Sur le centre des algèbres de groupe en caractéristique p

Serge Bouc

Abstract: I give elementary proofs of some results on the idempotents of the center of finite group algebras over a commutative ring R of characteristic p. Those results are well known when R is a field, and their classical proof requires the use of a “lift to characteristic 0”. The new methods explained here are independent of such a lift, and work also for a reduced ring of characteristic p.

Soit G un groupe fini, p un nombre premier, et R un anneau commutatif de caractéristique p. Les résultats énoncés ici sur le centre ZRG de l’algèbre de groupe sont bien connus lorsque R est un corps. Certains d’entre eux se démontrent généralement en utilisant un anneau de valuation discrète O, dont le corps des fraction K est de caractéristique 0, et le corps résiduel est isomorphe à R. Le but de cette note est de donner des démonstrations évitant ce procédé de “relèvement en caractéristique 0”, et utilisant uniquement l’anneau R.

1. Actions de p-groupes

Le lemme suivant est élémentaire et fondamental:

Lemme 1.1: Soient R un groupe abélien, et P un p-groupe fini opérant sur un ensemble fini X. Si f est une fonction de X dans R invariante par P, alors

∑_{x∈X} f(x) ≡ ∑_{x∈X^{P}} f(x) mod pR

Démonstration: Soit P \X un système de représentants des orbites de P sur X. Alors

∑_{x∈X} f(x) = ∑_{x∈G\X} ∑_{p∈P/P_{x}} f(px) = ∑_{x∈G\X}[P : P_{x}]f(x)

d’où le résultat, puisque [P : P_{x}]f(x) appartient à pR si P_{x} ≠ P, c’est-à-dire si x ∉ X^{P}.

On applique souvent ce lemme au cas où R =Z et f est la fonction constante égale à 1: le résultat est alors la congruence

|X| ≡ |X^{P} | (p)

Parmi les nombreuses autres applications de ce lemme:

Les théorèmes de Sylow: Soit G un groupe fini d’ordre n. Je note n_{p} la p-partie de n, et n_{p′} sa p′-partie. Le groupe G opère par translation sur l’ensemble P de ses parties de cardinal n_{p}. Cet ensemble est de cardinal \binom{n}{n_{p}} qui est congru à n_{p′} modulo p: en effet, dans F_{p}[X], j’ai l’égalité

(X + 1)^{n} = (X + 1)^{n_{p}n_{p′}} = (X^{n_{p}} + 1)^{n_{p′}}

La congruence cherchée résulte de l’évaluation du terme en X^{n_{p}}, qui donne

\binom{n}{n_{p}} ≡ \binom{n_{p′}}{1} (p)

Comme n_{p′} est premier à p, il en résulte que le groupe G admet au moins une orbite sur P dont le cardinal est premier à p. Il existe dans cette orbite une partie P contenant 1. Alors l’indice du stabilisateur H de P dans G est premier à p. Donc n_{p} divise l’ordre de H. Comme de plus H est contenu dans P si 1 ∈ P, et comme H opère librement sur P, il en résulte que l’ordre de H est inférieur ou égal à |P | = n_{p}. Donc H = P est un sous-groupe d’ordre n_{p} de G, c’est-à-dire un sous-groupe de Sylow.

De plus si Q est un p-sous-groupe quelconque de G, alors Q opère sur G/P, qui est de cardinal premier à p. Donc le cardinal des points fixes par Q est premier à p. En particulier, cet ensemble de points fixes est non-vide, donc il existe x ∈ G tel que QxP = xP, ou Q^{x} ⊆ P. Il en résulte que tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués entre eux, et sont les p-sous-groupes maximaux de G. De plus, le cas Q = P donne la congruence

[G : P] ≡ [N_{G}(P) : P] (p)  soit  [G : N_{G}(P)] ≡ 1 (p)

donc le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p.

Le centre d’un p-groupe: Si P est un p-groupe non-trivial, alors son centre Z(P) est non-trivial: en effet, le centre de P est l’ensemble des points fixes de P dans son action par conjugaison sur lui-même. Il est donc de cardinal multiple de p si P est non-trivial. Donc Z(P) est non-trivial.

2. L’homomorphisme de Brauer

Hypothèse: Dans toute la suite, je note R un anneau commutatif de caractéristique p (i.e. tel que pR = 0).

Soit G un groupe fini opérant sur un groupe fini X. Alors G opère aussi sur l’algèbre RX. Si P est un p-sous-groupe de G, soit Br_{P} l’application de projection

Br_{P} : (RX)^{P} → R(X^{P})

définie par

Br_{P} ( ∑_{x∈X} r_{x}x) = ∑_{x∈X^{P}} r_{x}x

Lemme 2.1: L’application Br_{P} est un morphisme d’algèbres.

Démonstration: En effet, soient a = ∑_{x∈X} r_{x}x et b = ∑_{y∈X} s_{y}y des éléments de (RX)^{P}. Alors

ab = ∑_{z∈X}( ∑_{{x,y∈X \atop xy=z}} r_{x}s_{y})z

Soit Ω_{z} = {(x, y) ∈ X | xy = z}. Si z est fixe par P, le groupe P opère sur Ω_{z} par p(x, y) = (p(x), p(y)), et la fonction (x, y) ↦ r_{x}s_{y} de Ω_{z} dans R est invariante par P, puisque a et b sont dans (RX)^{P}. Le lemme 1.1 donne alors l’égalité

Br_{P} (ab) = ∑_{z∈X^{P}}( ∑_{x,y∈Ω_{z}} r_{x}s_{y})z = ∑_{z∈X^{P}}( ∑_{{x,y∈X^{P} \atop xy=z}} r_{x}s_{y})z = Br_{P} (a)Br_{P} (b)

ce qui prouve que Br_{P} est un morphisme d’algèbres.

3. Idempotents de ZRG

Notations: Soit G un groupe fini. Le centre ZRG de l’algèbre RG est libre comme R-module, et admet pour base les éléments

1_{C} = ∑_{x∈C} c

lorsque C décrit les classes de conjugaison de G.

Si p est un nombre premier, je note G_{p} l’ensemble des p-éléments de G, et G_{p′} l’ensemble des p′-éléments. Je pose

1_{G_{p}} = ∑_{x∈G_{p}} x

Je donne ZRG_{p′} le sous-R-module de ZRG ayant pour base les éléments 1_{C}, où C est la classe de conjugaison d’un élément de G_{p′}. Je note Res_{G_{p′}} la projection de ZRG sur ZRG_{p′} définie par

Res_{G_{p′}}( ∑_{x∈G} r_{x}x) = ∑_{x∈G_{p′}} r_{x}x

Soit F : ZRG → ZRG l’application définie par

F ( ∑_{x∈G} r_{x}x) = ∑_{x∈G} r_{x}x^{p}

Alors F est R-linéaire. Soit de même Γ : ZRG → ZRG définie par

Γ( ∑_{x∈G} r_{x}x) = ∑_{x∈G} r_{x}^{p}x

Alors Γ est un morphisme d’anneaux. Enfin soit Φ = F ∘ Γ, i.e.

Φ( ∑_{x∈G} r_{x}x) = ∑_{x∈G} r_{x}^{p}x^{p}

Il est facile de voir que puisque R est de caractéristique p, les applications F et Γ commutent. De même Γ et Res_{G_{p′}} commutent. Enfin F et Γ envoient ZRG_{p′} dans lui-même, et la restriction de F à ZRG_{p′} est un automorphisme, car un p′-élément admet une racine p-ième unique dans G_{p′}.

Finalement, je note q = p^{α} l’exposant d’un p-sous-groupe de Sylow de G.

Proposition 3.1: Soit u ∈ ZRG, et β un entier supérieur ou égal à α. Alors

u^{p^{β}} = Φ^{β}(Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}}))

Démonstration: Soit r = p^{β}. Alors si u = ∑_{x∈G} u_{x}x

u^{r} = ∑_{z∈G}( ∑_{{x_{1},...,x_{r}∈G \atop x_{1}...x_{r}=z}} u_{x_{1}} … u_{x_{r}})z

Soit

Ω_{r}(z) = {(x_{1}, …, x_{r}) ∈ G^{r} | x_{1} … x_{r} = z}

Le centralisateur C_{G}(z) de z dans G opère sur Ω_{r}(z) par

g(x_{1}, …, x_{r}) = (^{g}x_{1}, …,^{g}x_{r})

Soit i un entier compris entre 1 et r − 1, et s_{i} : Ω_{r}(z) → Ω_{r}(z) définie par

s_{i}(x_{1}, …, x_{r}) = (x_{1}, …, x_{i−1},^{x_{i}}x_{i+1}, x_{i}, x_{i+2}, …, x_{r})

Il est clair que s_{i} et s_{j} commutent si |i − j| >= 2, et un calcul simple montre que

s_{i}s_{i+1}s_{i} = s_{i+1}s_{i}s_{i+1}

Autrement dit, le groupe de tresses B_{r} opère aussi sur Ω_{r}(z), et il est facile de vérifier que cette action commute à celle de C_{G}(z). Soit

γ = s_{r−1} … s_{1}

Alors

γ(x_{1}, …, x_{r}) = s_{r−1} … s_{2}(^{x_{1}}x_{2}, x_{1}, x_{3}, …, x_{r}) = …

… = s_{r−1} … s_{3}(^{x_{1}}x_{2},^{x_{1}}x_{3}, x_{1}, x_{4}, …, x_{r}) = ^{x_{1}}(x_{2}, …, x_{r}, x_{1})

Il en résulte plus généralement que si k est un entier compris entre 1 et r

γ^{k}(x_{1}, …, x_{r}) = ^{x_{1}x_{2}...x_{k}}(x_{k+1}, …, x_{r}, x_{1}, …, x_{k})

En particulier

γ^{r}(x_{1}, …, x_{r}) = ^{x_{1}...x_{r}}(x_{1}, …, x_{r}) = ^{z}(x_{1}, …, x_{r})

Soient z_{p} et z_{p′} la p-partie et la p′-partie de z, et v ∈ G_{p′} l’unique racine r-ième de z_{p′}^{−1}. Alors v ∈ C_{G}(z), car c’est une puissance de z_{p′}. Soit σ : Ω_{r}(z) → Ω_{r}(z) définie par

σ(x_{1}, …, x_{r}) = vγ(x_{1}, …, x_{r})

Comme les actions de v et γ commutent

σ^{r}(x_{1}, …, x_{r}) = ^{v^{r}z}(x_{1}, …, x_{r}) = ^{z_{p}}(x_{1}, …, x_{r})

En particulier il existe une puissance π de p tel que σ^{π} soit l’application identique de Ω_{r}(z).

De plus, la fonction

λ_{r} : (x_{1}, …, x_{r}) ∈ Ω_{r}(z) ↦ u_{x_{1}} … u_{x_{r}} ∈ R

est invariante par C_{G}(z) si u ∈ ZRG, et par B_{r} si R est commutatif. Le lemme 1.1 donne alors

u^{r} = ∑_{z∈G} ( ∑_{(x_{1},...,x_{r})∈Ω_{r}(z)^{σ}} λ_{r}(x_{1}, …, x_{r}))z

L’élément (x_{1}, …, x_{r}) de Ω_{r}(z) est fixe par σ si et seulement si

x_{2} = x_{1}^{vx_{1}} x_{3} = x_{1}^{(vx_{1})^{2}} … x_{r} = x_{1}^{(vx_{1})^{r−1}} x_{1} = x_{1}^{(vx_{1})^{r}}

Dans ces conditions, dire que (x_{1}, …, x_{r}) ∈ Ω_{r}(z) revient à dire que

x_{1}.x_{1}^{vx_{1}}.x_{1}^{(vx_{1})^{2}} … x_{1}^{(vx_{1})^{r−1}} = z

ce qui peut aussi s’écrire

(x_{1}(vx_{1})^{−1})^{r}(vx_{1})^{r} = z

ou encore

(vx_{1})^{r} = v^{r}z = z_{p}

L’ensemble Ω_{r}(z)^{σ} est donc en bijection avec l’ensemble des éléments x_{1} de C_{G}(z_{p}) tels que (vx_{1})^{r} = z_{p}. Mais si g ∈ G est tel que g^{r} = z_{p}, alors g est un p-élément, et alors g^{r} = 1, puisque r est multiple de l’exposant d’un p-sous-groupe de Sylow de G.

Il en résulte que l’ensemble Ω_{r}(z)^{σ} est vide si z_{p} ≠ 1. Et si z_{p} = 1, l’ensemble Ω_{r}(z)^{σ} est en bijection avec l’ensemble des éléments x_{1} de G tels que (vx_{1})^{r} = 1, i.e. tels que vx_{1} ∈ G_{p}. Les éléments x_{2}, …, x_{r} étant conjugués de x_{1}, il en résulte que

λ_{r}(x_{1}, …, x_{r}) = u_{x_{1}}^{r}

Finalement, il vient

u^{r} = ∑_{v∈G_{p′} ; {x∈G \atop vx∈G_{p}}} u_{x}^{r}v^{−r} = ∑_{x∈G ; {y∈G_{p} \atop xy∈G_{p′}}} u_{x}^{r}(xy)^{r} = F^{β} [Res_{G_{p′}} (Γ^{β}(u)1_{G_{p}})]

Comme Γ(1_{G_{p}}) = 1_{G_{p}}, et comme Γ est un morphisme d’anneaux, j’ai aussi

u^{r} = F^{β} [Res_{G_{p′}} (Γ^{β}(u.1_{G_{p}}))]

Finalement, comme Γ commute à Res_{G_{p′}} et à F

u^{r} = F^{β}Γ^{β}(Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}})) = Φ^{β}(Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}}))

ce qui prouve la proposition.

Corollaire 3.2: Soit e un idempotent de ZRG. Alors e ∈ ZRG_{p′}.

En effet e = e^{r} = Φ^{β}(Res_{G_{p′}}(e.1_{G_{p}})).

4. Classes de défaut nul

Notations: Si x ∈ G, le défaut de (la classe de conjugaison de) x est par définition un p-sous-groupe de Sylow de C_{G}(x), et (la classe de conjugaison de) x est dit(e) de défaut nul si C_{G}(x) est un p′-groupe. Je note c_{0}(G) l’ensemble des éléments de G de défaut nul. C’est un sous-ensemble de G_{p′}, puisque pour tout x, l’élément x_{p} est dans C_{G}(x).

Je note ZRc_{0}(G) le sous-R-module de ZRG engendré par les 1_{C}, où C est une classe de conjugaison de défaut nul. C’est un idéal de ZRG, car c’est l’intersection des noyaux des morphismes Br_{P}, pour P ≠ {1}.

Proposition 4.1: Avec ces notations,

1_{G_{p}}^{2} ∈ ZRc_{0}(G)

Démonstration: Cela résulte de deux applications successives du lemme 1.1. En effet

1_{G_{p}}^{2} = ∑_{z∈G} |D_{p}(z)|z

où D_{p}(z) est l’ensemble des couples (x, y) d’éléments de G_{p} tels que xy = z. Soit S un p-sous-groupe de Sylow de C_{G}(z). Alors S opère sur D_{p}(z) par conjugaison. De plus

D_{p}(z)^{S} = {(x, y) ∈ C_{G}(S)_{p} | xy = z}

Le centre de S opère sur D_{p}(z)^{S} par u(x, y) = (xu^{−1}, uy), et il opère sans point fixe. Donc si Z(S) ≠ {1}, i.e. si S ≠ {1}, alors |D_{p}(z)^{S}| = 0 dans R. La proposition en résulte.

5. Le nil-radical de ZRG

Hypothèse: Dans toute la suite, je supposerai que l’anneau R est réduit, i.e. sans élément nilpotent non-nul.

Cette hypothèse entraîne que Γ est injective. Il en est donc de même de la restriction de Φ à ZRG_{p′}. Alors si u ∈ ZRG, la proposition 3.1 montre que

u^{p^{β}} = Φ^{β}(Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}}))

pour tout β ≥ α. En particulier, l’élément u est nilpotent si et seulement si Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}}) = 0.

D’autre part, si u = ∑_{x∈G} u_{x}x, alors

u.1_{G_{p}} = ∑_{z∈G}( ∑_{x∈E_{z}} u_{x})z

où

E_{z} = {x ∈ G | x^{−1}z ∈ G_{p}}

Soit S un p-sous-groupe de Sylow de C_{G}(z). Alors S opère sur E_{z} par conjugaison, et

E_{z}^{S} = {x ∈ C_{G}(S) | x^{−1}z ∈ G_{p}}

Comme de plus z_{p} ∈ S, si x ∈ C_{G}(S), alors x centralise z_{p}, et l’élément x^{−1}z = x^{−1}z_{p′}z_{p} est dans G_{p} si et seulement si il en est de même de x^{−1}z_{p′}. Donc

E_{z}^{S} = {x ∈ C_{G}(S) | x^{−1}z_{p′} ∈ G_{p}}

Ce dernier ensemble n’est autre que E_{z_{p′}}^{S}. Il résulte alors du lemme 1.1 que

u.1_{G_{p}} = ∑_{z∈G}( ∑_{x∈E_{z_{p′}}} u_{x})z = ∑_{t∈G_{p′}}( ∑_{x∈E_{t}} u_{x})( ∑_{{z∈G \atop z_{p′}=t}} z)

Alors

Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}}) = ∑_{t∈G_{p′}}( ∑_{x∈E_{t}} u_{x})t

Il en résulte que Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}}) = 0 si et seulement si u.1_{G_{p}} = 0. Finalement, un élément u de ZRG est nilpotent si et seulement si u^{q} = 0. En résumé:

Proposition 5.1: Le nilradical de ZRG est égal à l’annulateur de 1_{G_{p}}. C’est aussi l’ensemble des éléments u tels que u^{q} = 0.

Je conclurai cette section par une dernière remarque: soit u ∈ ZRG. Si β ≥ α, alors

u^{p^{2β}} = (u^{p^{β}})^{β} = Φ^{β}(Res_{G_{p′}}(u^{p^{β}}.1_{G_{p}})) = Φ^{2β}(Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}}))

Comme la restriction de Φ à ZRG_{p′} est injective puisque R est réduit, il vient

Res_{G_{p′}}(u^{p^{β}}.1_{G_{p}}) = Φ^{β}(Res_{G_{p′}}(u.1_{G_{p}}))

d’où finalement

Res_{G_{p′}}(u^{p^{β}}.1_{G_{p}}) = u^{p^{β}}  (1)

6. Les idempotents de ZRc_{0}(G)

J’ai déjà observé que ZRc_{0}(G) est un idéal de ZRG. Donc si u ∈ ZRc_{0}(G), alors u.1_{G_{p}} ∈ ZRc_{0}(G) ⊆ ZRG_{p′}. La formule 1 devient alors

u^{p^{β}}.1_{G_{p}} = u^{p^{β}}  si β ≥ α, u ∈ ZRc_{0}(G)  (2)

En particulier, si e est un idempotent de ZRc_{0}(G), alors e.1_{G_{p}} = e.

De plus, comme 1_{G_{p}} appartient au sous-anneau ZF_{p}G de ZRG, il en est de même de 1_{G_{p}}^{2}. Si 1_{G_{p}}^{2} s’écrit

1_{G_{p}}^{2} = ∑_{z∈c_{0}(G)} λ_{z}z

alors

Φ(1_{G_{p}}^{2}) = ∑_{z∈c_{0}(G)} λ_{z}z^{p}

car λ_{z}^{p} = λ_{z}. Comme de plus l’application z ↦ z^{p} est une bijection de c_{0}(G), il existe un entier ω > 0 tel que

Φ^{βω}(1_{G_{p}}^{2}) = 1_{G_{p}}^{2}

pour tout entier β.

Alors si βω ≥ α, il vient

1_{G_{p}}^{p^{βω}} = Φ^{βω}(1_{G_{p}}^{2}) = 1_{G_{p}}^{2}

Il est facile de voir que l’ensemble des entiers h ≥ 0 tels que 1_{G_{p}}^{2+h} = 1_{G_{p}}^{2} est de la forme kN, pour un entier k > 0 convenable. Cet entier k doit diviser p^{βω} − 2, pout tout β assez grand. Or

(p^{βω} − 2, p^{(β+1)ω} − 2) = (p^{βω} − 2, p^{βω}(p^{ω} − 1))

Si p est impair, c’est aussi

(p^{βω} − 2, p^{ω} − 1)

Comme

p^{βω} − 2 = ((p^{ω} − 1) + 1)^{β} − 2

est un multiple de p^{ω} − 1 moins 1, il vient finalement

(p^{βω} − 2, p^{(β+1)ω} − 2) = (1, p^{ω} − 1) = 1

si p est impair. Et si p = 2, alors

(p^{βω} −2, p^{(β+1)ω} −2) = 2(p^{βω−1} −1, p^{ω} −1) = 2(p^{βω−1} −p^{ω}, p^{ω} −1) = …

… = 2(p^{(β−1)ω−1} − 1, p^{ω} − 1)

Donc dans ce cas

(p^{βω} − 2, p^{(β+1)ω} − 2) = 2(p^{ω−1} − 1, p^{ω} − 1) = 2(p^{ω−1} − 1, p^{ω−1}(p − 1)) = 2

puisque p − 1 = 1.

Donc si p ≠ 2, alors k = 1 et 1_{G_{p}}^{3} = 1_{G_{p}}^{2}. Et si p = 2, alors 1_{G_{p}}^{4} = 1_{G_{p}}^{2}. Cette dernière égalité est donc toujours vraie. Il en résulte que (1_{G_{p}}^{2})^{p^{β}} = 1_{G_{p}}^{2} pour tout β > 0. La formule 2 donne alors

1_{G_{p}}^{3} = 1_{G_{p}}^{2}

quel que soit p. Finalement, j’ai montré la proposition suivante:

Proposition 6.1: L’élément 1_{G_{p}}^{2} est un idempotent de ZRc_{0}(G). De plus, si e est un idempotent de ZRc_{0}(G), alors e.1_{G_{p}}^{2} = e

Dans le cas où R est un corps, tout idempotent de ZRc_{0}(G) est somme d’idempotents primitifs (“blocs de défaut nul”): alors 1_{G_{p}}^{2} est égal à la somme des blocs de défaut nul de G. Ce théorème est du à Tsushima ([1]).

Références

[1] Y. Tsushima. On the block of defect 0. Nagoya Journal of Mathematics, 44:57–59, 1971.