17ème Journée Calcul Scientifique et Modélisation Mathématique d’Amiens


Lundi 19 JUIN 2017

Laboratoire Amiénois de Mathématique

Fondamentale et Appliquée

CNRS UMR 7352

 

Résumés


Fabien Marche (IMAG, Montpellier)

En eaux peu profondes


De nombreux progrès ont été effectués ces dernières années autour de la modélisation, l’analyse théorique et numérique des asymptotiques shallow water pour écoulements à surface libre. Cette brève immersion en eaux peu profondes nous permettra de faire un point sur les différentes formulations discrètes qui ont été proposées récemment. Je parlerai essentiellement des modèles dispersifs fortement non-linéaires et évoquerai la possibilité de surmonter l’hypothèse classique d’irrotationalité des écoulements ou encore la gestion numérique de la singularité « déferlement ».




Juliette Leblond (INRIA, Sophia-Antipolis)

Inverse source problems in electromagnetism with applications to imaging issues


We will discuss some inverse problems for Laplace-Poisson and conductivity partial differential equations (PDE) with source term in divergence form. We consider situations where incomplete (noisy) boundary Cauchy data are given in some restricted region of the space (accessible to measurements) from which the unknown source term is to be recovered.

Such issues arise in many physical problems related to non-destructive inspection, in particular for electromagnetic phenomena modelled by Maxwell’s equations, under quasi-static assumptions. We will focus on brain source estimation from electroencephalography (EEG) data, arising in neurosciences and medical imaging, and give some insight about similar issues in planetary sciences and paleomagnetism, concerning magnetization recovery in rocks samples from magnetic data.

These are ill-posed inverse problems, that need first to be analysed from the mathematical point of view, next regularized, then algorithmically and computationaly solved. We make use of best approximation techniques in suitable function spaces in order to set up assumptions for well-posedness (uniqueness, smoothness, stability) and to constructively solve for these issues. Numerical illustrations will be provided.




Bruno Després (LJLL, UPMC)

Polynômes signés et approximation numérique


L'utilisation de méthodes d'approximation polynomiales à l'ordre élevé qui préservent des conditions de signe est un problème central en calcul scientifique, par exemple pour l'approximation d'équations non linéaires. Or une caractérisation est possible à partir du théorème de Lukacs. On passera en revue une preuve récente de ce théorème insuffisamment connu en analyse numérique, une extension au cas avec 2 bornes ainsi que des algorithmes constructifs appliquées à l'approximation de l'équation du transport.




Nicolas Meunier (MAP5, Paris Descartes)

Modélisation mathématique de la motilité cellulaire


La migration cellulaire joue un rôle fondamental dans de très nombreux processus physiologiques, comme l’embryogenèse, la cicatrisation, ou encore la formation de métastases. Or, le comportement migratoire d’une cellule est le résultat d’une activité complexe intégrée sur différentes échelles spatiales et temporelles, rendant sa compréhension difficile. La modélisation mathématique constitue donc une aide non négligeable pour les biologistes.

Dans cet exposé je présenterai un modèle de motilité s’appuyant sur la dynamique intracellulaire responsable de la migration, tout en restant dans une démarche de modèle minimal. Le cytosquelette d’actine sera modélisé par un fluide de Stokes (ou de Darcy) et je présenterai une EDP pour décrire sa dynamique. Le modèle obtenu est à frontière libre. Il
 fait intervenir la courbure de la membrane.

Je présenterai des simulations du modèle avec FreeFem++. Des résultats mathématiques peuvent difficilement être obtenus ici du fait du domaine déformable. Aussi, je présenterai un modèle similaire sur un domaine rigide. Pour ce nouveau modèle je décrirai des résultats mathématiques qui concernent l’existence d’une solution et son comportement en temps long dans le cas de la dimension 1.

Je présenterai ensuite des extensions du modèle qui permettent d’élargir le contexte aux cas de signal extérieur et de contact avec un obstacle.