\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \usepackage{amsfonts} \usepackage{euscript,palatino} \addtolength{\hoffset}{-2cm} \addtolength{\voffset}{-2cm} \setlength{\textwidth}{16cm} \setlength{\textheight}{24.3cm} \def\v#1{\par \vspace{#1mm} \par} \def\no{\noindent} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\N}{\mathbb N} \pagestyle{empty} \begin{document} \begin{center} {\bf CURRICULUM VIT\AE \, DE BARBARA SCHAPIRA } \end{center} \v{2} \section{Informations générales} %\v{2} \no SCHAPIRA Barbara \\ N\'ee le ..., \`a ...\\ Nationalit\'e ..., c\'elibataire \\ %\v{2} \no {\bf Adresse personnelle}: ... \\ {\bf T\'el\'ephone}: ... \\ %\v{2} \no {\bf Adresse professionnelle}: Laboratoire de Math\'ematiques, Universit\'e Paris Sud, b\^at. 425\\ 91405 Orsay Cedex \\ {\bf T\'el. / Fax }\,: 01 69 15 60 18 / 01 69 15 63 48 \\ {\bf M\'el}\,: {\tt Barbara.Schapira@math.u-psud.fr} \\ \section{\'Etudes et situation professionnelle} %\v{2} \no {\sc Situation actuelle} \v{2} \no A.T.E.R. \`a l'Universit\'e Paris Sud.\\ \v{5} \no {\sc TH\`ESE} \v{2} \no {\em << Propri\'et\'es ergodiques du feuilletage horosph\'erique d'une vari\'et\'e \`a courbure n\'egative >>,} effectu\'ee sous la direction de Martine BABILLOT, et soutenue le 26 Novembre 2003 \`a l'Universit\'e d'Orl\'eans devant le jury compos\'e de:\\ - Fran\c cois Ledrappier (Notre Dame university), Pr\'esident\\ - Marc Peign\'e (universit\'e de Tours), Directeur de th\`ese,\\ - Marc Bourdon (universit\'e de Lille I), Rapporteur,\\ - Vadim Kaimanovich (universit\'e de Rennes I), Rapporteur,\\ - Jean Renault (universit\'e d'Orl\'eans), Examinateur,\\ - Henri Thuillier (universit\'e d'Orl\'eans), Examinateur.\\ \v{5} \no {\sc Cursus Universitaire} \v{2} \no { 2000-2003}: Allocataire-Monitrice (AMX) \`a l'universit\'e d'Orl\'eans. Pr\'eparation du doctorat sous la direction de Martine Babillot. \v{1} \no { Juin 2001}: Obtention de l'Agr\'egation externe de math\'ematiques (79\`eme). \v{1} \no { 1999-2000}: DEA de math\'ematiques, Institut Fourier, université Grenoble-I, France (mention Tr\`es Bien). \v{1} \no { 1996-1999}: Scolarité à l'\'Ecole Polytechnique, Palaiseau. \v{5} \no {\sc Stages} \v{2} \no Janvier-juin 2000\,: Stage de DEA sous la direction de Martine Babillot, r\'edaction d'un m\'emoire intitul\'e: << Auto-intersections de g\'eod\'esiques p\'eriodiques sur une surface compacte \`a courbure n\'egative~>>. \v{2} \no Avril-juin 1999: Stage de fin d'\'etude sous la direction de Patrick Foulon (Strasbourg), r\'edaction d'un m\'emoire intitul\'e: <<~Le spectre marqu\'e des longueurs d'une surface \`a courbure n\'egative~>>.\\ \v{5} \no {\sc Informatique}\\ Logiciels scientifiques\,: Maple, Matlab, LaTeX, Xfig.\\ \section{Activités d'enseignement} \no {\bf Années universitaires 2000 à 2003}\,: monitorat \`a l'Université d'Orl\'eans (64 heures par an) - Travaux pratiques en DEUG STPI (logiciel Matlab), - Travaux dirigés en DEUG SV (outils math\'ematiques pour la biologie), - Travaux dirig\'es en DEUG SM (analyse), - Travaux dirig\'es en DEUG MASS (analyse et outils pour l'\'economie). \v{4} \no {\bf Année universitaire 2003/2004}\,: demi-poste d'A.T.E.R \`a l'Universit\'e Paris Sud (96 heures par an) - Travaux dirig\'es en DEUG MIAS (alg\`ebre et analyse), -Travaux pratiques en DEUG MIAS (illustration des TD \`a l'aide du logiciel Maple). \section{Autres activit\'es} J'ai cr\'e\'e un s\'eminaire des th\'esards \`a l'Universit\'e d'Orl\'eans, puis j'ai particip\'e \`a son organisation pendant deux ans (2001/2002 et 2002/2003). \section{Publications et travaux} \no $\bullet$ {\bf [1]} << Mesures quasi-invariantes pour un feuilletage et limites de moyennes longitudinales >>, paru aux {\it C.R. Acad.Sci. Paris}, S\'er. I {\bf 336} (2003), 349-352.\\ \v{2} \no $\bullet$ {\bf [2]} << On quasi-invariant transverse measures for the horospherical foliation of a negatively curved manifold >> (2002), \`a para\^itre dans {\it Ergodic Theory Dynam. Systems}.\\ \v{2} \no $\bullet$ {\bf [3]} << Lemme de l'ombre et non divergence des horosph\`eres d'une vari\'et\'e g\'eom\'etriquement finie \`a courbure n\'egative >> (2003), soumis pour publication.\\ \v{2} \no $\bullet$ {\bf [4]} << \'Equidistribution des horocycles d'une surface g\'eom\'etriquement finie >> (2003), soumis pour publication.\\ \v{2} \no $\bullet$ {\bf [5]} <<~Propri\'et\'es ergodiques du feuilletage horosph\'erique d'une vari\'et\'e \`a courbure n\'egative~>>, Th\`ese de l'Universit\'e d'Orl\'eans, novembre 2003, disponible \`a l'adresse suivante\,:\\ {\tt http://www.univ-orleans.fr/SCIENCES/MAPMO/publications/schapira/these.php}.\\ \no Les articles [1] \`a [4] correspondent exactement aux chapitres 4 \`a 7 de ma th\`ese.\\ \v{2} L'article suivant est un survol des travaux pr\'ec\'edents dans le cas particulier simple des surfaces hyperboliques. \\ \no $\bullet$ {\bf [6]} <<~Propri\'et\'es ergodiques du flot horocyclique d'une surface hyperbolique g\'eom\'etriquement finie~>>, paru aux {\it Cahiers du S\'eminaire de Th\'eorie Spectrale et G\'eom\'etrie} (2003), disponible \`a l'adresse suivante: {\tt http://www-fourier.ujf-grenoble.fr}. \v{5} \no Pour acc\'eder \`a ces travaux, ou pour plus de renseignements, voir ma page web \`a l'adresse suivante:\\ \centerline{\tt http://www.univ-orleans.fr/SCIENCES/MAPMO/membres/schapira/index.html} \section{Activités de recherche} {\bf\sc Cadre de mes travaux\,:}\\ Mes centres d'int\'er\^et math\'ematiques sont la g\'eom\'etrie riemannienne, les syst\`emes dynamiques, la th\'eorie ergodique. Plus pr\'ecis\'ement, je m'int\'eresse aux propri\'et\'es ergodiques de feuilletages obtenus comme feuilletages fortement instables du flot g\'eod\'esique sur des vari\'et\'es riemanniennes \`a courbure n\'egative. Rappelons que dans le cas d'un flot $(\varphi^t)_{t\in\R}$ agissant sur un espace $X$, la th\'eorie ergodique s'int\'eresse entre autres \`a l'existence de mesures invariantes par le flot, \`a leur ergodicit\'e, \`a l'unicit\'e de telles mesures. Cette derni\`ere propri\'et\'e, dite d'{\em unique ergodicit\'e du flot}, est tr\`es li\'ee au comportement des moyennes le long des orbites du flot. Plus pr\'ecis\'ement, si $X$ est compact, il est bien connu que le flot est uniquement ergodique si et seulement si pour toute fonction continue $\psi$ sur $X$, les moyennes $\displaystyle \frac{1}{T}\int_0^T\psi\circ\varphi^t(x)\,dt$ convergent uniform\'ement en $x\in X$ quand $T\to +\infty$ vers une constante $c(\psi)$. Si on note $m$ la mesure d\'efinie par $m(\psi)=c(\psi)$, on dit alors que les moyennes ci-dessus s'{\em \'equidistribuent uniform\'ement} vers la mesure $m$. \`A d\'efaut de mesures invariantes, on peut s'int\'eresser aussi aux mesures quasi-invariantes par le flot. Un {\em cocycle} $\Delta$ pour l'action du flot est une application $\Delta:\R\times X\to\R_+^*$ qui v\'erifie $\Delta(t_1+t_2,x)=\Delta(t_1,\varphi^{t_2}(x))\,\Delta(t_2,x)$. Une mesure $m$ est dite {\it quasi-invariante} pour le cocycle $\Delta:X\times\R\to\R_+^*$ si pour tout $t>0$, $d\varphi^t_* m(x)=\Delta(t,x)\,dm(x)$. On peut alors s'int\'eresser aux m\^emes propri\'et\'es que ci-dessus: existence et unicit\'e de mesures quasi-invariantes pour un cocycle $\Delta$ fix\'e, \'equidistribution de moyennes vers une mesure quasi-invariante.\\ Mes travaux de recherche sont consacr\'es \`a l'\'etude des propri\'et\'es ergodiques non pas de flots, mais de feuilletages. Les questions ci-dessus ont toujours un sens dans ce cadre, moyennant certaines modifications. La dynamique du flot est remplac\'ee par celle des {\em applications d'holonomie} du feuilletage, c'est-\`a-dire des hom\'eomorphismes qui << suivent les feuilles >> entre deux transversales au feuilletage. La notion de mesure invariante par un flot est remplac\'ee par celle de {\em mesure transverse invariante par holonomie}, c'est-\`a-dire une collection $\nu=\{\nu_T\}$ de mesures de Radon sur toutes les transversales au feuilletage, qui v\'erifient $\nu_{T'}=\zeta_*\nu_T$ pour toute application d'holonomie $\zeta$ entre $T$ et $T'$. Un {\em cocycle pour le feuilletage} est une application d\'efinie sur la relation d'\'equivalence du feuilletage, i.e. l'ensemble des couples de points d'une m\^eme feuille, et qui satisfait la relation de cocycle $\Delta(x,y)\,\Delta(y,z)=\Delta(x,z)$. Une mesure transverse {\em quasi-invariante} par holonomie est une mesure transverse qui v\'erifie $$ \frac{d\nu_{T'}}{d\zeta_*\nu_T}(\zeta(x))=\Delta(\zeta(x),x)\,. $$ La notion de classification des mesures invariantes ou quasi-invariantes pour un cocycle $\Delta$ fix\'e a donc toujours un sens dans ce cadre plus g\'en\'eral. En revanche, pour parler d'\'equidistribution, nous devons d\'efinir des suites de moyennes sur les feuilles du feuilletage. Cette d\'efinition est plus d\'elicate, et nous y reviendrons ci-dessous.\\ {\bf\sc R\'esultats\,:}\\ Dans [1], je consid\`ere un feuilletage d'une vari\'et\'e compacte $M$ et un cocycle $\Delta$ pour le feuilletage. \'Etant donn\'ees une suite croissante $(E_n)_{n\in\N}$ d'ensembles d'une feuille $F$ et une famille $\alpha=\{\alpha_F\}$ de mesures de Radon sur les feuilles du feuilletage, je d\'efinis la moyenne d'une fonction continue $\psi: M\to\R$ par $$ M_n^{\Delta,\alpha}(\psi):=\frac{\int_{E_n}\psi(x)\Delta(x,x_0)\,d\alpha_F(x)} {\int_{E_n}\Delta(x,x_0)\,d\alpha_F(x)}\,.$$ Cette quantit\'e est la moyenne de $\psi$ sur l'ensemble $E_n$ par rapport \`a la mesure $\alpha_F$, moyenne que l'on pond\`ere par le cocycle $\Delta$, et que l'on normalise de sorte que les mesures $M_n^{\Delta,\alpha}$ soient des mesures de probabilit\'e. J'introduis une condition de type F\o lner sur la suite $(E_n)$, qui permet de montrer que les valeurs d'adh\'erence de la suite $(M_n^{\Delta,\alpha})$ s'\'ecrivent localement comme le << produit >> de la mesure $\alpha_F$ par une mesure transverse quasi-invariante pour le cocycle $\Delta$. En particulier, ceci donne un crit\`ere d'existence de mesures transverses quasi-invariantes pour le cocycle $\Delta$. D'autre part, si l'on sait qu'il existe une unique mesure transverse quasi-invariante pour le cocycle $\Delta$, ceci permet d'obtenir la convergence de la suite $(M_n^{\Delta,\alpha})$ vers le produit de cette mesure par $\alpha$. Dans le cas des mesures invariantes, ce r\'esultat, d\^u \`a Goodman et Plante, est li\'e aux propri\'et\'es topologiques des feuilles du feuilletage. Il serait int\'eressant d'obtenir un tel lien dans le cas des mesures quasi-invariantes. Par ailleurs, un feuilletage \'etant un exemple simple de groupo\"ide, ce r\'esultat doit pouvoir s'\'etendre sans trop de difficult\'es au cas d'un groupo\"ide g\'en\'eral, ou au moins au cas des actions de groupes.\\ Dans [2], j'ai \'etabli des propri\'et\'es d'unique ergodicit\'e du feuilletage fortement instable ${\cal W}^{su}$ d'une vari\'et\'e $M$ compacte \`a courbure n\'egative. Plus pr\'ecis\'ement, \`a chaque fonction h\"old\'erienne $f$ d\'efinie sur le fibr\'e unitaire tangent $T^1 M$ de $M$, sont associ\'es de mani\`ere naturelle un cocycle h\"old\'erien $\Delta^f$ et une mesure naturelle $m^f$ sur $T^1 M$, la {\it mesure d'\'equilibre de $f$}. Une construction g\'eom\'etrique de cette mesure permet de voir qu'elle induit une mesure transverse $\{\mu_T^f\}$ qui est quasi-invariante par holonomie pour le cocycle $\Delta^f$. Je montre alors que $\{\mu_T^f\}$ est (\`a une constante multiplicative pr\`es) l'unique mesure quasi-invariante pour ce cocycle $\Delta^f$. La question se pose alors de savoir si tous les cocycles h\"old\'eriens sur le feuilletage peuvent \^etre r\'ealis\'es comme des cocycles $\Delta^f$, et sinon, s'il est encore possible d'obtenir un r\'esultat du type pr\'ec\'edent pour un cocycle quelconque. Cette question est ouverte pour l'instant. Un tel r\'esultat d'unique ergodicit\'e avait d\'ej\`a \'et\'e obtenu, par des m\'ethodes symboliques, par Bowen et Marcus dans le cas $f\equiv 0$, et par Babillot et Ledrappier pour $f$ quelconque. Mon \'enonc\'e et mes m\'ethodes, inspir\'ees du travail de Roblin, sont purement g\'eom\'etriques, ce qui a plusieurs avantages. Ceci me permet d'abord, en utilisant [1], d'obtenir plusieurs propri\'et\'es d'\'equidistribution, dont en particulier l'\'equidistribution de certaines moyennes naturelles vers la mesure $m^f$. D'autre part, le r\'esultat d'unique ergodicit\'e s'\'etend aux vari\'et\'es non-compactes. Plus pr\'ecis\'ement, par ces m\'ethodes g\'eom\'etriques, j'obtiens dans [5] la classification des mesures transverses quasi-inva\-riantes pour le cocycle $\Delta^f$. Elles sont toujours induites par une mesure $m^f$ sur le fibr\'e tangent; cependant, la notion de mesure d'\'equilibre n'est plus bien d\'efinie dans ce contexte. Il serait int\'eressant de regarder si cette notion peut s'\'etendre, et si oui, si la construction des mesures $m^f$ donne bien une (ou l'unique) mesure d'\'equilibre de $f$. (C'est un r\'esultat d'Otal et Peign\'e dans le cas $f\equiv 0$.)\\ Enfin, il serait int\'eressant de savoir si les r\'esultats d'\'equidistribution d\'emontr\'es dans [2] peuvent s'\'etendre au cas des vari\'et\'es g\'eom\'etriquement finies. C'est une question difficile dans le cas g\'en\'eral, et nous y apportons des r\'eponses dans certains cas dans [3], [4] et [5] dans le cas particulier o\`u $f\equiv 0$.\\ Dans [3], j'\'etudie des moyennes sur de grandes boules horosph\'eriques $B_H(u,r)$ par rapport \`a la mesure conditionnelle de la mesure $m^0$ sur les horosph\`eres. Ces moyennes d\'efinissent une suite de probabilit\'es not\'ees $(M_{r,u})_{r>0}$ sur le fibr\'e unitaire tangent $T^1 M$. La non-compacit\'e de $T^1 M$ fait que ces mesures ne sont pas \`a support compact, et pourraient donc avoir $0$ comme valeur d'adh\'erence. Nous montrons que ce n'est pas le cas, et plus pr\'ecis\'ement que cette suite de probabilit\'es est {\it tendue}: toutes ses valeurs d'adh\'erence sont des probabilit\'es. Un tel r\'esultat n\'ecessite une hypoth\`ese sur la g\'eom\'etrie des cusps, et plus pr\'ecis\'ement un contr\^ole de la croissance des sous-groupes paraboliques du groupe fondamental de la vari\'et\'e. Ces hypoth\`eses sont satisfaites sur les vari\'et\'es localement sym\'etriques, mais aussi dans beaucoup d'autres exemples explicites. Elles nous permettent en particulier de d\'emontrer le {\it Lemme de l'Ombre}, d\'ej\`a connu sur les vari\'et\'es g\'eom\'etriquement finies localement sym\'etriques, et que nous g\'en\'eralisons en courbure variable.\\ Dans [4], le r\'esultat de non divergence des moyennes horosph\'eriques ci-dessus permet, dans le cas des surfaces, de montrer une propri\'et\'e d'\'equidistribution de ces moyennes. En corollaire, nous obtenons d'autres r\'esultats d'\'equidistribution, dont celle des orbites du flot horocyclique d'une surface hyperbolique g\'eom\'etriquement finie. En dimension plus grande, l'obstacle \`a un tel r\'esultat est le manque de contr\^ole de la croissance du bord de boules horosph\'eriques. Dans [5], nous obtenons seulement l'\'equidistribution de certaines sous-suites de la suite $(M_{r,u})_{r>0}$, qui v\'erifient une condition de type F\o lner. Il est peut-\^etre possible de lever cette restriction dans certains cas, par exemple sur les vari\'et\'es hyperboliques ou plus g\'en\'eralement les vari\'et\'es localement sym\'etriques, ce qui m\`enerait imm\'ediatement \`a une propri\'et\'e d'\'equidistribution.\\ Comme cela a \'et\'e mentionn\'e plus haut, l'article [6] est un survol des travaux pr\'ec\'edents, avec quelques d\'emonstrations, dans le cas plus simple des surfaces hyperboliques. \end{document}