + 1, −1) k ungerade.

Da aber b = (1, −1) Bild einer globalen Einheit ist, ist (2k + 1, 1) Bild einer globalen Einheit. Da −b = (−1, 1) Bild einer globalen Einheit ist, ist (IF_{p}, 1) Bild globaler Einheiten, denn falls x = 2k+1 ⇒ −x = 2k′. Analog ist (1, IF_{p}) Bild globaler Einheiten und somit ganz U(IF_{p}C_{2}).

Somit ist

Cl(C_{ZZD_{p}}(b)) = Cl(ZZ[η(p)]C_{2}) ⊕ Cl(ZZC_{2}).

Nun ist aber der zweite Summand trivial, und für den ersten Summanden berechnet man den Pullback

\begin{matrix}ZZ[η(p)]C_{2} & ⟶ & ZZ[η(p)] \\ ↓ & & ↓ \\ ZZ[η(p)] & ⟶ & IF_{2} ⊗_{ZZ} ZZ[η(p)] \end{matrix} .

Bemerkung 10 Falls p eine Primzahl ist, für die 2^{\frac{p−1}{2}} − 1 Mersennesche Primzahl ist und falls 2 · ZZ[η(p)] ein Primideal in ZZ[η(p)] ist, ist Cl(ZZ[η(p)]C_{2}) = Cl(ZZ[η(p)])^{2}. Denn dann hat die Einheitengruppe von ZZ[η(p)]/2ZZ[η(p)] Primzahlordnung und wird damit von allen Elementen außer der 1 erzeugt.

Die Klassengruppe des Zentrums von ZZD_{p} wurde in [Fr-73, FRU-74] berechnet. Die Argumente werden nun wiederholt:

Z(ZZD_{p}) =< 1, a^{i} + a^{−i}, (1 + a + a^{2} + ... + a^{p−1}) · b|i = 1, .., p − 1 >_{ZZ}

und daher ist ein Pullbackdiagramm gegeben:

Z(ZZD_{p}) ⟶ ZZ + pZZb
↓  ↓
ZZ[η(p)] ⟶ ZZ/(pZZ)

Es ist somit Cl(Z(ZZD_{p})) ≃ Cl(ZZ[η(p)]) ⊕ Cl(ZZ + pZZb). Dies führt auf die Untersuchung des Pullbackdiagramms

ZZ + pZZb ⟶  ZZ
↓  ↓
ZZ  ⟶ ZZ/(2pZZ)

und zur Mayer-Vietoris-Sequenz

1 ⟶ C_{\frac{p−1}{2}} ⟶ Cl(ZZ + pZZb) ⟶ 1.

Daher ist

Cl(Z(ZZD_{p})) ≃ Cl(ZZ[η(p)]) ⊕ C_{\frac{p−1}{2}} .

Daß P icent(ẐZ_{q}D_{p}) = 1 für alle Primzahlen q ist, wird in [FRU-74] bewiesen. Für alle Primzahlen q außer q = 2 folgt dies aus [RS-87b] und [RS-87a, (1.2.12)].

Nach [Lee-64, Theorem 4.2] ist

Cl(ZZD_{p}) ≃ Cl(ZZ[η(p)]).

Wir bekommen ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten:

0  0
↑  ↑
0 ⟶ κ′_{p} ⟶ κ′_{p} ⟶ 0
↑  ↑
0 ⟶ Cl(C_{ZZD_{p}}(b)) ⟶ Cl(ZZ[η(p)]C_{2}) ⊕ Cl(ZZC_{2}) ⟶ 0
↑  ↑ λ
0 ⟶ Cl(Z(ZZD_{p})) ⟶ Cl(ZZ[η(p)]) ⊕ Cl(ZZ + pZZb) ⟶ 0
↑  ↑
0 ⟶ γ_{p} ⟶ γ_{p} ⟶ 0
↑  ↑
0  0

Da λ = λe ⊕ λ(1 − e) mit 1 − e die Projektion modulo a und λe sicherlich injektiv ist, ist γ_{p} ≃ C_{\frac{p−1}{2}} und

|κ′_{p}| = \frac{|Cl(ZZ[η(p)])C_{2}|}{|Cl(ZZ[η(p)])|}.

Es existiert ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:

0 ⟶ Cl_{ZZD_{p}}(C_{ZZD_{p}}(b)) ⟶ Cl(C_{ZZD_{p}}(b)) ⟶^{ϕ} Cl(ZZD_{p})
↑ ↑ ∥
0 ⟶ Cl_{ZZD_{p}}(Z(ZZD_{p})) ⟶ Cl(Z(ZZD_{p})) ⟶^{ϕ′} Cl(ZZD_{p})

Damit ist

0  0  0
↑  ↑  ↑
0 ⟶  κ_{p}  ⟶  κ′_{p}  ⟶  κ′′_{p}
↑  ↑  ↑
0 ⟶ Cl_{ZZD_{p}}(C_{ZZD_{p}}(b)) ⟶ Cl(C_{ZZD_{p}}(b)) ⟶^{λ} Cl(ZZ[η(p)])
↑ ↑ ↑
0 ⟶ Cl_{ZZD_{p}}(Z(ZZD_{p})) ⟶ Cl(Z(ZZD_{p})) ⟶ Cl(ZZ[η(p)])^{[2]} ⟶ 0
↑  ↑  ↑
0 ⟶  γ_{p}  ⟶  γ_{p}  ⟶  0
↑  ↑  ↑
0  0  0

ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten, wie man aus dem Schlangenlemma unter Verwendung von [FRU-74, (4.3)] sieht. (Zur Bezeichnung siehe Seite 44.) Daher ist

ker[Cl_{ZZD_{p}}(Z(ZZD_{p})) ⟶ Cl_{ZZD_{p}}(C_{ZZD_{p}}(b))] ≃ C_{\frac{p−1}{2}} .

Sei ein lokal freies Ideal A von ZZ[η(p)] gegeben. Dann induziert das Paar (A, ZZ[η(p)]) ein Ideal von C_{ZZD_{p}}(b). Falls A zu einem Idèle (α) = ∏_{℘∈Spec(ZZ[η(p)])} α_{℘} gehört, gehört das Idèle

β := ∏_{℘}[(1 + b) · 1 + (1 − b) · α_{℘}]

zu einem Urbild von (A, ZZ[η(p)]) in Cl(C_{ZZD_{p}}(b)).

Eine Darstellung von D_{p} erhält man analog zur Darstellung in [Ro-83] durch:

b ⟶ ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ −η(p) & 1 \end{matrix} ) , a ⟶ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & η(p) \end{matrix} ) .

Konjugiert man die Darstellung mit ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix} ), erhält man die Darstellung

b ⟶ ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 2 − η(p) & 1 \end{matrix} ) , a ⟶ ( \begin{matrix}1 & 1 \\ η(p) − 2 & η(p) − 1 \end{matrix} ) .

Somit ist

(β) = ∏_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘} & 0 \\ (2 − η(p)) · (1 − α_{℘}) & 2 \end{matrix} ) .

Da aber

( \begin{matrix}1 & 0 \\ (2 − η(p)) & 2 \end{matrix} )

eine Einheit in (Q[η(p)])_{2×2} ist, ist (β) aufgefaßt als Idèle von (Q[η(p)])_{2×2} äquivalent zum Idèle

( \begin{matrix}1 & 0 \\ (2 − η(p)) & 2 \end{matrix} ) · (β) = ∏_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘} & 0 \\ 2(2 − η(p)) & 4 \end{matrix} ) =: (γ).

Falls R := ZZ[η(p)] abgekürzt wird, ist das zu (γ) gehörige Ideal C gleich

⋂_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘} & 0 \\ 2(2 − η(p)) & 4 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}R_{℘} & R_{℘} \\ R_{℘} & R_{℘} \end{matrix} ) .

Dies ist aber gleich

⋂_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘}R_{℘} & 2α_{℘}R_{℘} \\ 2(2 − η(p))R_{℘} + 4R_{℘} & 2(2 − η(p))R_{℘} + 4R_{℘} \end{matrix} ) .

Da aber p ∈ (2 − η(p))R, ist dies gleich

⋂_{℘} ( \begin{matrix}2α_{℘}R_{℘} & 2α_{℘}R_{℘} \\ 2R_{℘} & 2R_{℘} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2A & 2A \\ 2R_{℘} & 2R_{℘} \end{matrix} ) .

Dessen reduzierte Norm ist dann aber gleich 4 · A ≃ A.

Dadurch ist λ surjektiv und

0 ⟶ κ_{p} ⟶ κ′_{p} ⟶ κ′′_{p} ⟶ 0

ist exakt. Man sieht daher, daß

κ′′_{p} ≃ Cl(ZZD_{p})/Cl(ZZD_{p})^{[2]}, |κ′_{p}| = \frac{|Cl(ZZ[η(p)])C_{2}|}{|Cl(ZZ[η(p)])|}

und

|κ_{p}| = \frac{|Cl(ZZ[η(p)])C_{2}| · |Cl(ZZ[η(p)])^{[2]}}{|Cl(ZZ[η(p)])|^{2}}

und somit

|coker[Cl_{ZZD_{p}}(Z(ZZD_{p})) ⟶ Cl_{ZZD_{p}}(C_{ZZD_{p}}(b))]| =

= \frac{|Cl(ZZ[η(p)]C_{2})|}{|Cl(ZZ[η(p)])|^{2}} · |Cl(ZZ[η(p)])^{[2]}|.

Bemerkung 11 N. C. Ankeney, S. Chowla und H. Hasse beweisen in [ACH-65], daß für Primzahlen p von der Form p = (2qn)^{2} +1 mit einer Primzahl q und einer ganzen Zahl n > 1 die Klassenzahl H(p) := |Cl(ZZ[\sqrt{p}])| die Klassenzahl h^{+}(p) teilt. Zum Anderen ist aber H(p) ungerade und größer als 1 für diese Primzahlen p. Beispiele sind die Primzahlen

p ∈ {257, 401, 577, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 7057, 8101}.

Es ist aber (Cl(ZZ[η(p)]))_{[2]} = Cl(ZZ[η(p)]) genau dann, wenn Cl(ZZ[η(p)]) eine elementarabelsche 2-Gruppe ist. In jedem Fall ist aber

|Cl(ZZ[η(p)])C_{2}|/|Cl(ZZ[η(p)])| ≥ |Cl(ZZ[η(p)])|.

Zur Erinnerung sei noch einmal eines der Ergebnisse von A. Fröhlich, I. Reiner und S. Ullom angegeben.

Lemma 15 ([FRU-74]) ZZD_{p} besitzt genau

\frac{p − 1}{2} · \frac{|Cl(ZZ[η(p)])|}{|Cl(ZZ[η(p)])^{[2]}|}

Konjugationsklassen von Gruppenbasen.

Wir haben also bewiesen:

Satz 4 1. Es existieren in ZZD_{p} genau

\frac{|Cl(ZZ[η(p)]C_{2})|}{|Cl(ZZ[η(p)])|}

Konjugationsklassen von Involutionen, die lokal und rational zu b konjugiert sind.

2. Eine Involution b ∈ D_{p} ist in genau \frac{p−1}{2} Repräsentanten von Konjugationsklassen von Gruppenbasen enthalten.

3. Von den Konjugationsklassen lokal und rational zu b konjugierter Involutionen in ZZD_{p} bestehen dann genau

\frac{|Cl(ZZ[η(p)])|}{|Cl(ZZ[η(p)])^{[2]}|}

Konjugationsklssen aus Involutionen, die in einer Gruppenbasis liegen und

\frac{|Cl(ZZ[η(p)]C_{2})|}{|Cl(ZZ[η(p)])|} − \frac{|Cl(ZZ[η(p)])|}{|Cl(ZZ[η(p)])^{[2]}|}

bestehen aus nicht in Gruppenbasen liegenden Involutionen.

4. Falls p ∈ {(2nq)^{2} + 1|n ∈ ZZ, n ≥ 2, qZZ ∈ Spec(ZZ)} Primzahl ist, existiert eine Konjugationsklasse von Involutionen, deren Elemente in V (ẐZ_{r}D_{p}) für alle Primzahlen r konjugiert zu b sind, die aber in keiner Gruppenbasis von ZZD_{p} liegen.

Bemerkung 12 I. S. Luthar und A. K. Bhandari zeigten in [LB-83] schon 1983, daß rational jede Involution in ZZD_{p} zu b konjugiert ist.

3.10 Anhang

Mit dem ‘maple V’ Programm konnten für einige Primzahlen p der Wert |Cl(ZZ[η(p)]C_{2})| berechnet werden. Für p ∈ {3, 5, 7, 11, 179, 19379, 43403} ist

Cl(ZZ[η(p)]C_{2}) = Cl(ZZ[η(p)])^{2},

da dafür 2^{\frac{p−1}{2}} − 1 Mersennesche Primzahl ist. Insbesondere konnte, falls 2 ein Primideal in ZZ[η(p)] erzeugt, geprüft werden, wie groß der Index der von den cyclotomischen Einheiten U_{C}(p) von ZZ[η(p)] in ZZ[η(p)]/2ZZ[η(p)] erzeugten Untergruppe ist.

Dabei ergibt sich für die Primzahlen p in {3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 149, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 211, 227, 239, 263, 271, 293, 311, 317, 347, 359, 367, 379} die Beziehung

Cl(ZZ[η(p)]C_{2}) ≃ Cl(ZZ[η(p)])^{2}.

Für die Primzahlen p in {37, 101, 197, 199, 269, 349, 373} kann die Beziehung nur dann richtig sein, wenn |Cl(ZZ[η(p)])| > 1 ist.

Bezüglich den Primzahlen p in {17, 31, 41, 43, 73, 89, 97, 109, 113, 127, 137, 151, 157, 193, 223, 229, 233, 241, 251, 257, 277, 281, 283, 307, 313, 331, 337, 353} konnte keine Entscheidung getroffen werden, da dann 2 kein Primideal in ZZ[η(p)] erzeugt.

Es ist von van der Linden ([vdL-82]) gezeigt, daß h_{163}^{+} = 4 und h_{p}^{+} = 1 für alle Primzahlen p < 163 gilt, falls die verallgemeinerte Riemann Vermutung richtig ist. Für Primzahlen p ≤ 67 ist die verallgemeinerte Riemann Vermutung nicht nötig. Viele Fälle konnte schon früher J. M. Masley in [Ma-78] behandeln.

Korollar 4 Wir setzen voraus, daß das ‘maple V’ Progamm fehlerlos ist. Aussagen über Primzahlen größer als 67 setzen die vrallgemeinerte Riemann Vermutung voraus.

1. Falls p ∈ {3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 131, 139, 149}, liegt jede Involution in ZZD_{p}, die lokal zu b konjugiert ist, auch ganzzahlig in einer Gruppenbasis.

2. Falls p ∈ {37, 101} existieren in ZZD_{p} genau zwei Konjugationsklassen von Involutionen, die rational und lokal zu b konjugiert sind, ganzzahlig jedoch nicht in einer Gruppenbasis liegen. Genau die Konjugationsklasse von b besteht aus Involutionen, die in Gruppenbasen liegen.

3. Falls Cl(ZZ[η(163)]) zyklisch ist, existieren in ZZD_{163} genau 2 Konjugationsklassen von Involutionen, die rational und lokal zu b konjugiert sind, ganzzahlig jedoch in keiner Gruppenbasis liegen, und 2 Konjugationsklassen von Involutionen, die rational und lokal zu b konjugiert sind und in einer Gruppenbasis liegen. Sonst liegen alle Involutionen, die lokal und rational zu b konjugiert sind, in ZZD_{163} in einer Gruppenbasis.

In der folgenden Tabelle sei U_{C}(p) die Gruppe der zyklotomischen Einheiten in ZZ[η(p)] und U_{C}(p) mod 2 bezeichnet deren Bild in ZZ[η(p)]/2ZZ[η(p)]. Bekanntlich haben die zyklotomischen Einheiten in der gesamten Einheitengruppe den Index h_{p}^{+}.

Primzahl < 2 > prim in ZZ[η(p)] \frac{|U(ZZ[η(p)]/2ZZ[η(p)])|}{|U_{C}(p) mod 2|}
3  ja  1
5  ja  1
7  ja  1
11  ja  1
13  ja  1
17  nein
19  ja  1
23  ja  1
29  ja  1
31  nein
37 ja 3
41  nein
43  nein
47  ja  1
53  ja  1
59  ja  1
61  ja  1
67  ja  1
71  ja  1
73  nein
79  ja  1
83  ja  1
89  nein
97  nein
101  ja  3
103  ja  1
107  ja  1
109  nein
113  nein
127  nein
131 ja 1
137  nein
139  ja  1
149  ja  1
151  nein

Primzahl < 2 > prim in ZZ[η(p)] \frac{|U(ZZ[η(p)]/2ZZ[η(p)])|}{|U_{C}(p) mod 2|}
157  nein
163  ja  1
167  ja  1
173  ja  1
179  ja  1
181  ja  1
191  ja  1
193  nein
197  ja  3
199  ja  7
211  ja  1
223  nein
227 ja 1
229  nein
233  nein
239 ja 1
241  nein
251  nein
257  nein
263  ja  1
269  ja  3
271  ja  1
277  nein
281  nein
283  nein
293 ja 1
307  nein
311 ja 1
313  nein
317 ja 1
331  nein

Primzahl < 2 > prim in ZZ[η(p)] \frac{|U(ZZ[η(p)]/2ZZ[η(p)])|}{|U_{C}(p) mod 2|}
337  nein
347  ja  1
349  ja  3
353  nein
359  ja  1
367  ja  1
373  ja  3
379  ja  1

Die Programme hierzu sind nachfolgend aufgelistet. Vor der Anwendung muß das Programmpaket GF mit ‘readlib(lattice);readlib(GF);’ gestartet werden.

fangean:=proc(p) local i,j; q := 1/2*p-1/2; a := array(0 .. q+1,0 .. q+1); for i from 0 to q+1 do for j from 0 to q+1 do a[i,j] := 0 od od; a[0,0] := 1; a[1,1] := 1; for i from 2 to q do if a[i-1,0] = 0 then a[i,0] := 2*a[i-1,1]; for j from 2 by 2 to q do a[i,j] := a[i-1,j-1]+a[i-1,j+1] od else for j by 2 to q do a[i,j] := a[i-1,j-1]+a[i-1,j+1] od fi od end

test:= proc(p) local n,ord,i; n:=1; ord:=0; for i to p do n:=(2*n) mod p; if (n=1) or (n=p-1) then ord:=i; i:=p fi od; ord:=ord end;

zweiprim:=proc(p) local L; L:=GF(p,1); zwei:=L[‘+‘](L[1],L[1]); Laenge:=member(L[order](zwei),p-1); if not Laenge then if test(p)=\frac{1}{2} ∗ p − \frac{1}{2} then Laenge:=true else Laenge:=false fi fi end;

diesmipol:=proc(p) local i; berminpoly(p); mu := 0; for i from 0 to q do mu := c[i]*Zˆ i+mu od end

berminpoly:=proc(p) local i,b,j,k; fangean(p); c := array(0 .. q); b := array(0 .. q); for i from 0 to q do c[i] := 0; b[i] := -a[q,i]+1 od; c[q] := 1; for i from 0 to q-1 do j := q-i-1; c[j] := b[j]; for k from 0 to q do b[k] := b[k]-a[j,k]*c[j] od od end

verbessertsys:=proc(p) local gegete,G,pol,ar,potenz,i,j,agfield,ordnung,quotientenord; zweiprim(p); gegete := 1; if Laenge then pol := diesmipol(p); G := GF(2,1/2*p-1/2,pol); al := G[ConvertIn](Z); ar := array(1 .. 1/2*p-3/2); agfield := array(0 .. 1/2*p-1/2,0 .. 1/2*p-1/2); potenz := array(0 .. 1/2*p-3/2); for i from 0 to 1/2*p-1/2 do for j from 0 to 1/2*p-1/2 do agfield[i,j] := G[ConvertIn](a[i,j] mod 2) od od; potenz := array(0 .. 1/2*p-3/2); potenz[0] := G[1]; for i to 1/2*p-3/2 do potenz[i] := G[‘*‘](potenz[i-1],al); ar[i] := potenz[i] od; for i from 2 to 1/2*p-3/2 do for j to i-1 do ar[i] := G[‘+‘](ar[i],G[‘*‘](agfield[i,j],ar[j])) od od; ar[1] := G[‘+‘](G[1],ar[1]); for i from 2 to 1/2*p-3/2 do ar[i] := G[‘+‘](ar[i],ar[i-1]) od; quotientenord := 2ˆ (1/2*p-1/2)-1; for i to 1/2*p-3/2 do ordnung := G[order](ar[i]); gegete := ilcm(ordnung,gegete); if ordnung = quotientenord then print(‘Einheit Nr‘,i,‘ erzeugt‘); i := 1/2*p-3/2 else if gegete = quotientenord then print(‘cyclotomische Einheiten erzeugen‘); i := 1/2*p-3/2 fi fi od; if gegete <> quotientenord then print(‘cyclotomische Einheiten werden von ‘,gegete,‘ annuliert‘, ‘erzeugen Untergruppe vom Index‘,quotientenord/gegete) fi else print(‘< 2 > ist nicht primes Ideal‘) fi end

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[Web-1886] H. Weber: Theorie der abelschen Zahlkörper; Acta Math. 8 (1886), 193–263.

[Wei-88] A. Weiss: Rigidity of p-adic p-torsion; Annals of Mathematics 127 (1988), 317–332.

[Wei-91] A. Weiss: Torsion units in integral group rings; J. reine angew. Math. 415 (1991), 175–187.

[Wh-68] Whitcomb: The group ring problem; Ph. D. thesis, University of Chicago 1968.

[Zi-90] A. Zimmermann: Das Isomorphieproblem ganzzahliger Gruppenringe für Gruppen mit abelschem Normalteiler und Quotienten, der eine Vermutung von Hans Zassenhaus erfüllt; Diplomarbeit, Universität Stuttgart (1990).

Lebenslauf

Name: Alexander Zimmermann, geboren am 4. Januar 1964 in Stuttgart. Eltern: Alfred Zimmermann und Marianne Zimmermann geborene Raber. Eichbergschule in Musberg vom September 1970 bis 1974. Philipp Matthäus Hahn Gymnasium in Echterdingen vom September 1974 bis September 1975. Immanuel Kant Gymnasium in Leinfelden vom September 1975 bis Juni 1983. Reifeprüfung: ebenda Juni 1983. Wehrdienst vom 1. Juli 1983 bis 30. September 1984. Beginn des Studiums der Mathematik an der Universität Stuttgart im Wintersemester 1984/85. Vordiplom im Sommersemester 1986 in Stuttgart. Diplom am 22. Mai 1990 an der Universität Stuttgart. Wissenschaftlicher Mitarbeiter des Mathematischen Instituts B der Universität Stuttgart seit Juni 1990. Preis bei der Studentenkonferenz Mathematik ’91 an der Humboldt Universität zu Berlin im März 1991.