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Séminaire de Théorie des Groupes

par Ivan Marin, Laurent Renault, Serge Bouc - publié le , mis à jour le

Le jeudi à 14h, BC101

Contacts :

Serge Bouc

Ivan Marin

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Année 2016-2017

29 septembre 2016
Christophe Cornut (Paris) : Filtrations et immeubles des groupes réductifs.

Résumé : Construction et étude d’un avatar schématique et fonctoriel des immeubles de Tits, puis description d’un formalisme Tannakien pour les immeubles de Bruhat-Tits.

6 octobre 2016
Olivier Dudas (Paris) : L’involution de Mullineux pour les groupes réductifs finis.

Résumé : Pour les représentations des groupes de Weyl et de leur algèbres de Hecke, on peut obtenir une permutation des représentations irréductibles en tensorisant par la représentation "signature". Le calcul explicite de cette permutation dans les types ABD est donn\’e par l’involution de Mullineux. Dans un travail en cours avec Nicolas Jacon, nous montrons comment généraliser cette construction aux groupes réductifs finis grâce à la dualité d’Alvis-Curtis, et les effets sur les cristaux associés à ces groupes. J’expliquerai cette construction dans le cas de GL(n,q) et les liens avec une conjecture de Geck sur la representation de Steinberg.

13 octobre 2016
Pas de séance : rencontre du GDR Topologie Algébrique à Amiens.

20 octobre 2016
Pas de séance : vacances.

27 octobre 2016
Pas de séance : vacances.

3 novembre 2016
Sune Reeh (Boston) : Representation ring for fusion systems and dimension functions

Résumé : Given a representation V of a finite group G we can associate a dimension function that to each subgroup H of G assigns the dimension of the fixed point space V^H. The dimension functions are "super class functions" that are constant on the conjugacy classes of subgroups in G. For a p-group the list of Borel-Smith conditions characterizes the super class functions that come from real representations.

In a joint paper with Ergün Yalcin we show that while we cannot lift Borel-Smith functions to real representations for a general group G, we can lift a multiple of any Borel-smith function to an action of G on a finite homotopy sphere (which would be the unit sphere if we had a representation). To solve the problem we localize at each prime p, and solve it in general for saturated fusion systems. That is, we give a list of Borel-Smith conditions for a fusion system that characterize the dimension functions of the fusion stable real representations. The proof for fusion systems involves biset functors and characteristic bisets for saturated fusion systems.

10 novembre 2016
Pas de séance : évaluation HCERES.

17 novembre 2016
Aurélien Djament (Nantes) : Sur l’homologie des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients tordus.

Résumé : l’étude de l’homologie des groupes d’automorphismes des groupes libres commence de façon substantielle dans les années 1980, où Hatcher et Vogtmann démontrent la stabilité homologique pour cette famille de groupes, c’est-à-dire le fait que, en chaque degré, l’homologie ne dépend pas du rang du groupe libre considéré, pourvu qu’il soit assez grand (on parle alors d’homologie stable). L’identification de l’homologie stable de ces groupes à celle des groupes symétriques (déterminée en 1960 par Nakaoka) est un résultat profond de Galatius (2011). Ce résultat vaut pour l’homologie à coefficients constants ; nous nous intéresserons ici à l’homologie stable des groupes d’automorphismes des groupes libres à coefficients dans des représentations remarquables de ceux-ci, généralement obtenues en appliquant un foncteur F à l’abélianisation des groupes libres en question. Si F est un foncteur polynomial (un sous-quotient d’une puissance tensorielle, par exemple) et réduit (i.e. nul sur le groupe trivial) covariant entre groupes abéliens, nous avons montré avec Vespa (2015) que cette homologie stable est nulle (résultat déjà connu, par d’autres méthodes, dans de nombreux cas particuliers, notamment grâce aux travaux de Hatcher-Wahl, Randal-Williams et Satoh). La situation est très différente lorsque F est un foncteur polynomial contravariant entre groupes abéliens. Je tenterai d’expliquer dans cet exposé (suivant la prépublication hal-01214646 ; mentionnons que Randal-Williams a obtenu tout récemment dans arXiv:1604.01701, par des méthodes topologiques indépendantes, des résultats qui recoupent largement ceux-ci) comment on peut mener ces calculs lorsque F est, par exemple, une puissance tensorielle du foncteur de dualité Hom(-,Z). L’outil essentiel pour cela est l’homologie des foncteurs : on examine l’homologie de différentes catégories de groupes libres à coefficients polynomiaux, en s’inspirant d’arguments d’annulation dus à Scorichenko et en utilisant des calculs explicites récents de Vespa.

24 novembre 2016
Ruth Corran (Paris) : Root systems of Complex Reflection Groups.

Résumé : I will be speaking about joint work with Michel Broué and Jean Michel, motivated by questions coming from the Spetses project. We introduce a new definition of a Z_k-root system for a complex reflection group on a vector space V where Z_k is the ring of integers of a number field, k. A root is no longer a vector, but something like a rank 1 Z_k-module of V. Our definition has natural consequences ; for example, restricting in the obvious way to a parabolic subgroup gives rise to a new root system. In this way, for example, $\Z[i]$-root systems naturally arise for Weyl groups of type B ; including one different from the B and C types. We classify root systems for complex reflection groups, present Cartan matrices and observe that for spetsial groups, the connection index has a property generalizing what holds for Weyl groups.

1 décembre 2016
Thomas Gobet (Nancy) : Décompositions en cycles et quasi-éléments de Coxeter.

Résumé : Les éléments de Coxeter des groupes de Coxeter sont les équivalents des n-cycles du groupe symétrique. Tout élément du groupe symétrique se décompose de manière essentiellement unique en produit d’éléments de Coxeter de sous-groupes paraboliques irréductibles. Dans un premier temps, nous expliquons comment donner une définition plus faible de quasi-élément de Coxeter (parabolique) qui permette de généraliser la décomposition en cycles aux groupes de Coxeter arbitraires. Dans un second temps, nous donnons une caractérisation de ces éléments dans les groupes de Coxeter finis en termes d’action de Hurwitz sur leurs ensembles de décompositions minimales en produits de réflexions (en commun avec B. Baumeister, K. Roberts et P. Wegener). Il s’agit précisément des éléments pour lesquels cette action est transitive.

8 décembre 2016
Benoît Fresse (Lille) : Complexes de graphes de Kontsevich et homotopie rationelle des opérades de petits disques.

Résumé : Je vais exposer un travail en collaboration avec Victor Turchin et Thomas Willwacher sur les complexes de graphes de Kontsevich et l’homotopie rationelle des opérades de petits disques.

Les opérades de petits disques ont été introduites à la fin des années 60 par Boardman-Vogt et May pour l’étude des espaces de lacets itérés. L’étude de ces objets a été profondément renouvelée durant la décennie écoulée. Pour citer un exemple d’application nouvelle, on peut montrer que les espaces de plongements à support compact modulo immersion entre espaces euclidiens ont une description en termes d’espaces d’applications sur les opérades de petits disques (ce résultat est la conclusion d’une série de recherches par Kontsevich-Soibelman, Sinha, Arone-Turchin, Dwyer-Hess et Boavida-Weiss).
Le but de mon exposé sera de montrer que l’homotopie rationelle de ces espaces d’applications sur les opérades de petits disques peut se déterminer au moyen de complexe de graphes. Nos résultats s’appliquent aussi aux espaces d’automorphismes opéradiques des opérades de petits disques. Dans le cas de la dimension 2, l’homologie des complexes de graphes considérés se réduit au groupe de Grothendieck-Teichmüller (Willwacher).
La preuve de ces résultats s’appuie sur une étude de l’homotopie rationelle des opérades de petits disques que j’expliquerai également dans mon exposé.

15 décembre 2016 EXPOSÉ REPORTÉ AU 19 JANVIER
Ramla Abdellatif (Amiens) : Groupes réductifs pour les nuls I : structure.

5 janvier 2017
Baptiste Rognerud (Strasbourg) : Catégorie dérivée associée à un poset.

Résumé : On peut associer une catégorie abélienne à un poset fini en considérant la catégorie de modules sur son algèbre d’incidence. De façon équivalente on peut regarder la catégorie de modules sur le diagramme de Hasse du poset, vu comme carquois avec relations. La catégorie dérivée de cette catégorie est appelée la catégorie dérivée du poset. On dit alors que deux posets sont dérivées équivalents s’ils partagent la même catégorie dérivée.
Dans cet exposé, nous verrons quelques résultats classiques, pour la plupart dus à Ladkani, sur les équivalences dérivées entre posets : nous verrons quels sont les invariants et comment construire certaines équivalences dérivées. Dans la seconde partie de l’exposé on s’intéressera à certains posets dont le cardinal est le nombre de Catalan.

12 janvier 2017
Rémi Molinier (Kansas) : Localité arboricole

Résumé :
La théorie des localités permet d’associer à tout système de fusion une unique localité propre qui joue le rôle du « meilleur groupe partiel » réalisant le système de fusion. Celle-ci fut développée par Chermak et permet par exemple de construire le classifiant d’un système de fusion. Chermak et Gonzalez ont étendu cette théorie à un cadre plus général : les localités lim-finies. Celle-ci permet de travailler avec des systèmes fusion au dessus de p-groupes infinis, et est plus générale que la théorie des groupes $p$-locaux compacts de Broto, Levi et Oliver.
Nous donnons une méthode pour construire des localités lim-finies à partir de produits amalgamés. Nous expliquons par exemple comment des familles de systèmes de fusion exotiques découverts par Clelland et Parker ne sont en fait que des point fixes du Frobenius de certaines localités lim-finies.
Ceci est un travail en collaboration avec Jason Semeraro et Andy Chermak.

19 janvier 2017
Ramla Abdellatif (Amiens) : Groupes réductifs pour les nuls I : structure.

26 janvier 2017 DEUX EXPOSES :
14h-14h45.
Ramla Abdellatif (Amiens) : fin de l’exposé de la semaine précédente.

15h-16h.
François Digne (Amiens) : Classes quasi-semi-simples dans les groupes réductifs non connexes.

Résumé : Les classes quasi-semi-simples dans les groupes réductifs non-connexes jouent le rôle des classes semi-simples pour les groupes connexes. Quand le groupe est connexe la classification des classes semi-simples et de leurs centralisateurs se ramène a l’étude des hyperplans du groupe de Weyl affine qui contiennent un point de l’alcove fondamentale. On généralise ces résultats aux groupes non connexes (travail commun avec J. Michel).

2 février 2017
Pas de séance : colloque tournant en théorie des représentations à Amiens.

9 février 2017
Justine Falque et Nicolas Thiéry (Paris) : Vers la conjecture de Macpherson : « l’algèbre des orbites d’un groupes de permutations à profil polynomial est de type fini ».

Résumé : Soit G un groupe de permutations d’un ensemble dénombrable E. Le *profil* de G est la fonction qui compte, pour tout n le nombre
d’orbites de G agissant sur les parties à n éléments de E. À la fin
des années 1970, Cameron a conjecturé que si le profil est borné par
un polynôme, alors il est asymptotiquement équivalent à un
polynôme. En 1985 Macpherson a énoncé une conjecture plus forte
affirmant que l’algèbre des orbites de G — une algèbre graduée
commutative inventée par Cameron et dont la fonction de Hilbert est
le profil de G — est de type fini. Cette conjecture a été démontrée
en 2006 par Pouzet.

16 février 2017
Pas de séance : vacances universitaires.

23 février 2017
Sejong Park (Southampton) : Towards a structure theorem of the double Burnside algebra of a finite group

Résumé : This talk will be a progress report on my joint work with Goetz Pfeiffer on the structure of the double Burnside algebra of a finite group. As the endomorphism algebra of an object in the biset category, the double Burnside algebra plays an important role in representation theory and algebraic topology. We aim to understand the double Burnside algebra of a finite group $G$ in characteristic zero using a modified incidence relation between the subgroups of $G \times G$.

2 mars 2017
Christian Ausoni (Paris) : Sur l’homologie de Hochschild des spectres de Johnson-Wilson

Résumé : Je commencerai par une introduction à l’homologie de Hochschild topologique (THH), qui constitue un outil important dans l’étude des spectres en anneau structurés et leur K-théorie algébrique. Ensuite, je présenterai un résultat, obtenu en collaboration avec Birgit Richter, sur un scindement chromatique de THH(E(2)), où E(2) est un spectre de Johnson-Wilson.

9 mars 2017
Daniel Juteau (Paris) : Support des modules simples sphériques des algèbres de Cherednik rationnelles.

Résumé : Je vais donner un critère très simple, obtenu en collaboration
avec Stephen Griffeth, pour déterminer le support du module simple
sphérique de l’algèbre de Cherednik rationnelle associée à un groupe de
réflexions complexes quelconque, avec des paramètres quelconques.
Cependant, pour obtenir la version la plus explicite du critère, nous
avons besoin de l’existence de formes symétrisantes sur les algèbres de
Hecke vérifiant certaines propriétés, ce qui est connu au moins pour les
groupes de Coxeter et pour $G(d,1,n)$, mais seulement conjectural en
général ; le critère est alors en termes des éléments de Schur de l’algèbre
de Hecke et des ses sous-algèbres paraboliques.

16 mars 2017
Rasool Hafezi (IPM Isfahan - UPJV) : Categorical resolutions of bounded derived categories
Résumé : ici

23 mars 2017
Karine Sorlin (Amiens) : Groupes réductifs pour les nuls, II : représentations en caractéristique nulle.

30 mars 2017
Timo Essig (Karlsruhe) : Intersection Space Cohomology and Deformation of Singularities.

Résumé : Manifolds have a remarkable hidden symmetry : Poincaré Duality, which is visible in (co)-homology. Particularly, the ranks of the (co)homology groups of complementary degree are equal. This property enables us to understand the topology of manifolds much better, for example by defining and investigating the signature. Singular spaces do not have that symmetry in general. To be able to use the similar techniques as for manifolds, one has to replace ordinary (co)homology by an alternative. In this talk, we present an approach that was introduced by M. Banagl : Intersection space (co)homology. We discuss the spatial and the de Rham picture. To illustrate this and to establish a relationship to algebra, we elaborate on some examples originated from algebraic geometry and examine the conditions that must be fullfilled such that intersection space cohomology is stable under deformation of singularities.

6 avril 2017
Justin Lynd (Aberdeen) : Fusion systems, their classifying spaces and automorphisms

Résumé : The Martino-Priddy conjecture states that two finite groups have homotopy equivalent p-completed classfying spaces if and only if their fusion systems at the prime p are isomorphic. Although the p-completed classifying space is recoverable from the fusion system, such a recovery requires one to show that a certain extension category, the centric linking system, is unique up to isomorphism among all finite groups having a given fusion system. This existence and uniqueness was first proved by Bob Oliver, and Andrew Chermak has proved that centric linking systems always exist and are unique, even when the fusion system is not realized by a finite group. Both of these proofs rely on the classification of the finite simple groups. I will speak on the finite-group-theoretic aspects of joint work with George Glauberman that helped us remove the dependence of the classification in the proof of both of these results. I will also discuss a more recent, related result that restricts the structure of the outer automorphism group of a centric linking system.

13 avril 2017
Pas de séance : vacances universitaires.

20 avril 2017
Pas de séance : vacances universitaires.


27 avril 2017
Serge Bouc (Amiens) : Propriétés de finitude et de symétrie des foncteurs de correspondances

Résumé : Avec Jacques Thévenaz, nous continuons l’étude des foncteurs de correspondances, i.e. des représentations k-linéaires de la catégorie dont les objets sont les ensembles finis et les morphismes les correspondances (où k est un anneau commutatif fixé). Dans cet exposé, je présenterai certaines propriétés tout à fait spécifiques de ces catégories de foncteurs :
* Si k est noethérien, les sous-foncteurs d’un foncteur de type fini sont de type fini. On a également un phénomène de stabilisation des groupes d’extensions entre foncteurs de type borné.
* Si k est un corps, les foncteurs de type fini sont de longueur finie. Un foncteur de type fini est projectif si et seulement si il est injectif. De plus, la tête et le socle d’un tel foncteur sont isomorphes.

4 mai 2017
Vincent Beck (Orléans) : Quelques calculs cohomologiques pour les groupes de réflexions et leur groupe de tresses.

Résumé : Soit W un groupe de réflexions complexes, B son groupe de tresses et P son groupe de tresses pures. On note Z le centre de W. Le groupe B/[P,P] peut être vu à la fois comme une extension de W par l’abélianisé de P et comme une extension de W/Z par l’image réciproque de Z dans B/[P,P] qui est aussi un groupe abélien libre. L’étude de ces deux extensions permet de déterminer les sous-groupes finis de B/[P,P]. En particulier, on montre que tout sous-groupe fini d’ordre impair est un sous-groupe de B_inf/[P_inf,P_inf] la limite inductive des B_n/[P_n,P_n] où B_n est le groupe de tresses à n brins. Elle permet aussi de déterminer la partie libre de l’abélianisé des images réciproques dans B des sous-groupes de W. C’est un travail en collaboration avec Ivan Marin.

11 mai 2017
Kay Magaard (Birmingham) : Tensor Products of Cross Characteristic Representations of Finite Groups of Lie Type.

Résumé : Let H be a finite group of Lie type of characteristic p and W a
cross-characteristic H-module. We investigate the action of H on tensor powers of W. This is joint work with Donna Testerman which is related to the
maximal subgroup problem of the finite classical groups.

18 mai 2017

25 mai 2017
Pas de séance : jour férié (ascension).

1 juin 2017
Pas de séance : école thématique "Théorie de Hodge et faisceaux pervers pour les espaces singuliers".

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