Descente du corps de base et blocs

Descente du corps de base et blocs, d’après N. Kawanaka

François DIGNE

0. Introduction.

Cet article est la rédaction d’une série d’exposés faits au séminaire Chevalley de théorie des groupes en 1984. Il s’agit de présenter la construction de Kawanaka [K3] d’une “descente du corps de base” pour les caractères d’un groupe fini de type de Lie. Précisément, si G est un groupe algébrique défini sur la clôture algébrique d’un corps fini F_{q}, et si F est l’endomorphisme de Frobenius correspondant à une structure rationnelle de G sur F_{q}, Kawanaka construit une isométrie de l’espace des “fonctions de F -classe” sur G_{F^{m}} sur l’espace des fonctions centrales sur G_{F}. Dans certains cas cette isométrie envoie les fonctions de F -classe correspondant aux caractères irréductibles F -invariants de G_{F^{m}} sur les caractères irréductibles de G_{F} (à une racine de l’unité près). Cet article [K3] généralise la construction faite précédemment pour les groupes connexes dans [Sh], [K1] et [K2]. Enfin Kawanaka donne certains résultats sur la compatibilité de la descente qu’il construit avec la classification des caractères en blocs.

Dans le premier paragraphe nous replaçons cette théorie dans le cadre de la “descente de Shintani” (cf. [DM]). Nous donnons dans les paragraphes suivants une définition plus simple que dans [K3] de la descente de Kawanaka, et obtenons des démonstrations plus simples de ses principales propriétés. Dans le dernier paragraphe nous essayons de dégager les hypothèses permettant de démontrer les résultats de [K3] relatifs au blocs. En fait la construction précise de la descente n’est pas nécessaire, et seules quelques propriétés que doit vérifier toute descente “raisonnable” suffisent à obtenir les résultats en question. Nous donnons de plus ces résultats, chaque fois que c’est possible, dans le cadre de la théorie des π-blocs, où π est un ensemble de nombres premiers, et non pas un seul nombre premier.

François Digne

La rédaction de cette dernière partie doit beaucoup à M. Broué. Je remercie également J. Michel dont les nombreuses remarques m’ont permis d’améliorer plusieurs points de la rédaction de cet article.

1. Rappels.

Notations 1.1.

Si φ est un automorphisme d’un groupe nous noterons ^{φ}g l’image de l’élément g de G par φ, et G_{φ} l’ensemble des points fixes de G sous l’action de φ. En particulier, on note hg le conjugué de l’élément g de G par l’élément h.

Si x est un élément d’un groupe algébrique G, on note Z_{G}(x), ou Z(x) s’il n’y a pas d’ambigüité le centralisateur de l’élément x; de même, on note Z_{G}^{o}(x) ou Z^{o}(x) la composante neutre de ce centralisateur.

Nous noterons Irr(G) l’ensemble des caractères irréductibles d’un groupe G.

1.2 Propriété de Lang. Soit G un groupe et φ un endomorphisme de G, nous dirons que G vérifie la propriété de Lang pour φ si:

(i) L’endomorphisme φ n’a qu’un nombre fini de points fixes. (ii) Tout élément du groupe G s’écrit h^{−1}.^{φ}h, avec h ∈ G.

Nous appellerons application de Lang associée à φ, et noterons L_{φ}, l’application h ↦ h^{−1}.^{φ}h de G dans lui-même.

Exemple 1.3: Si G est un groupe algébrique connexe défini sur la clôture algébrique F du corps premier de caractéristique p, et si F est un endomorphisme de Frobenius définissant sur G une structure rationnelle sur un sous-corps fini de F, le théorème de Lang exprime que la propriété de Lang est vraie pour φ = F.

1.4 Descente de Shintani (cf. [DM], I,7). Soit G un groupe et F et F′ deux automorphismes de groupe (abstrait) de G qui commutent et tels que G vérifie la propriété de Lang pour F et F′. Alors la correspondance

h^{−1}.^{F′}h ⟷ h.^{F} h^{−1}

(où h ∈ G) induit une bijection notée N_{F/F′} des classes de F′-conjugaison de G_{F} sur les classes de F -conjugaison de G_{F′}.

Rappelons que la F -conjugaison par un élément g ∈ G est l’application qui envoie x ∈ G sur g.x.^{F} g^{−1}. L’ensemble des classes de F -conjugaison du groupe G sera noté H^{1}(F, G). Nous noterons Sh_{F/F′} (Descente de Shintani) l’application déduite de N_{F/F′} pour les fonctions. Cette application est une isométrie de l’espace des fonctions de F′- classe sur G_{F} sur l’espace des fonctions de F -classe sur G^{F′} (cf. [DM], I,7.4). Rappelons que l’espace des fonctions de F -classe sur G^{F′} a pour base l’ensemble formé des restrictions à G_{F′}.F d’une extension à G_{F′} >< < F > de chaque caractère irréductible, F -invariant de G_{F′}. Si χ̃ est une telle extension, nous écrirons parfois Sh_{F/F′}(χ̃) pour noter la descente de Shintani de la fonction de F -classe définie par restriction de χ̃.

Définition 1.5.

(i) Nous noterons i l’application définie sur les classes de conjugaison d’un groupe (et sur le centre de l’algèbre du groupe) par le passage à l’inverse.

(ii) Nous noterons n_{F/F} l’application composée i ∘ N_{F/F} de l’ensemble des classes de conjugaison de G_{F} dans lui-même, et nous noterons Sh l’isométrie des fonctions centrales qui s’en déduit. On a Sh(χ)(x) = χ(n_{F/F} (x)).

Par abus de notation, nous écrirons parfois N_{F/F′}(x) (resp. n_{F/F} (x)) au lieu de N_{F/F′}(F′ −classe(x)) (resp. n_{F/F} (classe(x)).

Nous renvoyons au chapitre I de [DM] pour plus de précisions sur les propriétés de la F -conjugaison et de la descente de Shintani.

Soit G un groupe algébrique défini sur F et F un endomorphisme de Frobenius, nous rappelons maintenant le paramétrage des classes rationnelles géométriquement conjuguées à un élément rationnel fixé.

Proposition 1.6. Soit x ∈ G_{F} fixé; alors la correspondance qui associe à l’élément y = ^{h}x rationnel, géométriquement conjugué à x, l’image de h^{−1}.^{F} h dans le groupe Z_{G}(x)/Z_{G}^{o}(x) des composantes connexes du centralisateur de x définit une injection de l’ensemble des classes de conjugaison de G_{F} géométriquement conjuguées à x dans l’ensemble H^{1}(F, Z_{G}(x)/Z_{G}^{o}(x)) des classes de F -conjugaison de Z_{G}(x)/Z_{G}^{o}(x).

La démonstration est classique (cf. par exemple [SB] E, I.2.7). Remarquons que si G est connexe on obtient une bijection.

En application de la proposition précédente, nous donnons ci-dessous une interprétation de l’action de n_{F/F} sur les classes de conjugaison de G_{F}.

Proposition 1.7. L’action de n_{F/F} sur l’ensemble des classes de conjugaison de G_{F} géométriquement conjuguées à l’élément x fixé est donnée par la multiplication par x dans H^{1}(F, Z(x)/Z^{o}(x)).

Démonstration: Soit ^{g}x un élément de G_{F} géométriquement conjugué à x (g ∈ G). Posons ^{g}x = h^{−1}.^{F} h; alors on a n_{F/F} (^{g}x) = ^{hg}x. Par le paramétrage de la proposition 1.6, la classe de ^{g}x correspond à la F -classe de l’image de g^{−1}.^{F} g et la classe n_{F/F} (^{g}x) correspond à l’image de (hg)^{−1}.^{F} (hg), ce qui est égal à x.g^{−1}.^{F} g.

Corollaire 1.8.

(i) Soit s un entier strictement positif, alors l’image de la classe d’un élément g ∈ G_{F} par l’application (n_{F/F})^{s} est la classe de l’élément ^{h}g, où h^{−1}.^{F}h = g^{s}

(ii) L’ordre de n_{F/F} est inf{i|g^{i} ∈ Z^{o}(g) pour tout g ∈ G_{F} }.

Démonstration: D’après 1.7, l’image de la classe de g par n_{F/F}^{s} est la classe paramétrée par la F -classe dans Z(g)/Z^{o}(g) de g^{s}, c’est-à-dire exactement la classe de^{h}g avec h comme dans l’énoncé, d’où (i). La propriété (ii) est immédiate.

On en déduit par exemple que n_{F/F} est l’identité dans les groupes linéaires et unitaires, est d’ordre 2 dans les groupes symplectiques et orthogonaux, et d’ordre 6 dans les groupes de type G_{2}.

2. Rapport avec la descente de Glauberman.

Rappelons le résultat suivant dû à Glauberman (cf. [Is],13.6 et [Gl], théorème 3) qui définit ce que nous appellerons “descente de Glauberman” des caractères:

Théorème 2.1. Soit G un groupe fini, et S un groupe fini résoluble d’ordre premier à l’ordre de G, agissant sur G. Alors il existe une bijection π_{G,S} de l’ensemble des caractères irréductibles de G invariants par S sur l’ensemble des caractères irréductibles du groupe des points fixes G_{S} telle que pour tout sous-groupe distingué T de S on ait:

(i) Le composé des applications du diagramme:

Irr(G)_{S} ↪ Irr(G)_{T} ⟶^{π_{G,T}} Irr(G_{T})

a pour image Irr(G_{T})_{S}. (ii) Le composé π_{G_{T} ,S/T} ∘ π_{G,T} est égal à π_{G,S}.

En particulier, si S est un groupe cyclique engendré par un élément F d’ordre premier à l’ordre de G, l’application π_{G,S} est donnée par:

π_{G,S}(χ)(x) = εχ̃(xF),

où x désigne un élément de G_{S}, où ε vaut ±1, et où χ̃ est l’unique extension à G ><S du caractère χ ∈ Irr(G) dont l’ordre (i.e., l’ordre de det χ̃) est premier à l’ordre de S. L’extension χ̃ prend des valeurs rationnelles sur S.

Remarque 2.2. L’assertion d’unicité dans l’énoncé précédent est facile à voir: Deux extensions différentes de χ diffèrent en effet d’un caractère linéaire ζ de S, et les déterminants diffèrent donc de ζ^{χ(1)}. Donc, si les déterminants sont égaux, cela signifie que ζ^{χ(1)} = 1.

Or χ(1) divise l’ordre de G, donc est premier à l’ordre de S, donc à celui de ζ, et l’on voit que ζ vaut nécessairement 1.

Dans la suite de ce paragraphe, nous considérons un groupe G muni d’un endomorphisme F, un entier strictement positif m, et nous supposons que G vérifie la propriété de Lang pour F et pour F^{m}. Nous allons montrer comment, dans certains cas, la descente de Shintani et celle de Glauberman se déduisent l’une de l’autre. Pour cela nous introduisons l’opérateur suivant:

Notation 2.3. Pour tout entier strictement positif m, on note Δ_{m} l’application définie sur les classes de conjugaison par l’élévation à la puissance m et ^{t}Δ_{m} l’application qui s’en déduit par transposition sur les fonctions centrales.

Lemme 2.4. Avec les notations précédentes on a, pour tout entier m strictement positif:

n_{F/F} ∘ Δ_{m} = Δ_{m} ∘ (n_{F/F})^{m}.

Démonstration: Si x est un élément de G_{F}, et si x^{m} = h^{−1}.^{F}h, alors n_{F/F} (x^{m}) = h(x^{m}), par définition. D’autre part, d’après la proposition 1.7, l’action de (n_{F/F})^{m} envoie la classe de x sur la classe de ^{g}x, où g^{−1}.^{F}g = x^{m}. Donc on peut prendre g = h, et on obtient Δ_{m}((n_{F/F})^{m}(x)) = (^{h}x)^{m}.

Corollaire 2.5. Si m est un entier premier à l’ordre de n_{F/F}, et si s est inverse de m modulo cet ordre, on a:

(n_{F/F})^{s} ∘ Δ_{m} = Δ_{m} ∘ n_{F/F} .

Démonstration: Le lemme 2.4 montre que (n_{F/F})^{s} ∘ Δ_{m} est égal à Δ_{m} ∘ (n_{F/F})^{ms}. D’après le choix de s, on obtient le résultat.

Si m est un entier premier à l’ordre du groupe G_{F}, le théorème 2.1 définit une application π_{G,<F >} de Irr(G_{F^{m}}) dans Irr(G_{F}). L’unicité de χ̃ dans l’énoncé 2.1 montre qu’on peut considérer π_{G,<F >} comme l’application de l’ensemble des fonctions de F -classe sur G_{F^{m}} sur l’ensemble des fonctions centrales sur G_{F} qui envoie la restriction de χ̃ à G_{F^{m}}.F sur π_{G,<F >}(χ). Avec cette convention, on a le résultat suivant:

Théorème 2.6. Si m est un entier strictement positif, premier à l’ordre du groupe G_{F}, alors l’application π_{G,<F >} définie par le théorème 2.1 coïncide au signe près avec le composé:

tΔ_{m} ∘ Sh^{−s} ∘ i ∘ Sh_{F^{m}/F} ,  (1)

où i est comme dans 1.5.

Remarque 2.7. D’après 2.5, l’application (1) de l’énoncé du théorème vaut aussi

Sh^{−1} ∘^{t}Δ_{m} ∘ i ∘ Sh_{F^{m}/F} .

Démonstration du théorème 2.6: D’après la remarque précédente, l’application (1) est l’application déduite pour les fonctions de l’application sur les classes:

(N_{F^{m}/F})^{−1} ∘ i ∘ Δ_{m} ∘ n_{F/F} .  (2)

Calculons l’image d’un élément x ∈ G_{F} par l’application (2): Si on pose x = h^{−1}.^{F}h, l’image de la classe de x par n_{F/F} est ^{h}x, et l’image de la classe de x par Δ_{m} ∘ n_{F/F} est donc la classe de (^{F} h.h^{−1})^{m}. Or, comme l’élément ^{F} h.h^{−1} est stable par F, sa puissance m-ième vaut ^{F^{m}}h.h^{−1}; et l’inverse de la classe de ce dernier élément est, par définition, l’image par (N_{F^{m}/F})^{−1} de la classe de F -conjugaison de x. D’où le résultat, d’après la définition de l’application de Glauberman dans le cas cyclique.

3. La construction de Kawanaka.

Dans ses deux premiers articles [K1] et [K2], Kawanaka a considéré l’application

Sh^{−s} ∘ i ∘ Sh_{F^{m}/F}  (∗)

(cf. théorème 2.6) dans le cas d’un groupe G algébrique connexe défini sur la clôture algébrique du corps fini F_{q}, et d’un endomorphisme de Frobenius F définissant une structure rationnelle sur F_{q}. Il a démontré que pour les groupes classiques, si m est premier à la caractéristique et à l’ordre de n_{F/F}, l’image par cette application d’un caractère irréductible de G_{F^{m}} >< < F > de restriction à G_{F} irréductible est, à une racine de l’unité près, un caractère irréductible de G_{F}.

Nous allons maintenant donner, dans le cas d’un groupe non nécessairement connexe, la généralisation définie par Kawanaka (cf. [K3]) de cette application. Pour cela nous utiliserons le lemme suivant:

Lemme 3.1 (cf. [K3], 2.1.6 et 2.1.7). Soit A un groupe fini et F un automorphisme de A d’ordre fini m premier à l’ordre de A_{F}. Alors l’application qui à une F -classe de A associe sa trace sur A_{F} est une bijection de l’ensemble des F -classes de A sur l’ensemble des classes de A_{F}.

Démonstration: Soit x et y deux éléments de A_{F}. Montrons que si x et y sont F - conjugués dans A, ils sont conjugués dans A_{F}. Soit a un élément de A; dire que cet élément F -conjugue x en y revient à dire qu’il conjugue xF en yF dans le produit semidirect de A par le groupe cyclique < F >. Or x et F sont respectivement la m′-partie et la m-partie de xF (et de même y et F pour yF), donc a conjugue x en y et F en F (i.e., a est dans A_{F}), d’où l’assertion. On en déduit que la trace sur A_{F} de la F -classe de x est égale à la classe de x dans A_{F}, et que le cardinal de la F -classe de x est égal à (|A|/|A_{F} |).|F −classe(x)|. On voit donc que le cardinal de la réunion des F -classes de A qui ont une trace non vide sur A_{F} est égal à |A|, donc qu’aucune F -classe n’a une trace vide.

Notation 3.2. Soit G un groupe muni d’un endomorphisme F, et m un entier strictement positif, nous noterons Norme_{m}(x) l’élémént x.^{F} x.^{F^{2}}x …^{F^{m−1}}x de G.

Avec cette notation, on déduit du lemme 3.1 le résultat suivant:

Proposition 3.3. Soit G un groupe muni d’un endomorphisme F, et soit G^{o} un sousgroupe distingué, d’indice fini, F -stable de G, inclus dans l’image de l’application de Lang L_{F} (cf. 1.2). Soit m un entier positif premier à l’ordre de (G/G^{o})^{F}, et soit s un entier positif inverse de m modulo cet ordre. Alors, pour tout élément x ∈ G_{F^{m}}, l’élément Norme_{m}(x)^{−s}.x est dans l’image de l’application L_{F}.

Démonstration: L’image de l’application L_{F} étant une classe de F -conjugaison du groupe G, il suffit de voir que l’élément Norme_{m}(x)^{−s}.x est F -conjugué à un élément de G^{o}, donc de voir que l’élément Norme_{m}(x)^{−s}.x est F -conjugué à 1 dans le quotient G/G^{o}. Or, d’après 3.1, la F -classe de x dans (G/G^{o})_{F^{m}} contient un élément a ∈ (G/G^{o})_{F}. Le calcul montre que la F -classe de Norme_{m}(x)^{−s}.x contient alors l’élément Norme_{m}(a)^{−s}.a, c’est-à-dire l’élément a^{1−ms}, qui vaut 1 par définition de s.

Nous donnons une autre conséquence du lemme 3.1, permettant de définir la descente de Glauberman avec une hypothèse de primalité moins forte que dans 2.1, dans le cas d’un produit semi-direct par un groupe cyclique.

Proposition 3.4 (cf. [Is], 13.6 et [K3], 3.1.3). Soit A un groupe fini et F un automorphisme de A d’ordre fini premier à l’ordre de A_{F}. Soient χ un caractère irréductible F -invariant de A, et χ̃ une extension de χ au produit semi-direct A >< < F > du caractère χ. Alors la formule θ(x) = χ̃(xF), pour x ∈ A_{F} définit, au signe près et à une racine m-ième de l’unité près, un caractère irréductible de A_{F}. On obtient ainsi une bijection des caractères irréductibles F -invariants de A sur les caractères irréductibles de A_{F}.

Démonstration: Calculons le carré scalaire de θ comme fonction centrale sur A_{F}:

\begin{aligned}|A_{F} | < θ, θ >_{A_{F}} & = ∑_{x∈A_{F}} |χ̃(xF)|^{2} \\ & = |A_{F} |/|A| ∑_{y∈A} |χ̃(yF)|^{2}, \end{aligned}

d’après le lemme 3.1. Or cette dernière expression vaut |A|, d’après les propriétés du produit scalaire des fonctions de F -classe (cf. par exemple, [DM] I, 6.3). Donc le carré scalaire de θ dans A_{F} est égal à 1. D’autre part, si on décompose la restriction de χ̃ au groupe A_{F} × < F >, on obtient ∑_{β∈Irr(A_{F})} β ⊗ ψ_{β}, où ψ_{β} est un caractère du groupe cyclique < F >, ou est nul. Donc le carré scalaire de θ vaut aussi ∑_{β∈Irr(A_{F})} |ψ_{β}(F)|^{2}. Or ψ_{β}(F) est un élément de Z[ζ_{m}], où ζ_{m} est une racine primitive m-ième de l’unité. D’après le lemme suivant, il y a donc un seul caractère β tel que ψ_{β} soit non nul, et on a θ = ψ_{β}(F)β, où ψ_{β}(F) vaut ±ζ_{m}^{k} pour un certain entier k. D’autre part, d’après 3.1, le nombre de caractères irréductibles F -invariants de A (qui est égal à la dimension de l’espace des fonctions de F -classe) est égal au nombre de caractères irréductibles de A_{F}, donc, d’après les propriétés classiques d’orthogonalité des caractères et des fonctions de F -classe, on a bien défini une bijection.

Lemme 3.5. Soient (c_{i})_{i∈I} un sous-ensemble de Z[ζ_{m}] tel que ∑_{i∈I} |c_{i}|^{2} = 1. Alors il existe exactement un indice i tel que c_{i} soit non nul et pour cet indice, le nombre c_{i} est, au signe près, une puissance de ζ_{m}.

Démonstration: Soit σ un élément du groupe de Galois Γ de l’extension Q[ζ_{m}] de Q. Alors σ commute à la conjugaison complexe, donc préserve le module complexe, et donc:

∑_{i∈I} |^{σ}c_{i}|^{2} = 1.

Donc pour tout i et tout σ, l’entier algébrique ^{σ}c_{i} est de module inférieur à 1. Les éléments c_{i} sont donc tous de norme inférieure à 1. Comme cette norme est un entier, elle doit être égale à 0 ou 1. La norme de c_{i} est égale à 1 si et seulement c_{i} est de module 1 (et tous ses conjugués aussi), et, alors, c_{i} est une racine de l’unité, d’où le résultat.

La bijection obtenue dens 3.4 généralise la descente de Glauberman. Nous la noterons encore π_{A,<F >}.

Donnons maintenant le théorème permettant la définition de la descente de Kawanaka:

Théorème 3.6. Soit G un groupe muni d’un endomorphisme F, et soit G^{o} un sous-groupe distingué, d’indice fini, F -stable de G, inclus dans l’image de l’application de Lang L_{F}.

Soit m un entier positif premier à l’ordre de (G/G^{o})^{F}, et soit s un entier positif inverse de m modulo cet ordre. On suppose que G^{o} est aussi inclus dans l’image de L_{F^{m}}. Alors l’application qui à x ∈ G_{F^{m}} associe la classe dans G_{F} de l’élément ^{λ}(Norme_{m}(x)), où λ^{−1}.^{F}λ = (Norme_{m}(x))^{−s}.x, induit une bijection notée N_{F^{m}/F,s} de l’ensemble des classes de F -conjugaison de G_{F^{m}} sur l’ensemble des classes de conjugaison de G_{F}.

La bijection inverse est induite par l’application qui associe à l’élément y ∈ G_{F} la F -classe dans G_{F^{m}} de l’élément h^{−1}.y^{s}.^{F} h, où ^{F^{m}}h.h^{−1} = y^{1−sm}.

Démonstration: Remarquons que la proposition 3.3 montre l’existence de l’élément λ de l’énoncé ci-dessus. D’autre part, si y est dans G_{F}, alors y^{1−ms} est dans G^{o}, d’où l’existence de h comme dans l’énoncé.

Soit x ∈ G_{F^{m}} et soit y = ^{λ}(Norme_{m}(x)), où λ est comme dans l’énoncé. L’élément y est dans G_{F} car ^{xF} (Norme_{m}(x)) = Norme_{m}(x), donc

λ^{−1}.^{F}λF (Norme_{m}(x)) = ^{(Norme_{m}(x))^{−s}xF} (Norme_{m}(x))
= ^{(Norme_{m}(x))^{−s}}(Norme_{m}(x))
= Norme_{m}(x),

d’où l’assertion.

Deux éléments de L_{F}^{−1}((Norme_{m}(x))^{−s}.x) diffèrent d’un élément de G_{F}, donc, si on change λ dans L_{F}^{−1}((Norme_{m}(x))^{−s}.x), on conjugue y dans G_{F}.

Considérons maintenant un élément x′ = g.x.^{F} g^{−1}, avec g ∈ G_{F^{m}}. On a Norme_{m}(x′) = ^{g}Norme_{m}(x), d’où

(Norme_{m}(x′))^{−s}.x′ = g(Norme_{m}(x))^{−s}.x.^{F} g^{−1} = g.λ^{−1}.^{F}λ.^{F} g^{−1},

et l’application de l’énoncé associe à x′ la classe de ^{λg^{−1}}(Norme_{m}(x′)), qui est aussi l’image de x. On a donc bien défini une application de l’ensemble des classes de F -conjugaison de G_{F^{m}} dans l’ensemble des classes de conjugaison de G_{F}.

Des considérations analogues montrent que l’application en sens inverse est bien définie.

Montrons que le composé des deux applications est l’identité. Soit y ∈ G_{F} et soit x = h^{−1}.y^{s}.^{F} h, où h est comme dans l’énoncé; alors (Norme_{m}(x)) = h^{−1}.y^{sm}.^{F^{m}}h = h^{−1}.y.h, donc (Norme_{m}(x))^{−s} = h^{−1}.y^{−s}.h, d’où (Norme_{m}(x))^{−s}.x = h^{−1}.^{F} h. On peut donc prendre λ = h pour définir l’image de la F -classe de x par N_{F^{m}/F,s}, et on trouve pour cette image ^{h}Norme_{m}(x) = ^{h}(h^{−1}.y.h) = y.

Calculons maintenant le composé dans l’autre sens. Soit x ∈ G_{F^{m}}; l’image de la F -classe de x par N_{F^{m}/F,s} est la classe dans G_{F} de y = ^{λ}(Norme_{m}(x)), où λ est comme dans l’énoncé. Pour calculer l’image de la classe de y par l’application en sens inverse, nous devons trouver une valeur de h comme dans l’énoncé. On a (Norme_{m}(x))^{1−ms} = (Norme_{m}(x))^{−sm}.x.^{F} x …^{F^{m−1}}x. Comme xF centralise Norme_{m}(x), on a

(Norme_{m}(x))^{1−sm} = (Norme_{m}(x))^{−s}.x.^{F} (Norme_{m}(x))^{−s}.^{F} x
F^{2}(Norme_{m}(x))^{−s} …^{F^{m−1}}(Norme_{m}(x))^{−s}.^{F^{m−1}}x
= λ^{−1}.^{F^{m}}λ.

Donc on a ^{λ}(Norme_{m}(x))^{1−sm} = ^{F^{m}}λ.λ^{−1}, et on peut prendre h = λ. L’image de y est alors

h^{−1}.^{λ}(Norme_{m}(x))^{s}.^{F} h = (Norme_{m}(x))^{s}.λ^{−1}.^{F} λ = x

d’où le résultat.

Nous supposons dans la suite que G est un groupe algébrique défini sur F, que F est un endomorphisme surjectif de G ayant un nombre fini de points fixes, et nous considérerons un entier m tel que F^{m} ait aussi un nombre fini de points fixes. Montrons que N_{F^{m}/F,s} généralise l’application considérée dans le premier article de Kawanaka [K2] (cf. 2.6 et remarque du début du présent paragraphe). Rappelons que l’hypothèse faite sur F implique (cf. [St], 10.1) que tout sous-groupe connexe de G (en particulier sa composante neutre G^{o}) vérifie la propriété de Lang pour F et pour F^{m}

Proposition 3.7. Sous les hypothèses précédentes, si G est de plus connexe, l’application N_{F^{m}/F,s} coïncide avec l’application n_{F/F}^{−s} ∘ i ∘ N_{F^{m}/F}.

Démonstration: Tout d’abord remarquons que si x est un élément de G_{F^{m}}, et qu’on écrit x = h^{−1}.^{F}h, avec h ∈ G, on a Norme_{m}(x) = h^{−1}.^{F^{m}}h, et, donc

(Norme_{m}(x))^{−s}.x = (h^{−1}.^{F^{m}}h)^{−s}h^{−1}.^{F}h = h^{−1}(^{F^{m}}h.h^{−1})^{−s}.^{F} h.

D’autre part, par définition on a

N_{F^{m}/F,s}(F −classe(x)) = classe(^{λ}Norme_{m}(x)),

où λ^{−1}.^{F}λ = (Norme_{m}(x))^{−s}.x = h^{−1}(^{F^{m}}h.h^{−1})^{−s}.^{F} h, d’après ce qui précède. Or l’image par i ∘ N_{F^{m}/F} de la F -classe de x est ^{F^{m}}h.h^{−1}. Donc, d’après l’assertion (i) du corollaire 1.8, l’application (n_{F/F})^{−s}∘i∘N_{F^{m}/F} envoie la F -classe de x sur^{a}(^{F^{m}}h.h^{−1}), où a^{−1}.^{F}a = (^{F^{m}}h.h^{−1})^{−s}. Donc on peut prendre a = λh^{−1}, et on obtient le résultat.

Donnons les principales propriétés de N_{F^{m}/F,s}:

Proposition 3.8 (cf. [K3], 2.4.5). Soit G est un groupe algébrique défini sur F et F un endomorphisme surjectif de G ayant un nombre fini de points fixes; soit m un entier premier à l’ordre de (G/G^{o})_{F} et tel que F^{m} ait aussi un nombre fini de points fixes; l’application N_{F^{m}/F,s} a les propriétés suivantes:

(i) Le cardinal du F -centralisateur d’une F -classe de G_{F^{m}} est égal au cardinal du centralisateur de son image par N_{F^{m}/F,s} dans G_{F}.

(ii) Soit H un sous-groupe de G stable par F, et soit m et s des entiers vérifiant les hypothèses à la fois pour G et pour H. Alors pour toute F -classe c de H_{F^{m}}, si on note c̃ la F-classe de G_{F^{m}} qui contient c, on a:

N_{F^{m}/F,s}(c) ⊂ N_{F^{m}/F,s}(c̃).

(iii) Avec les hypothèses de (ii), l’application ^{t}N_{F^{m}/F,s}^{−1} (déduite pour les fonctions de l’application N_{F^{m}/F,s}) commute à l’induction des fonctions centrales (resp. à l’induction des fonctions de F -classe).

(iv) Si m est premier à l’ordre de l’image de tout élément g de G_{F} dans Z(g)/Z^{o}(g), et si s est inverse de m modulo cet ordre pour tout g de G_{F}, l’application N_{F^{m}/F,s} est indépendante de s.

Démonstration:

(i) Soient x ∈ G_{F^{m}} et g ∈ G_{F} fixés tels que classe_{G_{F}} (g) = N_{F^{m}/F,s}(F −classe_{G_{F^{m}}} (x)). Considérons l’application de l’ensemble

{(h, λ) ∈ G × classe_{G_{F}} (g)|λ.^{F^{m}}λ^{−1} = h^{sm−1}}

dans l’ensemble

{(y, λ) ∈ F −classe_{G_{F^{m}}} (x) × G|λ^{−1}.^{F}λ = (Norme_{m}(y))^{−s}.y},

définie par (h, λ) ↦ (λ^{−1}.h^{−s}.^{F} λ, λ). Cette application est clairement une bijection, l’application inverse étant (y, λ) ↦ (λNorme_{m}(y), λ). Le cardinal de l’ensemble de départ est |classe_{G_{F}} (g)||G_{F^{m}}|, et le cardinal de l’ensemble d’arrivée est à priori |F −classe_{G_{F^{m}}} (x)||G_{F} |, d’où (i).

(ii) Cette propriété est immédiate, d’après les définitions. (iii) La propriété (i) signifie que l’application ^{t}N_{F^{m}/F,s}^{−1} est une isométrie. Il est donc

équivalent de montrer que son inverse commute à l’adjoint de l’induction c’est-àdire à la restriction. Cette dernière propriété est vraie d’après (ii).

(iv) Soit s′ un entier vérifiant la même hypothèse que s; alors, pour tout g ∈ G_{F}, l’élément g^{s′−s} est dans Z^{o}(g), donc s’écrit z^{−1}.^{F}z avec z ∈ Z^{o}(g). On a donc

g^{1−s′m} = g^{1−sm}.g^{(s−s′)m} = g^{1−sm}.^{F^{m}}z^{−1}.z.

Donc, si g^{1−sm} = ^{F^{m}}h.h^{−1}, on a g^{1−s′m} = ^{F^{m}}(z^{−1}h).h^{−1}z. Donc l’image de classe(g) par (N_{F^{m}/F,s′})^{−1} est la F -classe de l’élément

h^{−1}zg^{s′}.^{F} z^{−1}.^{F} h = h^{−1}zg^{s′−s}g^{s}.^{F} z^{−1}.sF h
= h^{−1}zg^{s′−s}.^{F} z^{−1}g^{s}.^{F} h
= h^{−1}g^{s}.^{F} h,

qui est l’image de classe(g) par (N_{F^{m}/F,s})^{−1}.

Donnons une conséquence immédiate de cette proposition:

Corollaire 3.9. Si m est un entier premier à l’ordre de (G/G^{o})_{F}, le nombre de caractères irréductibles F -invariants de G_{F^{m}} est égal au nombre de caractères irréductibles de G_{F}.

Démonstration: Le nombre de caractères irréductibles F -invariants de G_{F^{m}} est égal à la dimension de l’espace des fonctions de F -classe sur G_{F^{m}}. Donc le corollaire est une conséquence immédiate du fait que N_{F^{m}/F,s} est une isométrie.

Définition 3.10. Nous dirons qu’un entier est admissible (pour G et F), s’il est premier à l’ordre de l’image de tout élément x de G_{F} dans Z(x)/Z^{o}(x).

Remarquons que si m est admissible, il est automatiquement premier à l’ordre de G_{F} /G_{F}^{o}: En effet si x est un élément de G_{F} qui n’est pas dans G_{F}^{o}, alors x n’est pas non plus dans Z^{o}(x). En particulier on voit, en prenant x d’ordre premier, que si m n’est pas premier à l’ordre de x dans G_{F} /G_{F}^{o}, il n’est pas premier à l’ordre de x dans Z(x)/Z^{o}(x), d’où le résultat.

Dans le cas où m est admissible et où s est choisi comme dans 3.8 (iv), nous omettrons le s dans la notation, et écrirons N_{F^{m}/F} pour N_{F^{m}/F,s}.

Proposition 3.11. Si m est admissible, alors, pour tout x ∈ G_{F}, on a

N_{F^{m}/F} (F −classe(x)) = classe(x^{m}).

Cette proposition est démontrée dans l’article de Kawanaka ([K3], 2.4.5 (iv)) avec l’hypothèse supplémentaire que m est premier à l’ordre de x.

Démonstration: Comme l’élément x^{1−ms} est dans Z^{o}(x), on peut prendre l’élément λ qui sert à définir N_{F^{m}/F} (F −classe(x)) dans Z^{o}(x), et on a

N_{F^{m}/F} (F −classe(x)) = classe(^{λ}(x^{m})) = classe(x^{m}),

d’où le résultat.

Cette proposition montre immédiatement que le théoreme 2.6 se généralise, si on remarque que tout entier premier à l’ordre du groupe G_{F} est admissible.

Théorème 3.12 (cf. [K3], 3.1.3). Si m est un entier positif, premier à l’ordre du groupe G_{F}, l’application π_{G,<F >} définie par le théorème 2.1 coïncide au signe près avec le composé tΔ_{m} ∘^{t}(N_{F^{m}/F})^{−1}.

Enfin nous énonçons, sans démonstration, le résultat suivant dû à Kawanaka:

Théorème 3.13 cf. [K1], [K2] et [K3]. Soit G un groupe unitaire, symplectique, spécial orthogonal, ou orthogonal défini sur F_{q}, et soit m un entier admissible, premier à q, alors l’image d’un caractère irréductible par l’application ^{t}(N_{F^{m}/F})^{−1} est un caractère irréductible à une racine de l’unité près.

Indications sur la démonstration: On raisonne par récurrence sur le rang du groupe, et on utilise la caractérisation de Brauer des caractères. Pour chaque sous-groupe élémentaire E, on exhibe un sous-groupe H de G rationnel sur F_{q}, contenant E, de rang strictement inférieur à celui de G, et tel que m vérifie les hypothèses du théorème pour ce sous-groupe H.

Signalons aussi que Shintani [Sh] a prouvé le résultat analogue dans le cas des groupes linéaires, sans hypothèse sur m, et que McGovern [MG] l’a démontré pour les groupes de type G_{2}. Kawanaka conjecture que ce résultat est vrai en général, et même qu’on peut supprimer l’hypothèse “m premier à la caractéristique”. Enfin il est clair, vu le résultat de Glauberman et le théorème 3.12 que cette conjecture est vraie pour tout groupe G si m est premier à l’ordre de G_{F}.

La construction donnée ci-dessus (3.3 et 3.6) de l’application N_{F^{m}/F,s} est assez différente de la méthode suivie dans l’article [K3]. Nous donnons ci-dessous, sans démonstration les principales étapes de la méthode de [K3]. Dans cet article, l’application N_{F^{m}/F,s} est construite en partant de la formule (*) (cf. début de ce paragraphe). Il s’agit d’abord de généraliser l’application (n_{F/F})^{s}, ce qu’on fait de la façon suivante:

Proposition 3.14. Sous les mêmes hypothèses que 3.8, soit a un élément de G_{F}; si, pour tout élément x de G_{F}^{o} .a^{m}, on pose n_{a,s,F} (classe_{G_{F}} (x)) = classe_{G_{aF}} (^{γ}x), où γ^{−1}.a.^{F} γ = x^{s}, on définit une bijection de l’ensemble des classes de conjugaison sous G_{F} des éléments de G_{F}^{o} .a^{m} sur l’ensemble des classes de conjugaison sous G_{aF} des éléments de G_{F}^{o} .a^{m}.

Le lemme 3.1, appliqué dans le groupe (G/G^{o})_{F} montre qu’il existe des représentants des classes de conjugaison de (G/G^{o})_{F} qui sont aussi des représentants des classes de F - conjugaison de (G/G^{o})_{F^{m}}. Notons m_{b} la multiplication par b à droite dans le groupe G. On a:

Proposition 3.15. L’application N_{F^{m}/F,s} est égale au composé

(n_{a,s,F})^{−1} ∘ m_{a^{m}} ∘ i ∘ N_{F^{m}/aF} ∘ m_{a^{−1}}

sur les F -classes sous G_{F^{m}} des éléments de (G^{o})^{F^{m}}.a.

Si on choisit un ensemble de représentants des classes de (G/G^{o})_{F} comme indiqué ci-dessus, on peut définir N_{F^{m}/F,s} comme étant le composé de l’énoncé 3.15. C’est ce qui est fait dans l’article [K3]. Kawanaka prouve que cette définition ne dépend pas des représentants choisis, et donne les principales propriétés de N_{F^{m}/F,s}. En particulier il démontre que l’application en sens inverse est celle explicitée dans le théorème 3.6. Ceci prouve que l’application N_{F^{m}/F,s} de Kawanaka et la notre coïncident.

4. Descente de Kawanaka et blocs.

Nous exposons dans ce paragraphe les résultats du paragraphe 4 de l’article de Kawanaka [K3], dont nous donnons des énoncés souvent plus généraux, et utilisant les méthodes récentes de la théorie des blocs, dues, entre autres, à M. Broué et G. Robinson (cf. [B],

[Ro] et [La]).

Si G est un groupe fini, pour faire la théorie des π-blocs de G, on se place dans le cadre suivant: On fixe un ensemble de nombres premiers noté π, et un corps de nombres K “assez gros” pour G, c’est-à-dire contenant les racines |G|-ièmes de l’unité. On note A l’anneau (de Dedekind) des éléments de l’anneau des entiers de K dont toutes les valuations associées aux diviseurs premiers (dans l’anneau des entiers) des éléments de π sont positives. On appelle π-idempotents (centraux) de G les idempotents de ZA[G], et π-blocs les idempotents primitifs de ZA[G].

Définition 4.1. Soit x un π-élément, on appelle tronquation à la π′-section de x, l’application δ^{x} : ZA[G] → ZAC_{G}(x) définie par ∑_{g∈G} a_{g}g ↦ ∑_{u∈C_{G}(x)_{π′}} a_{xu}u.

Introduisons la notation suivante:

Notation 4.2. Si c est une classe de conjugaison de G, on note S(c) la somme des éléments de c dans l’algèbre de G.

On écrira parfois S(x) pour S(classe(x)).

Suivant Broué [B], si π est réduit à un seul nombre premier p, nous définissons pour tout p-sous-groupe P de G le morphisme Brauer Br_{P}^{G} qui envoie les idempotents de ZA[G] sur des idempotents de ZA[C_{G}(P)] en utilisant le théorème de relèvement des idempotents et le morphisme de Brauer classique en réduction modulo p (le théorème de relèvement des idempotents s’applique aux morphismes surjectifs entre algèbres sur un anneau valué complet, de dimensions finies sur le corps des fractions de l’anneau. Ici il faut donc compléter A. Mais les idempotents obtenus par relèvement seront en fait à coefficients dans A car K a été supposé assez gros pour G). Rappelons alors le deuxième théorème de Brauer:

Théorème 4.3. Si l’ensemble π n’a qu’un élément p, soit x un p-élément de G, alors l’application δ^{x} commute à la multiplication par les p-idempotents, c’est-à-dire que pour tout p-idempotent e et tout a ∈ ZA[G], on a:

δ^{x}(ea) = Br_{x}^{G}(e)δ^{x}(a),

où Br_{x}^{G} est le morphisme de Brauer associé au sous-groupe cyclique engendré par x.

Corollaire 4.4. Avec les notations et sous les hypothèses du théorème, on a:

Br_{x}^{G}(e) = ∑_{{χ∈e \atop y∈C_{G}(x)_{p′}}} |C_{G}(x)|^{−1}χ(x)\overline{χ(xy)}y,

où χ ∈ e signifie que la somme porte sur les caractères irréductibles qui interviennent dans e.

On obtient facilement ce résultat si on prend a = S(classe(x)) dans l’énoncé 4.3, qu’on écrit dans le membre de gauche que la fonction caractéristique de la classe de x vaut |C_{G}(x)|^{−1} ∑_{χ} \overline{χ(x)}χ, et qu’on remarque que δ^{x}(S(x)) = 1.

Donnons maintenant la généralisation de ces énoncés au cas d’un ensemble quelconque π de nombres premiers. On peut interpréter certains résultats d’Iizuka (cf. [Ii]) de la façon suivante:

Théorème 4.5. Si x est un π-élément de G, et si e est un idempotent de ZA[G], alors la formule

Br_{x}^{G}(e) = ∑_{{χ∈e \atop y∈C_{G}(x)_{π′}}} |C_{G}(x)|^{−1}χ(x)\overline{χ(xy)}y

définit un idempotent de ZA[C_{G}(x)], et l’application Br_{x}^{G} est un morphisme d’algèbres de la K-algèbre engendrée par les idempotents de ZA[G] dans la K-algèbre engendrée par les idempotents de ZA[C_{G}(x)]. Ce morphisme vérifie la propriété 4.3, c’est-à-dire que pour tout π-idempotent e et tout a ∈ ZA[G], on a:

δ^{x}(ea) = Br_{x}^{G}(e)δ^{x}(a),

Donnons un corollaire qui nous sera utile:

Corollaire 4.6. Soit x un élément de G et e un π-idempotent de G, alors

(i) L’élément eS(x) a comme support la π-section de x. (ii) ∑_{χ∈e} χ(x)\overline{χ} est nul en dehors de la π-section de x.

Démonstration: D’après le théorème, on a δ^{y}(eS(x)) = Br_{y}^{G}(e)δ^{y}(S(x)), pout tout π élément y. Or l’application y ↦ δ^{y}(S(x)) est la fonction caractéristique de la classe de x, d’où le résultat (i), par définition de δ^{y}.

Montrons (ii): L’élément S(x) est un multiple de ∑_{χ∈Irr(G),g∈G} χ(x)\overline{χ(g)}g. Donc le produit de cette dernière expression par e est multiple de eS(x). Ce dernier produit vaut ∑_{χ∈e} χ(x)\overline{χ(g)}g car ∑_{g∈G} \overline{χ(g)}g est l’idempotent associé à χ à un facteur près, d’où le résultat, d’après (i).

Dans cette partie nous considérerons la situation suivante: Soit G un groupe fini et F un automorphisme d’ordre m de G. Nous notons G̃ le produit semi-direct de G par le groupe engendré par F, et H le groupe des points fixes de F dans G. Nous supposons qu’il existe une bijection ν de l’ensemble des classes de conjugaison des éléments de G̃ de la forme gF (avec g ∈ G) sur l’ensemble des classes de conjugaison de H. Par abus de langage, nous noterons ν(gF) l’image par ν de la classe de gF, et nous noterons parfois aussi ν(gF) un élément de cette image.

Avec ces notations on fait l’hypothèses suivante:

Hypothèse 4.7.

(i) Pour tout g ∈ G, l’ordre des éléments de ν(gF) divise l’ordre de (gF)^{m}. (ii) L’ordre du centralisateur dans H de ν(gF) est égal à l’ordre du centralisateur dans G

de gF.

Exemple 4.8. Si m est premier à l’ordre de H, le lemme 3.1 montre que l’application qui envoie la classe de gF sur la trace sur H de la classe de (gF)^{m} vérifie l’hypothèse 4.7.

Dans la suite, nous supposons que l’application ν vérifie la conjecture que fait Kawanaka pour la descente construite dans le paragraphe précédent, c’est-à-dire:

Hypothèse 4.9. Pour tout caractère χ̃ ∈ Irr(G̃) de restriction à G irréductible, il existe une racine 2m-ième de l’unité ζ(χ̃) telle que l’application h ↦ ζ(χ̃)χ̃(ν^{−1}(h)) définisse un caractère irréductible de H.

Remarquons que le caractère de H défini dans 4.9 ne dépend que de la restriction χ de χ̃ à G. Nous le noterons Ka_{F} (χ). On a ainsi une application de l’ensemble des caractères irréductibles F -stables de G dans l’ensemble des caractères irréductibles de H. On l’étend à tous les caractères de G en posant Ka_{F} (χ) = 0 si χ ∈ Irr(G) n’est pas un caractère F -stable.

Définition 4.10. Si e est un idempotent central F -stable de G, nous noterons Ka_{F} (e) la somme des idempotents centraux de H correspondant aux images Ka_{F} (χ) des caractères χ ∈ Irr(G) intervenant dans e.

Remarquons qu’un idempotent F -stable de G est un idempotent de G̃. Donnons une formule pour Ka_{F} (e).

Proposition 4.11. Soit e un idempotent central F -stable de G on a:

Ka_{F} (e) = ∑_{{χ∈e \atop h∈H}} |H|^{−1}Ka_{F} (χ)(1)\overline{Ka_{F} (χ)(h)}h = ∑_{{χ̃∈e \atop h∈H}} m^{−1}|H|^{−1}χ̃(F)\overline{χ̃(ν^{−1}(h))}h.

Ce résultat est immédiat, par définition de Ka_{F} (e).

Théorème 4.12. Si e est un π-idempotent central F -stable de G, alors Ka_{F} (e) est nul ou est un π-idempotent de H.

Démonstration: Remarquons tout d’abord que si e est un π-idempotent, seuls interviennent effectivement dans la formule 4.11, les éléments h tels que ν^{−1}(h) soit un π′-élément. Soit h_{0} un tel élément; si nous montrons que la fonction sur H

h ↦ ∑_{χ∈e} Ka_{F} (χ)(h)\overline{Ka_{F} (χ)(h_{o})}  (1)

est nulle en dehors de H_{π′}, nous en déduirons que que la valeur en 1 de cette combinaison linéaire à coefficients dans A de caractères est divisible par |H|_{π}, c’est-à-dire que les coefficients de Ka_{F} (e) sont des π-entiers, ce qui est le résultat cherché. Or la fonction définie par (1) vaut

m^{−1} ∑_{χ∈e} χ̃(ν^{−1}(h))\overline{χ̃(ν^{−1}(h_{o}))}.

Si h n’est pas un π′-élément alors 4.7 (i) montre que ν^{−1}(h) n’est pas un π′-élément. Donc la π-partie de ν^{−1}(h) n’est pas conjuguée à la π-partie de ν^{−1}(h_{o}), ce qui implique, d’après 4.6 (ii):

∑_{χ∈e} χ̃(ν^{−1}(h))\overline{χ̃(ν^{−1}(h_{o}))} = 0,

d’où le théorème.

Dans la suite, nous ferons les deux hypothèses suivantes:

Hypothèse 4.13.

(i) F est un π-élément, c’est-à-dire que π contient les diviseurs de m. (ii) Pour tout h ∈ H_{π′}, on a ν(hF) = h^{m}.

Nous noterons ψ_{m} l’application “élévation à la puissance m” définie sur les classes de conjugaison d’un groupe (et donc aussi sur le centre de l’algèbre du groupe).

Théorème 4.14. Soit e un π-idempotent central F -stable de G, alors, sous les hypothèses 4.13, on a:

Ka_{F} (e) = ψ_{m} ∘ BrG̃ ; F(e),

où BrG̃ ; F est le morphisme de Brauer associé au π-élément F (BrG̃ ; F(e) est un élément de ZA[H]).

Démonstration: D’après le théorème 4.12, dans la formule 4.11 seuls interviennent les h ∈ H qui sont des π′-éléments. On peut alors faire le changement de variable h = k^{m}, et la formule 4.11 devient:

Ka_{F} (e) = ∑_{{χ̃∈e \atop k∈H_{π′}}} m^{−1}|H|^{−1}χ̃(F)\overline{χ̃(ν^{−1}(k^{m}))}k^{m}.

Or, d’après l’hypothèse 4.13 (ii), l’expression χ̃(ν^{−1}(k^{m})) vaut χ̃(kF). Le corollaire 4.4 donne alors le résultat.

On en déduit le corollaire suivant:

Corollaire 4.15. Sous les hypothèses 4.13, l’image par Ka_{F} d’un π-bloc F -stable de G est une union de π-blocs de H.

Ce résultat se déduit immédiatement du théorème 4.14 et du lemme suivant:

Lemme 4.16. Si π est un ensemble de nombres premiers contenant les diviseurs premiers de m, l’application ψ_{m} induit une permutation sur les π-blocs de H.

Démonstration: D’après le lemme chinois, il existe un entier n premier à l’ordre de H tel que ψ_{n} coïncide avec ψ_{m} sur les π′-classes de H, (et, par exemple, avec l’identité sur les π-classes de H). Comme n est premier à l’ordre de H, l’endomorphisme ψ_{n} est un automorphisme de l’algèbre K[H], donc permute les π-blocs. Or ceux-ci s’expriment sur les π′-classes, d’où le résultat.

Dans la suite nous supposerons que l’ensemble π n’a qu’un élément, noté l (et donc que F est un l-élément), et nous ferons l’hypothèse suivante:

Hypothèse 4.17. Deux l′-éléments de H conjugués dans G sont conjugués dans H.

Sous ces hypothèses on peut améliorer le résultat 4.15:

Théorème 4.18. Sous l’hypothèse 4.17, l’image par Ka_{F} d’un l-bloc F -stable de G est nulle ou est un l-bloc de H.

Démonstration: Vu le lemme 4.16, il est équivalent de démontrer que le morphisme de Brauer BrG̃ ; F envoie un bloc de G̃ sur zéro ou sur un bloc de H× < F >. Ceci résulte du lemme général suivant:

Lemme 4.19. Soit G un groupe et P un l-sous-groupe de G tel que la trace de toute l′-classe de G sur C_{G}(P) soit vide ou soit une seule classe de C_{G}(P). Alors l’image par Br_{P}^{G} d’un l-bloc de G est nulle ou est un l-bloc de C_{G}(P).

Démonstration: Notons F le corps résiduel de A. Le morphisme de Brauer est défini en réduction par S(c) ↦ S(c ∩ C_{G}(P)). L’hypothèse implique donc que le morphisme de Brauer est surjectif sur le sous-espace ZF[C_{G}(P)]_{l′} de ZF[C_{G}(P)] engendré par les l′-classes de C_{G}(P). Donc, si l’on compose avec le quotient de ZF[C_{G}(P)] par son radical JZF[C_{G}(P)], on obtient un morphisme surjectif, car ZF[C_{G}(P)] = ZF[C_{G}(P)]_{l′} + JZF[C_{G}(P)]. Le théorème de relèvement des idempotents donne alors le résultat.

Enfin donnons une propriété des groupes de défaut:

Théorème 4.20. Sous l’hypothèse 4.17, si e est un l-bloc F -stable de G d’image non nulle par Ka_{F} alors

(i) Il existe un groupe de défaut F -stable de e dans G. (ii) Si D est un groupe de défaut de e dans G, alors D ∩ H est un groupe de défaut de

Ka_{F} (e).

Démonstration: Remarquons d’abord que si e est un l-bloc F -stable de G, et si D̃ est un groupe de défaut de e dans G̃, alors D̃ ∩ G est un groupe de défaut de e dans G. En effet, comme les l′-éléments de G̃ sont dans G, pour tout l-idempotent e, on a BrG̃ ; D̃∩G(e) = Br_{D̃∩G}^{G}(e). De l’inclusion D̃ ∩ G ⊂ D̃, on déduit que BrG̃ ; D̃∩G(e) est non nul. Donc Br_{D̃∩G}^{G}(e) est non nul, et D̃ ∩ G est inclus dans un groupe de défaut de e dans G. Dans l’autre sens, l’idempotent e est une trace de son groupe de défaut D̃ à G̃. Or on a (A[G])G̃ ; D̃ ⊂ ∑_{x∈G\G̃/D̃}(A[G])_{^{x}D̃∩G}^{G}. Donc un au moins des groupes ^{x}D̃ ∩ G contient un groupe de défaut de e dans G. L’ensemble des groupes de défaut de e dans G étant stable par conjugaison sous G̃, on obtient l’inclusion en sens inverse.

L’hypothèse et le théorème 4.14 impliquent que BrG̃ ; F(e) est non nul. Donc F est dans un groupe de défaut D̃ de e dans G̃, et, d’après ce qui précède, il existe un groupe de défaut F -stable D = D̃ ∩ G de e dans G, d’où (i).

D’autre part, ce qui précède montre aussi que pour démontrer (ii), on peut remplacer D par D̃. L’application ψ_{m} permute clairement les blocs ayant un groupe de défaut fixé. Donc pour démontrer (ii) il suffit de démontrer le résultat analogue pour le bloc BrG̃ ; F(e) considéré comme bloc du groupe H. Comme F est un l-élément, un sous-groupe Δ de H est un groupe de défaut d’un l-bloc de H si et seulement si le groupe Δ × H est un groupe de défaut du même bloc considéré comme bloc de H× < F >. On doit donc montrer que si D̃ est un groupe de défaut dans G̃ du bloc e, alors D̃ ∩ CG̃(F) est un groupe de défaut du bloc BrG̃ ; F(e) de CG̃(F). Cette propriété résulte du lemme suivant:

Lemme 4.21. Soit G un groupe fini et e un l-bloc de G de défaut D. Soit P un l-sous-groupe de G tel que Br_{P}^{G} soit non nul; alors il existe un bloc f de C_{G}(P) tel que D ∩C_{G}(P) soit un groupe de défaut de f.

Démonstration: Pour tout sous-groupe Q de C_{G}(P) on a la formule:

Br_{Q}^{C_{G}(P)}(Br_{P}^{G}(e)) = Br_{QP}^{G} (e).  (1)

Soit alors f un idempotent primitif de C_{G}(P) intervenant dans Br_{P}^{G}(e), et soit Δ un groupe de défaut de f dans C_{G}(P). Prenons Q = Δ dans (1). Alors le premier membre de (1) est non nul, donc aussi le deuxième membre, et on en déduit que ΔP est inclus dans un groupe de défaut D de e. Donc Δ est inclus dans D ∩ C_{G}(P).

Prouvons qu’il existe un idempotent primitif f tel qu’on ait l’inclusion en sens inverse. Prenons Q = D ∩ C_{G}(P) dans (1). Alors le groupe (D ∩ C_{G}(P)).P est inclus dans D, donc le deuxième membre de (1) est non nul. On en déduit que D ∩ C_{G}(P) est inclus dans un groupe de défaut d’un idempotent primitif f intervenant dans Br_{P}^{G}(e). Pour cet idempotent on a donc l’inclusion en sens inverse, et donc l’égalité D ∩ C_{G}(P) = Δ. D’où le lemme et le théorème.

Remarquons que le début de la démonstration du théorème est un résultat général dans la situation où on a un sous-groupe normal G d’un groupe G̃ tel que le quotient soit un l-groupe, un bloc G̃-stable e de G, et qu’on considère les groupes de défaut de e dans G et dans G̃.

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