Représentations de Gelfand-Graev et Correspondance de Springer dans les groupes réductifs non connexes

Karine Sorlin 17 octobre 2001

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Je voudrais, en premier lieu, exprimer ma reconnaissance à François Digne pour ses précieux conseils, sa disponibilité et son soutien tout au long de ce travail.

Je remercie également Jean Michel, Cédric Bonnafé et Alberto Arabia pour leurs suggestions et les discussions constructives qu’ils m’ont accordées, les rapporteurs de cette thèse, Toshiaki Shoji et Tony A. Springer, pour leur lecture attentive et leurs remarques détaillées, et Meinolf Geck, Gunter Malle et Raphaël Rouquier pour avoir accepté de participer à ce Jury.

Je souhaiterais aussi remercier tous les membres du LAMFA pour leur accueil, et en particulier, Anton, Eddy et Sandrine, ainsi que tous les collègues qui m’ont accompagnée dans mes premiers pas dans l’enseignement.

Je voudrais réserver mes derniers remerciements aux personnes de mon entourage qui m’ont patiemment épaulée pendant ces quatre longues années et tout spécialement à Julien.

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Introduction

L’objet de ce mémoire est l’étude des groupes réductifs non connexes de la forme G̃ = G.⟨σ⟩, où G est un groupe réductif connexe et σ un automorphisme extérieur du groupe G. Il s’inscrit dans le fil des travaux de Digne et Michel ([D.M.2]) qui ont développé une théorie de Deligne-Lusztig dans le cadre des groupes réductifs non connexes. Ils ont montré que pour étudier les foncteurs de Deligne-Lusztig, on pouvait se ramener à l’étude des ces foncteurs sur une tranche G.σ, où G est un groupe réductif connexe et σ un automorphisme de G.

Deux thèmes principaux ont été abordés au cours de ce travail, dans le contexte des groupes non connexes, d’une part, la généralisation de la définition des représentations de Gelfand-Graev, et d’autre part, l’établissement de l’analogue de la correspondance de Springer. Tout au long de ce travail, comme chez Digne et Michel, l’automorphisme σ a été supposé quasi-central (théorème 1.1.10), c’est-à-dire que σ est quasi-semi-simple et on a dim(G^{σ}) > dim(G^{σ′}) pour tout automorphisme quasi-semi-simple σ′ de G. Ici, un automorphisme de G est dit quasi-semi-simple (définition 1.1.2) s’il stabilise un couple formé par un tore maximal inclus dans un sous-groupe de Borel du groupe réductif connexe G (Si G = Gl_{n}, l’ensemble B des matrices triangulaires supérieures est un sous-groupe de Borel de G et T, l’ensemble des matrices diagonales est un tore maximal inclus dans B, de plus, l’automorphisme σ de G, qui à toute matrice A associe l’inverse de la matrice symétrique de A par rapport à la deuxième diagonale, stabilise à la fois T et B et est donc quasi-semi-simple).

Ce mémoire comporte trois parties, dans la première partie, nous donnons des généralités sur les groupes non connexes. Le chapitre 1 consiste en des rappels de notions sur les groupes non connexes développées dans l’article de Digne et Michel ([D.M.2]). Dans le chapitre 2, nous nous intéressons aux éléments réguliers dans un groupe algébrique non connexe (un élément x d’un groupe G̃ est dit régulier si la dimension de son centralisateur est minimale parmi les éléments de G.x), et étudions en particulier, à la suite de Spaltenstein ([Spa]), les propriétés des éléments unipotents réguliers d’une tranche G^{1} = G.σ, où σ est quasi-central unipotent. Le chapitre se conclut par le dénombrement des éléments unipotents réguliers rationnels de la tranche (théorème 2.3.7).

Dans la deuxième partie, nous nous sommes appliqués à redéfinir les représentations de Gelfand-Graev lorsque G̃ est de la forme G.⟨σ⟩. Dans le chapitre 3, on s’intéresse au cas où σ est unipotent quasi-central, et dans le chapitre 4, au cas où σ est semi-simple quasi-central.

Il a d’abord fallu donner une définition compatible avec celle existante pour les groupes réductifs connexes et vérifier que les représentations ainsi définies vérifiaient des propriétés analogues à celles du cas connexe. C’est l’objet des sections 3.2 (σ unipotent, définition 3.2.3) et 4.3 (σ semi-simple, proposition-définition 4.3.8), l’idée étant d’étendre les représentations de Gelfand-Graev σ-stables de G^{F} à G̃^{F}. On fixe un couple T ⊂ B formé d’un tore et d’un sous-groupe de Borel σ-stables rationnels de G, et on note U le radical unipotent de B. Dans le cas du groupe réductif connexe G, les représentations de Gelfand-Graev de G sont définies comme l’induit de U^{F} à G^{F} de caractères particuliers de U^{F}, appelés caractères réguliers. Nous définissons dans les sections 3.1 et 4.2 les caractères réguliers de U^{F} .⟨σ⟩ comme extensions de caractères réguliers de U^{F} (définitions 3.1.1 et 4.2.1). Nous montrons dans le 3.1 que les caractères réguliers σ-stables de U^{F} sont paramétrés par L_{(T^{σ})^{0}}^{−1}(Z((G^{σ})^{0}))/Z((G^{σ})^{0}) lorsque σ est quasi-central (proposition 3.1.3).

Dans le cas où σ est unipotent, les représentations de Gelfand-Graev σ-stables de G^{F} sont induites de caractères réguliers σ-stables de U^{F} (proposition 3.2.1). On définit donc un caractère de Gelfand-Graev comme l’induit de U^{F} .⟨σ⟩ à G^{F} .⟨σ⟩ d’un caractère régulier de U^{F} .⟨σ⟩ (définition 3.2.3).

Dans le cas semi-simple, la définition est un peu plus complexe (proposition-définition 4.3.8) car il existe des représentations de Gelfand-Graev σ-stables de G^{F} qui ne sont pas l’induit de caractères réguliers σ-stables de U^{F}.

Dans les deux cas, cependant, les représentations de Gelfand-Graev de G̃^{F} sont paramétrées par H^{1}(F, Z(G^{σ})).

Les représentations de Gelfand-Graev ainsi définies vérifient des propriétés analogues à celles existant dans le cas connexe. Elles ont des composantes irréductibles de multiplicité 1 (théorème 3.2.5). La restriction de Harish-Chandra d’une représentation de Gelfand-Graev est toujours une représentation de Gelfand-Graev (proposition 3.3.1 pour σ unipotent, 4.4.3 pour σ semi-simple). Le dual d’une représentation de Gelfand-Graev est nul en dehors des éléments unipotents réguliers rationnels lorsque σ est unipotent (proposition 3.3.4), des éléments pseudo-unipotents réguliers rationnels (conjugués sous G d’éléments de U.σ, définition 4.1.12), lorsque σ est semi-simple (proposition 4.4.6).

Dans les sections 3.4 et 4.5, nous montrons comment on peut utiliser les représentations de Gelfand-Graev pour calculer les valeurs moyennes de caractères irréductibles de G^{F} sur un ensemble de classes unipotentes (resp. pseudo-unipotentes) quand σ est unipotent (resp. semi-simple), c’est l’objet du théorème 3.4.4 (resp. 4.5.5). Mais les résultats sont plus intéressants dans le cas où σ est semi-simple et quand la caractéristique est bonne pour (G^{σ})^{0}, car on obtient alors les valeurs des caractères pour les éléments pseudounipotents. Par ailleurs, les coefficients qui interviennent dans les formules des théorèmes 3.4.4 et 4.5.5 sont des fonctions simples des coefficients qui jouent un rôle analogue dans le groupe réductif connexe (G^{σ})^{0} (propositions 3.4.6 et 4.5.13).

Dans la troisième partie, nous traitons d’un tout autre sujet qui a cependant comme point commun avec le thème traité dans la partie précédente, le rôle prépondérant joué par les éléments réguliers. Le chapitre 5 rappelle les principaux résultats de géomètrie algébrique qui sont utilisés dans les chapitres 6 et 7. Dans le 6, nous établissons l’analogue de la correspondance de Springer dans le cadre d’un groupe réductif G̃ = G.⟨σ⟩, pour lequel on fait l’hypothèse que l’automorphisme σ du groupe réductif connexe G est unipotent quasi-central. La Correspondance de Springer est un sujet qui a été souvent abordé, selon diverses approches, dans le cadre des groupes réductifs connexes. L’un des exemples les plus simples de cette correspondance est sans doute la bijection qui existe entre l’ensemble des classes unipotentes de Gl_{n} (la classe de conjugaison d’une matrice unipotente est paramétrée par la partition de n donnée par la forme canonique de Jordan de cette matrice) et l’ensemble des caractères irréductibles du groupe de Weyl de Gl_{n}, c’est-à-dire du groupe symétrique S_{n} (cet ensemble étant lui aussi paramétré par les partitions de n).

Springer a généralisé ce résultat en 1976 ([Spr]), en établissant une relation entre les classes unipotentes d’un groupe algébrique réductif connexe G, sur un corps de caractéristique p, et les représentations irréductibles du groupe de Weyl W de G. En général, ce n’est pas une bijection. On a une injection de l’ensemble des classes unipotentes dans l’ensemble des représentations irréductibles de W. Nous allons préciser le résultat de Springer. Soit G un groupe réductif connexe sur un corps algébriquement clos k de caractéristique p > 0. Soit B la variété des sous-groupes de Borel de G, et pour tout g ∈ G, soit B_{g} la sous-variété des sous-groupes de Borel contenant g. Springer a construit, pour tout élément unipotent u, des représentations de W sur les groupes de cohomologie l-adique H^{i}(B_{u}, \overline{ℚ}_{l}) (l premier à p), appelées représentations de Springer. Si on note A_{G}(u), le quotient du centralisateur C_{G}(u) de u dans G par sa composante connexe C_{G}(u)^{0}, alors, A_{G}(u) agit sur H^{i}(B_{u}, \overline{ℚ}_{l}) et son action commute à celle de W. On a alors la décomposition suivante : H^{top}(B_{u}, \overline{ℚ}_{l}) = ⨁_{ρ∈A_{G}(u)}ˆ V_{u,ρ} ⊗ ρ de H^{top}(B_{u}, \overline{ℚ}_{l}) comme W × A_{G}(u)-module. Et Springer a prouvé l’existence d’une bijection entre l’ensemble {(u, ρ)|V_{u,ρ} ≠ 0}, où u parcourt un ensemble de représentants des classes unipotentes de G et ρ parcourt l’ensemble des représentations irréductibles de A_{G}(u), et les représentations irréductibles de W.

Les résultats de Springer reposent sur des démonstrations dans les algèbres de Lie en caractéristique p positive suffisamment grande. Lusztig ([Lus]) donna une autre méthode pour construire les représentations de Springer, utilisant la théorie des faisceaux pervers ([B.B.D.]) et permettant de passer outre cette restriction sur la caractéristique p. C’est sa démonstration (et l’article de Shoji qui l’expose, [Sho]) qui a inspiré le chapitre 6 de ce mémoire dans lequel nous établissons l’analogue de la correspondance de Springer dans une tranche G^{1} = G.σ, où σ est quasi-central unipotent (théorème 6.4.2) ; nous montrons l’existence d’une bijection entre certains couples (u.σ, ρ), où u.σ représente une G-classe unipotente de G^{1} = G.σ et ρ est une représentation irréductible de A_{G}(u.σ) = C_{G}(u.σ)/C_{G}(u.σ)^{0}, et les représentations irréductibles de l’ensemble W^{σ} des points fixes par σ du groupe de Weyl W de G, qui est aussi, parce que σ est quasi-central, le groupe de Weyl du groupe réductif connexe G^{σ} (théorème 1.1.10).

Pour tout g ∈ G, on note B_{g.σ} la variété des sous-groupes de Borel de G-stables par conjugaison par g.σ. Pour établir l’existence de cette bijection, nous avons besoin de l’analogue des représentations de Springer du groupe de Weyl W^{σ} sur les groupes de cohomologie l-adique H^{i}(B_{u.σ}, \overline{ℚ}_{l}), où u.σ est un élément unipotent de G^{1}. Nous construisons ces représentations dans les sections 6.2 et 6.3, où nous montrons que, de la même façon que pour les groupes connexes, l’analogue de la représentation de Springer de W^{σ} sur H^{∗}(B_{u.σ}, \overline{ℚ}_{l}) est la représentation régulière du groupe de Weyl W^{σ} de G^{σ} (corollaire 6.3.4). La correspondance de Springer est établie dans la section 6.4 (théorème 6.4.2). Le chapitre se termine par la démonstration d’une propriété qui a son analogue dans le cas connexe (proposition 6.4.7) : pour tout unipotent u.σ ∈ G^{1}, si ρ est la représentation irréductible de W^{σ} qui correspond au couple (u.σ, Id_{A_{G}(u.σ)}) par l’analogue de la correspondance de Springer dans G^{1}, alors dim(B_{u.σ}) = a_{ρ}, où a_{ρ} est la valuation du degré fantôme de ρ (définition 6.4.6). Cette propriété devrait se révéler utile pour calculer la correspondance de Springer de façon explicite.

Le dernier chapitre qui est inspiré des travaux de Borho et MacPherson ([B.M.2]) fournit un autre indication de calcul. On considère un sous-groupe de Levi L σ-stable inclus dans un sous-groupe parabolique P σ-stable de G. Le but de ce chapitre est de trouver le lien entre la correspondance de Springer entre les G-classes unipotentes de G^{1} et les représentations irréductibles de W^{σ} et la correspondance de Springer entre les L-classes unipotentes de L^{1} et les représentations irréductibles de W (L)^{σ}, où W (L) est le groupe de Weyl de L. La proposition 7.5.3, qui est le résultat principal du chapitre, généralise celui de Lusztig et Spaltenstein dans [L.S.] : si la G-classe d’un unipotent u.σ de G^{1} est obtenue en induisant la L-classe d’un unipotent v.σ de L^{1} (définition 7.5.1 des classes unipotentes induites), alors la restriction à W (L)^{σ} de la représentation irréductible ρ_{(u.σ,Id_{A_{G}(u.σ)})} de W^{σ}, image par la correspondance de Springer issue de G^{1} de (u.σ, Id_{A_{G}(u.σ)}) admet pour composante irréductible de multiplicité 1 la représentation irréductible ρ_{(v.σ,Id_{A_{L}(v.σ)})} de W (L)^{σ}, image par la correspondance de Springer issue de L^{1} de (v.σ, Id_{A_{L}(v.σ)}).

Cette propriété est intéressante en elle-même, cependant, les résultats intermédiaires du chapitre 7 reposent sur des hypothèses plus générales, ce qui laisse espérer la possibilité de trouver une formule qui exprimerait la multiplicité de ρ_{(v.σ,ρ′)}, image par la correspondance de Springer issue de L^{1} de n’importe quel couple (v.σ, ρ′), dans la restriction à W (L)^{σ} de ρ_{(u.σ,ρ)}, image par la correspondance de Springer issue de G^{1} de n’importe quel couple (u.σ, ρ).

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Table des matières

I Généralités sur les groupes réductifs non connexes et sur les éléments réguliers 15

1 Les Groupes Réductifs non Connexes 17 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Groupes sur les corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Cas où G̃ = G.⟨σ⟩ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.4 Caractère de Steinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Les Eléments Réguliers 27 2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Les éléments réguliers quasi-semi-simples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Les éléments unipotents réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II Représentations de Gelfand-Graev 45

3 Cas où σ est quasi-central unipotent 47 3.1 Définition et paramétrage des caractères réguliers . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Définition des représentations de Gelfand-Graev . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3 Effet de la restriction de Harish-Chandra et de la dualité sur les représen-

tations de Gelfand-Graev de G^{F} .σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4 Valeurs des fonctions de σ-classes sur les éléments réguliers unipotents … 66

3.4.1 Résultats dans G.σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.2 Comparaison avec le groupe réductif connexe G^{σ} . . . . . . . . . . 70 4 Cas où σ est quasi-central semi-simple 77

4.1 Eléments pseudo-unipotents réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.1.1 Résultats sur les éléments de U.σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.1.2 Eléments pseudo-unipotents réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2 Définition des caractères réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.3 Définitions des représentations de Gelfand-Graev . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3.1 Cas où (RS) est vraie : toute racine simple α vérifie C_{σ,α} = 1 … 89 4.3.2 Cas où G est du type A_{2n} et où il existe une racine simple α telle

que C_{σ,α} ≠ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 Effet de la restriction de Harish-Chandra et de la dualité sur les représen-

tations de Gelfand-Graev de G^{F} .σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.5 Valeurs des fonctions de σ-classes sur les éléments réguliers pseudo-unipotents101

4.5.1 Résultats dans G.σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.5.2 Comparaison avec le groupe réductif connexe (G^{σ})^{0} . . . . . . . . . 111

III Correspondance de Springer lorsque σ est unipotent quasicentral 115

5 Rappels de géométrie algébrique 117

5.1 Généralités sur la cohomologie étale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.1.1 Morphismes étales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.1.2 Revêtement galoisien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.1.3 Faisceaux étales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.4 Image directe et inverse de faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.1.5 Théorème de changement de base propre . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1.6 Faisceaux l-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.2 Généralités sur les faisceaux pervers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2.1 Faisceaux pervers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2.2 Equivariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3 Application à la correspondance de Springer . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.3.1 Image directe du faisceau \overline{ℚ}_{l} par un morphisme semi-petit . . . . . 126 5.3.2 Composé de deux morphismes semi-petits . . . . . . . . . . . . . . 128

6 Correspondance de Springer 131 6.1 Sous-variétés des sous-groupes de Borel stable par un élément de G.σ … 132 6.2 Construction des représentations de Springer . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.3 L’action de W^{σ} sur H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.4 La correspondance de Springer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7 Restriction de la correspondance de Springer à un sous-groupe de Levi σ-stable 151 7.1 Application du théorème de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.2 Identification de la décomposition de K et de celle de A(L) . . . . . . . . . 156 7.3 Action de W (L)^{σ} sur K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.4 Action de W (L)^{σ} sur A issue de celle de K . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.5 Classes unipotentes induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 14

Première partie

Généralités sur les groupes réductifs

Chapitre 1

non connexes et sur les éléments réguliers Les Groupes Réductifs non Connexes

1.1 Généralités

Les résultats exposés dans ce chapitre sont dûs à Digne et Michel, [D.M.2]. Soit k un corps algébriquement clos quelconque, soit G̃ un groupe réductif sur k. On note G la composante neutre de G̃. Les éléments de G̃/G induisent des isomorphismes sur G. On se ramène souvent au cas où G̃ est de la forme G.⟨σ⟩ et où σ est un automorphisme de G.

Exemple 1.1.1 G = Gl_{n} et σ est l’automorphisme de G qui à toute matrice A associe la transposée de l’inverse de A.

Dans les définitions qui suivent, G̃ est un groupe réductif non connexe.

Définition 1.1.1 ([D.M.2] définition 1.2)

Un quasi-borel de G̃ est le normalisateur dans G̃ d’un sous-groupe de Borel de G. Un quasi-tore de G̃ est le normalisateur dans G̃ d’un couple T ⊂ B formé d’un tore maximal et d’un sous-groupe de Borel de G.

Les notions de quasi-borel et de quasi-tore généralisent évidemment les notions de sous-groupe de Borel et de tore maximal dans un groupe réductif connexe. En effet, soit T ⊂ B un couple formé d’un tore maximal inclus dans un sous-groupe de Borel de G, alors NG̃(B) ∩ G = B et NG̃(T, B) ∩ G = T.

Définition 1.1.2 ([D.M.2] définition 1.1)

Un automorphisme σ de G est dit quasi-semi-simple s’il stabilise un couple T ⊂ B formé d’un tore maximal et d’un sous-groupe de Borel de G. Un élément de G̃ est dit quasisemi-simple, s’il induit un automorphisme quasi-semi-simple ou, de façon équivalente, s’il est contenu dans un quasi-tore.

Proposition 1.1.3 ([D.M.2] page 346)

L’action par conjugaison de G sur les couples formés d’un quasi-tore inclus dans un quasi-borel de G̃ est transitive.

Proposition 1.1.4 (i) Tout élément de G̃ est dans un quasi-borel ([Ste], 7.2). (ii) Tout élément semi-simple de G̃ est dans un quasi-tore ([Ste], 7.5).

Exemple 1.1.2 Si G = Gl_{n} et si σ est comme dans l’exemple précédent σ n’est pas quasisemi-simple, par contre, si on définit σ′ par A ∈ Gl_{n} ↦ J^{t}A^{−1}J^{−1}, où J est la matrice dont les coefficients sont tous nuls sauf les coefficients de la deuxième diagonale qui sont égaux à 1, alors σ′ stabilise l’ensemble B des matrices triangulaires supérieures qui est un sous-groupe de Borel de Gl_{n} et l’ensemble T des matrices diagonales qui est un tore maximal de Gl_{n} inclus dans B, donc, σ′ est quasi-semi-simple.

Définition 1.1.5 ([D.M.2] définition 1.4)

On appelle quasi-parabolique de G̃, le normalisateur dans G̃ d’un sous-groupe parabolique de G et quasi-levi le normalisateur dans G̃ d’un couple L ⊂ P formé d’un sous-groupe de Levi inclus dans un sous-groupe parabolique de G.

Proposition 1.1.6 ([D.M.2] proposition 1.5)

Si P̃ est un quasi-parabolique de G, et si L̃ est un quasi-levi de P̃, alors, P̃ = U ⋊ L̃, où U est le radical unipotent de P̃^{0}.

Théorème 1.1.7 ([D.M.2] théorème 1.8)

Soit σ un automorphisme quasi-semi-simple du groupe réductif connexe G. Alors,

(i) Le groupe G^{σ} est un groupe réductif et G^{σ}/(G^{σ})^{0} est formé d’éléments semi-simples. (ii) Pour tout sous-groupe parabolique σ-stable de G, de radical unipotent V, le groupe

V^{σ} est connexe.

(iii) Soit T ⊂ B un couple formé d’un tore maximal σ-stable de G, et d’un sous-groupe de Borel σ-stable le contenant. Alors, le groupe B ∩ (G^{σ})^{0} est un sous-groupe de Borel de (G^{σ})^{0} et T ∩ (G^{σ})^{0} est un tore maximal de (G^{σ})^{0}.

(iv) Réciproquement, si S est un tore maximal de (G^{σ})^{0}, alors, C_{G}(S) est un tore maximal de G et tout sous-groupe de Borel de (G^{σ})^{0} contenant S est inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable de G contenant C_{G}(S) (il y a donc bijection entre les tores maximaux de (G^{σ})^{0} et les tores maximaux σ-stables de G inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable).

(v) Soit T ⊂ B un couple formé d’un tore maximal σ-stable et d’un sous-groupe de Borel σ-stable le contenant. Si α est une racine de G relativement à T, si λ ↦ x_{α}(λ) est le sous-groupe à un paramètre correspondant, et si i est le plus petit entier tel que σ^{i}(α) = α, on définit C_{σ,α} ∈ k^{×} par σ^{i}(x_{α}(λ)) = x_{α}(C_{σ,α}λ). Alors, il existe une surjection naturelle de l’ensemble des orbites sous σ vérifiant la condition

(∗) C_{σ,α} = ±1,

où, −1 n’est autorisé que s’il existe deux racines de l’orbite dont la somme est une racine, sur l’ensemble des racines de (G^{σ})^{0} relativement à (T^{σ})^{0}. Cette surjection est bijective et tous les C_{σ,α} valent 1, sauf si le diagramme de Dynkin de G possède k composantes de type A_{2n} permutées circulairement par σ, où σ^{k} agit par retournement de chacune de ces composantes. Alors, pour toute racine α telle que α + σ^{k}(α) soit une racine, les orbites de α et de α + σ^{k}(α) ont même image et C_{σ,α} = C_{σ,α+σ^{k}(α)}.

Exemple 1.1.3 On considère G = Gl_{3} et σ′ défini comme dans l’exemple ci-dessus. On appelle T l’ensemble des matrices diagonales et B l’ensemble des matrices triangulaires supérieures. Le sous-groupe de Borel B a pour radical unipotent l’ensemble U des matrices triangulaires supérieures dont la diagonale ne contient que des 1. Le diagramme de Dynkin de Gl_{3} est A_{2}. On est dans le cas particulier cité dans le (v) du théorème 1.1.7. Soit t = diag(t_{1}, t_{2}, t_{3}) ∈ T, les racines positives de G relativement à (T, B) sont les α_{i} : t ↦ t_{i+1}/t_{i} pour i ∈ {1, 2} et β = α_{1}+α_{2}. L’isomorphisme σ′ agit de la façon suivante sur les groupes à un paramètre :

σ′(x_{α_{1}}(λ)) = x_{α_{2}}(−λ)
σ′(x_{α_{2}}(λ)) = x_{α_{1}}(−λ)
σ′(x_{β}(λ)) = x_{β}(−λ)

On a deux σ′-orbites de racines positives, pour la première, {α_{1}, α_{2}}, on a C_{σ′,α_{1}} = 1, et pour la seconde, {β}, on a C_{σ′,β} = −1.

Si on considère maintenant le groupe (G^{σ′})^{0}, c’est un groupe réductif de diagramme de Dynkin A_{1}, les σ′-orbites {α_{1}, α_{2}} et {β} ont la même image par le morphisme du (v) du théorème 1.1.7.

Proposition 1.1.8 ([D.M.2] proposition 1.11)

Si σ est un automorphisme quasi-semi-simple du groupe réductif connexe G, alors,

(i) Tout sous-groupe parabolique σ-stable de G possède un sous-groupe de Levi σ-stable. (ii) Si L est un sous-groupe de Levi σ-stable d’un sous-groupe parabolique σ-stable P

de G, alors, P ∩ (G^{σ})^{0} est un sous-groupe parabolique de (G^{σ})^{0} ayant L ∩ (G^{σ})^{0} comme sous-groupe de Levi.

Proposition 1.1.9 ([D.M.2] lemme 1.14)

Soit σ = σ_{s}σ_{u} la décomposition de Jordan d’un élément du groupe réductif G̃. Alors, σ est quasi-semi-simple si et seulement si il induit un automorphisme quasi-semi-simple de (G^{σ_{s}})^{0}.

Théorème 1.1.10 ([D.M.2] définition-théorème 1.15)

Nous dirons qu’un automorphisme quasi-semi-simple σ du groupe réductif connexe G est quasi-central s’il vérifie une des conditions équivalentes suivantes :

(i) Il n’existe pas d’automorphisme quasi-semi-simple de la forme σ′ = σ ∘ adg, où g ∈ G tel que dim(G^{σ})^{0} < dim(G^{σ′})^{0}.

(ii) Tout sous-groupe de Borel de (G^{σ})^{0} est contenu dans un unique sous-groupe de Borel σ-stable de G.

(iii) Il existe un tore maximal σ-stable T inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable tel que W_{G}(T)^{σ} = W_{(G^{σ})^{0}}((T^{σ})^{0}).

(iii’) Tout tore maximal σ-stable T inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable a la propriété (iii).

(iv) Il existe T ⊂ B, un couple formé d’un tore maximal σ-stable et d’un sous-groupe de Borel σ-stable le contenant tel que toute racine simple α de G relativement à (T, B) vérifie la condition (*) du (v) du théorème 1.1.7.

(iv’) Tout couple formé d’un tore maximal σ-stable et d’un sous-groupe de Borel σstable le contenant a la propriété (iv).

Un élément de G̃ est dit quasi-central s’il induit un automorphisme quasi-central.

Exemple 1.1.4 On suppose qu’on est en caractéristique différente de 2. On considère G = Gl_{4} et σ′, l’automorphisme de Gl_{3} défini par A ∈ Gl_{3} ↦ J^{t}A^{−1}J^{−1}, où on a tout

d’abord : J = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ). Le diagramme de Dynkin de Gl_{4} est A_{3}. Soit t =

diag(t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) ∈ T, les racines simples de G relativement à (T, B) sont les α_{i} : t ↦ t_{i+1}/t_{i} pour i ∈ {1, 2, 3}. L’isomorphisme σ′ agit de la façon suivante sur les groupes à un paramètre correspondant aux racines simples :

σ′(x_{α_{1}}(λ)) = x_{α_{3}}(−λ)
σ′(x_{α_{3}}(λ)) = x_{α_{1}}(−λ)
σ′(x_{α_{2}}(λ)) = x_{α_{2}}(−λ)

On a deux σ′-orbites de racines simples, pour la première, {α_{1}, α_{3}}, on a C_{σ′,α_{1}} = 1, et pour la seconde, {α_{2}}, on a C_{σ′,α_{2}} = −1. Donc, dans cet exemple, σ′ est quasi-semi-simple, mais pas quasi-central.

Si on pose maintenant, J = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ), alors, C_{σ′,α_{1}} = C_{σ′,α_{2}} = 1 et σ′ est

bien quasi-central.

Proposition 1.1.11 ([D.M.2] proposition 1.21)

Si σ est un automorphisme quasi-central d’un groupe réductif connexe G, deux couples formés d’un tore maximal σ-stable inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable sont conjugués sous (G^{σ})^{0}.

Proposition 1.1.12 ([D.M.2] proposition 1.22)

Soit G un groupe réductif connexe ; alors

(i) Si G n’a pas de composante quasi-semi-simple de type A_{2n}, où si k est de caractéristique 2, deux automorphismes quasi-centraux qui diffèrent par un automorphisme intérieur sont conjugués.

(ii) Si G est de type A_{2n} et si on est en caractéristique différente de 2, la classe modulo les automorphismes intérieurs d’automorphismes de G qui ne contient l’identité rencontre deux classes de conjugaison d’automorphismes quasi-centraux.

Proposition 1.1.13 ([D.M.2] proposition 1.29)

Si σ est un automorphisme quasi-central du groupe réductif connexe G, alors, G^{σ} = (G^{σ})^{0}.Z(G^{σ}).

Exemple 1.1.5 Si G = Sl_{4}/{−1, 1} et si σ′ = transposée ∘ inverse ∘ adJ, où J =

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ), alors, σ′ est quasi-central, mais G^{σ′} n’est pas connexe, car si T est

le tore maximal défini comme l’ensemble des matrices diagonales, alors, T^{σ′} est égal à {diag(a, b, c, d)|ad = bc = ±1} et n’est donc pas connexe.

Proposition 1.1.14 ([D.M.2] corollaire 1.33)

Soit σ un élément quasi-semi-simple unipotent du groupe réductif G̃, alors, σ est quasicentral, G^{σ} est connexe, et tout autre élément quasi-semi-simple unipotent de G.σ est conjugué à σ. Si T est un tore maximal σ-stable de G inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable, alors, T = T^{σ} × L_{σ}(T), où, L_{σ} est l’application de T dans T définie par t ↦ t^{−1}σ(t).

Exemple 1.1.6 Si on reprend l’exemple 1.1.4 mais en caractéristique 2, σ′ est alors unipotent, et d’après l’étude faite dans l’exemple 1.1.4, σ′ ne peut être que quasi-central.

1.2 Groupes sur les corps finis

On suppose désormais que G̃ est un groupe réductif sur la clôture algébrique \overline{𝔽}_{q} d’un corps fini 𝔽_{q}, défini sur 𝔽_{q}, et on note F l’endomorphisme de Frobénius correspondant.

Proposition 1.2.1 ([D.M.2] proposition 1.34)

Si σ est un automorphisme rationnel de G, alors, il existe g ∈ G tel que adg ∘ σ soit un automorphisme quasi-central rationnel.

Proposition 1.2.2 ([D.M.2] proposition 1.36)

Si σ est un automorphisme rationnel de G, alors,

(i) Si σ est quasi-semi-simple, il existe un tore maximal de G rationnel et σ-stable inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable.

(ii) Si σ est quasi-central, il existe un tore maximal rationnel et σ-stable de G inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable et rationnel.

1.3 Induction

1.3.1 Cas général

On suppose comme ci-dessus que G̃ est un groupe réductif défini sur 𝔽_{q}, et on note F l’endomorphisme correspondant. Nous allons rappeler ci-dessous les définitions de Digne et Michel des caractères de Deligne-Lusztig qui généralisent aux groupes réductifs non connexes celles des groupes réductifs connexes.

Définition 1.3.1 ([D.M.2] définition 2.1)

Si P̃ = U ⋊ L̃ est une décomposition de Levi d’un quasi-parabolique P̃ de G̃ telle que L̃^{0} soit rationnel, alors, on pose Y_{U} = {x ∈ G̃|x^{−1}.^{F}x ∈ U}.

Sur cette variété, on a des actions qui commutent de G̃^{F} à gauche et de L̃^{F} à droite. Les foncteurs d’induction et de restriction de Deligne-Lusztig sont définis sur les caractères virtuels de la façon suivante :

Définition 1.3.2 ([D.M.2] définition 2.2)

Pour χ ∈ Irr(L̃^{F}) et ϕ ∈ Irr(G̃^{F}), on pose :

(i) RG̃ ; L̃(χ)(g) = |L̃^{F} |^{−1} ∑_{l∈L̃^{F}} χ(l^{−1})trace((g, l)|H_{c}^{∗}(Y_{U}))

(ii) ^{∗}RG̃ ; L̃(ϕ)(l) = |G̃^{F} |^{−1} ∑_{g∈G̃^{F}} ϕ(g^{−1})trace((g, l)|H_{c}^{∗}(Y_{U}))

1.3.2 Cas où G̃ = G.⟨σ⟩

Digne et Michel ont montré que l’étude de RG̃ ; L̃ et de ^{∗}RG̃ ; L̃ se ramène au cas où G̃/G est cyclique engendré par un élément rationnel, ie, au cas où G̃ = G.⟨σ⟩, avec σ rationnel. En effet, si g ∈ G̃^{F}, les fonctions sur G^{F} .g données par les RG̃ ; L̃ s’expriment en fonction des fonctions analogues dans les groupes ⟨G,^{a}g⟩ ([D.M.2] proposition 2.3). De plus si σ est quasi-central rationnel, on montre qu’on peut se limiter à l’étude des foncteurs RG̃ ; L̃ lorsque L̃ est un quasi-levi rationnel contenant σ. Dans ce cas, RG̃ ; L̃ définit une application des fonctions de classe sur L^{F} .σ (ou des fonctions de σ-classe sur L^{F}) vers les fonctions de classe sur G^{F} .σ (ou des fonctions de σ-classe sur G^{F}), que l’on note R_{L.σ}^{G.σ}. On suppose désormais que ces hypothèses sont vérifiées, alors, les formules de la définition 1.3.2 deviennent :

Proposition 1.3.3 ([D.M.2] proposition 2.10)

Si χ est une fonction de σ-classe sur L^{F} et ϕ une fonction de σ-classe sur G^{F}, g ∈ G^{F} et l ∈ L^{F}, on a :

(i) R_{L.σ}^{G.σ}(χ)(g.σ) = |L^{F} |^{−1} ∑_{l∈L^{F}} χ(l.σ)trace((g, l^{−1})σ|H_{c}^{∗}(Y_{U}^{0}))

(ii) ^{∗}R_{L.σ}^{G.σ}(ϕ)(l.σ) = |G^{F} |^{−1} ∑_{g∈G^{F}} ϕ(g.σ)trace((g, l^{−1})σ|H_{c}^{∗}(Y_{U}^{0}))

où, Y_{U}^{0} = {x ∈ G|x^{−1}.^{F}x ∈ U^{0}} et σ agit sur Y_{U}^{0} par conjugaison.

Dans le cas où L̃ est un quasi-levi rationnel contenant σ inclus dans un quasi-parabolique rationnel contenant σ, la variété Y_{U} est égale à U.G̃^{F}, donc, sa cohomologie est, à décalage près, la même que celle de G̃^{F} /U^{F} et est isomorphe à \overline{ℚ}_{l}[G̃^{F} /U^{F}]. Dans ce cas, R_{L.σ}^{G.σ} est une induction à la Harish-Chandra. Digne et Michel ont montré que dans le cas où L̃ et M̃ sont des quasi-levis rationnels contant σ de quasi-paraboliques rationnels contenant σ, il existait une formule de Mackey pour les composées ^{∗}R_{L.σ}^{G.σ} ∘ R_{L.σ}^{G.σ}. Ils ont aussi défini l’analogue de la dualité pour les fonctions sur G^{F} .σ et montré que ses propriétés étaient analogues à celles du cas connexe.

1.3.3 Dualité

Définition 1.3.4 ([D.M.2] définition 3.6)

Soit H un groupe algébrique linéaire défini sur 𝔽_{q} (non nécessairement connexe, ni réductif) et soit H^{0}.x une classe rationnelle de H modulo H^{0}.

(i) Si τ ∈ H^{0}.x est un élément quasi-semi-simple d’un quasi-tore rationnel inclus dans un quasi-borel rationnel et induisant un automorphisme rationnel de H^{0}, on pose :

E_{H^{0}.x} = (−1)^{𝔽_{q}−rang de H^{0τ}} .

(ii) Si \overline{H} est le quotient semi-simple de H, on pose

η_{H^{0}.x} = E\overline{H^{0}.x}.

Définition 1.3.5 ([D.M.2] définition 3.10)

On définit l’opérateur de dualité sur les fonctions de G^{F} -classe sur G^{F} .σ par :

D_{G.σ} = ∑_{P̃⊃B̃} η_{P^{0}.σ}R_{L.σ}^{G.σ} ∘ ^{∗}R_{L.σ}^{G.σ}

où, B̃ est un quasi-borel rationnel contenant σ fixé de G̃ et où P̃ décrit l’ensemble des quasi-borels rationnels de G̃ contenant B̃ ; on a noté L̃ un quasi-levi rationnel de P̃ contenant σ.

La formule suivante est en général plus simple à appliquer :

Proposition 1.3.6 ([D.M.2] page 377)

Soit (T, B) un couple formé d’un tore maximal de G et d’un sous-groupe de Borel le contenant, tous deux rationnels et σ-stables. Alors, le Frobenius agit sur le système de racines de G par rapport à T, on note τ cette action, alors, τ préserve la base Π du système de racines de G par rapport à T ⊂ B. De plus, on a la formule suivante :

D_{G.σ} = ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}R_{L_{I}.σ}^{G.σ} ∘ ^{∗}R_{L_{I}.σ}^{G.σ},

où Π/τ est l’ensemble des orbites de τ dans la base Π et où P(Π/τ) est l’ensemble des parties de Π/τ.

1.3.4 Caractère de Steinberg

Définition 1.3.7 ([D.M.2] définition 3.16)

On appelle caractère de Steinberg de G̃^{F}, noté StG̃, le dual de l’identité. On note St_{G.σ} = D_{G.σ}Id_{G.σ} la restriction de StG̃ à G.σ.

Proposition 1.3.8 ([D.M.2] proposition 3.18) Si x ∈ G^{F} .σ, on a :

St_{G.σ}(x) = \{ \begin{matrix}E_{(G^{σ})^{0}}E_{(G^{x})^{0}}|((G^{x})^{0})^{F} |_{p} & si x est quasi-semi-simple; \\ 0 & sinon. \end{matrix}

26

Les Eléments Réguliers

Dans ce chapitre, nous généralisons la définition des éléments réguliers aux groupes réductifs non connexes (définition 2.1.1) et nous énonçons quelques propriétés de ces éléments lorsque G̃ est un groupe réductif non connexe de la forme G̃ = G.⟨σ⟩, où G est un groupe réductif connexe sur \overline{𝔽}_{q} défini sur 𝔽_{q} et σ un automorphisme quasi-semi-simple de G. Nous montrons en particulier que les éléments quasi-semi-simples réguliers d’une tranche G^{1} = G.σ sont denses dans G^{1} lorsque σ est unipotent (proposition 2.2.6). Puis nous nous intéressons aux éléments unipotents réguliers d’une telle tranche. Nous montrons que la définition de ces éléments donnée par Spaltenstein (définition 2.3.1) est équivalente à la définition 2.1.1. Enfin, nous donnons dans le théorème 2.3.7 une formule pour le nombre d’éléments unipotents réguliers rationnels de G^{1} lorsque σ est quasi-semi-simple unipotent rationnel.

2.1 Définition

Dans cette section, G̃ est un groupe réductif de composante neutre G̃^{0} = G.

Définition 2.1.1 Soit y un élément de G̃. Alors, y est dit régulier dans G̃ si et seulement si il est régulier considéré comme un élément de G.y, c’est-à-dire si la dimension de son centralisateur dans G.y est minimale.

Notations 1 On note rg(G̃) le rang de G̃, c’est-à-dire la dimension d’un tore maximal de G̃. Pour tout x ∈ G̃, on définit rg_{x}(G̃) = max{rg(CG̃(g))|g ∈ x.G}. On a rg_{x}(G̃) = rg_{y}(G̃) si y ∈ x.G et rg_{x}(G̃) = rg(G̃) si x ∈ G. On note enfin B_{x}^{G} l’ensemble des sousgroupes de Borel de G fixés par conjugaison par x.

2.2 Les éléments réguliers quasi-semi-simples :

Proposition 2.2.1 (Généralisation de la proposition 14.2 de [D.M.])

(i) Pour tout x ∈ G̃, on a dim(CG̃(x)) = rg_{x}(G̃) + 2dim(B_{x}^{G}).

(ii) Si G̃ = G.⟨σ⟩ où σ est quasi-semi-simple, alors, pour tout tore σ-stable T inclus dans un sous-groupe de Borel B σ-stable, il existe un élément t dans T^{σ} tel que dim(CG̃(t.σ)) = rg(G^{σ}).

Preuve :

(i) cf. [Spa], théorème 10.15.

(ii) Soit T tore maximal σ-stable inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable B. On pose B = T U. Si t est un élément de T^{σ}, alors CG̃(t.σ) = G^{t.σ}.⟨σ⟩, donc dim(CG̃(t.σ)) = dim(G^{t.σ}). Soit Φ le système de racines associé à (G, T), on choisit l’ordre de Φ de façon à avoir U = ∏_{α∈Φ^{+}} U_{α}, et on pose U^{−} = ∏_{α∈Φ^{−}} U_{α}.

On pose σ′ = σ.t, alors, σ′ stabilise B et T et est donc quasi-semi-simple comme σ. Ainsi, on peut leur appliquer à tous les deux le théorème 1.1.7. Ainsi, (G^{σ′})^{0} est un groupe réductif de sous-groupe de Borel (B^{σ′})^{0} = (T^{σ′})^{0}U^{t.σ} et G^{t.σ} = ⟨T^{t.σ}, U^{t.σ}, (U^{−})^{t.σ}⟩. On veut trouver dans T^{σ} un élément t tel que dim(CG̃(t.σ)) = rg(G^{σ}). Or, dim(CG̃(σ′)) = rg(G^{σ}) si et seulement si l’ensemble des racines de (G^{σ′}) par rapport à (T^{σ′})^{0} est l’ensemble vide.

Soit α une racine de G relativement à T, on note λ ↦ x_{α}(λ) le sous-groupe à un paramètre correspondant. Si i est le plus petit entier tel que σ^{i}(α) = α. Alors, on a pour tout t′ ∈ T,

σ′(α)(t′) = ^{t}σ(α)(t′)
= σ(α)(tt′t^{−1}) car σ et t commutent
= σ(α)(t′)

Donc, σ et σ′ agissent de la même façon sur les racines, et en particulier, i est aussi le plus petit entier tel que σ^{′i}(α) = α. Si on définit c_{α} ∈ \overline{𝔽}_{q}^{×} (resp. c′_{α} ∈ \overline{𝔽}_{q}^{×}) par σ(x_{α}(λ)) = x_{σ(α)}(c_{α}λ) (resp. σ′(x_{α}(λ)) = x_{σ′(α)}(c′_{α}λ)). Alors, les coefficients C_{σ,α} (resp. C_{σ′,α}) du (v) du théorème 1.1.7 sont définis par C_{σ,α} = c_{α}...c_{σ^{i−1}(α)} (resp. C_{σ′,α} = c′_{α}...c′_{σ^{i−1}(α)}) et il existe une surjection naturelle de l’ensemble des orbites sous σ (resp. sous σ′) vérifiant la condition C_{σ,α} = ±1 (resp. C_{σ′,α} = ±1) sur l’ensemble des racines de (G^{σ})^{0} relativement à (T^{σ})^{0} (resp. de (G^{σ′})^{0} relativement à (T^{σ′})^{0}).

Soit λ ∈ \overline{𝔽}_{q}^{×}, alors, on a d’une part,

σ′(x_{α}(λ)) = x_{σ′(α)}(c′_{α}λ),

d’autre part,

σ′(x_{α}(λ)) = ^{t}σ(x_{α}(λ))
= ^{t}(x_{σ(α)}(c_{α}λ))
= x_{σ(α)}(c_{α}σ(α)(t)λ)
= x_{σ(α)}(c_{α}α(t)λ) (car t ∈ T^{σ})

Donc, c′_{α} = c_{α}α(t) et C_{σ′,α} = C_{σ,α}α(t^{i}).

On veut trouver t ∈ (T^{σ})^{0} tel que l’ensemble des racines de (G^{t.σ})^{0} relativement à (T^{t.σ})^{0} = (T^{σ})^{0} soit vide, c’est-à-dire, par le théorème 1.1.7, tel que pour toutes les racines α ∈ Φ, il faut que l’on ait C_{σ,α}α(t^{i}) ≠ ±1, où −1 est accepté si la σ-orbite de α ne contient pas de racines dont la somme est une racine.

Soit t_{0} ∈ (T^{σ})^{0} tel que pour toute racine α̃ de (G^{σ})^{0} relativement à (T^{σ})^{0} on ait α̃((t_{0})^{i}) ≠ ±1, c’est-à-dire, α̃^{i}(t_{0}) ≠ ±1 (c’est possible selon Digne et Michel : [D.M.] lemme 0.22).

Alors, par la surjection du (v) du théorème 1.1.7, à toute racine α de G relativement à T telle que C_{σ,α} = ±1, où −1 n’est autorisé que s’il existe deux racines de l’orbite de α dont la somme est une racine, correspond une racine α̃ de (G^{σ})^{0} relativement à (T^{σ})^{0}.

Si la σ-orbite de α ({α, σ(α), ..., σ^{i−1}(α)}) ne contient pas de racines dont la somme est une racine, il suffit de vérifier que C_{t_{0}.σ,α} ≠ 1, mais, comme α̃(t_{0}) est non trivial, c’est que α(t_{0}) ne l’est pas non plus, car il existe u ∈ (U_{α}...U_{σ^{i−1}(α)})^{σ} tel que ^{t_{0}}u ≠ u.

Si la σ-orbite de α contient des racines dont la somme est une racine, on se ramène au cas où la σ-orbite de α est d’ordre 2 et où β = α + σ(α) ∈ Φ. On considère : u = x_{α}(λ_{α})x_{σ(α)}(λ_{σ(α)})x_{β}(λ_{β}) ∈ U, alors, u ∈ U^{σ} si et seulement si λ_{α} = c_{σ(α)}λ_{σ(α)}, λ_{σ(α)} = c_{α}λ_{α} et λ_{α}λ_{σ(α)} + (1 + c_{α}c_{σ(α)})λ_{β} = 0 ([Ste] proposition 8.2). Si C_{σ,α} = 1, alors, on peut choisir λ_{α} arbitrairement et les autres coefficients sont fonctions de λ_{α}, donc dans ce cas, α(t_{0}) = α̃(t_{0}). Si C_{σ,α} = −1, alors, (U_{α}U_{σ(α)}U_{β})^{σ} = U_{β}, donc, α̃(t_{0}) = β(t_{0}), ce qui entraîne que C_{t_{0}.σ,β} ≠ ±1 et donc, dans les deux cas, on a (U_{α}U_{σ(α)}U_{β})^{t_{0}.σ} = {1}.

Donc, les racines α de G relativement à T telles que C_{σ,α} = ±1 ne correspondent à aucune racine de (G^{t_{0}.σ})^{0} relativement à (T^{t_{0}.σ})^{0} par la surjection du théorème 1.1.7.

Par ailleurs, soit α ∈ Φ telle que C_{σ,α} ≠ ±1, alors, l’orbite selon σ de α ne donne pas de racine de (G^{σ})^{0} relativement à (T^{σ})^{0}. Donc, (T^{σ})^{0} est inclus dans le noyau de α et pour tout t ∈ T^{σ}, on a α(t^{i}) = 1 et α(t^{i}) ≠ ±\frac{1}{C_{σ,α}}.

Ainsi, t_{0}, choisi comme ci-dessus, est bien tel que, pour toutes les racines α ∈ Φ, il n’existe aucune racine de (G^{t_{0}.σ})^{0} relativement à (T^{t_{0}.σ})^{0} par la surjection du théorème 1.1.7, c’est-à-dire tel que dim(CG̃(t_{0}.σ)) = rg(G^{σ}).

Fin de la preuve.

Corollaire 2.2.2 Pour tout élément x ∈ G̃, la tranche x.G contient des éléments quasisemi-simples réguliers.

Preuve : Ce corollaire est une conséquence immédiate du (ii) de la proposition 2.2.1 et des lemmes ci-dessous.

Lemme 2.2.3 Pour tout élément x ∈ G̃, il existe un élément quasi-semi-simple y ∈ G̃ tel que y.G = x.G.

Preuve du lemme : Soit x ∈ G̃, soit B un sous-groupe de Borel de G et soit T un tore maximal inclus dans B. Alors, puisque les sous-groupes de Borel sont conjugués sous G, il existe g ∈ G tel que ^{x}B =^{g^{−1}} B. Ainsi, on a ^{g.x}B = B et ^{g.x}T ⊂ B. Or tous les tores maximaux de B sont conjugués sous B, donc il existe b ∈ B tel que ^{bg.x}T = T. Par ailleurs, ^{bg.x}B =^{b} (^{g.x}B) =^{b} B = B. Donc, si on pose y = bg.x, alors, ^{y}B = B et ^{y}T = T. Ainsi y est quasi-semi-simple et on a bien y.G = x.G.

Fin de la preuve du lemme.

Lemme 2.2.4 Soit x ∈ G̃, alors, x est régulier si et seulement si dim(CG̃(x)) = rg_{x}(G̃).

Preuve : D’après le (i) de la proposition 2.2.1, pour tout y ∈ G̃, dim(CG̃(y)) ≥ rg_{y}(G̃). Par ailleurs, pour tout élément y de G.x, on a rg_{x}(G̃) = rg_{y}(G̃). Donc, pour tout y ∈ G.x, on a rg_{x}(G̃) = rg_{y}(G̃). Donc, pour tout élément de x.G, on a dim(CG̃(y)) ≥ rg_{x}(G̃). Ainsi, si dim(CG̃(x)) = rg_{x}(G̃), alors, x est régulier.

Réciproquement, il existe un élément x′ quasi-semi-simple de G̃ tel que x′.G = x.G, donc d’après le (ii) de la proposition 2.2.1, dans x.G, il existe un élément y quasi-semi-simple tel que dim(CG̃(y)) = rg_{y}(G̃) = rg_{x}(G̃), donc si x est régulier, alors, dim(CG̃(x)) = rg_{x}(G̃).

Fin de la preuve du lemme et du corollaire.

Théorème 2.2.5 (Généralisation de la proposition 14.4 de [D.M.])

Soit x ∈ G̃. Si x a une décomposition de Jordan de la forme x = su avec s semi-simple et u unipotent, alors, x est régulier dans G̃ si et seulement si u est régulier dans CG̃(s).

Preuve : D’après le lemme 2.2.4, x est régulier dans G̃ si et seulement si dim(CG̃(x)) = rg_{x}(G̃). Or, dim(CG̃(x)) = dim(C_{CG̃(s)}(u)), de plus, d’après Spaltenstein ([Spa] lemme 2.1.14), rg_{x}(G̃) = rg_{u}(CG̃(s)). On en déduit immédiatement que dim(CG̃(x)) = rg_{x}(G̃) ⇔ dim(C_{CG̃(s)}(u)) = rg_{u}(CG̃(s)), d’où le résultat.

Fin de la preuve.

Proposition 2.2.6 Soit σ un élément quasi-semi-simple unipotent de G̃. Les éléments quasi-semi-simples réguliers sont denses dans G.σ.

Preuve : Soient T un tore σ-stable de G inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable. On pose B = T U. Puisque σ est unipotent quasi-semi-simple, d’après le corollaire 1.1.14, G^{σ} est connexe, et T^{σ} = T ∩ G^{σ} est un tore maximal de G^{σ}.

Soit t ∈ T^{σ} un élément régulier dans G^{σ}. Comme t.σ stabilise à la fois T et B donc t.σ est quasi-semi-simple, par ailleurs, dim(CG̃(t.σ)) = dim(G^{t.σ}) et G^{t.σ} = C_{G^{σ}}(t) (car σ et t commutent donc x = t.σ est la décomposition de Jordan de x), de plus, C_{G^{σ}}(t) = T^{σ} (car t est régulier dans G^{σ}), donc dim(CG̃(t.σ)) = rg(G^{σ}) et t.σ est régulier dans G̃. On sait de plus, d’après Digne et Michel ([D.M.] proposition 14.7), que les éléments réguliers dans G^{σ} sont denses dans T^{σ}. Donc, les éléments quasi-semi-simples réguliers dans G.σ sont denses dans T^{σ}.σ.

Lemme 2.2.7 Soient σ′ un élément quasi-semi-simple régulier non semi-simple de G̃ et T un tore maximal de G, σ′-stable inclus dans un sous-groupe de Borel B σ′-stable, soit enfin U, le radical unipotent de B, alors, l’application de U dans U qui à tout u associe uσ′(u)^{−1} est surjective.

Preuve du lemme : Soit σ′ = su, la décomposition de Jordan de σ′ dans G̃, alors, d’après le théorème précédent, u est régulier dans CG̃(s). Par ailleurs, d’après le lemme 1.1.9, u est quasi-semi-simple dans (G^{s})^{0}.u. Donc u est un élément quasi-semi-simple unipotent régulier de (G^{s})^{0}.u. On pose H = (G^{s})^{0}. Si on note W_{H} le groupe de Weyl de H, l’action de u sur H induit une action de u sur W_{H}. On pose W_{H}^{u} = {w ∈ W_{H}|u.w = w}. Alors, d’après Spaltenstein ([Spa] proposition 2.20), puisque u est quasi-semi-simple unipotent dans H.u, dim(B_{u}^{H}) = l_{u}(w^{H}), où l_{u}(w^{H}) est la longueur dans W_{H}^{u} de l’élément de longueur maximale dans W_{H}. Par ailleurs, toujours d’après Spaltenstein ([Spa] proposition 10.2), comme u est régulier dans H.u, on a |B_{u}^{H}| = 1. Cela entraîne que W_{H}^{u} = {1} donc que (G^{s})^{0} est un tore ou que u = 1, c’est-à-dire que σ′ est semi-simple.

Donc, si σ′ n’est pas semi-simple, (G^{σ′})^{0} = ((G^{s})^{u})^{0} est un tore. Ce qui suffit pour montrer que U^{σ′} = {1} car U^{σ′} ⊂ (G^{σ′})^{0}. Donc σ′ est un endomorphisme surjectif de U qui n’a qu’un nombre fini de points fixes, on peut donc lui appliquer le théorème de Lang-Steinberg (démonstration cf [D.M.], théorème 3.10), ce qui permet de terminer la démonstration du lemme :

Théorème 2.2.8 (Théorème de Lang-Steinberg)

Soit H un groupe algébrique connexe affine et soit F un endomorphisme surjectif de H qui n’a qu’un nombre fini de points fixes, alors, l’application L : h ↦ h^{−1}.^{F}h de H dans lui-même est surjective.

Fin de la preuve du lemme.

Soit t ∈ T^{σ} et v ∈ U, alors, d’après le lemme si t.σ est régulier quasi-semi-simple, il existe u ∈ U tel que v = u^{t.σ}u^{−1}, c’est-à-dire, tel que tv.σ = ^{t}u(t.σ)(^{t}u)^{−1}. Donc, si t.σ est régulier quasi-semi-simple, tv.σ est régulier (car CG̃(tv.σ) = ^{t}u(CG̃(t.σ)(^{t}u)^{−1}) et tv.σ est quasi-semi-simple car tv.σ stabilise ^{t}uB(^{t}u)^{−1} et ^{t}uT (^{t}u)^{−1}). Donc les éléments quasi-semi-simples réguliers sont denses dans T^{σ}U.σ.

D’après le corollaire 1.1.14, T = T^{σ} × L_{σ}(T), où L_{σ}(t) = t^{−1}σ(t) pour tout t ∈ T. Soit b = tu ∈ B, alors, t = t_{1}t_{2}^{−1}σ(t_{2}) avec t_{1} ∈ T^{σ} et t_{2} ∈ T et b.σ = t_{2}^{−1}(t_{1}^{σ(t_{2})}u.σ)t_{2}. Donc, pour tout b ∈ B, il existe (t, t′, u) ∈ T × T^{σ} × U tel que b.σ =^{t} (t′u.σ) et si t′u.σ est quasi-semi-simple régulier, b.σ l’est aussi, donc les élements quasi-semi-simples réguliers sont denses dans B.σ.

Pour conclure la démonstration du théorème, on utilise le lemme suivant de Steinberg ([Ste] lemme 7.3) : l’application L′ : (g, b) ↦ gbσ(g^{−1}) de G × B dans G est surjective. En effet, si b.σ ∈ B.σ est quasi-semi-simple régulier alors, pour tout g ∈ G^{σ}, gbσ(g^{−1}).σ l’est aussi. Donc le lemme de Steinberg est suffisant pour conclure que les éléments quasisemi-simples réguliers sont denses dans G.σ.

Fin de la preuve.

2.3 Les éléments unipotents réguliers

Définition des éléments unipotents réguliers selon Nicolas Spaltenstein

Définition 2.3.1 ([Spa] corollaire 4.8)

Soit G̃ un groupe réductif (défini sur un corps algébriquement clos quelconque) et soit x.G une composante unipotente de G̃. Il existe une unique G-classe unipotente C telle que C̄ = U(x.G), où U(x.G) est la variété des éléments unipotents de G̃ contenus dans x.G.

On dit que C est la classe unipotente régulière contenue dans x.G et que ses éléments sont unipotents réguliers dans G̃.

Nous allons montrer que dans la définition de Spaltenstein on retrouve celle que nous avons nous-même formulée (définition 2.1.1). Soit G̃ un groupe réductif, on se ramène au cas où G̃ = G.⟨x⟩ et x est quasi-semi-simple unipotent. Pour tout y ∈ G̃, on note Cl_{G}(y) la classe de conjugaison de y dans G̃ et Cl_{G}(y) celle de y dans G. Alors, pour tout y ∈ G̃, on a Cl_{G}(y) = ⋃_{i} Cl_{G}(^{x^{i}}y) et dim(Cl_{G}(y)) = dim(Cl_{G}(y)). Par ailleurs, on a pour tout y ∈ G̃, dim(G̃) = dim(Cl_{G}(y)) + dim(CG̃(y)). Ainsi, pour tout y ∈ G̃, on a dim(G̃) = dim(Cl_{G}(y)) + dim(CG̃(y)). Soit C la classe régulière unipotente contenue dans x.G. Soit u ∈ C, alors, par définition de C, on a C = Cl_{G}(u). Donc dim(CG̃(u)) = codim_{G}(C), or C̄ = U(x.G) et selon Spaltentein ([Spa] corollaire 1.1.6), codim_{G}(U(x.G)) = rg_{x}(G̃) donc dim(CG̃(u)) = rg_{x}(G̃). Or selon la proposition 2.2.1, pour tout y ∈ G̃, on a dim(CG̃(y)) ≥ rg_{y}(G̃) donc pour tout y ∈ x.G, on obtient dim(CG̃(y)) ≥ rg_{x}(G̃). Ainsi, on a montré que les éléments de C avaient un centralisateur de dimension minimale dans x.G, ils sont donc réguliers considérés comme des éléments de x.G. Les éléments de C sont donc aussi des éléments réguliers de G̃ selon les critères de la définition 2.1.1.

On suppose dans la suite de cette section que G̃ est un groupe réductif et on pose G̃^{0} = G.

Corollaire 2.3.2 (Généralisation du théorème 14.13 de [D.M.])

Soit G^{1} = G.σ une composante unipotente de G̃. Les éléments unipotents réguliers existent dans G^{1}.

Corollaire 2.3.3 (Généralisation de la proposition 14.16 de [D.M.])

Soit σ un élément quasi-semi-simple unipotent de G̃. Tous les éléments unipotents réguliers de G^{1} = G.σ sont conjugués sous G.

Proposition 2.3.4 On suppose que G̃ = G.⟨σ⟩ avec σ quasi-semi-simple unipotent. Soit x ∈ G tel que x.σ soit unipotent. On peut écrire x.σ = ^{z}(u.σ) où z ∈ G et u ∈ G unipotent.

Preuve : On peut rapidement se ramener au cas où x est contenu dans un sous-groupe de Borel σ-stable. En effet, x.σ est dans un quasi-borel et comme tous les quasi-borel sont conjugués sous G, il existe g ∈ G tel que ^{g}(x.σ) soit dans un quasi-borel σ-stable et alors il suffit de montrer le résultat pour ^{g}(x.σ). On suppose donc que x est contenu dans un sous-groupe de Borel B σ-stable. Selon la proposition 1.1.8, B contient un tore maximal σ-stable. Soit T un tel tore. On pose B = UT. Alors, B.⟨σ⟩ = UT.⟨σ⟩. Soit p la projection B.⟨σ⟩ = UT.⟨σ⟩ → T.⟨σ⟩. Alors, si x.σ est unipotent, p(x.σ) l’est aussi. On peut écrire x.σ = utσ avec t ∈ T et u ∈ U, d’où, p(x.σ) = t.σ. Ainsi, t.σ est quasi-semi-simple unipotent (t.σ stabilise B et T). Par ailleurs, selon le corollaire 1.1.14, puisque σ est quasi-semi-simple unipotent, T = T^{σ} × L_{σ}(T). Donc il existe y ∈ T^{σ} et z ∈ L_{σ}(T) tels que t = yzσz^{−1}σ^{−1}. Mais on a aussi t = zσz^{−1}yσ^{−1} car y ∈ T^{σ} et donc commute avec σ et avec z. Si on pose v = t.σ et v′ = zσ^{−1}z^{−1} on a alors y = vv′ et y = v′v. Donc v et v′ sont deux éléments unipotents qui commutent et y = vv′ est unipotent. Ainsi y est à la fois semi-simple et unipotent, c’est-à-dire y = 1. On a donc t = zσz^{−1}σ^{−1}, ce qui entraîne que t.σ = zσz^{−1}. Ainsi on obtient x.σ = uzσz^{−1} et si on pose u′ = ^{z^{−1}}u, on a u′ ∈ U et x.σ =^{z} (u′.σ).

Fin de la preuve.

Caractérisation des éléments unipotents réguliers :

Proposition 2.3.5 ([Spa] proposition 2.10.2)

Soit x ∈ G̃ un élément quasi-semi-simple unipotent. Soit u ∈ x.G un élément unipotent, les conditions suivantes sont équivalentes :

a) u est régulier.

b) dim(CG̃(u)) = rg_{u}(G̃)

c) dim(B_{u}^{G}) = 0

d) |B_{u}^{G}| = 1

e) u est conjugué sous G à un élément de la forme :

x. ∏_{i=1}^{r} x_{α_{i}}(1) ∏_{h(λ)≥2} x_{λ}(c_{λ}) où α_{1}, ..., α_{r} est un système de représentants des x-orbites dans Π et λ ↦ h(λ) la hauteur.

Proposition 2.3.6 (Généralisation du corollaire 14.19 de [D.M.])

Un élément x ∈ G̃ est régulier si et seulement si il est contenu dans un nombre fini de quasi-borel et ce nombre est égal à |W_{G}/W_{C0 ; G̃(s)}| où s est la partie semi-simple de x et où on note W_{H} le groupe de Weyl du groupe réductif connexe H.

Preuve : Soit x ∈ G̃ et soit x = su sa décomposition de Jordan. Selon la proposition 2.2.5 x est régulier dans G̃ si et seulement si u est régulier dans CG̃(s). Or, s étant semi-simple, selon le (ii) de la proposition 1.1.4, il est contenu dans un quasi-tore de G̃, c’est-à-dire qu’il normalise un couple formé d’un tore maximal de G et un sous-groupe de Borel le contenant et qu’il est quasi-semi-simple. On peut donc appliquer le (i) du théorème 1.1.7, ce qui nous permet d’écrire que CG̃(s) = G̃^{s} est réductif. Ainsi on est dans les hypothèses de la proposition 2.3.5, et on peut en conclure que si x est régulier dans G̃ alors |B_{u}^{C_{G}(s)}| = 1 et si x n’est pas régulier u normalise une infinité de sous-groupes de Borel de C_{G}(s).

Par ailleurs, si B est un sous-groupe de Borel de G, alors, x normalise B si et seulement si s et u le normalisent aussi. On peut appliquer la proposition 1.1.4 dans le groupe NG̃(B), ainsi s ∈ NG̃(B) semi-simple implique l’existence d’un tore maximal T de B normalisé par s. Donc T ⊂ B est un couple formé d’un tore maximal de G̃ stable par conjugaison par s et d’un sous-groupe de Borel stable par conjugaison par s le contenant et s est un élément quasi-semi-simple de G̃. Donc, selon le (iii) du théorème 1.1.7, le groupe B ∩ CG̃(s)^{0} est un sous-groupe de Borel de CG̃(s)^{0}. Ainsi, x ∈ NG̃(B) si et seulement si B ∩ CG̃(s)^{0} est un sous-groupe de Borel de CG̃(s)^{0} et si u normalise B, c’est-à-dire si et seulement si B ∩ CG̃(s)^{0} ∈ B_{u}^{C_{G}(s)}.

Supposons x non régulier, alors on a vu que u normalisait une infinité de sous-groupes de Borel de CG̃(s) donc d’après le paragraphe ci-dessus x est dans une infinité de quasiborel de G̃.

Réciproquement, si x est régulier, alors, |B_{u}^{C_{G}(s)}| = 1. Soit B̃ tel que B_{u}^{C_{G}(s)} = {B̃}. Donc, {B | x ∈ NG̃(B)} = {B | B ∩ C0 ; G̃(s) = B̃}. Cet ensemble est fini de cardinal égal à |W_{G}/W_{C_{G}^{0}(s)}|.

Fin de la preuve.

Théorème 2.3.7 (Généralisation de la proposition 14.23 de [D.M.])

Soit G̃ un groupe réductif non connexe sur la clôture algébrique \overline{𝔽}_{q} d’un corps fini 𝔽_{q}, défini sur 𝔽_{q}, on note F l’endomorphisme de Frobénius correspondant. Soit σ un élément quasi-semi-simple unipotent rationnel de G̃ qui ne soit pas dans la composante neutre G de G̃. Le nombre d’éléments unipotents réguliers rationnels dans G^{1} = G.σ est :

|G^{F} |/(|(Z(G^{σ})^{0})^{F} | × |( ∏_{α∈Π/σ} U_{α})^{F} |).

Preuve :

Lemme 2.3.8 Dans tout quasi-borel rationnel, il y a le même nombre d’éléments unipotents réguliers rationnels de G^{1}.

Preuve du lemme : Le résultat est clair car le conjugué sous G^{F} d’un unipotent régulier rationnel l’est aussi et deux quasi-borel rationnels sont conjugués sous G^{F}. Donc la conjugaison envoie bijectivement les éléments unipotents réguliers rationnels de l’un sur ceux de l’autre.

Fin de la preuve du lemme.

Lemme 2.3.9 Tout élément unipotent régulier rationnel est dans un quasi-borel rationnel.

Preuve du lemme : Soit x un élément unipotent régulier rationnel, alors, x normalise un unique sous-groupe de Borel B de G. Par ailleurs, on a : F (^{x}B) = ^{x}F (B) car x est rationnel et F (^{x}B) = F (B), car x normalise B, donc, x normalise aussi F (B) et comme x est unipotent régulier, on a F (B) = B, ce qui termine la démonstration.

Fin de la preuve du lemme.

Comme un élément unipotent régulier rationnel de G^{1} est dans un seul quasi-borel, et que celui-ci est rationnel, le nombre d’éléments unipotents réguliers de (G^{1})^{F} est égal au nombre de sous-groupes de Borel rationnels de G multiplié par le nombre de tels éléments dans l’intersection de G^{1} et d’un quasi-borel rationnel donné.

Lemme 2.3.10 Soit B un sous-groupe de Borel σ-stable de G, alors, l’ensemble des éléments réguliers unipotents de NG̃(B) ∩ G^{1} est de la forme U_{B} = {buσ(b)^{−1}.σ; b ∈ B} où u.σ est un élément unipotent régulier fixé de NG̃(B).

Preuve du lemme : Soit B un sous-groupe de Borel rationnel de G. Soit u.σ un élément unipotent régulier rationnel de NG̃(B). Soit x ∈ G tel que ^{x}(u.σ) ∈ NG̃(B). Alors, ^{xuσx^{−1}}B = B ce qui entraîne que ^{u.σ}(^{x^{−1}}B) = ^{x^{−1}}B. Or si x ∉ B, on a ^{x^{−1}}B ≠ B et x^{−1}B et B sont tous les deux normalisés par u.σ ce qui est impossible car u.σ est régulier. Ainsi, on a montré que tout x ∈ G tel que ^{x}(u.σ) ∈ NG̃(B) appartient à B. Par ailleurs, dans G^{1}, il y a une unique classe unipotente régulière. Donc les éléments unipotents réguliers de NG̃(B) ∩ G^{1} sont les conjugués sous B de u.σ. Si on note U_{B} l’ensemble de ces éléments, on a U_{B} = {buσ(b)^{−1}.σ; b ∈ B}.

Fin de la preuve du lemme.

Calculons le nombre d’éléments unipotents réguliers rationnels dans l’intersection de G^{1} et d’un quasi-borel, NG̃(B), où B est un sous-groupe de Borel rationnel σ-stable de G. On pose B = T U où T est un tore maximal rationnel σ-stable de G. Soit Φ le système de racines de (G, T). On choisit sur Φ l’ordre tel que U = ∏_{α∈Φ^{+}} U_{α} et on note Π la base de racines correspondantes. Pour toute racine α ∈ Φ, on fixe un isomorphisme x_{α} : \overline{𝔽}_{q}^{+} → U_{α} et on définit c_{α} par σ(x_{α}(a)) = x_{σ(α)}(c_{α}a) pour tout a ∈ \overline{𝔽}_{q}^{+}, on note o(α) = min{i | σ^{i}(α) = α}, le cardinal de la σ-orbite de α, et on retrouve le coefficient C_{σ,α} du théorème 1.1.7 : C_{σ,α} = ∏_{1≤i≤o(α)} c_{σ^{i}(α)}. Comme σ est quasi-semi-simple unipotent, σ est quasi-central (cf. corollaire 1.1.14), ainsi on peut appliquer le (iv) du théorème 1.1.10 qui nous permet d’écrire que C_{σ,α} = ±1, pour toutes les racines α ∈ Π. D’après le théorème 1.1.7, tous les C_{σ,α} valent 1, sauf si le diagramme de Dynkin de G̃ possède k composantes de type A_{2n} permutées circulairement par σ où σ^{k} agit par ^{⟨⟨}retournement^{⟩⟩} de chacune de ces composantes. Alors, pour toute racine α telle que α + σ^{k}(α) soit une racine les orbites de α et de α + σ^{k}(α) ont même image et C_{σ,α} = −C_{σ,α+σ^{k}(α)} = ±1. Remarquons que dans ce cas particulier le cardinal de l’orbite de α est alors égal à 2k, or, on a supposé σ unipotent, donc l’ordre de σ est une puissance de la caractéristique de \overline{𝔽}_{q}. Mais comme l’ordre de α divise l’ordre de σ, c’est donc que la caractéristique de \overline{𝔽}_{q} vaut 2. Ainsi, on a encore C_{σ,α} = 1.

Enfin, on pose U^{∗} = ∏_{α∈Φ^{+}−Π} U_{α} et on note Ũ = U/U^{∗}.

Soit u_{0}.σ un élément de NG̃(B) unipotent régulier et rationnel. Alors, le nombre cherché est égal au nombre de conjugués de u_{0}.σ sous B qui sont rationnels, c’est-à-dire au nombre de σ-conjugués de u_{0} sous B qui sont rationnels. On pose B̃ = B/U^{∗}. Soit ϕ : B → B définie par b ↦ bu_{0}σ(b)^{−1}. Soient b et b′ dans B tels qu’ il existe u ∈ U^{∗} tel que b′ = bu. Alors,

ϕ(b′) = b′u_{0}σ(b′)^{−1}
= buu_{0}σ(bu)^{−1}
= bu_{0}σ(b)^{−1}v(avec v ∈ U^{∗})
= ϕ(b)v

(Car B normalise U^{∗}).

Donc, ϕ passe au quotient. Par ailleurs, d’après le e) de la proposition 2.3.5, le fait qu’un élément u.σ où u ∈ B, soit unipotent régulier ne dépend pas des termes de u qui sont dans U^{∗} et tout élément rationnel de B̃ a un représentant rationnel dans B, cela montre donc que le nombre cherché est égal au nombre de σ-conjugués rationnels de ũ_{0} sous B̃ (où on note ũ_{0} l’image de u_{0} dans B̃) multiplié par |U^{∗F} |. On note b.ũ_{0} l’action de σ-conjugaison de b ∈ B̃ sur ũ_{0}. Soit O_{B} = {b.ũ_{0}; b ∈ B̃}. Alors, O_{B} est F -stable car ũ_{0} est rationnel.

Proposition 2.3.11 ([D.M.] proposition 3.21)

(i) Soit g ∈ B̃, alors, g.ũ_{0} ∈ OF B si et seulement si g^{−1} ^{F} g ∈ Stab(ũ_{0}) (où on a posé Stab(ũ_{0}) = {g ∈ B̃ | g.ũ_{0} = ũ_{0}}).

(ii) Il y a une application bien définie qui envoie la B̃^{F} -orbite de g.ũ_{0} ∈ O_{B}^{F} sur la classe de F -conjugaison de l’image de g^{−1F} g dans Stab(ũ_{0})/Stab(ũ_{0})^{0}, c’est une bijection et le stabilisateur de g.ũ_{0} dans B̃^{F} est isomorphe au F -centralisateur de g^{−1F} g dans Stab(ũ_{0}).

D’après le (i), si Stab(ũ_{0}) est abélien, le nombre d’éléments est le même dans toutes les B̃^{F} -orbites et vaut |B̃^{F} /Stab(ũ_{0})^{F} |. Cela entraîne avec le (ii) que le nombre de σ-conjugués de ũ_{0} dans B̃^{F} est égal au nombre de F -classes de conjugaison de Stab(ũ_{0})/Stab(ũ_{0})^{0} multiplié par |B̃^{F} /Stab(ũ_{0})^{F} |. On note H^{1}(F, H) l’ensemble des classes de F -conjugaison d’un groupe algébrique H défini sur 𝔽_{q}. On a H^{1}(F, H) = H^{1}(F, H/H^{0}). Et si H/H^{0} est abélien, |H^{1}(F, H/H^{0})| = |H^{F} /(H^{0})^{F} |.

Lemme 2.3.12 Stab(ũ_{0}) = Z(G)^{σ} × Ũ^{σ}.

En utilisant le lemme ci-dessus, on obtient l’expression suivante du nombre d’éléments réguliers unipotents de (G^{1})^{F} :

(|G^{F} |/|B^{F} |) × |(U^{∗})^{F} | × |H^{1}(F, Stab(ũ_{0})/Stab(ũ_{0})^{0})| × (|B̃^{F} |/|Stab(ũ_{0})^{F} |)

= |G^{F} |/(|(U^{∗})^{F} | × |B̃^{F} |) × |(U^{∗})^{F} | × |Stab(ũ_{0})^{F} /(Stab(ũ_{0})^{0})^{F} | × (|B̃^{F} |/|Stab(ũ_{0})^{F} |)
= |G^{F} |/|(Stab(ũ_{0})^{0})^{F} |
= |G^{F} |/(|(Z(G^{σ})^{0})^{F} | × |(Ũ^{σ})^{F} |)

Or, Ũ^{σ} = (∏_{α∈Π} U_{α})^{σ} est isomorphe au groupe ∏_{α∈Π/σ} U_{α}, car les C_{σ,α} valent 1 donc, pour terminer la démonstration du théorème, il reste à démontrer le lemme précédent.

Preuve du lemme 2.3.12 : Nous allons expliciter Stab(ũ_{0}). Par définition,

Stab(ũ_{0}) = {b ∈ B̃ | b.ũ_{0} = ũ_{0}}.

Soit b = ut ∈ B̃. Soient {α_{1}, ..., α_{r}} un ensemble de représentants des σ-orbites de Π. Pour tout i ∈ {1, ..., r}, on note O(i) la σ-orbite de α_{i}, o(i) le cardinal de O(i) et U(i) = ∏_{α∈O(i)} U_{α}, enfin, on pose

ũ_{0} = ∏_{i=1}^{r} ∏_{α∈O(i)} x_{α}(k_{α})

et

u = ∏_{i=1}^{r} ∏_{α∈O(i)} x_{α}(l_{α}).

Nous allons, dans les calculs qui suivent, expliciter Stab(ũ_{0}) :

(ut)ũ_{0}σ(ut)^{−1} = ũ_{0}

⇔ (^{t}ũ_{0})^{−1}u^{−1}ũ_{0}σ(u) = tσ(t)^{−1}
⇔ (t ∈ T^{σ} et u^{t}ũ_{0}σ(u)^{−1}ũ_{0}^{−1} = 1)
(car (^{t}ũ_{0})^{−1}u^{−1}ũ_{0}σ(u) ∈ Ũ et tσ(t)^{−1} ∈ T)
⇔ (t ∈ T^{σ}
et ∏_{i=1}^{r} ∏_{α∈O(i)} x_{α}(l_{α})^{t}( ∏_{α∈O(i)} x_{α}(k_{α}))σ( ∏_{α∈O(i)} x_{α}(l_{α}))^{−1}( ∏_{α∈O(i)} x_{α}(k_{α}))^{−1} = 1)
⇔ (t ∈ T^{σ}
et ∏_{i=1}^{r} ∏_{α∈O(i)} x_{α}(l_{α}) ∏_{α∈O(i)} x_{α}(α(t)k_{α})( ∏_{α∈O(i)} x_{σ(α)}(c_{α}l_{α}))^{−1}( ∏_{α∈O(i)} x_{α}(k_{α}))^{−1} = 1)
⇔ (t ∈ T^{σ}
et ∏_{i=1}^{r} ∏_{α∈O(i)} x_{α}(l_{α} + α(t)k_{α} − c_{σ^{−1}α}l_{σ^{−1}α} − k_{α}) = 1)
⇔ (t ∈ T^{σ}
et ∀i ∈ {1, ..., r}, ∀α ∈ O(i), l_{α} + α(t)k_{α} − c_{σ^{−1}α}l_{σ^{−1}α} − k_{α} = 0)

On obtient le système d’équations suivant pour tout i ∈ {1, ..., r}

(I) \{ \begin{matrix}l_{α_{i}} − c_{σ^{o(α_{i})−1}(α_{i})}l_{σ^{o(α_{i})−1}(α_{i})} = (1 − α_{i}(t))k_{α_{i}} \\ l_{σ(α_{i})} − c_{α_{i}}l_{α_{i}} = (1 − α_{i}(t))k_{σ(α_{i})} \\ ... \\ l_{σ^{o(α_{i})−1}(α_{i})} − c_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})}l_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})} = (1 − α_{i}(t))k_{σ^{o(α_{i})−1}(α_{i})} \end{matrix}

(car t ∈ T^{σ} donc α(t) = α_{i}(t) ∀α ∈ O(i))

Or, C_{σ,α} = 1, donc le système (I) est de rang o(α_{i}) − 1 et il existe des solutions si et seulement si :

(c_{α_{i}}...c_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})}k_{α_{i}} + ... + c_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})}k_{σ^{o(α_{i})−2}} + k_{σ^{o(α_{i})−1}})(1 − α_{i}(t)) = 0

Lemme 2.3.13 Soit u_{0} = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(k_{α}) un élément de U, alors, si u_{0}.σ est unipotent régulier, pour toute racine α ∈ Π :

c_{α}...c_{σ^{o(α)−2}(α)}k_{α} + ... + c_{σ^{o(α)−2}(α)}k_{σ^{o(α)−2}} + k_{σ^{o(α)−1}(α)} ≠ 0.

Preuve du lemme 2.3.13 : Soit u_{0} = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(k_{α}), tel que u_{0}.σ soit unipotent. Soit α ∈ Π. On considère le système suivant :

\{ \begin{matrix}l_{α} − c_{σ^{o(α)−1}(α)}l_{σ^{o(α)−1}(α)} = −k_{α} \\ l_{σ(α)} − c_{α}l_{α} = −k_{σ(α)} \\ ... \\ l_{σ^{o(α)−1}(α)} − c_{σ^{o(α)−2}(α)}l_{σ^{o(α)−2}(α)} = −k_{σ^{o(α)−1}(α)} \end{matrix}

Le système a une solution si et seulement si :

c_{α}...c_{σ^{o(α)−2}(α)}k_{α} + ... + c_{σ^{o(α)−2}(α)}k_{σ^{o(α)−2}} + k_{σ^{o(α)−1}(α)} = 0.

On suppose cette condition vérifiée, soit (λ_{α}, ..., λ_{σ^{o(α)−1}(α)}) une solution. Alors, si on pose

y = x_{α}(λ_{α})...x_{σ^{o(α)−1}(α)}(λ_{σ^{o(α)−1}(α)}),

l’élément yu_{0}σ(y)^{−1} est de la forme yu_{0}σ(y)^{−1} = ∏_{β∈Φ^{+}} x_{β}(l_{β}) tel que pour toute racine β de l’orbite de α, on ait l_{β} = 0. Soit w l’élément de plus grande longueur dans le groupe de réflexions engendré par les s_{β} où β parcourt l’orbite de α, on note B′ =^{w} B. Alors, y(u_{0}.σ) stabilise à la fois B et B′ donc ^{y}(u_{0}.σ) n’est pas régulier. Ainsi s’il existe une racine α ∈ Π telle que

c_{α}...c_{σ^{o(α)−2}(α)}k_{α} + ... + c_{σ^{o(α)−2}(α)}k_{σ^{o(α)−2}} + k_{σ^{o(α)−1}(α)} = 0,

alors, u_{0}.σ n’est pas régulier.

Fin de la preuve du lemme 2.3.13.

Le système (II) entraîne donc que t ∈ Ker(α_{i}) et que :

(III) \{ \begin{matrix}l_{σ(α_{i})} = c_{α_{i}}l_{α_{i}} \\ ... \\ l_{σ^{o(α_{i})−1}(α_{i})} = c_{α_{i}}...c_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})}l_{α_{i}} \end{matrix}

Aussi, t ∈ ∩_{i=1}^{r}Kerα_{i} ∩ T^{σ} = Z(G)^{σ} et si on note u = ∏_{i=1}^{r} u_{i} avec u_{i} ∈ U(i) alors, on a u_{i} ∈ U(i)^{σ} pour tout i ∈ {1, ..., r}.

Ainsi, si ut ∈ Stab(ũ_{0}) et si on note u = ∏_{i=1}^{r} u_{i} avec u_{i} ∈ U(i) pour tout i ∈ {1, ..., r}, on a t ∈ Z(G)^{σ}, u_{i} ∈ U(i)^{σ} pour tout i ∈ {1, ..., r}. On démontre facilement que réciproquement

Z(G)^{σ} × (∏_{i=1}^{r} U(i)^{σ}) ⊂ Stab(ũ_{0}).

D’où l’égalité.

Fin de la preuve du lemme 2.3.12.

Fin de la preuve du théorème 2.3.7.

Théorème 2.3.14 Soit G̃ un groupe réductif non connexe sur un corps K. Soit σ un élément quasi-semi-simple unipotent de G̃ qui ne soit pas dans la composante neutre G de G̃. Soit T ⊂ B un couple formé d’un tore maximal et d’un sous-groupe de Borel de G stables par σ, on note U le radical unipotent de B. Soit u = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(λ_{α}), alors, u.σ est unipotent régulier si et seulement si pour toute racine α ∈ Π,

c_{α}...c_{σ^{o(α)−2}(α)}λ_{α} + ... + c_{σ^{o(α)−2}(α)}λ_{σ^{o(α)−2}(α)} + λ_{σ^{o(α)−1}(α)} ≠ 0 (∗).

Preuve :

Lemme 2.3.15 Comme σ est quasi-semi-simple unipotent, pour tout u ∈ U, l’élément u.σ est unipotent.

Preuve du lemme : Soit k l’ordre de σ alors, (u.σ)^{k} = uσ(u)...σ^{k−1}(u). Or, U est un sous-groupe σ-stable de G donc uσ(u)...σ^{k−1}(u) est un élément de U, et est unipotent, cela suffit pour conclure que u.σ l’est aussi car on est en caractéristique p.

Fin de la preuve du lemme.

D’après le lemme ci-dessus, u.σ est donc unipotent, on peut ainsi lui appliquer la caractérisation des éléments unipotents réguliers de Spaltenstein (proposition 2.3.5) : l’élément u.σ est régulier unipotent si et seulement si il est conjugué sous G à un élément de la forme

u_{0}.σ = ∏_{i=1}^{r} x_{α_{i}}(1) ∏_{h(λ)≥2} x_{λ}(c_{λ}).σ

où α_{1}, ..., α_{r} est un système de représentants des σ-orbites dans Π et λ ↦ h(λ) la hauteur.

On peut tout d’abord remarquer que u.σ et u_{0}.σ sont conjugués sous G si et seulement si ils sont conjugués sous B. Soit en effet x ∈ G tel que u.σ = ^{x}(u_{0}.σ) alors, ^{x}(u_{0}.σ) ∈ NG̃(B), donc, xu_{0}.σx^{−1} normalise B, c’est-à-dire que u_{0}.σ normalise ^{x^{−1}}B, ce qui entraîne que x ∈ B car u_{0}.σ est unipotent régulier. De plus, supposons trouvé b = vt ∈ T U tel que u.σ = ^{b}(u_{0}.σ), alors,

u^{−1}v^{t}u_{0}^{tσ(t)^{−1}}σ(v)^{−1} = σ(t)t^{−1},

donc, t ∈ T^{σ}.

Soit α_{1}, ..., α_{r} un système de représentants des σ-orbites dans Π, et pour tout i ∈ {1, ..., r}, soit o(i), l’ordre de la σ-orbite de α_{i}. Alors, u.σ est conjugué sous G à un élément de la forme

u_{0}.σ = ∏_{i=1}^{r} x_{α_{i}}(1) ∏_{h(λ)≥2} x_{λ}(c_{λ}).σ

si et seulement si il existe t ∈ T^{σ} et v ∈ U tels que u = v^{t}u_{0}σ(v)^{−1}.

On pose U^{∗} = ∏_{α∈Φ^{+}−Π} U_{α}, et on note p la projection de U sur U/U^{∗}. On note Ũ = U/U^{∗}.

Lemme 2.3.16 u est σ-conjugué à un élément de la forme :

u_{0} = ∏_{i=1}^{r} x_{α_{i}}(1) ∏_{h(λ)≥2} x_{λ}(c_{λ})

si et seulement si p(u) est σ-conjugué à ũ_{0} = ∏_{i=1}^{r} x_{α_{i}}(1).

Preuve du lemme : Pour tout t ∈ T^{σ} on note Φ_{t} l’application de U × U dans U telle que Φ_{t} : (x, y) ↦ y^{t}xσ(y)^{−1}. Soit t ∈ T^{σ}, soit (x, y) ∈ U × U et soient x′ et y′ quelconques dans U^{∗}, alors,

Φ_{t}(xx′, yy′) = yy′^{t}(xx′)σ(yy′)^{−1} = y^{t}xσ(y)^{−1}w′,

avec

w′ = [([y′,^{t}x]y′^{t}x′σ(y′)^{−1}), σ(y)^{−1}]([y′,^{t}x]y′^{t}x′σ(y′)^{−1}) ∈ U^{∗}.

Donc, pour tout t ∈ T^{σ}, l’application Φ_{t} passe au quotient. Soit Φ̃_{t} : Ũ × Ũ → Ũ telle que

Φ̃_{t}(x̃, ỹ) = ỹ^{t}x̃σ(ỹ)^{−1}

pour tout (x̃, ỹ) ∈ Ũ × Ũ, alors, p(Φ_{t}(x, y)) = Φ̃_{t}(p(x), p(y)) pour tout couple (x, y) dans U × U.

Ainsi, u est σ-conjugué à un élément de la forme

u_{0} = ∏_{i=1}^{r} x_{α_{i}}(1) ∏_{h(λ)≥2} x_{λ}(c_{λ}),

si et seulement si il existe t ∈ T^{σ} et v ∈ U tels que u = Φ_{t}(v, u_{0}), c’est-à-dire, si et seulement si p(u) = Φ̃_{t}(p(v), p(u_{0})). Donc, pour que u soit σ-conjugué à un élément de la forme

u_{0} = ∏_{i=1}^{r} x_{α_{i}}(1) ∏_{h(λ)≥2} x_{λ}(c_{λ}),

il faut et il suffit que p(u) soit σ-conjugué à ũ_{0}.

Fin de la preuve du lemme.

D’après le lemme ci-dessus, pour que u.σ = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(λ_{α}).σ soit unipotent régulier, il faut et il suffit qu’il existe t ∈ T^{σ} et v ∈ Ũ tels que si ũ = ∏_{α∈Π} x_{α}(λ_{α}), alors, ũ = v^{t}ũ_{0}σ(v)^{−1}. On pose v = ∏_{α∈Π} x_{α}(l_{α}), alors, ũ = v^{t}ũ_{0}σ(v)^{−1} ⇔ { ∀i ∈ {1, ..., r}, ∀j ∈ {0, ..., o(i) − 1} l_{σ^{j}(α_{i})} + α_{i}(t) − c_{σ^{j−1}α_{i}}l_{σ^{j−1}α_{i}} = λ_{σ^{j}(α_{i})} ⇔ { ∀i ∈ {1, ..., r}, A_{i}L_{i} = B_{i}

avec A_{i} = ( \begin{matrix}1 & ... & & & & −c_{σ^{−1}(α_{i})} \\ −c_{α_{i}} & 1 \\ & & ... \\ & & & ... \\ & & & −c_{σ^{o(α_{i})−3}(α_{i})} & 1 \\ & & & & −c_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})} & 1 \end{matrix} ) ,

B_{i} = ( \begin{matrix}−α_{i}(t) + λ_{α_{i}} \\ . \\ . \\ . \\ −α_{i}(t) + λ_{σ^{o(α_{i})−1}(α_{i})} \end{matrix} ) et L_{i} = ( \begin{matrix}l_{α_{i}} \\ . \\ . \\ . \\ l_{σ^{o(α_{i})−1}(α_{i})} \end{matrix} )

Soit i ∈ {1, ..., r}, alors, parce que σ est quasi-central, et par le théorème 1.1.10, C_{σ,α_{i}} = c_{α_{i}}...c_{σ^{o(α_{i})−1}} est égal à ±1, et on a vu dans la démonstration du théorème précédent que comme σ était unipotent, si C_{σ,α_{i}} était égal à −1 alors, on était en caractéristique 2. Ainsi A_{i} est une matrice o(α_{i}) × o(α_{i}) de rang o(α_{i}) − 1, et A_{i}L_{i} = B_{i} a une solution si et seulement si :

(∗i) (c_{α_{i}}...c_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})} + ... + c_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})} + 1)α_{i}(t) = c_{α_{i}}...c_{σ^{o(α_{i})−2}(α_{i})}λ_{α_{i}} + ... + λ_{σ^{o(α_{i})−1}(α_{i})}

Ainsi, on a montré que u.σ est unipotent régulier si et seulement si il existe t ∈ T^{σ} tel que (*i) soit vérifié pour tout i ∈ {1, ..., r}. Or, un tel t existe car, d’après Digne et Michel ([D.M.] lemme 0.22), pour tout r-uplet (x_{1}, ..., x_{r}) de (K^{×})^{r}, il existe t ∈ T tel que pour tout i ∈ {1, ..., r}, on ait α_{i}(t) = ... = σ^{o(i)−1}(α_{i})(t) = x_{i} et alors, t ∈ T^{σ}.

Ainsi, u.σ est unipotent régulier si et seulement si (*) est satisfait.

Fin de la preuve.

44

Deuxième partie

Représentations de Gelfand-Graev Cas où σ est quasi-central unipotent

Dans ce chapitre, G̃ est un groupe réductif sur \overline{𝔽}_{q} défini sur 𝔽_{q}, de composante neutre G et σ est un automorphisme quasi-semi-simple unipotent rationnel de G. D’après la proposition 1.1.14, σ est donc quasi-central et G^{σ} est un groupe réductif connexe. On fixe un couple T ⊂ B formé d’un tore σ-stable rationnel contenu dans un sous-groupe de Borel σ-stable rationnel de G et on note U le radical unipotent de B.

Le principal objet de ce chapitre est de définir sur G̃^{F} l’équivalent des représentations de Gelfand-Graev (définition 3.2.3) et de montrer que ces représentations ont des propriétés équivalentes à celles que vérifient les représentations de Gelfand-Graev dans le cas connexe. Un caractère de Gelfand-Graev de G^{F} est l’induit de U^{F} à G^{F} d’un caractère régulier de U^{F} (remarque 3.1.2). Dans la section 3.1, nous définissons les caractères réguliers de U^{F} .⟨σ⟩ comme l’extension à U^{F} .⟨σ⟩ d’un caractère régulier de U^{F} (définition 3.1.1). Dans la section 3.2, nous montrons que toute représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F} est l’induit d’un caractère régulier σ-stable de U^{F} (proposition 3.2.1), on définit donc les représentations de Gelfand-Graev sur G̃^{F} comme l’induit d’un caractère régulier de U^{F} .⟨σ⟩ (définition 3.2.3). Dans la suite du 3.2 et dans le 3.3, nous vérifions que, comme dans le cas connexe, les représentations de Gelfand-Graev de G̃^{F} ont des composantes irréductibles de multiplicité 1 (proposition 3.2.5), leur restriction de Harish-Chandra est encore une représentation de Gelfand-Graev (proposition 3.3.1), leur dual est nul en dehors des unipotents réguliers (proposition 3.3.4). Dans la section 3.4, nous montrons comment on peut utiliser les représentations de Gelfand-Graev pour obtenir la valeur moyenne d’un caractère χ̃ ∈ G̃^{F} de restriction irréductible sur G^{F} sur un ensemble de classes de conjugaison unipotentes de G^{F} .σ (théorème 3.4.4).

3.1 Définition et paramétrage des caractères régu-

liers

Dans cette section σ est juste supposé quasi-central et n’est pas forcément unipotent à moins que ce soit précisé.

On note U^{∗} le groupe dérivé du radical unipotent U de B, Φ l’ensemble des racines associées à (G, T) et Π la base de racines associée à B, Φ^{σ} l’ensemble des racines associées à ((G^{σ})^{0}, (T^{σ})^{0}) et Π/σ la base de racines associée à (B^{σ})^{0}. De plus, τ sera l’action de F sur les racines, et si O est une τ-orbite de Π, alors, on note U_{O} l’image de ∏_{α∈O} U_{α} dans U/U^{∗} , et Π/τ l’ensemble des τ-orbites de Π. Pour toute racine α ∈ Φ, on fixe un isomorphisme x_{α} : \overline{𝔽_{q}}^{+} → U_{α} tel que F (x_{α}(a)) = x_{τ(α)}(a^{q}) et on définit comme dans le chapitre précédent le coefficient c_{α} pour toute racine α ∈ Φ par σ(x_{α}(a)) = x_{σ(α)}(c_{α}a). On fixe {O_{1}, ..., O_{s}}, un ensemble de représentants des σ-orbites de Π/τ.

Définition 3.1.1 Un caractère multiplicatif χ̃ ∈ Irr(U^{F} .⟨σ⟩) est appelé caractère régulier si pour tout u ∈ U^{F} :

χ̃(u.σ) = χ(u)χ̃(σ),

où χ est un caractère σ-stable de Irr(U^{F}) qui vérifie les deux conditions suivantes : (i) La restriction de χ à (U^{∗})^{F} est triviale. (ii) Pour toute τ-orbite O de Π, χ|_{U_{O}^{F}} n’est pas triviale.

Remarque 3.1.2 Selon la définition de F.Digne et J.Michel ([D.M.] définition 14.27), un caractère χ de Irr(U^{F}) est dit régulier s’il vérifie les conditions (i) et (ii) de la définition ci-dessus.

Un caractère régulier χ̃ de U^{F} .⟨σ⟩ est donc une extension d’un caractère σ-stable régulier (au sens de [D.M.]) de U^{F}.

Si χ̃(σ) = 1, alors, χ̃ est appelé caractère régulier normalisé.

Proposition 3.1.3 On suppose que σ est un automorphisme quasi-central de G et que pour toute racine simple α ∈ Π, on a C_{σ,α} = 1, où C_{σ,α} est le coefficient défini dans le théorème 1.1.7. Alors, les caractères réguliers normalisés de U^{F} .⟨σ⟩ sont paramétrés par

L_{(T^{σ})^{0}}^{−1}(Z((G^{σ})^{0}))/Z((G^{σ})^{0}).

Remarque 3.1.4 Lorsque σ est unipotent quasi-semi-simple, les hypothèses de la proposition 3.1.3 sont toujours vérifiées.

Preuve de la remarque : On est dans le cas où σ est unipotent et quasi-central. D’après les théorèmes 1.1.7 et 1.1.10, toutes les racines simples α vérifient C_{σ,α} = ±1 et C_{σ,α} = −1 n’est possible que lorsque le diagramme de Dynkin de G possède k composantes de type A_{2n} permutées circulairement par σ et retournées par σ^{k}. Donc, dans ce cas, l’ordre de σ est un multiple de 2k et comme σ est unipotent, on est forcément en caractéristique 2 et pour toute racine simple α, on a bien C_{σ,α} = 1.

Fin de la preuve de la remarque.

Preuve de la proposition 3.1.3 :

Lemme 3.1.5 Pour toute racine α ∈ Φ, et pour tout entier k,

c_{τ^{k}(α)} = (c_{α})^{q^{k}}.

Preuve du lemme : Soient α ∈ Φ et un entier k, alors,

σ(F^{k}(x_{α}(a))) = σ(x_{τ^{k}(α)}(a^{q^{k}})) = x_{σ(τ^{k}(α))}(c_{τ^{k}(α)}a^{q^{k}})

et

F^{k}(σ(x_{α}(a))) = F^{k}(x_{σ(α)}(c_{α}a)) = x_{τ^{k}(σ(α))}((c_{α})^{q^{k}}a^{q^{k}}).

Or, les actions de σ et F commutent, donc, σ(F^{k}(x_{α}(a))) = F^{k}(σ(x_{α}(a))), ce qui entraîne clairement que c_{τ^{k}(α)} = (c_{α})^{q^{k}}.

Fin de la preuve du lemme.

Remarque 3.1.6 Le lemme ci-dessus entraîne que pour tout α ∈ Φ, si O est la τ-orbite de α alors, le coefficient c_{α} est dans 𝔽_{q^{|O|}}.

Lemme 3.1.7 Soit O = {α, τ(α), ..., τ^{k−1}(α)} une τ-orbite de Π et soit A = {α, σ(α), ..., σ^{n−1}(α)} la σ-orbite de α. Soient a ∈ {1, ..., k} l’ordre de la τ-orbite de A et o ∈ {1, ..., n} l’ordre de la σ-orbite de O. Alors, il existe un entier r tel que k = a × r et n = o × r.

Preuve du lemme : Pour tout entier t, on a

σ^{t}(O) = {σ^{t}(α), τ(σ^{t}(α)), ..., τ^{k−1}(σ^{t}(α))}

et

τ^{t}(A) = {τ^{t}(α), σ(τ^{t}(α)), ..., σ^{n−1}(τ^{t}(α))}.

Alors, σ^{o}(O) = O et τ^{a}(A) = A. On a l’égalité

O ∪ ... ∪ σ^{o−1}(O) = A ∪ ... ∪ τ^{a−1}(A),

ce qui entraîne que (1) o × k = a × n. Par ailleurs, σ^{n}(O) = O et τ^{k}(A) = A donc il existe deux entiers u et v tels que

(2) n = u × o et

(3) k = v × a. On obtient donc la relation u = v, ce qui conclut la démonstration du lemme.

Fin de la preuve du lemme.

Lemme 3.1.8 On suppose que σ est quasi-central et que pour toute racine simple α ∈ Π, on a C_{σ,α} = 1. Soit α ∈ Π, soient A et O respectivement la σ-orbite et la τ-orbite de α, soit o le cardinal de la σ-orbite de O et a le cardinal de la τ-orbite de A, soit i ∈ {1, ..., |O|} tel que σ^{o}(α) = τ^{i}(α) et soit j ∈ {1, ..., |A|} tel que τ^{a}(α) = σ^{j}(α), enfin soit r tel que |A| = r × o, alors,

(c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)})^{1+q^{i}+...+q^{(r−1)i}} = 1

et

(c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)})^{1+q^{a}+...+q^{(r−1)a}} = 1.

Preuve du lemme : (c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)})^{1+q^{i}+...+q^{(r−1)i}} = c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}c_{α}^{q^{i}}...c_{σ^{o−1}(α)}^{q^{i}}...c_{α}^{q^{(r−1)i}}...c_{σ^{o−1}(α)}^{q^{(r−1)i}} = c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}c_{τ^{i}(α)}...c_{σ^{o−1}(τ^{i}(α))}...c_{τ^{(r−1)i}(α)}...c_{σ^{o−1}(τ^{(r−1)i}(α))} = c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}c_{σ^{o}(α)}...c_{σ^{2o−1}(α)}...c_{σ^{(r−1)o}(α)}...c_{σ^{ro−1}(α)} = c_{α}...c_{σ^{|A|−1}(α)} = 1 On montre de la même façon que

(c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)})^{1+q^{a}+...+q^{(r−1)a}} = 1.

Fin de la preuve du lemme.

Lemme 3.1.9 Soit α ∈ Π, on note H le sous-réseau de ℤ^{2} défini par

H = {(i, j)|τ^{i}(α) = σ^{j}(α)}.

Si n est le cardinal de la σ-orbite de α, et si a > 0 est minimal tel que il existe l tel que τ^{a}(α) = σ^{l}(α) (si A est la σ-orbite de α, alors, a est le cardinal de la τ-orbite de A) et si j est tel que τ^{a}(α) = σ^{j}(α), alors, H est engendré par les couples (0, n) et (a, j).

Preuve du lemme : Soit p_{1} la première projection de ℤ^{2} sur ℤ, alors, l’image de H par p_{1} est un sous-groupe de ℤ égal à a.ℤ par définition de a. Ainsi, pour tout (k, l) ∈ H, il existe un entier s tel que k − sa = 0, on a alors, (0, l − sj) ∈ H, c’est-à-dire, σ^{l−sj}(α) = α, ce qui entraîne que n divise l − sj. Donc, pour tout (k, l) ∈ H, il existe deux entiers s et t tels que (k, l) = s(a, j) + t(0, n), ce qui montre que H est engendré par les couples (0, n) et (a, j).

Fin de la preuve du lemme.

Lemme 3.1.10 On suppose que σ est quasi-central et que pour toute racine simple α ∈ Π, on a C_{σ,α} = 1. Pour toute racine α ∈ Π, si on note O la τ-orbite de α, A sa σ-orbite et a le cardinal de la τ-orbite de A et j l’élément de {1, ..., A} tel que τ^{a}(α) = σ^{j}(α), alors, on peut choisir pour tout β ∈ A, l’isomorphisme x_{β} : \overline{𝔽_{q}}^{+} → U_{β} de façon à ce que c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)} = 1.

Preuve du lemme : On s’est donné pour tout α ∈ Φ, des isomorphismes x_{α} : \overline{𝔽_{q}}^{+} → U_{α} tels que F (x_{α}(λ)) = x_{τ(_{α})}(λ^{q}) pour tout λ ∈ \overline{𝔽_{q}}^{+}. Soit (a_{α})_{α∈Φ} une famille d’éléments de \overline{𝔽_{q}}^{+}, alors, on peut définir la famille d’isomorphismes (x′_{α})_{α∈Φ} par la relation x′_{α}(λ) = x_{α}(a_{α}λ) pour tout λ ∈ \overline{𝔽_{q}}^{+}.

Les isomorphismes vérifient F (x′_{α}(λ)) = x′_{τ(α)}(λ^{q}) pour tout α ∈ Φ, si et seulement si on a a_{τ(α)} = a_{α}^{q}, c’est l’hypothèse que l’on va faire sur les a_{α} désormais.

Pour tout α ∈ Φ, on définit c′_{α} par σ(x′_{α}(λ)) = x′_{σ(α)}(c′_{α}λ) pour tout λ ∈ \overline{𝔽_{q}}^{+}, alors, c′_{α} = c_{α} × a_{α}/a_{σ(α)}. Pour tout α ∈ Π, on a

c′_{α}...c′_{σ^{|A|−1}(α)} = C_{σ,α} = 1,

où A est la σ-orbite de α.

Soit α ∈ Π, soit a le cardinal de la τ-orbite de A et j l’élément de {1, ..., A} tel que τ^{a}(α) = σ^{j}(α), alors,

c′_{α}...c′_{σ^{j−1}(α)} = a_{α}^{1−q^{a}}c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)}.

On a vu (lemme 3.1.8) que

(c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)})^{1+q^{a}+...+q^{(r−1)a}} = (c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)})^{(q^{ra}−1)/(q^{a}−1)} = 1,

donc, il existe a_{α} ∈ 𝔽_{q^{|O|}}, où O est la τ-orbite de α, tel que

(a_{α})^{q^{a}−1} = c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)},

ce qui termine la démonstration.

Fin de la preuve du lemme.

On suppose dans la suite que les isomorphismes x_{β} vérifient la propriété du lemme ci-dessus. Pour toute racine α ∈ Π, si O est la τ-orbite de α, on définit l’isomorphisme u_{α} de 𝔽_{q^{|O|}} dans U_{O}^{F} par

a ↦ u_{α}(a) = x_{α}(a)...x_{τ^{|O|−1}(α)}(a^{q^{|O|−1}}).

Si χ̃ est un caractère régulier normalisé de U^{F} .⟨σ⟩, il existe χ ∈ Irr(U^{F}) régulier σstable tel que χ̃ soit l’extension triviale de χ à U^{F} .⟨σ⟩. Soit χ un caractère irréductible de (U/U^{∗})^{F}. Pour tout α ∈ Π, si O est la τ-orbite de α, on note χ_{α} le morphisme de 𝔽_{q^{|O|}}^{+} dans ℂ^{×} défini par λ ↦ χ ∘ u_{α}(λ). Alors, le caractère χ ∈ Irr((U/U^{∗})^{F}) est défini par (χ_{α})_{α∈Π} avec pour toute racine α ∈ Π les relations suivantes,

χ_{τ(α)}(λ^{q}) = χ_{α}(λ)

pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O|}}, où O est la τ-orbite de α. Soit {α_{1}, ...α_{r}} un ensemble de représentants des τ-orbites de Π, alors, on a pour tout u = ∏_{i=1}^{r} u_{α_{i}}(λ_{α_{i}}) ∈ (U/U^{∗})^{F}, la formule suivante qui ne dépend pas du choix de l’ensemble {α_{1}, ..., α_{r}} :

χ(u) = ∏_{i=1}^{r} χ_{α_{i}}(λ_{α_{i}}).

On a noté {O_{1}, ..., O_{s}} un ensemble de représentants des σ-orbites de Π/τ. Dans toute τ-orbite O_{r}, on choisit un élément α_{r}. Pour tout r ∈ {1, ..., s}, A_{r} est la σ-orbite de α_{r}, a(r) le cardinal de la τ-orbite de A_{r} et o(r) le cardinal de la σ-orbite de O_{r}. On fixe un entier N multiple de |O| pour toute τ-orbite O de racines de Π. On fixe un caractère ϕ_{0} de 𝔽_{q^{N}}^{+} tel que la restriction de ϕ_{0} à 𝔽_{q}^{+} soit non triviale.

Lemme 3.1.11 On suppose que σ est quasi-central et que pour toute racine simple α ∈ Π, on a C_{σ,α} = 1. Pour tout r ∈ {1, ..., s}, pour tout caractère linéaire σ-stable χ_{r} de ∏_{i=0}^{o(r)−1} U_{σ^{i}(O_{r})}^{F} il existe un d_{r} ∈ 𝔽_{q^{a(r)}} tel que

χ_{r}( ∏_{i=0}^{o(r)−1} u_{σ^{i}(α_{r})}(λ_{σ^{i}(α_{r})})) = ϕ_{0}∘Tr_{r}(d_{r}(λ_{α_{r}}+(1/c_{α_{r}})λ_{σ(α_{r})}...+(1/(c_{α_{r}}...c_{σ^{o(r)−2}(α_{r})}))λ_{σ^{o(r)−1}(α_{r})}))

où λ_{σ^{i}(α_{r})} ∈ 𝔽_{q^{|Or|}} et où Tr_{r} est la trace de 𝔽_{q^{|Or|}} dans 𝔽_{q^{a(r)}}. Tout caractère linéaire σ-stable χ de (U/U^{∗})^{F} est de la forme χ = ∏_{r=1}^{s} χ_{r}, où χ_{r} est comme ci-dessus. De plus, l’application

Ψ : χ ↦ (d_{1}, ..., d_{s})

est un isomorphisme : (((U/U^{∗})^{F})^{∧})^{σ} → ∏_{r=1}^{s} 𝔽_{q^{a(r)}}^{+} et χ est régulier quand aucun des d_{r} n’est nul.

Preuve du lemme : Soit (s, t) ∈ H le sous-réseau du lemme 3.1.9, alors,

σ^{t}(u_{α}(a)) = x_{σ^{t}(α)}(c_{α}...c_{σ^{t−1}(α)}a)...x_{τ^{|O|−1}(σ^{t}(α))}((c_{α}...c_{σ^{t−1}(α)}a)^{q^{|O|−1}})
= x_{τ^{s}(α)}(c_{α}...c_{σ^{t−1}(α)}a)...x_{τ^{|O|+s−1}(α)}((c_{α}...c_{σ^{t−1}(α)}a)^{q^{|O|−1}})
= u_{τ^{s}(α)}(c_{α}...c_{σ^{t−1}(α)}a)

(si on se place dans le groupe Ũ = U/U^{∗})

Donc, si σ^{t}(α) = τ^{s}(α), alors,

σ^{t}(u_{α}(a)) = u_{τ^{s}(α)}(c_{α}...c_{σ^{t−1}(α)}a),

comme éléments de U/U^{∗}.

Pour que χ soit un caractère régulier σ-stable de U^{F}, il faut et il suffit que pour tout α ∈ Π, pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O|}}, où O est la τ-orbite de α, on ait,

χ_{σ(α)}(c_{α}λ) = χ_{α}(λ),

c’est-à-dire, d’après ce qui précède, que pour tout couple (s, t) tel que σ^{t}(α) = τ^{s}(α), pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O|}}, on ait

χ_{σ^{t}(α)}(c_{α}...c_{σ^{t−1}(α)}λ) = χ_{τ^{s}(α)}(c_{α}...c_{σ^{t−1}(α)}λ) = χ_{α}(λ),

Ainsi, avec le lemme 3.1.9, on obtient la condition nécessaire et suffisante suivante pour toute racine α ∈ Π, où on aura noté O la τ-orbite de α, A sa σ-orbite, a le cardinal de la τ-orbite de A, et où on aura défini j comme l’élément de {1, ..., |O|} tel que σ^{j}(α) = τ^{a}(α),

χ_{τ^{a}(α)}(c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)}λ) = χ_{α}(λ),

pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O|}}, c’est-à-dire,

χ_{α}((c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)}λ)^{q^{|O|−a}}) = χ_{α}(λ),

pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O|}}, c’est-à-dire,

χ_{α}(λ^{q^{|O|−a}}) = χ_{α}(λ),

pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O|}}, car on a fait en sorte que c_{α}...c_{σ^{j−1}(α)} = 1 avec le lemme 3.1.10. Par ailleurs, ϕ est un caractère de 𝔽_{q^{|O|}}, tel que ϕ(λ^{q^{|O|−a}}) = ϕ(λ), pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O|}}, si et seulement si ϕ(λ^{q^{a}}) = ϕ(λ) pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O|}}. (car λ^{q^{a}} = μ ⇔ λ = μ^{q^{|O|−a}}).

Ainsi, pour tout r ∈ {1, ..., s}, pour tout caractère linéaire σ-stable χ_{r} de ∏_{i=0}^{o(r)−1} U_{σ^{i}(O_{r})}^{F}, il existe un caractère ϕ_{r} de 𝔽_{q^{a(r)}}^{+} tel que :

χ_{r}( ∏_{i=0}^{o(r)−1} u_{σ^{i}(α_{r})}(λ_{σ^{i}(α_{r})})) = ϕ_{r}∘Tr_{r}(λ_{α_{r}} +(1/c_{α_{r}})λ_{σ(α_{r})}...+(1/(c_{α_{r}}...c_{σ^{o(r)−2}(α_{r})}))λ_{σ^{o(r)−1}(α_{r})}),

où λ_{σ^{i}(α_{r})} ∈ 𝔽_{q^{|Or|}} et où Tr_{r} est la trace de 𝔽_{q^{|Or|}} dans 𝔽_{q^{a(r)}}. C’est-à-dire, il existe un d_{r} ∈ 𝔽_{q^{a(r)}} tel que

χ_{r}( ∏_{i=0}^{o(r)−1} u_{σ^{i}(α_{r})}(λ_{σ^{i}(α_{r})})) = ϕ_{0}∘Tr_{r}(d_{r}(λ_{α_{r}}+(1/c_{α_{r}})λ_{σ(α_{r})}...+(1/(c_{α_{r}}...c_{σ^{o(r)−2}(α_{r})}))λ_{σ^{o(r)−1}(α_{r})}))

Et le caractère χ est σ-stable si et seulement si χ = ∏_{r=1}^{s} χ_{r}, où χ_{r} est comme ci-dessus, de plus, il est régulier si et seulement si les d_{r} sont non nuls.

La suite de la preuve du lemme est claire.

Fin de la preuve du lemme.

On considère maintenant le groupe algébrique réductif connexe (G^{σ})^{0}. Le groupe algébrique (B^{σ})^{0} est un sous-groupe de Borel de (G^{σ})^{0}, qui a pour décomposition de Levi (B^{σ})^{0} = (T^{σ})^{0}U^{σ}. Or, selon Digne et Michel ([D.M.] proposition 14.28), comme (G^{σ})^{0} est un groupe réductif connexe, L_{(T^{σ})^{0}}^{−1}(Z((G^{σ})^{0})) agit transitivement sur l’ensemble des caractères réguliers de (U^{σ})^{F}, et comme cette action a pour noyau Z((G^{σ})^{0}), les caractères réguliers de (U^{σ})^{F} sont paramétrés par L_{(T^{σ})^{0}}^{−1}(Z((G^{σ})^{0}))/Z((G^{σ})^{0}). Par ailleurs, par la même proposition, il existe une bijection entre les caractères réguliers de (U^{σ})^{F} et les éléments de ∏_{O∈(Π/σ)/τ} Irr(𝔽^{q^{|O|}}) − {Id}. Ainsi, il existe une bijection entre les caractères réguliers normalisés de U^{F} .⟨σ⟩ et les caractères réguliers de (U^{σ})^{F}, ce qui suffit à prouver la proposition.

Fin de la preuve de la proposition 3.1.3.

Proposition 3.1.12 On suppose σ unipotent quasi-semi-simple. Soit u = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(k_{α}) un élément de U^{F}, et soit χ̃ un caractère régulier de U^{F} .⟨σ⟩, défini comme extension de χ, alors, si u.σ n’est pas régulier, il existe une racine α de Π telle que

χ(∏_{i=0}^{o−1} u_{σ^{i}(α)}(k_{σ^{i}(α)})) = 1

(où o est le cardinal de la σ-orbite de la τ-orbite de α).

Preuve : Supposons u.σ non régulier. Alors, il existe α ∈ Π tel que

c_{α}...c_{σ^{n−1}(α)}k_{α} + c_{σ(α)}...c_{σ^{n−1}(α)}k_{σ(α)} + ... + c_{σ^{n−1}(α)}k_{σ^{n−1}(α)} = 0,

où n est l’ordre de α sous l’action de σ. On note A la σ-orbite de α, soit a l’ordre de A sous l’action de τ. On note O la τ-orbite de α et o l’ordre de O sous l’action de σ. On peut remarquer que

A ∪ ... ∪ τ^{a−1}(A) = O ∪ ... ∪ σ^{o−1}(O).

Pour toute racine β ∈ Φ^{+}, on a k_{τ(β)} = k_{β}^{q} car u est rationnel, et c_{τ(β)} = c_{β}^{q} par le lemme 3.1.5. Donc, pour tout l ∈ {1, ..., a − 1},

c_{τ^{l}(α)}...c_{σ^{n−1}(τ^{l}(α))}k_{τ^{l}(α)} + c_{σ(τ^{l}(α))}...c_{σ^{n−1}(τ^{l}(α))}k_{σ(τ^{l}(α))} + ... + c_{σ^{n−1}(τ^{l}(α))}k_{σ^{n−1}(τ^{l}(α))}

= (c_{α}...c_{σ^{n−1}(α)}k_{α} + c_{σ(α)}...c_{σ^{n−1}(α)}k_{σ(α)} + ... + c_{σ^{n−1}(α)}k_{σ^{n−1}(α)})^{q^{l}}
= 0

Ainsi, on peut trouver u_{0} = ∏_{β∈Φ^{+}} x_{β}(l_{β}) ∈ U^{F} tel que k_{β} = 0 pour tout β ∈ ∏_{l=0}^{i−1} τ^{l}(A) et v ∈ U tels que u = vu_{0}σ(v)^{−1}.

Pour toute τ-orbite Ω de Π on note u_{Ω} et v_{Ω} les projections respectives de u et v sur ∏_{β∈Ω} U_{β}, alors, on a

∏_{l=0}^{o−1} u_{σ^{l}(O)} = ∏_{l=0}^{o−1} v_{σ^{l}(O)} ∏_{l=0}^{o−1} σ(v_{σ^{l}(O)})^{−1}.

Lemme 3.1.13 Si pour ũ ∈ (U_{O} × ... × U_{σ^{o−1}(O)})^{F} il existe ṽ ∈ U_{O} × ... × U_{σ^{o−1}(O)} tel que ũ = ṽσ(ṽ)^{−1}, alors, il existe w̃ ∈ (U_{O} × ... × U_{σ^{o−1}(O)})^{F} tel que ũ = w̃σ(w̃)^{−1}.

Preuve du lemme : On pose Ũ = U_{O} × ... × U_{σ^{o−1}(O)}. On note U = {w̃σ(w̃)^{−1}; w̃ ∈ Ũ}, alors, U est l’orbite de 1 par σ-conjugaison dans Ũ.

Selon Digne et Michel ([D.M.] proposition 3.21),

(i) w̃σ(w̃)^{−1} est rationnel si et seulement si w̃^{−1}F (w̃) appartient au stabilisateur de 1 dans Ũ sous l’action de σ-conjugaison, c’est-à-dire à Ũ^{σ}.

(ii) Les Ũ^{F} -orbites de σ-conjugaison de U^{F} sont paramétrées par les classes de F - conjugaison de Ũ^{σ}.

Cependant, Ũ^{σ} est un groupe abélien connexe donc H^{1}(F, Ũ^{σ}) = 1, ce qui permet de conclure qu’il n’y a qu’une Ũ^{F} -orbite de σ-conjugaison dans U^{F}. Cela permet de prouver le lemme.

Fin de la preuve du lemme.

On a montré que si u.σ est unipotent rationnel non régulier, il existe une τ-orbite O de Π telle que si o est l’ordre de O sous l’action de σ, alors, on peut écrire

u_{O}...u_{σ^{o−1}(O)} = v_{O}...v_{σ^{o−1}(O)}σ(v_{O}...v_{σ^{o−1}(O)})^{−1},

avec

v_{O} ∈ U_{O}^{F} , ..., v_{σ^{o−1}(O)} ∈ U_{σ^{o−1}(O)}^{F}.

On a alors,

χ(∏_{l=0}^{o−1} u_{σ^{l}(α)}(k_{σ^{l}(α)})) = χ(∏_{l=0}^{o−1} u_{σ^{l}(O)})
= χ(∏_{l=0}^{o−1} v_{σ^{l}(O)}σ(∏_{l=0}^{o−1} v_{σ^{l}(O)})^{−1})
= χ(∏_{l=0}^{o−1} v_{σ^{l}(O)})χ(σ(∏_{l=0}^{o−1} v_{σ^{l}(O)}))^{−1}
= χ(∏_{l=0}^{o−1} v_{σ^{l}(O)})χ(∏_{l=0}^{o−1} v_{σ^{l}(O)})^{−1}
= 1

Fin de la preuve.

3.2 Définition des représentations de Gelfand-Graev

Dans cette section et jusqu’à la fin du chapitre, σ est supposé quasi-central unipotent. On voudrait que toute représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F} soit étendue en au moins une représentation de Gelfand-Graev de G̃^{F}. La proposition 3.2.1 va nous permettre, quand σ est unipotent quasi-central, de définir les réprésentations de Gelfand-Graev de G̃^{F} comme les induits de U^{F} .⟨σ⟩ à G̃^{F} des extensions à U^{F} .⟨σ⟩ des caractères réguliers σ-stables de U^{F}.

Proposition 3.2.1 Si σ est un automorphisme quasi-semi-simple unipotent de G, alors, tout caractère σ-stable de Gelfand-Graev de G^{F} est l’induit d’un caractère régulier σ-stable de U^{F}.

Preuve : Les représentations de Gelfand-Graev de G comme les T^{F} -orbites de caractères réguliers de U^{F} sont paramétrées par H^{1}(F, Z(G)) (proposition 14.28 [D.M.]) de la façon suivante : on fixe un caractère régulier de U^{F} que l’on note ϕ_{1}. Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G)), soit t ∈ L_{T}^{−1}(Z(G)) tel que la classe de F-conjugaison de L(t) dans Z(G) soit z. On note ż l’image dans L_{T}^{−1}(Z(G))/Z(G) de t. Soit ϕż le caractère régulier de U^{F} défini par ϕż = ^{t}ϕ_{1}, alors on définit Γ_{z} par Γ_{z} = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} (ϕż). On démontre que Γ_{z} = Γ_{z′} si et seulement si z = z′.

Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G)) tel que Γ_{z} soit une représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F}, soit t ∈ L_{T}^{−1}(Z(G)) défini comme ci-dessus. Soit ϕ = ^{t}ϕ_{1}, alors, Γ_{z} = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} (ϕ) et σΓ_{z} = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} (^{σ}ϕ). Par ailleurs, ^{σ}ϕ est un caractère régulier de U^{F}. Donc, comme Γ_{z} est σ-stable, il existe t′ ∈ L_{T}^{−1}(Z(G)) tel que la classe de F-conjugaison de L(t′) dans Z(G) soit z, c’est-à-dire celle de t, et tel que ^{σ}ϕ = ^{t′}ϕ_{1}.

Ainsi, il existe τ ∈ Z(G) tel que L(t′) = τL(t)F (τ)^{−1}, c’est-à-dire, tel que F (t′(tτ)^{−1}) = t(t′τ)^{−1}. Donc, il existe τ ∈ Z(G) et t_{0} ∈ T^{F}, tels que t′ = t_{0}tτ. Ainsi, on a

σϕ = ^{t′}ϕ_{1} = ^{t_{0}tτ}ϕ_{1} = ^{t_{0}}ϕ,

avec t_{0} ∈ T^{F}. On a donc montré que la T^{F} -orbite de ϕ était σ-stable, il reste à prouver qu’elle contient un élément σ-stable.

Soit k l’ordre de σ, alors ^{σ^{k}}ϕ = ϕ, c’est-à-dire, σ^{k−1}(t_{0})...t_{0} ∈ Z(G). Comme σ est unipotent quasi-semi-simple, alors, d’après le corollaire 1.1.14, T = L_{σ}(T) × T^{σ}, où, L_{σ} : t → t^{−1}σ(t). Ainsi, on peut écrire t_{0} = t^{−1}σ(t)t_{1} avec t^{−1}σ(t) ∈ T^{F} et t_{1} ∈ (T^{σ})^{F}. De plus, on peut choisir t ∈ T^{F}. En effet, L_{σ}(T^{F}) est inclus dans L_{σ}(T)^{F}, or |L_{σ}(T^{F})| = |T^{F} |/|(T^{F})^{σ}| et |L_{σ}(T)^{F} | = |T^{F} |/|(T^{σ})^{F} |, d’où l’égalité L_{σ}(T^{F}) = L_{σ}(T)^{F}.

On a alors,

σ^{k−1}(t_{0})...t_{0} ∈ Z(G) ⇔ σ^{k}(t)t^{−1}t_{1}^{k} ∈ Z(G),

c’est-à-dire que t_{1}^{k} ∈ Z(G) car σ est d’ordre k. Ainsi pour toute racine α ∈ Π, on a α(t_{1}^{k}) = α(t_{1})^{k} = 1, or, α(t_{1}) ∈ \overline{𝔽}_{q} et k est une puissance de la caractéristique de \overline{𝔽}_{q} donc pour toute racine α ∈ Π, α(t_{1}) = 1, c’est-à-dire, t_{1} ∈ Z(G) et t_{0} ∈ L_{σ}(T) × Z(G).

Soit ϕ′ = ^{t^{−1}}ϕ, alors,

σ(ϕ′) = ^{σ(t^{−1})t_{0}}ϕ = ^{σ(t^{−1})t^{−1}σ(t)t_{1}}ϕ = ^{t^{−1}}ϕ = ϕ′.

On a ainsi montré qu’il existait un caractère régulier ϕ′ σ-stable de U^{F} tel que Γ = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} (ϕ′).

Fin de la preuve.

Paramétrage des caractères σ-stables de U^{F}

Nous avons vu dans la proposition 3.1.3 que les caractères réguliers normalisés de U^{F} .⟨σ⟩ étaient paramétrés par L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/Z(G^{σ}) (le groupe réductif G^{σ} est connexe lorsque σ est unipotent quasi-semi-simple). Nous allons fixer un caractère régulier normalisé que l’on notera χ̃_{1} afin de bien définir cette paramétrisation. Tout d’abord, on fixe un entier N multiple de |O| pour toute τ-orbite O de racines de Π. On fixe un caractère ϕ_{0} de 𝔽_{q^{N}}^{+} tel que la restriction de ϕ_{0} à 𝔽_{q}^{+} soit non triviale.

On rappelle que {O_{1}, ..., O_{s}} est un ensemble de représentants des σ-orbites de Π/τ et que pour tout r ∈ {1, ..., s}, on a fixé α_{r} ∈ O_{r}, on a noté A_{r} la σ-orbite de α_{r}, o(r) le cardinal de la σ-orbite de O_{r} et a(r) le cardinal de la τ-orbite de A_{r}. Alors, d’après la démonstration de la proposition 3.1.3, pour tout r ∈ {1, ..., s}, pour tout caractère linéaire σ-stable χ_{r} de ∏_{i=0}^{o(r)−1} U_{σ^{i}(O_{r})}^{F} il existe un d_{r} ∈ 𝔽_{q^{a(r)}} tel que

χ_{r}( ∏_{i=0}^{o(r)−1} u_{σ^{i}(α_{r})}(λ_{σ^{i}(α_{r})})) = ϕ_{0}∘Tr_{r}(d_{r}(λ_{α_{r}} +1/c_{α_{r}}λ_{σ(α_{r})}...+1/(c_{α_{r}}...c_{σ^{o(r)−2}(α_{r})})λ_{σ^{o(r)−1}(α_{r})}))

où λ_{σ^{i}(α_{r})} ∈ 𝔽_{q^{|Or} |} et où Tr_{r} est la trace de 𝔽_{q^{|Or|}} dans 𝔽_{q^{a(r)}}. Tout caractère linéaire σstable χ de (U/U^{∗})^{F} est de la forme χ = ∏_{r=1}^{s} χ_{r}, où χ_{r} est comme ci-dessus. De plus, l’application

Ψ : χ ↦ (d_{1}, ..., d_{s})

est un isomorphisme : (((U/U^{∗})^{F})^{∧})^{σ} → ∏_{r=1}^{s} 𝔽_{q^{a(r)}}^{+} et χ est régulier quand aucun des d_{r} n’est nul. On définit χ_{1} comme l’image réciproque de (1, ..., 1), c’est-à-dire,

χ_{1}(∏_{r=1}^{s} ∏_{i=0}^{o(r)−1} u_{σ^{i}(α_{r})}(λ_{σ^{i}(α_{r})})) = ϕ_{0}(∑_{r=1}^{s}(λ_{α_{r}} + 1/c_{α_{r}}λ_{σ(α_{r})}... + 1/(c_{α_{r}}...c_{σ^{o(r)−1}(α_{r})})λ_{σ^{o(r)−1}(α_{r})}))

et on définit χ̃_{1} par χ̃_{1}|_{U^{F}} = χ_{1} .

Soit s une section de L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/Z(G^{σ}) dans L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})). Alors, l’application f de L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/Z(G^{σ}) dans l’ensemble des caractères réguliers σ-stables de U^{F} définie par γ ↦ ^{s(γ)}χ_{1} est une bijection et ne dépend pas du choix de s. En fait, on a Ψ∘f = g où g est l’application de L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/Z(G^{σ}) dans ∏_{r=1}^{s} 𝔽_{q^{a(r)}}^{+} définie par γ ↦ (α_{1}(s(γ)), ...α_{s}(s(γ))).

D’après Digne, Lehrer et Michel ([D.L.M.] lemme 1.3), L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/(Z(G^{σ})(T^{σ})^{F}) est isomorphe à H^{1}(F, Z(G^{σ})), donc, les (T^{σ})^{F} -orbites des caractères réguliers normalisés de U^{F} .⟨σ⟩ sont paramétrées par H^{1}(F, Z(G^{σ})). On identifie les éléments de H^{1}(F, Z(G^{σ})) et de L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/(Z(G^{σ})(T^{σ})^{F}). Soit S une section de L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/(Z(G^{σ})(T^{σ})^{F}) dans L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/Z(G^{σ}). L’orbite des caractères réguliers normalisés paramétrée par z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})) sera notée Φ_{z}. Comme S(z) est l’image dans L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/Z(G^{σ}) d’un élément t ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) tel que la classe de F -conjugaison de L(t) soit égale à z, le caractère χ̃_{S(z)} =^{t} χ̃_{1} est dans Φ_{z}.

Proposition 3.2.2 Soient γ et γ′ deux éléments de L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/Z(G^{σ}).

On note respectivement χ et χ′ les images de γ et γ′ par Ψ et χ̃ et χ̃′ leur extension normalisée à U^{F} .⟨σ⟩.

On pose Γ = Ind_{U^{F} .⟨σ⟩}^{G^{F} .⟨σ⟩}(χ̃) et Γ′ = Ind_{U^{F} .⟨σ⟩}^{G^{F} .⟨σ⟩}(χ̃′).

Alors, si γ et γ′ ont la même image dans L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/(Z(G^{σ})(T^{σ})^{F}), c’est-à-dire si L(s(γ)) et L(s(γ′)) sont dans la même classe de F -conjugaison, alors, on a Γ = Γ′.

Preuve : γ et γ′ ont la même image dans L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ}))/(Z(G^{σ})(T^{σ})^{F}) si et seulement si il existe t ∈ (T^{σ})^{F} tel que χ′ = ^{t}χ, ce qui entraîne clairement que Γ = Γ′.

Fin de la preuve.

Définition 3.2.3 Pour z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), on définit la représentation de Gelfand-Graev ΓG̃ ; z de G̃^{F} = G^{F} .⟨σ⟩, par ΓG̃ ; z = Ind_{U^{F} .⟨σ⟩}^{G^{F} .⟨σ⟩}(χ̃_{S(z)}). On définit aussi la représentation de Gelfand-Graev Γ_{z}^{G.σ} de G^{F} .σ, par Γ_{z}^{G.σ} = ResG̃^{F} ; G^{F} .σ(ΓG̃ ; z).

Remarque 3.2.4

1) D’après la proposition 3.2.2, pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), la représentation ΓG̃ ; z est bien définie. Du (ii) de la proposition 3.3.4, ci-dessous, on peut déduire une réciproque de la proposition 3.2.2, c’est-à-dire que si z ≠ z′, alors, ΓG̃ ; z ≠ ΓG̃ ; z′.

2) Toute représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F} s’étend en une représentation de Gelfand-Graev de G̃^{F}.

3) Γ_{z}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}|_{U^{F} .σ}).

Preuve de la remarque :

1) Selon le (ii) de la proposition 3.3.4, on a, pour tout z, z′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})) tels que z ≠ z′,

⟨Γ_{z}^{G.σ}, (−1)^{|Π/τ×σ|}D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |Z((G^{σ})^{F})|,

d’une part, et

⟨Γ_{z′}^{G.σ}, (−1)^{|Π/τ×σ|}D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = 0,

d’autre part, on en déduit donc que Γ_{z}^{G.σ} ≠ Γ_{z′}^{G.σ}.

2) On a vu (proposition 3.2.1) que si Γ^{G} était une représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F}, alors, il existait un caractère χ régulier σ-stable de U^{F} tel que Γ^{G} = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} (χ). Soit χ̃ le caractère régulier normalisé de U^{F} .⟨σ⟩ tel que χ soit la restriction de χ̃ à U^{F}. Alors, ΓG̃ = Ind_{U^{F} .⟨σ⟩}^{G^{F} .⟨σ⟩}(χ̃) est une représentation de Gelfand-Graev de G̃^{F} et si g ∈ G^{F}, ΓG̃(g) = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} χ(g), ainsi, Γ^{G} est une restriction de ΓG̃ à G^{F}.

3) Un simple calcul montre le résultat.

Fin de la preuve.

Proposition 3.2.5 Les représentations de Gelfand-Graev de G̃^{F} = G^{F} .⟨σ⟩ ont des composantes irréductibles de multiplicité 1.

Preuve : Soit z ∈ Z(G^{σ}), alors, ResG̃^{F} ; G^{F} (ΓG̃ ; z) est un caractère de Gelfand-Graev de G^{F}

car ResG̃^{F} ; G^{F} (ΓG̃ ; z) = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} (χ̃_{S(z)}|_{U^{F}}).

Par définition χ_{S(z)}|_{U^{F}} est un caractère régulier σ-stable de U^{F} donc on retrouve bien un caractère de Gelfand-Graev de G^{F}. On peut décomposer ΓG̃ ; z sous la forme ΓG̃ ; z = ∑_{χ∈Irr(G̃^{F})} c_{χ}χ, alors, ΓG̃ ; z|_{G^{F}} = ∑_{χ∈Irr(G̃^{F})} c_{χ}χ|_{G^{F}}. Par le théorème de Clifford, pour tout χ ∈ Irr(G̃^{F}), on a χ|_{G^{F}} = e ∑_{i=1}^{t} γ_{i}, où γ ∈ Irr(G^{F}) et γ_{1}, ..., γ_{t} sont les conjugués de γ dans G̃^{F}. Or, le fait que ΓG̃ ; z|_{G^{F}} soit une représentation de Gelfand-Graev de G^{F} entraîne ([D.M.] théorème 14.30) que pour tout χ ∈ Irr(G̃^{F}), c_{χ} < 2. Donc, les composantes irréductibles de ΓG̃ ; z sont de multiplicité 1.

Fin de la preuve.

3.3 Effet de la restriction de Harish-Chandra et de la

dualité sur les représentations de Gelfand-Graev

de G^{F}.σ

Soit L un sous-groupe de Levi rationnel et σ-stable contenant T d’un sous-groupe parabolique rationnel σ-stable P de G contenant B. Pour paramétrer les caractères réguliers de U^{F} ∩ L^{F} .σ par H^{1}(F, Z(L^{σ})), on doit fixer un caractère régulier particulier : on choisit Res_{(U^{F} ∩L^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{1}). Le groupe G est réductif et σ est unipotent quasi-semi-simple donc G^{σ} est un groupe réductif connexe et L^{σ} est un sous-groupe de Levi de G^{σ}. Donc, selon Digne et Michel ([D.M.] lemme 14.31), l’inclusion Z(G^{σ}) ⊂ Z(L^{σ}) induit une application surjective h_{L^{σ}} : H^{1}(F, Z(G^{σ})) → H^{1}(F, Z(L^{σ})).

Proposition 3.3.1 Avec les notations ci-dessus, on a : ^{∗}R_{L.σ}^{G.σ}(Γ_{z}^{G.σ}) = Γ_{h_{L^{σ}} (z)}^{L.σ}.

Preuve : Il faut et il suffit de montrer que pour toute fonction de σ-classe f de L^{F} .σ, on a :

⟨R_{L.σ}^{G.σ}(f), Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨f, Γ_{h_{L^{σ}} (z)}^{L.σ}⟩_{L^{F} .σ}.

Par ailleurs,

⟨f, Γ_{h_{L^{σ}} (z)}^{L.σ}⟩_{L^{F} .σ} = ⟨f, Ind_{(L^{F} ∩U^{F}).σ}^{L^{F} .σ}(χ̃_{S(h_{L^{σ}} (z))})⟩_{L^{F} .σ}
= ⟨Res_{(L^{F} ∩U^{F}).σ}^{L^{F} .σ}(f), χ̃_{S(h_{L^{σ}} (z))}⟩_{(L^{F} ∩U^{F}).σ}

Donc il faut et il suffit de montrer que pour toute fonction de σ-classe de L^{F} .σ :

⟨R_{L.σ}^{G.σ}(f), Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨f, χ̃_{S(h_{L^{σ}} (z))}⟩_{(L^{F} ∩U^{F}).σ}.

Si on définit la fonction f̃sur P^{F} .σ par f×Id dans la décomposition P^{F} .σ = (L^{F} .σ)V^{F}, où V est le radical unipotent de P, alors, R_{L.σ}^{G.σ}(f) = Ind_{P^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(f̃), parce que l’on a une induction de Harish-Chandra. Ainsi, le membre de gauche de l’équation est égale à

⟨Ind_{P^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(f̃), Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(χ̃_{S(z)})⟩_{G^{F} .σ},

c’est-à-dire par la formule de Mackey pour les fonctions de σ-classes, à

∑_{g∈(P^{F} \G^{F} /U^{F})^{σ}}⟨f̃, Ind_{(P^{F} ∩^{g}(U^{F})).σ}^{P^{F} .σ} ∘ Res_{(P^{F} ∩^{g}(U^{F})).σ}^{^{g}(U^{F}).σ}^{g}(χ̃_{S(z)})⟩_{P^{F} .σ}

= ∑_{g∈(P^{F} \G^{F} /U^{F})^{σ}}⟨f̃,^{g} χ̃_{S(z)}⟩_{P^{F} .σ∩ ^{g}(U^{F}).σ}.

Selon Digne et Michel ([D.M.] lemme 5.5), si L est le sous-groupe de Levi standard L_{I}, alors, P \G/U est en bijection avec l’ensemble des éléments I-réduits de W = W (T) (un élément w ∈ W est dit I-réduit si pour tout v ∈ W_{I}, le sous-groupe engendré par I, on a l(v) + l(w) = l(vw)). Donc, (P^{F} \G^{F} /U^{F})^{σ} est en bijection avec les éléments I-réduits σ-stables de W^{F}, par ailleurs, comme σ est quasi-central, tout élément σ-stable de W^{F} = N_{G}(T)^{F} /T^{F} a un représentant σ-stable dans N_{G}(T)^{F}. Ainsi, (P^{F} \G^{F} /U^{F})^{σ} est en bijection avec un ensemble de représentants σ-stables dans N_{G}(T)^{F} des éléments I-réduits σ-stables de W^{F}. Soit n un tel élément qui relève w ∈ W^{F}, alors, on a :

P^{F} .σ ∩ ^{n}U^{F} .σ = ((L^{F} ∩ ^{n}U^{F}).σ).(V^{F} ∩ ^{n}U^{F}),

et la restriction de f̃ à P^{F} .σ ∩^{n}U^{F} .σ est égale à Res_{(L^{F} ∩^{n}U^{F}).σ}^{L^{F} .σ}(f) × Id dans cette décomposition. Donc on a :

⟨f̃,^{n}χ̃_{S(z)}⟩_{P^{F} .σ∩^{n}U^{F} .σ} = ⟨Res_{(L^{F} ∩^{n}U^{F}).σ}^{L^{F} .σ}(f),^{n}χ̃_{S(z)}⟩_{L^{F} .σ∩^{n}U^{F} .σ}⟨Id, χ̃_{S(z)}⟩_{^{n^{−1}}V^{F} ∩U^{F}} .

Mais, par définition de χ̃_{S(z)}, χ̃_{S(z)}|_{U^{F}} est un caractère régulier σ-stable de U^{F}, donc, ⟨Id, χ̃_{S(z)}⟩_{^{n^{−1}}V^{F} ∩U^{F}} est non nul (et est égal à 1) si et seulement si on a U_{α} ⊂ (^{n^{−1}}V ∩ U) pour aucune racine simple α.

Lemme 3.3.2 ^{n^{−1}}V ∩ U ne contient aucun U_{α} tel que α soit une racine simple si et seulement si w = w_{0}^{I}w_{0} où w_{0}^{I} est l’élément de plus grande longueur de W_{I} et w_{0} l’élément de plus grande longueur de W.

Preuve du lemme : On a

U = ∏_{α∈Φ^{+}} U_{α}

et

V = ∏_{{α∈Φ^{+}−⟨I⟩^{+}}} U_{α}
= ∏_{{α∈Φ^{+}∩^{w^{I}_{0}}Φ^{+}}} U_{α}

où, w_{0}^{I} est le plus grand élément de W_{I}. Donc,

n^{−1}V ∩ U = ∏_{{α∈Φ^{+}∩^{w^{−1}}Φ^{+}∩^{w^{−1}w^{I}_{0}}Φ^{+}}} U_{α}

Or w est I-réduit, donc, l(w(w_{0}^{I})^{−1}) = l(w) + l((w_{0}^{I})^{−1}) et

Φ^{+} ∩ ^{w^{−1}}Φ^{+} ∩ ^{w^{−1}w_{0}^{I}}Φ^{+} = Φ^{+} ∩ ^{w^{−1}w_{0}^{I}}Φ^{+}.

Ce qui entraîne que

n^{−1}V ∩ U = ^{n^{−1}n_{0}^{I}}V ∩ U,

où, n_{0}^{I} est un représentant σ-stable de w_{0}^{I} dans N_{G}(T)^{F} et ce groupe ne contient aucun U_{α} où α ∈ Π si et seulement si (w_{0}^{I})^{−1}w envoie toute racine simple positive sur une racine négative, c’est-à-dire si et seulement si (w_{0}^{I})^{−1}w = w_{0}, où w_{0} est l’élément de plus grande longueur de W. Donc, ⟨Id, χ̃_{S(z)}⟩_{^{n^{−1}}V^{F} ∩U^{F}} est non nul et égal à 1 si et seulement si w = w_{0}^{I}w_{0}.

Fin de la preuve du lemme.

Par ailleurs, comme w_{0} envoie toutes les racines positives sur l’ensemble des racines négatives, comme w_{0}^{I} change le signe des racines qui sont dans le système de racines de L et seulement le leur et comme w_{0} et w_{0}^{I} sont σ-stables (car W et W_{I} le sont), on a L ∩ ^{n}U = L ∩ U. Ainsi,

⟨R_{L.σ}^{G.σ}(f), Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨Res_{L^{F} ∩U^{F} .σ}^{L^{F} .σ}(f),^{n} χ̃_{S(z)}⟩_{(L^{F} ∩U^{F}).σ}

Il suffit donc de montrer que ^{n}χ̃_{S(z)}|_{(L^{F} ∩U^{F}).σ} et χ̃_{S(h_{L^{σ}} (z))} sont dans la même (T^{σ})^{F} - orbite. Il existe t ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) tel que S(z) = tZ(G^{σ}) et tel que χ̃_{S(z)} = ^{t}χ̃_{1}.

Remarque 3.3.3 Par définition de h_{L}, le caractère ^{t}(Res_{(L^{F} ∩U^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{1})), où t ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) est tel que S(z) = tZ(G^{σ}) et tel que χ̃_{S(z)} = ^{t}χ̃_{1}, est dans la (T^{σ})^{F} -orbite de χ̃_{S(h_{L^{σ}} (z))}.

Ainsi, comme L(nt) = L(t), il suffit de montrer que ^{n}χ̃_{1}|_{L^{F} ∩U^{F} .σ} est dans la (T^{σ})^{F} - orbite de χ̃_{S(h_{L^{σ}} (1))}, ce qui est clair par les définitions de n et de χ̃_{1}.

Fin de la preuve.

Proposition 3.3.4

(i) Le dual de toute représentation de Gelfand-Graev de G^{F} .σ est nul en dehors des éléments unipotents réguliers.

(ii) On a

⟨Γ_{z}^{G.σ}, (−1)^{|Π/τ×σ|}D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |Z((G^{σ})^{F})|δ_{z,z′}.

Preuve : En utilisant la proposition 1.3.6, on obtient :

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}R_{L_{I}.σ}^{G.σ}(Γ_{h_{(L_{I})^{σ}} (z)}^{L_{I}.σ}).

Comme R_{L_{I}.σ}^{G.σ} est une induction de Harish-Chandra, et si P_{I} est le sous-groupe parabolique rationnel σ-stable de G contenant L_{I} et de radical unipotent V_{I}, et en utilisant la remarque 3.3.3, on a :

R_{L_{I}.σ}^{G.σ}(Γ_{h_{(L_{I})^{σ}} (z)}^{L_{I}.σ}) = Ind_{(P_{I})^{F} .σ}^{G^{F} .σ}[Ind_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{(L_{I})^{F} .σ}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)})) × Id_{V_{I}^{F}}].

Cependant le calcul montre que :

Ind_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{(L_{I})^{F} .σ}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)})) × Id_{V_{I}^{F}} = Ind_{U^{F} .σ}^{(P_{I})^{F} .σ}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}) × Id_{V_{I}^{F}}).

Ainsi, on obtient par la transitivité de l’induction :

R_{L_{I}.σ}^{G.σ}(Γ_{h_{(L_{I})^{σ}} (z)}^{L_{I}.σ}) = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}) × Id_{V_{I}^{F}}).

Donc,

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ} ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}) × Id_{V_{I}^{F}}).

Pour montrer le (i) de la proposition il suffit de prouver que :

∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}) × Id_{V_{I}^{F}})

est nul en dehors des éléments réguliers unipotents de U^{F} .σ. Soit u.σ un élément unipotent de U^{F} .σ et soit ∏_{O∈Π/τ} u_{O} la projection de u sur ∏_{O∈Π/τ} U_{O}. On pose

χ_{O} = Res_{U_{O}^{F}}^{U^{F}} (χ̃_{S(z)}|_{U^{F}}).

On a alors,

χ̃_{S(z)}(u.σ) = ∏_{O∈Π/τ} χ_{O}(u_{O}).

Ainsi,

∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}) × Id_{V_{I}^{F}})(u.σ) = ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|} ∏_{O∈I} χ_{O}(u_{O})

On note toujours {O_{1}, ..., O_{s}}, les représentants des σ-orbites de Π/τ et pour tout t ∈ {1, ..., s}, o(t), l’ordre de O_{t} sous l’action de σ. Alors,

∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}) × Id_{V_{I}^{F}})(u.σ) = ∏_{t=1}^{s−1}(1 − ∏_{l=0}^{o(t)−1} χ_{σ^{l}(O_{t})}(u_{σ^{l}(O_{t})})),

ce qui est nul si et seulement si u.σ n’est pas régulier (proposition 3.1.12).

Il reste à prouver le (ii). On pose

ϕ = ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z′)}) × Id_{V_{I}^{F}}).

On a alors,

D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}ϕ.

Calculons le produit scalaire suivant :

⟨Γ_{z}^{G.σ}, D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}), Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(ϕ)⟩_{G^{F} .σ}.

Par la formule de Mackey pour les fonctions de σ-classes et en utilisant la bijection entre U^{F} \G^{F} /U^{F} et N_{G}(T)^{F} on obtient :

⟨Γ_{z}^{G.σ}, D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ∑_{n∈(N_{G}(T)^{F})^{σ}}⟨^{n}χ̃_{S(z)}, ϕ⟩_{(U^{F} ∩ ^{n}U^{F}).σ}.

Le fait qu’un élément régulier unipotent ne normalise qu’un seul sous-groupe de Borel et le fait que les n soient σ-stables entraînent que (U^{F} ∩ ^{n}U^{F}).σ ne contient pas d’éléments unipotents réguliers si n n’est pas dans (T^{σ})^{F}. Par ailleurs,

⟨χ̃_{S(z)}, Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).σ}^{U^{F} .σ}(χ̃_{S(z)}) × Id_{V_{I}^{F}})⟩_{U^{F} .σ}

est nul si I ≠ Π/τ (car ⟨χ̃_{S(z)}, Id_{V_{I}^{F}} ⟩_{V_{I}^{F}} est nul si V_{I}^{F} ≠ {1}). Donc, on a :

⟨Γ_{z}^{G.σ}, D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = (−1)^{|Π/τ×σ|} ∑_{t∈(T^{σ})^{F}}⟨^{t}χ̃_{S(z)}, χ̃_{S(z′)}⟩_{U^{F} .σ}

Cependant les caractères ^{t}χ̃_{S(z)} et χ̃_{S(z′)} ne peuvent être égaux que si z = z′ et si t ∈ Z(G^{σ})^{F}. D’où, le résultat.

Fin de la preuve.

3.4 Valeurs des fonctions de σ-classes sur les éléments

réguliers unipotents

3.4.1 Résultats dans G.σ

On choisit un élément u_{0} ∈ U^{F} tel que u_{0}.σ soit unipotent régulier. Selon la caractérisation de Spaltenstein (proposition 2.3.5), et parce que u_{0}u^{∗}.σ est encore unipotent, u_{0}u^{∗}.σ sera encore unipotent régulier pour tout u^{∗} ∈ (U^{∗})^{F}. Si b.σ est un élément unipotent régulier de B^{F} .σ, on dit que b̃, l’image de b dans B̃ = B/U^{∗} est un élément unipotent régulier de B̃. On note ũ_{0}, l’image de u_{0} dans U/U^{∗}. D’après le théorème 2.3.7, Stab(ũ_{0}), le stabilisateur de ũ_{0} dans B̃ pour l’opération de σ-conjugaison est égal à Z(G^{σ}) × (Ũ^{σ}). Donc, selon la proposition 2.3.11, les classes de σ-conjugaison sous B̃^{F} des éléments unipotents réguliers de B̃^{F} sont paramétrées par les F -classes de conjugaison de Stab(ũ_{0}), c’est-à-dire, par H^{1}(F, Z(G^{σ})).

Par hypothèse, σ est quasi-semi-simple unipotent, donc T^{σ} est un groupe algébrique connexe. On note L l’application de Lang, alors, selon le théorème de Lang-Steinberg (théorème 2.2.8), L_{T^{σ}} : T^{σ} → T^{σ} est surjective. Or Z(G^{σ}) ⊂ T^{σ}, donc l’application L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) → Z(G^{σ}) définie par t ↦ L(t) est surjective. Ainsi, pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), il existe t ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})), tel que L(t) soit un représentant de z. On définit alors, l’ensemble U_{z} = {x.σ ∈ G^{F} .σ|x.σ ∼_{G^{F}} ^{t}(u_{0}U^{∗}).σ}, définition qui est indépendante du choix de t tel que L(t) ∈ z.

Proposition 3.4.1 (i) Les ensembles {U_{z}|z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ}))} sont disjoints. (ii) L’ensemble des éléments réguliers unipotents de G^{F} .σ est la réunion des U_{z}.

Preuve : (i) Soient z et z′ dans H^{1}(F, Z(G^{σ})) tels que U_{z} ∩ U_{z′} soit non vide. Il existe g, h ∈ G^{F}, u_{1}^{∗}, u_{2}^{∗} ∈ U^{∗F} et t, t′ ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) tels que L(t) et L(t′) soient des représentants respectivement de z, z′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})) et tels que

g(^{t}(u_{0}u_{1}^{∗}).σ) = ^{h}(^{t′}(u_{0}u_{2}^{∗}).σ).

Ainsi, ^{t^{′−1}t}(u_{0}u_{1}^{∗}).σ = ^{t^{′−1}g^{−1}ht′}(u_{0}u_{2}^{∗}.σ), donc il existe u^{∗}, v^{∗} ∈ U^{∗F}, x ∈ G^{F} et t′′ ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) qui vérifie L(t′′) ∈ z^{′−1}z tels que

t′′(u_{0}u^{∗}).σ = ^{x}(u_{0}v^{∗}.σ).

Or ^{t′′}(u_{0}u^{∗}).σ et ^{x}(u_{0}v^{∗}.σ) sont deux éléments unipotents réguliers de G^{F} .σ, de plus, le sous-groupe de Borel normalisé par ^{t′′}(u_{0}u^{∗}).σ est B et celui normalisé par ^{x}(u_{0}v^{∗}.σ) est x^{−1}B. Ainsi, l’égalité entre ces deux éléments entraîne que x ∈ B^{F}. On a donc x = su_{x} avec s ∈ T^{F} et u_{x} ∈ U^{F} et ^{t^{′′−1}su_{x}}(u_{0}v^{∗}.σ) = u_{0}u^{∗}.σ. Si on note respectivement ũ_{x} et ũ_{0} les projections de u_{x} et u_{0} dans B̃ alors, on obtient t^{′′−1}sũ_{x}ũ_{0}σ(t^{′′−1}sũ_{x})^{−1} = ũ_{0} dans B̃. Ce qui entraîne que t^{′′−1}sũ_{x} ∈ Stab(ũ_{0}) c’est-à-dire que t^{′′−1}s ∈ Z(G^{σ})^{F} donc que z′ = z et termine la démonstration du (i).

(ii) Soit x.σ un élément unipotent régulier rationnel, alors x.σ normalise un unique sous-groupe de Borel B′. Par ailleurs, ^{x.σ}F (B′) = F (^{x.σ}B′) = F (B′), donc, x.σ normalise F (B′), ce qui signifie que B′ est rationnel. Ainsi, il existe g ∈ G^{F} tel que B′ = ^{g}B et g^{−1}xσ(g).σ = b.σ est un élément unipotent régulier de B.σ.

Or, d’après le lemme 2.3.16, b.σ est régulier si et seulement si b̃ est σ-conjugué sous B̃ à ũ_{0}. On note U la classe de σ-conjugaison de ũ_{0} sous B̃. Les classes de σ-conjugaison de U^{F} dans B̃^{F} sont paramétrées par H^{1}(F, Z(G^{σ})). Donc, si b̃ ∈ U^{F}, alors, il existe z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})) et t ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})), un représentant de z tels que b̃ soit dans la classe de σ-conjugaison sous B̃^{F} de ^{t}ũ_{0}. Soit w̃ ∈ B̃^{F} tel que b̃ = w̃^{t}ũ_{0}σ(w̃)^{−1}. Soit w ∈ B^{F} qui ait pour image w̃ dans B̃^{F}. Alors, il existe u^{∗} ∈ (U^{∗})^{F} tel que b = w^{t}(u_{0}u^{∗})σ(w)^{−1}. Donc, b.σ et par conséquent x.σ sont dans U_{z}.

Fin de la preuve.

Définition 3.4.2 Soit c une réunion de classes de conjugaison de G^{F} .σ, la fonction de classe γ_{c} est définie sur G^{F} .σ par :

γ_{c}(x) = \{ \begin{matrix}|G^{F} |/|c| & si x ∈ c; \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Définition 3.4.3 Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), on définit le nombre complexe σ_{z} par

σ_{z} = ∑_{ϕ∈Φ_{z}} ϕ(u_{0}.σ).

où Φ_{z} est l’orbite des caractères réguliers normalisés paramétrée par z (cf. page 54).

Théorème 3.4.4 Soit χ̃ un caractère de G̃^{F} dont la restriction à G^{F} est irréductible, et soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), alors, avec les notations ci-dessus,

|U_{z}|^{−1} ∑_{u∈U_{z}} χ(u) = (−1)^{|(Π/σ)/τ|} ∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} σ_{z^{−1}z′}⟨D_{G.σ}(χ), Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ}.

Preuve : On a vu dans la démonstration de la proposition 3.3.4, que

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}ϕ̃,

où ϕ̃ est une fonction de classe de U^{F} .σ nulle en dehors des éléments unipotents réguliers. En fait, si u.σ ∈ U^{F} .σ est unipotent régulier, si on note ∏_{O∈Π/τ} u_{O} la projection de u sur ∏_{O∈Π/τ} U_{O} et si on note {O_{1}, ..., O_{s}}, les représentants des σ-orbites de Π/τ et pour tout t ∈ {1, ..., s}, o(t), l’ordre de O_{t} sous l’action de σ, alors,

ϕ̃(u.σ) = ∏_{t=1}^{s−1}(1 − ∏_{l=0}^{o(t)−1} χ_{σ^{l}(O_{t})}(u_{σ^{l}(O_{t})})),

Ainsi, ϕ̃ est l’extension normalisée à U^{F} .⟨σ⟩ d’une fonction de classe ϕ σ-stable de U^{F}, triviale sur (U^{∗})^{F}.

Soit z′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), soit t′ ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) un représentant de z′, soient x.σ et x′.σ dans U_{z′}, alors, il existe u_{∗} et u′_{∗} dans (U^{∗})^{F} tels que x et x′ soient σ-conjugués sous G^{F} respectivement à ^{t′}u_{0}u_{∗} et ^{t′}u_{0}u′_{∗}. On a alors,

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}(x′.σ) = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}ϕ̃(x′.σ)
= Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}ϕ̃(^{t′}u_{0}u′_{∗}.σ)
= Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}ϕ̃(^{t′}u_{0}u_{∗}.σ)
(car ϕ se factorise à travers U/U^{∗})
= D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}(x.σ)

Ainsi, D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} est constant sur U_{z′}, pour tout z′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})).

On utilise la notation γ_{z′} pour γ_{U_{z′}}. On sait, d’après la proposition 3.4.1, que l’ensemble des éléments réguliers unipotents de G^{F} .σ est la réunion des U_{z}, de plus, ϕ̃ est nulle en dehors des éléments réguliers unipotents, donc, D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} est constant sur chaque U_{z′}, et est nul en dehors des U_{z′}, ainsi, on peut écrire :

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = ∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} c_{z,z′}γ_{z′}

pour une matrice de coefficients (c_{z,z′}).

D’après le (ii) de la proposition 3.3.4, on a :

⟨Γ_{z′′}^{G.σ}, (−1)^{|(Π/τ)/σ|}D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |Z(G^{σ})^{F} |δ_{z,z′′}.

Donc, on obtient les relations suivantes sur les coefficients c_{z,z′} :

∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} c_{z,z′}((−1)^{|(Π/τ)/σ|}/|Z(G^{σ})^{F} |)⟨Γ_{z′′}^{G.σ}, γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ} = δ_{z,z′′}.

Ce qui entraîne que (c_{z,z′}) est inversible et a pour inverse la matrice définie par :

((−1)^{|(Π/τ)/σ|}/|Z(G^{σ})^{F} |)⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ}.

Par définition,

Γ_{z′}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ̃ż′,

où χ̃ż′ est l’extension normalisé d’un caractère régulier σ-stable de U^{F} qui se factorise à travers U^{F} /(U^{∗})^{F}. Ainsi, comme ci-dessus, on peut montrer que Γ_{z′}^{G.σ} est constant sur les ensembles U_{z′′}. Cependant,

⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |G^{F} |^{−1} ∑_{g∈G^{F}} \overline{γ_{z}(g.σ)}Γ_{z′}^{G.σ}(g.σ)
= |G^{F} |^{−1} ∑_{g.σ∈U_{z}}(|G^{F} |/|U_{z}|)Γ_{z′}^{G.σ}(g.σ)
= |U_{z}|^{−1} ∑_{g.σ∈U_{z}} Γ_{z′}^{G.σ}(g.σ)

Ainsi, ⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} est la valeur moyenne de Γ_{z′}^{G.σ} sur U_{z}. Soit t ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) tel que L(t) soit un représentant de z, alors, ^{t}u_{0}.σ est un élément de U_{z}, ce qui entraîne immédiatement que

⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = Γ_{z′}^{G.σ}(^{t}u_{0}.σ)

Si t′′ ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) est un représentant de z′′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), alors, χ̃ż′′ = ^{t′′}χ̃_{1}. Soit t′ ∈ L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) un représentant de z′.

Γ_{z′}^{G.σ}(^{t}u_{0}.σ) = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ̃ż′(^{t}u_{0}.σ)
= Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ̃_{1}(^{t^{′−1}t}u_{0}.σ)
= Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ̃_{z^{−1}z′}(u_{0}.σ)
= |U^{F} |^{−1} ∑_{{g∈G^{F} |gu_{0}σ(g)^{−1}∈U^{F} }} χ̃_{z^{−1}z′}(gu_{0}σ(g)^{−1}.σ)

Cependant, comme u_{0}.σ est unipotent régulier,

(gu_{0}σ(g)^{−1} ∈ U^{F}) ⇒ g ∈ (T^{σ})^{F} U^{F} .

Ainsi,

Γ_{z′}^{G.σ}(^{t}u_{0}.σ) = |U^{F} |^{−1} ∑_{t∈(T^{σ})^{F} , u∈U^{F}} χ̃_{z^{−1}z′}(utu_{0}σ(ut)^{−1}.σ)
= ∑_{t∈(T^{σ})^{F}} ^{t}χ̃_{z^{−1}z′}(u_{0}.σ)
= |Z(G^{σ})^{F} | ∑_{χ∈Φ_{z^{−1}z′}} χ(u_{0}.σ)
= |Z(G^{σ})^{F} |σ_{z^{−1}z′}.

Ainsi, l’inverse de la matrice (c_{z,z′}) est défini par : (−1)^{|(Π/τ)/σ|}σ_{z^{−1}z′}. Ainsi, la relation

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = ∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} c_{z,z′}γ_{z′}

peut être inversée et on obtient :

γ_{z} = (−1)^{|(Π/τ)/σ|} ∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} σ_{z^{−1}z′}D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}.

Ce qui entraîne que :

⟨γ_{z}, χ̃⟩_{G^{F} .σ} = (−1)^{|(Π/τ)/σ|} ∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} σ_{z^{−1}z′}⟨D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}, χ̃⟩_{G^{F} .σ},

c’est-à-dire que :

|U_{z}|^{−1} ∑_{u.σ∈U_{z}} χ̃(u.σ) = (−1)^{|(Π/τ)/σ|} ∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} σ_{z^{−1}z′}⟨Γ_{z′}^{G.σ}, D_{G.σ}χ̃⟩_{G^{F} .σ}.

Fin de la preuve.

3.4.2 Comparaison avec le groupe réductif connexe G^{σ}

Nous avons vu dans la proposition 3.1.3 que les (T^{σ})^{F} -orbites de caractères réguliers normalisés de U^{F} .⟨σ⟩ étaient paramétrés par H^{1}(F, Z(G^{σ})). Nous avons fixé un caractère régulier normalisé que l’on a noté χ̃_{1}. Pour ce faire, on a d’abord fixé un entier N multiple de |O| pour toute τ-orbite O de racines de Π. On s’est ensuite donné un caractère ϕ_{0} de 𝔽_{q^{N}}^{+} tel que sa restriction à 𝔽_{q}^{+} soit non triviale.

Comme précédemment, on se fixe {O_{1}, ..., O_{s}}, un ensemble de représentants des σorbites de Π/τ et pour tout t ∈ {1, ..., s}, on a fixé α_{t} ∈ O_{t}, on a noté A_{t} la σ-orbite de α_{t}, o(t) le cardinal de la σ-orbite de O_{t} et a(t) le cardinal de la τ-orbite de A_{t}. Alors, on a vu que pour tout t ∈ {1, ..., s}, pour tout caractère linéaire σ-stable χ_{t} de ∏_{i=0}^{o(t)−1} U_{σ^{i}(O_{t})}^{F}, il existe un d_{t} ∈ 𝔽_{q^{a(t)}} tel que

χ_{t}( ∏_{i=0}^{o(t)−1} u_{σ^{i}(α_{t})}(λ_{σ^{i}(α_{t})})) = ϕ_{0} ∘ Tr_{t}(d_{t}(λ_{α_{t}} + 1/c_{α_{t}}λ_{σ(α_{t})}... + 1/(c_{α_{t}}...c_{σ^{o(t)−2}(α_{t})})λ_{σ^{o(t)−1}(α_{t})}))

où λ_{σ^{i}(α_{t})} ∈ 𝔽_{q^{|O_{t}|}} et où Tr_{t} est la trace de 𝔽_{q^{|O_{t}|}} dans 𝔽_{q^{a(t)}}. Tout caractère linéaire σ-stable χ de (U/U^{∗})^{F} est de la forme χ = ∏_{t=1}^{s} χ_{t}, où χ_{t} est comme ci-dessus. De plus, l’application

χ ↦ (d_{1}, ..., d_{s})

est un isomorphisme : (((U/U^{∗})^{F})^{∧})^{σ} → ∏_{t=1}^{s} 𝔽_{q^{a(t)}}^{+} et χ est régulier quand aucun des d_{t} n’est nul. On a défini χ_{1} comme l’image réciproque de (1, ..., 1), c’est-à-dire,

χ_{1}(∏_{t=1}^{s} ∏_{i=0}^{o(t)−1} u_{σ^{i}(α_{t})}(λ_{σ^{i}(α_{t})})) = ϕ_{0}(∑_{t=1}^{s}(λ_{α_{t}} + 1/c_{α_{t}}λ_{σ(α_{t})}... + 1/(c_{α_{t}}...c_{σ^{o(t)−2}(α_{t})})λ_{σ^{o(t)−1}(α_{t})}))

et on a défini χ̃_{1} par χ̃_{1}|_{U^{F}} = χ_{1}.

Si on applique les résultats de [D.M.] au groupe réductif connexe G^{σ}, on voit que les (T^{σ})^{F} -orbites de caractères réguliers de (U^{σ})^{F} sont aussi paramétrées par H^{1}(F, Z(G^{σ})). On définit parfaitement cette paramétrisation en fixant un caractère régulier que l’on va noter ϕ_{1}. On note toujours Π/σ l’ensemble des σ-orbites de Π, mais c’est aussi ainsi qu’on notera la base de l’ensemble Φ/σ des racines de (G^{σ}, T^{σ}) associée au sous-groupe de Borel B^{σ}, car comme σ est quasi-central, il existe une bijection entre les σ-orbites de Π et les racines de Π/σ. Le Frobénius agit donc sur les racines de Φ/σ et on note encore τ cette action. Si on reprend les notations ci-dessus, {A_{1}, ..., A_{s}} est un ensemble de représentants des τ-orbites de Π/σ. La σ-orbite A_{t} correspond à une racine α̃_{t} de Π/σ et a(t) est le cardinal de la τ-orbite de α̃_{t}.

Pour toute racine α̃ de Φ/σ, on note x̃α̃ l’isomorphisme de \overline{𝔽}_{q}^{+} dans (U^{σ})α̃ tel que

F (x̃α̃(λ)) = x̃_{τ(α̃)}(λ^{q}).

Alors, pour tout t ∈ {1, ..., s}, on a l’isomorphisme explicite ũ_{t} : 𝔽_{q^{a(t)}}^{+} → (U^{σ})_{t}^{F} (où (U^{σ})_{t} = ∏_{k=0}^{a(t)−1}(U^{σ})_{τ^{k}(α̃_{t})}) défini par

ũ_{t}(λ) = x̃α̃_{t}(λ)x̃_{τ(α̃_{t})}(λ^{q})...x̃_{τ^{a(t)−1}(α̃_{t})}(λ^{q^{a(t)−1}}) (λ ∈ 𝔽_{q^{a(t)}}^{+}).

Le caractère ϕ_{0} de 𝔽_{q^{N}}^{+} est le même que ci-dessus. Alors, tout caractère linéaire ϕ_{t} de (U^{σ})_{t}^{F} est donné par

ϕ_{t}(ũ_{t}(λ)) = ϕ_{0}(d_{t}λ) (λ ∈ 𝔽_{q^{a(t)}}^{+}).

pour un d_{t} ∈ 𝔽_{q^{a(t)}}. Tout caractère linéaire ϕ de (U^{σ}/(U^{σ})^{∗})^{F} est de la forme ϕ = ∏_{t=1}^{s} ϕ_{t}, où ϕ_{t} est comme ci-dessus. De plus, l’application

ϕ ↦ (d_{1}, ..., d_{s})

est un isomorphisme : ((U^{σ}/(U^{σ})^{∗})^{F})^{∧} → ∏_{t=1}^{s} 𝔽_{q^{a(t)}}^{+} et ϕ est régulier quand aucun des d_{t} n’est nul. On définit ϕ_{1} comme l’image réciproque de (1, ..., 1), c’est-à-dire,

ϕ_{1}(∏_{t=1}^{s} ũ_{t}(λ_{t})) = ϕ_{0}(∑_{t=1}^{s} λ_{t})

Ainsi, si on note Φ̃_{z} la (T^{σ})^{F} -orbite paramétrée par z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), alors, on a

Φ̃_{z} = {^{t}ϕ_{1}|t ∈ T^{σ} et L(t) ∈ z}

Les éléments réguliers de U^{σ} sont de la forme

u = ∏_{α̃∈Φ/σ} x̃α̃(λα̃),

avec λα̃ ≠ 0, pour tout α̃ ∈ Π/σ. On s’est fixé plus haut un élément unipotent régulier rationnel u_{0}.σ de U^{F} .σ. On note u_{0} = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(k_{α}). Pour tout t ∈ {1, ..., s}, on pose

k̃_{t} = k_{α_{t}} + 1/c_{α_{t}}k_{σ(α_{t})} + ... + 1/(c_{α_{t}}...c_{σ^{o(t)−2}(α_{t})})k_{σ^{o(t)−1}(α_{t})}.

Alors, on se fixe un élément ũ_{0} de (U^{σ})^{F} tel que la projection de ũ_{0} dans (U^{σ}/(U^{σ})^{∗})^{F} soit de la forme ∏_{t=1}^{s} ũ_{t}(k̃_{t}), alors, ũ_{0} est un élément unipotent régulier de U^{σ}.

Définition 3.4.5 Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), on définit le nombre complexe σ̃_{z} par

σ̃_{z} = ∑_{ϕ∈Φ̃_{z}} ϕ(ũ_{0}).

Proposition 3.4.6 On suppose qu’on est pas dans le cas décrit dans la proposition 1.1.7, où le diagramme de Dynkin de G contient k composantes de type A_{2n} permutées circulairement par σ, où σ^{k} agit par retournement de chacune de ces composantes. Alors, pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), on a σ̃_{z} = σ_{z}.

Preuve : L’hypothèse faite sur le diagramme de Dynkin de G entraîne que pour toute racine α ∈ Π, si on note α̃ la racine correspondant à la σ-orbite de α par la bijection de la proposition 1.1.7, alors, pour tout t ∈ T^{σ}, on a α(t) = α̃(t). Soit t ∈ T^{σ} tel que L(t) ∈ z, alors, Φ̃_{z} = {^{t′t}ϕ_{1}|t′ ∈ (T^{σ})^{F} }. La démonstration de cette proposition consiste en les calculs suivants :

σ̃_{z} = ∑_{ϕ∈Φ̃_{z}} ϕ(ũ_{0})
= 1/|Z(G^{σ})^{F} | ∑_{t′∈(T^{σ})^{F}} ^{t′t}ϕ_{1}(ũ_{0})
= 1/|Z(G^{σ})^{F} | ∑_{t′∈(T^{σ})^{F}} ϕ_{1}(^{(t′t)^{−1}}ũ_{0})
= 1/|Z(G^{σ})^{F} | ∑_{t′∈(T^{σ})^{F}} ϕ_{0}(∑_{i=1}^{s} α̃_{i}((t′t)^{−1})k̃_{i})
= 1/|Z(G^{σ})^{F} | ∑_{t′∈(T^{σ})^{F}} ϕ_{0}(∑_{i=1}^{s} α_{i}((t′t)^{−1})(k_{α_{i}} + 1/c_{α_{i}}k_{σ(α_{i})} + ... + 1/(c_{α_{i}}...c_{σ^{o(i)−2}(α_{i})})k_{σ^{o(i)−1}(α_{i})}))
= 1/|Z(G^{σ})^{F} | ∑_{t′∈(T^{σ})^{F}} χ_{1}(∏_{i=1}^{s} ∏_{j=0}^{o(i)−1} u_{σ^{j}(α_{i})}(α_{i}((t′t)^{−1})k_{σ^{j}(α_{i})}))
= 1/|Z(G^{σ})^{F} | ∑_{t′∈(T^{σ})^{F}} χ̃_{1}(^{(t′t)^{−1}}u_{0}.σ)
= σ_{z}

Fin de la preuve.

Théorème 3.4.7 Avec la même hypothèse que dans la proposition précédente, on a

⟨∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |H^{1}(F, Z(G^{σ}))||Z(G^{σ})^{F} |q^{l},

où l est le rang semi-simple de G^{σ}.

Preuve :

⟨∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨∑_{z} D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ}
= ⟨∑_{z,z′} c_{z,z′}γ_{z′}; ∑_{z,z′} c_{z,z′}γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ}
(en reprenant les notations du théorème 3.4.4)
= ∑_{z′}⟨∑_{z} c_{z,z′}γ_{z′}; ∑_{z} c_{z,z′}γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ}
(car ⟨γ_{z}; γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ} = 0 si z ≠ z′, les U_{z} étant disjoints)

On a vu dans la démonstration du théorème 3.4.4 que la matrice C = (c_{z,z′})_{z,z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} définie par D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = ∑_{z′} c_{z,z′}γ_{z′} pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})) avait pour inverse la matrice (−1)^{|(Π/τ)/σ|}(σ_{z^{−1}z′})_{z,z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))}.

Soit Ũ_{z} = {x ∈ (G^{σ})^{F} |x ∼_{(G^{σ})^{F}} ^{t}(ũ_{0}U^{∗})}, soit γ_{z}^{G^{σ}} la fonction de (G^{σ})^{F} -classe définie par

γ_{z}^{G^{σ}}(x) = \{ \begin{matrix}|(G^{σ})^{F} |/|Ũ_{z}| & si x ∈ Ũ_{z}, \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Soit C̃ = (c̃_{z,z′})_{z,z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} la matrice définie par D_{G^{σ}}Γ_{z}^{G^{σ}} = ∑_{z′} c̃_{z,z′}γ_{z′}^{G^{σ}} pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})). Alors, d’après Digne et Michel ([D.M.] théorème 14.35 (i) appliqué au groupe connexe G^{σ}), la matrice C̃ a pour inverse la matrice (−1)^{|(Π/σ)/τ|}(σ̃_{z^{−1}z′})_{z,z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))}. Or, d’après la proposition précédente, pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), on a σ̃_{z} = σ_{z} et |(Π/τ)/σ| = |(Π/σ)/τ|. Ainsi, on a montré que C̃ = C.

Et, toujours selon [D.M.] (théorème 14.35 (ii)), on a ∑_{z} c̃_{z,z′} = 1, d’où, ∑_{z} c_{z,z′} = 1. Ainsi,

⟨∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ∑_{z′}⟨γ_{z′}; γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ}
= ∑_{z′} |G^{F} |/|U_{z′}|

Or, si z et z′ sont deux éléments de H^{1}(F, Z(G^{σ})) et si t et t′ sont respectivement des représentants dans L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) de z et z′, alors, U_{z′} = ^{t′t^{−1}}U_{z}. Donc, tous les U_{z} ont le même cardinal. Par ailleurs, selon le (ii) de la proposition 3.4.1, l’ensemble des éléments réguliers unipotents de G^{F} .σ est la réunion des U_{z}, donc, le cardinal de n’importe quel U_{z} est égal au nombre d’éléments réguliers unipotents de G^{F} .σ divisé par le cardinal de H^{1}(F, Z(G^{σ})). Ainsi, par le théorème 2.3.7,

|U_{z}| = |G^{F} |/(|(Z(G^{σ})^{0})^{F} | × q^{l} × |H^{1}(F, Z(G^{σ}))|)

où l est le rang-semi-simple de G^{σ}, donc,

⟨∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ}

= ∑_{z′} |G^{F} |/|U_{z′}|
= |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| × (|G^{F} |/|U_{z′}|)
= |H^{1}(F, Z(G^{σ}))|^{2} × |(Z(G^{σ})^{0})^{F} | × q^{l}
= |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| × (|Z(G^{σ})^{F} |/|(Z(G^{σ})^{0})^{F} |) × |(Z(G^{σ})^{0})^{F} | × q^{l}
= |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| × |Z(G^{σ})^{F} | × q^{l}

Fin de la preuve.

75 76

Cas où σ est quasi-central semi-simple

Comme dans le chapitre précédent, G̃ est un groupe algébrique sur \overline{𝔽}_{q}, de la forme G.⟨σ⟩, mais cette fois, σ est un automorphisme semi-simple quasi-central rationnel de G. On fixe toujours un couple T ⊂ B formé d’un tore σ-stable rationnel contenu dans un sous-groupe de Borel σ-stable rationnel de G. Et U est toujours le radical unipotent de B.

On définit les caractères réguliers de U^{F} .⟨σ⟩ de la même façon que dans le cas où σ est unipotent comme des extensions de caractères réguliers σ-stables de U^{F} (définition 4.2.1). Cependant, on montre que quand une certaine condition (RS) n’est pas vérifiée par σ, c’est-à-dire, s’il existe une racine simple α telle que le coefficient C_{σ,α} défini dans le théorème 1.1.7 ne soit pas égal à 1, alors, il n’existe pas de caractères réguliers σ-stables de U^{F} (proposition 4.2.2). Mais, on montrera, dans le 4.3.2, que si σ est semi-simple quasi-central rationnel, on peut toujours choisir dans une tranche G.σ, un élément σ′ semi-simple quasi-central rationnel et vérifiant (RS).

On suppose donc désormais que σ est semi-simple quasi-central rationnel et vérifie (RS). La définition de l’équivalent des représentations de Gelfand-Graev sur G̃^{F}, dans ce cas (définition 4.3.8) est plus compliquée que dans le cas unipotent. En effet, on voudrait, comme dans le chapitre 3, pouvoir étendre toute représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F} à G̃^{F}. Or, la proposition 3.2.1, selon laquelle toute représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F} est l’induit d’un caractère régulier σ-stable de U^{F}, n’est plus vraie sans l’hypothèse σ unipotent. Donc on ne peut plus se contenter de définir une représentation de Gelfand-Graev de G̃^{F} comme l’induit d’un caractère régulier de U^{F} .⟨σ⟩.

Nous montrons ensuite que les représentations de Gelfand-Graev de G̃^{F} définies comme dans la définition 4.3.8 vérifient des propriétés analogues à celles vérifiées par les représentations de Gelfand-Graev dans le cas connexe. Tout d’abord, la proposition 3.2.5 s’applique toujours : elles ont des composantes irréductibles de multiplicité 1, ensuite, leur restriction de Harish-Chandra est encore une représentation de Gelfand-Graev (proposition 4.4.3), leur dual est nul en dehors des pseudo-unipotents réguliers (proposition 4.4.6), où les éléments peudo-unipotents de G.σ sont les conjugués sous G d’éléments de U.σ (définition 4.1.12). Dans la section 4.5, on établit une formule qui utilise les représentations de Gelfand-Graev et qui donne la valeur moyenne d’un caractère χ̃ ∈ G̃^{F} de restriction irréductible sur G^{F}, sur un ensemble U_{z} réunion de classes de conjugaison pseudo-unipotentes de G^{F} .σ (théorème 4.5.5). Le résultat est plus intéressant dans ce cas que dans le cas unipotent, en effet lorsque σ est semi-simple, on est en général en bonne caractéristique pour le groupe réductif connexe (G^{σ})^{0}, et le théorème 4.5.5 donne alors la valeur de χ̃ sur les éléments pseudo-réguliers de G^{F} .σ.

4.1 Eléments pseudo-unipotents réguliers

Il s’agit dans cette section tout d’abord de démontrer quelques résultats sur les éléments de U.σ lorque σ est semi-simple quasi-central. On note U^{∗} le groupe dérivé de U, Φ l’ensemble des racines associées à (G, T) et Π la base de racines associée à B. On va ensuite s’intéresser dans le cas où σ vérifie la condition C_{σ,α} = 1 pour toute racine simple (où, C_{σ,α} est le coefficient défini dans le théorème 1.1.7), aux éléments pseudo-unipotents (définition 4.1.12) et plus particulièrement aux pseudo-unipotents réguliers qui joueront dans la suite du chapitre un rôle analogue à celui joué par les unipotents réguliers dans le cas où σ est unipotent.

4.1.1 Résultats sur les éléments de U.σ

Proposition 4.1.1 Tout x ∈ U s’écrit x = uv^{−1}σ(v) avec u ∈ U^{σ} et v ∈ U.

Preuve : On note U_{α} le sous-groupe radiciel associé à la racine α et U_{i} = ∏_{h(α)>i−1} U_{α} où h est la hauteur, c’est un sous-groupe normal de U. Ainsi, U_{1} = U et U_{2} = U^{∗}. Pour N assez grand, U_{N} = {e} et U_{i}/U_{i+1} est isomorphe à ∏_{h(α)=i} U_{α}.

Lemme 4.1.2 Soit un entier i tel que U_{i} ≠ {e}, alors, (U_{i}/U_{i+1})^{σ} est isomorphe à U_{i}^{σ}/U_{i+1}^{σ}.

Preuve du lemme : Comme la suite 1 → U_{i+1} → U_{i} → U_{i}/U_{i+1} → 1 est exacte, on a la suite exacte suivante :

1 → U_{i+1}^{σ} → U_{i}^{σ} → (U_{i}/U_{i+1})^{σ} → H^{1}(σ, U_{i+1}) → H^{1}(σ, U_{i}) → H^{1}(σ, U_{i}/U_{i+1}),

donc, il suffit de montrer l’injectivité de la flèche H^{1}(σ, U_{i+1}) → H^{1}(σ, U_{i}), c’est-à-dire, que pour tout b ∈ U_{i} tel que b^{−1}σ(b) ∈ U_{i+1}, il existe b′ ∈ U_{i+1} tel que b^{−1}σ(b) = b^{′−1}σ(b′).

Soit {α_{1}, ..., α_{r}} un ensemble de représentants des σ-orbites des racines de hauteur i. Pour tout i ∈ {1, ..., r}, on note o(i) l’ordre de la σ-orbite de α_{i}. On note p l’application U_{i} → U_{i}/U_{i+1}.

Considérons d’abord le cas où, pour tout i ∈ {1, ..., r}, et pour toutes les racines β, γ de l’orbite de α_{i} et pour tous l, l′ ∈ K^{+}, x_{β}(l) et x_{γ}(l′) commutent (c’est-à-dire que le diagramme de Dynkin de G ne contient pas de composantes de type A_{2n} permutées circulairement).

Soit s l’application de p(U_{i}) dans U_{i} définie pour tout

u = ∏_{t=0}^{o(1)−1} x_{σ^{t}(α_{1})}(l_{σ^{t}(α_{1})})... ∏_{t=0}^{o(r)−1} x_{σ^{t}(α_{r})}(l_{σ^{t}(α_{r})}) ∏_{h(β)>i} x_{β}(l_{β}) ∈ U_{i},

par

s ∘ p(u) = ∏_{t=0}^{o(1)−1} x_{σ^{t}(α_{1})}(l_{σ^{t}(α_{1})})... ∏_{t=0}^{o(r)−1} x_{σ^{t}(α_{r})}(l_{σ^{t}(α_{r})}).

Ainsi, pour tout u ∈ U_{i} il existe u′ ∈ U_{i+1} tel que u = s ∘ p(u)u′. Soit

b = ∏_{t=0}^{o(1)−1} x_{σ^{t}(α_{1})}(l_{σ^{t}(α_{1})})... ∏_{t=0}^{o(r)−1} x_{σ^{t}(α_{r})}(l_{σ^{t}(α_{r})})b_{2},

avec b_{2} ∈ U_{i+1}, tel que b^{−1}σ(b) ∈ U_{i+1}, cela signifie que p(b^{−1}σ(b)) = 1, c’est-à-dire que σ(p(b)) = p(b) et que pour toute racine α de hauteur i, on a l_{σ(α)} = c_{α}l_{α}. Ainsi,

s ∘ p(b)^{−1}σ(s ∘ p(b)) = ∏_{t=0}^{o(r)−1} x_{σ^{t}(α_{r})}(−l_{σ^{t}(α_{r})})... ∏_{t=0}^{o(1)−1} x_{σ^{t}(α_{1})}(−l_{σ^{t}(α_{1})})

∏_{t=0}^{o(1)−1} σ(x_{σ^{t}(α_{1})}(l_{σ^{t}(α_{1})}))... ∏_{t=0}^{o(r)−1} σ(x_{σ^{t}(α_{r})}(l_{σ^{t}(α_{r})}))

= ∏_{t=0}^{o(r)−1} x_{σ^{t}(α_{r})}(−l_{σ^{t}(α_{r})})... ∏_{t=0}^{o(1)−1} x_{σ^{t}(α_{1})}(−l_{σ^{t}(α_{1})})

∏_{t=0}^{o(1)−1} x_{σ^{t}(α_{1})}(c_{σ^{t−1}(α_{1})}l_{σ^{t−1}(α_{1})})... ∏_{t=0}^{o(r)−1} x_{σ^{t}(α_{r})}(c_{σ^{t−1}(α_{r})}l_{σ^{t−1}(α_{r})})

= 1

Ainsi, b^{−1}σ(b) = b_{2}^{−1}σ(b_{2}), ce qui conclut l’étude du premier cas.

Pour terminer la démonstration du lemme on peut se ramener au cas où l’ensemble des racines de hauteur i correspond à un diagramme de Dynkin du type A_{2} retourné par σ. Soient α et σ(α) les racines de hauteur i. Soit

b = x_{α}(l_{α})x_{σ(α)}(l_{σ(α)})x_{α+σ(α)}(l_{α+σ(α)}) ∈ U_{i},

alors,

σ(b) = x_{α}(c_{σ(α)}l_{σ(α)})x_{σ(α)}(c_{α}l_{α})x_{α+σ(α)}(c_{α+σ(α)}l_{α+σ(α)} − C_{σ,α}l_{α}l_{σ(α)}).

Supposons tout d’abord que C_{σ,α} = 1. Si l’image de b^{−1}σ(b) dans U_{i}/U_{i+1} est triviale alors, l_{σ(α)} = c_{α}l_{α}. Ainsi,

b^{−1}σ(b) = x_{α+σ(α)}(−2l_{α+σ(α)} − l_{α}l_{σ(α)})
= x_{α+σ(α)}(l_{α+σ(α)} + 1/2 × l_{α}l_{σ(α)})^{−1}σ(x_{α+σ(α)}(l_{α+σ(α)} + 1/2 × l_{α}l_{σ(α)}))

D’où le résultat lorsque C_{σ,α} = 1.

Supposons maintenant que C_{σ,α} = −1. Si l’image de b^{−1}σ(b) dans U_{i}/U_{i+1} est triviale alors, l_{σ(α)} = l_{α} = 0. Ainsi, b ∈ U_{i+1} et le résultat est immmédiat.

Fin de la preuve du lemme 4.1.2.

Lemme 4.1.3 Soit un entier i tel que U_{i} ≠ {e}, soit y un élément quelconque de U, si on note σ′ = ^{y}σ, alors, (U_{i}/U_{i+1})^{σ′} est isomorphe à U_{i}^{σ′}/U_{i+1}^{σ′}.

Preuve du lemme : L’automorphisme de U, i(y) : v ∈ U ↦ yvy^{−1} induit des automorphismes de U_{i} et de U_{i+1} et un isomorphisme de U_{i}^{σ} dans U_{i}^{σ′} (car v ∈ U_{i}^{σ} si et seulement si σ′(^{y}v) = ^{y}v). Ainsi, on a des isomorphismes de U_{i}^{σ}/U_{i+1}^{σ} dans U_{i}^{σ′}/U_{i+1}^{σ′} et de (U_{i}/U_{i+1})^{σ} dans (U_{i}/U_{i+1})^{σ′}, et le lemme 4.1.3 est une conséquence immédiate du lemme 4.1.2.

Fin de la preuve du lemme 4.1.3.

Lemme 4.1.4 Avec les hypothèses du lemme précédent, tout élément x ∈ U_{i} s’écrit x = uwv^{−1}σ′(v) avec u ∈ (U_{i})^{σ′}, w ∈ U_{i+1} et v ∈ U_{i}.

Preuve du lemme : L’automorphisme σ′ laisse stable U_{i} et U_{i+1} et induit un automorphisme semi-simple de U_{i}/U_{i+1}.

Soit p_{i} l’application canonique de U_{i} sur U_{i}/U_{i+1}, et soient u, u′ ∈ U_{i}^{σ′}, v, v′ ∈ U_{i} et u^{∗}, v^{∗} ∈ U_{i+1} tels que u′ = uu^{∗} et v′ = vv^{∗}. Alors, u′v^{′−1}σ′(v′) = u(v^{−1}σ′(v))w avec w ∈ U_{i+1}. Donc, p_{i}(u′v^{′−1}σ′(v′)) = p_{i}(uv^{−1}σ′(v)).

On va appliquer à U_{i}/U_{i+1} la proposition suivante :

Proposition 4.1.5 ([Gro] proposition 5)

Soient G un groupe algébrique affine, N un sous-groupe invariant fermé commutatif. Pour tout g ∈ G, soit σ_{g} l’automorphisme n ↦ gng^{−1} de N qu’il définit, et soient N′_{g} resp. N′′_{g} le noyau et l’image de l’endomorphisme n ↦ γ_{g}(n) = σ_{g}(n)n^{−1} de N. Si g est semi-simple et si N = N_{u} on a N′_{g} ∩ N′′_{g} = {e} et γ_{g} est un homomorphisme bijectif de N′′_{g} sur lui-même. Si de plus, N est connexe, alors, on a N = N′_{g}N′′_{g} et N′_{g}, N′′_{g} sont connexes.

Soit x ∈ U_{i}, d’après la proposition précédente, on peut trouver ũ ∈ (U_{i}/U_{i+1})^{σ′} et ṽ ∈ U_{i}/U_{i+1} tels que p_{i}(x) = ũṽ^{−1}σ′(ṽ).

Ainsi, comme avec le lemme précédent on a vu que p_{i}|_{U_{i}^{σ′}} : U_{i}^{σ′} → (U_{i}/U_{i+1})^{σ′} était surjective, il existe u ∈ U_{i}^{σ′} tel que p_{i}(u) = ũ et v ∈ U_{i} tel que p_{i}(v) = ṽ, et on peut écrire x = uwv^{−1}σ′(v) avec w ∈ U_{i+1}.

Fin de la preuve du lemme 4.1.4.

Soit x_{1} ∈ U, comme σ est un automorphisme semi-simple quasi-central de U qui stabilise U_{2} et d’après le lemme, il existe u_{1} ∈ U^{σ}, x_{2} ∈ U_{2} et v_{1} ∈ U tels que x_{1} = u_{1}x_{2}v_{1}^{−1}σ(v_{1}).

Soit i > 1 tel que U_{i} ≠ {e}, et tel qu’il existe u_{i−1} ∈ U^{σ} et v_{i−1} ∈ U et x_{i} ∈ U_{i} tels que x_{1} = u_{i−1}x_{i}v_{i−1}^{−1}σ(v_{i−1}). On applique le lemme 4.1.3 à σ_{i} = v_{i−1}^{−1}σv_{i−1} et à x_{i}, il existe u ∈ U_{i}^{σ_{i}}, v ∈ U_{i} et w ∈ U_{i+1} tels que x_{i} = uwv^{−1}σ_{i}(v). Par ailleurs, comme u est dans U_{i},

σ(u) = v_{i−1}σ_{i}(v_{i−1}^{−1}uv_{i−1})v_{i−1}^{−1}
= v_{i−1}σ_{i}(u[u^{−1}, v_{i−1}^{−1}])v_{i−1}^{−1}
= σ_{i}(u)[σ_{i}(u)^{−1}, v_{i−1}]^{v_{i−1}}σ_{i}([u^{−1}, v_{i−1}^{−1}]).

C’est-à-dire que σ(u) ≡ σ_{i}(u)mod(U_{i+1}).

Par ailleurs, u est σ_{i}-stable donc, σ(u) ≡ umod(U_{i+1}). Ainsi, il existe u′ ∈ U_{i}^{σ} et w′ ∈ U_{i+1} tels que x_{i} = u′w′v^{−1}σ_{i}(v) et on obtient :

x_{1} = u_{i−1}u′w′v^{−1}σ_{i}(v)v_{i−1}^{−1}σ(v_{i−1})
= u_{i−1}u′w′v^{−1}v_{i−1}^{−1}σv_{i−1}vv_{i−1}^{−1}σ^{−1}v_{i−1}v_{i−1}^{−1}σ(v_{i−1})
= u_{i−1}u′w′(v_{i−1}v)^{−1}σ(v_{i−1}v).

Si on pose u_{i} = u_{i−1}u′, x_{i+1} = w′ et v_{i} = v_{i−1}v, alors, on obtient une écriture de x_{1} sous la forme x_{1} = u_{i}x_{i+1}v_{i}^{−1}σ(v_{i}) avec u_{i} ∈ U^{σ}, v_{i} ∈ U et x_{i+1} ∈ U_{i+1} ce qui démontre par récurrence l’existence d’une telle écriture pour tout i > 0 tel que U_{i} ≠ {e}.

Soit N > 0 tel que U_{N} ≠ {e} et U_{N+1} = {e} alors, x_{1} = u_{N}v_{N}^{−1}σ(v_{N}) avec u_{N} ∈ U^{σ}.

Fin de la preuve de la proposition 4.1.1.

Corollaire 4.1.6 Tout élément de U.σ est conjugué sous U à un élément de U^{σ}.σ.

Preuve du corollaire :

Lemme 4.1.7 Tout élément semi-simple v.σ de U.σ est conjugué sous U à σ.

Preuve du lemme : On note k l’ordre de σ et p la caractéristique, comme σ est semisimple, k et p sont premiers entre eux.

Montrons tout d’abord que v.σ ∈ U.σ est semi-simple si et seulement si v.σ est du même ordre que σ. L’implication de droite à gauche est claire, montrons celle de gauche à droite. Si v.σ ∈ U.σ est semi-simple, alors, (v.σ)^{k} = v...σ^{k−1}(v).σ^{k} l’est aussi et comme c’est un élément de U, il est égal à 1, d’où l’équivalence.

Soit v.σ ∈ U.σ d’ordre k, montrons que v.σ est conjugué à σ. D’après la proposition précédente, il existe u ∈ U^{σ} et w ∈ U tels que v = uw^{−1}σ(w). Ainsi, v.σ ∈ U.σ d’ordre k entraîne que

uw^{−1}σ(w)uσ(w)^{−1}σ^{2}(w)...uσ^{k−1}(w)^{−1}w = 1.

Or, une récurrence rapide montre que :

uw^{−1}σ(w)uσ(w)^{−1}σ^{2}(w)...uσ^{k−1}(w)^{−1}w = u^{k}mod(U_{i+1}).

Supposons que u ≠ 1, alors il existe i > 0 tel que U_{i} ≠ {1} et tel que u ∈ U_{i} − U_{i+1}. On peut écrire u = ∏_{{α|h(α)=i}} x_{α}(λ_{α})u′ avec u′ ∈ U_{i+1}. Alors il existe u′′ ∈ U_{i+1} tel que u^{k} = ∏_{{α|h(α)=i}} x_{α}(kλ_{α})u′′. Par ailleurs, pour tout t ∈ {1, ..., k −1}, on a [u^{−1}, w_{t}] ∈ U_{i+1}. Ainsi, u^{k} ≡ 1mod(U_{i+1}), ce qui entraîne que pour toute racine α de hauteur i, on a kλ_{α} = 0, c’est-à-dire que λ_{α} = 0 car k et p sont premiers entre eux. Ce qui contredit le fait que u ∈ U_{i} − U_{i+1}, donc u = 1.

Fin de la preuve du lemme.

Soit x.σ ∈ U.σ, on note x.σ = us la décomposition de Jordan de x.σ. Alors, u ∈ U car σ est semi-simple et s est de la forme v.σ avec v ∈ U. On applique à s = v.σ le lemme précédent, alors, il existe w ∈ U tel que x.σ = w(^{w^{−1}}u)σw^{−1} et ^{w^{−1}}u ∈ U^{σ} car u commute à s donc ^{w}u commute à ^{w^{−1}}s = σ.

Fin de la preuve du corollaire.

Remarque 4.1.8 On aurait pu démontrer le lemme 4.1.7 directement sans utiliser la Proposition 4.1.1.

En effet, selon Steinberg ([Ste], proposition 7.6), tout automorphisme semi-simple d’un groupe résoluble stabilise un tore maximal de ce groupe. Or, tout élément semi-simple v.σ avec v ∈ U induit un automorphisme semi-simple de B et donc stabilise un tore maximal xT de B, conjugué de T par un élément x de U. Ainsi, x^{−1}(v.σ)x est un élément de NG̃(T) ∩ U.σ = {σ} ce qui montre directement que v.σ est conjugué à σ sous U.

Corollaire 4.1.9 Un élément u.σ ∈ U.σ est régulier si et seulement si il est conjugué sous U à un élément v.σ ∈ U^{σ}.σ tel que v soit régulier dans G^{σ}.

Preuve : le résultat est clair car par unicité de la décomposition de Jordan de v.σ, C_{G}(v.σ) = C_{G^{σ}}(v).

Fin de la preuve du corollaire.

Proposition 4.1.10 L’ensemble des classes de σ-conjugaison de U est en bijection avec l’ensemble des classes de conjugaison de U^{σ}.

Preuve : Soit ϕ : H^{1}(1, U^{σ}) → H^{1}(σ, U), l’application qui associe à la classe de conjugaison sous U^{σ} d’un élément u ∈ U^{σ}, sa σ-classe dans U. On a déjà vu que ϕ était surjective car tout élément de U.σ est conjugué sous U à un élément de U^{σ}.σ.

Il reste à prouver son injectivité. On note k l’ordre de σ et N la norme, c’est-à-dire l’application de G dans G qui à tout g ∈ G associe N(g) = gσ(g)...σ^{k−1}(g). Alors, pour tout u ∈ U^{σ} et tout b ∈ U,

N(b^{−1}uσ(b)) = b^{−1}uσ(b)σ(b)^{−1}uσ^{2}(b)...σ^{k−1}(b)^{−1}uσ^{k}(b)
= b^{−1}u^{k}b

Soient u ∈ U^{σ} et b ∈ U tels que b^{−1}u^{k}b soit encore σ-stable, alors,

N(b^{−1}uσ(b)) = (b^{−1}uσ(b))^{k} = bu^{k}(σ(b)^{−1}b)^{k−1}σ(b)^{−1}.

Ce qui entraîne que (σ(b)^{−1}b)^{k} = 1, c’est-à-dire que σ(b) = b car σ est semi-simple et σ(b)^{−1}b ∈ U. Ainsi, pour tout u ∈ U^{σ}, et b ∈ U, alors, b^{−1}uσ(b) ⇒ b ∈ U^{σ}. Donc, si u et u′ sont deux éléments de U^{σ} qui soient σ-conjugués sous U, alors, ils sont conjugués sous U^{σ}, d’où, l’injectivité de ϕ.

Fin de la preuve.

Proposition 4.1.11 Soit u ∈ U, si u.σ est régulier alors u.σ normalise un unique sousgroupe de Borel de G.

Preuve : Supposons u.σ régulier. En utilisant le corollaire 4.1.9, on peut se ramener au cas où u est σ-stable, régulier dans (G^{σ})^{0}. Alors, si u.σ est contenu dans un quasiborel, ses parties semi-simples et unipotentes le sont aussi, donc tout sous-groupe de Borel normalisé par u.σ, l’est aussi par u et par σ.

Supposons que u normalise un sous-groupe de Borel σ-stable de G autre que B, alors, comme deux sous-groupes σ-stables ont un tore σ-stable en commun, on peut se ramener au cas où il existe n ∈ (N_{G}(T))^{σ} tel que u ∈ U ∩ ^{n}U. On note u = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(k_{α}). Soit w ∈ W^{σ} tel que n soit un représentant de w. Alors, pour toute racine α ∈ Π telle que w(α) ∈ Φ^{−}, on a k_{α} = 0. Si w ≠ 1, alors, comme w est σ-stable, il existe une σ-orbite A de Π telle que pour toute racine α ∈ A, on ait k_{α} = 0. Or, cela contredit le fait que u soit régulier dans (G^{σ})^{0}, d’où le résultat.

Fin de la preuve.

4.1.2 Eléments pseudo-unipotents réguliers

Lorsque pour toute racine simple α, on a l’égalité C_{σ,α} = 1, on dira que σ vérifie la condition (RS).

On suppose dans le 4.1.2, que σ est quasi-central semi-simple et qu’il vérifie la condition (RS).

Définition 4.1.12 On appelle élément pseudo-unipotent de G.σ tout conjugué sous G d’un élément de U.σ.

Proposition 4.1.13 Si g.σ est pseudo-unipotent régulier alors g.σ normalise un unique sous-groupe de Borel de G.

Preuve : C’est une conséquence immédiate de la proposition 4.1.11 et de la définition des pseudo-unipotents.

Fin de la preuve.

Proposition 4.1.14 Il existe une unique G-classe de conjugaison pseudo-unipotente régulière dans G^{1}.

Preuve : on fixe un élément régulier u_{0}.σ de U^{σ}.σ et on va montrer que tout élément pseudo-unipotent régulier de G.σ est conjugué à u_{0}.σ sous G. Soit g.σ un tel élément, alors, par définition des pseudo-unipotents et par le corollaire 4.1.6, il existe x ∈ G tel que x(g.σ) ∈ U^{σ}.σ. Donc xgσ(x)^{−1} est un élément de U^{σ} régulier dans (G^{σ})^{0}. Or, selon Digne et Michel ([D.M.] proposition 14.16), tous les éléments unipotents réguliers de (G^{σ})^{0} sont conjugués sous (G^{σ})^{0}, donc il existe y ∈ (G^{σ})^{0} tel que xgσ(x)^{−1} = ^{y}u_{0}, c’est-à-dire, tel que g.σ = ^{x^{−1}y}(u_{0}.σ).

Fin de la preuve.

4.2 Définition des caractères réguliers

Pour tout automorphisme quasi-central σ′ de G, on définit de la même façon que dans le chapitre précédent les caractères réguliers de U^{F} .⟨σ′⟩ :

Définition 4.2.1 Un caractère multiplicatif χ̃ ∈ Irr(U^{F} .⟨σ′⟩) est appelé caractère régulier si pour tout u ∈ U^{F} :

χ̃(u.σ′) = χ(u)χ̃(σ′),

où χ est un caractère σ′-stable de Irr(U^{F}) qui vérifie les deux conditions suivantes : (i) La restriction de χ à (U^{∗})^{F} est triviale. (ii) Pour toute τ-orbite O de Π, χ|_{U_{O}^{F}} n’est pas triviale.

Un caractère régulier χ̃ de U^{F} .⟨σ′⟩ est une extension d’un caractère σ′-stable régulier (au sens de [D.M.]) de U^{F}. Si χ̃(σ′) = 1, alors, χ̃ est appelé caractère régulier normalisé. Il y a donc une bijection entre les caractères réguliers normalisés de U^{F} .⟨σ′⟩ et les caractères σ′-stables réguliers de U^{F}.

Proposition 4.2.2 Lorsqu’il existe une racine simple α telle que C_{σ,α} = −1, où C_{σ,α} est défini comme dans le théorème 1.1.7, alors, il n’existe pas de caractères réguliers σ-stables.

Preuve : On suppose qu’il existe une racine simple α telle que C_{σ,α} = −1, alors, selon le théorème 1.1.7, le diagramme de Dynkin de G possède k composantes de type A_{2n} permutées circulairement par σ et retournées par σ^{k} et α est la n-ième racine de l’une de ces composantes. Le Frobénius agit de manière similaire en permutant l diagrammes de type A_{2n}.

On note A = {α, ...σ^{2k−1}(α)} la σ-orbite de α et O = {α, ...τ^{2l−1}(α)} sa τ-orbite. Comme dans la démonstration de la proposition 3.1.3, on note a l’ordre de la τ-orbite de A (i.e. le plus petit entier t > 0 tel que τ^{t}(α) ∈ A) et o le cardinal de la σ-orbite de O (i.e. le plus petit entier t > 0 tel que σ^{t}(α) ∈ O). Le lemme 3.1.7 est toujours vrai s’il existe une racine β telle que C_{σ,β} = −1, donc il existe r tel que 2k = r × o et 2l = r × a. On définit i comme l’entier de {0, ..., |O| − 1} tel que τ^{i}(α) = σ^{o}(α).

Enfin, comme dans le chapitre 3, pour toute racine β ∈ Π, si O′ est la τ-orbite de β, on définit l’isomorphisme u_{β} de 𝔽_{q^{|O′|}} dans U_{O′}^{F} par

λ ↦ u_{β}(λ) = x_{β}(λ)...x_{τ^{|O′|−1}(β)}(λ^{q^{|O′|−1}}).

Soit χ un caractère irréductible de (U/U^{∗})^{F}. Pour tout β ∈ Π, si O′ est la τ-orbite de β, on note χ_{β} le morphisme de 𝔽_{q^{|O′|}}^{+} dans ℂ^{×} défini par λ ↦ χ ∘ u_{β}(λ). Alors, le caractère χ ∈ Irr((U/U^{∗})^{F}) est défini par (χ_{β})_{β∈Π} avec pour toute racine β ∈ Π la relation suivante,

χ_{τ(β)}(λ^{q}) = χ_{β}(λ)  (4.1)

pour tout λ ∈ 𝔽_{q^{|O′|}}, où O′ est la τ-orbite de β. Et, χ ∈ Irr((U/U^{∗})^{F}) est régulier si aucun χ_{β} n’est trivial.

Supposons que χ soit σ-stable. Cela entraîne que pour tout t on ait,

χ(u_{α}(λ)) = χ(σ^{t}(u_{α}(λ))).

Et en particulier,

χ(u_{α}(λ)) = χ(u_{σ^{o}(α)}(c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}λ))  (4.2)

Or,

σ^{o}(u_{α}(λ)) = x_{σ^{o}(α)}(c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}λ)...x_{τ^{|O|−1}(σ^{o}(α))}((c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}λ)^{q^{|O|−1}})
(selon le lemme 3.1.5, c_{τ^{t}(α)} = c_{α}^{q^{t}})
= x_{τ^{i}(α)}(c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}λ)...x_{τ^{|O|+i−1}(α)}((c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}λ)^{q^{|O|−1}})
= u_{τ^{i}(α)}(c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}λ)

(si on se place dans le groupe Ũ = U/U^{∗}). Donc, les égalités (4.1) et (4.2) entraînent que

χ_{α}(λ) = χ_{α}((c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)}λ)^{q^{|O|−i}})

Donc, soit (c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)})^{q^{|O|−i}} = 1, soit χ_{α} est trivial.

Or, comme dans le lemme 3.1.8, on peut montrer que

(c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)})^{1+q^{i}+...+q^{(r−1)i}} = C_{σ,α} = −1  (4.3)

Donc, si on avait (c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)})^{q^{(r−1)i}} = 1, l’égalité (4.3) entraînerait que

(c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)})^{1+q^{i}+...+q^{(r−2)i}} = −1
⇒ (c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)})^{q^{i}+...+q^{(r−1)i}} = (−1)^{q^{i}} = −1

D’où, c_{α}...c_{σ^{o−1}(α)} = 1, ce qui est impossible par (4.3). Donc χ_{α} est trivial et χ n’est pas régulier.

Fin de la preuve.

On considère maintenant un automorphisme σ semi-simple quasi-central et tel que la condition (RS) soit vérifiée par σ : pour toute racine simple α, on a C_{σ,α} = 1, où C_{σ,α} est défini comme dans le théorème 1.1.7.

La proposition 3.1.3 qui dit que les caractères réguliers σ-stables de U^{F} existent et sont paramétrés par L_{(T^{σ})^{0}}^{−1}(Z((G^{σ})^{0}))/Z((G^{σ})^{0}) est toujours vraie lorsque la condition (RS) est vérifiée. Donc, dans ce cas là, les ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites de caractères réguliers σ-stables de U^{F} sont paramétrées par H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})) (on a H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})) ≃ L_{(T^{σ})^{0}}^{−1}(Z((G^{σ})^{0}))/(Z((G^{σ})^{0})((T^{σ})^{0})^{F}), car (T^{σ})^{0} est connexe, [D.L.M.] lemme 1.3).

Nous allons commencer par décrire plus précisément les caractères réguliers normalisés de U^{F} .⟨σ⟩. Nous allons fixer un caractère régulier σ-stable que l’on notera χ_{1}. Tout d’abord, on fixe un entier N multiple de |O| pour toute τ-orbite O de racines de Π. On fixe un caractère ϕ_{0} de 𝔽_{q^{N}}^{+} tel que la restriction de ϕ_{0} à 𝔽_{q}^{+} soit non triviale.

Comme dans la proposition 3.1.3, on se donne un ensemble {O_{1}, ..., O_{s}} de représentants des σ-orbites de Π/τ et pour tout r ∈ {1, ..., s}, on fixe α_{r} ∈ O_{r}, on note A_{r} la σ-orbite de α_{r}, o(r) le cardinal de la σ-orbite de O_{r} et a(r) le cardinal de la τ-orbite de A_{r}. Alors, d’après la démonstration de la proposition 3.1.3, pour tout r ∈ {1, ..., s}, pour tout caractère linéaire σ-stable χ_{r} de ∏_{i=0}^{o(r)−1} U_{σ^{i}(O_{r})}^{F} il existe un d_{r} ∈ 𝔽_{q^{a(r)}} tel que

χ_{r}( ∏_{i=0}^{o(r)−1} u_{σ^{i}(α_{r})}(λ_{σ^{i}(α_{r})}))

= ϕ_{0} ∘ Tr_{r}(d_{r}(λ_{α_{r}} + 1/c_{α_{r}}λ_{σ(α_{r})}... + 1/(c_{α_{r}}...c_{σ^{o(r)−2}(α_{r})})λ_{σ^{o(r)−1}(α_{r})}))

où λ_{σ^{i}(α_{r})} ∈ 𝔽_{q^{|Or|}} et où Tr_{r} est la trace de 𝔽_{q^{|Or|}} dans 𝔽_{q^{a(r)}}. Tout caractère linéaire σstable χ de (U/U^{∗})^{F} est de la forme χ = ∏_{r=1}^{s} χ_{r}, où χ_{r} est comme ci-dessus. De plus, l’application

Ψ : χ ↦ (d_{1}, ..., d_{s})

est un isomorphisme : (((U/U^{∗})^{F})^{∧})^{σ} → ∏_{r=1}^{s} 𝔽_{q^{a(r)}}^{+} et χ est régulier quand aucun des d_{r} n’est nul. On définit χ_{1} comme l’image réciproque de (1, ..., 1), c’est-à-dire,

χ_{1}(∏_{r=1}^{s} ∏_{i=0}^{o(r)−1} u_{σ^{i}(α_{r})}(λ_{σ^{i}(α_{r})}))

= ∏_{r=1}^{s} ϕ_{0} ∘ Tr_{r}(d_{r}(λ_{α_{r}} + 1/c_{α_{r}}λ_{σ(α_{r})}... + 1/(c_{α_{r}}...c_{σ^{o(r)−1}(α_{r})})λ_{σ^{o(r)−1}(α_{r})}))

Enfin, on définit χ̃_{1} comme l’extension normalisée de χ_{1} à Irr(U^{F} .⟨σ⟩).

Par ailleurs, si on choisit t ∈ (T^{σ})^{0} tel que L(t) ∈ z ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), alors, z paramètre la ((T^{σ})^{0})^{F} -orbite du caractère ^{t}χ_{1} régulier σ-stable de U^{F} ou la ((T^{σ})^{0})^{F} - orbite du caractère régulier normalisé ˜ (^{t}χ_{1}) défini comme l’extension normalisée de ^{t}χ_{1} à Irr(U^{F} .⟨σ⟩).

Proposition 4.2.3 On suppose la condition (RS) vérifiée. Pour un automorphisme σ quasi-central semi-simple, soit g = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(k_{α}) un élément de U^{F}, et soit χ un caractère régulier σ-stable de U^{F}, alors, si g.σ n’est pas régulier, il existe une racine α de Π telle que χ(∏_{i=0}^{o−1} u_{σ^{i}(α)}(k_{σ^{i}(α)})) = 1 (où o est le cardinal de la σ-orbite de la τ-orbite de α).

Preuve de la proposition : Soit us la décomposition de Jordan de g.σ, alors, u et s sont rationnels, la partie unipotente u est dans U^{F} et s est un élément semi-simple rationnel de U.σ. Donc, d’après le lemme 4.1.7, on a s ∈ Cl_{U}(σ)^{F}, c’est-à-dire s ∈ Cl_{U^{F}} (σ), car U^{σ} est connexe. Ainsi, il existe v ∈ U^{F} tel que s = ^{v}σ et g = vu′σ(v)^{−1}, où on a posé u′ = ^{v^{−1}}u ∈ (U^{σ})^{F}.

Si on pose u′ = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(l_{α}), alors, comme χ est σ-stable, pour toute racine simple α, on a

χ( ∏_{i=0}^{o(α)−1} u_{σ^{i}(α)}(k_{σ^{i}(α)})) = χ( ∏_{i=0}^{o(α)−1} u_{σ^{i}(α)}(l_{σ^{i}(α)})),

où o(α) est le cardinal de la σ-orbite de la τ-orbite de α.

De plus, si g.σ n’est pas régulier dans G.σ alors u′ ne l’est pas dans (G^{σ})^{0}, donc il existe une σ-orbite A de Π telle que pour toute racine α ∈ A on ait l_{α} = 0. On choisit α ∈ A. Alors, pour tout i ∈ {1, ..., o(α) − 1}, où o(α) est le cardinal de la σ-orbite de la τ-orbite de α, on a u_{σ^{i}(α)}(l_{σ^{i}(α)}) = 1, d’où,

χ( ∏_{i=0}^{o(α)−1} u_{σ^{i}(α)}(l_{σ^{i}(α)})) = 1

Fin de la preuve de la proposition.

4.3 Définitions des représentations de Gelfand-Graev

On suppose que σ est semi-simple quasi-central. On voudrait que toute représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F} soit étendue en au moins une représentation de Gelfand-Graev de G̃^{F}. Dans le chapitre 3, on a montré dans la proposition 3.2.1, que sous l’hypothèse σ unipotent quasi-central, toute représentation de Gelfand-Graev σ-stable de G^{F} est l’induit d’un caractère régulier σ-stable de U^{F}. Quand σ est unipotent quasi-central, on peut alors se contenter de définir les réprésentations de Gelfand-Graev de G̃^{F} comme les induits de U^{F} .⟨σ⟩ à G̃^{F} des extensions à U^{F} .⟨σ⟩ des caractères réguliers σ-stables de U^{F}. La proposition 3.2.1 n’est plus vraie lorsque l’on supprime l’hypothèse σ unipotent. Avec l’hypothèse σ semi-simple quasi-central, la définition des représentations de Gelfand-Graev sera plus complexe.

On va tout d’abord supposer σ semi-simple quasi-central et tel que la condition (RS) soit vérifiée, on montrera ensuite dans le cas A_{2n} que lorsqu’il existe α ∈ Π telle que C_{σ,α} = −1 (i.e. lorsque (RS) est fausse), on peut se ramener au cas précédent.

Les résultats qui suivent permettent d’expliquer d’où provient, lorsque la condition (RS) est vérifiée, la définition des représentations de Gelfand-Graev de la tranche (définition 4.3.8). Ils expliquent en particulier comment on va définir les représentations de Gelfand-Graev de G̃^{F} qui sont l’extension d’un Gelfand-Graev σ-stable de G^{F} mais qui n’est pas l’induit d’un caractère régulier σ-stable de U^{F}. Une deuxième différence apparait par rapport au cas unipotent : la proposition 4.3.2 montre que deux ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites de caractères réguliers σ-stables de U^{F} différentes peuvent définir le même caractère de Gelfand-Graev.

4.3.1 Cas où (RS) est vraie : toute racine simple α vérifie C_{σ,α} = 1

On a vu dans la section précédente que cela entraînait l’existence de caractères réguliers σ-stables de U^{F} et on avait fixé le caractère régulier σ-stable χ_{1}.

Proposition 4.3.1 On a les inclusions suivantes Z((G^{σ})^{0}) ⊂ Z(G^{σ}) ⊂ Z(G) qui induisent des applications Ξ_{1} : H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})) → H^{1}(F, Z(G^{σ})) et Ξ_{2} : H^{1}(F, Z(G^{σ})) → H^{1}(F, Z(G))^{σ}.

Preuve : clair car

Z((G^{σ})^{0}) = ∩_{α∈Π} ker(α|_{(T^{σ})^{0}}),
Z(G^{σ}) = ∩_{α∈Π} ker(α|_{T^{σ}})
et Z(G) = ∩_{α∈Π} ker(α|_{T}).

Fin de la preuve.

Proposition 4.3.2 Ξ_{1} n’est pas forcément injective. Soient z et z′ dans H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), alors, il existe t et t′ dans (T^{σ})^{0} tels que L_{(T^{σ})^{0}}(t) ∈ z et L_{(T^{σ})^{0}}(t′) ∈ z′ et si Ξ_{1}(z) = Ξ_{1}(z′),

Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}^{t}χ̃_{1} = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}^{t′}χ̃_{1}.

Preuve : Soient z et z′ dans H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), comme (T^{σ})^{0} est connexe, L_{(T^{σ})^{0}} est surjective, donc il existe t et t′ dans (T^{σ})^{0} tels que L_{(T^{σ})^{0}}(t) ∈ z et L_{(T^{σ})^{0}}(t′) ∈ z′. Supposons que Ξ_{1}(z) = Ξ_{1}(z′), c’est-à-dire qu’il existe τ ∈ Z(G^{σ}) tel que t^{′−1}F (t′) = (tτ)^{−1}F (τt), c’est-à-dire, t^{′−1}tτ = t_{0} ∈ (T^{σ})^{F}. Ainsi, ^{t}χ̃_{1} et ^{t′}χ̃_{1} sont dans la même (T^{σ})^{F} -orbite, ce qui permet de conclure.

Proposition 4.3.3 Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), alors si z ∩ L_{T^{σ}}(T^{σ}) n’est pas vide, alors, z ⊂ L_{T^{σ}}(T^{σ}) et z ⊂ L_{T^{σ}}(T^{σ}) si et seulement si z ∈ Im(Ξ_{1}).

Preuve : Si il existe z̃ ∈ z ∩ L_{T^{σ}}(T^{σ}), alors,

z = {(τz̃)^{−1}F (τz̃); τ ∈ Z(G^{σ})} ⊂ L_{T^{σ}}(T^{σ}).

Supposons que z soit dans l’image de Ξ_{1}. Alors, il existe z̃ dans z ∩ Z((G̃^{σ})^{0}) ⊂ (T^{σ})^{0}. Soit t ∈ (T^{σ})^{0} tel que L_{T} (t) = z̃, alors,

z = {τ^{−1}L_{T} (t)F (τ)|τ ∈ Z(G^{σ})},

donc clairement z ⊂ L_{T^{σ}}(T^{σ}).

Réciproquement, supposons z ⊂ L_{T^{σ}}(T^{σ}). Soit t ∈ T^{σ} tel que t^{−1}F (t) ∈ z. Comme σ est quasi-central on G^{σ} = (G̃^{σ})^{0} ×Z(G^{σ}) (proposition 1.1.13), et donc T^{σ} = (T^{σ})^{0} ×Z(G^{σ}) car Z(G^{σ}) ⊂ T^{σ}. Ainsi, il existe t′ ∈ (T^{σ})^{0} et τ ∈ Z(G^{σ}) tels que t = t′τ, ce qui entraîne que t^{′−1}F (t′) ∈ z ∩ Z((G^{σ})^{0}), c’est-à-dire, z ∈ Im(Ξ_{1}).

Fin de la preuve.

Proposition 4.3.4 Soient z et z′ dans H^{1}(F, Z(G^{σ})), tels que Ξ_{2}(z) = Ξ_{2}(z′), alors,

Ind_{U^{F}}^{G^{F}} ^{t}χ_{1} = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} ^{t′}χ_{1},

où, t et t′ sont deux éléments de T tels que L_{T} (t) = z et L_{T} (t′) = z′, mais,

Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) ≠ Ind_{U^{F} .^{t′}σ}^{G^{F} .^{t′}σ} ˜ (^{t′}χ_{1}),

où, on a défini ˜ (^{t}χ_{1}) (respectivement ˜ (^{t′}χ_{1})) comme l’extension normalisée de ^{t}χ_{1} (respectivement ^{t′}χ_{1}) à U^{F} .⟨^{t}σ⟩ (respectivement U^{F} .^{t′}⟨σ⟩).

Remarque 4.3.5 L’énoncé de la proposition précédente est cohérent car pour tout z et z′ dans H^{1}(F, Z(G^{σ})), il existe t et t′ dans T tels que L_{T} (t) = z et L_{T} (t′) = z′ et, alors, tχ_{1} et ^{t′}χ_{1} sont respectivement ^{t}σ et ^{t′}σ stables, avec ^{t}σ et ^{t′}σ quasi-centraux, semi-simples et rationnels.

Preuve : Supposons Ξ_{2}(z) = Ξ_{2}(z′). alors, il existe τ ∈ Z(G) tel que t^{′−1}F (t′) = (tτ)^{−1}F (τt), donc ^{t}χ_{1} et ^{t′}χ_{1} sont dans la même T^{F} -orbite, d’où, l’égalité

Ind_{U^{F}}^{G^{F}} ^{t}χ_{1} = Ind_{U^{F}}^{G^{F}} ^{t′}χ_{1}.

Montrons que si z ≠ z′ alors, la seconde égalité est fausse. Si z^{−1}z′ est dans Im(Ξ_{1}), alors, on peut choisir t et t′ tel que t^{−1}t′ soit dans T^{σ}. Alors, ^{t}σ = ^{t′}σ. Cependant, z ≠ z′ entraîne que ^{t}χ_{1} et ^{t′}χ_{1} ne sont pas dans la même (T^{^{t}σ})^{F} -orbite et

Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) ≠ Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t′}χ_{1}).

Lemme 4.3.6 Si z^{−1}z′ n’est pas dans Im(Ξ_{1}), alors, t^{−1}t′ ne peut être σ-stable, et pour tout u ∈ U^{F} tel que u.^{t′}σ soit régulier :

Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1})(u.^{t′}σ) = 0.

Preuve du lemme : Supposons que z^{−1}z′ n’est pas dans Im(Ξ_{1}), alors,

Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1})(u.^{t′}σ)
= 1/|U^{F} | ∑_{{x∈G^{F} |(x.^{t}σ)(u.^{t′}σ)(x.^{t}σ)^{−1}∈U^{F} .^{t}σ}} ˜ (^{t}χ_{1})((x.^{t}σ)(u.^{t′}σ)(x.^{t}σ)^{−1})
= 1/|U^{F} | ∑_{{x∈G^{F} |x(^{t}σ)ut_{0}σ(t_{0})^{−1}x^{−1}∈U^{F} .^{t}σ}} ˜ (^{t}χ_{1})(x(^{t}σ)ut_{0}σ(t_{0})^{−1}x^{−1})
= 1/|U^{F} | ∑_{\{x∈G^{F} |(xσ(t_{0}))^{t}σ(^{t{−1 \atop 0}}u)^{t}σ(xσ(t_{0}))^{−1}∈U^{F} \}} ˜ (^{t}χ_{1})((xσ(t_{0}))^{t}σ(^{t_{0}^{−1}}u.^{t}σ)(xσ(t_{0}))^{−1})
= 1/|U^{F} | ∑_{\{y∈G^{F} |(yt_{0})(^{t{−1 \atop 0}}u.^{t}σ)(yt_{0})^{−1}∈U^{F} .^{t}σ\}} ˜ (^{t}χ_{1})((yt_{0})((^{t_{0}^{−1}}u).^{t}σ)(yt_{0})^{−1})

On considère l’ensemble suivant :

E = {y ∈ G^{F} |(yt_{0})((^{t_{0}^{−1}}u).^{t}σ)(yt_{0})^{−1} ∈ U^{F} .^{t}σ}.

Nous allons montrer que E est vide ce qui suffira à démontrer le lemme. Le fait que u.^{t′}σ soit régulier entraîne que ^{t_{0}^{−1}}u.^{t}σ est régulier aussi. Soit y ∈ E, alors ^{yt_{0}}(^{t_{0}^{−1}}u.^{t}σ) ∈ NG̃(B), donc, ^{t_{0}^{−1}}u.^{t}σ ∈ NG̃(^{t_{0}^{−1}y^{−1}}B), ce qui entraîne que yt_{0} ∈ B, car (^{t_{0}^{−1}}u).^{t}σ est régulier et donc d’après la proposition 4.1.11, contenu dans un seul quasi-borel de G̃. On pose y = vt_{1}, alors, il existe t_{2} ∈ T^{σ} tel que t_{1} = t_{2}t_{0} et t_{1} ∈ T^{F}. Ainsi, t_{2}F (t_{2})^{−1} = t_{0}^{−1}F (t_{0}) ∈ z^{−1}z′,donc z^{−1}z′∩L_{T^{σ}}(T^{σ}) n’est pas vide, donc z^{−1}z′ ∈ Im(Ξ_{1}) ce qui contredit l’hypothèse faite sur z^{−1}z′.

Fin de la preuve du lemme 4.3.6.

Le lemme permet de conclure la démonstration de la proposition, car, u.^{t′}σ étant régulier, on montre que :

Ind_{U^{F} .^{t′}σ}^{G^{F} .^{t′}σ} ˜ (^{t′}χ_{1})(u.^{t′}σ)
= 1/|U^{F} | ∑_{{v∈U^{F} , t′∈(T^{σ})^{F} }} ^{t}χ_{1}(v^{t′}u^{t}σ(v)^{−1})
= ∑_{{t′∈(T^{σ})^{F} }} ^{t′t}χ_{1}(u)
= |Z(G^{σ})^{F} | ∑_{{χ∈Ξ_{z′}}} χ(u)
= σ_{z′}(≠ 0)

(où Ξ_{z′} = {^{θt}χ_{1}; θ ∈ (T^{σ})^{F} }).

Fin de la preuve de la proposition 4.3.4.

Proposition 4.3.7 Ξ_{2} n’est pas forcément surjective. Mais, si z ∈ H^{1}(F, Z(G))−Im(Ξ_{2}), alors, quel que soit t ∈ L_{T}^{−1}(z), l’automorphisme induit par ^{t}σ n’est pas rationnel.

Preuve : H = Sl_{4} est un groupe réductif connexe. Soient σ l’automorphisme défini par σ(A) = J^{t}A^{−1}J^{−1}, T le tore maximal des matrices diagonales et B le sous-groupe de Borel des matrices triangulaires supérieures, Π = {α_{1}, α_{2}, α_{3}}, la base du système de racines de (H, T) associée à B (si diag(t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}) ∈ T, α_{i}(t) = t_{i}/t_{i+1}).

Soit I = {α_{1}, α_{3}}, on note G le sous-groupe de Levi L_{I} de H. Le centre de G est Z(G) = {diag(t, t, ϵ/t, ϵ/t)|t ∈ K et ϵ^{2} = 1}. Donc |H^{1}(F, Z(G))| = |Z(G)^{F} |/|(Z(G)^{0})^{F} | = 2, et |H^{1}(F, Z(G))^{σ}| = 2. Par ailleurs, Z(G^{σ}) = Z((G^{σ})^{0}) = {diag(t, t, 1/t, 1/t)|t ∈ K} est connexe, donc |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| = 1. Donc, Ξ_{2} n’est pas surjective.

Fin de la preuve.

Proposition-définition 4.3.8 On suppose que σ est un automorphisme semi-simple quasi-central et que pour toute racine simple α, on a C_{σ,α} = 1.

Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), si z ∈ Im(Ξ_{1}), alors Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ} ˜ (^{t}χ_{1}) ne dépend pas du choix de t ∈ T^{σ} tel que t^{−1}F (t) ∈ z et on pose

Γ_{z}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ} ˜ (^{t}χ_{1}).

Si z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})) − Im(Ξ_{1}), alors, Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) ne dépend pas du choix de t ∈ T tel que t^{−1}F (t) ∈ z et on pose

Γ_{z}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}).

Preuve : Si z ∈ Im(Ξ_{1}), soient t et t′ ∈ T^{σ} tels que t^{−1}F (t) et t^{′−1}F (t′) soient dans z. Alors, il existe t_{0} ∈ (T^{σ})^{F} et τ ∈ Z(G^{σ}) tels que t′ = t_{0}tτ et donc, ^{t}χ_{1} et ^{t′}χ_{1} sont dans la même (T^{σ})^{F} -orbite, ce qui entraîne que

Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ} ˜ (^{t}χ_{1}) = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ} ˜ (^{t′}χ_{1}).

Si z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ}) − Im(Ξ_{1}), soient t et t′ ∈ T tels que t^{−1}F (t) et t^{′−1}F (t′) soient dans z, alors, il existe t_{0} ∈ T^{F} et τ ∈ Z(G^{σ}) tels que t′ = t_{0}tτ, alors, ^{t′}χ_{1} = ^{t_{0}t}χ_{1} et ^{t′}σ = ^{t_{0}t}σ.

Ind_{U^{F} .^{t′}σ}^{G^{F} .^{t′}σ} ˜ (^{t′}χ_{1})(g.^{t′}σ)
= 1/|U^{F} | ∑_{{x∈G^{F} |xg(^{t′}σ)(x)^{−1}∈U^{F} }} ^{t′}χ_{1}(xg^{t′}σ(x)^{−1})
= 1/|U^{F} | ∑_{{x∈G^{F} |xg(^{t′}σ)(x)^{−1}∈U^{F} }} ^{t}χ_{1}(t_{0}^{−1}xgt_{0}σ(t_{0})^{−1}^{t}σ(x)^{−1}σ(t_{0}))
= 1/|U^{F} | ∑_{{y∈G^{F} |y(gt_{0}σ(t_{0})^{−1})^{t}σ(y)^{−1}∈U^{F} }} ^{t}χ_{1}(y(gt_{0}σ(t_{0})^{−1})^{t}σ(y)^{−1})
= Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1})(gt_{0}σ(t_{0})^{−1}.^{t}σ)
= Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1})(g.^{t′}σ)

Ainsi, dans les deux cas, Γ_{z}^{G.σ} est bien défini.

Fin de la preuve.

Le théorème 3.2.5 est toujours vrai, donc, comme dans le cas où σ est unipotent, les représentations de Gelfand-Graev de G̃^{F} = G^{F} .⟨σ⟩ ont des composantes irréductibles de multiplicité 1.

4.3.2 Cas où G est du type A_{2n} et où il existe une racine simple α telle que C_{σ,α} ≠ 1

On suppose que G est du type A_{2n}, que la caractéristique est différente de 2 et que la condition (RS) n’est pas vérifiée pour l’automorphisme semi-simple quasi-central σ de G. Alors, σ est d’ordre 2 et (G^{σ})^{0} est du type C_{n}.

De plus, d’après la proposition 1.1.12, il existe dans G.σ deux classes de conjugaison d’éléments quasi-centraux. On peut préciser ce résultat : si σ′ est un représentant de l’autre classe de conjugaison, il est aussi d’ordre 2 (donc semi-simple), (G^{σ′})^{0} est de type B_{n} et pour toute racine simple on a C_{σ′,α} = 1.

Dans les deux cas, l’automorphisme est de la forme x ↦ g(^{t}x^{−1})g^{−1}, pour un certain g ∈ G et en notant ^{t}x la transposée de x.

Pour σ′ on peut prendre g = ( \begin{matrix}0 & & & & 1 \\ & & & . \\ & & . \\ & . \\ 1 & & & & 0 \end{matrix} ), on obtient un automorphisme quasi-

central tel que G^{σ} ≃ O_{2n+1}.

Pour σ on peut poser g = ( \begin{matrix}0 & & & & −1 \\ & & & ... \\ & & −1 \\ & ... \\ 1 & & & & 0 \end{matrix} ), on obtient un automorphisme

quasi-central tel que G^{σ} ≃ SP_{2n} × {±1}.

Remarque 4.3.9 Lorsque G est de type A_{2n+1}, il existe une classe de conjugaison d’automorphismes quasi-central d’ordre 2 et (G^{σ})^{0} est de type C_{n+1}.

Supposons maintenant que σ est un automorphisme semi-simple quasi-central rationnel de G qui ne vérifie pas (RS). Comme σ est rationnel, la classe de conjugaison de σ sous G est rationnelle, de plus, le Frobénius envoie un élément quasi-central sur un élément quasi-central, donc les deux classes quasi-centrales sont F -stables. D’après Digne et Michel ([D.M.] corollaire 3.12 du théorème de Lang-Steinberg), comme G est connexe toute classe de conjugaison sous G rationnelle contient un élément rationnel. Donc, il existe un automorphisme σ′ semi-simple quasi-central rationnel et vérifiant (RS).

On voulait définir des représentations ΓG̃ de G̃^{F} = G^{F} .⟨σ⟩ dont la restriction à G^{F} soit une représentation de Gelfand-Graev et dont la restriction à G^{F} .σ vérifie des propriétés analogues à celles vérifiées par les représentations de Gelfand-Graev de G^{F}. On a vu ci-dessus que l’on pouvait choisir σ′ semi-simple quasi-central rationnel et vérifiant (RS) dans G.σ. Alors, on a G^{F} .σ = G^{F} .σ′ et les représentations Γ_{z}^{G.σ′} définies comme dans la définition 4.3.8 sont solutions du problème.

4.4 Effet de la restriction de Harish-Chandra et de la

dualité sur les représentations de Gelfand-Graev

de G^{F}.σ

Dans cette section, σ est semi-simple quasi-central et vérifie la condition (RS). Soit L un sous-groupe de Levi rationnel et σ-stable contenant T, inclus dans un sous-groupe parabolique rationnel σ-stable P de G contenant B. On pose ϕ_{1} = Res_{U^{F} ∩L^{F}}^{U^{F}} (χ_{1}) et on définit pour tout t ∈ L_{T}^{−1}(Z(G^{σ})), le caractère ^{ t̃}ϕ_{1} de Irr((L^{F} ∩U^{F}).⟨^{t}σ⟩) comme l’extension normalisée de ^{t}ϕ_{1} à (U^{F} ∩ L^{F}).⟨^{t}σ⟩.

Lemme 4.4.1 L’inclusion Z(G^{σ}) ⊂ Z(L^{σ}) induit une application surjective

h_{L^{σ}} : H^{1}(F, Z(G^{σ})) → H^{1}(F, Z(L^{σ})).

Preuve : Soit I le sous-ensemble de Π tel que L = L_{I}. Alors, I est σ-stable et

Z(G^{σ}) = ∩_{α∈Π}Kerα|_{T^{σ}} ⊂ Z(L^{σ}) = ∩_{α∈I}Kerα|_{T^{σ}}

En fait, on obtient la suite exacte suivante :

H^{1}(Z(G^{σ})) → H^{1}(Z(L^{σ})) → H^{1}(Z(L^{σ})/Z(G^{σ}))

Donc, il suffit de montrer que Z(L^{σ})/Z(G^{σ}) est connexe.

Le groupe Z(L^{σ})/Z(G^{σ}) est le centre de L^{σ}/Z(G^{σ}), on va montrer que L^{σ}/Z(G^{σ}) est un sous-groupe de Levi du groupe réductif connexe de centre trivial G^{σ}/Z(G^{σ}). Cela nous permettra de conclure car, par le (ii) du lemme 13.14 de [D.M.], si H est un groupe réductif connexe de centre connexe, alors, le centre de tout sous-groupe de Lévi de H est encore connexe.

Comme σ est quasi-central, et comme G est un groupe réductif connexe, on a G^{σ} = (G^{σ})^{0} × Z(G^{σ}) (proposition 1.1.13), donc, G^{σ}/Z(G^{σ}) est un groupe réductif connexe de centre trivial. Par ailleurs, si on pose U_{I} = ⟨U_{α}; α ∈ I⟩ et U_{I}^{−} = ⟨U_{α}; (−α) ∈ I⟩, alors, L = ⟨T, U_{I}, U_{I}^{−}⟩. Donc, L^{σ} = ⟨T^{σ}, (U_{I})^{σ}, (U_{I}^{−})^{σ}⟩ et (L^{σ})^{0} = ⟨(T^{σ})^{0}, (U_{I})^{σ}, (U_{I}^{−})^{σ}⟩ et comme T^{σ} = (T^{σ})^{0} × Z(G^{σ}), le groupe L^{σ}/Z(G^{σ}) est connexe, et c’est un sous-groupe de Levi de G^{σ}/Z(G^{σ}).

Fin de la preuve.

Remarque 4.4.2 1. Pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), si t ∈ L_{T}^{−1}(z), alors, t ∈ L_{T}^{−1}(h_{L^{σ}}(z)).

2. Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), si t ∈ L_{T}^{−1}(z), alors,

Γ_{h_{L^{σ}} (z)}^{L.σ} = Ind_{(L^{F} ∩U^{F}).^{t}σ}^{L^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}ϕ_{1})

Proposition 4.4.3 Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), avec les notations ci-dessus, on a :

∗R_{L.σ}^{G.σ}(Γ_{z}^{G.σ}) = Γ_{h_{L^{σ}} (z)}^{L.σ}.

Preuve : Il faut et il suffit de montrer que pour toute fonction de σ-classe f de L^{F} .σ, on a :

⟨R_{L.σ}^{G.σ}(f), Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨f, Γ_{h_{L^{σ}} (z)}^{L.σ}⟩_{L^{F} .σ}.

Il existe t ∈ T tel que L_{T} (t) ∈ z (si z ∈ Im(Ξ_{1}), on choisit t dans T^{σ}). Alors,

⟨f, Γ_{h_{L^{σ}} (z)}^{L.σ}⟩_{L^{F} .σ} = ⟨f, Ind_{(L^{F} ∩U^{F}).^{t}σ}^{L^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}ϕ_{1})⟩_{L^{F} .σ}
= ⟨Res_{(L^{F} ∩U^{F}).^{t}σ}^{L^{F} .^{t}σ}(f), ˜ (^{t}ϕ_{1})⟩_{(L^{F} ∩U^{F}).^{t}σ}

Donc, il faut et il suffit de montrer que pour toute fonction de σ-classe de L^{F} .σ :

⟨R_{L.σ}^{G.σ}(f), Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨f, ˜ (^{t}ϕ_{1})⟩_{(L^{F} ∩U^{F}).^{t}σ}.

On définit la fonction f̃ sur P^{F} .σ par f ×Id dans la décomposition P^{F} .σ = (L^{F} .σ)V^{F}, où V est le radical unipotent de P. Alors, on a aussi f̃ = f × Id dans la décomposition P^{F} .^{t}σ = (L^{F} .^{t}σ)V^{F}.

Lemme 4.4.4

R_{L.σ}^{G.σ}(f) = Ind_{P^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}(f̃)

Preuve du lemme : Soit g ∈ G^{F}, alors,

Ind_{P^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}(f̃)(g.σ)
= 1/|P^{F} | ∑_{{x∈G^{F} |x(t^{−1}σ(t))σ(g)σ(x(t^{−1}σ(t)))^{−1}.σ∈P^{F} .^{t}σ}} f̃(x(t^{−1}σ(t))σ(g)σ(x(t^{−1}σ(t)))^{−1}.σ)
= 1/|P^{F} | ∑_{{y∈G^{F} |yσ(g)σ(y)^{−1}.σ∈P^{F} .^{t}σ}} f̃(yσ(g)σ(y)^{−1}.σ)
(car t^{−1}σ(t) ∈ T^{F})
= 1/|P^{F} | ∑_{{y∈G^{F} |yσ(g)σ(y)^{−1}t^{−1}σ(t)∈P^{F} }} f̃(yσ(g)σ(y)^{−1}.σ)
= 1/|P^{F} | ∑_{{y∈G^{F} |yσ(g)σ(y)^{−1}∈P^{F} }} f̃(yσ(g)σ(y)^{−1}.σ)
(car tσ(t)^{−1} ∈ P^{F})
= Ind_{P^{F} .σ}^{G^{F} .σ}(f̃)(g.σ)
(induction de Harish − Chandra)
= R_{L.σ}^{G.σ}(f)(g.σ)

Fin de la preuve du lemme.

Ainsi, le membre de gauche de l’équation est égal à

⟨Ind_{P^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}(f̃), Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1})⟩_{G^{F} .^{t}σ},

c’est-à-dire par la formule de Mackey pour les fonctions de ^{t}σ-classes, à

∑_{g∈(P^{F} \G^{F} /U^{F})^{^{t}σ}}⟨f̃, Ind_{(P^{F} ∩^{g}(U^{F})).^{t}σ}^{P^{F} .^{t}σ} ∘ Res_{(P^{F} ∩^{g}(U^{F})).^{t}σ}^{^{g}(U^{F}).^{t}σ}^{g} ˜ (^{t}χ_{1})⟩_{P^{F} .^{t}σ}

= ∑_{g∈(P^{F} \G^{F} /U^{F})^{^{t}σ}}⟨f̃,^{g} ˜ (^{t}χ_{1})⟩_{P^{F} .^{t}σ∩ ^{g}(U^{F}).^{t}σ}.

Si L est le sous-groupe de Levi standard L_{I}, alors, P \G/U est en bijection avec l’ensemble des éléments I-réduits de W = W (T). Donc, (P^{F} \G^{F} /U^{F})^{^{t}σ} est en bijection avec les éléments I-réduits ^{t}σ-stables de W^{F}, par ailleurs, comme ^{t}σ est quasi-central, tout élément ^{t}σ-stable de W^{F} = N_{G}(T)^{F} /T^{F} a un représentant ^{t}σ-stable dans N_{G}(T)^{F}. Ainsi, (P^{F} \G^{F} /U^{F})^{^{t}σ} est en bijection avec un ensemble de représentants ^{t}σ-stables dans N_{G}(T)^{F} des éléments I-réduits ^{t}σ-stables de W^{F}. Soit n un tel élément qui relève w ∈ W^{F}, alors, on a :

P^{F} .^{t}σ ∩ ^{n}U^{F} .^{t}σ = ((L^{F} ∩ ^{n}U^{F}).^{t}σ).(V^{F} ∩ ^{n}U^{F}),

et la restriction de f̃ à (P^{F} ∩ ^{n}U^{F}).^{t}σ est égale à

Res_{(L^{F} ∩^{n}U^{F}).^{t}σ}^{L^{F} .^{t}σ}(f) × Id

dans cette décomposition. Donc on a :

⟨f̃,^{n} ˜ (^{t}χ_{1})⟩_{(P^{F} ∩^{n}U^{F}).^{t}σ} = ⟨Res_{(L^{F} ∩^{n}U^{F}).^{t}σ}^{L^{F} .^{t}σ}(f),^{n} ˜ (^{t}χ_{1})⟩_{L^{F} .^{t}σ∩^{n}U^{F} .^{t}σ}⟨Id,^{t}χ_{1}⟩_{^{n^{−1}}V^{F} ∩U^{F}} .

Comme ^{t}χ_{1} est un caractère régulier ^{t}σ-stable de U^{F}, ⟨Id,^{t}χ_{1}⟩_{^{n^{−1}}V^{F} ∩U^{F}} est non nul et égal à 1 si et seulement si ^{n^{−1}}V ∩U ne contient aucun U_{α} pour α ∈ Π, c’est-à-dire, d’après le lemme 3.3.2, si et seulement si w = w_{0}^{I}w_{0} où w_{0}^{I} est l’élément de plus grande longueur de W_{I} et w_{0} l’élément de plus grande longueur de W. De plus, comme w_{0} envoie toutes les racines positives sur l’ensemble des racines négatives, comme w_{0}^{I} change le signe des racines qui sont dans le système de racines de L et seulement le leur et comme w_{0} et w_{0}^{I} sont ^{t}σ-stables (car W et W_{I} le sont), on a L ∩ ^{n}U = L ∩ U. Ainsi,

⟨R_{L.σ}^{G.σ}(f), Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨Res_{L^{F} ∩U^{F} .^{t}σ}^{L^{F} .^{t}σ}(f),^{n} ˜ (^{t}χ_{1})⟩_{(L^{F} ∩U^{F}).^{t}σ}.

Remarque 4.4.5

˜ (^{t}χ_{1})|_{(L^{F} ∩U^{F}).^{t}σ} = ˜ (^{t}ϕ_{1}).

Ainsi,

⟨R_{L.σ}^{G.σ}(f), Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨f,^{n}(^{t̃}ϕ_{1})⟩_{(L^{F} ∩U^{F}).^{t}σ}.

Comme, par définition de n ∈ (N_{G}(T)^{F})^{^{t}σ}, les caractères ^{n}(^{t̃}ϕ_{1}) et (^{t̃}ϕ_{1}) sont dans la même (T^{σ})^{F} -orbite, on en déduit le résultat attendu.

Fin de la preuve de la proposition.

Proposition 4.4.6

(i) Le dual de toute représentation de Gelfand-Graev de G^{F} .σ est nul en dehors des éléments réguliers pseudo-unipotents rationnels.

(ii) On a ⟨Γ_{z}^{G.σ}, (−1)^{|Π/τ×σ|}D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |Z((G^{σ})^{F})|δ_{z,z′}.

Preuve : En utilisant la proposition 1.3.6, on obtient :

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}R_{L_{I}.σ}^{G.σ}(Γ_{h_{(L_{I})^{σ}} (z)}^{L_{I}.σ}).

Comme R_{L_{I}.σ}^{G.σ} est une induction de Harish-Chandra, et si P_{I} est le sous-groupe parabolique rationnel σ-stable de G contenant L_{I} et de radical unipotent V_{I} et en utilisant le lemme 4.4.4 et la remarque 4.4.5, on a :

R_{L_{I}.σ}^{G.σ}(Γ_{h_{(L_{I})^{σ}} (z)}^{L_{I}.σ}) = Ind_{(P_{I}^{0})^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}[Ind_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{(L_{I})^{F} .^{t}σ}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1})) × Id_{V_{I}^{F}}].

Cependant le calcul montre que :

Ind_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{(L_{I})^{F} .^{t}σ}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1})) × Id_{V_{I}^{F}} = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{(P_{I})^{F} .^{t}σ}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) × Id_{V_{I}^{F}}).

Ainsi, on obtient par la transitivité de l’induction :

R_{L_{I}.σ}^{G.σ}(Γ_{h_{(L_{I})^{σ}} (z)}^{L_{I}.σ}) = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) × Id_{V_{I}^{F}}).

Donc,

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) × Id_{V_{I}^{F}}).

On veut montrer que D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}(g.σ) = 0 si g.σ n’est pas régulier pseudo-unipotent rationnel, en fait, il suffit de prouver que :

∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) × Id_{V_{I}^{F}})

est nul en dehors des éléments réguliers pseudo-unipotents de U^{F} .^{t}σ. Soit u.^{t}σ un élément de U^{F} .^{t}σ et soit ∏_{O∈Π/τ} u_{O} la projection de u sur ∏_{O∈Π/τ} U_{O}. On pose

χ_{O} = Res_{U_{O}^{F}}^{U^{F}} (^{t}χ_{1}).

On a alors,

˜ (^{t}χ_{1})(u.^{t}σ) = ∏_{O∈Π/τ} χ_{O}(u_{O}).

Ainsi,

∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) × Id_{V_{I}^{F}})(u.^{t}σ) = ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|} ∏_{O∈I} χ_{O}(u_{O})

On note toujours {O_{1}, ..., O_{s}}, les représentants des σ-orbites de Π/τ.

Remarque 4.4.7 Les automorphismes σ et ^{t}σ agissent de la même façon sur les racines.

Alors, {O_{1}, ..., O_{s}}, est un ensemble de représentants des ^{t}σ-orbites de Π/τ et pour tout k ∈ {1, ..., s}, on note o(k), l’ordre de O_{k} sous l’action de ^{t}σ.

∑_{I∈P(Π/τ)σ}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) × Id_{V_{I}^{F}})(u.^{t}σ) = ∏_{k=1}^{s−1}(1 − ∏_{l=0}^{o(k)−1} χ_{^{t}σ^{l}(O_{k})}(u_{^{t}σ^{l}(O_{k})})),

ce qui est nul si u.^{t}σ n’est pas régulier (proposition 4.2.3).

Il reste à prouver le (ii). Soient z et z′ deux F -classes de Z(G^{σ}). On pose

ϕ_{z′} = ∑_{I∈P(Π/τ)^{σ}}(−1)^{|I/σ|}(Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t′}σ}^{U^{F} .^{t′}σ} ˜ (^{t′}χ_{1}) × Id_{V_{I}^{F}}).

On a alors,

D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .^{t′}σ}^{G^{F} .^{t′}σ}ϕ_{z′}.

Calculons le produit scalaire suivant :

⟨Γ_{z}^{G.σ}, D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}), Ind_{U^{F} .^{t′}σ}^{G^{F} .^{t′}σ}(ϕ_{z′})⟩_{G^{F} .σ}
= ⟨Res_{U^{F} .^{t′}σ}^{G^{F} .^{t′}σ}Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}), ϕ_{z′}⟩_{U^{F} .^{t′}σ}

Supposons tout d’abord que z^{−1}z′ ne soit pas dans l’image de Ξ_{1}. Soient t et t′ respectivement dans L_{T}^{−1}(z) et dans L_{T}^{−1}(z′). Alors, d’après le lemme 4.3.6, pour tout u ∈ U^{F} tel que u.^{t′}σ soit régulier, Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1})(u.^{t′}σ) = 0, de plus d’après la démonstration du (i), ϕ_{z′}(u.^{t′}σ) = 0 pour tout u ∈ U^{F} tel que u.^{t′}σ ne soit pas régulier. Donc,

⟨Γ_{z}^{G.σ}, D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = 0.

Supposons maintenant que z^{−1}z′ ∈ Im(Ξ_{1}). Soient t dans L_{T}^{−1}(z) et t_{0} dans L_{T^{σ}}^{−1}(z^{−1}z′). Alors, t′ = t_{0}t est dans L_{T}^{−1}(z′), et comme t_{0} est σ-stable, ^{t′}σ = ^{t}σ, donc,

⟨Γ_{z}^{G.σ}, D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨Res_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}), ϕ_{z′}⟩_{U^{F} .^{t}σ}

Par la formule de Mackey pour les fonctions de ^{t}σ-classes et en utilisant la bijection entre U^{F} \G^{F} /U^{F} et N_{G}(T)^{F} on obtient :

⟨Γ_{z}^{G.σ}, D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ∑_{n∈(N_{G}(T)^{F})^{^{t}σ}}⟨^{n} ˜ (^{t}χ_{1}), ϕ_{z′}⟩_{(U^{F} ∩^{n}U^{F}).^{t}σ}.

Le fait qu’un élément régulier pseudo-unipotent ne normalise qu’un seul sous-groupe de Borel (Proposition 4.1.11) et le fait que les n soient ^{t}σ-stables entraînent que (U^{F} ∩^{n}U^{F}).^{t}σ ne contient pas d’éléments unipotents réguliers si n n’est pas dans (T^{^{t}σ})^{F}. Par ailleurs,

⟨ ˜ (^{t}χ_{1}), Res_{(U^{F} ∩(L_{I})^{F}).^{t}σ}^{U^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}) × Id_{V_{I}^{F}})⟩_{U^{F} .^{t}σ}

est nul si I ≠ Π/τ (car ⟨ ˜ (^{t}χ_{1}), Id_{V_{I}^{F}} ⟩_{V_{I}^{F}} est nul si V_{I}^{F} ≠ {1}). Donc, on a :

⟨Γ_{z}^{G.σ}, D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = (−1)^{|Π/τ×σ|} ∑_{t′′∈(T^{^{t}σ})^{F}}⟨^{t′′t}χ_{1},^{t′}χ_{1}⟩_{U^{F}}

Cependant, comme t′ = tt_{0} avec t_{0} ∈ T^{σ}, les caractères ^{t′′t}χ_{1} et ^{t′}χ_{1} ne peuvent être égaux que si t_{0} ∈ (T^{σ})^{F} (c’est-à-dire si z = z′), et si t′′ ∈ t_{0}Z(G^{σ})^{F}. D’où, le résultat.

Fin de la preuve.

4.5 Valeurs des fonctions de σ-classes sur les éléments

réguliers pseudo-unipotents

Dans cette section, on suppose que σ est semi-simple quasi-central rationnel. On fixe un couple T ⊂ B formé d’un tore maximal σ-stable rationnel inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable rationnel de G. On note U le radical unipotent de B. On suppose que σ vérifie la condition (RS) : toute racine simple de G relativement à (T, B) vérifie C_{σ,α} = 1, où C_{σ,α} est défini dans le théorème 1.1.7. Alors, les éléments pseudo-unipotents de G.σ sont les conjugués sous G des éléments de U.σ.

4.5.1 Résultats dans G.σ

On choisit un élément u_{0} ∈ (U^{σ})^{F} tel que u_{0} soit régulier dans (G^{σ})^{0}. Par hypothèse, σ est semi-simple quasi-central. On note L l’application de Lang, alors, selon le théorème de Lang-Steinberg L_{T} : T → T est surjective. Or, on a Z(G^{σ}) ⊂ T, donc l’application L_{T}^{−1}(Z(G^{σ})) → Z(G^{σ}) définie par t ↦ L(t) est surjective. Ainsi, pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), il existe t ∈ T, tel que L(t) soit un représentant de z. Si z appartient à l’image de Ξ_{1}, définie dans la proposition 4.3.1, on peut choisir t dans (T^{σ})^{0}. On note (U^{σ})^{∗} le sous-groupe dérivé de U^{σ}. On définit alors, l’ensemble U_{z} = {x.σ ∈ G^{F} .σ|x.σ ∼_{G^{F}} ^{t}(u_{0}(U^{σ})^{∗}.σ)}, définition qui est indépendante du choix de t tel que L(t) ∈ z.

Remarque 4.5.1 On considère le groupe réductif connexe (G^{σ})^{0}.

Pour tout z ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), on choisit un représentant t ∈ (T^{σ})^{0} tel que t^{−1}F (t) ∈ z, et on pose U′_{z} = {x.σ ∈ (G^{σ})^{0F} |x ∼_{(G^{σ})^{0F}} ^{t}(u_{0}(U^{σ})^{∗})}. Alors, d’après Digne, Lehrer et Michel ([D.L.M.] proposition 3.2), la réunion disjointe des U′_{z}, pour z ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})) est l’ensemble des éléments réguliers unipotents de (G^{σ})^{0F}. Par ailleurs, les U′_{z} sont géométriquement conjugués et sont donc tous de même cardinal qui est égal au nombre des unipotents réguliers de (G^{σ})^{0F} divisé par |H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0}))|, c’est-à-dire, d’après Digne et Michel ([D.M.] proposition 14.23), à

|(G^{σ})^{0F} |/(|H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0}))| × |Z((G^{σ})^{0})^{0F} |q^{l}),

où, l est le rang semi-simple de (G^{σ})^{0}.

Proposition 4.5.2 (i) les ensembles {U_{z}|z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ}))} sont disjoints. (ii) L’ensemble des éléments réguliers pseudo-unipotents de G^{F} .σ est la réunion des

U_{z}.

(iii) Si la caractéristique est bonne pour (G^{σ})^{0}, chaque U_{z} est une classe de conjugaison sous G^{F}.

Preuve : (i) Soient z et z′ dans H^{1}(F, Z(G^{σ})) tels que U_{z} ∩U_{z′} ne soit pas vide. Il existe g, h ∈ G^{F}, u_{1}^{∗}, u_{2}^{∗} ∈ ((U^{σ})^{∗})^{F} et t, t′ ∈ T tels que L(t) et L(t′) soient des représentants respectivement de z et z′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})) et tels que ^{gt}(u_{0}u_{1}^{∗}.σ) = ^{ht′}(u_{0}u_{2}^{∗}.σ).

Ainsi, ^{t^{′−1}t}(u_{0}u_{1}^{∗}.σ) = ^{t^{′−1}g^{−1}ht′}(u_{0}u_{2}^{∗}.σ), et (t^{′−1}g^{−1}ht′) ∈ G^{F}, c’est-à-dire, ^{t^{′−1}t}(u_{0}u_{1}^{∗}.σ) ∈ U_{1} où t^{′−1}t est un représentant de z^{′−1}z. Il suffit donc de montrer que pour tout z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), U_{z} ∩ U_{1} est vide.

Soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})) tel que U_{z} ∩ U_{1} soit non vide. Soient t ∈ L_{T}^{−1}(z), x ∈ G^{F} et u^{∗}, v^{∗} ∈ ((U^{σ})^{∗})^{F} tels que :

(∗) ^{t}(u_{0}u^{∗}.σ) = ^{x}(u_{0}v^{∗}.σ)

Comme (u_{0}u^{∗}).σ et (u_{0}v^{∗}).σ sont réguliers, ils ne normalisent qu’un seul sous-groupe de Borel qui est B, donc ^{t}(u_{0}u^{∗}.σ) et ^{x}(u_{0}v^{∗}.σ) normalisent le même sous-groupe de Borel qui est encore B, ce qui entraîne que x ∈ B^{F}. On a donc x = su_{x} avec s ∈ T^{F} et u_{x} ∈ U^{F}. L’équation (∗) entraîne que ^{t^{−1}s}(u_{0}u^{∗}.σ) ∈ U^{F} .σ, donc que (t^{−1}s)^{−1}σ(t^{−1}s) = 1, donc l’existence de t_{0} ∈ T^{σ} tel que s = tt_{0}. Ainsi, t_{0}F (t_{0})^{−1} = t^{−1}F (t) ∈ z et comme t_{0} ∈ T^{σ}, cela entraîne que z ∈ Im(Ξ_{1}). Donc on peut supposer t ∈ T^{σ}, et alors, s sera aussi σ-stable. Donc d’après (∗), on obtient ^{s^{−1}t}u_{0}u_{1}^{∗} = u_{x}u_{0}σ(u_{x})^{−1}u_{2}^{∗} avec u_{i}^{∗} ∈ U^{∗}. On note B̃ = B/U^{∗}. Si on note respectivement ũ_{x} et ũ_{0} les projections de u_{x} et u_{0} dans B̃ alors, on obtient (ũ_{x}st^{−1})ũ_{0}σ(ũ_{x}st^{−1})^{−1} = ũ_{0} dans B̃. Ce qui entraîne que st^{−1} ∈ Z(G^{σ}) car C_{G}(u_{0}.σ) = Z(G^{σ})×C_{U^{σ}}(u_{0}), donc il existe τ ∈ Z(G^{σ}) tel que τ^{−1}F (τ) = t^{−1}F (t) ∈ z, donc z = 1.

(ii) Soit x.σ un élément pseudo-unipotent régulier rationnel, alors, par définition, il existe g ∈ G tel que x.σ = ^{g}(u_{0}.σ) et tel que g^{−1}F (g) ∈ C_{G}(u_{0}.σ) = Z(G^{σ}) × C_{U^{σ}}(u_{0}). Comme T et U^{σ} sont connexes, L_{T} et L_{U^{σ}}, sont surjectives. Donc, il existe t ∈ T et u ∈ U^{σ} et h ∈ G^{F} tels que g = htu. Ainsi, x.σ = ^{h}(^{t}(u_{0}[u_{0}^{−1}, u].σ)) et [u_{0}^{−1}, u] ∈ (U^{σ})^{∗}, donc x.σ ∈ U_{z}, où z est tel que t^{−1}F (t) ∈ z.

La réciproque est claire car d’après Digne et Michel ([D.M.] proposition 14.14), pour tout u^{∗} ∈ (U^{σ})^{∗}, u_{0}u^{∗} est régulier dans (G^{σ})^{0} et comme, dans (G^{σ})^{0} tous les éléments unipotents réguliers sont conjugués ([D.M.] proposition 14.16), il existe g ∈ (G^{σ})^{0} tel que u_{0}u^{∗} = ^{g}u_{0}. Ainsi, u_{0}u^{∗}.σ = ^{g}(u_{0}.σ), donc u_{0}u^{∗}.σ est régulier pseudo-unipotent.

(iii) D’après la proposition 4.1.14, les éléments pseudo-unipotents réguliers sont les conjugués sous G de u_{0}.σ. Ainsi, les G^{F} -classes d’éléments pseudo-unipotents réguliers rationnels sont paramétrées par H^{1}(F, A(u_{0}.σ)), où A(u_{0}.σ) = C_{G}(u_{0}.σ)/C_{G}(u_{0}.σ)^{0}. Et comme u_{0}.σ est une décomposition de Jordan et u_{0} est régulier dans (G^{σ})^{0}, C_{G}(u_{0}.σ) = Z(G^{σ}) × C_{U^{σ}}(u_{0}). De plus, si la caractéristique est bonne pour (G^{σ})^{0}, alors, C_{U^{σ}}(u_{0}) est connexe. Ainsi, H^{1}(F, A(u_{0}.σ)) = H^{1}(F, Z(G^{σ})). Le nombre de classes pseudo-unipotentes régulières dans G^{F} est donc |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| Comme les U_{z} sont des réunions de telles classes et qu’ils sont disjoints, on en déduit le résultat.

Fin de la preuve.

Définition 4.5.3 Soit c une réunion de classes de conjugaison de G^{F} .σ, la fonction de classe γ_{c} est définie sur G^{F} .σ par :

γ_{c}(x) = \{ \begin{matrix}|G^{F} |/|c| & si x ∈ c; \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Définition 4.5.4 On considère l’application Ξ_{1} : H^{1}(F, Z((G̃^{σ})^{0})) → H^{1}(F, Z(G^{σ})) définie dans la proposition 4.3.1. Soit z ∈ Im(Ξ_{1}) (z ∩ Z((G^{σ})^{0}) n’est pas vide), on pose Ξ_{z} = { ˜ (^{t}χ_{1}); t ∈ T^{σ} tel que L(t) ∈ z}, c’est une (T^{σ})^{F} -orbite de caractères réguliers normalisés, et on définit le nombre complexe σ_{z} par

σ_{z} = ∑_{χ∈Ξ_{z}} χ(u_{0}.σ).

Théorème 4.5.5

(i) Soit χ̃ un caractère de G̃^{F} dont la restriction à G^{F} est irréductible, et soit z ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), alors, avec les notations ci-dessus,

|U_{z}|^{−1} ∑_{u∈U_{z}} χ(u) = (−1)^{|(Π/σ)/τ|} ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))|z^{−1}z′∈Im(Ξ_{1})}} σ_{z^{−1}z′}⟨D_{G.σ}(χ), Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ}.

(ii) On a ⟨∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |H^{1}(F, Z(G^{σ}))||Z((G^{σ})^{0})^{F} |q^{l}, où l est le rang semisimple de (G^{σ})^{0}, et z parcourt H^{1}(F, Z(G^{σ})).

Preuve :

(i) Soit t ∈ L_{T}^{−1}(z) (si z ∈ Im(Ξ_{1}), on choisit t ∈ T^{σ}). On a vu dans la démonstration de la proposition 4.4.6, que

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}ϕ_{z},

où ϕ_{z} est une fonction de classe de U^{F} .^{t}σ nulle en dehors des éléments réguliers. En fait, si u.^{t}σ ∈ U^{F} .^{t}σ est régulier, si on note ∏_{O∈Π/τ} u_{O} la projection de u sur ∏_{O∈Π/τ} U_{O} et si on note {O_{1}, ..., O_{s}}, les représentants des σ-orbites de Π/τ et pour tout k ∈ {1, ..., s}, o(k), l’ordre de O_{k} sous l’action de σ (rappelons que ^{t}σ et σ agissent de la même façon sur les racines), alors,

ϕ_{z}(u.^{t}σ) = ∏_{k=1}^{s−1}(1 − ∏_{l=0}^{o(k)−1} χ_{σ^{l}(O_{k})}(u_{σ^{l}(O_{k})})),

Ainsi, ϕ_{z} est l’extension normalisée à U^{F} .⟨σ⟩ d’une fonction de classe ^{t}σ-stable de U^{F}, triviale sur (U^{∗})^{F}. Nous allons montrer que cette propriété de ϕ_{z} entraîne que D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}ϕ_{z} soit constante sur chaque U_{z′} et nulle en dehors de U^{F}.

Soit z′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})), soit t′ ∈ L_{T}^{−1}(Z(G^{σ})) un représentant de z′, soient x.σ et x′.σ dans U_{z′}, alors, il existe u_{∗} et u′_{∗} dans ((U^{σ})^{∗})^{F} tels que x.σ et x′.σ soient conjugués sous G^{F} respectivement à ^{t′}(u_{0}u_{∗}.σ) et ^{t′}(u_{0}u′_{∗}.σ). On a alors,

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}(x′.σ) = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}ϕ_{z}(x′.σ)
= Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}ϕ_{z}(^{t′}(u_{0}u′_{∗}.σ))
= Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}ϕ_{z}(^{t′}u_{0}^{t′}u′_{∗}.^{t′}σ)
= Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}ϕ_{z}(^{t′}u_{0}^{t′}u_{∗}.^{t′}σ)
(car ^{t′}u′_{∗},^{t′}u_{∗} ∈ U^{∗})
= Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ}ϕ_{z}(^{t′}(u_{0}u_{∗}.σ))
= D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}(x.σ)

Ainsi, D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} est constant sur U_{z′}, pour tout z′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})).

On utilise la notation γ_{z′} pour γ_{U_{z′}}. On sait, d’après la proposition 4.5.2, que l’ensemble des éléments réguliers pseudo-unipotents de G^{F} .σ (ensemble des conjugués sous G des éléments réguliers de U^{F} .^{t}σ qui sont rationnels) est la réunion des U_{z}, de plus, ϕ_{z} est nulle en dehors des éléments réguliers de U^{F} .^{t}σ (cf. démonstration de la proposition 4.4.6), donc, D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} est constant sur chaque U_{z′}, et est nul en dehors des U_{z′}, ainsi, on peut écrire :

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = ∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} c_{z,z′}γ_{z′}

pour une matrice de coefficients (c_{z,z′}).

D’après le (ii) de la proposition 4.4.6, on a :

⟨Γ_{z′′}^{G.σ}, (−1)^{|(Π/τ)/σ|}D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |Z(G^{σ})^{F} |δ_{z,z′′}.

Donc, on obtient les relations suivantes sur les coefficents c_{z,z′} :

∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} c_{z,z′}((−1)^{|(Π/τ)/σ|}/|Z(G^{σ})^{F} |)⟨Γ_{z′′}^{G.σ}, γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ} = δ_{z,z′′}.

Ce qui entraîne que (c_{z,z′}) est inversible et a pour inverse la matrice définie par :

((−1)^{|(Π/τ)/σ|}/|Z(G^{σ})^{F} |)⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ}.

Nous allons maintenant expliciter ⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ}. Par définition, Γ_{z′}^{G.σ} = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t}χ_{1}), où ˜ (^{t}χ_{1}) est l’extension normalisé à U^{F} .⟨^{t}σ⟩ d’un caractère régulier ^{t}σ-stable de U^{F} qui se factorise à travers U^{F} /(U^{∗})^{F}. Ainsi, comme ci-dessus, on peut montrer que Γ_{z′}^{G.σ} est constant sur les ensembles U_{z′′}.

Cependant,

⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = |G^{F} |^{−1} ∑_{g∈G^{F}} \overline{γ_{z}(g.σ)}Γ_{z′}^{G.σ}(g.σ)
= |G^{F} |^{−1} ∑_{g.σ∈U_{z}}(|G^{F} |/|U_{z}|)Γ_{z′}^{G.σ}(g.σ)
= |U_{z}|^{−1} ∑_{g.σ∈U_{z}} Γ_{z′}^{G.σ}(g.σ)

Ainsi, ⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} est la valeur moyenne de Γ_{z′}^{G.σ} sur U_{z}. Par définition de t, l’élément t(u_{0}.σ) appartient à U_{z}, ce qui entraîne immédiatement que

⟨γ_{z}, Γ_{z′}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = Γ_{z′}^{G.σ}(^{t}(u_{0}.σ))

Calculons donc Γ_{z′}^{G.σ}(^{t}(u_{0}.σ)). Supposons tout d’abord que z^{−1}z′ ne soit pas dans Im(Ξ_{1}), alors, d’après le lemme 4.3.6,

Γ_{z′}^{G.σ}(^{t}(u_{0}.σ)) = Ind_{U^{F} .^{t′}σ}^{G^{F} .^{t′}σ} ˜ (^{t′}χ_{1})(^{t}u_{0}.^{t}σ) = 0.

Maintenant, si z^{−1}z′ est dans Im(Ξ_{1}). Il existe t_{0} ∈ T^{σ} tel que L(t_{0}) ∈ z^{−1}z′. Alors t′ = t_{0}t est un représentant de z′ et ^{t′}σ = ^{t}σ et ^{t′}χ_{1} est ^{t}σ-stable.

Γ_{z′}^{G.σ}(^{t}(u_{0}.σ)) = Ind_{U^{F} .^{t}σ}^{G^{F} .^{t}σ} ˜ (^{t′}χ_{1})(^{t}(u_{0}.σ))
= 1/|U^{F} | ∑_{{g∈G^{F} |g(^{t}u_{0})(^{t}σ)(g)^{−1}∈U^{F} }} ˜ (^{t}χ_{1})(g(^{t}u_{0}.^{t}σ)g^{−1})

Cependant, comme ^{t}u_{0}.^{t}σ est régulier,

(g(^{t}u_{0}.^{t}σ)g^{−1} ∈ B.^{t}σ) ⇒ g ∈ (T^{σ})^{F} U^{F} .

Ainsi,

Γ_{z′}^{G.σ}(^{t}(u_{0}.σ)) = 1/|U^{F} | ∑_{τ∈(T^{σ})^{F} , u∈U^{F}} ˜ (^{t′}χ_{1})(u(^{τt}u_{0}.^{t}σ)u^{−1})
= ∑_{τ∈(T^{σ})^{F}} ˜ (^{t′}χ_{1})(^{τt}u_{0}.^{t}σ)

= ∑_{τ∈(T^{σ})^{F}} ^{t′}χ_{1}(^{τt}u_{0})
= ∑_{τ∈(T^{σ})^{F}} ^{τt_{0}}χ_{1}(u_{0})
= |Z(G^{σ})^{F} |σ_{z^{−1}z′}.

Ainsi, l’inverse (d_{z,z′}) de la matrice (c_{z,z′}) est défini par :

d_{z,z′} = \{ \begin{matrix}(−1)^{(Π/τ)/σ}σ_{z^{−1}z′} & si z^{−1}z′ ∈ Im(Ξ_{1}); \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Ainsi, la relation

D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ} = ∑_{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))} c_{z,z′}γ_{z′}

peut être inversée et on obtient :

γ_{z} = (−1)^{|(Π/τ)/σ|} ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))|z^{−1}z′∈Im(Ξ_{1})}} σ_{z^{−1}z′}D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}.

Ce qui entraîne que :

⟨γ_{z}, χ̃⟩_{G^{F} .σ} = (−1)^{|(Π/τ)/σ|} ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))|z^{−1}z′∈Im(Ξ_{1})}} σ_{z^{−1}z′}⟨D_{G.σ}Γ_{z′}^{G.σ}, χ̃⟩_{G^{F} .σ},

On obtient alors le résultat (i) :

|U_{z}|^{−1} ∑_{u.σ∈U_{z}} χ̃(u.σ) = (−1)^{|(Π/τ)/σ|} ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z(G^{σ}))|z^{−1}z′∈Im(Ξ_{1})}} σ_{z^{−1}z′}⟨Γ_{z′}^{G.σ}, D_{G.σ}χ̃⟩_{G^{F} .σ}.

Nous allons maintenant démontrer le (ii).

⟨∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ⟨∑_{z} D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} D_{G.σ}Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ}
= ⟨∑_{z,z′} c_{z,z′}γ_{z′}; ∑_{z,z′} c_{z,z′}γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ}
(en reprenant les notations du théorème 4.5.5)
= ∑_{z′}⟨∑_{z} c_{z,z′}γ_{z′}; ∑_{z} c_{z,z′}γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ}

(car ⟨γ_{z}; γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ} = 0 si z ≠ z′, les U_{z} étant disjoints)

Nous allons montrer que ∑_{z} c_{z,z′} = 1, cela revient à montrer que ∑_{z′} c_{1,z′} = 1 car on a c_{z,z′} = c_{1,z^{−1}z′}.

∑_{z′} c_{1,z′} = ⟨D_{G.σ}Γ_{1}^{G.σ}; Id_{G.σ}⟩
= ⟨Γ_{1}^{G.σ}; St_{G.σ}⟩
= |G^{F} |^{−1} ∑_{g.σ∈G^{F} .σ} Γ_{1}^{G.σ}(g.σ)\overline{St_{G.σ}(g.σ)}

Pour tout g.σ ∈ G^{F} .σ, on a

Γ_{1}^{G.σ}(g.σ) = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ̃_{1}
= |U^{F} |^{−1} ∑_{{x∈G^{F} |x(g.σ)x^{−1}∈U^{F} .σ}} χ̃_{1}(xg.σx^{−1})

Donc, Γ_{1}^{G.σ}(g.σ) est nul si g.σ n’est pas conjugué sous G^{F} à un élément de U^{F} .σ, et en particulier si g.σ n’est pas pseudo-unipotent.

Par ailleurs, St_{G.σ}(g.σ) = 0 si g.σ n’est pas quasi-semi-simple.

Lemme 4.5.6 Si g.σ est à la fois pseudo-unipotent et quasi-semi-simple, alors, g.σ est conjugué sous G à σ.

Preuve du lemme : D’après le corollaire 4.1.6, comme g.σ est pseudo-unipotent, il existe x ∈ G et u ∈ U^{σ} tels que g.σ = ^{x}(u.σ). Alors u.σ est quasi-semi-simple et il existe un couple T′ ⊂ B′ formé d’un tore maximal inclus dans un sous-groupe de Borel de G stables par conjugaison par u.σ. Comme u est unipotent, σ est semi-simple et comme u et σ commutent, u est la partie unipotente et σ la partie semi-simple de la décomposition de Jordan de u.σ. Ainsi, le fait que u.σ ∈ N_{G}(B′) (resp. N_{G}(T′, B′)) entraîne que u et σ sont dans N_{G}(B′) (resp. N_{G}(T′, B′)). Donc, B′ et T′ sont σ-stables et u ∈ T′. Ainsi, u est à la fois unipotent et semi-simple, ce qui entraîne que u = 1.

Fin de la preuve du lemme.

Par ailleurs, d’après la proposition 3.21 de [D.M.] (Voir aussi chapitre 2, proposition 2.3.11), si g ∈ G, alors ^{g}σ est rationnel si et seulement si g^{−1}F (g) ∈ G^{σ} et les G^{F} -classes de conjugaison de Cl_{G}(σ)^{F} sont paramétrées par H^{1}(F, G^{σ}/(G^{σ})^{0}) = H^{1}(F, Z(G^{σ})/Z((G^{σ})^{0})) (proposition 1.1.13).

Pour toute F -classe z′ ∈ H^{1}(F, Z(G^{σ})/Z((G^{σ})^{0})), on choisit un élément t′ ∈ L_{T}^{−1}(Z(G^{σ})) tel que l’image de L_{T} (t′) = t^{′−1}F (t′) dans Z(G^{σ})/Z((G^{σ})^{0}) soit dans z′. On note E l’ensemble de ces éléments. Alors,

∑_{z′} c_{1,z′} = |G^{F} |^{−1} ∑_{t′∈E} |Cl_{G^{F}} (^{t′}σ)|Γ_{1}^{G.σ}(^{t′}σ)\overline{St_{G.σ}(^{t′}σ)}
= |G^{F} |^{−1} ∑_{t′∈E} |Cl_{G^{F}} (^{t′}σ)|Γ_{1}^{G.σ}(^{t′}σ)|((G^{^{t′}σ})^{0})^{F} |_{p}

Lemme 4.5.7 Soit t′ ∈ L_{T}^{−1}(Z(G^{σ})) tel que l’image de L_{T} (t′) = t^{′−1}F (t′) dans Z(G^{σ})/Z((G^{σ})^{0}) ne soit pas dans la F -classe triviale de Z(G^{σ})/Z((G^{σ})^{0}), alors, on a Γ_{1}^{G.σ}(^{t′}σ) = 0.

Preuve du lemme :

Γ_{1}^{G.σ}(^{t′}σ) = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ̃_{1}(^{t′}σ)
= |U^{F} |^{−1} ∑_{{x∈G^{F} |x^{t′}σx^{−1}∈U^{F} .σ}} χ̃_{1}(x^{t′}σx^{−1})

Il suffit donc de montrer que E = {x ∈ G^{F} |x^{t′}σx^{−1} ∈ U^{F} .σ} est vide.

Le lemme sera donc démontré si on montre que Cl_{G^{F}} (^{t′}σ) ∩ U.σ est vide. On a vu plus haut que les G^{F} -classes de conjugaison de Cl_{G}(σ)^{F} sont paramétrées par H^{1}(F, G^{σ}/(G^{σ})^{0}) = H^{1}(F, Z(G^{σ})/Z((G^{σ})^{0})). La classe Cl_{G^{F}} (^{t′}σ) est la G^{F} -classe paramétrée par la F -classe z′ de l’image de t^{′−1}F (t′) dans Z(G^{σ})/Z((G^{σ})^{0}), elle est distincte de Cl_{G^{F}} (σ), car z′ n’est pas triviale.

Lemme 4.5.8 Si σ′ est un élément quasi-central du quasi-tore N_{G}(T, B), alors, Cl_{G}(σ′)∩ U.σ′ = Cl_{U}(σ′), où U est le radical unipotent de B.

Preuve du lemme 4.5.8 : On va d’abord montrer que Cl_{G}(σ′) ∩ B.σ′ = Cl_{B}(σ′).

Soit x ∈ G tel que x.σ′x^{−1} ∈ B.σ′. Alors, le sous-groupe de Borel ^{x^{−1}}B est σ′-stable. D’après la proposition 1.1.8, ^{x^{−1}}B contient un tore maximal σ′-stable T′. Donc, d’après la proposition 1.1.11, les couples T ⊂ B et T′ ⊂ ^{x^{−1}}B sont conjugués sous G^{σ′}. Donc, il existe g ∈ G^{σ′} tel que ^{x^{−1}}B = ^{g}B, c’est-à-dire tel que xg ∈ B et si on pose b = xg, alors xσ′x^{−1} = bσ′b^{−1}. D’où, l’égalité Cl_{G}(σ′) ∩ B.σ′ = Cl_{B}(σ′).

Montrons maintenant que Cl_{B}(σ′)∩U.σ′ = Cl_{U}(σ′). Soit b ∈ B tel que bσ′b^{−1} = u.σ′ ∈ U.σ′. On peut écrire de façon unique b = tv avec t ∈ t et v ∈ U. Alors,

bσ′b^{−1} = u.σ′
⇒ tvσ′v^{−1}t^{−1} = u.σ′
⇒ ^{t}vσ′(^{σ^{′−1}(t)}v)^{−1}(σ^{′−1}(t)t^{−1}) = u
⇒ (t ∈ T^{σ′} et bσ′b^{−1} = ^{t}vσ′(^{t}v)^{−1})
⇒ bσ′b^{−1} ∈ Cl_{U}(σ′)

Fin de la preuve du lemme 4.5.8.

D’après le lemme 4.5.8, on a donc, Cl_{G}(σ)^{F} ∩ U.σ = Cl_{U}(σ)^{F}. Or, d’après la proposition 3.21 de [D.M.], les U^{F} -classes de conjugaisons de Cl_{U}(σ)^{F} sont paramétrées par H^{1}(F, U^{σ}), et comme U^{σ} est connexe, on a Cl_{U}(σ)^{F} = Cl_{U^{F}} (σ). Donc, Cl_{G}(σ)^{F} ∩U.σ = Cl_{G^{F}} (σ)∩U.σ et Cl_{G^{F}} (^{t′}σ) ∩ U.σ est vide.

Fin de la preuve du lemme 4.5.7.

Le lemme 4.5.7 permet donc d’écrire que :

∑_{z′} c_{1,z′} = |G^{F} |^{−1}|Cl_{G^{F}} (σ)|Γ_{1}^{G.σ}(σ)|((G^{σ})^{0})^{F} |_{p}

Nous allons calculer Γ_{1}^{G.σ}(σ) :

Γ_{1}^{G.σ}(σ) = Ind_{U^{F} .σ}^{G^{F} .σ}χ̃_{1}(σ)
= |U^{F} |^{−1} ∑_{{x∈G^{F} |xσx^{−1}∈U^{F} .σ}} χ̃_{1}(xσx^{−1})

Lemme 4.5.9 Si σ′ est un élément semi-simple quasi-central rationnel du quasi-tore N_{G}(T, B), alors, x ∈ G^{F} est tel que xσ′(x)^{−1} ∈ U^{F} si et seulement si x ∈ U^{F} (G^{σ′})^{F}.

Preuve du lemme 4.5.9 : D’après la démonstration du lemme 4.5.7, on a Cl_{G^{F}} (σ′) ∩ U.σ′ = Cl_{U^{F}} (σ′). Ainsi, si x ∈ G^{F} est tel que xσ′(x)^{−1} ∈ U^{F} alors, il existe v ∈ U^{F} tel que xσ′x^{−1} = vσ′v^{−1}, c’est-à-dire tel que xv^{−1} ∈ G^{σ′}.

La réciproque est évidente.

Fin de la preuve du lemme 4.5.9.

Ainsi,

Γ_{1}^{G.σ}(σ) = |U^{F} |^{−1}|U^{F} ||(G^{σ})^{F} ||(U^{σ})^{F} |^{−1}
= |(G^{σ})^{F} ||(U^{σ})^{F} |^{−1}

D’où,

∑_{z′} c_{1,z′} = |G^{F} |^{−1}|Cl_{G^{F}} (σ)||(G^{σ})^{F} ||(U^{σ})^{F} |^{−1}|((G^{σ})^{0})^{F} |_{p}
= 1

La dernière égalité vient du fait que |G^{F} | = |Cl_{G^{F}} (σ)||(G^{F})^{σ}| et du fait que |((G^{σ})^{0})^{F} |_{p} = |(U^{σ})^{F} |, ce dernier résultat étant de Digne et Michel ([D.M.] proposition 3.19).

Ainsi,

⟨∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ∑_{z′}⟨γ_{z′}; γ_{z′}⟩_{G^{F} .σ}
= ∑_{z′} |G^{F} |/|U_{z′}|

Or, si z et z′ sont deux éléments de H^{1}(F, Z(G^{σ})) et si t et t′ sont respectivement des représentants dans L_{T^{σ}}^{−1}(Z(G^{σ})) de z et z′, alors, U_{z′} = ^{t′t^{−1}}U_{z}. Donc, tous les U_{z} ont le même cardinal. Il suffit de faire le calcul pour un z particulier, on va supposer que l’intersection de z et de Z((G^{σ})^{0}) est non vide (z est dans l’image de Ξ_{1} définie dans la proposition 4.3.1), alors, il existe t ∈ (T^{σ})^{0} tel que

U_{z} = {x.σ ∈ G^{F} .σ|x.σ ∼_{G^{F}} ^{t}(u_{0}(U^{σ})^{∗}).σ}

Par ailleurs, U_{z} est une réunion de G^{F} -classes unipotentes paramétrées par H^{1}(F, C_{U^{σ}}(u_{0})). Pour toute F -classe de C_{U^{σ}}(u_{0}), on peut choisir un représentant dans U^{σ}, soit {u_{1}, ..., u_{r}} un ensemble de tels représentants. Alors, U_{z} est la réunion disjointe des classes Cl_{G^{F}} (^{tu_{i}}u_{0}.σ). Donc, on a

|U_{z}| = ∑_{i} |Cl_{G^{F}} (^{tu_{i}}u_{0}.σ)|
= ∑_{i} |G^{F} |/|C_{G^{F}} (^{tu_{i}}u_{0}.σ)|
= ∑_{i} |G^{F} |/|C_{(G^{σ})^{F}} (^{tu_{i}}u_{0})|
= ∑_{i}(|G^{F} |/|C_{(G^{σ})^{0F}} (^{tu_{i}}u_{0})|) × (|Z((G^{σ})^{0})^{F} |/|Z(G^{σ})^{F} |)
= (|G^{F} |/|(G^{σ})^{0F} |) × (|Z((G^{σ})^{0})^{F} |/|Z(G^{σ})^{F} |) ∑_{i} |Cl_{(G^{σ})^{0F}} (^{tu_{i}}u_{0})|
= (|G^{F} |/|(G^{σ})^{0F} |) × (|Z((G^{σ})^{0})^{F} |/|Z(G^{σ})^{F} |) × |U′_{z′}|

où, U′_{z′} est le sous-ensemble de (G^{σ})^{0} défini dans la remarque 4.5.1 et z′ ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})) est tel que t^{−1}F (t) ∈ z′. Or on a vu dans cette remarque que

|U′_{z′}| = |(G^{σ})^{0F} |/(|H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})| × |Z((G^{σ})^{0})^{0F} |q^{l}),

où, l est le rang semi-simple de (G^{σ})^{0}. Donc, on en déduit le cardinal de U_{z} :

|U_{z}| = |G^{F} |/(|Z(G^{σ})^{F} | × |H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})|q^{l})

Remarque 4.5.10 Les calculs ci-dessus montrent que le nombre d’éléments pseudo-unipotents réguliers rationnels de G^{F} .σ est égal à |H^{1}(F, Z(G^{σ})| multiplié par le cardinal de U_{z}, c’està-dire à :

|G^{F} |/(|Z((G^{σ})^{0})^{F} |q^{l})

Revenons au calcul initial :

⟨∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}; ∑_{z} Γ_{z}^{G.σ}⟩_{G^{F} .σ} = ∑_{z′} |G^{F} |/|U_{z′}|
= |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| × (|G^{F} |/|U_{z′}|)
= |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| × |H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})| × (|Z((G^{σ})^{0})^{0F} |q^{l})
= |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| × (|Z((G^{σ})^{0})^{F} |/|(Z(G^{σ})^{0})^{F} |) × |(Z(G^{σ})^{0})^{F} | × q^{l}
= |H^{1}(F, Z(G^{σ}))| × |Z((G^{σ})^{0})^{F} | × q^{l}

Fin de la preuve du théorème 4.5.5.

4.5.2 Comparaison avec le groupe réductif connexe (G^{σ})^{0}

Le but de cette partie est d’établir une relation entre les coefficients σ_{z} de la définition 4.5.4 qui jouent un rôle primordial dans le théorème 4.5.5 et des coefficients σ̃_{z} définis de manière analogue dans le groupe réductif connexe (G^{σ})^{0} (cf. définition 4.5.12), et qui y joue un rôle analogue dans le calcul des valeurs des caractères sur les éléments unipotents réguliers. Cette analogie est intéressante car il existe des méthodes de calculs des σ̃_{z} (cf. [D.L.M.] chapitre 4).

Si on applique les résultats de [D.M.] au groupe réductif connexe (G^{σ})^{0}, On voit que les ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites de caractères réguliers de (U^{σ})^{F} sont aussi paramétrées par H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})). On définit parfaitement cette paramétrisation en fixant un caractère régulier que l’on va noter ϕ_{1}. On note toujours Π/σ l’ensemble des σ-orbites de Π, mais c’est aussi ainsi qu’on notera la base de l’ensemble Φ/σ des racines de ((G^{σ})^{0}, (T^{σ})^{0}) associée au sous-groupe de Borel (B^{σ})^{0}, car comme σ est quasi-central, il existe une bijection entre les σ-orbites de Π et les racines de Π/σ. Le Frobénius agit donc sur les racines de Φ/σ et on note encore τ cette action. Si on reprend les notations ci-dessus, {A_{1}, ..., A_{s}} est un ensemble de représentants des τ-orbites de Π/σ. La σ-orbite A_{t} correspond à une racine α̃_{t} de Π/σ et a(t) est le cardinal de la τ-orbite de α̃_{t}.

Pour toute racine α̃ de Φ/σ, on note x̃α̃ l’isomorphisme de \overline{𝔽}_{q}^{+} dans (U^{σ})α̃ tel que F (x̃α̃(λ)) = x̃_{τ(α̃)}(λ^{q}).

Alors, pour tout k ∈ {1, ..., s}, on a l’isomorphisme explicite ũ_{k} : 𝔽_{q^{a(k)}}^{+} → (U^{σ})_{k}^{F} (où (U^{σ})_{k} = ∏_{l=0}^{a(k)−1}(U^{σ})_{τ^{l}(α̃_{k})}) défini par

ũ_{k}(λ) = x̃α̃_{k}(λ)x̃_{τ(α̃_{k})}(λ^{q})...x̃_{τ^{a(k)−1}(α̃_{k})}(λ^{q^{a(k)−1}}) (λ ∈ 𝔽_{q^{a(k)}}^{+}).

Le caractère ϕ_{0} de 𝔽_{q^{N}}^{+} est le même que ci-dessus. Alors, tout caractère linéaire ϕ_{k} de (U^{σ})_{k}^{F} est donné par

ϕ_{k}(ũ_{k}(λ)) = ϕ_{0}(d_{k}λ) (λ ∈ 𝔽_{q^{a(k)}}^{+}).

pour un d_{k} ∈ 𝔽_{q^{a(k)}}. Tout caractère linéaire ϕ de (U^{σ}/(U^{σ})^{∗})^{F} est de la forme ϕ = ∏_{k=1}^{s} ϕ_{k}, où ϕ_{k} est comme ci-dessus. De plus, l’application

ϕ ↦ (d_{1}, ..., d_{s})

est un isomorphisme : ((U^{σ}/(U^{σ})^{∗})^{F})^{∧} → ∏_{k=1}^{s} 𝔽_{q^{a(k)}}^{+} et ϕ est régulier quand aucun des d_{k} n’est nul.

On rappelle qu’on a fixé un élément unipotent régulier u_{0} de (G^{σ})^{0} au début de cette section et on fixe, comme dans la section 4.3, un caractère régulier σ-stable χ_{1} de U^{F}. Un tel caractère existe, d’après la section 4.2, car on a supposé que σ vérifiait la condition (RS). On définit ϕ_{1} par ϕ_{1}(u_{0}) = χ_{1}(u_{0}).

Lemme 4.5.11 Pour tout t ∈ (T^{σ})^{0} tel que t^{−1}F (t) ∈ Z((G^{σ})^{0}), on a ^{t}ϕ_{1}(u_{0}) = ^{t}χ_{1}(u_{0}).

Preuve : L’hypothèse (RS) faite sur les racines simples entraîne que pour toute racine α ∈ Π, si on note α̃ la racine correspondant à la σ-orbite de α par la bijection de du théorème 1.1.7, alors, pour tout t ∈ T^{σ}, on a α(t) = α̃(t).

On pose u_{0} = ∏_{r=1}^{s} ∏_{i=0}^{o(r)−1} u_{σ^{i}(α_{r})}(λ_{σ^{i}(α_{r})}), alors, comme u_{0} est σ-stable, on a, pour tout r ∈ {1, ..., s},

λ_{σ^{i}(α_{r})} = c_{α_{r}}...c_{σ^{i−1}(α_{r})}λ_{α_{r}}.

D’où, d’une part,

χ_{1}(u_{0}) = ∏_{r=1}^{s} ϕ_{0} ∘ Tr_{r}(o(r)λ_{α_{r}})

D’autre part, il existe {d_{1}, ..., d_{s}} tel que :

ϕ_{1}(u_{0}) = ∏_{r=1}^{s} ϕ_{0}(d_{r}λ_{α_{r}})

Donc, comme χ_{1}(u_{0}) = ϕ_{1}(u_{0}), pour tout r ∈ {1, ..., s}, on a d_{r} = o(r).

Soit t ∈ (T^{σ})^{0} tel que t^{−1}F (t) ∈ Z((G^{σ})^{0}). Alors,

tχ_{1}(u_{0}) = ∏_{r=1}^{s} ϕ_{0} ∘ Tr_{r}(α_{r}(t)o(r)λ_{α_{r}})
= ∏_{r=1}^{s} ϕ_{0}(α̃_{r}(t)d_{r}λ_{α_{r}})
= ^{t}ϕ_{1}(u_{0})

Fin de la preuve.

Si on note Φ_{z} la ((T^{σ})^{0})^{F} -orbite paramétrée par z ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), alors, on a

Φ_{z} = {^{t}ϕ_{1}|t ∈ (T^{σ})^{0} et L(t) ∈ z}

Définition 4.5.12 Soit z ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), on définit le nombre complexe σ̃_{z} par

σ̃_{z} = ∑_{ϕ∈Φ_{z}} ϕ(u_{0}).

Proposition 4.5.13 On rappelle que Ξ_{1} est l’application de H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})) dans H^{1}(F, Z(G^{σ})) induite par l’inclusion Z((G^{σ})^{0}) ↪ Z(G^{σ}) (proposition 4.3.1). Pour tout z ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), on a

σ_{Ξ_{1}(z)} = ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z((G^{σ})^{0}))|Ξ_{1}(z′)=Ξ_{1}(z)}} σ̃_{z′}.

Preuve : Soit z ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), alors, Ξ_{1}(z) est l’image de z dans H^{1}(F, Z(G^{σ})). Comme (T^{σ})^{0} est connexe et Z((G^{σ})^{0}) ⊂ (T^{σ})^{0}, il existe t_{0} ∈ (T^{σ})^{0} tel que t_{0}^{−1}F (t_{0}) ∈ z (théorème de Lang-Steinberg : théorème 2.2.8). Alors, Ξ_{1}(z) est la F -classe de t_{0}^{−1}F (t_{0}) dans Z(G^{σ}) et Ξ_{Ξ_{1}(z)} la (T^{σ})^{F} -orbite de ^{t_{0}}χ_{1}. On a donc

σ_{Ξ_{1}(z)} = ∑_{χ∈Ξ_{Ξ_{1}(z)}} χ̃(u_{0}.σ),

où χ̃ est l’extension normalisée de χ de U^{F} à U^{F} .⟨σ⟩.

Par ailleurs, d’après la proposition 3.1.3, les ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites de caractères réguliers σ-stables de U^{F} sont paramétrées par H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})). On note Φ̃_{z′} la ((T^{σ})^{0})^{F} - orbite paramétrée par z′ ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})). Soit t′ ∈ (T^{σ})^{0} tel que L(t′) soit dans z′ ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), alors, Φ̃_{z′} est la ((T^{σ})^{0})^{F} -orbite de ^{t′}χ_{1}.

Nous allons montrer que l’ensemble Ξ_{Ξ_{1}(z)} est la réunion des ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites Φ̃_{z′}, telles que Ξ_{1}(z′) = Ξ_{1}(z). Tout d’abord, Ξ_{Ξ_{1}(z)} est une réunion de ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites de caractères réguliers σ-stables de U^{F} car c’est un ensemble de caractères réguliers σ-stables et si χ ∈ Ξ_{Ξ_{1}(z)}, alors, la ((T^{σ})^{0})^{F} -orbite de χ est incluse dans Ξ_{Ξ_{1}(z)}. De plus, si Ξ_{1}(z′) = Ξ_{1}(z), alors, pour tout t ∈ L_{(T^{σ})^{0}}^{−1}(z) et tout t′ ∈ L_{(T^{σ})^{0}}^{−1}(z′), il existe τ ∈ Z(G^{σ}) tel que tF (t)^{−1} = t′F (t′)^{−1}τF (τ)^{−1}, c’est-à-dire, que ^{t}χ_{1} et ^{t′}χ_{1} sont dans la même (T^{σ})^{F} -orbite, d’où, Φ̃_{z′} ⊂ Ξ_{Ξ_{1}(z)}. Et, réciproquement, si Φ̃_{z′} ⊂ Ξ_{Ξ_{1}(z)}, on a clairement Ξ_{1}(z′) = Ξ_{1}(z).

Ainsi, on a

σ_{Ξ_{1}(z)} = ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z((G^{σ})^{0}))|Ξ_{1}(z′)=Ξ_{1}(z)}} ∑_{χ∈Φ̃_{z′}} χ̃(u_{0}.σ)

Les ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites de caractères réguliers de (U^{σ})^{F} sont aussi paramétrées par H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})). Soit t′ ∈ (T^{σ})^{0} tel que L(t′) soit dans z′ ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), alors, Φ_{z′} est la ((T^{σ})^{0})^{F} -orbite de ^{t′}ϕ_{1}. Il existe donc une bijection entre les ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites de caractères réguliers de (U^{σ})^{F} et les ((T^{σ})^{0})^{F} -orbites de caractères réguliers σ-stables de U^{F} et cette bijection est définie par Φ̃_{z′} ↦ Φ_{z′}. De plus, pour tout t′ ∈ (T^{σ})^{0} tel que L(t′) soit dans z′ ∈ H^{1}(F, Z((G^{σ})^{0})), on a ^{t′}ϕ_{1}(u_{0}) = ^{t′}χ_{1}(u_{0}), d’après le lemme 4.5.11. Ainsi,

σ_{Ξ_{1}(z)} = ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z((G^{σ})^{0}))|Ξ_{1}(z′)=Ξ_{1}(z)}} ∑_{χ∈Φ̃_{z′}} χ(u_{0})

= ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z((G^{σ})^{0}))|Ξ_{1}(z′)=Ξ_{1}(z)}} ∑_{ϕ∈Φ_{z′}} ϕ(u_{0})
= ∑_{{z′∈H^{1}(F,Z((G^{σ})^{0}))|Ξ_{1}(z′)=Ξ_{1}(z)}} σ̃_{z′}

Fin de la preuve.

Troisième partie

Correspondance de Springer lorsque σ est unipotent quasi-central Rappels de géométrie algébrique

Dans ce chapitre, nous énonçons quelques résultats qui seront utilisés dans les chapitres 6 et 7. Dans la section 5.1, il s’agit de rappels sur les morphismes étales et les faisceaux étales, la référence principale de cette section est [Mil2]. Dans la section 5.2, en suivant [B.B.D.], nous donnons la définition et quelques propriétés des faisceaux pervers et des complexes de cohomologie d’intersection. Dans le 5.3, enfin, nous appliquons les résultats du chapitre à l’image directe d’un faisceau constant \overline{ℚ}_{l} par un morphisme semi-petit (définition 5.3.1). Le théorème 5.3.3 est la version du théorème de décomposition de Beilinson-Berstein-Deligne qui sera utilisée dans les chapitres 6 et 7.

5.1 Généralités sur la cohomologie étale

5.1.1 Morphismes étales

Nous donnons ci-dessous les définitions d’un morphisme étale, dans le cadre, tout d’abord, des variétés algébriques, puis des schémas.

Définition 5.1.1 Soient V et W deux variétés algébriques lisses définies sur un corps algébriquement clos. Alors, un morphisme ϕ : W → V est dit étale en Q ∈ W si le morphisme différentiel dϕ : Tgt_{Q}(W) → Tgt_{ϕ(Q)}(V) sur les espaces tangents est un isomorphisme, et ϕ est dit étale s’il est étale en tout point de W.

Pour définir les morphismes étales de schémas, nous avons besoin des définitions 5.1.2 et 5.1.5.

Définition 5.1.2 Un homomorphisme d’anneaux A → B est plat si le foncteur M ↦ B ⊗_{A} M des A-modules sur les B-modules est exact.

Un morphisme ϕ : X → Y de schémas est plat si les homomorphismes locaux O_{X,ϕ(y)} → O_{Y,y} sont plats pour tout y ∈ Y.

Proposition 5.1.3 ([Mil2] proposition 2.9)

Un morphisme fini ϕ : X → Y de variétés est plat si et seulement si toute fibre ϕ^{−1}(x) a le même nombre de points.

Définition 5.1.4 Un morphisme d’anneaux A → B est fidèlement plat s’il est plat et si le morphisme de variétés affines correspondant Spec(B) → Spec(A) est surjectif.

Définition 5.1.5 Un homomorphisme local f : A → B d’anneaux locaux est dit nonramifié si B/f(m_{A})B est une extension finie séparable du corps A/m_{A}, ou, de façon équivalente, si les conditions (a) et (b) suivantes sont vérifiées :

(a) f(m_{A})B = m_{B},

(b) le corps B/m_{B} est fini et séparable sur A/m_{A}.

Un morphisme ϕ : Y → X est dit non-ramifié si il est de type fini et si les applications O_{X,f(y)} → O_{Y,y} sont non-ramifiées pour tout y ∈ Y.

Définition 5.1.6 Un morphisme ϕ : Y → X de schémas est dit étale s’il est plat et non ramifié.

Proposition 5.1.7 ([Mil2] proposition 2.9)

Pour un morphisme ϕ : Y → X de variétés sur un corps algébriquement clos, les deux définitions de “étale” coïncident.

5.1.2 Revêtement galoisien

Définition 5.1.8 Soit X un schéma connexe. On appelle revêtement étale de X tout couple (Y, f), où Y est un schéma et f : Y → X est un morphisme de schémas fini et étale.

Définition 5.1.9 Soit ϕ : Y → X un morphisme de variétés et H un groupe fini. Une action à droite de H sur Y au-dessus de X est une application α : H → Aut_{X}(Y) telle que α(gh) = α(h) ∘ α(g).

Définition 5.1.10 Soit Y → X un morphisme de variétés fidèlement plat, et soit H un groupe fini agissant sur Y à droite au-dessus de X. Alors, Y → X est un revêtement galoisien de X de groupe H si le morphisme H × Y → Y ×_{X} Y, (h, y) ↦ (y, hy) est un isomorphisme.

5.1.3 Faisceaux étales

On note X_{et} la catégorie dont les objets sont les morphismes étales U → X et les morphismes de U → X vers V → X, les triangles commutatifs

U  →  V
↘  ↙
X

Définition 5.1.11 Un préfaisceau F (sur la catégorie X_{et}) d’ensembles, de groupes abéliens,..., est un foncteur contravariant

F : X_{et} → Ens (catégorie des ensembles)
→ Ab (catégorie des groupes abéliens)
→ ...

Définition 5.1.12 Un préfaisceau F est un faisceau étale quand les conditions suivantes sont vérifiées :

a) F(U ∐ V) = F(U) × F(V)

b) Quand U → V est un morphisme surjecctif de schémas au-dessus de X, la suite

F(V) → F(U)\overrightarrow{→}F(U ×_{V} U)

est exacte.

Pour tout préfaisceau F sur X_{et}, il existe un faisceau F^{+} sur X_{et} et un morphisme ϕ : F → F^{+} tel que tout morphisme de F vers un faisceau sur X_{et} se factorise de façon unique à travers ϕ. Le faisceau F^{+} est appelé le faisceautisé de F.

Définition 5.1.13 Si X est une variété sur un corps algébriquement clos, et si F est un préfaisceau ou un faisceau sur X_{et}, alors, la fibre de F en un point x ∈ X est

F_{x} = \underrightarrow{lim}_{(U,u)}F(U),

où la limite se fait sur l’ensemble des voisinages étales de x.

Si X est un schéma, et si F est un préfaisceau ou un faisceau sur X_{et}, alors, la fibre de F en un point géométrique x̄ → X est

Fx̄ = \underrightarrow{lim}_{(U,u)}F(U),

où la limite se fait sur l’ensemble des voisinages étales de x̄.

5.1.4 Image directe et inverse de faisceaux

Définition 5.1.14 Soit π : Y → X un morphisme de variétés (ou de schémas), et soit F un faisceau sur Y_{et}. Pour tout morphisme étale U → X, on pose :

π_{∗}F(U) = F(U ×_{X} Y).

Le préfaisceau π_{∗}F ainsi défini est en fait un faisceau, appelé faisceau image directe de F.

Proposition 5.1.15 ([Mil2] proposition 8.6)

On considère les morphismes de schémas Z →^{π} Y →^{π′} X, alors, (π′ ∘ π)_{∗} = π′_{∗} ∘ π_{∗}.

Définition 5.1.16 Soit π : Y → X, un morphisme de variétés (ou de schémas). Soit F un schéma sur X_{et}. Pour tout morphisme étale V → Y, on pose :

F′(V) = \underrightarrow{lim}F(U),

où la limite se fait sur l’ensemble des diagrammes commutatifs

\begin{aligned}V & → & U \\ ↓ & & ↓ \\ Y & → & X \end{aligned} ,

où, U → X est étale. On définit le faisceau image inverse de F, π^{∗}F, comme le faisceautisé de F′. Le foncteur π^{∗}, ainsi défini, est l’adjoint à gauche du foncteur π_{∗}.

Proposition 5.1.17 ([Mil2] proposition 8.7)

On considère les morphismes de schémas Z →^{π} Y →^{π′} X, alors, (π′ ∘ π)^{∗} = π^{∗} ∘ π^{′∗}.

Définition 5.1.18 On considère une variété (ou un schéma) X, et j : U ↪ X une immersion ouverte. Soit F un préfaisceau sur U_{et}. Pour tout morphisme étale ϕ : V → X, on pose :

F_{!}(V) = \{ \begin{matrix}F(V) & si ϕ(V) ⊂ U; \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Alors, on définit le faisceau j_{!}F sur X_{et} comme le faisceautisé du préfaisceau F_{!} sur X_{et}.

Proposition 5.1.19 ([Mil2] proposition 8.15)

Soit F un faisceau sur une variété (ou un schéma) X, Soit j : U ↪ X une immersion ouverte, et Z le complémentaire de U dans X, on note i l’inclusion Z ↪ X. Alors, la suite

0 → j_{!}j^{∗}F → F → i_{∗}i^{∗}F → 0

est exacte.

5.1.5 Théorème de changement de base propre

Un morphisme de variétés X → S est dit propre si pour tout morphisme T → S, le morphisme de projection X ×_{S} T → T est clos et X → S est séparée. Par exemple, une immersion fermée et un morphisme fini sont propres.

Théorème 5.1.20 ([Mil2] théorème 17.10)

On considère le morphisme propre de variétés π : X → S et le changement de base X′ = X ×_{S} T associé au morphisme f : T → S, on a alors le diagramme cartésien suivant :

\begin{matrix}X & ⟵^{f′} & X′ \\ ↓π & & ↓π′ \\ S & ⟵^{f} & T \end{matrix},

et pour tout faisceau de torsion sur X, on a l’isomorphisme local suivant

f^{∗}(R^{r}π_{∗}F) → R^{r}π′_{∗}(f^{′∗}F).

5.1.6 Faisceaux l-adiques

Soit X une variété algébrique sur \overline{𝔽}_{q}, où q est une puissance d’un nombre premier p. On fixe un nombre premier l ≠ p.

Définition 5.1.21 Un ℤ_{l}-faisceau F sur X_{et} est un système projectif de faisceaux F_{n} (n ∈ ℕ), où chaque F_{n} est un faisceau de ℤ/l^{n}ℤ-modules constructibles, et tel que le morphisme de transition F_{n} → F_{n−1} se factorise par un isomorphisme F_{n} ⊗_{ℤ/l^{n}ℤ} ℤ/l^{n−1}ℤ → F_{n−1}.

Définition 5.1.22 La catégorie des ℚ_{l}-faisceaux est la catégorie dont les objets sont de la forme ℚ_{l} ⊗_{ℤ_{l}} F, où F est un ℤ_{l}-faisceau et telle que pour deux ℚ_{l}-faisceaux ℚ_{l} ⊗_{ℤ_{l}} F et ℚ_{l} ⊗_{ℤ_{l}} G, on ait Hom_{ℚ_{l}}(ℚ_{l} ⊗_{ℤ_{l}} F, ℚ_{l} ⊗_{ℤ_{l}} G) = ℚ_{l} ⊗_{ℤ_{l}} Hom_{ℤ_{l}}(F, G).

Définition 5.1.23 On note \overline{ℚ}_{l} une clôture algébrique de ℚ_{l}. Soit E une extension finie de ℚ_{l} contenue dans \overline{ℚ}_{l}, on note O l’anneau des entiers de E sur ℤ_{l}, et m l’idéal maximal de O. On peut définir la notion de O-faisceau (ou de E-faisceau) de manière analogue à celle de ℤ_{l}-faisceau (ou de ℚ_{l}-faisceau) en prenant des systèmes projectifs de faisceaux étales de O/m^{n}-modules. On appellera \overline{ℚ}_{l}-faisceau tout E-faisceau où E est une extension finie de ℚ_{l}.

Définition 5.1.24 Un \overline{ℚ}_{l}-faisceau F sur X est appelé système local si F est localement constant et si toute fibre F_{x} en x ∈ X est un \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel de dimension finie.

Définition 5.1.25 Un \overline{ℚ}_{l}-faisceau F sur X est dit constructible s’il existe une filtration X_{0} ⊂ X_{1} ⊂ ... ⊂ X_{n} = X par des fermés telle que la restriction F|_{(X_{i}−X_{i−1})} de F sur X_{i} − X_{i−1} soit un système local pour tout i.

5.2 Généralités sur les faisceaux pervers

5.2.1 Faisceaux pervers

On considère une variété algébrique X sur \overline{𝔽}_{q}, où q est une puissance d’un nombre premier p. On fixe un nombre premier l ≠ p. On note D′(X) la catégorie dérivée des complexes de \overline{ℚ}_{l}-faisceaux sur X. Pour un complexe K ∈ D′(X), on note H^{i}(K) le faisceau de iième cohomologie de K. Enfin, D(X) est la sous-catégorie pleine de D′(X) des complexes bornés K tels que les faisceaux H^{i}(K) soient constructibles pour tout i. Par la suite, on notera D : D(X) → D(X) l’opérateur de dualité de Verdier.

On note DX^{≤0} la sous-catégorie pleine de D(X) dont les objets sont les complexes K tels que dim(Supp(H^{i}(K))) ≤ −i et on note DX^{≤0} la sous-catégorie pleine de D(X) dont les objets sont les complexes K tels que D(K) ∈ DX^{≤0}.

Définition 5.2.1 Le complexe K ∈ D(X) est appelé faisceau pervers si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

(i) dim SuppH^{i}K ≤ −i,

(ii) dim SuppH^{i}DK ≤ −i pour tout i.

On note M(X) la sous-catégorie pleine de D(X) des faisceaux pervers sur X, alors, M(X) = DX^{≤0} ∩ DX^{≥0}.

L’inclusion de DX^{≤0} (resp. de DX^{≥0}) dans D(X) a un adjoint à droite τ_{≤0} (resp. à gauche τ_{≥0}) et les foncteurs τ_{≤0}τ_{≥0} et τ_{≥0}τ_{≤0} sont canoniquement isomorphe. Si K ∈ D(X), le complexe τ_{≥0}τ_{≤0}K est un faisceau pervers noté ^{p}H^{0}K et on note E l’inclusion de M(X) dans D(X).

Proposition 5.2.2 ([B.B.D.] 2.2.2 et 4.3.3)

Si L est un système local sur une variété lisse X de dimension d, alors, L[d] est un faisceau pervers sur X. De plus, si X est irréductible et si L est un système local irréductible, le faisceau pervers L[d] est irréductible.

Définition 5.2.3 ([B.B.D.] 1.4.21 et 1.4.22)

On considère un ouvert lisse, irréductible U de X et l’inclusion j : U ↪ X. On note par un exposant à gauche p les foncteurs qui opèrent sur les catégories des faisceaux pervers. On a un morphisme de foncteurs ^{p}j_{!} → ^{p}j_{∗}. Le foncteur prolongement intermédiaire j_{!∗} : M(U) → M(X) est défini de la façon suivante : j_{!∗}(B) est l’image de ^{p}j_{!}(B) dans pj_{∗}(B), pour tout B ∈ M(U). On dit que j_{!∗}(B) est l’extension perverse de B à X.

Proposition 5.2.4 ([B.B.D.] 1.4.26)

Soit j : U ↪ X l’inclusion d’un ouvert lisse, irréductible U de X. L’image d’un faisceau pervers irréductible de M(U) par le foncteur prolongement intermédiaire j_{!∗} est un faisceau pervers irréductible de M(X).

Proposition 5.2.5 ([B.B.D.] 2.1.9)

Soit j : U ↪ X l’inclusion d’un ouvert lisse, irréductible U de X. le fonteur foncteur prolongement intermédiaire j_{!∗} induit une équivalence de catégories de M(U) dans {j_{!∗}(A); A ∈ M(U)}.

On considère toujours l’inclusion j : U ↪ X d’un ouvert lisse, irréductible de dimension d et un système local L sur U. Une autre manière de voir l’extension perverse j_{!∗}L[d] est comme le complexe de cohomologie d’intersection de Deligne-Goresky-MacPherson de L sur Ū décalé de d et noté IC(Ū, L).

Définition 5.2.6 (Complexe de cohomologie d’intersection, [G.M.])

Soit Y ⊂ X une sous-variété localement fermée lisse irréductible de dimension d de X et L un système local sur Y. Soit Ȳ la clôture algébrique de Y dans X. On peut associer à L un complexe de cohomologie d’intersection IC(Ȳ , L), qui est un objet de D_{c}^{b}(Ȳ). Par ailleurs, K = IC(Ȳ , L)[d] est caractérisé par les propriétés suivantes :

(i) H^{i}K = 0 si i < −d,

(ii) H^{−d}K|_{Y} = L,

(iii) dim SuppH^{i}K < −i si i > −d,

(iv) dim SuppH^{i}DK < −i si i > −d.

K est un faisceau pervers.

Proposition 5.2.7 (Caractérisation des objets simples de M(X), [B.B.D.] 4.3.1)

Soit Y une sous-variété lisse localement fermée irréductible de dimension d d’une variété algébrique X et soit L un système local sur Y. On considère le complexe de cohomologie d’intersection IC(Ȳ , L) associé à L et le faisceau pervers K : = IC(Ȳ , L)[d]. Si L est un système local irréductible sur Y, K est un objet simple dans M(Ȳ) et l’image directe i_{∗}K est un objet simple de M(X), où i : Ȳ → X est une inclusion. De plus, tous les objets simples de M(X) sont obtenus de cette façon à partir d’une paire (Y, L). On identifiera un objet de M(Ȳ) à son image directe i_{∗}K (qui est l’extension de K par 0 sur X − Ȳ) dans M(X).

Définition 5.2.8 Soit K = IC(Ȳ , L)[dim(Y)] un objet simple de M(X). On dit que K est un faisceau pervers de monodromie finie s’il existe un revêtement étale π : Ỹ → Y tel que π^{∗}L soit un faisceau constant.

Définition 5.2.9 Un complexe K ∈ D(X) est dit semi-simple s’il s’écrit : K = ⊕_{i}B_{i}[n_{i}], où, B_{i} est un faisceau pervers simple et n_{i} un décalage.

Théorème 5.2.10 (Théorème de décomposition, [B.B.D.] 6.2.5)

Soit f : X → Y un morphisme propre et soit K un faisceau pervers simple de monodromie finie. Alors, l’image directe f_{∗}K ∈ D(Y) est semi-simple. En particulier, si f_{∗}K est un faisceau pervers, c’est un objet semi-simple dans M(Y).

Définition 5.2.11 Soit f : X → Y un morphisme de variétés algébriques. Alors, il existe quatre foncteurs, notés f_{∗}, f^{∗}, f_{!} et f^{!}, entre les catégories dérivées D(X) et D(Y). On dit qu’un tel foncteur est t-exact à gauche (resp. à droite) s’il envoie DX^{≥0} sur DY^{≥0} (resp. DX^{≤0} sur DY^{≤0}), où on intervertit X et Y s’il en est besoin. Il est t-exact s’il est t-exact à gauche et à droite.

Proposition 5.2.12 ([B.B.D.] 1.3.17)

Soient X, Y et Z trois variétés algébriques.

(i) Si le foncteur T : D(X) → D(Y) est t-exact à gauche (resp. à droite), le foncteur additif ^{p}T : = ^{p}H^{0} ∘ T ∘ E : M(X) → M(Y) est exact à gauche (resp. à droite).

(ii) Pour T t-exact à gauche (resp. à droite) et K ∈ DX^{≥0} (resp. K ∈ DX^{≤0}), on a

pT^{p}H^{0}K →^{∼} ^{p}H^{0}TK (resp. ^{p}H^{0}TK →^{∼} ^{p}T^{p}H^{0}K).

(iii) Soit (T^{∗}, T_{∗}) une paire de foncteurs exacts adjoints : T^{∗} : D(Y) → D(X) et T_{∗} : D(X) → D(Y), adjoint à droite de T^{∗}. Pour que T^{∗} soit t-exact à droite, il faut et il suffit que T_{∗} soit t-exact à gauche, et dans ce cas (^{p}T^{∗},^{p}T_{∗}) forment une paire de foncteurs adjoints M(X) ↔ M(Y).

(iv) Si T_{1} : D(X) → D(Y) et T_{2} : D(Y) → D(Z) sont des foncteurs t-exacts à gauche (resp. à droite), T_{2} ∘ T_{1} l’est aussi et ^{p}(T_{2} ∘ T_{1}) = ^{p}T_{2} ∘ ^{p}T_{1}.

5.2.2 Equivariance

Faisceaux pervers équivariants

On considère une variété algébrique X sur \overline{𝔽}_{q} et un groupe connexe G agissant sur X.

Définition 5.2.13 Le faisceau pervers K ∈ M(X), est dit G-équivariant s’il existe un isomorphisme entre les faisceaux pervers m^{∗}K[dim(G)] et p^{∗}K[dim(G)] sur G × X où m : G × X → X est l’action de G sur X et p : G × X → X est la seconde projection.

Proposition 5.2.14 ([M.S.] 1.4.1)

Soit Z une variété sur laquelle G agit soit ϕ : Z → X un morphisme G-équivariant. Alors, si K est un faisceau pervers G-équivariant sur Z, les faisceaux pervers ^{p}H^{i}ϕ_{!}K sur X sont G-équivariants. Si L est un faisceau pervers G-équivariant sur X, les faisceaux pervers ^{p}H^{i}ϕ^{∗}K sur Z sont G-équivariants.

Proposition 5.2.15 ([M.S.] 1.4.1)

Si K est faisceau pervers G-équivariant sur X, tout sous-quotient K′ de K est aussi G-équivariant.

Systèmes locaux équivariants

On suppose toujours que G est un groupe connexe et qu’il agit sur une variété algébrique X.

Définition 5.2.16 Soit L un système local sur X, alors, L est dit G-équivariant si m^{∗}L ≃ p^{∗}L, où m : G×X → X est l’action de G sur X et p : G×X → X est la seconde projection.

Proposition 5.2.17 ([Sho] 3.5)

On suppose que G agit transitivement sur X. Soit G_{x} le stabilisateur de x ∈ X dans G. Alors, il existe une bijection entre les systèmes locaux G-équivariants sur X et les représentations de dimension finie de A(x) = G_{x}/G_{x}^{0} sur \overline{ℚ}_{l}. Cette bijection peut être décrite comme suit :

Soit L un système local G-équivariant sur X. Alors, le groupe A(x) agit sur la fibre L_{x} de L, on obtient ainsi une \overline{ℚ}_{l}-représentation de A(x). Réciproquement, si ρ est une représentation irréductible de A(x), on obtient un système local irréductible G-équivariant L_{ρ} défini par L_{ρ} = Hom_{A(x)}(ρ^{γ}, p_{∗}\overline{ℚ}_{l}), où, ρ^{γ} est la représentation duale ρ et p : G/G_{x}^{0} → G/G_{x} ≃ X un revêtement fini étale de groupe A(x) (p_{∗}\overline{ℚ}_{l} est donc un système local G-équivariant). A(x) agit comme ρ sur (L_{ρ})_{x}.

5.3 Application à la correspondance de Springer

5.3.1 Image directe du faisceau \overline{ℚ}_{l} par un morphisme semi-petit

On considère un morphisme semi-petit ϕ : Z → X entre deux variétés algébriques de même dimension n.

Définition 5.3.1 Soit ϕ : Z → X un morphisme propre entre deux variétés de même dimension n. Si X est lisse, ϕ est dit semi-petit, si pour tout i, on a

dim{a ∈ X|dim(ϕ^{−1}(a)) ≥ i/2} ≤ dim(X) − i,

le morphisme est dit petit si la dernière inégalité est remplacée par une inégalité stricte.

On suppose qu’un groupe connexe G agit sur les variétés Z et X. Nous allons appliquer les résultats de la section précédente pour montrer comment l’image directe du faisceau constant \overline{ℚ}_{l} par le morphisme semi-petit G-équivariant ϕ : Z → X se décompose en une somme directe de complexes IC(C̄, E)[d], où C est une sous-variété irréductible, lisse et G-stable de X, E un système local irréductible G-équivariant sur C et d un décalage que l’on précisera.

Proposition 5.3.2 On garde le notations précédentes et on suppose de plus que Z est lisse. On considère le faisceau constant \overline{ℚ}_{l} sur la variété Z, alors, si ϕ est semi-petit, K = ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est un faisceau pervers sur X, si ϕ est petit, K = ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] vérifie les trois propriétés suivantes :

(i) H^{i}K = 0 si i < −n,

(ii) dim SuppH^{i}K < −i si i > −n,

(iii) dim SuppH^{i}DK < −i si i > −n.

Preuve : Comme ϕ_{∗} est exact à gauche et préserve les injectifs, les faisceaux H^{i}(ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l})) et R^{i}ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l}) sont isomorphes.

Supposons tout d’abord ϕ petit. Montrons que K vérifie (i). Pour tout x ∈ X, la fibre R^{i}ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l})_{x} en x du faisceau image directe R^{i}ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l}) est isomorphe à H^{i}(ϕ^{−1}(x), \overline{ℚ}_{l}), donc, on a R^{i}ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l})_{x}[n] ≃ H^{i+n}(ϕ^{−1}(x), \overline{ℚ}_{l}), pour tout x ∈ X. Or, les groupes H^{i}(ϕ^{−1}(x), \overline{ℚ}_{l}) sont tous nuls sauf si 0 ≤ i ≤ 2dim(ϕ^{−1}(x)). Donc, H^{i+n}(ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l})_{x}) est nul pour tout i < −n et pour tout x ∈ X, ce qui entraîne que H^{i+n}(ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l})) = 0 pour tout i < −n.

Nous allons maintenant vérifier le (ii) et le (iii). Comme Z est une variété lisse de dimension n, on a D(\overline{ℚ}_{l}[n]) = \overline{ℚ}_{l}[n], où D est la dualité de Verdier. Par ailleurs, comme ϕ est propre, D et ϕ_{∗} commutent ([BoA] théorème 10.11. page 162) et on a encore D(K) = K. Donc, il suffit de montrer que K vérifie (ii). On a vu que R^{i}ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l})_{x} ≃ H^{i}(ϕ^{−1}(x), \overline{ℚ}_{l}). De plus, si H^{i}(ϕ^{−1}(x), \overline{ℚ}_{l}) ≠ 0, alors, i ≤ 2dim(ϕ^{−1}(x)). Donc, SuppH^{i}(ϕ_{∗}(\overline{ℚ}_{l})[n]) est contenu dans l’ensemble {x ∈ X|i ≤ 2dim(ϕ^{−1}(x))}. Le (ii) et le (iii) sont ainsi des conséquences directes du fait que ϕ est petit. La même démonstration montre que si ϕ est semi-petit, alors ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est pervers.

fin de la preuve.

Théorème 5.3.3 On suppose que Z est une variété lisse et que le morphisme ϕ : Z → X est semi-petit. On pose dim(X) = dim(Z) = n. On suppose l’existence d’une action d’un groupe G sur Z et sur X, et la G-équivariance de ϕ. Alors, le faisceau pervers ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(X)] est semi-simple dans M(X) et se décompose de la façon suivante dans M(X) :

ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(X)] ≃ ⨁_{(C,E)} IC(\overline{C}, E)[dim(C)] ⊗ V_{(C,E)},

où C parcourt l’ensemble des sous-variétés irréductibles lisses et G-stables de X et E l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C et où V_{(C,E)} est un \overline{ℚ}_{l}- espace vectoriel dont la dimension est égale à la multiplicité de l’objet simple correspondant à (C, E).

Preuve : Comme Z est lisse, \overline{ℚ}_{l}[n] est un faisceau pervers simple de monodromie finie, comme de plus, ϕ est semi-petit, d’après la proposition précédente, ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est un faisceau pervers. Les hypothèses du théorème de décomposition (cf. théorème 5.2.10) sont donc vérifiées, on en déduit que ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est un objet semi-simple de M(X). Donc, ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est une somme directe d’objets simples de M(X), c’est-à-dire, d’après la proposition 5.2.7, d’objets de la forme IC(Ȳ , E)[dim(Y)], où Y est une sous-variété lisse irréductible de X et E un système local sur Y.

D’après la proposition 5.2.14, comme \overline{ℚ}_{l}[n] est un faisceau G-équivariant et que ϕ est un morphisme G-équivariant, ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est lui-aussi G-équivariant. Donc, la proposition 5.2.15 permet de conclure que si IC(Ȳ , E)[dim(Y)] est une composante de ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n], alors, IC(Ȳ , E)[dim(Y)] est G-équivariant, donc Y est une sous-variété G-stable et E un système local G-équivariant. Donc, ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est une somme directe de complexes IC(Ȳ , E)[dim(Y)], où Y est une sous-variété lisse irréductible G-stable de X et E un système local Géquivariant sur Y.

fin de la preuve.

5.3.2 Composé de deux morphismes semi-petits

Les deux résultats qui suivent peuvent être trouvés dans [B.M.2]. On considère maintenant un morphisme semi-petit ϕ : Z →^{η} Y →^{ξ} X qui est la composée de deux morphismes semipetits η et ξ. On suppose qu’un groupe connexe G agit sur les variétés Z et Y et X et que les morphismes ζ et η sont G-équivariants. Les variétés X, Y et Z sont lisses de dimension n. On peut appliquer le théorème 5.3.3 aux faisceaux pervers A = ϕ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] et B = η_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n]. On obtient les formules de décomposition suivantes dans les catégories des faisceaux pervers :

A ≃ ⨁_{(C,E)} IC(\overline{C}, E)[dim(C)] ⊗ V_{(C,E)},  (5.1)

où C parcourt l’ensemble des sous-variétés irréductibles lisses et G-stables de Y et E l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C, et,

B ≃ ⨁_{(C′,E′)} IC(\overline{C′}, E′)[dim(C′)] ⊗ V_{(C′,E′)},  (5.2)

où C′ parcourt l’ensemble des sous-variétés irréductibles lisses et G-stables de Y et E′ l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C′. Et ces complexes sont reliés par le fait que

A = ξ_{∗}B.  (5.3)

Proposition 5.3.4 Pour tout couple (C′, E′), tel que V_{(C′,E′)} ≠ 0 dans la décomposition de B, l’image directe de IC(\overline{C′}, E′)[dim(C′)] par ξ_{∗} est un objet semi-simple G-équivariant de M(U(G^{1})) et se décompose de la façon suivante dans M(U(G^{1})) :

ξ_{∗}(IC(\overline{C′}, E′)[dim(C′)]) ≃ ⨁_{(C,E)} IC(\overline{C}, E)[dim(C)] ⊗ V_{(C,E)}^{(C′,E′)},  (5.4)

où C parcourt l’ensemble des sous-variétés irréductibles lisses et G-stables de X et E l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C et où V_{(C,E)}^{(C′,E′)} est un \overline{ℚ}_{l}- espace vectoriel dont la dimension est égale à la multiplicité de l’objet simple correspondant à (C, E).

Preuve : Le faisceau pervers IC(\overline{C′}, E′)[dim(C′)] est un facteur direct de B, donc, ξ_{∗}(IC(\overline{C′}, E′)[dim(C′)]) est un facteur direct de ξ_{∗}B = A. Comme A est semi-simple dans la catégorie des faisceaux pervers sur X, tout facteur direct de A est une somme directe d’objets simples de M(X) intervenant dans la décomposition (5.1).

fin de la preuve.

Proposition 5.3.5 On a la formule de double décomposition suivante du faisceau pervers A

A = ⨁_{(C,E)} ⨁_{(C′,E′)} IC(\overline{C}, E)[dim(C)] ⊗ V_{(C,E)}^{(C′,E′)} ⊗ V_{(C′,E′)},

où C parcourt l’ensemble des sous-variétés irréductibles lisses et G-stables de X et E l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C, où C′ parcourt l’ensemble des sous-variétés irréductibles lisses et G-stables de Y et E′ l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C′ et où V_{(C,E)}^{(C′,E′)} est le \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel défini par la proposition précédente.

Preuve : Ce résultat provient des expressions (5.2), (5.3) et (5.4).

fin de la preuve.

130

Correspondance de Springer

Soit G̃ = G.⟨σ⟩ un groupe réductif tel que G soit un groupe réductif connexe sur un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0 et σ un automorphisme quasi-semi-simple unipotent de G. On peut remarquer qu’alors, d’après la proposition 1.1.14, σ est quasicentral. On fixe un couple T ⊂ B formé d’un tore de σ-stable contenu dans un sous-groupe de Borel σ-stable de G, on note U le radical unipotent de B et W = N_{G}(T)/T le groupe de Weyl de G relativement à T. Enfin, on note B la variété des sous-groupes de Borel de G et pour tout g.σ ∈ G^{1} = G.σ, on note B_{g.σ} la sous-variété de B des sous-groupes de Borel de G stables par l’automorphisme de G induit par g.σ.

Le but de ce chapitre est d’établir la correspondance de Springer entre certains couples (C, E), où C est une G-classe unipotente de G^{1} = G.σ et E un système local irréductible sur C, et les représentations irréductibles de W^{σ} qui est l’ensemble des points σ-stables de W. C’est l’objet du théorème 6.4.2.

Le chapitre commence par l’exposition de quelques résultats préliminaires sur la variété B_{g.σ}. Dans la section 6.2, nous construisons l’équivalent des représentations de Springer de W^{σ} sur les groupes de cohomologie l-adiques H^{i}(B_{g.σ}, \overline{ℚ}_{l}), où g.σ ∈ G^{1} (proposition 6.2.12). D’après le théorème 1.1.10, puisque σ est quasi-central, W^{σ} est aussi le groupe de Weyl du groupe réductif connexe G^{σ} relativement au tore maximal T^{σ} et la variété B_{σ} est isomorphe à la variété B^{G^{σ}} des sous-groupes de Borel de G^{σ}. Dans la section 6.3, nous comparons la représentation de Springer issue de G^{1} sur B_{σ} construite dans le 6.2, et la représentation de Springer classique issue du groupe réductif connexe G^{σ} sur B^{G^{σ}} (proposition 6.3.1), elles coïncident toutes les deux avec la représentation régulière de W^{σ} (corollaire 6.3.4). Ce résultat est capital pour la démonstration du théorème 6.4.2 qui est développée dans le 6.4, celle-ci s’inspire de la démonstration faite par Shoji dans le cas connexe (cf. [Sho]). Le chapitre se termine par la démonstration d’une propriété qui est vérifiée de façon analogue dans le cas connexe (proposition 6.4.7) : pour tout unipotent u.σ ∈ G^{1}, si ρ est la représentation irréductible de W^{σ} qui correspond au couple (Cl_{G}(u.σ), \overline{ℚ}_{l}) par la bijection du théorème 6.4.2, alors dim(B_{u.σ}) = a_{ρ}, où a_{ρ} est la valuation du degré fantôme de ρ. Ce résultat pourrait se révéler précieux pour calculer la correspondance de Springer dans le cadre d’un groupe réductif non connexe particulier.

6.1 Sous-variétés des sous-groupes de Borel stable

par un élément de G.σ

On considère les deux variétés suivantes :

Z = {(g.σ, B_{1}, B_{2}) ∈ G^{1} × B × B|g.σ ∈ N_{1} ∩ N_{2}},

Z′ = {(g.σ, B_{1}, B_{2}) ∈ U(G^{1}) × B × B|g.σ ∈ N_{1} ∩ N_{2}},

où, on a posé N_{i} = NG̃(B_{i}).

Les preuves du théorème 6.1.1 et des corollaires 6.1.2 et 6.1.3 s’inspirent de celles faites dans le cas où G̃ est un groupe réductif connexe ([Sho], ch.1 page 67).

Théorème 6.1.1

(i) Soit C une classe de conjugaison de G^{1} contenant g.σ, alors, 2dim(B_{g})+dim(C) = dim(G) − rg(G^{σ}).

(ii) Les composantes irréductibles de Z (resp. Z′) sont paramétrées par W^{σ}. La variété Z (resp. Z′) est de dimension égale à celle de G̃ (resp. à dim(G) − rg(G^{σ})).

Preuve :

(i) D’après Spaltenstein ([Spa] proposition II.10.15), dim(CG̃(g.σ)) = rg(G^{σ})+2dim(B_{g.σ}), d’où le résultat.

(ii) Soit p : Z′ → B × B la projection sur le deuxième et le troisième facteur. Le groupe G agit diagonalement sur B × B. Soit O_{w} la G-orbite correspondant à w ∈ W (la G-orbite de (B, wBw^{−1}) dans B × B, où on a fixé un sous-groupe de Borel B σ-stable de G). On pose Z′_{w} = p^{−1}(O_{w}).

Montrons que Z′_{w} est vide si w n’est pas σ-stable. Soit w ∈ W tel que Z′_{w} soit non vide. Cela signifie qu’il existe (^{x}B,^{xw}B) ∈ O_{w} et g.σ ∈ (G^{1})_{uni} tels que g.σ ∈ NG̃(^{x}B) ∩ NG̃(^{xw}B). Mais alors, ^{x^{−1}}(g.σ) ∈ (G^{1})_{uni} ∩ NG̃(B) ∩ NG̃(wBw^{−1}), donc, si Z′_{w} est non vide, NG̃(B) ∩ NG̃(wBw^{−1}) ∩ G^{1} ne l’est pas non plus. Soit b.σ un élément de cette intersection, alors, il existe b′ ∈ B tel que b.σ = wb′.σw^{−1}, c’est-à-dire, bσ(w) = wb′, or, par la décomposition de Bruhat, BwB ∩ Bσ(w)B est vide si σ(w) ≠ w, donc w est σ-stable. Ainsi, on a une partition Z′ = ∪_{w∈W^{σ}}Z′_{w}.

Montrons que Z′_{w} est une fibration localement triviale au dessus de G/(B ∩wBw^{−1}) ≃ O_{w} de fibre isomorphe à L_{σ}(T)(U ∩ ^{w}U). on peut écrire tout point de O_{w} sous la forme (^{xw_{0}}B,^{xw_{0}w}B) avec x ∈ G. On considère V (^{xw_{0}}B,^{xw_{0}w}B) = {(^{xuw_{0}}B,^{xuw_{0}w}B)|u ∈ U}, c’est un ouvert dense de O_{w} contenant (^{xw_{0}}B,^{xw_{0}w}B) (en effet, {^{uw_{0}}B; u ∈ U} est un ouvert dense de B, car Bw_{0}B est un ouvert dense de G, cf [Ca] page 22, et donc Uw_{0}B/B est un ouvert dense de G/B). De plus, V (^{x}B,^{xw}B) est isomorphe à U car w_{0}(u) ∈ U^{−} pour tout u ∈ U. Nous allons montrer que l’application ϕ de U × ((U ∩ ^{w}U)L_{σ}(T)) à p^{−1}(V (^{xw_{0}}B,^{xw_{0}w}B)) définie par (u, b) ↦ (^{xuw_{0}}(b.σ),^{xuw_{0}}B,^{xuw_{0}w}B) est un isomorphisme de variétés. Soit (g.σ, B_{1}, B_{2}) ∈ p^{−1}(V (^{xw_{0}}B,^{xw_{0}w}B)), alors, il existe un unique u ∈ U tel que B_{1} = ^{xuw_{0}}B, on pose ψ(g.σ, B_{1}, B_{2}) = (u, (xuw_{0})^{−1}gσ(xuw_{0})), alors ψ est un morphisme de variétés réciproque de ϕ. Ainsi, Z′_{w} est une fibration localement triviale au dessus de G/(B ∩ wBw^{−1}) ≃ O_{w} de fibre isomorphe à L_{σ}(T)(U ∩ ^{w}U), ce qui entraîne que Z′_{w} est une variété irréductible et que

dim(Z′_{w}) = dim(G) − dim(T^{σ}).

Comme tous les Z′_{w} ont la même dimension, dim(Z′) = dim(G)−rg(G^{σ}) et {Z̄′_{w}|w ∈ W^{σ}} est l’ensemble des composantes irréductibles de Z′.

Pour Z, la démonstration est semblable en considérant les images réciproques Z_{w} des orbites O_{w} où w est σ-stable par la projection Z → B × B et la fibration localement triviale Z_{w} → O_{w} de fibre isomorphe à B ∩ ^{w}B.

fin de la preuve.

On note I(B_{x}), l’ensemble des composantes irréductibles de B_{x} et A_{G}(x) le quotient du centralisateur C_{G}(x) de x par sa composante connexe C_{G}(x)^{0}.

Corollaire 6.1.2 Soit {u_{1}.σ, ..., u_{r}.σ} un ensemble de représentants des classes unipotentes de G^{1}.

∐_{i=1}^{r}(I(B_{u_{i}.σ}) × I(B_{u_{i}.σ}))/A_{G}(u_{i}.σ) ≃ W^{σ}

Preuve : (Une autre démonstration peut être trouvée dans [Spa] p.51-55) : Soit p_{1} : Z′ → U(G^{1}) la projection sur le premier facteur. Soit C_{i} la classe unipotente sous G de G^{1} contenant u_{i}.σ.

On note G × ^{C_{G}(u_{i}.σ)}(B_{u_{i}.σ} × B_{u_{i}.σ}), l’ensemble des orbites pour l’action de C_{G}(u_{i}.σ) sur G × (B_{u_{i}.σ} × B_{u_{i}.σ}) définie par x : (g, B_{1}, B_{2}) ↦ (gx,^{x}B_{1},^{x}B_{2}). L’application f de G × (B_{u_{i}.σ} × B_{u_{i}.σ}) dans p_{1}^{−1}(C_{i}) définie par (g, B_{1}, B_{2}) ↦ (^{g}(u_{i}.σ),^{g}B_{1},^{g}B_{2}) est un morphisme tel que f(g, B_{1}, B_{2}) = f(g′, B′_{1}, B′_{2}) si et seulement si (g, B_{1}, B_{2}) et (g′, B′_{1}, B′_{2}) sont dans la même orbite sous C_{G}(u_{i}.σ). Ainsi, f induit un morphisme bijectif f̄ de G × C_{G}(u_{i}.σ)(B_{u_{i}.σ}×B_{u_{i}.σ}) dans p_{1}^{−1}(C_{i}). C’est même un isomorphisme de morphisme réciproque g qui à tout élément (^{g}(u_{i}.σ), B_{1}, B_{2}) ∈ p_{1}^{−1}(C_{i}) associe l’orbite de (g,^{g^{−1}}B_{1},^{g^{−1}}B_{2}) sous l’action de C_{G}(u_{i}.σ).

Ainsi, les composantes irréductibles de p_{1}^{−1}(C_{i}) viennent de celles des composantes de G × (B_{u_{i}.σ} × B_{u_{i}.σ}), et deux composantes de G × (B_{u_{i}.σ} × B_{u_{i}.σ}) donnent la même composante de p_{1}^{−1}(C_{i}) si et seulement si elles sont dans la même C_{G}(u_{i}.σ)-orbite. Ainsi, l’ensemble des composantes irréductibles de p_{1}^{−1}(C_{i}) est en bijection avec l’ensemble des A_{G}(u_{i}.σ)-orbites de I(B_{u_{i}.σ}) × I(B_{u_{i}.σ}).

Montrons que les composantes irréductibles de p_{1}^{−1}(C_{i}) ont la même dimension qui est celle de Z′. L’isomorphisme entre p_{1}^{−1}(C_{i}) et G/C_{G}(u_{i}.σ) × B_{u_{i}.σ} × B_{u_{i}.σ} nous permet d’écrire que dim(p_{1}^{−1}(C_{i})) = 2dim(B_{u_{i}.σ}) + dim(C_{i}), d’où,

dim(p_{1}^{−1}(C_{i})) = dim(G) − rg(G^{σ}) = dim(Z′).

Ainsi, les composantes irréductibles de p_{1}^{−1}(C_{i}) sont des composantes irréductibles de Z′. De plus, on a Z′ = ∐_{i=1}^{r} p_{1}^{−1}(C_{i}) et les composantes irréductibles de Z′ sont paramétrées par W^{σ} selon le (ii) du théorème. D’où, le résultat.

fin de la preuve.

Corollaire 6.1.3 (i) Pour tout i > 0, on a

dim{x ∈ G^{1}|dim(B_{x}) ≥ i/2} < dim(G) − i,

(ii) Pour tout i ≥ 0, on a

dim{x ∈ U(G^{1})|dim(B_{x}) ≥ i/2} ≤ dim(G) − rg(G^{σ}) − i.

Preuve : Démontrons tout d’abord le (i). Supposons qu’il existe i > 0 pour lequel (i) soit faux. On pose V = {x.σ ∈ G^{1}|dim(B_{x.σ}) ≥ i/2}, alors, par hypothèse, dim(V) ≥ dim(G)−i. La sous-variété V est fermée dans G^{1} et stable par conjugaison. On considère la variété Z du théorème ci-dessus, et on appelle p_{1} : Z → G^{1} la première projection. A cause de l’hypothèse faite sur i, la dimension de l’image inverse p_{1}^{−1}(V) de V est supérieure ou égale à dim(G) − i + 2 × (i/2) = dim(G). D’après le théorème ci-dessus, dim(Z) = dim(G), donc, p_{1}^{−1}(V) est une sous-variété de Z de même dimension que Z. Ainsi, p_{1}^{−1}(V) contient une composante irréductible de Z. Or, selon la démonstration du même théorème, les composantes irréductibles de Z sont les adhérences des Z_{w}, pour w ∈ W^{σ}, donc, il existe w ∈ W^{σ} tel que Z_{w} ⊂ p_{1}^{−1}(V) et

Z_{w} = {(g.σ, xB, xwB) ∈ G^{1} × (G/B) × (G/wB)|g.σ ∈ NG̃(^{x}B) ∩ NG̃(^{xw}B)}.

Or, on a ^{x}T_{reg}^{1} ⊂ NG̃(^{x}B) ∩ NG̃(^{xw}B), donc, Z_{w} contient l’ensemble

E = {(g.σ,^{x}B,^{xw}B) ∈ G^{1} × (G/B) × (G/wB)|g.σ ∈ ^{x}T_{reg}^{1}}.

où T_{reg}^{1} est l’ensemble des éléments réguliers de T.σ et E est aussi inclus dans p_{1}^{−1}(V). Ainsi, si on considère l’élément t.σ ∈ T_{reg}^{1}, alors, le triplet (t.σ, B,^{w}B) appartient à E et donc à p_{1}^{−1}(V) et donc p_{1}((t.σ, B,^{w}B)) = t.σ ∈ V. Cependant, comme t.σ est régulier, on a dim(CG̃(t.σ)) = rg(G^{σ}) (lemme 2.2.4), et comme dim(CG̃(t.σ)) = rg(G^{σ}) + 2dim(B_{t.σ}) (proposition 2.2.1), la dimension de B_{t.σ} est nulle, ainsi, le fait que t.σ soit dans V fournit une contradiction avec la définition de V.

Pour démontrer le (ii), on suppose comme pour le (i) que (ii) est faux pour un certain i ≥ 0 et on pose V′ = {x.σ ∈ U(G^{1})|dimB_{x.σ} ≥ i/2}. Soit p_{1} : Z′ → U(G^{1}) la première projection. Alors, avec l’hypothèse faite sur i, on a dim(p_{1}^{−1}(V′)) > dim(G) − dim(T^{σ}) = dim(Z′), ce qui est impossible.

fin de la preuve.

6.2 Construction des représentations de Springer

On définit l’ensemble

G̃^{1} = {(g.σ, xB) ∈ G^{1} × (G/B)|x^{−1}g.σ(x) ∈ B},

et on note π : G̃^{1} → G^{1} la projection sur le premier facteur.

Proposition 6.2.1 (i) G̃^{1} est une variété lisse. (ii) π est un morphisme propre. (iii) π^{−1}(U(G^{1})) est une variété lisse de dimension n − r′.

Preuve :

(i) La seconde projection p_{2} : G̃^{1} → G/B est une fibration localement triviale de fibre isomorphe à B (cf. démonstration du 6.1.1). Donc, G̃^{1} est une variété lisse.

(ii) G̃^{1} est un fermé de G^{1} × G/B. Donc, l’immersion fermée G̃^{1} → G^{1} × G/B est un morphisme propre. par ailleurs, la première projection G^{1} × G/B → G^{1} est propre (c’est un morphisme universellement fermé car G/B est complète et il est clairement séparé). Donc, G̃^{1} → G^{1}, composée de deux morphismes propres est propre.

(iii) π^{−1}(U(G^{1})) est une fibration localement triviale au-dessus de G/B de fibre isomorphe à L_{σ}(T)U par la seconde projection (démonstration du théorème 6.1.1). Ainsi, π^{−1}(U(G^{1})) est une variété lisse de dimension égale à n−r′, où, n = dim(G) et r′ = rg(G^{σ}).

fin de la preuve.

Proposition 6.2.2 Les éléments quasi-semi-simples de G^{1} sont les éléments conjugués sous G à un élément de T.σ.

Preuve : Les conjugués d’un élément de T.σ par x ∈ G sont les éléments du quasitore NG̃(^{x}T,^{x}B) et sont donc clairement quasi-semi-simples. La réciproque vient du fait que tout élément quasi-semi-simple de G^{1} est dans un quasi-tore NG̃(T′, B′) de G̃ (par définition) et du fait que l’action par conjugaison de G est transitive sur les couples formés d’un quasi-tore inclus dans un quasi-borel de G̃ (cf. proposition 1.1.3).

fin de la preuve.

On note G_{reg}^{1} l’ensemble des éléments réguliers quasi-semi-simples et T_{reg}^{1} l’intersection de G_{reg}^{1} et de NG̃(T, B). On définit l’ensemble

G̃_{reg}^{1} = {(g.σ, xT) ∈ G^{1} × G/T |x^{−1}(g.σ)x ∈ T_{reg}^{1}}.

Proposition 6.2.3 L’application de G̃_{reg}^{1} dans π^{−1}(G_{reg}^{1}) définie par (g.σ, xT) ↦ (g.σ, xB) est un isomorphisme de variétés.

Preuve : Montrons tout d’abord que ϕ : G̃_{reg}^{1} → π^{−1}(G_{reg}^{1}) est injective. Soient (g.σ, xT) et (g.σ, x′T) dans G̃_{reg}^{1} tels que xB = x′B, montrons que xT = x′T. Par hypothèse, g.σ est un élément quasi-semi-simple régulier et g.σ ∈ NG̃(^{x}T,^{x}B) ∩ NG̃(^{x′}T,^{x′}B), donc par le lemme 6.2.5, NG̃(^{x}T,^{x}B) = NG̃(^{x′}T,^{x′}B), ce qui entraîne que x^{−1}x′ ∈ N_{G}(T), comme (g.σ, xT) et (g.σ, x′T) ont la même image par ϕ, x^{−1}x′ ∈ N_{G}(T) ∩ B, c’est-à-dire, x^{−1}x′ ∈ T. Il reste donc pour prouver l’injectivité de ϕ à prouver le lemme 6.2.5, pour ce faire, nous avons besoin du lemme suivant.

Lemme 6.2.4 Les éléments quasi-semi-simples réguliers de G^{1} sont les conjugués de G_{reg}^{σ}.σ, où G_{reg}^{σ} est l’ensemble des éléments semi-simples réguliers de (G^{σ})^{0}.

Preuve du lemme : Soit g.σ un élément quasi-semi-simple régulier. D’après la proposition 6.2.2, g.σ est conjugué sous G à un élément t.σ ∈ T.σ et T est σ-stable. Mais alors, comme σ est unipotent, T = T^{σ} × L_{σ}(T) est un produit direct, et on peut écrire de façon unique, t.σ = t_{1}t_{2}^{−1}σ(t_{2}).σ avec t_{1} ∈ T^{σ} et t_{2} ∈ T. Ainsi, g.σ est conjugué sous G à t_{1}.σ ∈ (G^{σ})^{0}.σ. Par ailleurs, t_{1} est un élément semi-simple régulier de G^{σ}, en effet, t_{1} est la partie semi-simple et σ la partie unipotente de la décomposition de Jordan de t_{1}.σ donc C_{G}(t_{1}.σ) = C_{G}(t_{1}) ∩ G^{σ} = C_{G^{σ}}(t_{1}), ainsi, dim(C_{G^{σ}}(t_{1})) = dim(T^{σ}) est minimale et t_{1} est régulier dans G^{σ}. Donc, g.σ est conjugué sous G à un élément de G_{reg}^{σ}.σ.

fin de la preuve du lemme 6.2.4.

Lemme 6.2.5 Soit g.σ un élément quasi-semi-simple régulier, alors, g.σ est dans un seul quasi-tore de G̃.

Preuve du lemme : D’après le lemme 6.2.4, on peut supposer que g.σ ∈ G_{reg}^{σ}.σ. Mais, alors, selon Digne et Michel ([D.M.] proposition 14.6), g est dans un unique tore maximal T̃ de G^{σ}. Soit B̃ un sous-groupe de Borel de G^{σ}, contenant T̃ , alors l’ensemble de sous-groupe de Borel contenant g est de la forme B_{g}^{G^{σ}} = {^{n}B̃|n ∈ N_{G^{σ}}(T̃)}. Par ailleurs, comme σ est quasi-central, il existe un unique couple T_{1} ⊂ B_{1} formé d’un tore maximal σ-stable inclus dans un sous-groupe de Borel σ-stable de G tel que T_{1}^{σ} = T̃ et B_{1}^{σ} = B̃ et g.σ ∈ NG̃(T_{1}, B_{1}).

Supposons trouvé un couple T_{2} ⊂ B_{2} tel que g.σ ∈ NG̃(T_{2}, B_{2}). Comme g.σ est une décomposition de Jordan, cela signifie que g et σ sont aussi dans NG̃(T_{2}, B_{2}), donc T_{2} et B_{2} sont σ-stables. On en déduit que g ∈ T_{2}^{σ}, c’est-à-dire que T_{2}^{σ} = T̃ ou encore T_{2} = T_{1}, car σ est quasi-central. Par ailleurs, B_{2}^{σ} = B_{g}^{G^{σ}}, donc, il existe n ∈ N_{G^{σ}}(T̃) tel que B_{2}^{σ} = ^{n}B̃ = (^{n}B_{1})^{σ}, donc, B_{2} = ^{n}B_{1} car σ est quasi-central. D’où l’égalité entre les quasi-tores NG̃(T_{1}, B_{1}) = NG̃(T_{2}, B_{2}).

fin de la preuve du lemme 6.2.5.

Démontrons maintenant que ϕ est surjective. Soit (g.σ, xB) un élément de π^{−1}(G_{reg}^{1}), montrons qu’il existe z ∈ xB tel que (g.σ, zT) ∈ G̃_{reg}^{1}. Par hypothèse, g.σ est un élément quasi-semi-simple régulier de G^{1} tel que x^{−1}g.σ(x) ∈ B. Ainsi, il existe t ∈ T^{σ} tel que t.σ soit régulier et y ∈ G tels que g.σ = ^{y}(t.σ). Cependant, t ∈ T^{σ} et t.σ est régulier et x^{−1}y(t.σ) ∈ B.σ, c’est-à-dire, t.σ ∈ NG̃(^{y^{−1}x}B) , donc, d’après le lemme 6.2.6 ci-dessous, il existe w ∈ W^{σ} tel que ^{y^{−1}x}B = ^{w}B. Ainsi, z = yw ∈ xB et ^{z^{−1}}g.σ = ^{w^{−1}y^{−1}}g.σ ∈ T.σ, c’est-à-dire, (g.σ, zT) ∈ G̃_{reg}^{1}.

Lemme 6.2.6 Si t ∈ T^{σ} et si t.σ est régulier, alors, B_{t.σ} = {^{w}B; w ∈ W^{σ}}.

Preuve du lemme 6.2.6 : Clairement, on a {^{w}B; w ∈ W^{σ}} ⊂ B_{t.σ}. Il reste à prouver l’inclusion dans l’autre sens. On pose σ′ = t.σ, alors, tσ est la décomposition de Jordan de σ′. Soit B′ un sous-groupe de Borel σ′-stable, alors, t et σ sont dans NG̃(B′), donc B′ est aussi σ-stable Cela entraîne que t ∈ (B′)^{σ}, ainsi, comme t est semi-simple, t est dans un tore maximal de (B′)^{σ}, et comme t est dans un unique tore maximal de G^{σ} (lemme 6.2.5), T^{σ} est un tore maximal de (B′)^{σ}, donc, il existe w ∈ W^{σ}, tel que (B′)^{σ} = ^{w}(B^{σ}) = (^{w}B)^{σ}, et comme σ est quasi-central, B′ = ^{w}B.

fin de la preuve du lemme 6.2.6.

On note ψ la réciproque de ϕ, montrons que c’est un morphisme. Soit (g.σ, xB) ∈ π^{−1}(G_{reg}^{1}), alors il existe z ∈ xB tel que ψ(g.σ, xB) = (g.σ, zT), mais alors, ψ(^{x^{−1}}(g.σ), B) = (^{x^{−1}}(g.σ), x^{−1}zT) (car (x^{−1}z)^{−1}(^{x^{−1}}(g.σ))(x^{−1}z) ∈ T.σ et (x^{−1}z) ∈ B). Donc, il suffit de voir que la restriction de ψ à π^{−1}(B_{reg}^{1}) est un morphisme, c’est-à-dire que l’application f qui à tout élément régulier de B.σ associe le seul tore de B qu’il normalise (lemme 6.2.5) est un morphisme de variétés.

Lemme 6.2.7 Soit t.σ ∈ T_{reg}^{1}, alors, l’application h_{t} : U → U définie par u ↦ u.^{t.σ}u^{−1} est un isomorphisme.

Preuve du lemme 6.2.7 : On sait déjà que h_{t} est surjective (lemme 2.2.7). Comme T = T^{σ}.L_{σ}(T) (σ unipotent quasi-central), t = t_{1}L_{σ}(t_{2}) et C_{G}(t.σ) = (T^{σ}), donc, U^{t.σ} = 1, et h_{t} est injective. Nous allons utiliser la proposition suivante :

Proposition 6.2.8 ([Mil] remarque 6.21) Si g est un morphisme bijectif W → V de variétés irréductibles et si de plus, g est séparable et V est normale, alors, g est un isomorphisme.

Comme U est une variété lisse, U est normale, il suffit de montrer que h_{t} est séparable, ce que nous allons faire avec l’aide du critère suivant :

Proposition 6.2.9 ([Hum] page 44) Soit g : V → W un morphisme dominant de variétés irréductibles. Soient x ∈ V tel que x et g(x) = y soient réguliers. Si dg_{x} : T (V)_{x} → T (V)_{y} est surjective, alors, g est séparable.

Nous allons montrer que (dh_{t})_{0} : T (U)_{0} → T (U)_{0} est surjective. L’espace tangent T (U)_{0} est isomorphe à k^{|Φ^{+}|}. Soit u = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(k_{α}) ∈ U, alors, h_{t}(u) = ∏_{α∈Φ^{+}} x_{α}(k_{α} − c_{σ^{−1}(α)}α(t)k_{σ^{−1}(α)})u_{∗}, où, u_{∗} est un produit de commutateurs. Donc, (dh_{t})_{0} est l’application linéaire définie par (k_{α})_{α∈Φ^{+}} ↦ (k_{α} − c_{σ^{−1}(α)}α(t)k_{σ^{−1}(α)})_{α∈Φ^{+}}. On regroupe les coefficients k_{α} par σ-orbites, la matrice de h_{t} est alors une matrice par blocs formée de blocs de la forme :

A(α) = ( \begin{matrix}1 & & & ... & −c_{σ^{−1}(α)}α(t_{1}) \\ −c_{α}α(t_{1}) & 1 & & ... \\ & −c_{σ(α)}α(t_{1}) & 1 & ... \\ & & & ... \\ & & & −c_{σ^{l−2}(α)}α(t_{1}) & 1 \end{matrix} ) ,

où l est le cardinal de la σ-orbite de α, et t = t_{1}L_{σ}(t_{2}), avec t_{1} ∈ T^{σ} régulier dans G^{σ}. En outre, det(A(α)) = 1 − C_{σ,α}α(t_{1})^{l}, et, comme σ est quasi-central, C_{σ,α} = 1 (théorème 1.1.10), par ailleurs, t_{1} est un élément semi-simple régulier de G^{σ}, donc α(t_{1}) ≠ 1 ([D.M.] proposition 14.16). De plus, t_{1} est semi-simple et σ est unipotent, et l divise l’ordre de σ. Si r est l’ordre de t_{1}, alors l et r sont premiers entre eux, et par Bezout, il existe deux entiers a et b tels que al + br = 1. Ainsi, on a α(t_{1})^{al} = α(t_{1})^{1−br} = α(t_{1}) ≠ 1, donc, α(t_{1})^{l} ≠ 1. On a donc montré que le déterminant de A(α) était non nul. Ainsi, le jacobien en 0 de h_{t} est un produit de déterminants non nuls, donc (dh_{t})_{0} est surjective.

fin de la preuve du lemme 6.2.7.

Ainsi, d’après le lemme précédent la réciproque de h_{t} est un morphisme. Soit b.σ un élément régulier de B.σ. Alors, b s’écrit de manière unique b = ut, et f(b) = ^{h_{t}^{−1}(u)}T (si on pose v = h_{t}^{−1}(u), alors, b.σ = ^{v}(t.σ)), donc f est bien un morphisme de variétés.

fin de la preuve de la proposition 6.2.3.

Soit π_{0} : π^{−1}(G_{reg}^{1}) → G_{reg}^{1} la restriction de π à π^{−1}(G_{reg}^{1}). Le groupe W^{σ} des éléments σ-stables du groupe de Weyl de G agit à droite sur G̃_{reg}^{1} par w : (g.σ, xT) ↦ (g.σ, xwT) et donc agit sur π^{−1}(G_{reg}^{1}) via l’isomorphisme de la proposition 6.2.3.

Proposition 6.2.10 π_{0} : π^{−1}(G_{reg}^{1}) → G_{reg}^{1} est un revêtement galoisien de groupe W^{σ}.

Preuve : Nous allons montrer que π_{0} vérifie les hypothèses de la définition 5.1.10. Le morphisme π_{0} : π^{−1}(G_{reg}^{1}) → G_{reg}^{1} est un morphisme de variétés fini dont toutes les fibres ont le même cardinal égal au cardinal de W^{σ} car si g.σ ∈ G_{reg}^{1}, alors, π^{−1}(g.σ) est conjugué à {(t_{0}.σ,^{w}B); w ∈ W^{σ}}, où t_{0} est un élément régulier de T^{σ}. D’après la proposition 5.1.3, π_{0} : π^{−1}(G_{reg}^{1}) → G_{reg}^{1} est un morphisme plat de variétés, comme π_{0} est de plus surjectif, il est fidèlement plat.

L’action de W^{σ} sur π^{−1}(G_{reg}^{1}) provient de l’isomorphisme G̃_{reg}^{1} → π^{−1}(G_{reg}^{1}) de la proposition 6.2.3, et de l’action à droite de W^{σ} sur G̃_{reg}^{1}. C’est une action à droite audessus de G_{reg}^{1} (car π_{0} est clairement W^{σ}-invariant par rapport à l’action de W^{σ} sur G̃_{reg}^{1} ≃ π^{−1}(G_{reg}^{1}) définie par w : (g.σ, xT) ↦ (g.σ, xwT) et par rapport à l’action triviale de W^{σ} sur G_{reg}^{1}). De plus, l’application ϕ qui à tout (w, (g.σ, xT)) ∈ W^{σ} × G̃_{reg}^{1} associe ((g.σ, xT), (g.σ, xwT)) définit un isomorphisme de W^{σ} × G̃_{reg}^{1} dans G̃_{reg}^{1} ×_{G_{reg}^{1}} G̃_{reg}^{1} car pour tout g.σ ∈ G_{reg}^{1}, il existe x ∈ G tel que x^{−1}g.σx ∈ T_{reg}^{1} et {yT |y^{−1}g.σy ∈ T_{reg}^{1}} = {xwT |w ∈ W^{σ}}, de plus, W^{σ} agit fidèlement et transitivement sur cet ensemble.

fin de la preuve.

On déduit de la proposition précédente que W^{σ} agit sur le système local sur G_{reg}^{1}, L = (π_{0})_{∗}\overline{ℚ}_{l}, image directe du faisceau constant \overline{ℚ}_{l} sur π^{−1}(G_{reg}^{1}).

Dans le premier chapitre, il a été démontré que l’ensemble des éléments réguliers quasi-semi-simples était dense dans G^{1} (proposition 2.2.6).

On considère maintenant le complexe de cohomologie d’intersection sur \overline{G^{1}}_{reg} = G^{1} associé à L. Comme IC est un foncteur fidèle de la catégorie des systèmes locaux sur G_{reg}^{1} dans la catégorie des faisceaux pervers, on obtient une action de W^{σ} sur IC(G^{1}, L)[dim(G)].

Proposition 6.2.11 Soit n = dim(G), alors,

IC(G^{1}, L)[n] ≃ π_{∗}(\overline{ℚ}_{l})[n] dans MG^{1},

où, π_{∗}(\overline{ℚ}_{l}) est l’image directe du faisceau constant \overline{ℚ}_{l} sur G̃^{1} par l’application π.

Preuve : Il suffit de voir que K = π_{∗}(\overline{ℚ}_{l})[n] vérifie les propriétés (i) à (iv) de la définition 5.2.6. On a un morphisme propre π : G̃^{1} → G^{1} entre deux variétés de même dimension et G^{1} est lisse (cf. proposition 6.2.1 (ii)), de plus, pour tout x.σ ∈ G^{1}, on a ϕ^{−1}(x.σ) ≃ B_{x.σ}, donc le corollaire 6.1.3 permet de conclure que π est un morphisme petit. Par ailleurs, selon le (i) de la proposition 6.2.1, G̃^{1} est une variété lisse. Les hypothèses de la proposition 5.3.2 sont donc vérifiées ce qui démontre les assertions (i), (iii) et (iv).

Il reste à démontrer le (ii), on considère le diagramme cartésien suivant :

\begin{matrix}π^{−1}(G_{reg}^{1}) & ⟶^{π_{0}} & G_{reg}^{1} \\ ↓i & & ↓i′ \\ G̃^{1} & ⟶^{π} & G^{1} \end{matrix} ,

où, i et i′ sont des inclusions. On applique le théorème de changement de base propre au morphisme propre π : G̃^{1} → G^{1}, on obtient i^{′∗}R^{0}π_{∗}(\overline{ℚ}_{l}) ≃ π_{0∗}(\overline{ℚ}_{l}). Or H^{−n}K|_{G_{reg}^{1}} est isomorphe à i^{′∗}R^{0}π_{∗}(\overline{ℚ}_{l}) = π_{0∗}(\overline{ℚ}_{l}) = L.

Proposition 6.2.12 Pour tout g.σ ∈ G^{1}, le groupe W^{σ} agit sur H^{i}(B_{g.σ}, \overline{ℚ}_{l}).

Preuve : D’après la proposition ci-dessus, W^{σ} agit sur π_{∗}(\overline{ℚ_{l}})[n] et donc sur chaque fibre H^{i}(π_{∗}(\overline{ℚ}_{l})[n])_{g.σ} qui est, comme on l’a vu ci-dessus, isomorphe à H^{i}(B_{g.σ}, \overline{ℚ}_{l}).

fin de la preuve.

6.3 L’action de W^{σ} sur H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l})

La variété B_{σ} est l’ensemble des sous-groupes de Borel de G stables par σ, comme σ est quasi-central, elle est isomorphe à la variété des sous-groupes de Borel de G^{σ} que l’on va noter B^{σ}. Par la suite, nous allons identifier les groupes H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l}) et H^{∗}(B^{σ}, \overline{ℚ}_{l}). En appliquant la construction ci-dessus, on obtient une action de W^{σ} sur H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l}) que l’on appelle action de Springer issue de G^{1}. Nous allons appliquer la construction de la représentation de Springer décrite par Shoji ([Sho] chapitre 4) au groupe réductif connexe G^{σ} afin d’obtenir une autre représentation de W^{σ} sur H^{∗}(B^{σ}, \overline{ℚ}_{l}) que nous allons appeler représentation de Springer issue de G^{σ}. Cette réprésentation peut être aussi obtenue en appliquant à G^{σ}.σ la construction de la section précédente. Nous allons montrer que les représentations de Springer issue de G^{1} et de G^{σ} sont les mêmes.

On note

G̃^{σ} = {(g, B′) ∈ G^{σ} × B^{σ}|g ∈ B′},

et on note π′ : G̃^{σ} → G^{σ} la projection sur le premier facteur. On considère l’ensemble G_{reg}^{σ} des éléments semi-simples réguliers de G^{σ}. On considère le diagramme cartésien suivant :

\begin{matrix}G̃_{reg}^{σ} & ⟶^{ĩ′} & G̃^{σ} \\ ↓π′_{0} & & ↓π′ \\ G_{reg}^{σ} & ⟶^{i′} & (G^{σ})^{0} \end{matrix} ,

On note L′ = (π′_{0})_{∗}\overline{ℚ}_{l}, le faisceau sur G_{reg}^{σ} image directe par (π′_{0})_{∗} du faisceau constant \overline{ℚ}_{l} sur π^{′−1}(G_{reg}^{σ}). Comme dans la partie précédente, on a

IC(G^{σ}, L′)[n′] ≃ π′_{∗}(\overline{ℚ}_{l})[n′] dans M(G^{σ}),

où, n′ = dim(G^{σ}). Ce qui induit l’action de Springer de W^{σ} issue de G^{σ} sur H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l}).

Proposition 6.3.1 L’action de Springer W^{σ} sur H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l}) issue de G^{1} et celle issue de G^{σ} coïncident.

Preuve : On considère le diagramme commutatif suivant :

\begin{matrix}G̃^{σ} & ⟶^{j̃} & G̃^{1} \\ ↓π′ & & ↓π \\ G^{σ} & ⟶^{j} & G^{1} \end{matrix} ,

où, j est défini par g ↦ g.σ et j̃ est le morphisme qui à tout couple (g, B̃) ∈ G̃^{σ} associe le couple (g.σ, B), où B est l’unique sous-groupe de Borel σ-stable de G tel que B^{σ} = B̃. Ce n’est pas un diagramme cartésien, mais G̃^{σ} ≃ (G̃^{1})^{σ}. Comme j̃_{∗} et j̃^{∗} sont adjoints, il existe un isomorphisme α : Hom_{F(G̃^{σ})}(\overline{ℚ}_{l}, \overline{ℚ}_{l}) ≃ Hom_{F(G̃^{1})}(\overline{ℚ}_{l}, j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l}) (où F(H) est la catégorie des faisceaux sur la variété H). On considère le morphisme d’adjonction α(Id_{\overline{ℚ}_{l}}) : \overline{ℚ}_{l} → j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l}. Par fonctorialité, il induit un morphisme de faisceaux sur G^{1}, ϕ : π_{∗}\overline{ℚ}_{l} → π_{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l}, et comme π ∘ j̃ = j ∘ π′, ϕ est un morphisme de faisceaux π_{∗}\overline{ℚ}_{l} → j_{∗}π′_{∗}\overline{ℚ}_{l}.

On considère le diagramme cartésien suivant :

\begin{matrix}G̃_{reg}^{1} & ⟶^{ĩ} & G̃^{1} \\ ↓π_{0} & & ↓π \\ G_{reg}^{1} & ⟶^{i} & G^{1} \end{matrix} ,

Comme ci-dessus, on note L le faisceau local π_{0∗}\overline{ℚ}_{l}. On a déjà vu que les faisceaux pervers sur G^{1}, π_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] et i_{!∗}L[n] étaient isomorphes dans M(G^{1}) (proposition 6.2.11). Nous allons montrer dans le lemme suivant que j_{∗}π′_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est aussi une extension perverse i_{!∗}A d’un faisceau pervers A sur G_{reg}^{1}.

Lemme 6.3.2 j_{∗}π′_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] ≃ i_{!∗}j_{reg∗}L′[n] dans M(G^{1}), où L′ = π′_{0∗}\overline{ℚ}_{l}.

Preuve du lemme 6.3.2 : Regardons le diagramme commutatif suivant :

\begin{matrix}G_{reg}^{σ} & ⟶^{i′} & (G^{σ})^{0} \\ ↓j_{reg} & & ↓j \\ G_{reg}^{1} & ⟶^{i} & G^{1} \end{matrix} .

Le morphisme j_{reg} est l’immersion ouverte définie par g ↦ g.σ, en effet, d’après le lemme 6.2.4, g.σ ∈ (G^{σ})^{0} est quasi-semi-simple régulier si et seulement si g est semi-simple régulier dans (G^{σ})^{0}.

Lemme 6.3.3 Les foncteurs T : D((G^{σ})^{0}) → D(G^{1}) et T_{reg} : D(G_{reg}^{σ}) → D(G_{reg}^{1}), définis par T (K) : = j_{∗}K[n − n′] pour tout K ∈ D((G^{σ})^{0}) et T_{reg}(K) : = j_{reg∗}K[n − n′] pour tout K ∈ D(G_{reg}^{σ}), sont t-exacts.

Preuve du lemme 6.3.3 : Comme j et j_{reg} sont des morphismes propres en tant qu’immersion fermée, j_{∗} et j_{reg∗} sont des foncteurs exacts et ils commutent à la dualité de Verdier. Ainsi, il suffit de vérifier que pour tout faisceau pervers K sur (G^{σ})^{0} (resp. G_{reg}^{σ}), on a dim(Supp(H^{i}(T (K)))) ≤ −i (resp. dim(Supp(H^{i}(T_{reg}(K)))) ≤ −i) pour tout i ≥ −n. Nous effectuons ci-dessous la vérification pour le foncteur T, l’autre cas est tout-à-fait similaire.

Soit i ≥ −n, alors,

dim(Supp(H^{i}(T (K)))) = dim(Supp(H^{i}(j_{∗}K[n − n′])))
= dim(Supp(H^{i+n−n′}(j_{∗}K)))
= dim(Supp(H^{i+n−n′}(K)))
≤ −i − (n − n′)
(car i + n − n′ ≥ −n′)
≤ −i

fin de la preuve du lemme 6.3.3.

Ainsi, d’après le lemme précédent, j_{∗}π′_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] = T (π′_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n′]) est un faisceau pervers sur G^{1} et

j_{∗}π′_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] = ^{p}T (i′_{!∗}L′[n′])
= ^{p}T (Im(^{p}i′_{!}L′[n′] → ^{p}i′_{∗}L′[n′]))
= Im(^{p}T^{p}i′_{!}L′[n′] → ^{p}T^{p}i′_{∗}L′[n′])

(car ^{p}T est exact, proposition 5.2.12, (ii))

Il suffit donc de montrer que ^{p}T^{p}i′_{!}L′[n′] = ^{p}i_{!}T_{reg}L′[n′] et que ^{p}T^{p}i′_{∗}L′[n′] = ^{p}i_{∗}T_{reg}L′[n′].

Nous allons montrer la première égalité, la démonstration de la seconde est très semblable.

pT^{p}i′_{!}L′[n′] = ^{p}T ∘ H^{0} ∘ i′_{!} ∘ ϵ(L′[n′])

(où ϵ est l′inclusion M(G^{1}) ⊂ D(G^{1}))

= H^{0} ∘ (T ∘ i′_{!}) ∘ ϵ(L′[n′])

(proposition 5.2.12, (ii))

= ^{p}(T ∘ i′_{!})(L′[n′])
= ^{p}(i_{!} ∘ T_{reg})(L′[n′])

(car j ∘ i′ = i ∘ j_{reg})

= ^{p}i_{!}(T_{reg}L′[n′])

(proposition 5.2.12, (iv))

Donc, j_{∗}π′_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] ≃ i_{!∗}j_{reg∗}L′[n] dans M(G^{1}).

fin de la preuve du lemme 6.3.2.

Ainsi, le morphisme ϕ[n] : π_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] → π_{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] est un morphisme entre deux extensions de faisceaux pervers sur G_{reg}^{1}. Or, le foncteur i_{!∗} induit une équivalence de catégories de M(G_{reg}^{1}) dans {i_{!∗}A′; A′ ∈ M(G_{reg}^{1})} d’inverse i^{∗} (cf. proposition 5.2.5). Ainsi, le foncteur i_{!∗} est pleinement fidèle (i_{!∗} : Hom(A′, B′) → Hom(i_{!∗}A′, i_{!∗}B′) est un isomorphisme d’inverse i^{∗}) et, pour montrer que ϕ[n] est W^{σ}-équivariant, il suffit de montrer que c’est le cas pour sa restriction à G_{reg}^{1}. Ainsi, il faut montrer que i^{∗}π_{∗}α(Id_{\overline{ℚ}_{l}}) : i^{∗}π_{∗}\overline{ℚ}_{l} → i^{∗}π_{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l} est W^{σ}-équivariant, c’est-à-dire, par le théorème de changement de base propre appliqué au morphisme propre π, que le morphisme π_{0∗}ĩ^{∗}α(Id_{\overline{ℚ}_{l}}) : π_{0∗}\overline{ℚ}_{l} → π_{0∗}ĩ^{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l} l’est. Comme π_{0} est un revêtement galoisien de groupe de Galois W^{σ} et comme les actions de W^{σ} sur π_{0∗}\overline{ℚ}_{l} et sur π_{0∗}ĩ^{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l} proviennent de celles sur \overline{ℚ}_{l} et sur ĩ^{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l}, cela revient à se demander si ĩ^{∗}α(Id_{\overline{ℚ}_{l}}) est W^{σ}-équivariant. On se place maintenant du point de vue du diagramme cartésien suivant :

G̃_{reg}^{σ} ⟶^{ĩ′} G̃^{σ}
↓j̃_{reg} ↓j̃
G̃_{reg}^{1} ⟶^{ĩ} G̃^{1}

Les foncteurs j̃_{reg∗} et j̃_{reg}^{∗} sont adjoints, il existe un isomorphisme α_{reg} : Hom_{F(G̃_{reg}^{σ})}(\overline{ℚ}_{l}, \overline{ℚ}_{l}) ≃ Hom_{F(G̃_{reg}^{1})}(\overline{ℚ}_{l}, j̃_{reg∗}\overline{ℚ}_{l}).

Nous allons montrer que ĩ^{∗}α(Id_{\overline{ℚ}_{l}}) : \overline{ℚ}_{l} → ĩ^{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l} est en fait le morphisme d’adjonction α_{reg}(Id_{\overline{ℚ}_{l}}) : \overline{ℚ}_{l} → j̃_{reg∗}\overline{ℚ}_{l}. On en déduira la W^{σ}-équivariance de ĩ^{∗}α(Id_{\overline{ℚ}_{l}}) car j̃_{reg} est clairement un morphisme équivariant de G̃_{reg}^{σ} → G̃_{reg}^{1} pour les actions de W^{σ} sur G̃_{reg}^{σ} (définie par w : (g, xT) ↦ (g, xwT)) et sur G̃_{reg}^{1} (définie par w : (g.σ, xT) ↦ (g.σ, xwT)).

Tout d’abord, par le théorème de changement de base propre appliqué au morphisme propre j̃, les faisceaux ĩ^{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l} et j̃_{reg∗}\overline{ℚ}_{l} sont isomorphes. Ensuite, d’un côté, pour tout morphisme étale U → G̃_{reg}^{1}, on a α_{reg}(Id_{\overline{ℚ}_{l}})(U) : \overline{ℚ}_{l}(U) → \overline{ℚ}_{l}(U ×G̃_{reg}^{1} G̃_{reg}^{σ}). De l’autre côté, ĩ : G̃_{reg}^{1} → G̃^{1} est une immersion ouverte, c’est donc un morphisme étale, et ĩ^{∗} est le foncteur restriction, donc, pour tout morphisme étale U → G̃_{reg}^{1}, ĩ^{∗}α(Id_{\overline{ℚ}_{l}})(U) = α(Id_{\overline{ℚ}_{l}})(U) : \overline{ℚ}_{l}(U) → j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l}(U), où, j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l}(U) = \overline{ℚ}_{l}(U ×G̃^{1} G̃^{σ}) et U ×G̃^{1} G̃^{σ} = U ×G̃_{reg}^{1} G̃_{reg}^{σ}. D’où l’assertion, ĩ^{∗}α(Id_{\overline{ℚ}_{l}}) = α_{reg}(Id_{\overline{ℚ}_{l}}).

La proposition est donc démontrée si l’on prouve que la fibre en σ du morphisme W^{σ}-équivariant ϕ est un isomorphisme ϕ_{σ} : (π_{∗}\overline{ℚ}_{l})_{σ} → (π_{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l})_{σ}.

Soit U = G̃^{1} −G̃^{σ} et ĩ_{U} l’immersion ouverte U → G̃^{1}, on rappelle que j̃ est l’immersion fermée G̃^{σ} → G̃^{1}. On a la suite exacte suivante :

0 → ĩ_{U!}ĩ_{U}^{∗} \overline{ℚ}_{l} → \overline{ℚ}_{l} → j̃_{∗}j̃^{∗}\overline{ℚ}_{l} → 0

Le foncteur π_{∗} est exact à gauche, si on considère les foncteurs dérivés à droite R^{k}π_{∗} de π_{∗}, on obtient la suite exacte longue suivante :

... → R^{k}π_{∗}ĩ_{U!}ĩ_{U}^{∗} \overline{ℚ}_{l} → R^{k}π_{∗}\overline{ℚ}_{l} → R^{k}π_{∗}j̃_{∗}j̃^{∗}\overline{ℚ}_{l} → R^{k+1}π_{∗}ĩ_{U!}ĩ_{U}^{∗} \overline{ℚ}_{l} → ...

On lui applique alors le foncteur exact F ↦ F_{σ}, on a alors la suite exacte longue suivante :

... → (R^{k}π_{∗}ĩ_{U!}ĩ_{U}^{∗} \overline{ℚ}_{l})_{σ} → (R^{k}π_{∗}\overline{ℚ}_{l})_{σ} → (R^{k}π_{∗}j̃_{∗}j̃^{∗}\overline{ℚ}_{l})_{σ} → (R^{k+1}π_{∗}ĩ_{U!}ĩ_{U}^{∗} \overline{ℚ}_{l})_{σ} → ...

Donc, pour montrer qu’on a un isomorphisme entre (R^{0}π_{∗}\overline{ℚ}_{l})_{σ} = (π_{∗}\overline{ℚ}_{l})_{σ} et (R^{0}π_{∗}j̃_{∗}j̃^{∗}\overline{ℚ}_{l})_{σ} = (π_{∗}j̃_{∗}\overline{ℚ}_{l})_{σ}, il faut montrer que (R^{0}π_{∗}ĩ_{U!}ĩ_{U}^{∗} \overline{ℚ}_{l})_{σ} = 0 et (R^{1}π_{∗}ĩ_{U!}ĩ_{U}^{∗} \overline{ℚ}_{l})_{σ} = 0, c’est-à-dire, que H_{c}^{0}(U ∩ π^{−1}(σ), \overline{ℚ}_{l}) = 0 et H_{c}^{1}(U ∩ π^{−1}(σ), \overline{ℚ}_{l}) = 0. Ce qui est évident car π^{−1}(σ) ⊂ G̃^{σ} et U = G̃^{1} − G̃^{σ}.

fin de la preuve de la proposition 6.3.1.

Corollaire 6.3.4 La représentation de Springer de W^{σ} sur H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l}) issue de G^{1} est la réprésentation régulière de W^{σ}.

Preuve : D’après Shoji ([Sho] corollaire 5.5), la représentation de Springer de W^{σ} sur H^{∗}(B^{σ}, \overline{ℚ}_{l}) issue de G^{σ} est la représentation régulière de W^{σ}.

fin de la preuve.

6.4 La correspondance de Springer

Dans cette partie, nous allons démontrer l’équivalent du théorème de Borho MacPherson dans la tranche G^{1}. Ce théorème décrit la restriction de π_{∗}\overline{ℚ}_{l} à U(G^{1}) et donne la correspondance de Springer. On note N l’ensemble des paires (C, E) où C est une G-classe unipotente de G^{1} et E un système local irréductible G-équivariant sur C.

Proposition 6.4.1 ([Spa] proposition I.1.6)

L’ensemble U(G^{1}) des éléments unipotents de G^{1} = G.σ est une sous-variété fermée irréductible de G̃ de codimension égale au rang de G^{σ}.

Théorème 6.4.2 On note n la dimension de G̃ et r′ le rang de G^{σ}.

(i) π_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n−r′]|_{U(G^{1})} est un objet semi-simple de M(U(G^{1})) et se décompose de la façon suivante :

π_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n − r′]|_{U(G^{1})} ≃ ⨁_{(C,E)} V_{C,E} ⊗ IC(C̄, E)[dim(C)]

où (C, E) parcourt l’ensemble N et V_{C,E} est un \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel de dimension égale à la multiplicité de l’objet simple correspondant à (C, E).

(ii) L’action de W^{σ} sur π_{∗}\overline{ℚ}_{l}|_{U(G^{1})} entraîne une action de W^{σ} sur chaque V_{C,E}, de plus, tout W^{σ}-module V_{C,E}, s’il est non nul, est irréductible, et l’application (C, E) ↦ V_{C,E} induit une bijection de {(C, E)|V_{C,E} ≠ 0} ≃ Irr(W^{σ}).

Preuve : La preuve qui suit s’inspire de la preuve rédigée par Shoji ([Sho] preuve du théorème 6.2) dans le cas où G̃ est un groupe réductif connexe.

(i) Soit π_{2} la restriction de π : G̃^{1} → G^{1} à π^{−1}(U(G^{1})). On considère le diagramme suivant :

π^{−1}(U(G^{1})) ⟶^{i} G̃^{1}
↓π_{2} ↓π
U(G^{1}) ⟶^{i′} G^{1}

Comme π est propre, on applique le théorème du changement de base propre, d’où, π_{∗}\overline{ℚ}_{l}|_{U(G^{1})} ≃ (π_{2})_{∗}\overline{ℚ}_{l}.

Nous allons d’abord montrer que les hypothèses du corollaire 5.3.3 sont vérifiées.

Tout d’abord, π_{2} : π^{−1}(U(G^{1})) → U(G^{1}) est un morphisme propre (car les morphismes propres sont stables par extension de base) entre deux variétés de même dimension égale à n − r′ et U(G^{1}) est lisse. De plus,

dim{g.σ ∈ U(G^{1})|2dim(π_{2}^{−1}(g.σ)) ≥ i} ≤ dim(U(G^{1})) − i

par le (ii) du corollaire 6.1.3 et π_{2}^{−1}(g.σ) ≃ B_{g.σ}, donc π_{2} est semi-petit.

Ensuite, d’après la proposition 6.2.1, π^{−1}(U(G^{1})) est une variété lisse. Enfin, π_{2} est un morphisme G-équivariant.

Ainsi, d’après le corollaire 5.3.3, K_{2} = (π_{2})_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n − r′] est un objet semi-simple Géquivariant de M(U(G^{1})) et les objets simples qui interviennent dans la décomposition de K_{2} sont G-équivariants, c’est-à-dire, de la forme IC(\overline{Y} , E)[dim(Y)], où Y est une sousvariété irréductible lisse G-stable de U(G^{1}) et E est un système local irréductible Géquivariant sur Y. L’adhérence \overline{Y} de Y est alors un fermé irréductible de U(G^{1}).

D’après Spaltenstein ([Spa] théorème I.4.1), la variété G^{1} n’admet qu’un nombre fini de classes unipotentes. Comme dans le cas connexe, toute classe unipotente C de G^{1} est une sous-variété lisse de U(G^{1}), son adhérence \overline{C} est un fermé irréductible de U(G^{1}) et une réunion de classes unipotentes. De plus, les fermés irréductibles G-stables de U(G^{1}) sont des adhérences de classes de conjugaison.

Ainsi, les objets simples G-équivariants de M(U(G^{1})) sont de la forme IC(\overline{C}, E)[dim(C)], où C est une classe unipotente de G^{1} et E est un système local irréductible G-équivariant sur C.

On en conclut que K_{2} se décompose de la façon suivante dans U(G^{1}) :

K_{2} ≃ ⨁_{(C,E)} V_{C,E} ⊗ IC(C̄, E)[dim(C)],

où, C parcourt l’ensemble des G-classes unipotentes de G^{1} et E l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C.

(ii) L’action de W^{σ} sur π_{∗}\overline{ℚ}_{l} induit une action de W^{σ} sur K_{2} car U(G^{1}) est stable par W^{σ}. L’action de tout w ∈ W^{σ} peut être vue comme un automorphisme de K_{2}.

Par ailleurs, l’action de W^{σ} sur K_{2} induit une application α : \overline{ℚ}_{l}[W^{σ}] → End(K_{2}). Nous allons montrer que α est un isomorphisme.

Montrons tout d’abord l’injectivité de α. Considérons la fibre H_{σ}^{i}(K_{2}) de K_{2} en σ ∈ U(G^{1}), on a H_{σ}^{i}(K_{2}) ≃ H^{i+γ}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l}), où γ = n − r′. On a donc un morphisme naturel β : End(K_{2}) → End(H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l})), et β ∘ α est l’action de W^{σ} sur H^{∗}(B_{σ}, \overline{ℚ}_{l}) que nous avons étudiée ci-dessus. Donc, selon le corollaire 6.3.4, β ∘ α est injective ce qui entraîne l’injectivité de α.

Il reste à démontrer la surjectivité. Comme on sait que α est injective, il suffit de montrer que dim(\overline{ℚ}_{l}[W^{σ}]) ≥ dim(End(K_{2})), c’est-à-dire, d’après le (i), que

∑_{(C,E)} dim(V_{C,E})^{2} ≤ |W^{σ}|.

Soit x ∈ U(G^{1}), on note C_{x} la classe de conjugaison de x sous G. On pose d_{x} = dim(B_{x}). Comme H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}) ≃ H_{x}^{2d_{x}}(K_{2}[−γ]), on a :

H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}) ≃ ⨁_{(C,E)} V_{C,E} ⊗ H_{x}^{2d_{x}−γ+dimC}IC(C̄, E)  (6.1)

Comme K_{2} est G-équivariant, C_{G}(x) agit sur la fibre H_{x}^{2d_{x}}(K_{2}[−γ]), ce qui induit une action de A_{G}(x) qui coïncide avec l’action de A_{G}(x) sur H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}) induite par l’action de C_{G}(x) sur B_{x}.

Comme G est un groupe connexe qui agit transitivement sur la variété C_{x}, il existe une bijection entre les systèmes locaux G-équivariants sur C_{x} et les représentations de dimension finie de A_{G}(x) sur \overline{ℚ}_{l} (proposition 5.2.17).

On s’intéresse à une paire (x, ρ) avec ρ ∈ A_{G}(x)^{∧}, par la bijection ci-dessus, on lui associe une paire (C_{x}, E_{ρ}) ∈ N. Dans la somme de droite de l’égalité (6.1), on considère le terme correspondant à la paire (C_{x}, E_{ρ}). Comme, 2d_{x} − γ + dim(C_{x}) = 2dim(B_{x}) + dim(C_{x}) − (dim(G) − rg(G^{σ})) = 0 (par le (i) du théorème 6.1.1), ce terme est égal à V_{C_{x},E_{ρ}} ⊗ H_{x}^{0}(IC(C̄_{x}, E_{ρ})), c’est-à-dire, à V_{C_{x},E_{ρ}} ⊗ (E_{ρ})_{x}, et (E_{ρ})_{x} est un A_{G}(x)-module irréductible isomorphe à ρ^{γ}.

On regarde maintenant H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}) comme une représentation de A_{G}(x), on note m_{x,ρ} la multiplicité de la représentation irréductible ρ^{γ} dans H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}). Alors, la dimension de V_{C_{x},E_{ρ}} est inférieure ou égale à m_{x,ρ}. On a donc montré, pour toute classe unipotente C_{x} de G^{1}, et pour toute représentation ρ de A_{G}(x) :

dim(V_{C_{x},E_{ρ}}) ≤ m_{x,ρ}.

Par ailleurs, par définition des m_{x,ρ}, on a,

dim(End_{A_{G}(x)}(H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}))) = ∑_{ρ∈A_{G}(x)^{∧}} m_{x,ρ}^{2}

De plus,

dim(End_{A_{G}(x)}(H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}))) = dim(End_{\overline{ℚ}_{l}}(H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}))^{A_{G}(x)})

La base de H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}) est paramétrée par l’ensemble I(B_{x}) des composantes irréductibles de B_{x}, et, l’action de A_{G}(x) sur H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}) est induite par son action sur I(B_{x}). Donc, la base de End_{\overline{ℚ}_{l}}(H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l})) est indexée par I(B_{x}) × I(B_{x}) est l’action de A_{G}(x) sur End_{\overline{ℚ}_{l}}(H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l})) est induite par son action diagonale sur I(B_{x}) × I(B_{x}). Ainsi, la dimension de End_{\overline{ℚ}_{l}}(H^{2d_{x}}(B_{x}, \overline{ℚ}_{l}))^{A_{G}(x)} est égale au nombre de A_{G}(x)-orbites de I(B_{x}) × I(B_{x}). On obtient donc, l’inégalité suivante, en associant, par la bijection décrite ci-dessus, à tout élément (C, E) ∈ N une paire (x, ρ) avec x ∈ C et ρ ∈ A_{G}(x)^{∧} :

∑_{(x,ρ)} dim(V_{C_{x},E_{ρ}})^{2} ≤ ∑_{(x,ρ)} m_{(x,ρ)}^{2}
= ∑_{x∈U(G^{1})/∼} |I(B_{x}) × I(B_{x})/A_{G}(x)|
= |W^{σ}|

La dernière égalité provenant du corollaire 6.1.2.

fin de la preuve du théorème 6.4.2.

De la démonstration ci-dessus, on déduit directement le corollaire suivant :

Corollaire 6.4.3 Pour toute classe unipotente C_{u.σ} de G^{1}, on a

H^{2d_{u.σ}}(B_{u.σ}, \overline{ℚ}_{l}) = ⊕_{ρ∈A_{G}(u.σ)^{∧}}V_{(C_{u.σ},E_{ρ})} ⊗ ρ^{∨}

comme W^{σ} × A_{G}(u.σ)-modules.

Corollaire 6.4.4 Pour toute classe unipotente C_{u.σ} de G^{1}, l’espace V_{(C_{u.σ},\overline{ℚ}_{l})} est non nul, la correspondance de Springer induit donc une injection de l’ensemble des classes unipotentes de G^{1} dans l’ensemble des représentations irréductibles de W^{σ} définie par C_{u.σ} ↦ V_{(C_{u.σ},\overline{ℚ}_{l})}.

Preuve : Le faisceau local \overline{ℚ}_{l} sur la classe de conjugaison C_{u.σ} correspond à la représentation triviale de A_{G}(u.σ). Ainsi, on a l’isomorphisme de W^{σ}-modules suivant : V_{(C_{u.σ},\overline{ℚ}_{l})} ≃ H^{2d_{u.σ}}(B_{u.σ}, \overline{ℚ}_{l})^{A_{G}(u.σ)}, d’où le corollaire car H^{2d_{u.σ}}(B_{u.σ}, \overline{ℚ}_{l})^{A_{G}(u.σ)} ≠ 0.

fin de la preuve.

D’après le corollaire 6.3.4, en identifiant, B_{σ} avec B^{G^{σ}}, l’action de Springer de G^{1} de W^{σ} sur H^{∗}(B^{G^{σ}}, \overline{ℚ}_{l}) est la représentation régulière de W^{σ}. Ainsi, H^{i}(B^{G^{σ}}, \overline{ℚ}_{l}) est nul pour i impair, et est W^{σ}-isomorphe à un espace de fonctions polynômiales homogènes de degré 2k pour i = 2k. On note n_{k}(ρ) la multiplicité d’une représentation irréductible ρ dans cet espace de fonctions polynômiales. Le corollaire ci-dessous se déduit directement du théorème 6.4.2. Corollaire 6.4.5

n_{k}(ρ_{(C_{u.σ},E)}) = mtp(ρ_{(C_{u.σ},E)}, H^{2k}(B^{G^{σ}}, \overline{ℚ}_{l})) = dim(H_{σ}^{2k−2d_{u.σ}}(IC(\overline{C_{u.σ}}, E))).

Définition 6.4.6 Soit U le W -module gradué qui correspond à la représentation régulière du groupe de Weyl W et soit U = ⨁_{i} U_{i} la décomposition de U en composantes graduées. Pour tout caractère irréductible ρ de W, on note n_{i}(ρ) la multiplicité avec laquelle ρ apparait dans le W -module U_{i}. Alors, le degré fantôme de ρ est le polynôme défini par :

P_{ρ}(t) = ∑_{i} n_{i}(ρ)t^{i},

et on note a_{ρ} la valuation de P_{ρ}.

Proposition 6.4.7 (i) Si k < d_{u.σ}, alors, n_{k}(ρ_{(C_{u.σ},E)}) = 0. (ii) Si k = d_{u.σ} et si E = \overline{ℚ}_{l}, alors, n_{k}(ρ_{(C_{u.σ},E)}) ≠ 0, c’est-à-dire que d_{u.σ} = a_{ρ}, où

ρ = ρ_{(C_{u.σ},\overline{ℚ}_{l})}.

Preuve : Le premier résultat de cette proposition est une conséquence immédiate du corollaire ci-dessus, car si j < 0, on a H_{σ}^{2j−2d_{u.σ}}(IC(\overline{C_{u.σ}}, E)) = 0.

Pour démontrer la deuxième assertion, il faut vérifier que pour toute classe unipotente C, on a H_{σ}^{0}(IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l})) ≠ 0.

Pour toute classe unipotente C, la variété \overline{C} est un espace stratifié par les classes unipotentes contenues dans \overline{C}. Et Cl_{G}(σ) en est la plus petite strate et est fermée. On note U = \overline{C} − Cl_{G}(σ) et j l’immersion U ↪ \overline{C}. Alors, dim(H^{0}(j_{!}j^{∗}(IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l})))) est le nombre de composantes connexes de C dont l’adhérence dans U est fermée dans \overline{C} et dim(H^{0}(IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l}))) est le nombre de composantes connexes de C, et est donc égal à 1, car C est connexe. Comme C est dense dans \overline{C} et que Cl_{G}(σ) n’est pas vide, on a dim(H^{0}(j_{!}j^{∗}(IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l})))) = 0. Or, le conoyau du morphisme injectif canonique

0 → H^{0}(j_{!}j^{∗}(IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l}))) → H^{0}(IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l}))

s’injecte dans H^{0}(IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l})|_{Cl_{G}(σ)}), qui est donc non nul. Par ailleurs, IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l}) est Géquivariant, donc, on a bien H_{σ}^{0}(IC(\overline{C}, \overline{ℚ}_{l})) ≠ 0.

fin de la preuve.

Restriction de la correspondance de Springer à un sous-groupe de Levi σ-stable

Ce chapitre s’inspire des travaux de Borho et MacPherson ([B.M.2]). On considère à nouveau un groupe réductif non connexe G̃ = G.⟨σ⟩, où σ est quasi-semi-simple unipotent. On note U(G^{1}) la variété des éléments unipotents de G^{1}, B la variété des sous-groupes de Borel de G et P la variété des sous-groupes paraboliques de G conjugués à un sous-groupe parabolique σ-stable fixé, noté P. On considère un sous-groupe de Levi σ-stable L de P. On note U(L^{1}) la variété des éléments unipotents de G^{1} et B^{L} la variété des sous-groupes de Borel de L.

Le but de ce chapitre est de relier la correspondance de Springer entre les G-classes unipotentes de G^{1} et les représentations irréductibles de W^{σ} et la correspondance de Springer entre les L-classes unipotentes de L^{1} et les représentations irréductibles de W (L)^{σ}, où W (L) est le groupe de Weyl de L. Les travaux exposés ici aboutissent à un résultat qui généralise celui de Lusztig et Spaltenstein dans [L.S.] : lorsque C est la G-classe unipotente de G^{1} obtenue en induisant la L-classe unipotente C^{L} de L^{1} à G^{1}, on montre que la restriction à W (L)^{σ} de la représentation ρ_{(C,\overline{ℚ}_{l})} de W^{σ}, image par la correspondance de Springer issue de G^{1} de (C, \overline{ℚ}_{l}) admet pour composante irréductible la représentation ρ_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} de W (L)^{σ}, image par la correspondance de Springer issue de L^{1} de (C^{L}, \overline{ℚ}_{l}) (proposition 7.5.3).

On définit de nouveau la variété G̃^{1} par

G̃^{1} = {(g.σ, B′) ∈ G^{1} × B|B′ ∈ B_{g.σ}},

où, B_{g.σ} est la variété des sous-groupes de Borel stables par g.σ, et on note π, la projection de G̃^{1} sur G^{1}. Comme dans le chapitre précédent, on pose Ũ(G^{1}) = π^{−1}(U(G^{1})) et on note π_{2}, la restriction de π à Ũ(G^{1}).

Ũ(G^{1}) = π^{−1}(U(G^{1})) ↪ G̃^{1}
↓π_{2} ↓π
U(G^{1})  ↪ G^{1}

On définit la variété L̃^{1} par

L̃^{1} = {(l.σ, B′) ∈ L^{1} × B^{L}|B′ ∈ B_{l.σ}^{L}},

où, B_{l.σ}^{L} est la variété des sous-groupes de Borel de L stables par l.σ, et on note π(L), la projection de L̃^{1} sur L^{1}, on pose Ũ(L^{1}) = π(L)^{−1}(U(L^{1})) et on note π(L)_{2}, la restriction de π(L) à Ũ(L^{1}).

Ũ(L^{1}) = π(L)^{−1}(U(L^{1})) ↪ L̃^{1}
↓π(L)_{2} ↓π(L)
U(L^{1})  ↪ L^{1}

Le but de ce chapitre est d’établir un lien entre les complexes A(L) = π(L)_{2∗}\overline{ℚ}_{l} et A = π_{2∗}\overline{ℚ}_{l} (cf. section 7.1), car d’après les résultats du chapitre précédent (théorème 6.4.2), c’est la décomposition en faisceaux pervers simples des faisceaux pervers A(L)[dim(U(L^{1}))] et A[dim(U(G^{1}))] qui donne la correspondance de Springer dans chaque cas.

On introduit la variété (G̃^{1})^{P} définie par

(G̃^{1})^{P} = {(g.σ, P′) ∈ G^{1} × P|P′ ∈ P_{g.σ}},

où, P_{g.σ} est la variété des conjugués de P stables par g.σ, et on note ξ la projection de (G̃^{1})^{P} sur G^{1} et η : G̃^{1} → G̃^{1P}, le morphisme qui envoie (g.σ, B′) sur (g.σ, P′), où, P′ est l’unique sous-groupe parabolique de P contenant B′. Alors, on a π = ξ ∘ η. On obtient le diagramme commutatif suivant :

Ũ(G^{1}) = π^{−1}(U(G^{1})) ↪ G̃^{1}
↓η_{2} ↓η
Ũ(G^{1})^{P} = ξ^{−1}(U(G^{1})) ↪ G̃^{1P}
↓ξ_{2} ↓ξ
U(G^{1})  ↪ G^{1}

où, ξ_{2} est la restriction de ξ à Ũ(G^{1})^{P} et η_{2} est la restriction de η à Ũ(G^{1}). On pose K = η_{2∗}\overline{ℚ}_{l}. L’objet des sections qui suivent est tout d’abord de montrer que K[dim(U(G^{1}))] est un faisceau pervers semi-simple de M(Ũ(G^{1})^{P}), qu’il se décompose de la façon suivante dans M(Ũ(G^{1})^{P}) :

K[dim(U(G^{1}))] ≃ ⨁_{(C^{L},E′)} IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), E′)[dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P}))] ⊗ V′_{(C^{L},E′)}

où, la somme se fait sur l’ensemble des couples (C^{L}, E′), où C^{L} est une L-classe unipotente de L^{1} et E′ est un système local irréductible et G-équivariant sur G ×^{P} (C^{L}U_{P}).

Le complexe K va faire le lien entre A et A(L). En effet, on a A = ξ_{2∗}K et on va montrer que l’on peut identifier les décompositions en faisceaux pervers simples de A(L)[dim(U(L^{1}))] et de K[dim(U(G^{1}))] (section 7.2) et que W (L)^{σ} agit sur K et que cette action est compatible avec l’identification précédente (proposition 7.3.5). Cette action de W (L)^{σ} sur K induit une action de W (L)^{σ} sur A = ξ_{2∗}K par fonctorialité de ξ_{2∗}, qui s’identifie avec la restriction à W (L)^{σ} de l’action de Springer de W^{σ} sur A (proposition 7.4.1).

Dans la section 7.5, on en déduit, dans le cas où C est la G-classe unipotente de G^{1} obtenue en induisant C^{L} de L^{1} à G^{1} et où E et E′ sont les systèmes locaux triviaux, que la représentation ρ_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} de W (L)^{σ}, image par la correspondance de Springer issue de L^{1} de (C^{L}, \overline{ℚ}_{l}), est de multiplicité non nulle dans la restriction à W (L)^{σ} de la représentation ρ_{(C,\overline{ℚ}_{l})} de W^{σ}, image par la correspondance de Springer issue de G^{1} de (C, \overline{ℚ}_{l}) (proposition 7.5.3). Ce résultat peut donner des indications intéressantes pour décrire la correspondance de Springer de façon explicite.

Les propositions des sections 7.2 à 7.4, sont vraies pour des couples (C^{L}, E′) et (C, E) quelconques, on devrait pouvoir en déduire un résultat plus général que celui de la proposition 7.5.3, en s’inspirant de [Lus], théorème 8.3.

7.1 Application du théorème de décomposition

Dans cette section, nous allons dans un premier temps appliquer les résultats du chapitre 6 aux faisceaux pervers A[dim(U(G^{1}))] et A(L)[dim(U(L^{1}))]. Puis, nous allons nous intéresser au faisceau pervers K[dim(Ũ(G^{1})^{P})] = η_{2∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(Ũ(G^{1})^{P})]. Le but de cette section est d’appliquer le corollaire 5.3.3 et de montrer ainsi que K[dim(Ũ(G^{1})^{P})] est un faisceau pervers semi-simple qui se décompose comme somme directe d’objets de la forme IC(\overline{C′}, E′)[dim(C′)], où C′ est une certaine sous-variété G-stable de Ũ(G^{1})^{P} que l’on précisera par la suite et E′ un système local irréductible G-équivariant sur C′.

Décomposition du complexe A

Selon le théorème 6.4.2, A[dim(U(G^{1}))] = π_{2∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(U(G^{1}))] est un objet semi-simple G-équivariant de M(U(G^{1})) et on a la décomposition suivante de A[dim(U(G^{1}))] dans M(U(G^{1})) :

A[dim(U(G^{1}))] ≃ ⨁_{(C,E)} IC(\overline{C}, E)[dim(C)] ⊗ V_{(C,E)}  (7.1)

où, la somme se fait sur l’ensemble des couples (C, E), où C est une G-classe unipotente de G^{1} et E est un système local irréductible et G-équivariant sur C.

D’après le même théorème, il existe une action de W^{σ} sur les \overline{ℚ}_{l}-espaces vectoriels V_{(C,E)}. Les espaces V_{(C,E)} non nuls sont des représentations irréductibles de W^{σ}, et les paires (C, E) telles que V_{(C,E)} ≠ 0 sont en bijection avec les caractères irréductibles du groupe W^{σ}. C’est la correspondance de Springer issue de G^{1}.

Décomposition du complexe A(L)

On a une décomposition P = LU_{P}, où U_{P} est le radical unipotent de P. On considère le morphisme π(L)_{2} : Ũ(L^{1}) → U(L^{1}), où Ũ(L^{1}) = {(l.σ, x(B ∩ L)) ∈ U(L^{1}) × L/(L ∩ B)|x^{−1}(l.σ)x ∈ (B ∩ L).σ}, c’est la résolution de Springer de U(L^{1}). Selon le théorème 6.4.2, appliqué en remplaçant G par L, A(L)[dim(U(L^{1}))] = π(L)_{2∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(U(L^{1}))] est un objet semi-simple de M(U(L^{1})) et on a la décomposition suivante de A(L)[dim(U(L^{1}))] dans M(U(L^{1})) :

A(L)[dim(U(L^{1}))] ≃ ⨁_{(C^{L},F)} IC(\overline{C^{L}}, F)[dim(C^{L})] ⊗ V_{(C^{L},F)}  (7.2)

où, la somme se fait sur l’ensemble des couples (C^{L}, F), où C^{L} est une L-classe unipotente de L^{1} et F est un système local irréductible L-équivariant sur C^{L}.

De plus, il existe une action de W (L)^{σ} sur les \overline{ℚ}_{l}-espaces vectoriels V_{(C^{L},F)}. Les espaces V_{(C^{L},F)} non nuls sont des représentations irréductibles de W (L)^{σ}, et les paires (C^{L}, F) telles que V_{(C^{L},F)} ≠ 0 sont en bijection avec les caractères irréductibles du groupe W (L)^{σ}. C’est la correspondance de Springer issue de L^{1}.

Décomposition du complexe K

Nous allons maintenant nous intéresser au morphisme η_{2} : Ũ(G^{1}) → Ũ(G^{1})^{P}. Lemme 7.1.1

(i) (G̃^{1})^{P} s’identifie à G ×^{P} P^{1} par l’application (g.σ, xP) ↦ (x,^{x^{−1}}(g.σ)).

(ii) (G̃^{1})^{P} est lisse et dim((G̃^{1})^{P}) = dim(G^{1}).

(iii) η est propre.

(iv) Ũ(G^{1})^{P} s’identifie à G ×^{P} U(P^{1}) par l’application (g.σ, xP) ↦ (x,^{x^{−1}}(g.σ)).

(v) Ũ(G^{1})^{P} est une variété lisse de dimension dim(U(G^{1})) = dim(G) − rg(G^{σ}).

Preuve : Le (i) est clair.

Le (ii) vient du fait que la seconde projection p_{2} : (G̃^{1})^{P} → P définie par (g.σ, P′) ↦ P′ est une fibration localement triviale de fibre isomorphe à P.

Nous allons vérifier ce résultat : soit P′ ∈ P, alors, il existe x ∈ G tel que P′ = ^{xw_{0}}P, où w_{0} est l’élément de plus grande longueur du groupe de Weyl W = N_{G}(T)/T et V (P′) = {^{xuw_{0}}P; u ∈ U} est un voisinage ouvert de P, car Uw_{0}B est un ouvert dense de G et donc Uw_{0}B/P est un ouvert dense de G/P. Par ailleurs, V (P′) ≃ U_{P} car on a w_{0}(u) ∈ U^{−} pour tout u ∈ U.

Nous allons montrer que ϕ : U_{P} ×P^{1} → p_{2}^{−1}(V (P′)) défini par (u, p.σ) ↦ (^{xuw_{0}}(p.σ),^{xuw_{0}}P) est un isomorphisme. Soit (g.σ, P_{1}) ∈ p_{2}^{−1}(V (P′)), alors, il existe un unique u ∈ U_{P} tel que P_{1} = ^{xuw_{0}}P et si on pose ψ((g.σ, P_{1})) = (u,^{(xuw_{0})^{−1}}(g.σ)), alors, ψ est un morphisme de variétés réciproque de ϕ. Donc, p_{2} : (G̃^{1})^{P} → P est bien une fibration localement triviale de fibre isomorphe à P.

(iii) G̃^{1} est un fermé de G^{1} × G/B et η = (Id × f) ∘ i, où i : G̃^{1} ↪ G^{1} × G/B. Le fait que η est propre est donc une conséquence du lemme suivant : Lemme 7.1.2 Soit i : H′ ↪ H × B une immersion fermée. Alors, le morphisme (Id × f) ∘ i : H′ →^{i} H × B →^{Id×f} H × P, où f est l’application qui à tout sous-groupe de Borel associe l’unique conjugué de P qui le contient, est un morphisme propre.

Preuve du lemme 7.1.2 : L’immersion fermée i : H′ → H ×B est un morphisme propre. Le morphisme Id × f : H × B → H × P est propre car il est séparé, de type fini et, comme B^{G} est complète, il est universellement clos. Ainsi, (Id × f) ∘ i est propre comme composé de deux morphismes propres.

fin de la preuve du lemme 7.1.2.

Ũ(G^{1}) est un fermé de U(G^{1})×G/B et η_{2} = (Id×f)∘i′, où i′ : Ũ(G^{1}) ↪ U(G^{1})×G/B. Le fait que η_{2} est propre est donc aussi une conséquence du lemme 7.1.2.

L’identification du (iv) vient de l’isomorphisme du (i).

(v) Ũ(G^{1})^{P} est une fibration localement triviale au-dessus de P de fibre isomorphe à U(P^{1}) = U(L^{1})U_{P} par la seconde projection (démonstration similaire à celle du (i)). Ainsi, Ũ(G^{1})^{P} est une variété lisse de dimension égale à dim(G/P)+dim(L)−rg(L^{σ})+dim(U_{P}) = n − r′, où, n = dim(G) et r′ = rg(G^{σ}) car rg(L^{σ}) = rg(G^{σ}).

fin de la preuve du lemme 7.1.1.

On va vérifier dans la section 7.2 que les hypothèses du théorème 5.3.3 sont vérifiées : On sait déjà que Ũ(G^{1}) et Ũ(G^{1})^{P} sont des variétés lisses de dimension égale à dim(U(G^{1})) (proposition 6.2.1 et lemme 7.1.1). On verra dans le lemme 7.2.2 que η_{2} est semi-petit et G-équivariant.

Le théorème 5.3.3 nous permettra alors d’écrire la formule de décomposition suivante de K[dim(U(G^{1}))] = η_{2∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(U(G^{1}))] dans M(Ũ(G^{1})^{P}) :

K[dim(U(G^{1}))] ≃ ⨁_{(C′,E′)} IC(C′, E′)[dim(C′)] ⊗ V′_{(C′,E′)}  (7.3)

où, la somme se fait sur l’ensemble des couples (C′, E′), où, C′ est une sous-variété irréductible lisse G-stable de Ũ(G^{1})^{P}, et E′ un système local irréductible G-équivariant sur C′.

Dans la section 7.3, nous allons montrer que W (L)^{σ} agit sur K, par action sur les espaces vectoriels V′_{(C′,E′)} de la décomposition (7.3) de K, puis, nous allons comparer les complexes K et A(L) sur Ũ(G^{1})^{P} et nous allons montrer que W (L)^{σ} agit sur K comme sur A(L).

7.2 Identification de la décomposition de K et de

celle de A(L)

Dans cette section, on va tout d’abord montrer que l’on peut appliquer le théorème 5.3.3 au morphisme η_{2} : Ũ(G^{1}) → Ũ(G^{1})^{P} (lemme 7.2.2). On va ensuite comparer les décompositions (7.2) et (7.3) des faisceaux pervers A(L)[dim(U(L^{1}))] = π(L)_{2∗}(\overline{ℚ}_{l})[dim(U(L^{1}))] et K[dim(U(G^{1}))] = η_{2∗}(\overline{ℚ}_{l})[dim(U(G^{1}))] (proposition 7.2.3).

On pose V^{P} = G ×^{P} U(L^{1}), où l’action à gauche de P sur U(L^{1}) est définie par p : l.σ ↦ π_{P} (p(l.σ)p^{−1}), où on note π_{P} la projection NG̃(P) → NG̃(L, P), de noyau U_{P}.

On peut identifier un point de V^{P} à son image par l’application (x, l.σ) ↦ (^{x}(l.σU_{P}),^{x}P), les points de V^{P} sont ainsi des paires (g.σ, P′), telles que g.σ ∈ NG̃(P′)/U_{P′}, où U_{P′} est le radical unipotent de P′. On définit alors le morphisme r : V^{P} → P comme la seconde projection (g.σ, P′) ↦ P′. On a alors les diagrammes cartésiens et commutatifs suivants :

\begin{matrix}Ũ(L^{1}) & ↪^{i′} & Ṽ^{P} & ⟵^{q′} & Ũ(G^{1}) \\ ↓π(L)_{2} & ↓ζ_{2} & & ↓η_{2} \\ U(L^{1}) & ↪^{i} & V^{P} = G ×^{P} U(L^{1}) & ⟵^{q} & Ũ(G^{1})^{P} = G ×^{P} U(P^{1}) \end{matrix} ,

Dans les diagrammes ci-dessus on utilise les notations suivantes : le morphisme i est défini par l.σ ↦ (1, l.σ) (c’est l’inclusion de la fibre r^{−1}(P)), le morphisme q par (x, p.σ) ↦ (x, π_{P} (p.σ)). On note Ṽ^{P} la variété des triplets (g.σ, B′, P′) tels que P′ ∈ P, B′ est un sous-groupe de Borel de G inclus dans P′ et g.σ est un élément unipotent de NG̃(B′)/U_{P′}. On note i′ le morphisme qui à tout couple (l.σ, B̃′) tel que l.σ ∈ L^{1} et B̃′ ∈ B_{l.σ}^{L} associe le couple (l.σU_{P} , B′, P) tel que B′ soit le sous-groupe de Borel inclus dans P tel que B′ ∩ L = B̃′. Le morphisme q′ est défini par (g.σ, B′) ↦ (\overline{g.σ}, B′, P′), où, P′ est l’unique sous-groupe parabolique conjugué à P contenant B′ et où on note \overline{g.σ} l’image de g.σ dans NG̃(P′)/U_{P′}. Enfin, on pose ζ_{2}((g.σ, B′, P′)) = (g.σ, P′), ce qui donne bien des diagrammes cartésiens commutatifs.

Lemme 7.2.1 (i) V^{P} et Ṽ^{P} sont des variétés lisses de même dimension égale à dim(P)+dim(U(L^{1})). (ii) ζ_{2} est propre.

Preuve :

(i) On a V^{P} = G ×^{P} U(L^{1}) et G ×^{B} U((L ∩ B)^{1}) s’identifie à Ṽ^{P} par l’application (x, l.σ) ↦ (\overline{^{x}(l.σ)},^{x}B,^{x}P), où on note \overline{^{x}(l.σ)} l’image de ^{x}(l.σ) dans NG̃(^{x}P)/U_{^{x}P}. Ainsi, V^{P} →^{r} P est une fibration de fibre isomorphe à U(L^{1}) et Ṽ^{P} →^{r′} B est une fibration de fibre isomorphe à U((L ∩ B)^{1}) (démonstration similaire à celle du (i) du lemme 7.1.1). Ce sont donc deux variétés lisses et elles sont de même dimension car on a d’une part,

dim(V^{P}) = dim(P) + dim(U(L^{1}))
= dim(G) − dim(P) + dim(L) − rg(L^{σ})
= dim(P) + dim(U(L^{1}))

et d’autre part,

dim(Ṽ^{P}) = dim(B) + dim(U((L ∩ B)^{1}))

= dim(G) − dim(B) + dim(L_{σ}(T)) + dim(U) − dim(U_{P})
= dim(G) − dim(B) + dim(T) − dim(T^{σ}) + dim(U) − dim(P) + dim(L)
= dim(G) − rg(L^{σ}) − dim(P) + dim(L)
= dim(P) + dim(U(L^{1}))

(ii) On considère le diagramme cartésien suivant :

\begin{matrix}V^{P} ×_{P} B & → & B \\ ↓f′ & & ↓f \\ V^{P} & →^{r} & P \end{matrix},

où, le morphisme f associe à tout sous-groupe de Borel B′ de G l’unique conjugué de P qui le contient. La variété V^{P} ×_{P}B est définie par {(g.σ, P′, B′)|g.σ ∈ NG̃(P′)/U_{P′} avec f(B′) = P′}. Or f est un morphisme propre car B est complète. Donc, par changement de base, le morphisme f′ est propre. Par ailleurs, Ṽ^{P} = {(g.σ, B′, P′)|g.σ ∈ NG̃(B′)/U_{P′} avec f(B′) = P′} est un fermé de V^{P} ×_{P} B, et l’immersion fermée i : Ṽ^{P} ↪ V^{P} ×_{P} B est propre. Donc, ζ_{2} est propre car ζ_{2} = f′ ∘ i.

fin de la preuve.

Le lemme suivant montre que les hypothèses du théorème 5.3.3 sont vérifiées pour les morphismes η_{2} : Ũ(G^{1}) → Ũ(G^{1})^{P} et ζ_{2} : Ṽ^{P} → V^{P} (assertions b), e) et f) du lemme 7.2.2).

Lemme 7.2.2

a) Le morphisme Ũ(G^{1})^{P} →^{q} V^{P} →^{r} P est la composée de deux fibrations, où la fibre de r est isomorphe à U(L^{1}) et la fibre de q au-dessus d’un point v ∈ V^{P} est isomorphe à U_{P}.

b) Pour tout y ∈ G ×^{P} (C^{L}U_{P}) (resp. y ∈ G ×^{P} C^{L}), on a η_{2}^{−1}(y) ≃ B_{t}^{L} (resp. ζ_{2}^{−1}(y) ≃ B_{t}^{L}), où t est un élément de C^{L}.

c) Pour toute L-classe unipotente C^{L} de L^{1}, la variété G ×^{P} (C^{L}U_{P}) est une double fibration G ×^{P} (C^{L}U_{P}) → G ×^{P} C^{L} → P, où la fibre de q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})} est U_{P} et la fibre de r|_{G×^{P} C^{L}} est C^{L}.

d) La codimension de G ×^{P} (C^{L}U_{P}) dans Ũ(G^{1})^{P} est égale à celle de C^{L} dans U(L^{1}) et à celle de G ×^{P} C^{L} dans V^{P}.

e) Les morphismes η_{2} et ζ_{2} sont semi-petits.

f) Les sous-variétés G ×^{P} (C^{L}U_{P}) de Ũ(G^{1})^{P} sont lisses, irréductibles et G-stables et η_{2} est G-équivariant. De même, les sous-variétés G×^{P} C^{L} de V^{P} sont lisses, irréductibles et G-stables et ζ_{2} est G-équivariant.

g) Pour toute L-classe unipotente de L^{1}, il existe une bijection ĩ entre les systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur G ×^{P} C^{L} et les systèmes locaux irréductibles Léquivariants sur C^{L} définie par E ↦ (i|_{C^{L}})^{∗}E.

h) Soit C^{L} une L-classe unipotente de L^{1}. Le morphisme q envoie la sous-variété G ×^{P} (C^{L}U_{P}) sur G ×^{P} C^{L} et si F est un système local irréductible G-équivariant sur G×^{P} C^{L}, alors, (q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗}F est un système local irréductible G-équivariant sur G×^{P} (C^{L}U_{P}).

Preuve : Le a) est clair si on utilise l’identification, Ũ(G^{1})^{P} = G ×^{P} U(P^{1}), car U(P^{1}) ≃ U(L^{1})U_{P} et par définition, V^{P} = G ×^{P} U(L^{1}).

b) Soit C^{L} une L-classe unipotente de L^{1}. Alors, si l_{1}.σ et l_{2}.σ sont dans C^{L}, les sous-variétés B_{l_{1}.σ}^{L} et B_{l_{2}.σ}^{L} sont isomorphes.

Soit (y, P′) ∈ G ×^{P} C^{L}, il existe x ∈ G et l.σ ∈ C^{L} tel que P′ = ^{x}P et x^{−1}yx = l.σU_{P} et la fibre de ζ_{2} en (y, P′) est isomorphe à la variété B_{l.σ}^{P} des sous-groupes de Borel de G contenus dans P et stables par l.σ. D’où le résultat pour ζ_{2} car le morphisme B_{l.σ}^{P} → B_{l.σ}^{L} défini par B′ ↦ B′ ∩ L est un isomorphisme.

Soit (g.σ, P′) ∈ G ×^{P} (C^{L}U_{P}), il existe x ∈ G et p.σ ∈ C^{L}U_{P} tel que P′ = ^{x}P et x^{−1}g.σx = p.σ et la fibre de η_{2} en (g.σ, P′) est isomorphe à la variété B_{p.σ}^{P}. D’où le résultat pour η_{2} car si on pose l.σ = π_{P} (p.σ), alors, B_{p.σ}^{P} ≃ B_{l.σ}^{L}.

Le c) est clair. Le d) est une conséquence de a) et c). En effet, selon le a),

dim(Ũ(G^{1})^{P}) = dim(U(L^{1})) + dim(U_{P}) + dim(P)

et

dim(V^{P}) = dim(Ũ(G^{1})^{P}) − dim(U_{P})

et selon le c), on a

dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P})) = dim(U_{P}) + dim(C^{L}) + dim(P)

et

dim(G ×^{P} C^{L}) = dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P})) − dim(U_{P}).

Donc,

dim(Ũ(G^{1})^{P})−dim(G×^{P} (C^{L}U_{P})) = dim(U(L^{1}))−dim(C^{L}) = dim(V^{P})−dim(G×^{P} C^{L}).

e) On a déjà vu que η_{2} était propre (lemme 7.1.1). On pose

f(i) = dim{y ∈ Ũ(G^{1})^{P} |dim(η_{2}^{−1}(y)) ≥ i/2}.

On a vu dans le b), que la dimension d’une fibre η_{2}^{−1}(y) est constante quand y ∈ G ×^{P} (C^{L}U_{P}). On pose d_{C^{L}} = dim(η_{2}^{−1}(y)), où y est un élément quelconque de G ×^{P} (C^{L}U_{P}).

Parmi les L-classes unipotentes C^{L} de L^{1} telles que d_{C^{L}} ≥ i/2, soit C_{i}^{L} telle que G ×^{P} (C_{i}^{L}U_{P}) soit de dimension maximale, alors, f(i) est égal à la dimension de G ×^{P} (C_{i}^{L}U_{P}).

De même, on pose

g(i) = dim{t ∈ U(L^{1})|dim(B_{t}^{L}) ≥ i/2},

La dimension de B_{t}^{L} est constante sur toute classe unipotente C^{L} de L^{1}. Alors, g(i) est égal à la dimension de la L-classe unipotente de L^{1} de dimension maximale parmi les classes C^{L} qui vérifient dimB_{t}^{L} ≥ i/2 pour tout t ∈ C^{L}. Par ailleurs, d’après le b), on a d_{C^{L}} = dimB_{t}^{L}, pour tout t ∈ C^{L}. De plus, d’après le d), on a codim_{Ũ(G^{1})^{P}} (G×^{P} (C^{L}U_{P})) = codim_{U(L^{1})}(C^{L}).

D’où, f(i) = g(i) + dim(Ũ(G^{1})^{P}) − dim(U(L^{1})). Or, d’après le corollaire 6.1.3, on a g(i) ≤ dim(U(L^{1})) − i, donc, f(i) ≤ dim(Ũ(G^{1})^{P}) − i et η_{2} est semi-petit.

On sait que ζ_{2} est propre (lemme 7.2.1). On pose

h(i) = dim{y ∈ V^{P} |dim(ζ_{2}^{−1}(y)) ≥ i/2}.

On a vu dans le b), que la dimension d’une fibre ζ_{2}^{−1}(y) est constante quand y ∈ G×^{P} C^{L}. On pose δ_{C^{L}} = dim(ζ_{2}^{−1}(y)), où y est un élément quelconque de G ×^{P} C^{L}.

Parmi les L-classes unipotentes C^{L} de L^{1} telles que δ_{C^{L}} ≥ i/2, soit C_{i}^{L} telle que G ×^{P} C_{i}^{L} soit de dimension maximale, alors, h(i) est égal à la dimension de G ×^{P} C_{i}^{L}.

Par ailleurs, d’après le b), on a δ_{C^{L}} = dimB_{t}^{L}, pour tout t ∈ C^{L}. De plus, d’après le d), on a codim_{V^{P}} (G ×^{P} C^{L}) = codim_{U(L^{1})}(C^{L}).

D’où, h(i) = g(i) + dim(V^{P}) − dim(U(L^{1})). Or, d’après le corollaire 6.1.3, on a g(i) ≤ dim(U(L^{1})) − i. Donc, on a h(i) ≤ dim(V^{P}) − i et ζ_{2} est semi-petit.

f) Comme les L-classes unipotentes C^{L} sont des sous-variétés lisses, irréductibles Lstables de U(L^{1}), les variétés G ×^{P} (C^{L}U_{P}) (resp. G ×^{P} C^{L}) sont des sous-variétés lisses, irréductibles et G-stables de Ũ(G^{1})^{P} (resp. V^{P}) et η_{2} (resp. ζ_{2}) est clairement G-équivariant.

g) On considère une L-classe unipotente C^{L} = Cl_{L}(x.σ) de L^{1}. Alors, y = (1, x.σ) est dans G ×^{P} C^{L}.

D’après la proposition 5.2.17, comme L est un groupe connexe qui agit transitivement sur la variété C^{L} , il existe une bijection f_{1} entre les systèmes locaux irréductibles Léquivariants sur C^{L} et les représentations irréductibles de dimension finie de A_{L}(x.σ) = C_{L}(x.σ)/C_{L}(x.σ)^{0} sur \overline{ℚ}_{l}. Si L est un système local irréductible L-équivariant sur C^{L}, alors, A_{L}(x.σ) agit sur L_{x.σ}, c’est une représentation irréductible ρ de A_{L}(x.σ) et la bijection f_{1} est définie par L ↦ ρ.

De même, l’action de G sur G ×^{P} C^{L}, définie, pour tout g ∈ G, par g : (h, l.σ) ↦ (gh, l.σ), est transitive. En effet, soit (h, l.σ) ∈ G ×^{P} C^{L}, alors, il existe l′ ∈ L et tel que l.σ = ^{l′}(x.σ), donc, (h, l.σ) = (hl′, x.σ) = (hl′).(1, x.σ). Ainsi, il existe une bijection f_{2} entre les systèmes locaux G-équivariants sur G ×^{P} C^{L} et les représentations de dimension finie de A_{G}(y) = Stab_{G}(y)/Stab_{G}(y)^{0} sur \overline{ℚ}_{l}. Si L′ est un système local irréductible Géquivariant sur C^{L}, alors, A_{G}(y) agit sur L′_{y}, c’est une représentation irréductible ρ′ de A_{G}(y) et la bijection f_{2} est définie par L′ ↦ ρ′.

Cependant, on a Stab_{G}(y) = C_{L}(x.σ)U_{P}, donc on a A_{G}(y) = A_{L}(x.σ) car U_{P} est connexe et il existe une bijection (f_{1} ∘ f_{2}^{−1}) entre les systèmes locaux G-équivariants sur G ×^{P} C^{L} et les systèmes locaux L-équivariants sur C^{L}.

Cette bijection est l’application induite par le foncteur (i|_{C^{L}})^{∗}. En effet, soit L′ un système local irréductible G-équivariant sur G ×^{P} C^{L}, il est envoyé par la bijection f_{2} sur la représentation de A_{G}(y) sur L′_{y}. De plus, (i|_{C^{L}})^{∗}L′ est un système local irréductible L-équivariant sur C^{L} et il est envoyé par la bijection f_{1} sur la représentation de A_{L}(x.σ) = A_{G}(y) sur (i|_{C^{L}})^{∗}(L′)_{x.σ} = L′_{y} (car i(x.σ) = y).

h) On considère la variété G×^{P} (C^{L}U_{P}), selon le c), q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})} : G×^{P} C^{L}U_{P} → G×^{P} C^{L} est une fibration localement triviale de fibre isomorphe à U_{P}. On pose d = dim(U_{P}), alors, q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})} est lisse à fibres connexes de dimension relative d, donc le foncteur (q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗} envoie un système local irréductible sur un système local irréductible. Par ailleurs, q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})} est clairement G-équivariant. Donc, pour tout système local irréductible G-équivariant L sur G ×^{P} C^{L}, le système local (q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗}(L) est irréductible et G-équivariant sur G ×^{P} (C^{L}U_{P}).

fin de la preuve.

La proposition suivante montre comment on peut identifier les décompositions (7.2) de A(L) et (7.3) de K via les foncteurs q^{∗} et i^{∗}.

Proposition 7.2.3 On pose C = ζ_{2∗}\overline{ℚ}_{l}.

(i) On a les isomorphismes suivants dans la catégorie dérivée :

K ≃ q^{∗}C,
A(L) ≃ i^{∗}C.

(ii) EndC ≃ EndK via le foncteur q^{∗} et EndC ≃ EndA(L) via le foncteur i^{∗}.

(iii) Le faisceau pervers K[dim(U(G^{1}))] se décompose de la façon suivante dans M(Ũ(G^{1})^{P}) :

K[dim(U(G^{1}))] ≃ ⨁_{(C^{L},E′)} IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), E′)[dim(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}))] ⊗ V′_{(C^{L},E′)}

où C^{L} parcourt l’ensemble des L-classes unipotentes de L^{1} et E′ est l’image par (q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗}∘ ĩ^{−1}, où ĩ est définie par le g) du lemme 7.2.2, d’un système local irréductible L-équivariant E sur C^{L}. On a de plus V_{(C^{L},E)} ≃ V′_{(C^{L},E′)}, comme \overline{ℚ}_{l}-espaces vectoriels, où V_{(C^{L},E)} est le \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel correspondant à l’objet simple IC(\overline{C^{L}}, E)[dim(C^{L})] dans la décomposition (7.2) de A(L)[dim(U(L^{1}))].

Preuve : (i) On considère le faisceau constant \overline{ℚ}_{l} sur la variété Ṽ^{P}. Alors, on a les isomorphismes suivants dans la catégorie dérivée : K ≃ η_{2∗}q^{′∗}\overline{ℚ}_{l}, A(L) ≃ π(L)_{2∗}i^{′∗}\overline{ℚ}_{l}, de plus, C = ζ_{2∗}\overline{ℚ}_{l}. Comme π(L)_{2} et η_{2} sont propres, le i) vient du théorème de changement de base propre.

La décomposition (7.2) peut se réécrire :

A(L) ≃ ⨁_{(C^{L},E)} IC(\overline{C^{L}}, E)[2d_{C^{L}}] ⊗ V_{(C^{L},E)}

où C^{L} parcourt l’ensemble des L-classes unipotentes de L^{1} et E est l’image par ĩ = (i|_{C^{L}})^{∗} d’un système local irréductible G-équivariant sur G×^{P} C^{L} (lemme 7.2.2, g)) et où on note d_{C^{L}} = 1/2(dim(C^{L}) − dim(U(L^{1}))).

Par ailleurs, d’après les lemmes 7.1.1 et 7.2.2, les hypothèses du théorème 5.3.3 sont vérifiées pour le morphisme η_{2}, donc K[dim(Ũ(G^{1})^{P})] est un faisceau pervers semi-simple de M(Ũ(G^{1})^{P}) et la décomposition (7.2) peut se réécrire de la façon suivante :

K ≃ ⨁_{(C′,E′)} IC(C′, E′)[2d_{C′}] ⊗ V′_{(C′,E′)}

où C′ parcourt l’ensemble des sous-variétés irréductibles lisses et G-stables de Ũ(G^{1})^{P} et E′ l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C′ et où on note d_{C′} = 1/2(dim(C′) − dim(Ũ(G^{1})^{P})).

Pour démontrer le (ii) et le (iii), il suffit de montrer le lemme suivant :

Lemme 7.2.4 Pour toute L-classe unipotente C^{L} de L^{1} et tout système local L irréductible G-équivariant sur G ×^{P} C^{L}, le foncteur i^{∗} (resp. q^{∗}) envoie IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L) sur IC(\overline{C}^{L}, (i|_{C^{L}})^{∗}(L)) (respectivement sur IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), (q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗}(L))).

En effet, selon les lemmes 7.2.1 et 7.2.2, les hypothèses du théorème 5.3.3 sont vérifiées pour le morphisme ζ_{2}. Le complexe C[dim(V^{P})] = ζ_{2∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(V^{P})] est donc un objet semisimple G-équivariant de M(V^{P}) et si IC(\overline{Y} , F)[dim(Y)] est un objet simple de multiplicité non nulle dans C[dim(V^{P})], alors, Y est une sous-variété lisse irréductible G-stable de V^{P} et F un système local irréductible G-équivariant sur Y. Ainsi, \overline{Y} est un fermé irréductible G-stable de V^{P} = G ×^{P} U(L^{1}). Donc, \overline{Y} est de la forme G ×^{P} X, où X est un fermé irréductible L-stable de U(L^{1}), c’est-à-dire, l’adhérence d’une L-classe unipotente de L^{1}. On obtient la décomposition suivante de C[dim(V^{P})] = ζ_{2∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(V^{P})] dans M(V^{P}) :

C[dim(V^{P})] ≃ ⨁_{(C^{L},F)} IC(G ×^{P} \overline{C^{L}}, F)[dim(G ×^{P} C^{L})] ⊗ V′′_{(C^{L},F)}

où la somme se fait sur l’ensemble des couples (C^{L}, F), où C^{L} est une L-classe unipotente de L^{1}, et F un système local irréductible G-équivariant sur G ×^{P} C^{L}.

Cependant, d’après le d) du lemme 7.2.2, on a dim(U(L^{1})) − dim(C^{L}) = dim(V^{P}) − dim(G ×^{P} C^{L}), donc la décomposition ci-dessus peut se réécrire :

C ≃ ⨁_{(C^{L},F)} IC(G ×^{P} \overline{C^{L}}, F)[2d_{C^{L}}] ⊗ V′′_{(C^{L},F)}

Or, d’après le (i) on a les isomorphismes suivants dans la catégorie dérivée :

A(L) ≃ i^{∗}C,
K ≃ q^{∗}C.

Le premier isomorphisme permet d’écrire que :

⨁_{(C^{L},F)} IC(\overline{C^{L}}, ĩF)[2d_{C^{L}}] ⊗ V_{(C^{L},ĩF)} ≃ ⨁_{(C^{L},F)} i^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C^{L}}, F)[2d_{C^{L}}] ⊗ V′′_{(C^{L},F)}

Ainsi, le lemme 7.2.4 permet d’identifier les \overline{ℚ}_{l}-espaces vectoriels V_{(C^{L},ĩF)} et V′′_{(C^{L},F)}. Le second isomorphisme permet d’écrire que

⨁_{(C′,E′)} IC(C′, E′)[2d_{C′}] ⊗ V′_{(C′,E′)} ≃ ⨁_{(C^{L},F)} q^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, F)[2d_{C^{L}}] ⊗ V′′_{(C^{L},F)}

et d’après le le d) du lemme 7.2.2, on a d_{G×^{P} (C^{L}U_{P})} = d_{C^{L}}. Ainsi, le lemme 7.2.4, permet de conclure que, pour tout couple (C′, E′), s’il existe une L-classe unipotente C^{L} de L^{1} telle que C′ = G ×^{P} (C^{L}U_{P}) et un système local irréductible F sur G ×^{P} C^{L} tel que E′ = q^{∗}F, alors, V′_{(C′,E′)} = V′′_{(C^{L},F)} et que V′_{(C′,E′)} = 0 sinon.

Donc, le (ii) et le (iii) sont clairs si on démontre le lemme 7.2.4.

Preuve du lemme 7.2.4 : Montrons tout d’abord que i^{∗}(IC(G×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≃ IC(\overline{C}^{L}, ĩ(L)).

On considère le diagramme commutatif suivant :

\begin{matrix}C^{L} & ⟶^{i|_{C^{L}}} & G ×^{P} C^{L} \\ ↓j & & ↓j′ \\ \overline{C}^{L} & ⟶^{i|_{\overline{C}L}} & G ×^{P} \overline{C}^{L} \end{matrix} ,

On pose S = (i|\overline{C}^{L})^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(C^{L})]. Nous allons montrer que S vérifie les propriétés (i), (ii), (iii) et (iv) de la définition 5.2.6.

(i) On a bien H^{i}S = 0 si i < −dim(C^{L}). (ii) Vérifions la deuxième propriété,

H^{−dim(C^{L})}S|_{C^{L}} = H^{0}(j^{∗}(i|\overline{C}^{L})^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L))
= H^{0}((i|_{C^{L}})^{∗}j^{′∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L))
= (i|_{C^{L}})^{∗}L

(iii) Il faut montrer que dim SuppH^{i}S < −i si i > −dim(C^{L}). Cependant,

SuppH^{i}S = \{x ∈ \overline{C}^{L}|H^{i}(j_{x}^{∗}S) ≠ 0\}

où j_{x} : \{x\} → \overline{C}^{L}. Soit x ∈ \overline{C}^{L}, alors pour y = i(x) = (1, x) ∈ G ×^{P} \overline{C^{L}}, on pose j_{y} : \{y\} → G ×^{P} \overline{C}^{L}, et on a j_{y} = i|\overline{C}^{L} ∘ j_{x}. Ainsi,

j_{x}^{∗}S = j_{x}^{∗}(i|\overline{C}^{L})^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(C^{L})]
= j_{y}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(C^{L})]

Cependant, comme L est par hypothèse G-équivariant, IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L) l’est aussi et pour tout x ∈ \overline{C}^{L} et tout g ∈ G, on a :

H_{(1,x)}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L) = H_{(g,x)}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L).

De plus, pour x ∈ \overline{C}^{L}, on a

dim\{(g, x) ∈ G ×^{P} \overline{C}^{L}; g ∈ G\} = dim(G) − dimStab_{G}(1, x)
= dim(G) − dim(U_{P}) − dim(C_{L}(x))
= dim(G) − dim(L) + dim(Cl_{L}(x)) − dim(U_{P})
≥ dimP

Donc,

dim SuppH^{i}S

= dim\{x ∈ \overline{C}^{L}|H^{i+dim(C^{L})}(j_{i(x)}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≠ 0\}
≤ −dimP + dim\{y ∈ G ×^{P} \overline{C}^{L}|H^{i+dim(C^{L})}(j_{y}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≠ 0\}
= −dimP + dim\{y ∈ G ×^{P} \overline{C}^{L}|H^{i−dimP}(j_{y}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(G ×^{P} C^{L})]) ≠ 0\}

(car dim(G ×^{P} C^{L}) = dim(C^{L}) + dim(P))

= −dimP + dim SuppH^{i−dimP}(IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(G ×^{P} C^{L})])
< −dimP − (i − dimP)
= −i

(iv) Il faut montrer que dim SuppH^{i}DS < −i si i > −dim(C^{L}). Cependant,

SuppH^{i}DS = \{x ∈ \overline{C}^{L}|H^{i}(j_{x}^{∗}DS) ≠ 0\}
= \{x ∈ \overline{C}^{L}|H^{i}(j_{x}^{!}S) ≠ 0\}

où, j_{x} : \{x\} → \overline{C}^{L}.

Soit x ∈ \overline{C}^{L}, pour y = i(x), si on note, comme ci-dessus, j_{y} : \{y\} → G ×^{P} \overline{C}^{L}, alors, j_{y} = i|\overline{C}^{L} ∘ j_{x}.

j_{x}^{!}S = j_{x}^{!}(i|\overline{C}^{L})^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(C^{L})]
= j_{x}^{!}(i|\overline{C}^{L})^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(C^{L})]
= j_{y}^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(C^{L})]

On obtient donc,

dim SuppH^{i}DR
= dim\{x ∈ \overline{C}^{L}|H^{i+dim(C^{L})}(j_{i(x)}^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≠ 0\}
= −dimP + dim\{y ∈ G ×^{P} \overline{C}^{L}|H^{i+dim(C^{L})}(j_{y}^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≠ 0\}
= −dimP + dim\{y ∈ G ×^{P} \overline{C}^{L}|H^{i−dimP}(j_{y}^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(G ×^{P} C^{L})]) ≠ 0\}
= −dimP + dim SuppH^{i−dimP}(D(IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(G ×^{P} C^{L})]))
< −dimP − (i − dimP)
= −i

Nous allons maintenant montrer que q^{∗} envoie l’objet IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L) sur l’objet IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), (q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗}(L)). On pose R = (q|_{G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})})^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[d], où d = dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P})).

On considère le diagramme commutatif suivant :

\begin{matrix}G ×^{P} C^{L} & ⟵^{q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})}} & G ×^{P} (C^{L}U_{P}) \\ ↓j′ & & ↓j′′ \\ G ×^{P} \overline{C}^{L} & ⟵^{q|_{G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})}} & G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}) \end{matrix} ,

Vérifions que R vérifie les propriétés (i), (ii), (iii) et (iv) de la définition 5.2.6.

(i) On a bien H^{i}R = 0 si i < −d. (ii) Vérifions la deuxième propriété,

H^{−d}R|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})} = H^{0}(j^{′′∗}(q|_{G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})})^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L))
= H^{0}((q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗}j^{′∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L))
= (q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗}(L)

(iii) Il faut montrer que dim SuppH^{i}R < −i si i > −d. Cependant,

SuppH^{i}R = \{x ∈ G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})|H^{i}(j_{x}^{∗}R) ≠ 0\},

où, j_{x} : \{x\} → G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}). Soit x ∈ G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), alors pour y = q(x), on note j_{y} : \{y\} → G ×^{P} \overline{C}^{L}, alors, j_{y} = (q|_{G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})}) ∘ j_{x}. Ainsi,

j_{x}^{∗}R = j_{x}^{∗}(q|_{G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})})^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[d]
= j_{y}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[d]

Donc,

dim SuppH^{i}R

= dim\{x ∈ G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})|H^{i+d}(j_{q(x)}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≠ 0\}
= dim(U_{P}) + dim\{y ∈ G ×^{P} \overline{C}^{L}|H^{i+d}(j_{y}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≠ 0\}

(car les fibres de q sont isomorphes à U_{P})

= dim(U_{P}) + dim\{y ∈ G ×^{P} \overline{C}^{L}|H^{i+dim(U_{P})}(j_{y}^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(G ×^{P} C^{L})]) ≠ 0\}

(car d = dim(G ×^{P} C^{L}) + dim(U_{P}))

= dim(U_{P}) + dim SuppH^{i+dim(U_{P})}(IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(G ×^{P} C^{L})])
< dim(U_{P}) − i − dim(U_{P})
= −i

(iv) Il faut montrer que dim SuppH^{i}DR < −i si i > −d. Cependant,

SuppH^{i}DR = \{x ∈ G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})|H^{i}(j_{x}^{∗}DR) ≠ 0\}
= \{x ∈ G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})|H^{i}(j_{x}^{!}R) ≠ 0\}

où, j_{x} : \{x\} → G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}).

Soit x ∈ G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), alors pour y = q(x), on note, comme ci-dessus, j_{y} : \{y\} → G ×^{P} \overline{C}^{L} et j_{y} = q ∘ j_{x}.

j_{x}^{!}R = j_{x}^{!}(q|_{G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})})^{∗}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[d]
= j_{x}^{!}(q|_{G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})})^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[d]
= j_{y}^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[d]

On obtient donc,

dim SuppH^{i}DR
= dim\{x ∈ G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})|H^{i+d}(j_{q(x)}^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≠ 0\}
= dim(U_{P}) + dim\{y ∈ G ×^{P} \overline{C}^{L}|H^{i+d}(j_{y}^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)) ≠ 0\}
= dim(U_{P}) + dim\{y ∈ \overline{C}^{L}|H^{i+dim(U_{P})}(j_{y}^{!}IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(G ×^{P} C^{L})]) ≠ 0\}
= dim(U_{P}) + dim SuppH^{i+dim(U_{P})}(D(IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}, L)[dim(G ×^{P} C^{L})]))
< dim(U_{P}) − i − dim(U_{P})
= −i

fin de la preuve du lemme 7.2.4

fin de la preuve de la proposition.

7.3 Action de W (L)^{σ} sur K

Dans cette section, nous allons montrer comment W (L)^{σ} agit sur le complexe K.

On pose V = G ×^{P} L^{1}, où l’action à gauche de P sur L^{1} est définie par p : l.σ ↦ π_{P} (p(l.σ)p^{−1}), où, on note π_{P} la projection NG̃(P) → NG̃(L, P), de noyau U_{P}. On pose Ṽ = G ×^{B} (L ∩ B)^{1}, où l’action à gauche de B sur (L ∩ B)^{1} est définie par l : b.σ ↦ π_{P} (l(b.σ)l^{−1}) (l’image de B^{1} par π_{P} est (L ∩ B)^{1}, où on note (L ∩ B)^{1} = (L ∩ B).σ).

On considère les diagrammes suivants :

L̃^{1} = L ×^{L∩B} (L ∩ B)^{1} ↪^{i′_{1}} Ṽ = G ×^{B} (L ∩ B)^{1} ⟵^{q′_{1}}  G̃^{1} = G ×^{B} B^{1}
↓π(L)  ↓ζ  ↓η
L^{1}  ↪^{i_{1}}  V = G ×^{P} L^{1}  ⟵^{q_{1}} (G̃^{1})^{P} = G ×^{P} P^{1}

Dans les diagrammes ci-dessus, le morphisme i_{1} est défini par l.σ ↦ (1, l.σ), le morphisme q_{1} par (x, p.σ) ↦ (x, π_{P} (p.σ)). On note i′_{1} le morphisme qui envoie (x, l.σ) ∈ L ×^{L∩B} (L ∩ B)^{1} sur (x, l.σ) ∈ G ×^{B} (L ∩ B)^{1}, le morphisme q′_{1} est défini par (x, b.σ) ↦ (x, π_{P} (b.σ)). On peut identifier G×^{B} (L∩B)^{1} à la variété des triplets (g.σ, B′, P′) tels que P′ ∈ P, B′ soit un sous-groupe de Borel inclus dans P′ et g.σ ∈ NG̃(B′)/U_{P′} et G ×^{P} L^{1} à la variété des paires (g.σ, P′) telles que P′ ∈ P et g.σ ∈ NG̃(P′)/U_{P′}. Alors, on peut définir le morphisme ζ par (y, B′, P′) ↦ (y, P′). Les deux diagrammes sont cartésiens et commutatifs.

Lemme 7.3.1

(i) G ×^{P} L^{1} et G ×^{B} (L ∩ B)^{1} sont des variétés lisses de même dimension égale à dim(P) + dim(L^{1}).

(ii) ζ est propre.

Preuve : La démonstration est semblable à celle du lemme 7.2.1.

fin de la preuve.

Pour tout sous-groupe σ-stable H de G, on note H_{reg}^{1} l’ensemble des éléments quasisemi-simples, réguliers dans G^{1}, de H^{1}. Comme L^{σ} et G^{σ} sont de même rang, un élément de L^{1} quasi-semi-simple régulier dans G^{1} est quasi-semi-simple régulier dans L^{1}. Donc, si H est un sous-groupe σ-stable L, alors, H_{reg}^{1} est l’ensemble des éléments quasi-semi-simples, réguliers dans L^{1}, de H^{1}. On obtient les diagrammes suivants :

\begin{matrix}π(L)^{−1}(L_{reg}^{1}) = L ×^{L∩B} (L ∩ B)_{reg}^{1} & ↪^{i′_{0}} & G ×^{B} (L ∩ B)_{reg}^{1} & ⟵^{q′_{0}} & η^{−1}(G̃_{reg}^{1P}) = G ×^{B} B_{reg}^{1} \\ ↓π(L)_{0} & & ↓ζ_{0} & & ↓η_{0} \\ L_{reg}^{1} & ↪^{i_{0}} & G ×^{P} L_{reg}^{1} & ⟵^{q_{0}} & G̃_{reg}^{1P} = G ×^{P} P_{reg}^{1} \end{matrix} ,

où on note avec l’indice 0 les restrictions des morphismes des diagrammes précédents.

Proposition 7.3.2

(i) Le morphisme η_{0} restriction à η^{−1}(G̃_{reg}^{1P}) = π^{−1}(G_{reg}^{1}) (que l’on identifie à G̃_{reg}^{1} par l’isomorphisme de la proposition 6.2.3) du morphisme η : G̃^{1} → (G̃^{1})^{P} est un revêtement galoisien de groupe de Galois W (L)^{σ}.

(ii) Le morphisme ζ_{0} : G ×^{B} (L ∩ B)_{reg}^{1} → G ×^{P} L_{reg}^{1} est un revêtement galoisien de groupe de Galois W (L)^{σ}.

Preuve :

(i) On considère le diagramme cartésien suivant :

G̃_{reg}^{1} ⟶ G̃^{1}
↓η_{0} ↓η
G̃_{reg}^{1P} ⟶ (G̃^{1})^{P}

Le morphisme η_{0} est défini par (g.σ, B′) ↦ (g.σ, f(B′)), où f(B′) est l’unique conjugué de P contenant B′.

On va étudier la fibre d’un point (g.σ, P′) ∈ G̃_{reg}^{1P}. Comme les éléments quasi-semi-simples réguliers de G^{1} sont les conjugués sous G des éléments semi-simples réguliers de G^{σ}, on peut se ramener au cas où g.σ ∈ T^{σ}.σ, et où P′ = P. On a alors, B_{g.σ} = {^{w}B; w ∈ W^{σ}}. Cependant, si on note B^{P}, l’ensemble des sous-groupes de Borel de G contenu dans P, on a B^{P} = {^{w}B; w ∈ W (L)}. Ainsi, η_{0}^{−1}((g.σ, P′)) ≃ B_{g.σ}^{P} = {^{w}B; w ∈ W (L)^{σ}}.

Le morphisme η_{0} : G̃_{reg}^{1} → G̃_{reg}^{1P} est un morphisme de variétés fini dont toutes les fibres ont le même cardinal égal au cardinal de W (L)^{σ}. C’est donc un morphisme plat de variétés, comme η_{0} est de plus surjectif, il est fidèlement plat.

L’action de W (L)^{σ} sur π^{−1}(G_{reg}^{1}) provient de l’isomorphisme G̃_{reg}^{1} → π^{−1}(G_{reg}^{1}) de la proposition 6.2.3, et de la restriction à W (L)^{σ} de l’action à droite de W^{σ} sur G̃_{reg}^{1}. C’est une action à droite au-dessus de G̃_{reg}^{1P}, car η_{0} est W (L)^{σ}-invariant par rapport à l’action de W (L)^{σ} sur G̃_{reg}^{1} ≃ π^{−1}(G_{reg}^{1}) définie par w : (g.σ, xT) ↦ (g.σ, xwT) et par rapport à l’action triviale de W (L)^{σ} sur G̃_{reg}^{1P} car pour tout w ∈ W (L)^{σ}, on a f(^{w}B) = P. Par ailleurs, si ((g.σ, xT), (g′.σ, x′T)) appartient à G̃_{reg}^{1} ×G̃_{reg}^{1P} G̃_{reg}^{1}, alors, η_{0}((g.σ, xT)) = η_{0}((g′.σ, x′T)), ce qui signifie que g′.σ = g.σ, qu’il existe w ∈ W (L)^{σ} tel que x′T = xwT, et que ^{x}P = ^{x′}P. Donc,

G̃_{reg}^{1} ×G̃_{reg}^{1P} G̃_{reg}^{1} = {((g.σ, xT), (g.σ, xwT))|(g.σ, xT) ∈ G̃_{reg}^{1} et w ∈ W (L)^{σ}}

Ainsi, l’application qui à tout (w, (g.σ, xT)) ∈ W (L)^{σ}×G̃_{reg}^{1} associe ((g.σ, xT), (g.σ, xwT)) définit bien un isomorphisme de W (L)^{σ} × G̃_{reg}^{1} dans G̃_{reg}^{1} ×_{G_{reg}^{1}} G̃_{reg}^{1}.

(ii) On considère le diagramme cartésien suivant :

G ×^{B} (L ∩ B)_{reg}^{1} ⟵^{q′_{0}} G̃_{reg}^{1} = G ×^{B} B_{reg}^{1}
↓ζ_{0}  ↓η_{0}
G ×^{P} L_{reg}^{1}  ⟵^{q_{0}} G̃_{reg}^{1P} = G ×^{P} P_{reg}^{1}

On a B_{reg}^{1} = (L ∩ B)_{reg}^{1}U_{P} et P_{reg}^{1} = L_{reg}^{1}U_{P} car B_{reg}^{1} = T_{reg}^{1}U (lemme 2.2.7). Les morphismes q_{0} et q′_{0} sont des fibrations de fibres U_{P} et W (L)^{σ} agit trivialement sur la fibre. Donc, les actions de W (L)^{σ} sur G̃_{reg}^{1} et G̃_{reg}^{1P} induisent des actions de W (L)^{σ} sur G ×^{B} (L ∩ B)_{reg}^{1} et G ×^{P} L_{reg}^{1} (celles qui rendent q′_{0} et q_{0} équivariants, W (L)^{σ} agit ainsi trivialement sur G ×^{P} L_{reg}^{1}) et ζ_{0} est un revêtement galoisien de groupe de Galois W (L)^{σ} pour ces actions.

fin de la preuve.

On déduit du (i) de la proposition précédente que W (L)^{σ} agit sur le système local η_{0∗}\overline{ℚ}_{l} sur G̃_{reg}^{1P}, image directe du faisceau constant \overline{ℚ}_{l} sur π^{−1}(G_{reg}^{1}). On déduit du (ii) que W (L)^{σ} agit sur le système local ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l} sur G ×^{P} L_{reg}^{1}, image directe du faisceau constant \overline{ℚ}_{l} sur G ×^{B} (L ∩ B)_{reg}^{1}.

Comme P_{reg}^{1} est un ouvert dense de P^{1}, la sous-variété G ×^{P} P_{reg}^{1} est un ouvert dense de G ×^{P} P^{1} et comme L_{reg}^{1} est un ouvert dense de L^{1}, la sous-variété G ×^{P} L_{reg}^{1} est un ouvert dense de G ×^{P} L^{1}. On considère les complexes de cohomologie d’intersection IC((G̃^{1})^{P} , η_{0∗}\overline{ℚ}_{l}) sur (G̃^{1})^{P} et IC(G ×^{P} L^{1}, ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l}) sur G ×^{P} L^{1}. Comme IC est un foncteur fidèle et comme W (L)^{σ} agit sur η_{0∗}\overline{ℚ}_{l} (resp. sur ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l})), on obtient une action de W (L)^{σ} sur IC((G̃^{1})^{P} , η_{0∗}\overline{ℚ}_{l}) (resp. sur IC(G ×^{P} L^{1}, ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l})).

Proposition 7.3.3 On a les isomorphismes suivants :

(i) η_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] ≃ IC(G̃^{1P} , η_{0∗}\overline{ℚ}_{l})[n], dans M((G̃^{1})^{P}) (avec n = dim((G̃^{1})^{P})).

(ii) ζ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n′] ≃ IC(G ×^{P} L^{1}, ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l})[n′], dans M(G ×^{P} L^{1}) (avec n′ = dim(G ×^{P} L^{1})).

Preuve : c’est une conséquence du résultat suivant et de la proposition 5.3.2 :

Lemme 7.3.4 η et ζ sont des morphismes petits.

Preuve du lemme : D’après le lemme 7.1.1, η est propre, (G̃^{1})^{P} est une variété lisse et dim((G̃^{1})^{P}) = dim(G) et on a vu dans le chapitre 6 que G̃^{1} est une variété lisse de dimension égale à celle de G. De plus, d’après le lemme 7.3.1, ζ est aussi un morphisme propres entre deux variétés lisses de même dimension. On rappelle qu’on a le diagramme commutatif et cartésien suivant :

G ×^{B} (L ∩ B)^{1} ⟵^{q′_{1}}  G̃^{1} = G ×^{B} B^{1}
↓ζ  ↓η
G ×^{P} L^{1}  ⟵^{q_{1}} (G̃^{1})^{P} = G ×^{P} P^{1}

où q_{1} et q′_{1} sont des fibrations de fibre U_{P}.

Pour tout entier i, on pose

f(i) = dim{(x, l.σ) ∈ G ×^{P} L^{1}|dimζ^{−1}((x, l.σ)) ≥ i/2}

et

g(i) = dim{(x, p.σ) ∈ (G̃^{1})^{P} |dimη^{−1}((x, p.σ)) ≥ i/2}

Pour tout (x, p.σ) ∈ (G̃^{1})^{P}, on a η^{−1}((x, p.σ)) ≃ B_{p.σ}^{P}. Et, si π_{P} est la projection NG̃(P) → NG̃(L, B), on a B_{p.σ}^{P} ≃ B_{π_{P} (p.σ)}^{L}. De plus, pour tout (x, l.σ) ∈ G ×^{P} L^{1}, on a ζ^{−1}((x, l.σ)) ≃ B_{l.σ}^{P} ≃ B_{l.σ}^{L}. Donc,

g(i) = dim{(x, p.σ) ∈ (G̃^{1})^{P} |dimη^{−1}((x, p.σ)) ≥ i/2}

= dim{(x, p.σ) ∈ (G̃^{1})^{P} |dimB_{p.σ}^{P} ≥ i/2}
= dim{(x, p.σ) ∈ (G̃^{1})^{P} |dimB_{π_{P} (p.σ)}^{L} ≥ i/2}
= dim{(x, l.σ) ∈ G ×^{P} L^{1}|dimB_{l.σ}^{L} ≥ i/2} + dim(U_{P})
= f(i) + dim(U_{P})

Par ailleurs,

f(i) = dim{(x, l.σ) ∈ G × L^{1}|dimB_{l.σ}^{L} ≥ i/2} − dim(P)
= dim{l.σ ∈ L^{1}|dimB_{l.σ}^{L} ≥ i/2} + dim(G) − dim(P)
≤ dim(L^{1}) − i + dimP
= dim(G ×^{P} L^{1}) − i

Donc, ζ est un morphisme petit, et cela entraîne par ailleurs, que g(i) ≤ dim((G̃^{1})^{P}) − i et donc que η est petit.

fin de la preuve du lemme.

D’après le lemme ci-dessus, η_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] et ζ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n′] vérifient les propriétés (i), (iii) et (iv) de la définition 5.2.6. Pour terminer la démonstration de la proposition, il suffit donc de montrer que H^{0}η_{∗}\overline{ℚ}_{l}|G̃_{reg}^{1P} = η_{0∗}\overline{ℚ}_{l} (resp. que H^{0}ζ_{∗}\overline{ℚ}_{l}|_{G×^{P} L_{reg}^{1}} = ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l}), ce qui vient du théorème de changement de base propre appliqué au morphisme propre η (resp. ζ).

fin de la preuve.

Par l’isomorphisme de la proposition précédente, on obtient une action de W (L)^{σ} sur η_{∗}\overline{ℚ}_{l} (resp. sur ζ_{∗}\overline{ℚ}_{l}).

Proposition 7.3.5 a) Le groupe W (L)^{σ} agit sur K = η_{2∗}\overline{ℚ}_{l} par automorphismes dans la catégorie dérivée.

b) L’action est donnée par des représentations linéaires ρ′_{(C^{L},E′)} de W (L)^{σ} sur les espaces vectoriels V′_{(C^{L},E′)} de la décomposition (7.3).

c) L’application (C^{L}, E′) ↦ ρ′_{(C^{L},E′)} s’identifie avec la correspondance de Springer sur L^{1}.

Plus précisément, si le système local E′ est l’image par (q|_{G×^{P} (C^{L}U_{P})})^{∗} ∘ ĩ^{−1}, où ĩ est définie par le g) du lemme 7.2.2, du système local irréductible L-équivariant E sur C^{L}, et si ρ_{(C^{L},E)} ∈ Irr(W (L)^{σ}) est l’image du couple (C^{L}, E) par la correspondance de Springer issue de L^{1}, alors on a l’égalité ρ_{(C^{L},E)} = ρ′_{(C^{L},E′)}.

d) L’action a) de W (L)^{σ} donne un isomorphisme \overline{ℚ}_{l}[W (L)^{σ}] ≃ EndK.

Preuve : On considère le diagramme commutatif suivant :

G̃_{reg}^{1} = G ×^{B} B_{reg}^{1} ↪ G̃^{1} = G ×^{B} B^{1}
↓η_{0} ↓η
G̃_{reg}^{1P} = G ×^{P} P_{reg}^{1} ↪ (G̃^{1})^{P} = G ×^{P} P^{1}

D’après la proposition 7.3.2, on a une action de W (L)^{σ} sur η_{0∗}\overline{ℚ}_{l} car η_{0∗} est un revêtement galoisien de groupe de Galois W (L)^{σ}. Par ailleurs, cette action induit par l’isomorphisme de la proposition 7.3.3, une action de W (L)^{σ} sur η_{∗}\overline{ℚ}_{l} car IC est un foncteur pleinement fidèle. Enfin, l’action de W (L)^{σ} sur η_{∗}\overline{ℚ}_{l} induit une action de W (L)^{σ} sur K car Ũ(G^{1})^{P} est stable par W (L)^{σ}. Le a) et le b) en découlent directement.

Pour démontrer le c), nous allons comparer l’action de W (L)^{σ} sur K et sur A(L).

π(L)^{−1}(L_{reg}^{1}) = L ×^{(L∩B)} (L ∩ B)_{reg}^{1} ↪ L̃^{1} = L ×^{(L∩B)} (L ∩ B)^{1}
↓π(L)_{0}  ↓π(L)
L_{reg}^{1}  ↪  L^{1}

D’après les résultats du chapitre 6 (proposition 6.2.10) appliqués à L^{1}, on identifie la variété π(L)^{−1}(L_{reg}^{1}) à L̃_{reg}^{1} = {(l.σ, xT) ∈ L^{1} × L/T |x^{−1}l.σx ∈ T_{reg}^{1}} et W (L)^{σ} agit sur L̃_{reg}^{1} par w : (l.σ, xT) ↦ (l.σ, xwT). Ainsi, le morphisme π(L)_{0} est un revêtement galoisien de groupe de Galois W (L)^{σ} au-dessus de L_{reg}^{1}, et π(L)_{∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(L)] ≃ IC(L, π(L)_{0∗}\overline{ℚ}_{l})[dim(L)] dans M(L^{1}), où π(L)_{0} est la restriction de π(L) à L̃_{reg}^{1}. On obtient une action de W (L)^{σ} sur A(L) par restriction de π(L)_{∗}\overline{ℚ}_{l} à U(L^{1}).

Comparer l’action de W (L)^{σ} sur K et sur A(L) revient à comparer l’action de W (L)^{σ} sur η_{∗}\overline{ℚ}_{l} et sur π(L)_{∗}\overline{ℚ}_{l}.

Comme π(L) et η sont propres, on peut appliquer le théorème de changement de base propre. On a alors les isomorphismes suivants dans la catégorie dérivée : q_{1}^{∗}ζ_{∗}\overline{ℚ}_{l} ≃ η_{∗}\overline{ℚ}_{l} et i_{1}^{∗}ζ_{∗}\overline{ℚ}_{l} ≃ π(L)_{∗}\overline{ℚ}_{l} (voir diagramme au début de la section 7.3). Il faut donc montrer que ces isomorphismes sont compatibles avec les actions de W (L)^{σ}, l’action sur π(L)_{∗}\overline{ℚ}_{l} décrite ci-dessus et les actions sur η_{∗}\overline{ℚ}_{l} et ζ_{∗}\overline{ℚ}_{l} données par les propositions 7.3.2 et 7.3.3.

Cependant, IC est un foncteur pleinement fidèle, et on a les isomorphismes suivants dans la catégorie des faisceaux pervers η_{∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(G^{1})] ≃ IC((G̃^{1})^{P} , η_{0∗}\overline{ℚ}_{l})[dim(G^{1})] et π(L)_{∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(L^{1})] ≃ IC(L^{1}, π(L)_{0∗}\overline{ℚ}_{l})[dim(L^{1})], et ζ_{∗}\overline{ℚ}_{l}[dim(G ×^{P} L^{1})] ≃ IC(G ×^{P} L^{1}, η_{0∗}\overline{ℚ}_{l})[dim(G ×^{P} L^{1})]. Il suffit donc de montrer que les isomorphismes q_{0}^{∗}ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l} ≃ η_{0∗}\overline{ℚ}_{l} et i_{0}^{∗}ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l} ≃ π(L)_{0∗}\overline{ℚ}_{l} sont compatibles avec les actions de W (L)^{σ}.

Cependant les actions de W (L)^{σ} sur η_{0∗}\overline{ℚ}_{l}, ζ_{0∗}\overline{ℚ}_{l} et π(L)_{0∗}\overline{ℚ}_{l} proviennent du fait que η_{0∗}, ζ_{0∗} et π(L)_{0∗} sont des revêtements de groupe de Galois W (L)^{σ}, donc, il suffit de montrer que les morphismes i′_{0} et q′_{0} sont W (L)^{σ}-équivariants. Le morphisme q′_{0} est équivariant par définition de l’action de W (L)^{σ} sur G ×^{B} (L ∩ B)_{reg}^{1}. Le fait que i′_{0} est équivariant est clair car L̃_{reg}^{1} = {(l.σ, xT) ∈ L^{1} × L/T |x^{−1}l.σx ∈ T_{reg}^{1}} et W (L)^{σ} agit sur L̃_{reg}^{1} par w : (l.σ, xT) ↦ (l.σ, xwT) et l’action de W (L)^{σ} sur G ×^{B} (L ∩ B)_{reg}^{1} provient de celle sur G̃_{reg}^{1} = {(g.σ, xT) ∈ G^{1} × G/T |x^{−1}g.σx ∈ T_{reg}^{1}} où W (L)^{σ} agit par w : (g.σ, xT) ↦ (g.σ, xwT).

Le c) est donc démontré. Le d) s’en déduit directement car, d’après le théorème 6.4.2, on a \overline{ℚ}_{l}[W (L)^{σ}] ≃ EndA(L).

fin de la preuve.

7.4 Action de W (L)^{σ} sur A issue de celle de K

Les complexes A et K sont reliés par la formule A = ξ_{2∗}K, et l’action de W (L)^{σ} sur K décrite par la section 7.3 induit une action de W (L)^{σ} sur A par fonctorialité. Nous allons comparer cette action avec la restriction à W (L)^{σ} de l’action de Springer de W^{σ} sur A issue de G^{1} (proposition 7.4.1).

D’après la proposition 5.3.4, pour tout couple (C^{L}, E′), tel que V′_{(C^{L},E′)} ≠ 0, l’image directe de IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), E′)[dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P}))] par ξ_{2} est un objet semi-simple de M(U(G^{1})) et se décompose de la façon suivante :

ξ_{2∗}(IC(G ×^{P} \overline{C}^{L}U_{P} , E′)[dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P}))]) ≃ ⨁_{(C,E)} IC(\overline{C}, E)[dim(C)] ⊗ V_{(C,E)}^{(C^{L},E′)} (7.4)

où, C parcourt l’ensemble des G-classes de conjugaison unipotentes de G^{1}, E parcourt l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C et où V_{(C,E)}^{(C^{L},E′)} est un \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel dont la dimension est égale à la multiplicité de l’objet simple correspondant à (C, E).

De plus, en appliquant la proposition 5.3.5, on obtient la double décomposition suivante du faisceau pervers A[dim(U(G^{1})] :

A[dim(U(G^{1})] = ⨁_{(C,E)} ⨁_{(C^{L},E′)} IC(\overline{C}, E)[dim(C)] ⊗ V_{(C,E)}^{(C^{L},E′)} ⊗ V′_{(C^{L},E′)},  (7.5)

où, C parcourt l’ensemble des G-classes de conjugaison unipotentes de G^{1} et E l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C, où, C^{L} parcourt l’ensemble des Lclasses de conjugaison unipotentes de L^{1} et E′ l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur G ×^{P} (C^{L}U_{P}), et où, V_{(C,E)}^{(C^{L},E′)} est le \overline{ℚ}_{l}-espace vectoriel défini ci-dessus.

Ainsi, l’action de W (L)^{σ} sur A issue de celle sur K est une action sur les espaces V′_{(C^{L},E′)}, qui sont d’après la proposition 7.3.5 des W (L)^{σ}-modules.

Proposition 7.4.1 L’action de W (L)^{σ} sur A = ξ_{2∗}K héritée de celle sur K par fonctorialité de ξ_{2∗} coïncide avec la restriction de l’action de Springer de W^{σ} sur A.

Preuve : On considère le diagramme suivant :

Ũ(G^{1}) ↪^{j̃_{uni}}  G̃^{1}  ↩^{j̃_{reg}} G̃_{reg}^{1}
↓η_{2}  ↓η  ↓η_{0}
Ũ(G^{1})^{P} ↪^{j_{uni}^{P}} (G̃^{1})^{P} ↩^{j_{reg}^{P}} G̃_{reg}^{1P}
↓ξ_{2} ↓ξ ↓ξ_{0}
U(G^{1}) ↪^{j_{uni}} G^{1}  ↩^{j_{reg}} G_{reg}^{1}

Comme A est la restriction de π_{∗}\overline{ℚ}_{l} à U(G^{1}), il faut comparer l’action de W (L)^{σ} sur π_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] ≃ IC(G^{1}, π_{0∗}\overline{ℚ}_{l})[n], restriction de l’action de Springer de W^{σ} issue de G^{1} (c’est-à-dire induite par fonctorialité de IC de l’action de W^{σ} sur π_{0∗}\overline{ℚ}_{l}) et l’action de W (L)^{σ} qui provient de l’isomorphisme π_{∗}\overline{ℚ}_{l}[n] ≃ ξ_{∗}IC(G̃^{1P} , η_{0∗}\overline{ℚ}_{l})[n].

Comme IC est un foncteur pleinement fidèle, il suffit de comparer l’action de W (L)^{σ} restriction de l’action de W^{σ} sur π_{0∗}\overline{ℚ}_{l} et l’action de W (L)^{σ} induite par fonctorialité de ξ_{0∗} de celle sur η_{0∗}\overline{ℚ}_{l}. Comme la première action vient du fait que ϕ_{reg} = ξ_{0} ∘ η_{0} est un revêtement galoisien de groupe de Galois W^{σ} et la seconde action du fait que η_{0} est un revêtement de groupe de Galois W (L)^{σ}, la proposition vient du fait que dans le second cas, l’action de W (L)^{σ} sur G̃_{reg}^{1} est la restriction de celle de W^{σ} dans le premier cas.

fin de la preuve.

Ainsi, la restriction à W (L)^{σ} de l’action de Springer de W^{σ} issue de G^{1} sur A est une action sur les espaces V′_{(C^{L},E′)} qui apparaissent dans la double décomposition (7.5) de A. Et si (C, E) est un couple formé d’une G-classe unipotente de G^{1} et d’un système local irréductible G-équivariant sur C qui correspond par la correspondance de Springer issue de G^{1} à une représentation irréductible V_{(C,E)} de W^{σ}, alors, V_{(C,E)} se décompose de la façon suivante en somme directe de W (L)^{σ}-modules :

V_{(C,E)} = ⨁_{(C^{L},E′)} V_{(C,E)}^{(C^{L},E′)} ⊗ V′_{(C^{L},E′)},

où, C^{L} parcourt l’ensemble des L-classes de conjugaison de L^{1} et E′ l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur G ×^{P} C^{L}U_{P} et où les V_{(C,E)}^{(C^{L},E′)} sont les \overline{ℚ}_{l}- espaces vectoriels qui interviennent dans la décomposition (7.5).

7.5 Classes unipotentes induites

Dans cette section, on applique les résultats précédents au cas où C est la G-classe unipotente de G^{1} induite (au sens de Spaltenstein, définition 7.5.1) à partir d’une L-classe unipotente C^{L} de L^{1} afin de démontrer l’assertion (vi) de la proposition 7.5.3, selon laquelle la restriction à W (L)^{σ} de la représentation ρ_{(C,\overline{ℚ}_{l})} de W^{σ}, image par la correspondance de Springer issue de G^{1} de (C, \overline{ℚ}_{l}) admet pour composante irréductible de multiplicité 1 la représentation ρ_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} de W (L)^{σ}, image par la correspondance de Springer issue de L^{1} de (C^{L}, \overline{ℚ}_{l}).

Définition 7.5.1 ([Spa] page 60) Soit C^{L} une L-classe unipotente du quasi-Levi NG̃(L, P), on dit que C est la G-classe unipotente de G̃ obtenue en induisant la classe C^{L} de NG̃(L, P) à G̃, si C ∩ C^{L}U_{P} est dense dans C^{L}U_{P}, où U_{P} est le radical unipotent de P. Si t.σ ∈ C, on peut choisir x.σ ∈ t.σU_{P} tel que C = Cl_{G}(x.σ).

Nous aurons besoin pour démontrer la proposition 7.5.3 des propriétés suivantes vérifiées par les classes unipotentes induites :

Proposition 7.5.2 ([Spa] page 60) Soit t.σ un élément unipotent de L^{1}, soit x.σ ∈ t.σU_{P} tel que C = Cl_{G}(x.σ) soit la classe obtenue en induisant C^{L} = Cl_{L}(t.σ) de NG̃(L, P) à G̃. Alors,

(i) dim(C_{G}(x.σ)) = dim(C_{L}(t.σ)) et dim(B_{t.σ}^{L}) = dim(B_{x.σ}).

(ii) C ∩ C^{L}U_{P} est une P -classe de conjugaison dans NG̃(P).

(iii) C_{G}(x.σ)^{0} ⊂ P, et si g ∈ G est tel que g^{−1}(x.σ)g ∈ C^{L}U_{P}, alors, il existe z ∈ C_{G}(x.σ) tel que ^{z}P = ^{g}P.

(iv) \overline{C} = ∪_{g∈G}^{g}(\overline{C}^{L}U_{P}).

Proposition 7.5.3 Soit t.σ un élément unipotent de L^{1}, soit x.σ ∈ t.σU_{P} tel que C = Cl_{G}(x.σ) soit la classe obtenue en induisant C^{L} = Cl_{L}(t.σ) de NG̃(L, P) à G̃. Avec ces notations,

(i) ξ_{2} envoie G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}) sur \overline{C}.

(ii) dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P})) = dim(C).

(iii) ξ_{2}^{−1}(C) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) est une G-orbite contenue et dense dans G ×^{P} (C^{L}U_{P}). (iv) ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) est fini de cardinal [C_{G}(x.σ) : C_{P} (x.σ)].

(v) On note ρ_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} l’image de (C^{L}, \overline{ℚ}_{l}) par la correspondance de Springer issue de L^{1}. La multiplicité de ρ_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} dans H^{i}(B_{x.σ}, \overline{ℚ}_{l}) est égale à [C_{G}(x.σ) : C_{P} (x.σ)] si i = 2dim(B_{x.σ}) et est nulle sinon.

(vi) On note ρ_{(C,\overline{ℚ}_{l})} l’image de (C, \overline{ℚ}_{l}) par la correspondance de Springer issue de G^{1}. La W (L)^{σ}-représentation irréductible ρ_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} est de multiplicité 1 dans la restriction de ρ_{(C,\overline{ℚ}_{l})} à W (L)^{σ}.

Preuve :

Le (i) vient du fait que \overline{C} = ∪_{g∈G}^{g}(\overline{C}^{L}U_{P}) ((iv) de la proposition 7.5.2).

(ii) Clair car G ×^{P} (C^{L}U_{P}) → G ×^{P} C^{L} → P est une double fibration de fibres U_{P} et C^{L}, et car, par le (i) de la proposition 7.5.2, dim(C_{G}(x.σ)) = dim(C_{L}(t.σ)).

(iii) Comme ξ_{2} est G-équivariant, toute G-orbite est envoyée sur une classe de U(G^{1}). La variété G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}) est une réunion de G-orbites. Soit O une G-orbite de G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}) qui est envoyée sur C, alors, elle est envoyée surjectivement sur C et dim(O) ≥ dim(C). Cependant, d’après le (ii), dim(O) ≤ dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P})) = dim(C), donc dim(O) = dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P})). Et, comme G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}) est irréductible (car \overline{C}^{L} l’est), on en déduit que \overline{O} = G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}) et que ξ_{2}^{−1}(C) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) = O. Ce qui démontre que ξ_{2}^{−1}(C) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) est une seule G-orbite.

Supposons que ξ_{2}^{−1}(C) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) ne soit pas contenu dans G ×^{P} (C^{L}U_{P}). Alors, comme ξ_{2} est équivariant cela entraîne que ξ_{2}^{−1}(C)∩(G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) est inclus dans (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) − (G ×^{P} (C^{L}U_{P})), ce qui est impossible pour des raisons de dimensions.

(iv) ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) est la clôture de ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (C^{L}U_{P})) dans ξ_{2}^{−1}(x.σ) ≃ P_{x.σ}, où P_{x.σ} est l’ensemble des conjugués de P stables par x.σ.

Cependant, on a l’égalité suivante :

ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (C^{L}U_{P})) = {(x.σ,^{g}P)|g^{−1}(x.σ)g ∈ C^{L}U_{P} }

On en déduit donc d’après le (iii) de la proposition 7.5.2 :

ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (C^{L}U_{P})) = {(x.σ,^{g}P)|g ∈ C_{G}(x.σ)}

Donc, ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (C^{L}U_{P})) ≃ C_{G}(x.σ)/(C_{G}(x.σ) ∩ P) = C_{G}(x.σ)/C_{P} (x.σ), où C_{P} (x.σ) est un sous-groupe de C_{G}(x.σ) d’indice fini car C_{G}(x.σ)^{0} ⊂ C_{P} (x.σ).

Ainsi, ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (C^{L}U_{P})) est fini de cardinal [C_{G}(x.σ) : C_{P} (x.σ)], et est donc égal à ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})).

(v) D’après la formule de double décomposition (7.5) du complexe A, on obtient :

H^{i}(B_{x.σ}, \overline{ℚ}_{l}) = ⨁_{(C,E)} ⨁_{(C^{L},E′)} H_{x.σ}^{i−2d_{C}}(IC(\overline{C}, E)) ⊗ V_{(C,E)}^{(C^{L},E′)} ⊗ V′_{(C^{L},E′)}.

où, E parcourt l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur C et E′ l’ensemble des systèmes locaux irréductibles G-équivariants sur G ×^{P} (C^{L}U_{P}), les V′_{(C^{L},E′)} sont des W (L)^{σ}-modules et où, pour toute G-classe unipotente C, on a posé d_{C} = 1/2(dim(U(G^{1})) − dim(C)).

D’où,

H^{i}(B_{x.σ}, \overline{ℚ}_{l})^{ρ′_{(C^{L},\overline{Q}_{l})}} = ( ⨁_{(C,E)} H_{x.σ}^{i−2d_{C}}(IC(\overline{C}, E)) ⊗ V_{(C,E)}^{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})}) ⊗ V′_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})}

Par ailleurs, si on applique la formule (7.4) de la section 7.4 au complexe IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), \overline{ℚ}_{l}), on obtient :

ξ_{2∗}(IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), \overline{ℚ}_{l})[dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P}))]) ≃ ⨁_{(C,E)} IC(C̄, E)[dim(C)] ⊗ V_{(C,E)}^{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})}.

Donc,

H^{i}(B_{x.σ}, \overline{ℚ}_{l})^{ρ′_{(C^{L},\overline{Q}_{l})}} = H^{i−2d_{C^{L}}}(ξ^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})), IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), \overline{ℚ}_{l})) ⊗ V′_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})}.

Cependant, d’après le (iv), ξ_{2}^{−1}(u.σ) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) est un ensemble fini de cardinal [C_{G}(x.σ) : C_{P} (x.σ)], donc, H^{i−2d_{C^{L}}}(ξ^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})), IC(G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P}), \overline{ℚ}_{l})) est un espace vectoriel de dimension [C_{G}(x.σ) : C_{P} (x.σ)] si i = 2d_{C^{L}} et est nul sinon.

Par ailleurs, d’après le (ii),

d_{C^{L}} = 1/2(dim(U(G^{1})) − dim(G ×^{P} (C^{L}U_{P})))
= 1/2(dim(U(G^{1})) − dim(C))
= dim(B_{x.σ})

Par conséquent, la multiplicité de ρ′_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} dans H^{i}(B_{x.σ}, \overline{ℚ}_{l}) est égale [C_{G}(x.σ) : C_{P} (x.σ)] si i = 2dim(B_{x.σ}) et est nulle sinon. D’où, le (v) car ρ′_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} = ρ_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})} d’après le c) de la proposition 7.3.5.

(vi) On a vu dans la démonstration du (iv) que ξ_{2}^{−1}(x.σ)∩(G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})) ≃ C_{G}(x.σ)/C_{P} (x.σ), par ailleurs, d’après le (iii) de la proposition 7.5.2, C_{G}(x.σ)^{0} ⊂ C_{P} (x.σ), donc, A_{G}(x.σ) = C_{G}(x.σ)/C_{G}(x.σ)^{0} agit transitivement sur ξ_{2}^{−1}(x.σ)∩(G×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})). Ainsi, H^{0}(ξ_{2}^{−1}(x.σ)∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})), \overline{ℚ}_{l})^{A_{G}(x.σ)} est de dimension 1.

Par ailleurs, d’après la démonstration du (v),

H^{2d_{C^{L}}}(B_{x.σ})^{ρ_{(C^{L},\overline{Q}_{l})}} = H^{0}(ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})), \overline{ℚ}_{l}) ⊗ V_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})}  (7.6)

De plus, d’après la proposition 7.4.1, l’action de W (L)^{σ} sur H^{2d_{C^{L}}}(B_{x.σ}) issue de celle sur K par fonctorialité de ξ_{2∗} s’identifie avec la restriction à W (L)^{σ} de l’action de Springer de W^{σ} issue de G^{1}. Donc d’après le corollaire 6.4.3,

H^{2d_{C^{L}}}(B_{x.σ}, \overline{ℚ}_{l}) = ⨁_{ρ∈A_{G}(x.σ)^{∧}} V_{(C,E_{ρ})} ⊗ ρ^{∨}  (7.7)

Et des égalités (7.6) et (7.7), on peut déduire que :

(V_{(C,\overline{ℚ}_{l})})^{ρ_{(C^{L},\overline{Q}_{l})}} = (H^{0}(ξ_{2}^{−1}(x.σ) ∩ (G ×^{P} (\overline{C}^{L}U_{P})), \overline{ℚ}_{l}) ⊗ V_{(C^{L},\overline{ℚ}_{l})})^{A_{G}(x.σ)}.

Donc, on a bien dim((V_{(C,\overline{ℚ}_{l})})^{ρ_{(C^{L},\overline{Q}_{l})}}) = 1.

fin de la preuve.

Bibliographie

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Index

C

Caractère de Steinberg, 25 Caractère régulier, 48, 85

Normalisé, 85 Classe unipotente induite, 175 Complexe de cohomologie d’intersection,

123 Condition (RS), 84 Correspondance de Springer, 145

D

Degré fantôme, 149 Deligne-Lusztig

Restriction de Deligne-Lusztig, 22 Dualité, 24

E

Eléments réguliers, 27 Quasi-semi-simples réguliers, 31, 137 Unipotents réguliers, 33

Extension perverse, 122

F

Faisceau l-adique, 121 Faisceau constructible, 122 Faisceau pervers, 122

Equivariant, 125

Monodromie finie, 124 Semi-simple, 124 Simple, 123

Faisceau étale Image directe, 120 Image inverse, 120 Extension par zéro, 120

Fibre, 119

G

Gelfand-Graev, 59, 93

Dual d’une représentation de Gelfand-Graev, 63, 98

I Induction de Deligne-Lusztig, 22

L

Lang-Steinberg, 32

M

Morphisme Etale, 117, 118 Non-ramifié, 118 Petit, 126 Plat, 117 Semi-petit, 126

P Prolongement intermédiaire, 122 Pseudo-unipotents, 84

Q

Quasi-borel, 17 Quasi-central, 20 Quasi-levi, 18 Quasi-parabolique, 18 Quasi-semi-simple, 17, 136

Décomposition de Jordan, 20 Quasi-tore, 17

R

Revêtement Etale, 118 Galoisien, 118

S

Springer

Représentation de Springer, 135 Système local, 121

Equivariant, 125

T

t-exact, 124 Théorème de décomposition, 124