\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{euscript,palatino} \addtolength{\hoffset}{-1.5cm} \addtolength{\voffset}{-1.5cm} \setlength{\textwidth}{15cm} \setlength{\textheight}{22.9cm} \def\v#1{\par \vspace{#1mm} \par} \def\no{\noindent} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} %\pagestyle{empty} \begin{document} %\setcounter{page}{2} \begin{center} {\Large\bf Curriculum Vitae de Barbara Schapira} \end{center} \v{10} \noindent {\bf \large Informations générales}\\ \no SCHAPIRA Barbara, n\'ee le ... \`a ..., nationalit\'e ... , c\'elibataire. \\ \no {\it Adresse personnelle\,:} \\ ... \\ \no {\it Adresse professionnelle\,:} \\ Laboratoire de Math\'ematiques, Universit\'e Paris Sud, b\^at. 425, 91405 Orsay Cedex, \\ T\'el.\,: 01 69 15 60 18. Fax\,: 01 69 15 63 48\\ { M\'el}\,: {\tt Barbara.Schapira@math.u-psud.fr} \\ \no {\it Situation en 2003/2004\,:} A.T.E.R. \`a l'Universit\'e Paris Sud.\\ \v{5} \no {\bf\large Th\`ese} \v{2} \no {\em << Propri\'et\'es ergodiques du feuilletage horosph\'erique d'une vari\'et\'e \`a courbure n\'egative >>,}\\ effectu\'ee sous la direction de Martine BABILLOT, et soutenue le 26 Novembre 2003 \`a l'Universit\'e d'Orl\'eans devant le jury compos\'e de:\\ - Fran\c cois Ledrappier (Notre Dame university), Pr\'esident,\\ - Marc Peign\'e (universit\'e de Tours),\\ - Marc Bourdon (universit\'e de Lille I), Rapporteur,\\ - Vadim Kaimanovich (universit\'e de Rennes I), Rapporteur,\\ - Jean Renault (universit\'e d'Orl\'eans), Examinateur,\\ - Henri Thuillier (universit\'e d'Orl\'eans), membre d\'esign\'e par l'\'Ecole doctorale.\\ \v{4} \no {\bf \large Cursus et Titres Universitaires} \v{2} \no $\bullet${ 26 Novembre 2003}: Doctorat de Math\'ematiques, mention tr\`es honorable. \v{2} \no $\bullet${ 2000-2003}: Allocataire-Monitrice (AMX) \`a l'universit\'e d'Orl\'eans. \v{2} \no $\bullet${ Juin 2001}: Obtention de l'Agr\'egation externe de math\'ematiques (79\`eme). \v{2} \no $\bullet${ 1999-2000}: DEA de math\'ematiques, Institut Fourier, université Grenoble-I, mention Tr\`es Bien. \v{2} \no $\bullet${ 1996-1999}: Scolarité à l'\'Ecole Polytechnique, Palaiseau. \\ \v{4} \no {\bf\large Stages} \v{2} \no $\bullet$ Janvier-juin 2000\,: Stage de DEA sous la direction de Martine Babillot, r\'edaction d'un m\'emoire intitul\'e: << Auto-intersections de g\'eod\'esiques p\'eriodiques sur une surface compacte \`a courbure n\'egative~>>. \v{2} \no $\bullet$ Avril-juin 1999: Stage de fin d'\'etude sous la direction de Patrick Foulon (Strasbourg), r\'edaction d'un m\'emoire intitul\'e: <<~Le spectre marqu\'e des longueurs d'une surface \`a courbure n\'egative~>>.\\ \v{4} \no {\bf \large Informatique\,:}\\ Logiciels scientifiques\,: Maple, Matlab, LaTeX, Xfig.\\ Autres\,: Microsoft Office XP (Excel,\dots). \v{5} \no{\bf\large Invitations, expos\'es}\\ \no{\em Invitations \`a l'\'etranger\,:}\\ Mars 2004: Technion University, Haifa et Ben Gourion University, Beer Sheva (Israel), deux semaines.\\ Avril 2004: Universit\'e de Neuch\^atel (Suisse), une semaine. \v{2} \no{\em Expos\'es\,:}\\ J'ai donn\'e des expos\'es dans diff\'erents s\'eminaires (Ecole Polytechnique, Orl\'eans, Rennes, Grenoble, Vannes, Marseille, Orsay, Haifa, Beer Sheva). Une liste est disponible sur ma page web \`a l'adresse\,: \\ {\tt http://www.univ-orleans.fr/SCIENCES/MAPMO/membres/schapira/recherche/\\index.html}\\ \no Voici les expos\'es que j'ai faits ou que je vais faire \`a l'occasion de {\em conf\'erences}\,: \no $\bullet$ {\em Quasi-invariant transverse measures for the horospherical foliation of a negatively curved manifold}, Th\'eorie ergodique et actions de groupes, Aspects g\'eom\'etriques et probabilistes, en m\'emoire de Martine Babillot, mai 2004. \no $\bullet$ {\em Equidistribution of horocycles of a negatively curved surface}, Ergodic Theory of geometric group actions, Schloss Ringberg, Allemagne, juillet 2003. \no $\bullet$ {\em Construction de la mesure de Patterson-Sullivan }, Conf\'erence pr\'eparatoire aux Diablerets, Universit\'e de Neuchatel, f\'evrier 2003. \no $\bullet$ {\em Unicit\'e d'une mesure quasi-invariante sur l'espace des horosph\`ere d'une vari\'et\'e \`a courbure n\'egative}, Journ\'ees Mesures de Gibbs en g\'eom\'etrie et mesures de Gibbs \`a temp\'erature nulle, Orl\'eans, D\'ecembre 2001. \v{5} \no{\bf\large Responsabilit\'es collectives}\\ \no J'ai cr\'e\'e un {\em s\'eminaire des th\'esards} \`a l'Universit\'e d'Orl\'eans, puis j'ai particip\'e \`a son organisation pendant deux ans (2001/2002 et 2002/2003). \v{2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \begin{center} {\Large\bf Publications et travaux} \\ \end{center} \v{5} Toutes mes (pr\'e)-publications sont accessibles sur ma page web \`a l'adresse suivante\,: \\ {\tt http://www.univ-orleans.fr/SCIENCES/MAPMO/membres/schapira/recherche/\\index.html}\\ Je me tiens par ailleurs \`a votre disposition pour vous faire parvenir des versions papier des travaux suivants.\\ \v{5} \no {\bf Articles accept\'es ou parus\,:}\\ \no $\bullet$ {\bf [1]} <<~Mesures quasi-invariantes pour un feuilletage et limites de moyennes longitudinales~>>, paru aux {\it C.R. Acad.Sci. Paris}, S\'er. I {\bf 336} (2003), 349-352.\\ \v{2} \no $\bullet$ {\bf [2]} <<~On quasi-invariant transverse measures for the horospherical foliation of a negatively curved manifold~>>, paru dans {\it Ergodic Theory Dynam. Systems} {\bf 24}, no.1, (2004), 227-256.\\ \v{2} \no $\bullet$ {\bf [3]} <<~Lemme de l'ombre et non divergence des horosph\`eres d'une vari\'et\'e g\'eom\'etriquement finie~>> (2003), accept\'e pour publication dans les {\it Annales de l'Institut Fourier}.\\ \v{2} \no{\bf Article soumis pour publication\,:}\\ \no $\bullet$ {\bf [4]} <<~\'Equidistribution of the horocycles of a geometrically finite surface~>> (2003), soumis pour publication.\\ \v{2} \no{\bf Th\`ese\,:}\\ \no $\bullet$ {\bf [5]} <<~Propri\'et\'es ergodiques du feuilletage horosph\'erique d'une vari\'et\'e \`a courbure n\'egative~>>, Th\`ese de l'Universit\'e d'Orl\'eans, novembre 2003, disponible \`a l'adresse suivante\,:\\ {\tt http://www.univ-orleans.fr/SCIENCES/MAPMO/publications/schapira/these.php}. \v{2} \no Les articles [1] \`a [4] correspondent pour l'essentiel aux chapitres 4 \`a 7 de ma th\`ese.\\ \v{2} \no{\bf Autres travaux\,:}\\ \no $\bullet$ {\bf [6]} <<~Propri\'et\'es ergodiques du flot horocyclique d'une surface hyperbolique g\'eom\'etriquement finie~>>, article de survol des travaux pr\'ec\'edents dans le cas particulier simple des surfaces hyperboliques. Paru aux {\it Cahiers du S\'eminaire de Th\'eorie Spectrale et G\'eom\'etrie} (2003) 147-163, disponible \`a l'adresse suivante:\\ {\tt http://www-fourier.ujf-grenoble.fr}. \v{5} \no $\bullet$ {\bf [7]} Participation \`a l'Universit\'e d'Orl\'eans \`a l'\'ecriture d'un livre intitul\'e <<~Th\'eor\`emes ergodiques pour des actions de groupes~>>. Mon travail consiste essentiellement en une participation active \`a un groupe de travail. Une version pr\'eliminaire du livre est disponible \`a l'adresse suivante:\\ {\tt http://www.univ-orleans.fr/SCIENCES/MAPMO/seminaires/ne\-vo/index.php} \newpage \begin{center} {\Large\bf Activit\'es d'enseignement} \\ \end{center} \v{3} Mon exp\'erience d'enseignement consiste en trois ann\'ees de monitorat \`a l'Universit\'e d'Orl\'eans (ann\'ees universitaires 2000 \`a 2003, 64 heures/an), et une ann\'ee d'A.T.E.R. \`a l'Universit\'e d'Orsay (ann\'ee universitaire 2003/2004, 96 heures/an). J'ai effectu\'e tous mes enseignements en DEUG (premi\`ere ou deuxi\`eme ann\'ee), mais dans des fili\`eres et des modules d'enseignements vari\'es. \v{2} \no {\bf Math\'ematiques en M.A.S.S./M.I.A.S. et math\'ematiques pour non math\'ematiciens\,:} \v{2} En particulier, j'ai enseign\'e dans des DEUG scientifiques math\'ematiques: DEUG MASS (Math\'ematiques et Applications aux Sciences Sociales) et MIAS (Math\'ematiques, Informatique, et Appplications aux Sciences), et non math\'ematiques: DEUG STPI (Sciences et Techniques pour l'Ing\'enieur), SV (Sciences de la Vie), SM (Sciences de la mati\`ere). J'ai pu constat\'e la diff\'erence entre les attentes d'un \'etudiant qui veut faire des math\'ematiques, et celui qui aimerait \'eviter d'en faire, mais qui n'a pas le choix. Paradoxalement, l'enseignement peut s'av\'erer parfois plus agr\'eable et int\'eressant \`a faire \`a des \'etudiants de DEUG non math\'ematiques, qui ont un enseignement adapt\'e \`a leur cursus, qu'\`a des \'etudiants de fili\`ere math\'ematique-informatique qui veulent faire de l'informatique et re\c coivent le m\^eme enseignement abstrait que ceux qui aiment vraiment les math\'ematiques et veulent en faire. \v{2} \no {\bf Applications des math\'ematiques\,:} \v{2} J'ai enseign\'e dans plusieurs modules de math\'ematiques dites <<~utilitaires~>>: Math\'ematiques pour la Biologie, pour la Physique, pour l'\'Economie. Ces enseignements (mod\'elisation et r\'esolution d'\'equations diff\'erentielles, calcul diff\'erentiel, statistiques ... par exemple) m'ont permis d'enrichir ma vision des math\'ematiques, et de m'int\'eresser \`a un aspect qui n'appara\^it pas beaucoup dans mes activit\'es de recherche: \`a quoi servent ou peuvent servir les math\'ematiques, concr\`etement? Cette question, trop souvent absente de l'enseignement des fili\`eres plus th\'eoriques comme le DEUG MIAS, fait que les \'etudiants se d\'etournent des math\'ematiques pour aller vers l'informatique. Il me semble qu'au contraire, le d\'eveloppement de l'enseignement des applications des math\'ematiques ne peut qu'augmenter l'int\'er\^et des \'etudiants pour cette discipline, et instruire les enseignants eux-m\^emes sur les d\'ebouch\'es des math\'ematiques, hors enseignement et recherche bien s\^ur. \v{2} \no{\bf Utilisation de l'outil informatique\,:} \v{2} Pour finir, notons aussi qu'en dehors des enseignements mentionn\'es ci-dessus, et d'enseignements plus <<~classiques~>> d'alg\`ebre et d'analyse en DEUG MASS et MIAS, j'ai \'et\'e amen\'ee \`a faire beaucoup de travaux pratiques d'illustration et d'application du cours sur ordinateur: initiation \`a l'analyse num\'erique et \`a l'optimisation en DEUG STPI avec le logiciel Matlab, statistiques (avec Excel) en DEUG MASS, et alg\`ebre et analyse classiques sous MAPLE en DEUG MIAS. Mon opinion sur de tels enseignements est partag\'ee. Sur le principe, j'y suis tout \`a fait favorable, car ils permettent une illustration de notions a priori abstraites dans un cadre o\`u l'\'etudiant se sent autonome, et ne demande pas sans cesse \`a l'enseignant: <<~est-ce que j'ai le droit d'\'ecrire \c ca?~>>, situation fr\'equemment rencontr\'ee en TD. Les \'etudiants parviennent ainsi \`a se prendre en main, ils se posent des questions (souvent int\'eressantes), y r\'epondent... Malheureusement, l'effet de mode a fait qu'on a introduit de tels enseignements un peu partout, peut-\^etre par attrait de la nouveaut\'e, sans doute aussi un peu par manque de recul vis-\`a-vis d'un type d'enseignement si nouveau. Et de tels enseignements sont parfois donn\'es \`a des \'etudiants qui n'ont pas encore eu le temps d'apprendre les notions abstraites n\'ecessaires \`a l'utilisation du logiciel (par exemple les matrices s'agissant de Matlab), ce qui les emp\^eche de comprendre pourquoi l'ordinateur accepte ou n'accepte pas telle instruction, et fait perdre de son int\'er\^et \`a ce type d'enseignement. Mais j'imagine que ces exc\`es dus \`a la nouveaut\'e devraient s'estomper avec les ann\'ees. \newpage \begin{center} {\Large\bf Activit\'es de recherche} \\ \end{center} \v{10} \no{\bf \large Cadre des travaux effectu\'es\,:}\\ Mes centres d'int\'er\^et math\'ematiques sont la g\'eom\'etrie riemannienne, les syst\`emes dynamiques, la th\'eorie ergodique. Plus pr\'ecis\'ement, mes travaux de recherche de th\`ese concernaient les propri\'et\'es ergodiques des feuilletages fortement instables du flot g\'eod\'esique sur des vari\'et\'es riemanniennes \`a courbure n\'egative. Rappelons que dans le cas d'un flot $(\varphi^t)_{t\in\R}$ agissant sur un espace $X$, la th\'eorie ergodique s'int\'eresse notamment \`a l'existence de mesures invariantes par le flot, \`a leur ergodicit\'e, \`a l'unicit\'e de telles mesures. Cette derni\`ere propri\'et\'e, dite d'{\em unique ergodicit\'e du flot}, est \'etroitement li\'ee au comportement des moyennes le long des orbites du flot. Plus pr\'ecis\'ement, si $X$ est compact, il est bien connu que le flot est uniquement ergodique si et seulement si pour toute fonction continue $\psi$ sur $X$, les moyennes $\displaystyle \frac{1}{T}\int_0^T\psi\circ\varphi^t(x)\,dt$ convergent uniform\'ement en $x\in X$ quand $T\to +\infty$ vers une constante $c(\psi)$. Si on note $m$ la mesure d\'efinie par $m(\psi)=c(\psi)$, on dit alors que les moyennes ci-dessus s'{\em \'equidistribuent uniform\'ement} vers la mesure $m$. Le {\em flot horocyclique} agissant sur le fibr\'e unitaire tangent d'une surface hyperbolique v\'erifie de telles propri\'et\'es. Plus pr\'ecis\'ement, lorsque la surface est compacte, le flot horocyclique est uniquement ergodique, et toutes ses orbites s'\'equidistribuent uniform\'ement vers la mesure de Liouville (Furstenberg). Lorsque la surface est seulement de volume fini, le r\'esultat est essentiellement le m\^eme: hormis les mesures invariantes induites par les orbites p\'eriodiques, la mesure de Liouville est l'unique mesure invariante ergodique (Dani), et toutes les orbites non p\'eriodiques s'\'equidistribuent vers elle (Dani-Smillie).\\ Dans ma th\`ese, j'ai obtenu une propri\'et\'e d'\'equidistribution des orbites du flot horocyclique d'une surface de volume infini. Mais je me suis \'egalement int\'eress\'ee \`a l'\'etude des mesures non pas invariantes mais quasi-invariantes par le flot horocyclique, et plus particuli\`erement aux propri\'et\'es suivantes\,: existence et unicit\'e de mesures quasi-invariantes pour un cocycle $\Delta$ fix\'e, \'equidistribution de moyennes vers une mesure quasi-invariante. Mes travaux de recherche sont consacr\'es plus g\'en\'eralement \`a l'\'etude des propri\'et\'es ergodiques non pas de flots, mais de feuilletages. Les questions ci-dessus ont toujours un sens dans ce cadre, moyennant certaines modifications. La dynamique du flot est remplac\'ee par celle des {\em applications d'holonomie} du feuilletage, c'est-\`a-dire des hom\'eomorphismes qui <<~suivent les feuilles~>> entre deux transversales au feuilletage. La notion de mesure invariante par un flot est remplac\'ee par celle de {\em mesure transverse invariante par holonomie}, c'est-\`a-dire une collection $\nu=\{\nu_T\}$ de mesures de Radon sur toutes les transversales au feuilletage, qui v\'erifient $\nu_{T'}=\zeta_*\nu_T$ pour toute application d'holonomie $\zeta$ entre $T$ et $T'$. Un {\em cocycle pour le feuilletage} est une application d\'efinie sur la relation d'\'equivalence du feuilletage, i.e. l'ensemble des couples de points d'une m\^eme feuille, et qui satisfait la relation de cocycle $\Delta(x,y)\,\Delta(y,z)=\Delta(x,z)$. Une mesure transverse {\em quasi-invariante} par holonomie est une mesure transverse qui v\'erifie $$ \frac{d\nu_{T'}}{d\zeta_*\nu_T}(\zeta(x))=\Delta(\zeta(x),x)\,. $$ La notion de classification des mesures invariantes ou quasi-invariantes pour un cocycle $\Delta$ fix\'e a donc toujours un sens dans ce cadre plus g\'en\'eral. En revanche, pour parler d'\'equidistribution, nous devons d\'efinir des suites de moyen\-nes sur les feuilles du feuilletage. Cette d\'efinition est plus d\'elicate, et nous y reviendrons ci-dessous.\\ \newpage \no{\bf \large R\'esultats et prolongements\,:}\\ $\bullet$ Dans [1], je consid\`ere un feuilletage d'une vari\'et\'e compacte $M$ et un cocycle $\Delta$ pour le feuilletage. \'Etant donn\'ees une suite croissante $(E_n)_{n\in\N}$ d'ensembles d'une feuille $F$ et une famille $\alpha=\{\alpha_F\}$ de mesures de Radon sur les feuilles du feuilletage, je d\'efinis la moyenne d'une fonction continue $\psi: M\to\R$ par $$ M_n^{\Delta,\alpha}(\psi):=\frac{\int_{E_n}\psi(x)\Delta(x,x_0)\,d\alpha_F(x)} {\int_{E_n}\Delta(x,x_0)\,d\alpha_F(x)}\,.$$ Cette quantit\'e est la moyenne de $\psi$ sur l'ensemble $E_n$ par rapport \`a la mesure $\alpha_F$, moyenne que l'on pond\`ere par le cocycle $\Delta$, et que l'on normalise de sorte que les mesures $M_n^{\Delta,\alpha}$ soient des mesures de probabilit\'e. J'introduis une {\em condition de type F\o lner} sur la suite $(E_n)$, qui permet de montrer que les valeurs d'adh\'erence de la suite $(M_n^{\Delta,\alpha})$ s'\'ecrivent localement comme le <<~produit~>> de la mesure $\alpha_F$ par une mesure transverse quasi-invariante pour le cocycle $\Delta$. En particulier, si l'on sait qu'il existe une unique mesure transverse quasi-invariante pour le cocycle $\Delta$, ceci permet d'obtenir la convergence de la suite $(M_n^{\Delta,\alpha})$ vers le produit de cette mesure par $\alpha$. D'autre part, ce r\'esultat donne un {\em crit\`ere d'existence de mesures transverses quasi-invariantes} pour le cocycle $\Delta$. Dans le cas $\Delta\equiv 1$, le crit\`ere d'existence de mesures transverses invariantes, d\^u \`a Goodman et Plante, est li\'e aux propri\'et\'es topologiques des feuilles du feuilletage. \\ {\bf Question:} Il serait int\'eressant d'obtenir un tel lien dans le cas des mesures quasi-invarian\-tes. \\ {\bf Question:} Par ailleurs, un feuilletage \'etant un exemple simple de groupo\"ide, ce r\'esultat doit s'\'etendre sans difficult\'e au cas d'un groupo\"ide g\'en\'eral.\\ $\bullet$ Dans [2], j'ai \'etabli des propri\'et\'es d'{\em unique ergodicit\'e} du feuilletage fortement instable ${\cal W}^{su}$ d'une vari\'et\'e $M$ compacte \`a courbure n\'egative. Plus pr\'ecis\'ement, \`a chaque fonction h\"old\'erienne $f$ d\'efinie sur le fibr\'e unitaire tangent $T^1 M$ de $M$, sont associ\'es de mani\`ere naturelle un cocycle h\"old\'erien $\Delta^f$ et une mesure naturelle $m^f$ sur $T^1 M$, la {\it mesure d'\'equilibre de $f$}. Une construction g\'eom\'etrique de cette mesure permet de voir qu'elle induit une mesure transverse $\{\mu_T^f\}$ qui est quasi-invariante par holonomie pour le cocycle $\Delta^f$. Je montre que {\em $\{\mu_T^f\}$ est } (\`a une constante multiplicative pr\`es) {\em l'unique mesure quasi-invariante pour ce cocycle $\Delta^f$}.\\ {\bf Question:} La question se pose alors de savoir si tous les cocycles h\"old\'eriens sur le feuilletage peuvent \^etre r\'ealis\'es comme des cocycles $\Delta^f$, et sinon, s'il est encore possible d'obtenir un r\'esultat du type pr\'ec\'edent pour un cocycle quelconque. Cette question est ouverte pour l'instant. Un tel r\'esultat d'unique ergodicit\'e avait d\'ej\`a \'et\'e obtenu, par des m\'ethodes symboliques, par Bowen et Marcus dans le cas $f\equiv 0$, et par Babillot et Ledrappier pour $f$ quelconque. Mon \'enonc\'e et mes m\'ethodes, inspir\'ees du travail de Roblin, sont purement g\'eom\'etriques, ce qui a plusieurs avantages. Ceci me permet d'abord, en utilisant [1], d'obtenir {\em plusieurs propri\'et\'es d'\'equidistribution}, dont en particulier l'\'equidistribution de certaines moyennes naturelles vers la mesure $m^f$. $\bullet$ D'autre part, le r\'esultat d'unique ergodicit\'e s'\'etend aux vari\'et\'es non-compactes. Plus pr\'ecis\'ement, lorsque la vari\'et\'e $M$ est g\'eom\'etriquement finie, par ces m\'ethodes g\'eom\'etriques, j'obtiens dans [5] la {\em classification des mesures transverses quasi-inva\-riantes} pour le cocycle $\Delta^f$. Elles sont toujours induites par une mesure $m^f$ sur le fibr\'e tangent; cependant, la notion de mesure d'\'equilibre n'est plus bien d\'efinie dans ce contexte.\\ {\bf Question:} Il serait int\'eressant de regarder si cette notion peut s'\'etendre, et si oui, si la construction des mesures $m^f$ donne bien une (ou l'unique) mesure d'\'equilibre de $f$. (C'est un r\'esultat d'Otal et Peign\'e dans le cas $f\equiv 0$.)\\ \no{\bf Question:} Enfin, il serait int\'eressant de savoir si les r\'esultats d'\'equidistribution d\'emontr\'es dans [2] peuvent s'\'etendre au cas des vari\'et\'es g\'eom\'etriquement finies. C'est une question difficile dans le cas g\'en\'eral, et nous y apportons des r\'eponses dans certains cas dans [3], [4] et [5] dans le cas particulier o\`u $f\equiv 0$. $\bullet$ Dans [3], j'\'etudie des moyennes sur de grandes boules horosph\'eriques $B_H(u,r)$ par rapport \`a la mesure conditionnelle de la mesure $m^0$ sur les horosph\`eres. Ces moyennes d\'efinissent une suite de probabilit\'es not\'ees $(M_{r,u})_{r>0}$ sur le fibr\'e unitaire tangent $T^1 M$. La non-compacit\'e de $T^1 M$ fait que ces mesures ne sont pas \`a support compact, et pourraient donc avoir $0$ comme valeur d'adh\'erence. Nous montrons que ce n'est pas le cas, et plus pr\'ecis\'ement que {\it cette suite de probabilit\'es est tendue}: toutes ses valeurs d'adh\'erence sont des probabilit\'es. Un tel r\'esultat n\'ecessite de faire une hypoth\`ese sur la g\'eom\'etrie des cusps, et plus pr\'ecis\'ement de contr\^oler la croissance des sous-groupes paraboliques du groupe fondamental de la vari\'et\'e. Ce type d'hypoth\`eses est satisfait sur les vari\'et\'es localement sym\'etriques, mais aussi dans beaucoup d'autres exemples explicites. De telles hypoth\`eses permettent en particulier de d\'emontrer le {\it Lemme de l'Ombre}, d\'ej\`a connu sur les vari\'et\'es g\'eom\'etriquement finies localement sym\'etriques, et que nous g\'en\'eralisons en courbure variable.\\ $\bullet$ Dans [4], le r\'esultat de non divergence des moyennes horosph\'eriques ci-dessus permet, dans le cas des surfaces, de montrer l'{\em \'equidistribution} de ces moyennes {\em vers la mesure $m^0$}. En corollaire, nous obtenons entre autres l'{\em \'equidistribution des orbites du flot horocyclique d'une surface hyperbolique g\'eom\'etriquement finie}. En dimension plus grande, l'obstacle \`a un tel r\'esultat est le manque de contr\^ole de la croissance du bord de boules horosph\'eriques. Dans [5], nous obtenons seulement l'\'equidistribution de certaines sous-suites de la suite $(M_{r,u})_{r>0}$, qui v\'erifient une condition de type F\o lner.\\ {\bf Question:} Il est peut-\^etre possible de lever cette restriction dans certains cas, par exemple sur les vari\'et\'es hyperboliques ou plus g\'en\'eralement les vari\'et\'es localement sym\'etriques, ce qui m\`enerait imm\'ediatement \`a une propri\'et\'e d'\'equidistribution.\\ Comme cela a \'et\'e mentionn\'e plus haut, l'article [6] est un survol des travaux pr\'ec\'edents, avec quelques d\'emonstrations, dans le cas plus simple des surfaces hyperboliques. Cet article permet de remarquer que les m\'ethodes d\'evelopp\'ees dans les travaux [1] \`a [5], qui avaient pour but l'\'etude du feuilletage horosph\'erique en toutes dimensions et en courbure variable, donnent des r\'esultats nouveaux y compris pour le flot horocyclique d'une surface hyperbolique.\\ \no{\bf \large Projets de recherches \`a plus long terme\,:}\\ Ma motivation principale est l'\'etude, via des m\'ethodes \'el\'ementaires reposant sur des arguments essentiellement g\'eom\'etriques, des propri\'et\'es ergodiques de syst\`emes dynamiques vivant sur des espaces de nature g\'eom\'etrique. En particulier les espaces \`a courbure n\'egative ou nulle, ou espaces $CAT(0)$, fournissent une large classe d'exemples de syst\`emes dynamiques d'origine g\'eom\'etrique. Par exemple, l'\'etude de propri\'et\'es dynamiques sur les espaces localement sym\'etriques est un sujet d\'ej\`a bien connu, depuis les travaux de Margulis, Dani, Ratner entre autres. Sur de tels espaces, j'aimerais comprendre quelles sont les propri\'et\'es ergodiques valides en courbure variable, et quelles sont celles au contraire qui ne sont vraies qu'en courbure constante ou sur les espaces localement sym\'etriques, faisant ainsi appara\^itre des ph\'enom\`enes de rigidit\'e. Par exemple, il me semble d\'ej\`a que des propri\'et\'es de type unique ergodicit\'e ne font pas appel \`a trop de r\'egularit\'e, alors que des r\'esultats d'\'equidistribution n\'ecessitent souvent des hypoth\`eses suppl\'ementaires (cf mes travaux [3] et [4] par exemple). Les m\'ethodes g\'eom\'etriques ont l'avantage d'\^etre tr\`es adapt\'ees \`a ce type de probl\`emes: soit elles permettent d'\'etendre des r\'esultats connus en courbure constante dans la g\'en\'eralit\'e des vari\'et\'es \`a courbure n\'egative variable, ou m\^eme des espaces $CAT(-1)$, soit au contraire elles mettent en lumi\`ere de << bonnes hypoth\`eses >>, i.e. les propri\'et\'es g\'eom\'etriques n\'ecessaires \`a l'obtention des r\'esultats souhait\'es. Abordons maintenant plus pr\'ecis\'ement certaines questions rentrant dans ce cadre g\'en\'eral.\\ \no{\bf Vari\'et\'es \`a courbure n\'egative pinc\'ee\,:} Dans le prolongement direct de mes travaux pr\'ec\'edents sur l'\'equidistribution des horosph\`eres d'une vari\'et\'e \`a courbure n\'egative pinc\'ee, certaines questions restent ouvertes. D'abord, dans [2] et dans [5], j'ai obtenu plusieurs r\'esultats d'\'equidistribution de moyennes horosph\'eriques sous une hypoth\`ese de type F\o lner inspir\'ee de [1] sur la croissance de la mesure du bord des boules horosph\'eriques. Cette hypoth\`ese est toujours v\'erifi\'ee sur les surfaces, ce qui permet d'obtenir plusieurs r\'esultats dans [4]. Par ailleurs, Roblin a montr\'e qu'elle \'etait satisfaite sur les vari\'et\'es hyperboliques compactes. Il serait int\'eressant de montrer qu'elle est v\'erifi\'ee sur les vari\'et\'es hyperboliques non compactes, et de savoir si elle est vraie en courbure variable, ou alors de trouver des contre-exemples. Par ailleurs, dans [2], j'ai obtenu une propri\'et\'e d'\'equidistribution de moyennes associ\'ees \`a des cocycles h\"old\'eriens vers des mesures de Gibbs sur des vari\'et\'es compactes. J'aimerais \'etendre cette propri\'et\'e aux vari\'et\'es non compactes. Un tel r\'esultat n\'ecessiterait de d\'emontrer une propri\'et\'e de non divergence de ces moyennes, analogue \`a celle obtenue dans [3]. \\ Mes travaux de th\`ese m'ont permis d'acqu\'erir une bonne connaissance des propri\'et\'es des mesures invariantes par le flot g\'eod\'esique d'une vari\'et\'e \`a courbure n\'egative. Ceci devrait me permettre d'aborder les probl\`emes ci-dessous, concernant certaines propri\'et\'es de ces mesures. Une jolie (mais obscure) question liant g\'eom\'etrie et th\'eorie ergodique est la suivante. Consid\'erons les g\'eod\'esiques ferm\'ees d'une surface compacte \`a courbure n\'egative. L'intersection de deux telles g\'eod\'esiques est le nombre de leurs points d'intersection. Cette fonction d'intersection se prolonge en une fonction bilin\'eaire sym\'etrique et continue sur l'ensemble des courants g\'eod\'esiques (r\'esultat d\^u \`a Bonahon). Mais les propri\'et\'es de cette fonction (valeurs, variations, courants en lesquels des extrema sont atteints) sont tr\`es mal connues, hormis pour le courant de Liouville (voir les travaux de Hamenst\"adt ou de Lalley par exemple). J'aimerais \'etudier plus pr\'ecis\'ement cette fonction, au moins sur l'ensemble des courants g\'eod\'esiques associ\'es \`a des mesures de Gibbs, car ils sont assez bien compris. Par ailleurs, sur de telles vari\'et\'es compactes \`a courbure n\'egative, de nombreuses questions de rigidit\'e se posent. Par exemple, on conjecture que la mesure de Liouville et la mesure d'entropie maximale ne co\"{\i}ncident que sur les vari\'et\'es localement sym\'etriques, mais ce n'est toujours pas d\'emontr\'e \`a ma connaissance. Une question de rigidit\'e qui peut sans doute aussi \^etre r\'esolue par la th\'eorie ergodique est la suivante. Depuis les travaux de Margulis, on sait que sur le rev\^etement universel $\tilde{M}$ d'une vari\'et\'e compacte \`a courbure n\'egative, le volume d'une boule de rayon $r$ se comporte comme $$ \mbox{Vol }B(p,r)\sim c(p)\,e^{hr}\,,$$ o\`u $h>0$ est l'entropie du flot g\'eod\'esique, et $c:\tilde{M}\to\R_+^*$ est une fonction continue, la {\em fonction asymptotique de Margulis}. On conjecture que cette fonction n'est constante que sur les espaces homog\`enes, mais cette conjecture n'a \'et\'e d\'emontr\'ee pour l'instant (par Knieper) que pour les surfaces. Par ailleurs, il serait int\'eressant de construire des exemples de vari\'et\'es \`a courbure n\'egative pinc\'ee dont le volume ne cro\^{\i}t pas comme une exponentielle. En particulier, de telles vari\'et\'es n'admettent pas de quotient compact, mais il est peut-\^etre possible d'en trouver ayant un quotient g\'eom\'etriquement fini.\\ \no{\bf Th\'eorie ergodique pour des actions de groupes discrets\,:} La th\'eorie ergodique pour des actions de groupes non moyennables remonte aux travaux d'Arnold et Krylov, puis Guivarc'h dans le cas de l'action d'un groupe libre engendr\'e par deux rotations de $SO(3,\R)$, et a pris un r\'eel essor depuis les travaux de Nevo, sur les groupes hyperboliques en particulier. J'ai \'etudi\'e en d\'etail pendant ma th\`ese certains de ces r\'esultats, \`a l'occasion d'un groupe de travail qui a abouti \`a l'\'ecriture d'un livre (voir [7]). Ceci m'a naturellement conduite \`a m'int\'eresser \`a ces questions. Le cadre est celui d'une action pr\'eservant la mesure d'un groupe discret $\Gamma$ de type fini sur un espace mesur\'e $(X,m)$. On choisit $S$ un syst\`eme de g\'en\'erateurs, et on note $|.|_S$ la distance associ\'ee sur le graphe de Cayley de $\Gamma$. On consid\`ere alors plusieurs types de moyennes g\'eom\'etriques sur $\Gamma$, sur les sph\`eres ou les boules pour cette distance $|.|_S$ par exemple, et on \'etudie leur comportement quand le rayon tend vers $+\infty$. On peut alors esp\'erer que ces moyennes convergent en moyenne ou presque partout dans $L^2(X,m)$. Nevo a obtenu ce genre de r\'esultats sur les groupes libres d'une part, en utilisant la th\'eorie spectrale de l'alg\`ebre de convolution associ\'ee \`a ces groupes, et sur les r\'eseaux uniformes de $SO(n,1)$ d'autre part, en utilisant la th\'eorie des repr\'esentations de tels groupes. Seul un r\'esultat appel\'e {\em in\'egalit\'e maximale} a \'et\'e d\'emontr\'e sur tous les groupes hyperboliques, la preuve g\'eom\'etrique utilisant essentiellement le fait que ces groupes ont la m\^eme g\'eom\'etrie que les groupes libres. Il serait int\'eressant de d\'emontrer des th\'eor\`emes ergodiques g\'eom\'etriquement, ce qui permettrait peut-\^etre de les \'etendre \`a tous les groupes hyperboliques. J'aimerais aussi utiliser ma connaissance des vari\'et\'es g\'eom\'etriquement finies (voir articles [3], [4], et ma th\`ese [5]) pour \'etudier les propri\'et\'es ergodiques de leurs groupes fondamentaux, comme par exemple les r\'eseaux non-uniformes de $SO(n,1)$, qui ne sont eux pas hyperboliques, mais relativement hyperboliques.\\ \no{\bf Propri\'et\'es ergodiques sur l'espace de Teichm\"uller\,:} Depuis une d\'ecennie, la th\'eorie ergodique de l'espace des modules d'une surface de Riemann s'est consid\'erablement d\'evelopp\'ee, avec entre autres les travaux de Masur, Veech, Forni... Ils \'etudient les flots dits flot g\'eod\'esique et flot horocyclique de Teichm\"uller sur cet espace. Ces flots semblent v\'erifier des propri\'et\'es ergodiques analogues \`a celles des flots du m\^eme nom sur une surface hyperbolique. L'\'etude de telles propri\'et\'es pour ces flots est tr\`es int\'eressante, et s'applique par exemple \`a l'\'etude des billards polygonaux. R\'ecemment, Yair Minsky et Barak Weiss ont obtenu des r\'esultats sur le flot des tremblements de terre et le flot horocyclique de Teichm\"uller, avec en particulier la non divergence de leurs orbites. Plus pr\'ecis\'ement, pour chacun de ces flots, ils montrent que pour tout $\varepsilon>0$ et tout compact $C$, il existe un compact $K_{\varepsilon, C}\supset C$ et un temps $T_0>0$ tels que toute orbite partant de $C$ et de longueur sup\'erieure \`a $T_0$ passe une proportion de temps sup\'erieure \`a $1-\varepsilon$ dans $ K_{\varepsilon, C}$. Ils donnent \'egalement des estim\'ees quantitatives tr\`es pr\'ecises sur le lien entre $C$ et $\varepsilon$ d'une part et $K_{\varepsilon, C}$ et $T_0$ d'autre part. De tels r\'esultats, analogues \`a mon r\'esultat de non-divergence des horosph\`eres obtenu dans [3], constituent un pas important dans l'\'etude des mesures invariantes et dans l'obtention d'\'eventuels th\'eor\`emes ergodiques, ou de l'\'equidistribution de toutes les orbites de ces flots vers des mesures invariantes.\\ \no{\bf Espaces $CAT(0)$\,:} Plus g\'en\'eralement, sur tous les espaces o\`u on autorise la courbure \`a s'annuler, de nombreuses questions se posent. Sur le fibr\'e tangent d'une {\em vari\'et\'e de rang un}, la plupart des propri\'et\'es ergodiques connues du flot g\'eod\'esique sont dues \`a Knieper. De nombreuses questions restent ouvertes, comme celle de l'ergodicit\'e de la mesure de Lebesgue par exemple. Par ailleurs, Martine Babillot a obtenu le m\'elange de la mesure d'entropie maximale de telles vari\'et\'es. Il serait int\'eressant d'en d\'eduire des propri\'et\'es de comptage d'une part, et des r\'esultats sur le comportement des horosph\`eres d'autre part, ces deux types de propri\'et\'es \'etant justement li\'ees au m\'elange du flot g\'eod\'esique, m\^eme si elles n'en sont pas a priori des cons\'equences imm\'ediates dans le cadre des vari\'et\'es de rang un.\\ D'un point de vue g\'eom\'etrique, la situation des {\em vari\'et\'es} (localement sym\'etriques) {\em de rang sup\'erieur} est beaucoup plus compliqu\'ee. Par exemple, la topologie et la g\'eom\'etrie des cusps ne sont pas parfaitement comprises. De m\^eme, la topologie des orbites du flot des chambres de Weyl, g\'en\'eralisation en rang sup\'erieur du flot g\'eod\'esique, n'est pas bien connue. Ces questions sont int\'eressantes en elles-m\^emes, mais aussi parce qu'elles ont une interpr\'etation arithm\'etique. Par exemple, sur $SL(3,\Z)\backslash SL(3,\R)$, la question de savoir si toutes les orbites compactes de ce flot sont p\'eriodiques (conjecture de Margulis) est \'equivalente \`a la conjecture de Littlewood sur l'approximation simultan\'ee de deux nombres r\'eels par des rationnels. Plus pr\'ecis\'ement, la conjecture est la suivante: si $(y_1,y_2)\in\R^2$, pour tout $\varepsilon>0$, il existe un rationnel $p/q$, tel que $$|y_1-\frac{p}{q}||y_2-\frac{p}{q}|\le\frac{\varepsilon}{q^2}.$$ \end{document}