Présentation des groupes de tresses purs et de certaines de leurs extensions

François Digne

0. Introduction et notations. Dans cet article on étudie par des méthodes combinatoires la présentation du groupe de tresses purs associé à un groupe de Coxeter quelconque. On généralise à tous les types le dévissage du groupe de tresses pur en produits semi-directs successifs, (connu dans le cas du type A_{n}, cf. par exemple [Bi, 1.8.2] ou [H, appendice par Gædde]). On montre en particulier que pour le type B_{n} on a (comme pour A_{n}) une suite d’extensions de groupes libres.

Dans ce qui suit (W, S) est un système de Coxeter et B_{W}^{+} (resp. B_{W}) est le monoïde de tresses (resp. le groupe de tresses) correspondant. Rappelons les définitions. Pour s et t dans S, notons m_{s,t} ∈ N ∪ {∞} l’ordre de st dans W et soit S un ensemble en bijection avec S, la bijection étant notée s ↦ s. Avec ces notations B_{W}^{+} (resp. B_{W}) est le monoïde (resp. le groupe) engendré par S avec comme seules relations \underbrace{st …}_{m_{s,t}} = \underbrace{ts …}_{m_{s,t}}, pour tout

s ∈ S et tout t ∈ S.

On a donc un morphisme canonique p de B_{W} dans W qui envoie s sur s. On note P_{W} le noyau de p (groupe de tresses pur). On a aussi un homomorphisme canonique j : B_{W}^{+} → B_{W} (dont on ne sait pas en général s’il est injectif). La surjection p ∘ j a une section canonique obtenue en relevant les écritures réduites des éléments de W (c’est indépendant de l’écriture réduite). On désigne par w le relevé dans B_{W}^{+} de w ∈ W par cette section, ainsi que son image dans B_{W}. On note B_{W}^{red} l’ensemble des relevés par la section des éléments de W, ou l’ensemble de leurs images dans B_{W} (ces deux ensembles sont mis en bijection par j). L’ensemble B_{W}^{red} est constitué des éléments s_{1}s_{2} … s_{k} dont l’image dans W est de longueur k.

François Digne

Si b est un élément de B_{W} de la forme b = s_{1}^{ε_{1}}s_{2}^{ε_{2}} … s_{k}^{ε_{k}}, avec ε_{i} = ±1, on pose b̃ = s_{k}^{ε_{k}} … s_{2}^{ε_{2}}s_{1}^{ε_{1}}. Cet élément est bien défini, indépendamment de la décomposition de b en produit de générateurs car les relations de définition de B_{W} sont invariantes par retournement des mots. Si I est une partie de S on note W_{I} le sous-groupe (parabolique) de W engendré par I. Si I est un partie sphérique de S (c’est-à-dire si W_{I} est fini), on note w_{I} l’élément de plus grande longueur du sous-groupe parabolique W_{I} engendré par I; on notera I la partie de S correspondant à I et w_{I} le relevé dans B_{W}^{red} de w_{I}. Nous serons amenés à utiliser souvent le lemme d’échange, ou plutôt une version adaptée au monoïde de tresses qui est

Lemme 0.1. Soient s et t dans S et soit b ∈ B_{W}^{red} ; si sb ∈ B_{W}^{red} et bt ∈ B_{W}^{red} mais sbt ∉ B_{W}^{red} alors sb = bt.

1. La fonction N. Soit T l’ensemble des réflexions de W, c’est-à-dire des conjugués des éléments de S.

Proposition 1.1.

(i) Il existe une application N : B_{W} → ℤT telle que

N(s_{1}^{ε_{1}}s_{2}^{ε_{2}} … s_{k}^{ε_{k}}) = ∑_{i=1}^{i=k} ε_{i}s_{k}s_{k−1} … s_{i+1}s_{i}s_{i+1} … s_{k},

où s_{i} ∈ S et ε_{i} = ±1. (ii) L’application b ↦ (p(b), N(b)) est un homomorphisme de groupes de B_{W} dans W ⋉

ℤT, où l’action de W sur ℤT étend linéairement l’action de W sur T par conjugaison.

Démonstration : Nous allons montrer qu’il existe un homomorphisme de groupes f : B_{W} → W ⋉ ℤT qui envoie s ∈ S sur (s, s). La composition de f avec la projection sur la deuxième composante donne alors une application N qui vérifie (i). Pour montrer l’existence de f il suffit de vérifier les relations de tresses c’est-à-dire de montrer que pour tout couple (s, t) d’éléments de S on a la relation f(s)f(t) … = f(t)f(s) …, où il y a m_{s,t} facteurs dans les deux membres. Or dans le produit semi-direct W ⋉ ℤT la deuxième composante de (s, s)(t, t) … (avec m_{s,t} facteurs) est la somme de toutes les réflexions du groupe diédral engendré par s et t et la première composante est l’élément de plus grande longueur de ce groupe diédral. On trouve donc le même résultat quand on intervertit s et t, d’où la relation et la proposition.

Lemme 1.2. Le restriction de N à P_{W} est un homomorphisme compatible avec les actions de B_{W} respectivement par conjugaison sur P_{W} et par conjugaison à travers p sur T.

Démonstration : La restriction de (p, N) à P_{W} est simplement la restriction de N, d’où les deux assertions.

Lemme 1.3. L’image de P_{W} par N est 2ℤT.

Groupes de tresses purs

Démonstration : Le groupe P_{W} est engendré par les conjugués des carrés des réflexions par définition, donc son image par (p, N) est incluse dans le plus petit sous-groupe normal contenant les images des carrés des réflexions qui sont les (1, 2s) et qui sont dans le sousgroupe normal {1} × 2T de W ⋊ ℤT. Dans l’autre sens, pour tout s ∈ S et tout n ∈ ℤ l’image de s^{2n} ∈ P_{W} est 2ns. Comme l’image N(P_{W}) est stable par action de W, elle contient donc 2ℤT, d’où l’égalité cherchée.

Par passage au quotient par P_{W} on obtient un homomorphisme (Id, \overline{N}) : W → W ⋉ ℤ/2ℤT. Il est connu que l’application \overline{N} est injective (cf. [Dy, chapitre 1], par exemple). On sait aussi que l’image de \overline{N}, considérée comme un ensemble de parties de T est caractérisée par le fait d’être admissible au sens suivant (cf. [Pa], où cela est fait dans un cadre un peu plus restrictif mais facile à généraliser) :

Définition 1.4. Une partie de T est dite admissible si elle correspond à un ensemble de racines positives clos par combinaison linéaire à coefficients réels positifs et dont le complémentaire dans les racines positives est aussi clos.

On a alors

Proposition 1.5. L’image de (p, N) est l’ensemble des (w, x) tel que l’image de x modulo 2 soit \overline{N}(w). L’image de N est l’ensemble des éléments de ℤT dont l’image modulo 2 est admissible.

Démonstration : La deuxième assertion est conséquence de la première. La propriété rappelée plus haut de l’image de \overline{N} montre que l’image de (p, N) est incluse dans l’ensemble de l’énoncé. Montrons l’inclusion en sens inverse. Si l’image \overline{A} modulo 2 de A ∈ ℤT est égale à \overline{N}(w) pour un certain élément w ∈ W, relevons w par w ∈ B_{W}^{red} ; on a N(w) − A ∈ 2ℤT. Donc par le lemme 1.3 il existe p ∈ P_{W} tel que N(p) = N(w) − A, ce qui implique N(p^{−1}w) = A par 1.1 (ii).

Proposition 1.6. Le noyau de (p, N) est le dérivé du groupe de tresses pur et la restriction de N à P_{W} est l’homomorphisme canonique de P_{W} dans son abélianisé.

Démonstration : Le noyau de (p, N) est inclus dans P_{W}. La restriction de (p, N) à P_{W} qui est la restriction de N est un homomorphisme P_{W} → 2ℤT. Le noyau contient donc le dérivé de P_{W} et N se factorise donc par l’abélianisé de P_{W}. Pour obtenir le résultat il suffit de trouver un ensemble de générateurs de P_{W} qui s’envoie bijectivement sur une base de 2ℤT. La proposition suivante nous fournit un tel ensemble, d’où le résultat.

Proposition 1.7. Pour tout choix d’un ensemble de couples (w, s) ∈ B_{W}^{red} × S tel que les éléments wsw̃ ∈ B_{W}^{red} parcourent l’ensemble des relevés des réflexions de W les éléments ws^{2}w^{−1} engendrent P_{W}.

On retrouve ainsi le résultat connu pour les groupes de tresses de type fini (y compris ceux associés à des groupes de réflexions complexes) que l’abélianisé de P_{W} est le groupe abélien libre engendré par les réflexions de W. Démonstration : Appliquons la méthode de Reidemeister-Schreier ([J, chapitre 9]) au sous-groupe P_{W} de B_{W}. Le quotient étant W, on peut prendre comme représentants des classes modulo P_{W} les éléments de B_{W}^{red}. On en déduit que P_{W} est engendré par les vsq(vs)^{−1}, où v décrit B_{W}^{red}, s décrit S et où q est la section de p. Or si l(vs) < l(v), on peut écrire v = ws avec w ∈ B_{W}^{red} et l’on a vsq(vs)^{−1} = ws^{2}w^{−1}. Si l(vs) > l(v), on a vsq(vs)^{−1} = 1. Donc P_{W} est engendré par les ws^{2}w^{−1} avec l(ws) > l(w). Nous devons voir qu’on peut se limiter aux w et s tels que wsw̃ soit dans B_{W}^{red} et parcoure un ensemble de relevés des réflexions de W. C’est l’objet des deux lemmes suivants.

Lemme 1.8. Si t et t′ sont deux éléments de S et w et w′ deux éléments de B_{W}^{red} tels que wtw̃ = w′t′w̃′ ∈ B_{W}^{red}, alors wtw^{−1} et w′t′w^{′−1} sont conjugués par un produit d’éléments de la forme vs^{2}v^{−1} avec s ∈ S, vs ∈ B_{W}^{red} et l(v) < l(w).

Lemme 1.9. Si w ∈ B_{W}^{red} et s ∈ S sont tels que ws ∈ B_{W}^{red} et wsw̃ ∉ B_{W}^{red}, alors ws^{2}w^{−1} est produit d’éléments de la forme vt^{±2}v^{−1} avec t ∈ S, l(v) < l(w) et vtṽ ∈ B_{W}^{red}.

Avant de démontrer les lemmes, rappelons le résultat de Dyer :

Lemme 1.10 [Dy, 1.4]. Si s_{1} … s_{2n+1} est une décomposition réduite d’une réflexion de W alors cette réflexion s’écrit aussi s_{1} … s_{n}s_{n+1}s_{n} … s_{1}.

Démonstration du lemme 1.8 : Puisque wtw̃ = w′t′w̃′ dans le monoïde B_{W}^{+} , on passe d’une écriture réduite correspondant à la décomposition en produit comme dans le membre de gauche, c’est-à-dire formée par concaténation d’une écriture réduite de w, de t et d’une écriture réduite de w̃ à une écriture réduite analogue correspondant au membre de droite par une suite de relations de tresses. Précisément, il existe une suite de triplets que nous supposerons non redondante (v_{i}, s_{i}, w_{i}), i = 1 … n tels que v_{i} et w_{i} soient dans B_{W}^{red} et de même longueur, que s_{i} ∈ S, que (v_{1}, s_{1}, w_{1}) = (w, t, w̃), que (v_{n}, s_{n}, w_{n}) = (w′, t′, w̃′), que v_{i}s_{i}w_{i} = vtw̃ pour tout i et que l’on passe de chaque triplet au suivant en appliquant une seule relation de tresse à une écriture de v_{i}s_{i}w_{i} obtenue par concaténation d’une écriture de chacun des trois termes puis par redécoupage en trois termes de l’écriture obtenue. L’image dans W de tous les produits v_{i}s_{i}w_{i} est la même réflexion et par 1.10 on voit que w_{i} = ṽ_{i}. On passe de v_{i−1}s_{i−1}ṽ_{i−1} à v_{i}s_{i}ṽ_{i} en appliquant une relation de tresses qui fait intervenir le facteur s_{i−1} car on a supposé la suite de triplets non redondante. C’est donc la relation entre s et s_{i−1} pour un certain s ∈ S. Comme v_{i−1}s_{i−1}ṽ_{i−1} est dans B_{W}^{red} l’élément v_{i−1} ne peut pas être divisible à droite par un élément de longueur plus grande que [\frac{m_{s,s_{i−1}} − 1}{2}] du monoïde engendré

par s et s_{i−1}. Donc m_{s,s_{i−1}} est impair et on a s_{i} = s. Considérons alors la suite v_{i}s_{i}v_{i}^{−1} d’éléments de B_{W}. Pour prouver le lemme nous montrons qu’on passe d’un terme de cette suite au terme suivant par une suite de conjugaisons comme dans l’énoncé : un terme de la suite est de la forme xst … u … t^{−1}s^{−1}x^{−1} où u vaut s ou t suivant la parité de \frac{m_{s,t} − 1}{2}. Ce terme est égal à xt^{−1}s^{−1} … u′ … stx^{−1}, où u′ vaut t ou s suivant que u vaut s ou t. On peut l’écrire

xt^{−2}.^{xt}s^{−2}.^{xts}t^{−2}...(xts … u′ … s^{−1}t^{−1}x^{−1}).

Ceci donne le résultat puisque le terme suivant de la suite est xts … u′ … s^{−1}t^{−1}x^{−1}. Démonstration du lemme 1.9 : On fait une récurrence sur l(w). Si wsw̃ n’est pas dans B_{W}^{red}, écrivons w = s′w_{1}. On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à w_{1}s^{2}w_{1}^{−1} : cet élément est produit d’éléments de la forme (resp. est de la forme) vt^{2}v^{−1} avec vtṽ ∈ B_{W}^{red} et l(v) < l(w_{1}) < l(w) (resp. l(v) < l(w)). Donc ws^{2}w^{−1} est produit des s′vt^{2}v^{−1}s^{′−1}. Pour un tel terme, si s′vtṽs′ est dans B_{W}^{red}, on a fini (ceci ne se produit pas si v = w_{1}). Sinon, faisons deux cas selon que s′vt est ou n’est pas dans B_{W}^{red}. Si cet élément n’est pas dans B_{W}^{red}, il y a deux possibilités (cf. 0.1) : ou bien s′v = vt et alors s′vt^{2}v^{−1}s^{′−1} = vt^{2}v^{−1}, et on a fini; ou bien v = s′v′ et s′vt^{2}v^{−1}s^{′−1} = s^{′2}v′t^{2}v^{′−1}s^{′−2} et on finit en appliquant l’hypothèse de récurrence à v′t^{2}v^{′−1}. Si s′vt ∈ B_{W}^{red}, alors faisons de nouveau deux cas : ou bien s′vtṽ ∉ B_{W}^{red} ou bien s′vtṽ = vtṽs′ (toujours par 0.1).

• Dans le premier cas le lemme d’échange dit que vtṽ = s′vt˜v̂, où v̂ s’obtient en supprimant un générateur dans l’écriture de v. On peut alors appliquer 1.10 qui montre que vtṽ = s′ut′ũs′, où v = ut′ avec u ∈ B_{W}^{red} et t′ ∈ S. Par 1.8, on en déduit que vtv^{−1} est conjugué de s′ut′u^{−1}s^{′−1} par un produit d’éléments de la forme xr^{2}x^{−1} avec r ∈ S, xrx̃ ∈ B_{W}^{red} et l(x) < l(v). On en déduit que s′vt^{2}v^{−1}s^{′−1} est conjugué de s^{′2}ut^{′2}u^{−1}s^{′−2} par un produit d’éléments de la forme s′xr^{2}x^{−1}s^{′−1} avec l(s′x) < l(w), ce qui permet de terminer ce cas par récurrence.

• Dans le deuxième cas, on passe de s′vtṽ à vtṽs′ par l’application d’une suite de relations de tresses (ces éléments sont égaux et sont dans B_{W}^{red}). Considérons la première relation dans cette suite qui fait intervenir s′ : il existe r divisant à gauche vtṽ dans B_{W}^{red} tel que cette relation soit la relation entre s′ et r, c’est-à-dire que vtṽ a une écriture dans B_{W}^{red} qui commence par w′_{s′,r}, où w′_{s′,r} est défini par w_{s′,r} = s′w′_{s′,r}. On a alors ou bien

(a) vtṽ = w′_{s′,r} ou bien (b) vtṽ = w′_{s′,r}xux̃w̃′_{s′,r} pour un certain x avec l(x) < l(v), u ∈ S et s′ ou r, suivant

la parité de m_{s′,r} commute à xux̃ d’après 0.1. Dans le cas (a), posons m_{s′,r} = 2k, on a s′vtv^{−1}s^{′−1} = \underbrace{s′rs′ …}_{k+1} \underbrace{… r^{−1}s^{′−1}r^{−1}}_{k−1} s^{′−1}, ce

qui, d’après la relation de tresses, vaut \underbrace{r^{−1}s^{′−1}r^{−1} …}_{k−1} \underbrace{… rs′r}_{k}, et par le même argument

qu’à la fin de la démonstration du lemme 1.9 cet élément est conjugué par des éléments du type voulu à \underbrace{rs′r …}_{k} \underbrace{… r^{−1}s^{′−1}r^{−1}}_{k−1} et on a fini (remarquer que \underbrace{rs′r … rs′r}_{2k−1} est dans

B_{W}^{red}). Dans le cas (b), par 1.8 vt^{2}v^{−1} est conjugué par des éléments du type voulu zs_{1}^{2}z^{−1} avec l(z) < l(v) à w′_{s′,r}xu^{2}x^{−1}(w′_{s′,r})^{−1}, donc s′vtv^{−1}s^{′−1} est conjugué par les s′zs_{1}^{2}z^{−1}s^{′−1} (auquel on peut appliquer l’hypothèse de récurrence) à w_{s′,r}xu^{2}x^{−1}w_{s′,r}^{−1}. Il reste à voir que ce dernier élément est bien produit d’éléments du type voulu. Supposons que c’est r qui commute à xux̃. On écrit alors l’élément considéré sous la forme yrxu^{2}x^{−1}r^{−1}y^{−1}. On peut appliquer l’hypothèse de récurrence à rxu^{2}x^{−1}r^{−1} et on termine à nouveau par récurrence. On peut alors terminer la démonstration de la proposition. On sait que P_{W} est engen-

dré par les ws^{2}w^{−1} où ws ∈ B_{W}^{red}. Par récurrence sur la longueur de w on voit en utilisant les deux lemmes que ws^{2}w^{−1} s’exprime à l’aide d’éléments vt^{2}v^{−1} pour des couples (v, t) tels que les éléments vtṽ soient dans B_{W}^{red} et aient des images toutes distinctes dans W.

Corollaire (de 1.6) 1.11. Si b et b′ sont des éléments de B_{W}, on a N(b) = N(b′) si et seulement si b^{−1}b′ ∈ D(P_{W}).

Démonstration : Si deux éléments ont même image par N, ils ont même image dans W. Donc le quotient b^{−1}b′ est dans P_{W} et est dans le noyau de la restriction de N à P_{W} qui est un homomorphisme. D’où l’implication directe. Réciproquement, si b^{−1}b′ ∈ D(P_{W}) alors en particulier b et b′ ont même image w dans W. Si on pose N(b) = (w, A) et N(b′) = (w, A′) on a 1 = N(b^{−1}b′) = (1, A′ − A), donc A = A′.

Remarques.

(i) La restriction via l’homomorphisme canonique de N au monoïde de tresses B_{W}^{+} est croissante (à valeurs dans ℕT) si l’on prend comme relation d’ordre dans le monoïde la relation de divisibilité à gauche et dans ℤT la relation donnée par le fait que les éléments de ℕT sont plus grands que 0.

(ii) L’image du monoïde B_{W}^{+} par N est un sous-monoïde de ℕT qui engendre le groupe ℤT. Question : déterminer ce sous-monoïde. Même question pour l’image des éléments

purs positifs.

2. Présentations de certains sous-groupes du groupe de tresses. Nous allons appliquer la méthode de Reidemeister-Schreier pour donner une présentation de certains sous-groupes de B_{W} et en particulier du groupe de tresses pur. Soit I ⊂ S. Notons D_{I} l’image réciproque de W_{I} dans B_{W}. Ce sous-groupe contient le groupe de tresses pur et le sous-groupe parabolique B_{I} de B_{W} où on a noté I la partie de S dont l’image dans W est I. On dit qu’un élément w ∈ B_{W}^{red} est I-réduit si pour tout s ∈ I on a sw ∈ B_{W}^{red}. Ceci est équivaut à dire que l’image w de w dans W est I-réduite, c’est-à-dire est de longueur minimale dans sa classe à droite modulo W_{I}. On a de même une notion d’éléments réduits-I et d’éléments I-réduits-J pour deux parties I et J de S. Commençons par généraliser 1.7.

Proposition 2.1. Pour tout choix d’un ensemble de couples (w, s) ∈ B_{W}^{red} × S tel que les éléments wsw̃ ∈ B_{W}^{red} parcourent l’ensemble des relevés des réflexions I-réduites de W, les éléments ws^{2}w^{−1} et I engendrent D_{I}.

Démonstration : Le groupe D_{I} est engendré par I et P_{W}, donc par I et un ensemble de ws^{2}w^{−1} comme dans 1.7. Il suffit de voir que l’on peut retirer de cet ensemble les éléments tels que wsw̃ ne soit pas I-réduit. Par récurrence sur la longueur de w, il suffit de voir que si wsw̃ n’est pas I-réduit ws^{2}w^{−1} s’écrit comme produit d’éléments de I et d’éléments analogues w′s^{′2}w^{′−1} avec l(w′) < l(w) ou de leurs inverses. Si wsw̃ n’est pas I-réduit, il a une écriture qui commence par s′ ∈ I et donc par 1.10 s’écrit s′vrṽs′ avec r ∈ S; par les lemmes 1.8 et 1.9 ws^{2}w^{−1} est conjugué à s′vr^{2}v^{−1}s^{′−1} par des éléments de la forme ut^{2}u^{−1} avec t ∈ S, l(u) < l(w) et utũ ∈ B_{W}^{red}. Ceci donne le résultat.

Cherchons maintenant une présentation de D_{I}. Pour cela nous appliquons la méthode de Reidemeister-Schreier. Un ensemble de représentants du quotient B_{W} /D_{I} est formé par les éléments I-réduits de B_{W}^{red} car B_{W} /D_{I} ≃ W/W_{I}. On note [b] le représentant de la classe bD_{I}. Les éléments ws[ws]^{−1} où w parcourt l’ensemble des éléments I-réduits et où s parcourt S forment donc un ensemble générateur de D_{I}. Si ws est dans B_{W}^{red} et est I-réduit le générateur obtenu vaut 1. Si ws est dans B_{W}^{red} mais non I-réduit, cela signifie qu’il existe t ∈ I et v ∈ B_{W}^{red} tel que ws = tv. Alors v est I-réduit et est égal à [ws]. Le générateur obtenu est t (ceci inclut le cas où w = 1, donc t parcourt tout I). Si ws n’est pas dans B_{W}^{red} alors w = vs, l’élément v est I-réduit-{s} et est égal à [ws] car ws = vs^{2}. Le générateur obtenu est vs^{2}v^{−1}. On obtient donc que D_{I} est engendré par I et par les éléments ws^{2}w^{−1} où s est dans S et ws ∈ B_{W}^{red} est I-réduit.

Définition 2.2. Pour w ∈ B_{W}^{red} et s ∈ S tels que ws ∈ B_{W}^{red} soit I-réduit, on pose a_{w,s} = ws^{2}w^{−1}.

La méthode de Reidemeister-Schreier dit que pour chaque représentant de B_{W} /D_{I} dans l’ensemble choisi et pour chaque relation de tresses entre deux éléments de S on obtient une relation entre les générateurs de D_{I} par le procédé de réécriture et que les relations obtenues forment un ensemble complet de relations.

Autrement dit pour chaque représentant b, c’est-à-dire chaque élément I-réduit de B_{W}^{red}, et chaque paire (s, t), telle que m_{s,t} soit fini, d’éléments de S, nous devons réécrire la relation

b \underbrace{st …}_{m_{s,t}} = b \underbrace{ts …}_{m_{s,t}} .  (∗)

Rappelons le procédé de réécriture : à chaque élément I-réduit b ∈ B_{W}^{red} et chaque élément s ∈ S est associé un générateur bs[bs]^{−1} de D_{I}. Le procédé de réécriture consiste à remplacer le produit bs par (bs[bs]^{−1})[bs], ce qui permet de proche en proche d’écrire tout élément de B_{W} comme produit de générateurs de D_{I} et d’un représentant de B_{W} /D_{I}.

En appliquant cette réécriture aux deux membres de (∗) on obtient une relation entre les générateurs de D_{I} et quand b, s et t varient on obtient un ensemble complet de relations.

Pour faire le calcul nous utilisons la notation suivante :

Notation 2.3. Un produit de i ≤ m_{s,t} facteurs alternativement s et t sera noté w_{s,t}^{(i)}.

Pour alléger les notations nous écrirons m pour m_{s,t}. Quitte à échanger s et t, on peut écrire b = b_{0}.w_{s,t}^{(i)} avec 0 ≤ i ≤ m et i maximal, c’est-à-dire que b_{0} est réduit-{s, t}. Pour 0 ≤ j < m, nous écrirons a_{s,t}^{(j)} à la place de a_{b_{0}w_{s,t}^{(j)},r} où r vaut s si j est pair et t sinon (c’est-à-dire, sauf dans le cas j = m − 1, que r est celui des deux générateurs s ou t qui divise à droite w_{s,t}^{(j+1)} dans le monoïde B_{W}^{+} ).

Nous allons subdiviser le calcul en plusieurs cas suivant la valeur de i et les propriétés de b_{0}.

Cas 1) : Cas où i = 0.

Cas 2) : On a i ≥ 1 et b_{0}t est I-réduit (par hypothèse b_{0}s est I-réduit, puisque i ≥ 1). Cas 3) : On a i ≥ 1 et b_{0}t = s′b_{0} avec s′ ∈ I (et b_{0}s est I-réduit). Pour appliquer le procédé de réécriture dans les trois cas ci-dessus, nous aurons be-

soin des deux lemmes suivants dont le premier est bien connu. Dans ces deux lemmes on considère deux éléments s et t de S tels que m_{s,t} est fini.

Lemme 2.4. Si b ∈ B_{W}^{red} est tel que bs et bt sont dans B_{W}^{red} alors bw_{{s,t}} ∈ B_{W}^{red}.

Lemme 2.5. Si b ∈ B_{W}^{red} est un élément réduit-{s, t} et si bs et bt sont I-réduits alors bw_{{s,t}} est I-réduit.

Démonstration : Si bw_{{s,t}} n’est pas I-réduit, notons i le plus petit indice tel que b.w_{s,t}^{(i)} ne soit pas I-réduit. On a i > 1 et il existe un élément s′ ∈ I tel que b.w_{s,t}^{(i)} = s′b.w_{s,t}^{(i−1)}. Cette égalité implique que b.w_{s,t}^{(i)} est divisible à droite à la fois par s et t (car i − 1 > 0), donc est divisible par w_{{s,t}}, ce qui implique i = m_{s,t} car b est réduit-{s, t}. On peut alors simplifier par w_{s,t}^{(i−1)} et l’on obtient que s′b est égal à bs ou bt (selon la parité de i), ce qui est contraire à l’hypothèse.

Cas 1) : Si i = 0, si b_{0}s et b_{0}t sont tous deux I-réduits, la relation obtenue est triviale 1 = 1. Si b_{0}s = s′b_{0} avec s′ ∈ I et si b_{0}t est I-réduit on obtient la relation triviale s′ = s′. Si b_{0}s = s′b_{0} et b_{0}t = t′b_{0} avec s′ et t′ dans I, on obtient la relation de tresses entre s′ et t′ (remarquer que m_{s,t} = m_{s′,t′} dans ce cas). Ce dernier cas nous donne toutes les relations de tresses entre éléments de I car il contient en particulier le cas où b_{0} = 1.

Cas 2) : Si b_{0}t est I-réduit (et i ≥ 1). Dans un des deux membres de (∗), le produit de b_{0}w_{s,t}^{(i)} par le premier facteur s ou t est dans B_{W}^{red}. Le procédé de réécriture est alors trivial jusqu’à arriver au produit b_{0}w_{{s,t}}. La réécriture du produit suivant qui consiste à multiplier b_{0}w_{{s,t}} par s ou t suivant la parité donne a_{t,s}^{(m−1)}b_{0}w_{t,s}^{(m−1)}. On continue de proche en proche pour obtenir le premier membre sous la forme

a_{t,s}^{(m−1)}a_{t,s}^{(m−2)} … a_{t,s}^{(m−i)}b_{0}w_{t,s}^{(m−i)}.

Dans l’autre membre le même type de calcul donne

a_{s,t}^{(i−1)}a_{s,t}^{(i−2)} … a_{s,t}^{(0)}b_{0}w_{t,s}^{(m−i)}.

La relation obtenue est donc

a_{t,s}^{(m−1)}a_{t,s}^{(m−2)} … a_{t,s}^{(m−i)} = a_{s,t}^{(i−1)}a_{s,t}^{(i−2)} … a_{s,t}^{(0)}.

Cas 3) : Dans un des deux membres, comme dans le cas précédent, le procédé de réécriture est trivial jusqu’à arriver au produit b_{0}w_{{s,t}} = s′b_{0}w_{s,t}^{(m−1)}. La réécriture des produits suivants se passe comme dans le cas précédent et on obtient

s′a_{s,t}^{(m−2)}a_{s,t}^{(m−3)} … a_{s,t}^{(m−i−1)}b_{0}w_{s,t}^{(m−i−1)}.

Dans l’autre membre la réécriture des premiers produits se passe comme dans le premier cas, jusqu’à arriver à réécrire le produit b_{0}t qui donne s′b_{0}. Les réécritures suivantes sont triviales et on trouve

a_{s,t}^{(i−1)}a_{s,t}^{(i−2)} … a_{s,t}^{(0)}s′b_{0}w_{s,t}^{(m−i−1)}.

La relation obtenue est donc

s′a_{s,t}^{(m−2)}a_{s,t}^{(m−3)} … a_{s,t}^{(m−i−1)} = a_{s,t}^{(i−1)}a_{s,t}^{(i−2)} … a_{s,t}^{(0)}s′.

Pour pouvoir résumer les considérations précédentes dans un énoncé nous aurons besoin de faire varier b_{0} dans ce qui précède : nous noterons a_{b_{0},s,t}^{(i)} au lieu de a_{s,t}^{(i)}, c’està-dire a_{b_{0},s,t}^{(i)} = a_{b_{0} ^{st...}_{i},r}, avec la notation 2.2, où r vaut s ou t suivant que i est pair ou

impair.

Proposition 2.6. Le groupe D_{I} admet une présentation où les générateurs sont les éléments de I et les a_{b,s}, où s ∈ S et bs ∈ B_{W}^{red} est I-réduit, et où les relations sont les relations de tresses entre éléments de I et les relations

a_{b_{0},s,t}^{(m−1)}a_{b_{0},s,t}^{(m−2)} … a_{b_{0},s,t}^{(m−i)} = a_{b_{0},t,s}^{(i−1)}a_{b_{0},t,s}^{(i−2)} … a_{b_{0},t,s}^{(0)} pour i = 1, …, m  (1)
s′a_{b_{0},s,t}^{(m−2)}a_{b_{0},s,t}^{(m−3)} … a_{b_{0},s,t}^{(m−i−1)} = a_{b_{0},s,t}^{(i−1)}a_{b_{0},s,t}^{(i−2)} … a_{b_{0},s,t}^{(0)}s′ pour i = 1, …, m − 1, (2)

où (s, t) est un couple arbitraire d’éléments de S tel que m = m_{s,t} est fini, où dans (1) b_{0} ∈ B_{W}^{red} décrit l’ensemble des éléments réduits-{s, t} tels que b_{0}s et b_{0}t soient I-réduits et dans (2) b_{0} ∈ B_{W}^{red} décrit l’ensemble des éléments réduits-{s, t} tels que b_{0}s soit I-réduit et que b_{0}t = s′b_{0} avec s′ ∈ I.

Donnons le cas particulier du groupe de tresses pur :

Corollaire 2.7. Le groupe P_{W} a une présentation où les générateurs sont les a_{b,s} où s ∈ S et bs ∈ B_{W}^{red} et où les relations sont, avec les notations de la proposition,

a_{b_{0},s,t}^{(m−1)}a_{b_{0},s,t}^{(m−2)} … a_{b_{0},s,t}^{(m−i)} = a_{b_{0},t,s}^{(i−1)}a_{b_{0},t,s}^{(i−2)} … a_{b_{0},t,s}^{(0)},

pour chaque couple (s, t) d’éléments de S tel que m_{s,t} est fini, pour chaque b_{0} ∈ B_{W}^{red} réduit-{s, t} et chaque i variant de 1 à m − 1, où l’on a posé m = m_{s,t}.

Démonstration : Il suffit d’appliquer ce qui précède dans le cas où I est vide.

Corollaire 2.8.

(i) Le groupe B_{I} est isomorphe au groupe de tresses B_{W_{I}}. (ii) Si U_{I} est le sous-groupe normal de D_{I} engendré par les éléments a_{b,s} comme dans 2.6

alors D_{I} = U_{I} ⋊ B_{I}.

Démonstration : On peut définir un homomorphisme h : D_{I} → B_{W_{I}} qui envoie les éléments de I sur les générateurs correspondant de B_{W_{I}} et a_{b,s} sur 1 car c’est compatible avec les relations dans D_{I}. L’homomorphisme h est évidemment surjectif et son noyau contient U_{I}. D’autre part il existe aussi un homomorphisme j : B_{W_{I}} → B_{I} qui envoie les générateurs de B_{W_{I}} sur les éléments de I. On a h ∘ j = Id et comme j est clairement surjectif on obtient (i). Ceci montre aussi que B_{I} ne rencontre pas le noyau de h. Comme de plus B_{I} et U_{I} engendrent D_{I} et que U_{I} est normal et inclus dans le noyau de h on a (ii).

Remarque. Si W est fini l’ensemble des réflexions images des éléments wsw̃ ∈ B_{W}^{red} où ws est I-réduit est exactement l’ensemble des réflexions qui ne sont pas dans W_{I} c’est-à-dire \overline{N}(w_{I}w_{S}). En effet si ws est I-réduit, il existe une écriture réduite de w_{I}w_{S} qui commence par ws, donc la réflexion wsw^{−1} est bien dans \overline{N}(w_{I}w_{S}). Réciproquement toute élément de \overline{N}(w_{I}w_{S}) s’écrit wsw^{−1} où w est réduit-s et où ws est le début d’une écriture réduite de w_{I}w_{S}; en particulier ws est I-réduit. Ce résultat n’est pas vrai pour un groupe de Coxeter quelconque comme le montre l’exemple suivant dans Ã_{2}, où on note S = {r, s, t}. On prend I = {r, s}. La réflexion srtrs n’est pas dans W_{I}, mais elle ne s’écrit pas ws′w^{−1} avec pour ws′ un élément I-réduit. En effet dans ce cas on aurait rsws′ = trsw avec des longueurs qui s’ajoutent, ce qui implique que cet élément est divisible par rs et par t. Ceci est impossible car \overline{N}(w) contiendrait alors rsr et t et donc aussi toutes les réflexions du groupe diédral infini engendré par ces deux éléments.

Corollaire 2.9. Considérons une suite de parties de S emboîtées ∅ = I_{0} ⊊ I_{1} ⊊ I_{2} … ⊊ I_{n} = S et notons U_{j} le groupe U_{I} de 2.8 quand le groupe ambient est B_{I_{j}} et que I = I_{j−1} ; on a P_{W} = U_{n} ⋊ (U_{n−1} ⋊ (⋯ ⋊ (U_{2} ⋊ U_{1}) …)).

Démonstration : Comme U_{n} ⊂ P_{W}, le corollaire 2.8 appliqué avec I = I_{n−1} implique que P_{W} = U_{n} ⋊ P_{W_{I_{n−1}}} . On obtient le résultat par récurrence à partir de cette égalité.

3. Application aux groupes de type fini. Nous allons préciser la présentation précédente quand W est fini en utilisant 2.9 pour obtenir une présentation meilleure que dans 2.7 du groupe de tresses pur. Nous étudions d’abord la question de savoir si U_{I} est engendré par les a_{b,s} (sans qu’il soit besoin de prendre la clôture normale). Il en est ainsi si dans les relations de type (2) de 2.6 on peut obtenir toutes les conjugaisons des éléments a_{b,s} par les éléments s′ ∈ I. Le lemme suivant, valable sans hypothèse de finitude de W, précise quelles conjugaisons on peut obtenir.

Lemme 3.1. Soit s′ ∈ I et soient b ∈ B_{W}^{red} et s ∈ S tels que bs soit réduit et I-réduit; on a une relation du type (2) dans 2.6 faisant intervenir s′ et a_{b,s} si et seulement si b^{−1}s′b ∈ B_{{s,t}} pour un certain t tel que m_{s,t} soit fini.

Démonstration : Si on a une relation de type (2), on a vu que b s’écrit b_{0}w_{s,t}^{(i)} où b_{0}s est I-réduit, b_{0}t = s′b_{0} et m_{s,t} est fini. Alors b^{−1}s′b = (w_{s,t}^{(i)})^{−1}tw_{s,t}^{(i)} ∈ B_{{s,t}}. Réciproquement si b^{−1}s′b ∈ B_{{s,t}}, écrivons b = b_{0}w_{s,t}^{(i)} avec b_{0} réduit-{s, t}. Alors b_{0}^{−1}s′b_{0} ∈ B_{{s,t}}, i.e., s′b_{0} = b_{0}x avec x ∈ B_{{s,t}}. Or s′b_{0} est dans B_{W}^{red} car b est Iréduit. On en déduit, par exemple en prenant les images dans W, que x est dans B_{{s,t}}^{+} et est de longueur 1. Comme x n’est pas égal à s car bs est I-réduit, donc aussi b_{0}s, on a x = t c’est-à-dire s′b_{0} = b_{0}t. La conjugaison de l’élément a_{b,s} par s′ apparaît donc bien dans les relations (2) de 2.6.

Remarquons que dans l’énoncé précédent bs′b^{−1} ne peut valoir ni 1 ni s, donc qu’il n’y a pas d’ambiguïté sur t.

Nous allons utiliser le lemme précédent pour obtenir un résultat sur U_{I} quand W est de type A_{n}, B_{n} ou I_{2}(m). Rappelons que quand W est fini, pour tout I l’élément b^{I} = w_{I}^{−1}w_{S} ∈ B_{W}^{red} est le plus grand élément I-réduit de B_{W}^{red} (au sens que tout élément I-réduit en est un diviseur à gauche). Proposition 3.2. Supposons W fini et soit I tel que le plus grand élément I-réduit b^{I} de B_{W}^{red} ait une seule écriture comme produit de générateurs dans B_{W}^{+} . Alors

(i) Il n’y a pas de relation de type 2.6, (1) dans D_{I}. (ii) le groupe U_{I} est engendré par les a_{b,s}. Démonstration : Comme tout élément I-réduit divise b^{I} et que celui-ci n’a qu’une écriture dans B_{W}^{+} , on ne peut pas avoir bs et bt tous deux I-réduits, donc le cas (1) de 2.6 ne se produit pas, d’où (i).

On note s_{1} le seul élément de S qui divise b^{I} dans B_{W}^{+} . Soit s′ ∈ I; on a s′b^{I} = b^{I}r pour un certain r ∈ S car w_{I} (resp. w_{S}) conjugue I (resp. S) sur lui-même. Donc s′b^{I} est divisible à gauche par s′ et s_{1}, donc par w_{{s′,s_{1}}}. Donc b^{I} = w_{s_{1},s′}^{(m_{s_{1},s′} −1)}b_{1} et, après simplification

par w_{s_{1},s′}^{(m_{s_{1},s′} −1)}, l’égalité s′b^{I} = b^{I}r devient s′_{2}b_{1} = b_{1}r ∈ B_{W}^{red}, où s′_{2} vaut s′ ou s_{1}. Le

même argument itéré montre finalement que b^{I} est de la forme b^{I} = ∏_{i=1}^{i=k} w_{s_{i},s′_{i}}^{(m_{s_{i},s′_{i}} −1)} avec s′_{1} = s′ et où s′_{i+1} vaut s′_{i} ou s_{i}, précisément s′_{i}w_{{s_{i},s′_{i}}} = w_{{s_{i},s′_{i}}}s′_{i+1}. L’écriture

b^{I} = ∏_{i=1}^{i=k} w_{s_{i},s′_{i}}^{(m_{s_{i},s′_{i}} −1)} étant une écriture dans B_{W}^{red} fournit l’écriture unique de b^{I}. Soient alors b ∈ B_{W}^{red} et s ∈ S tels que bs soit I-réduit. L’élément bs divise b^{I} donc

est égal à [∏_{i=1}^{i=h−1} w_{s_{i},s′_{i}}^{(m_{s_{i},s′_{i}} −1)}] w_{s_{h},s′_{h}}^{(j)}, pour un certain h et un certain j, avec s′ = s′_{1} et

s égal au dernier terme de w_{s_{h},s′_{h}}^{(j)}. Ceci montre que s′b = [∏_{i=1}^{i=h−1} w_{s_{i},s′_{i}}^{(m_{s_{i},s′_{i}} −1)}] s′_{h}w_{s_{h},s′_{h}}^{(j)}, donc b^{−1}s′b = (w_{s_{h},s′_{h}}^{(j)})^{−1}s′_{h}w_{s_{h},s′_{h}}^{(j)} est dans un groupe de la forme B_{{s,t}} avec m_{s,t} fini et on peut appliquer le lemme 3.1; donc par les relations de type (2) dans 2.6 le conjugué de a_{b,s} par s′ est un produit d’éléments de la même forme. Le groupe engendré par les a_{b,s} est donc normal, donc égal à U_{I}.

Les cas où la proposition précédente s’applique sont exactement les cas A_{n} et B_{n} avec I = {s_{1}, s_{2} …, s_{n−1}} (la double liaison étant entre s_{1} et s_{2} pour B_{n}) et I_{2}(m) où I est l’un des deux générateurs.

Nous donnons maintenant cas par cas, quand W est de type A_{n}, B_{n}, D_{n} ou I_{2}(m), des présentations de D_{I} permettant par récurrence d’obtenir une présentation du groupe de tresses pur.

Commençons par rappeler le cas A_{n} qui est bien connu.

Type A_{n}. Le diagramme de Coxeter est

•^{s_{1}} ⋯ •^{s_{n−1}} •^{s_{n}}.

On prend I = {s_{1}, …, s_{n−1}}. Alors b^{I} = s_{n}s_{n−1} … s_{1}. Les a_{b,s} sont donc les a_{i} = (^{s_{n}...s_{i+1}}s_{i})^{2} pour i = 1, …, n. Les relations dans D_{I} sont donc les relations de tresses dans I et

s_{j}a_{i}s_{j}^{−1} = a_{i}  si i ≠ j, j + 1
s_{i}a_{i}s_{i}^{−1} = a_{i+1}
s_{i}a_{i}a_{i+1}s_{i}^{−1} = a_{i}a_{i+1}

Type B_{n}. Le diagramme de Coxeter est

•^{s_{1}} •^{s_{2}} ⋯ •^{s_{n}}.

On prend I = {s_{1}, …, s_{n−1}}. Alors b^{I} = s_{n}s_{n−1} … s_{1}s_{2} … s_{n}. Les a_{b,s} sont donc les a_{i} = (^{s_{n}...s_{i+1}}s_{i})^{2} pour i = 1, …, n et les b_{i} = (^{s_{n}...s_{1}s_{2}...s_{i−1}}s_{i})^{2} pour i = 2, …, n. Les relations dans D_{I} sont donc les relations de tresses dans I et

s_{j}a_{i}s_{j}^{−1} = a_{i}  si i ≠ j, j + 1
s_{i}a_{i}s_{i}^{−1} = a_{i+1}  pour i ≠ 1
s_{i}a_{i}a_{i+1}s_{i}^{−1} = a_{i}a_{i+1} pour i ≠ 1
s_{j}b_{i}s_{j}^{−1} = b_{i}  si i ≠ j, j + 1 et i ≥ 2
s_{i}b_{i+1}s_{i}^{−1} = b_{i}  pour i ≠ 1
s_{i}b_{i+1}b_{i}s_{i}^{−1} = b_{i+1}b_{i} pour i ≠ 1
s_{1}b_{2}s_{1}^{−1} = a_{2}
s_{1}b_{2}a_{1}s_{1}^{−1} = a_{1}a_{2}
s_{1}b_{2}a_{1}a_{2}s_{1}^{−1} = b_{2}a_{1}a_{2}

Type I_{2}(m). On note s et t les deux générateurs et on prend I = {s}. On a b^{I} = w_{s,t}^{(m−1)}

et les a_{b,s} sont les a_{i} = (^{w_{s,t}^{(i−1)}}r)^{2} où r vaut s ou t selon la parité de i et i = 1, …, m − 1. La proposition 2.6 donne des relations de type (2) avec b_{0} = 1 et s′ = s. On obtient donc comme uniques relations

sa_{m−1}a_{m−2} … a_{m−i}s^{−1} = a_{i} … a_{2}a_{1}, pour i = 1, …, m − 1.

Type D_{n}. Le diagramme de Coxeter est

•^{s_{2}} _{•_{s_{2′}}} •^{s_{3}} •^{s_{4}} ⋯ •^{s_{n}}.

On suppose n ≥ 2. On note les générateurs s_{2}, s_{2′}, s_{3}, …, s_{n} et on prend I = S − {s_{n}} si n ≥ 3 et I = ∅ si n = 2. On a b^{I} = s_{n}s_{n−1} … s_{3}s_{2}s_{2′}s_{3} … s_{n}. Si n ≥ 3 cet élément a exactement deux écritures dans B_{W}^{+} , on passe de l’une à l’autre en échangeant s_{2} et s_{2′}. Les éléments a_{b,s} sont donc les a_{i} = (^{s_{n}...s_{i+1}}s_{i})^{2} pour i = 2, 2′, 3, …, n, avec la convention que i + 1 vaut 3 si i = 2′, les b_{i} = (^{s_{n}...s_{3}s_{2}s_{2′} s_{3}...s_{i−1}}s_{i})^{2} pour i = 3, …, n, ainsi que les deux éléments a_{s_{n}...s_{3}s_{2′} ,s_{2}} et a_{s_{n}...s_{3}s_{2},s_{2′}}, qui sont clairement égaux respectivement à a_{2} et a_{2′}.

Appliquons la proposition 2.6. Il y a des relations de type (1), les seuls triplets (b_{0}, s, t) possibles étant (s_{n} … s_{4}s_{3}, s_{2}, s_{2′}) et (s_{n} … s_{4}s_{3}, s_{2′}, s_{2}), ce qui donne les relations d’égalité remarquées ci-dessus et la relation a_{2}a_{2′} = a_{2′}a_{2}.

Les relations de type (2) obtenues sont les suivantes, où i et j parcourent {2, 2′, 3, …, n} et où l’on fait encore la convention que i + 1 vaut 3 si i = 2′ :

s_{j}a_{i}s_{j}^{−1} = a_{i}  si i ≠ j, j + 1 et {i, j} ≠ {2, 2′}
s_{i}a_{i}s_{i}^{−1} = a_{i+1}
s_{i}a_{i}a_{i+1}s_{i}^{−1} = a_{i}a_{i+1}
s_{j}b_{i}s_{j}^{−1} = b_{i}  si i ≠ j, j + 1 et i ≥ 3
s_{i}b_{i+1}s_{i}^{−1} = b_{i}  pour i ≥ 3
s_{i}b_{i+1}b_{i}s_{i}^{−1} = b_{i+1}b_{i} pour i ≥ 3
s_{2}b_{3}s_{2}^{−1} = a_{2′}
s_{2}b_{3}a_{2′}s_{2}^{−1} = b_{3}a_{2′}

ainsi que les relations obtenues à partir des deux dernières lignes en échangeant a_{2} et a_{2′} et en même temps s_{2} et s_{2′}.

Le groupe D_{I} a donc une présentation où les générateurs sont I, les a_{i} et les b_{i} avec comme relations les relations de tresse dans I la relation a_{2}a_{2′} = a_{2′}a_{2} et les relations cidessus. Les hypothèses de la proposition 3.2 ne sont pas vraies pour le type D_{n}. Néanmoins la propriété (ii) de la proposition est vraie, d’après les relations ci-dessus : le groupe U_{I} est engendré par les a_{b,s}.

Donnons un renseignement de plus sur U_{I} :

Proposition 3.3. Dans les cas A_{n}, B_{n} et I_{2}(m), avec I comme ci-dessus, le groupe U_{I} est le groupe libre engendré par les a_{b,s} où bs est I-réduit.

Démonstration : Dans le cas A_{n} c’est un résultat connu et dans le cas I_{2}(m) c’est immédiat à partir de la présentation donnée ci-dessus. Étudions le cas B_{n}. La méthode que nous employons peut d’ailleurs être appliquée aussi à A_{n}. On commence par changer d’ensemble de générateurs en posant x_{i} = b_{n}b_{n−1} … b_{2}a_{1}a_{2} … a_{i} pour i = 1, …, n et y_{i} = b_{n}b_{n−1} … b_{i+1} pour i = 1, …, n − 1. Le groupe U_{I} est engendré par les x_{i} et les y_{i} et D_{I} a une présentation avec comme générateurs les x_{i} (avec i = 1, …, n), les y_{i} (avec i = 1, …, n − 1) et les s_{i} (avec i = 1, …, n − 1) et comme relations les relations de tresse entre les s_{i} et les relations de type (1) qui s’écrivent

s_{j}x_{i}s_{j}^{−1} = x_{i}  si i ≠ j
s_{j}y_{i}s_{j}^{−1} = y_{i}  si i ≠ j
s_{i}x_{i}s_{i}^{−1} = x_{i−1}x_{i}^{−1}x_{i+1} pour i ≠ 1
s_{i}y_{i}s_{i}^{−1} = y_{i+1}y_{i}^{−1}y_{i−1} pour i ≠ 1
s_{1}x_{1}s_{1}^{−1} = y_{2}y_{1}^{−1}x_{2}
s_{1}y_{1}s_{1}^{−1} = y_{2}x_{1}^{−1}x_{2}

Pour montrer que U_{I} est le groupe libre engendré par les a_{i} et les b_{i} ou, ce qui revient au même, par les x_{i} et les y_{i} il suffit de montrer que les formules ci-dessus définissent bien une action de B_{I} sur un groupe libre. Plus précisément il suffit de montrer que si F est le groupe libre engendré par {ξ_{1}, …, ξ_{n}, η_{1}, …, η_{n−1}}, les formules ci-dessus avec x_{i} remplacé par ξ_{i} et y_{i} remplacé par η_{i} définissent une action de B_{I} sur F. Le groupe F ⋊B_{I} aura alors la même présentation que D_{I} donc lui sera isomorphe, l’isomorphisme envoyant F sur U_{I}.

L’action d’un s_{j} fixé donnée par les formules ci-dessus est bien un automorphisme de F. Il suffit donc de voir que ces automorphismes vérifient les relations de tresses. Les relations de commutation entre les actions de s_{j} et s_{k} quand |j − k| > 1 sont claires. Pour voir les autres relations de tresses nous utilisons le lemme suivant qui résulte d’un simple calcul.

Lemme 3.4. Soient s et t deux automorphismes d’un groupe libre G engendré par quatre éléments w, x, y et z. On suppose que

(i) s agit trivialement sur x, w et z et envoie y sur xy^{−1}z. (ii) t agit trivialement sur y, w et z et envoie x sur wx^{−1}y Alors s ∘ t ∘ s = t ∘ s ∘ t.

En appliquant une fois le lemme avec s = s_{j} et t = s_{j+1}, agissant sur le groupe libre engendré par w = η_{j+2}, x = η_{j+1}, y = η_{j} et z = η_{j−1} avec j ≥ 2, et une deuxième fois avec les mêmes éléments agissant sur le groupe libre engendré par w = ξ_{j−1}, x = ξ_{j}, y = ξ_{j+1} et z = ξ_{j+2}, on voit que les actions de s_{j} et de s_{j+1} vérifient la relation de tresses. Il reste à voir la relation entre s_{1} et s_{2}. On vérifie que le composé des automorphismes s_{1} ∘s_{2} ∘s_{1} ∘s_{2} comme le composé s_{2} ∘ s_{1} ∘ s_{2} ∘ s_{1} envoie ξ_{1} sur η_{3}η_{1}^{−1}ξ_{3} (resp. ξ_{2} sur η_{3}η_{2}^{−1}ξ_{3}, resp. η_{1} sur η_{3}ξ_{1}^{−1}ξ_{3}, resp. η_{2} sur η_{3}ξ_{2}^{−1}ξ_{3}).

Remarque. Dans le cas D_{n} avec I comme ci-dessus, le groupe U_{I} n’est évidemment pas libre à cause de la relation a_{2}a_{2′} = a_{2′}a_{2}, mais ce n’est pas non plus le groupe engendré par les a_{b,s} avec cette seule relation. Par exemple les éléments a_{2′}^{−1}b_{3}a_{2′} et a_{3} commutent aussi (ce sont les images de a_{2′} et a_{2} par la conjugaison par s_{2}).

Terminons cette section par une propriété du dévissage 2.9 du groupe de tresses pur dans les cas A_{n}, B_{n} et D_{n}. Si on prend I comme ci-dessus, le groupe B_{I} est un groupe de même type, de rang n − 1 (sauf si i = 2 dans le cas D_{n}) et on peut définir une suite de parties de S emboîtées I_{0} = ∅ ⊂ I_{1} … ⊂ I_{n−1} ⊂ I_{n} = S où |I_{i}| = i sauf si i = 1 pour le type D_{n} auquel cas I_{1} = I_{0} = ∅. Notons comme dans 2.9 U_{j} le groupe U_{I} quand le groupe ambient est B_{I_{j}} et I = I_{j−1}.

Proposition 3.5. Avec les notations ci-dessus, pour i ≥ 2, la conjugaison par s_{i} est un isomorphisme de U_{i−1} sur un sous-groupe de U_{i} en tant que groupes munis d’une action de B_{I_{i−2}}.

Démonstration : D’après les formules donnant les générateurs de U_{i−1}, la conjugaison envoie bien U_{i−1} dans U_{i}. Comme s_{i} centralise B_{I_{i−2}}, on obtient le résultat.

4. Plongement du groupe de type B_{n} dans le groupe de type A_{n}. Dans cette section nous montrons que les actions des groupes de tresses de type A ou B sur un groupe libre définie précédemment sont fidèles et nous en déduisons un plongement du groupe de type B_{n} dans le groupe de type A_{n}.

Proposition 4.1. Les actions des groupes de tresses de type A ou B sur des groupes libres définies plus haut sont fidèles.

Démonstration : Ce résultat est connu pour le type A. Nous le démontrons pour le type B. La démonstration pour le type A est analogue. Remarquons d’abord que l’action du groupe de tresses de type B_{n−1} sur le groupe libre à 2n − 1 générateurs que nous avons définie induit sur l’abélianisé du groupe libre l’action de permutation du groupe de Coxeter de type B_{n−1} vu comme groupe de permutations de 2n − 2 éléments qui sont ici les images dans l’abélianisé de a_{2}, …, a_{n} et de b_{2}, …, b_{n}. Un élément du groupe de tresses qui agit trivialement sur le groupe libre est donc dans le groupe de tresses pur P_{n−1} de type B_{n−1}. Nous avons décomposé le groupe de tresses pur P_{n} en produit semi-direct U_{n} ⋊ P_{n−1}, où U_{n} est le groupe libre engendré par a_{1}, …, a_{n} et b_{2}, …, b_{n}. Chercher le noyau de l’action revient donc à chercher les éléments de P_{n−1} qui commutent à U_{n} dans P_{n}.

Considérons un élément b ≠ 1 de P_{n−1} qui agit trivialement sur U_{n} et soit i le plus petit indice tel que b soit dans P_{i}. D’après 3.5 en utilisant la conjugaison par s_{n}s_{n−1} … s_{i+2}, on voit que b commute à U_{i+1}, autrement dit on est ramené à i = n − 1.

L’élément b s’écrit de façon unique b_{n−1}b_{n−2} … b_{0} avec b_{j} ∈ U_{j} pour tout j et b_{n−1} ≠ 1. Comme b commute à U_{n}, il commute en particulier à a_{n} Comme tout élément de B_{I_{j}} commute à a_{n} = s_{n}^{2} pour j = 1, …, n − 2 on voit que b comute à a_{n} si et seulement si b_{n−1} commute à a_{n}. Conjuguons par s_{n}, on obtient un élément ^{s_{n}}b_{n−1} ∈ U_{n} qui commute à a_{n}. Or U_{n} est un groupe libre dont a_{n} est un des générateurs. Donc ^{s_{n}}b_{n−1} est une puissance de a_{n} = s_{n}^{2}. Ceci implique que b_{n−1} est une puissance de a_{n}, ce qui est impossible puisque b_{n−1} ∉ U_{n}.

Considérons un groupe de tresses de type A_{n} de générateurs s_{1}, …, s_{n} et un groupe de tresses de type B_{n} de générateurs s′_{1}, …, s′_{n}. On a s_{1}^{2}s_{2}s_{1}^{2}s_{2} = s_{2}s_{1}^{2}s_{2}s_{1}^{2}, donc il existe un homomorphisme φ du groupe de tresses de type B_{n} dans le groupe de tresses de type A_{n} qui envoie s′_{1} sur s_{1}^{2} et s′_{i} sur s_{i} pour i ≥ 2. Notre but est de démontrer le résultat suivant.

Théorème 4.2. L’homomorphisme φ est injectif.

Le théorème résulte de la proposition suivante.

Proposition 4.3. Considérons un groupe libre F à n + 1 générateurs a_{1}, …, a_{n+1}, muni de l’action du groupe de tresses de type A_{n} définie plus haut et un groupe libre F′ à 2n+1 générateurs a′_{1}, … a′_{n+1}, b_{2} … b_{n+1} muni de l’action du groupe de tresses de type B_{n}; alors (i) L’homomorphisme ψ de F′ dans F défini par

ψ(a′_{1}) = a_{1}^{2},
ψ(a′_{i}) = a_{i},  pour i = 2 … n + 1
ψ(b_{i}) = a_{1}a_{2} … a_{i}a_{i−1}^{−1} … a_{2}^{−1}a_{1}^{−1} pour i = 2 … n + 1

est injectif. (ii) L’image ψ(F′) est un sous-groupe normal d’indice 2 de F. (iii) L’action du groupe de tresses de type B_{n} sur F à travers φ stabilise ψ(F′) et ψ est

un morphisme de groupes munis de l’action du groupe de tresses de type B_{n}.

Le théorème se déduit immédiatement de la proposition car par (iii) et (i) un élément de ker φ agit trivialement sur F′ et l’action sur F′ est fidèle par 4.1. Démonstration de 4.3 : Le (iii) résulte du calcul. Pour prouver (i) et (ii) nous changeons de générateurs dans F. On pose x_{i} = a_{1} … a_{i}. Le groupe F est aussi le groupe libre engendré par x_{1}, …, x_{n+1}. On a

ψ(a′_{1}) = x_{1}^{2},
ψ(a′_{i}) = x_{i−1}^{−1}x_{i}, pour i = 2 … n + 1
ψ(b_{i}) = x_{i}x_{i−1}^{−1} pour i = 2 … n + 1.

Donc ψ(F′) contient tous les produits x_{i}x_{j}, x_{i}^{−1}x_{j} et x_{i}x_{j}^{−1} avec i, j ∈ {1, …, n+1}. C’est donc le sous-groupe de F formé des éléments de longueur paire en les x_{i} et leurs inverses. Ce sous-groupe est d’indice 2 dans F. Pour montrer (i) nous appliquons la méthode de Reidemeister-Schreier pour obtenir une présentation de ψ(F′). Un ensemble de représentants des classes est formé de {1, x_{1}}. On obtient le système de générateurs fourni par la méthode en multipliant x_{i} et x_{1}x_{i} par les inverses de leurs représentants respectifs qui sont x_{1} et 1. On obtient donc x_{i}x_{1}^{−1} pour i = 2, …, n + 1 et x_{1}x_{i} pour i = 1, …, n + 1. La méthode dit qu’il n’y a aucune relation entre ces générateurs. Donc ψ(F′) est le groupe libre engendré par ces éléments, donc aussi le groupe libre engendré par x_{1}^{2}, les x_{i−1}^{−1}x_{i} et les x_{i}x_{i−1}^{−1} pour i = 2 … n + 1, car le passage d’un système de générateurs à l’autre est inversible.

Comme ψ(F′) est libre engendré par les images (distinctes) des générateurs de F′ l’homomorphisme ψ est injectif.

Remarque. On peut aussi démontrer ce résultat topologiquement en interprétant le groupe de tresses de type B_{n} comme une partie des tresses classiques à n + 1 brins. Nous avons voulu en donner une preuve purement combinatoire.

5. Une extension du groupe de Coxeter. Considérons le groupe quotient B_{W} /D(P_{W}). D’après 1.6 on a une suite exacte

1 → P_{W} /D(P_{W}) ≃ (2ℤ)^{T} → B_{W} /D(P_{W}) → W → 1.

Le groupe W agit naturellement sur (2ℤ)^{T} et se relève canoniquement en B_{W}^{red} dans B_{W} donc aussi dans B_{W} /D(P_{W}). L’extension donnée par la suite exacte ci-dessus est donc associée à un cocycle que nous allons calculer. On sait que l’isomorphisme P_{W} /D(P_{W}) ≃ (2ℤ)^{T} est compatible à l’action de B_{W} sur (2ℤ)^{T} (via W). Donc si v et w relèvent les éléments v etw de W dans B_{W}^{red} et si a et b sont dans (2ℤ)^{T}, on a avbw = a^{v}bvw = a^{v}b(vw\underline{vw}^{−1})\underline{vw} où \underline{vw} est le relevé dans B_{W}^{red} de vw. L’élément (vw\underline{vw}^{−1}) est dans P_{W} /D(P_{W}) est a pour image N(vw\underline{vw}^{−1}) dans (2ℤ)^{T}. De plus on a N(vw\underline{vw}^{−1}) = N(vw) − N(\underline{vw}). Donc le cocycle qui définit l’extension est (v, w) ↦ N(vw) − N(\underline{vw}) = N(v) + ^{v}N(w) − N(\underline{vw}).

Proposition 5.1. L’extension B_{W} /D(P_{W}) de W par (2ℤ)^{T} n’est pas un produit semidirect.

Démonstration : Il faut montrer que le cocycle n’est pas équivalent au cocycle trivial. Ceci équivaut à montrer qu’il n’existe pas d’application α : W → (2ℤ)^{T} telle que N(v) + vN(w) − N(\underline{vw}) = α(v) +^{v}α(w) − α(vw). Si α existe, posons f(w) = N(w) − α(w). On a f(vw) = f(v) +^{v}f(w) pour tous v et w dans W. Ceci implique f(1) = 0 et ^{v}f(v) = −f(v) pour tout v d’ordre 2. En particulier pour v = s ∈ S. Donc le coefficient de f(s) sur s est nul, ce qui implique que le coefficient de α(s) sur s est égal à celui de N(s), c’est-à-dire 1. Ceci est contradictoire avec le fait que tous les coefficients de α sont pairs.

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