Résolutions de foncteurs de Mackey

S. Bouc

Abstract. I will build some standard resolutions for Mackey functors which are projective relative to p-subgroups. Those resolutions are closely related to the poset of p-subgroups. They lead to generalizations of known results on cohomology. They give a way to compute the Cartan matrix for Mackey functors, in terms of p-permutation modules, and to precise the structure of projective Mackey functors. They also provide results on complexes of projective Mackey functors and complexes of p-permutation modules.

1. Introduction

Je vais établir ici l’existence de résolutions standard pour les foncteurs de Mackey projectifs par rapport aux p-sous-groupes. Ces résolutions sont étroitement reliées à l’ensemble des p-sous-groupes du groupe considéré. Elles permettent de généraliser certains résultats connus pour la cohomologie, de calculer la matrice de Cartan des foncteurs de Mackey en termes de modules de p-permutations, et de préciser la structure des foncteurs de Mackey projectifs. Les méthodes utilisées permettent d’étudier également les complexes de foncteurs de Mackey projectifs, et les complexes de modules de p-permutations.

2. Notations et rappels

2.1. L’algèbre de Mackey. La plupart des résultats dont j’aurai besoin se trouvent dans l’article de J.Thévenaz et P.Webb ([6]) sur la structure des foncteurs de Mackey: parmi d’autres définitions équivalentes possibles, un foncteur de Mackey est un module sur l’algèbre de Mackey. Une définition possible de cette dernière est la suivante

Définition 2.1. Soit G un groupe fini, et R un anneau commutatif. L’algèbre de Mackey μ_{R}(G) est l’algèbre engendrée par les éléments t_{H}^{K}, r_{H}^{K}, et c_{g,H}, où H et K sont des sous-groupes de G tels que H ⊆ K, et g un élément de G avec les relations:

t_{K}^{L}t_{H}^{K} = t_{H}^{L} pour tout H ⊆ K ⊆ L
r_{H}^{K}r_{K}^{L} = r_{H}^{L} pour tout H ⊆ K ⊆ L
c_{g,^{h}K}c_{h,K} = c_{gh,K} pour tout g, h, K
t_{H}^{H} = r_{H}^{H} = c_{h,H} pour tout h, H tels que h ∈ H
c_{g,K}t_{H}^{K} = t_{^{g}H}^{^{g}K}c_{g,H} pour tout g, h, H, K

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 19A22 ; Secundary 20J05.

c_{g,K}r_{K}^{H} = r_{^{g}K}^{^{g}H}c_{g,H} pour tout g, h, H, K

∑_{H} t_{H}^{H} = ∑_{H} r_{H}^{H} = 1

r_{K}^{H}t_{L}^{H} = ∑_{x∈K\H/L} t_{K∩^{x}L}^{K}r_{K∩^{x}L}^{^{x}L}c_{x,L} pour tout K ⊆ H ⊇ L (axiome de Mackey)

tous les autres produits de r_{H}^{K}, t_{H}^{K} et c_{g,H} étant nuls.

En posant c_{x} = ∑_{H} c_{x,H} pour x ∈ G, il en résulte que c_{x,H} = c_{x}t_{H}^{H}, et que l’application x ↦ c_{x} fait de μ_{R}(G) une G-algèbre intérieure (au sens de Puig [3]).

La proposition (3.4) de [6] prouve que les c_{x,1}, donc aussi les c_{x}, sont linéairement indépendants, ce qui permet d’identifier x et c_{x}. Avec ces notations, la proposition (3.2) de [6] prouve que μ_{R}(G) admet une base sur R, formée des éléments t_{^{x}L}^{H}xr_{L}^{K}, pour H et K sous-groupes de G, x ∈ K\G/H, et L sous-groupe de H ∩K^{x} modulo conjugaison par H ∩ K^{x}.

Si H est un sous-groupe de G, les relations de définition de μ_{R}(G) permettent de définir un morphisme de l’anneau de Burnside b_{R}(H) de H à coefficients dans R dans l’algèbre μ_{R}(G), qui envoie l’élément H/K sur l’élément t_{K}^{H}r_{K}^{H}. Je noterai X ↦ [X] ce morphisme.

Il y a d’autre part un morphisme naturel z de l’anneau de Burnside de G dans le centre de l’algèbre de Mackey ([6], proposition (9.2)), défini par

z(X) = ∑_{K⊆G}[Res_{K}^{G}X]

qui permet d’utiliser les idempotents de l’anneau de Burnside pour décomposer l’algèbre de Mackey en morceaux plus petits.

Dans tout ce qui suit, je m’intéresserai uniquement au cas “de caractéristique p”: je supposerai que tous les nombres premiers différents de p sont inversibles dans l’anneau R. Dans ces conditions (cf [6] section 9-10), l’algèbre μ_{R}(G) est Moritaéquivalente à un produit direct d’algèbres indexées par les sous-groupes p-parfaits de G (i.e. les sous-groupes n’admettant aucun quotient p-groupe non-trivial).

Plus précisément, l’algèbre μ_{R}(G) est Morita-équivalente au produit direct sur les sous-groupes p-parfaits H de G (modulo conjugaison par G) des algèbres que je noterai μ_{R}^{1}(N_{G}(H)/H) (la catégorie des μ_{R}^{1}(G)-modules est notée Mack_{R}(G, 1) dans [6]): l’algèbre μ_{R}^{1}(G) est la partie de μ_{R}(G) correspondant à l’idempotent f_{1}^{G} de l’anneau de Burnside de G. En notant \underline{s}_{p}(G) l’ensemble des p-sous-groupes de G, l’idempotent f_{1}^{G} de l’anneau de Burnside b_{Q}(G) à coefficients rationnels est défini par

f_{1}^{G} = ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} e_{P}^{G}

avec

e_{P}^{G} = \frac{1}{|N_{G}(P)|} ∑_{Q⊆P} χ̃]Q, P [|Q|G/Q

où χ̃]Q, P [ est la caractéristique d’Euler-Poincaré réduite de l’ensemble des p-sous-groupes contenant strictement Q et strictement contenus dans P. Un calcul simple montre alors que

f_{1}^{G} = − ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} \frac{χ̃(s_{p}(N_{G}(P)/P))}{|N_{G}(P)/P |}G/P

avec s_{p}(G) = \underline{s}_{p}(G) − \{1\}.

Cette expression a le mérite de montrer que f_{1}^{G} est p-entier, et définit donc f_{1}^{G} dans b_{R}(G) (en effet, il est connu que χ̃(s_{p}(G)) est divisible par la p-partie de l’ordre de G, puisque par exemple, c’est le degré d’un caractère projectif de G (cf. [4])).

Avec ces notations, l’algèbre μ_{R}^{1}(G) s’identifie à z(f_{1}^{G})μ_{R}(G). Une autre façon de voir cette algèbre à équivalence de Morita près est donnée par le lemme suivant

Lemme 2.2. Soit e = ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)} t_{P}^{P}. Alors eμ_{R}(G)e est une sous-algèbre de μ_{R}^{1}(G), et l’inclusion de eμ_{R}(G)e dans μ_{R}^{1}(G) est une équivalence de Morita.

Je dois d’abord vérifier que eμ_{R}(G)e est une sous-algèbre de μ_{R}^{1}(G): il suffit pour cela de vérifier que z(f_{1}^{G})e = e, ce qui sera vrai à fortiori si z(f_{1}^{G})t_{P}^{P} = t_{P}^{P} pour tout p-sous-groupe de G. Or il résulte de la section 9 de [6] que

z(f_{1}^{G})t_{P}^{P} = [Res_{P}^{G}(f_{1}^{G})]t_{P}^{P} = [Res_{P}^{G}(f_{1}^{G})P/P] = [Res_{P}^{G}(f_{1}^{G})]

et le résultat sera acquis si je sais que Res_{P}^{G}f_{1}^{G} = f_{1}^{P}, puisque l’expression de f_{1}^{P} prouve que f_{1}^{P} = P/P si P est un p-groupe. Or celà résulte du

Lemme 2.3. Soit H un sous-groupe de G. Alors Res_{H}^{G}f_{1}^{G} = f_{1}^{H}

Je peux faire le calcul dans b_{Q}(G): les idempotents e_{L}^{G} sont tels que pour tout X de b_{Q}(G)

X = ∑_{{L∈G \atop Lmod.G}} |X^{L}|e_{L}^{G}

Alors

Res_{H}^{G}e_{P}^{G} = ∑_{{L⊆H \atop Lmod.H}} Res_{H}^{G}e_{P}^{G}.e_{L}^{H} = ∑_{{L⊆H \atop Lmod.H}} |(Res_{H}^{G}e_{P}^{G})^{L}|e_{L}^{H}

et comme |(Res_{H}^{G}e_{P}^{G})^{L}| n’est différent de zéro que si L est conjugué de P dans G, auquel cas il vaut 1, je vois que Res_{H}^{G}e_{P}^{G} est la somme des e_{L}^{H}, où L décrit les conjugués de P contenus dans H, modulo conjugaison par H. Alors Res_{H}^{G}f_{1}^{G} est la somme sur les p-sous-groupes L de H, modulo H, des e_{L}^{H}, d’où le lemme 2.3, et la première assertion du lemme 1. La seconde résulte alors du

Lemme 2.4. Soit A un anneau unitaire, et e un idempotent de A. Les assertions suivantes sont équivalentes:

1) L’inclusion de eAe dans A est une équivalence de Morita.

2) L’idéal bilatère de A engendré par e est égal à A (i.e. AeA = A).

L’inclusion de eAe dans A définit un foncteur de restriction r de la catégorie Amod des A-modules à gauche dans eAe-mod, par r(M) = eM. Ce foncteur admet un adjoint à gauche i, défini par i(M) = A ⊗_{eAe} M. Alors ri(M) = eA ⊗_{eAe} M = eAe ⊗_{eAe} M = M et ir(M) s’identifie à AeM. Donc si 1) est vraie, en particulier AeA = A, donc 2) est vraie. Inversement, si 2) est vraie, alors ir(M) = AeM = AeAM = AM = M, donc 1) est vraie.

Pour prouver le lemme 2.2, il reste alors à vérifier que l’élément neutre de μ_{R}^{1}(G), à savoir z(f_{1}^{G}), appartient à l’idéal bilatère de μ_{R}^{1}(G) engendré par e. Il suffit pour cela que t_{P}^{H}r_{P}^{H} soit dans ce même idéal, pour tout sous-groupe H de G et tout p-sous-groupe P de H. Et celà est clair, puisque t_{P}^{H}r_{P}^{H} = t_{P}^{H}er_{P}^{H}. D’où le lemme 1.

Remarque 2.5. Les eμ_{R}(G)e-modules sont en fait des objets bien naturels: ce sont exactement les foncteurs de Mackey “définis uniquement sur les p-sous-groupes ”. Les μ_{R}^{1}(G)-modules sont quant à eux les foncteurs de Mackey projectifs par rapport aux p-sous-groupes([6] Theorem 9.7). L’algèbre μ_{R}^{1}(G) s’identifie à la sous-algèbre de μ_{R}(G) engendrée par les x ∈ G, et les r_{Q}^{H} et t_{Q}^{H}, où Q est un p-sous-groupe de G et H un sous-groupe (quelconque) de G.

D’autre part, le lemme 2.2 a la conséquence suivante:

Corollaire 2.6. Soit S un p-Sylow de G, et M_{∗} un complexe de foncteurs de Mackey dans Mack_{R}(G, 1). Alors M_{∗} est acyclique (resp. acyclique et scindé) si et seulement si il en est de même de sa restriction à S.

En effet, une équivalence de Morita transforme une suite exacte (resp. une suite exacte scindée) en une suite exacte (resp. exacte scindée).

2.2. Une autre algèbre. J’utiliserai aussi ici une autre algèbre, que je note rμ_{R}(G), définie de manière similaire en me restreignant aux p-sous-groupes de G, et en “oubliant” les générateurs t_{H}^{K} et l’axiome de Mackey.

Plus précisément, soit A un R-module libre admettant pour base les triplets (x, Q, P), où x est un élément de G, et P et Q des p-sous-groupes de G tels que Q ⊆ P. Je fais de A une algèbre en définissant la multiplication des éléments de la base par

(x, Q, P)(y, R, S) = δ_{P^{y},R}(xy, Q^{y}, S)

Il est facile de voir que A est une algèbre associative. De plus, soit

e = ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)}(1, P, P)

alors

e.(y, Q, R) = ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)} δ_{P^{y},Q}(y, P^{y}, R) = (y, Q, R)

et

(y, Q, R).e = ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)} δ_{R,P} (y, Q, P) = (y, Q, R)

donc e est élément neutre de A.

Soit alors I le sous-R-module de A engendré par les éléments de la forme u_{x,p,Q,P} = (xp, Q^{p}, P) − (x, Q, P), où p ∈ P. Alors I est un idéal bilatère de A. En effet

(y, R, S)u_{x,p,Q,P} = δ_{S^{xp},Q^{p}}(yxp, R^{xp}, P) − δ_{S^{x},Q}(yx, R^{x}, P)
= δ_{S^{x},Q}((yxp, R^{xp}, P) − (yx, R^{x}, P)) = δ_{S^{x},Q}u_{yx,p,R^{x},P}

De même

u_{x,p,Q,P} (y, R, S) = δ_{P^{y},R}(xpy, Q^{py}, S) − δ_{P^{y},R}(xy, Q^{y}, S)
= δ_{P^{y},R}u_{xy,p^{y},Q^{y},S}

ce qui a un sens puisque si P^{y} = R, alors p^{y} ∈ R ⊆ S.

Je noterai rμ_{R}(G) l’algèbre quotient A/I. Il est facile de trouver une base de rμ_{R}(G):

Lemme 2.7. Les éléments (x, Q, P), pour Q ⊆ P ∈ \underline{s}_{p}(G), et x ∈ G/P, forment une base de rμ_{R}(G).

Ce lemme n’est qu’une reformulation du suivant:

Lemme 2.8. Soit A une R-algèbre admettant une base B sur R. Soit E une relation d’équivalence sur B telle que les éléments x − y, avec xEy, engendrent un idéal bilatère I de A. Alors A/I admet une base sur R, formée des images dans A/I des éléments de B/E.

En effet, il est clair que les images de B/E engendrent A/I. puisque tous les éléments de la classe d’équivalence de x ∈ B sont congrus à x modulo I. Et si ∑_{x∈B/E} r_{x}x ∈ I, avec r_{x} ∈ R, alors il existe des scalaires s_{x,y} ∈ R tels que

∑_{x∈B/E} r_{x}x = ∑_{xEy} s_{x,y}(x − y)

Alors pour tout x

r_{x} = ∑_{xEy} s_{x,y} − ∑_{yEx} s_{y,x}

En sommant cette relation pour x dans la classe d’équivalence de z, je peux supposer que seul r_{z} est non-nul, donc

r_{z} = ∑_{xEz}(∑_{xEy} s_{x,y} − ∑_{yEx} s_{y,x}) = ∑_{x,yEz} s_{x,y} − ∑_{x,yEz} s_{x,y} = 0

puisque la relation E est symétrique et transitive. D’où les lemmes prédédents.

Je peux alors définir une application f de rμ_{R}(G) dans eμ_{R}^{1}(G)e en envoyant (x, Q, P) sur xr_{Q}^{P}. Il est facile de vérifier que l’application f est un morphisme d’algèbres unitaires.

Lemme 2.9. Le morphisme f est injectif.

(Par la suite, j’identifierai rμ_{R}(G) son image dans μ_{R}(G).) Il faut vérifier pour cela que les éléments xr_{Q}^{P}, pour x ∈ G/P et Q ⊆ P, sont indépendants dans μ_{R}(G): or si

∑_{x∈G/P,Q,P} r_{x,Q,P} xr_{Q}^{P} = 0 dans μ_{R}(G)

alors en multipliant cette relation à gauche par t_{R}^{R} et à droite par r_{P}^{P}, pour R et P donnés, il vient

∑_{{x∈G/P,Q \atop ^{x}Q=R}} r_{x,Q,P} t_{R}^{R}xr_{Q}^{P} = 0

ou encore

∑_{{x∈G/P \atop R^{x}⊆P}} r_{x,R^{x},P} t_{R}^{R}xr_{R^{x}}^{P} = 0

Alors en utilisant la base de μ_{R}(G) mentionnée plus haut, il vient, pour toute double classe Rx_{0}P et tout sous-groupe Q_{0} de R^{x_{0}} ∩ P

∑_{{x∈Rx_{0}P/P \atop R^{x}=Q_{0}mod.R^{x_{0}} ∩P}} r_{x,R^{x},P} = 0

ou encore

∑_{{y∈R/(R∩^{x_{0}} P) \atop R^{yx_{0}} =Q_{0}mod.R^{x_{0}} ∩P}} r_{yx_{0},R^{yx_{0}} ,P} = 0

c’est à dire

∑_{{y∈R/(R∩^{x_{0}} P) \atop R^{x_{0}} =Q_{0}mod.R^{x_{0}} ∩P}} r_{yx_{0},R^{x_{0}} ,P} = 0

En particulier en prenant Q_{0} = R^{x_{0}} ∩P, j’en déduis que r_{x_{0},R^{x_{0}} ∩P,P} = 0, et comme cette relation est vraie pour tous x_{0}, R, P, j’ai bien l’indépendance annoncée, et l’injectivité de f.

Il est également naturel de considérer ici l’algèbre tμ_{R}(G) définie de manière similaire à rμ_{R}(G) en “oubliant” les générateurs r_{H}^{K}. Cette algèbre s’identifie à la sous-algèbre de μ_{R}(G) engendrée par les éléments t_{Q}^{P}x. Elle s’identifie aussi à l’algèbre opposée de rμ_{R}(G): l’application qui envoie t_{Q}^{P} sur r_{Q}^{P} et c_{x,Q} sur c_{x^{−1},Q} définit en effet un anti-isomorphisme de tμ_{R}(G) sur rμ_{R}(G). Les résultats que je démontrerai ici pour rμ_{R}(G) auront une version “duale” pour tμ_{R}(G), et l’argument précédent m’évitera d’avoir à faire deux démonstrations.

L’homomorphisme de rμ_{R}(G) dans μ_{R}^{1}(G) permet de définir un foncteur d’oubli de la catégorie des foncteurs de Mackey projectifs par rapport aux p-sous-groupes dans celle des rμ_{R}(G)-modules. Je noterai R ce foncteur: si M est un foncteur de Mackey, alors R(M) est le foncteur M, pour lequel je ne tiens compte que des évaluations aux p-sous-groupes, des restrictions et des conjugaisons par des éléments de G.

Comme toujours dans ces cas-là, le foncteur R admet un adjoint à gauche: soit N un rμ_{R}(G)-module. Je pose N(P) = r_{P}^{P} N. Si H est un sous-groupe de G, alors H opère sur ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}N(P), et je pose

I(N)(H) = H_{0}(H, ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}N(P))

que je noterai aussi (⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}N(P))_{H}.

Si P est un p-sous-groupe de H, et v un élément de ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}N(P), je note π_{H}(v) son image dans I(N)(H).

Si H ⊆ K sont deux sous-groupes de G, et si v ∈ ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}N(P), je pose

t_{H}^{K}(π_{H}(v)) = π_{K}(v)

ce qui a un sens puisque H ⊆ K.

De même, si Q est un p-sous-groupe de K, et v ∈ N(Q), je pose

r_{H}^{K}(π_{K}(v)) = ∑_{x∈H\K/Q} π_{H}(r_{H∩^{x}Q}^{^{x}Q}xv)

Il est facile de voir que l’application r_{H}^{K} est bien définie.

Enfin dans les mêmes conditions, si x ∈ G, le pose

c_{x,K}(π_{K}(v)) = π_{^{x}K}(xv)

Avec ces notations:

Lemme 2.10. L’opération qui à N associe I(N) définit un foncteur de la catégorie des rμ_{R}(G)-modules dans Mack_{R}(G, 1), et ce foncteur est adjoint à gauche du foncteur R.

Je dois vérifier que I(N) est un foncteur de Mackey, qui est de surcroit dans Mack_{R}(G, 1), et qu’il vérifie la propriété d’adjonction. Pour la première propriété, les seuls points non-évidents sont la transitivité des restrictions et l’axiome de Mackey. Soient donc H ⊆ K ⊆ L des sous-groupes de G, et x = π_{L}(n) ∈ I(N)(L), avec P ∈ \underline{s}_{p}(L) et n ∈ N(P).

Alors

r_{K}^{L}(x) = ∑_{l∈K\L/P} π_{K}(r_{K∩^{l}P}^{^{l}P} ln)

Donc

r_{H}^{K}r_{K}^{L}(x) = ∑_{k∈H\K/K∩^{l}P} ∑_{l∈K\L/P} π_{H}(r_{H∩^{k}(K∩^{l}P)}^{^{k}(K∩^{l}P)}kr_{K∩^{l}P}^{^{l}P} ln)

= ∑_{k∈H\K/K∩^{l}P} ∑_{l∈K\L/P} π_{H}(r_{H∩^{kl}P}^{^{kl}P} kln)

Or l’application (k, l) ↦ kl est une bijection de l’ensemble des couples (k, l) tels que l ∈ K\L/P et k ∈ H\K/K ∩ ^{l}P sur l’ensemble H\L/P. Et alors j’ai bien r_{H}^{K}r_{K}^{L}(x) = r_{H}^{L}(x), d’où la transitivité des restrictions.

Pour l’axiome de Mackey, soient H ⊆ K ⊇ L des sous-groupes de G, et x = π_{L}(n) ∈ I(N)(L), avec P ∈ \underline{s}_{p}(L). Alors t_{L}^{K}(x) = π_{K}(n) donc

r_{H}^{K}t_{L}^{K}(x) = ∑_{k∈H\K/P} π_{H}(r_{H∩^{k}P}^{^{k}P} kn)

D’autre part

∑_{y∈H\K/L} t_{H∩^{y}L}^{H}r_{H∩^{y}L}^{^{y}L}yx = ∑_{y∈H\K/L} t_{H∩^{y}L}^{H}r_{H∩^{y}L}^{^{y}L}π_{^{y}L}(yn)

= ∑_{y∈H\K/L} t_{H∩^{y}L}^{H} ∑_{z∈H∩^{y}L\^{y}L/^{y}P} π_{H∩^{y}L}(r_{H∩^{y}L∩^{zy}P}^{^{zy}P} zyn)

= ∑_{y∈H\K/L} ∑_{z∈H∩^{y}L\^{y}L/^{y}P} π_{H}(r_{H∩^{zy}P}^{^{zy}P} zyn)

En remplaçant z par z^{y} dans cette somme, j’ai aussi

r_{H}^{K}t_{L}^{K}(x) = ∑_{y∈H\K/L} ∑_{z∈H^{y}∩L\L/P} π_{H}(r_{H∩^{yz}P}^{^{yz}P} yzn)

et comme ci-dessus, l’application (y, z) ↦ yz induit une bijection de l’ensemble des couples (y, z) tels que y ∈ H\K/L et z ∈ H^{y} ∩ L\L/P sur l’ensemble H\K/P. Alors j’ai bien

r_{H}^{K}t_{L}^{K}(x) = ∑_{y∈H\K/L} t_{H∩^{y}L}^{H}r_{H∩^{y}L}^{^{y}L}yx

et l’axiome de Mackey est vérifié. Donc I(N) est bien un foncteur de Mackey.

Pour vérifier qu’il est dans Mack_{R}(G, 1), je dois vérifier que z(f_{1}^{G}) agit trivialement. Soit donc H un sous-groupe de G, et x = π_{H}(n) ∈ I(H)(N), avec n ∈ N(P). Comme x = t_{P}^{H}(π_{P} (n)), j’ai z(f_{1}^{G})x = [f_{1}^{H}]t_{P}^{H}(π_{P} (n)). Alors si je sais que [f_{1}^{H}]t_{P}^{H} = t_{P}^{H}[Res_{P}^{H}f_{1}^{H}], le résultat sera démontré puisque Res_{P}^{H}f_{1}^{H} = f_{1}^{P} = P/P. Or cela résulte du

Lemme 2.11. Soient K ⊆ H des sous-groupes de G, et X ∈ b(H). Alors

[X]t_{K}^{H} = t_{K}^{H}[Res_{K}^{H}X] dans μ_{R}(G)

En effet si X = H/L, alors [X] = t_{L}^{H}r_{L}^{H} et

[X]t_{K}^{H} = t_{L}^{H}r_{L}^{H}t_{K}^{H} = ∑_{x∈L\H/K} t_{L∩^{x}K}^{H}r_{L∩^{x}K}^{^{x}K}x = ∑_{x∈L\H/K} xt_{L^{x}∩K}^{H}r_{L^{x}∩K}^{K}

= ∑_{x∈L\H/K} t_{L^{x}∩K}^{H}r_{L^{x}∩K}^{K}

puisque x ∈ H, ce qui s’écrit encore

[X]t_{K}^{H} = t_{K}^{H} ∑_{x∈L\H/K} t_{L^{x}∩K}^{K}r_{L^{x}∩K}^{K} = t_{K}^{H}[Res_{K}^{H}H/L]

ce qui prouve le lemme 2.11.

Il me reste à vérifier la propriété d’adjonction: soit donc α un morphisme de I(N) dans un foncteur de Mackey M. Un tel morphisme est caractérisé par la donnée, pour tout sous-groupe H de G, d’un morphisme α_{H} de I(N)(H) dans M(H), tel que

α_{H}t_{K}^{H} = t_{K}^{H}α_{K} , α_{K}r_{K}^{H} = r_{K}^{H}α_{H} , c_{x,H}α_{H} = α_{^{x}H}c_{x,H}

pour tout K ⊆ H et tout x ∈ G.

Alors si P est un p-sous-groupe de G, je définis une application β_{P} de N(P) dans M(P) par β_{P} = α_{P} π_{P} . Si Q est un sous-groupe de P, et si n ∈ N(P), alors

r_{Q}^{P}(π_{P} (n)) = ∑_{x∈Q\P/P} π_{Q}(r_{Q∩^{x}P}^{^{x}P} xn) = π_{Q}(r_{Q}^{P}(n))

donc

r_{Q}^{P}β_{P} (n) = r_{Q}^{P}α_{P} π_{P} (n) = α_{Q}r_{Q}^{P}π_{P} (n) = α_{Q}π_{Q}r_{Q}^{P}(n) = β_{Q}r_{Q}^{P}(n)

De même

c_{x,P} β_{P} (n) = c_{x,P} α_{P} π_{P} (n) = α_{^{x}P} c_{x,P} π_{P} (n) = α_{^{x}P} π_{^{x}P} c_{x,P} (n) = β_{^{x}P} c_{x,P} (n)

et β définit un morphisme de N dans R(M).

Inversement, si β est un tel morphisme, j’ai pour tout p-sous-groupe P de G un morphisme β_{P} de N(P) dans M(P), tel que

r_{Q}^{P}β_{P} = β_{Q}r_{Q}^{P} c_{x,P} β_{P} = β_{^{x}P} c_{x,P}

Alors si H est un sous-groupe de G, je définis une application α_{H} de I(N)(H) dans M(H) en posant α_{H}(π_{H}(n)) = t_{P}^{H}β_{P} (n), si P est un p-sous-groupe de H, et si n ∈ N(P). Si K est un sous-groupe de H, si Q est un sous-groupe de P, et si n ∈ N(Q), alors

α_{H}t_{K}^{H}(π_{K}(n)) = α_{H}(π_{H}(n)) = t_{Q}^{H}β_{Q}(n)

alors que

t_{K}^{H}α_{K}(π_{K}(n)) = t_{K}^{H}t_{Q}^{K}β_{Q}(n)

ce qui prouve que α_{H}t_{K}^{H} = t_{K}^{H}α_{K}.

De même, si n ∈ N(P), alors

α_{K}r_{K}^{H}(π_{H}(n)) = α_{K}( ∑_{x∈K\H/P} π_{K}(r_{K∩^{x}P}^{^{x}P} xn)) = ∑_{x∈K\H/P} t_{K∩^{x}P}^{K} β_{K∩^{x}P} r_{K∩^{x}P}^{^{x}P} xn

= ∑_{x∈K\H/P} t_{K∩^{x}P}^{K} r_{K∩^{x}P}^{^{x}P} β_{^{x}P} xn = ∑_{x∈K\H/P} t_{K∩^{x}P}^{K} r_{K∩^{x}P}^{^{x}P} xβ_{P} n

= r_{K}^{H}t_{P}^{H}β_{P} (n) = r_{K}^{H}α_{H}(π_{H}(n))

ce qui prouve que α_{K}r_{K}^{H} = r_{K}^{H}α_{H}.

Enfin

c_{x,H}α_{H}π_{H}(n) = c_{x,H}t_{P}^{H}β_{P} (n) = t_{^{x}P}^{^{x}H}c_{x,P} β_{P} (n) = …

… = t_{^{x}P}^{^{x}H}β_{^{x}P} c_{x,P} (n) = α_{^{x}H}c_{x,H}(π_{H}(n))

ce qui prouve que c_{x,H}α_{H} = α_{^{x}H}c_{x,H}, donc que α définit un morphisme de I(N) dans M. Il est clair que les correspondances ainsi définies entre Hom_{μ_{R}(G)}(I(N), M) et Hom_{rμ_{R}(G)}(N, R(M)) sont des bijections inverses l’une de l’autre, ce qui prouve la propriété d’adjonction, et termine la démonstration du lemme 2.10.

3. Exemples de rμ_{R}(G)-modules

Soit I le sous-R-module de rμ_{R}(G) engendré par les xr_{Q}^{P}, où x ∈ G, et Q est un sous-groupe propre de P. Alors:

Lemme 3.1. I est un idéal bilatère nilpotent de rμ_{R}(G), et le quotient rμ_{R}(G)/I est isomorphe au produit direct sur les p-sous-groupes P de G modulo conjugaison par G des algèbres Ind_{N_{G}(P)/P}^{G} RN_{G}(P)/P

(pour la notion d’algèbre induite, voir [3])

En effet, si Q est un sous-groupe propre de P, et si A ⊆ B sont des p-sous-groupes de G, et si c ∈ G, alors cr_{A}^{B}xr_{Q}^{P} est nul si B^{x} ≠ Q, et égal à cxr_{A^{x}}^{P} sinon, et alors A^{x} est un sous-groupe propre de P. De même, le produit xr_{Q}^{P}cr_{A}^{B} est nul si P^{c} ≠ A, et égal à xcr_{Q^{c}}^{B} sinon, et alors Q^{c} est un sous-groupe propre de B.

Il est clair de plus que I est nilpotent: en effet, si x_{1}r_{Q_{1}}^{P_{1}}x_{2}r_{Q_{2}}^{P_{2}} … x_{n}r_{Q_{n}}^{P_{n}} ≠ 0, alors P_{1}^{x_{2}} = Q_{2}, P_{2}^{x_{3}} = Q_{3}, etc, et la suite P_{1}^{x_{2}...x_{n}}, P_{2}^{x_{3}...x_{n}}, …, P_{n} est strictement croissante. Sa longueur est donc bornée par la p-valuation de l’ordre de G.

Alors si P est un p-sous-groupe de G, soit e_{P} = ∑_{Q=_{G}P} r_{Q}^{Q}. Les e_{P} sont des idempotents de rμ_{R}(G). De plus e_{P} et e_{R} sont orthogonaux si P et R ne sont pas conjugués dans G. Enfin ∑_{P mod.G} e_{P} = ∑_{P} r_{P}^{P} est l’élément neutre de rμ_{R}(G).

D’autre part, le produit r_{P}^{P} cr_{A}^{B}r_{P}^{P} n’est différent de 0 que si P^{c} = A ⊆ B = P, et l’algèbre r_{P}^{P} rμ_{R}(G)r_{P}^{P} admet donc pour base les éléments xr_{P}^{P}, pour x ∈ N_{G}(P)/P (qui forment un sous-ensemble de la base de rμ_{R}(G) mentionnée dans le lemme 2.7). De plus, l’application x ∈ N_{G}(P)/P ↦ xr_{P}^{P} définit un morphisme d’algèbres α de RN_{G}(P)/P dans r_{P}^{P} rμ_{R}(G)r_{P}^{P}, qui est donc un isomorphisme. Il est alors clair que l’application de Ind_{N_{G}(P)/P}^{G} RN_{G}(P)/P dans e_{P} rμ_{R}(G)e_{P} qui à g ⊗ u ⊗ h associe gα(u)h est un isomorphisme, ce qui prouve le lemme.

Or si H est un sous-groupe de G, et A une H algèbre intérieure, l’inclusion de A dans Ind_{H}^{G}A est une équivalence de Morita: ceci résulte par exemple du lemme 2.4. Cette remarque, associée au lemme 3.1, permet de classifier les rμ_{R}(G)-modules simples.

En effet, soit P un p-sous-groupe de G et V un RN_{G}(P)/P -module. Je définis un rμ_{R}(G)-module N_{P,V} en posant N_{P,V} = Ind_{N_{G}(P)/P}^{G} V. L’élément cr_{A}^{B} agit par 0 sur N_{P,V} si A est un sous-groupe propre de B, ou si B n’est pas conjugué de P. Et si A = B = P^{x}, alors cr_{A}^{B}.(y⊗v) = 0 si xy ∉ N_{G}(P), et cr_{A}^{B}.(y⊗v) = cx^{−1} ⊗xyv sinon (en notant que cet élément ne dépend pas du choix de l’élément x tel que B = P^{x}).

J’ai ainsi bien défini un rμ_{R}(G)-module: je dois essentiellement vérifier que Q agit trivialement sur N_{P,V} (Q) et que

cr_{P^{x}}^{P^{x}}(dr_{P^{y}}^{P^{y}}.(z ⊗ v)) = (cr_{P^{x}}^{P^{x}}dr_{P^{y}}^{P^{y}}).(z ⊗ v)

Le premier membre vaut 0 si yz ∉ N_{G}(P), et cr_{P^{x}}^{P^{x}}.(dy^{−1} ⊗ yzv) sinon. Ce dernier est nul si xdy^{−1} ∉ N_{G}(P), et vaut cx^{−1} ⊗ xdzv = cx^{−1} ⊗ xdy^{−1}yzv = cdy^{−1} ⊗ yzv sinon. Or le second membre est nul si P^{xd} ≠ P^{y}, i.e. si xdy^{−1} ∉ N_{G}(P), et vaut cdr_{P^{y}}^{P^{y}}.(z ⊗ v) sinon. Ce dernier est nul si yz ∉ N_{G}(P), et vaut cdy^{−1} ⊗ yzv sinon. Les deux membres sont donc égaux.

La définition de N_{P,V} entraîne que N_{P,V} (Q) = r_{Q}^{Q}N_{P,V} est nul si Q n’est pas conjugué de P dans G. Et si Q = P^{x}, alors N_{P,V} (Q) s’identifie à x^{−1} ⊗ V. Alors si q ∈ Q, et si x^{−1} ⊗ v ∈ N_{P,V} (Q), j’ai q.(x^{−1} ⊗ v) = qx^{−1} ⊗ v = x^{−1}.^{x}q ⊗ v = x^{−1} ⊗^{x} qv = x^{−1} ⊗ v puisque ^{x}Q = P et puisque P agit trivialement sur V. Donc N_{P,V} est bien un rμ_{R}(G)-module.

Les remarques précédentes jointes au lemme 3.1 donnent la

Proposition 3.2. Les modules N_{P,V}, lorsque P décrit les p-sous-groupes de G à conjugaison près, et V les RN_{G}(P)/P modules simples, forment un système de représentants des classes d’isomorphisme de rμ_{R}(G)-modules simples.

Pour décrire les rμ_{R}(G)-modules projectifs indécomposables, j’ai besoin d’une notation: si A et B sont des sous-groupes de G, je note T_{G}(A, B) l’ensemble des x ∈ G tels que A^{x} ⊆ B. Soient alors P un p-sous-groupe de G, et V un RN_{G}(P)/P -module. Si Q est un p-sous-groupe de G, je définis un sous-R-module de Ind_{N_{G}(P)/P}^{G} V, noté L_{P,V} (Q), par

L_{P,V} (Q) = ⊕_{x∈T_{G}(Q,P)/N_{G}(P)}x ⊗ V

et je poserai L_{P,V} = ⊕_{Q}L_{P,V} (Q).

Si Q ⊇ R, alors l’inclusion de T_{G}(Q, P)/N_{G}(P) dans T_{G}(R, P)/N_{G}(P) induit un morphisme r_{R}^{Q} de L_{P,V} (Q) dans L_{P,V} (R). Et si x ∈ G, alors la bijection naturelle yN_{G}(P) ↦ xyN_{G}(P) de T_{G}(Q, P)/N_{G}(P) dans T_{G}(^{x}Q, P)/N_{G}(P) induit un morphisme, que je note encore x, de L_{P,V} (Q) dans L_{P,V} (^{x}Q). Alors

Proposition 3.3. Ces définitions font de L_{P,V} un rμ_{R}(G)-module, et le foncteur de RN_{G}(P)/P -Mod dans rμ_{R}(G)-Mod qui à V associe L_{P,V} est adjoint à gauche du foncteur de restriction déduit de l’inclusion u ↦ ur_{P}^{P} de RN_{G}(P)/P dans rμ_{R}(G).

L’action de cr_{A}^{B} sur l’élément x ⊗ v de L_{P,V} (Q) est définie par
cr_{A}^{B}.x ⊗ v = δ_{B,Q}cx ⊗ v

où, lorsque B = Q, l’élément cx ⊗ v est vu dans L_{P,V} (^{c}A). En particulier, si q ∈ Q, alors q.(x ⊗ v) = qx ⊗ v = xq^{x} ⊗ v = x ⊗ q^{x}v = x ⊗ v, car Q^{x} ⊆ P. Donc Q agit trivialement sur L_{P,V} (Q).

De même,

dr_{E}^{F}.(cr_{A}^{B}.x ⊗ v) = δ_{F,^{c}A}δ_{B,Q}dcx ⊗ v

avec dcx ⊗ v ∈ L_{P,V} (^{d}E) si B = Q et F = ^{c}A.

Comme dr_{E}^{F}.cr_{A}^{B} = δ_{F^{c},A}dcr_{E^{c}}^{B}, j’ai

(dr_{E}^{F}.cr_{A}^{B}).x ⊗ v = δ_{F^{c},A}δ_{B}^{Q}dcx ⊗ v

avec dcx ⊗ v ∈ L_{P,V} (^{dc}(E^{c})) si F^{c} = A et B = Q. Donc L_{P,V} est bien un rμ_{R}(G)- module.

Il est clair que la construction qui à V associe L_{P,V} est fonctorielle en V. Si M est un rμ_{R}(G)-module, un morphisme α de L_{P,V} dans M est caractérisé par la donnée, pour tout p-sous-groupe Q de G, d’un morphisme α_{Q} de L_{P,V} (Q) dans M(Q), tel que

α_{R}r_{R}^{Q} = r_{R}^{Q}α_{Q} xα_{Q} = α_{^{x}Q}x

Comme L_{P,V} (P) s’identifie à V comme RN_{G}(P)/P -module, j’en déduis un morphisme β = α_{P} de V dans M(P). Et comme l’élément x ⊗ v de L_{P,V} (Q) est égal à r_{Q}^{^{x}P} (x ⊗ v), j’ai

α_{Q}(x ⊗ v) = r_{Q}^{^{x}P} α_{^{x}P} (x ⊗ v) = r_{Q}^{^{x}P} xα_{P} (1 ⊗ v) = xr_{Q^{x}}^{P}β(v)

et β détermine entièrement α.

Inversement, si β est un morphisme de V dans M(P), si Q est un p-sous-groupe de G, et si x⊗v ∈ L_{P,V} (Q), je pose α_{Q}(x⊗v) = xr_{Q^{x}}^{P}β(v), ce qui a un sens puisque Q^{x} ⊆ P.

Alors r_{R}^{Q}α_{Q}(x ⊗ v) = r_{R}^{Q}xr_{Q^{x}}^{P}β(v) = r_{R^{x}}^{P}β(v) = α_{R}r_{R}^{Q}(x ⊗ v), donc α_{R}r_{R}^{Q} = r_{R}^{Q}α_{Q}.

D’autre part, yα_{Q}(x⊗v) = yxr_{Q^{x}}^{P}β(v), alors que α_{^{y}Q}(y.(x⊗v)) = α_{^{y}Q}(yx⊗v) = yxr_{(^{y}Q)^{yx}}^{P}β(v), ce qui prouve que α est un morphisme de rμ_{R}(G)-modules. Enfin il est clair que les correspondances ainsi définies entre Hom_{rμ_{R}(G)}(L_{P,V} , M) et Hom_{RN_{G}(P)/P} (V, M(P)) sont des bijections inverses l’une de l’autre. D’où la proposition.

Corollaire 3.4. Si E_{V} est une enveloppe projective du RN_{G}(P)/P - module simple V, alors L_{P,E_{V}} est une enveloppe projective du rμ_{R}(G)-module simple N_{P,V}.

Cela résulte en effet des égalités

Hom_{rμ_{R}(G)}(L_{P,E_{V}} , M) = Hom_{RN_{G}(P)/P} (E_{V} , M(P))

et N_{P,V} (P) = V: si f est un morphisme essentiel de E_{V} dans V, alors f définit un morphisme L(f) de L_{P,E_{V}} dans N_{P,V}, qui est lui aussi essentiel: si L_{1} est un sous-module de L_{P,E_{V}} qui s’envoie par f sur N_{P,V}, alors L_{1}(P) s’envoie par f sur V, donc L_{1}(P) = E_{V}. Et comme L_{1}(Q) est la somme pour x ∈ T_{G}(Q, P) des xr_{Q^{x}}^{P}(L_{1}(P)), il en résulte que L_{1}(Q) = L_{P,V} (Q) pour tout Q, donc que L_{1} = L_{P,V}.

Remarque 3.5. Le module L_{P,E_{V}} (1) s’identifie à X = Ind_{N_{G}(P)/P}^{G} E_{V} comme RG-module. Dans le cas où R est un corps de caractéristique p, il est facile de vérifier que le module L_{P,E_{V}} (Q) s’identifie au module

X[Q] = X^{Q}/( ∑_{R⊂Q} T r_{R}^{Q}(X^{R}))

Les rμ_{R}(G)-modules indécomposables sont alors en bijection avec les modules de p-permutation de la forme Ind_{N_{G}(P)/P}^{G} E_{V}, où P est un p-sous-groupe de G et E_{V} un RN_{G}(P)/P -module projectif indécomposable.

Le foncteur de restriction déduit de l’inclusion u ↦ ur_{P}^{P} de RN_{G}(P)/P dans rμ_{R}(G) admet également un adjoint à droite: si V est un RN_{G}(P)/P module, et Q un p-sous-groupe de G, alors Q agit à droite sur N_{G}(P)\T_{G}(P, Q), donc à gauche sur ⊕_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,Q)}x^{−1} ⊗ V, et je pose

L_{P,V}^{o} (Q) = (⊕_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,Q)}x^{−1} ⊗ V)^{Q}

Alors si Q ⊆ R, l’inclusion de N_{G}(P)\T_{G}(P, Q) dans N_{G}(P)\T_{G}(P, R) permet de définir un morphisme r_{Q}^{R} de L_{P,V}^{o} (R) dans L_{P,V}^{o} (Q), par r_{Q}^{R}(⊕_{x}x^{−1} ⊗ v_{x}) = ⊕_{P^{x}⊆Q}x^{−1} ⊗ v_{x}. De même, la bijection naturelle y ↦ yx^{−1} de N_{G}(P)\T_{G}(P, Q) dans N_{G}(P)\T_{G}(P,^{x} Q) permet de définir un morphisme noté x de L_{P,V}^{o} (Q) dans L_{P,V}^{o} (^{x}Q), en posant x. ⊕_{y} (y^{−1} ⊗ v_{y}) = ⊕_{y}(yx^{−1})^{−1} ⊗ v_{y} = ⊕_{y}xy^{−1} ⊗ v_{y}.

Il est alors clair que Q agit trivialement sur L_{P,V}^{o} (Q). De plus

dr_{E}^{F}(cr_{A}^{B}.(⊕_{x}x^{−1} ⊗ v_{x})) = δ_{B,Q}dr_{E}^{F}(⊕_{P^{x}⊆A}cx^{−1} ⊗ v_{x})
= δ_{B,Q}δ_{F,^{c}A} ⊕_{P^{x}⊆A,P^{xc^{−1}} ⊆E} dcx^{−1} ⊗ v_{x}

Or si F = ^{c}A, alors P^{xc^{−1}} ⊆ E entraîne que P^{x} ⊆ E^{c} ⊆ F^{c} = A, donc

dr_{E}^{F}(cr_{A}^{B}.(⊕_{x}x^{−1} ⊗ v_{x})) = δ_{B,Q}δ_{F,^{c}A} ⊕_{P^{xc^{−1}} ⊆E} dcx^{−1} ⊗ v_{x}

Comme d’autre part, dr_{E}^{F}cr_{A}^{B} = δ_{F^{c},A}dcr_{E^{c}}^{B}, j’ai aussi

(dr_{E}^{F}cr_{A}^{B}) ⊕_{x} x^{−1} ⊗ v_{x} = δ_{B,Q}δ_{F^{c},A} ⊕_{P^{x}⊆E^{c}} dcx^{−1} ⊗ v_{x}

et j’ai bien fait de L_{P,V}^{o} = ⊕_{Q}L_{P,V}^{o} (Q) un rμ_{R}(G)-module.

Cette construction est clairement fonctorielle en V. Et si α est un morphisme d’un rμ_{R}(G)-module M dans L_{P,V}^{o}, alors comme L_{P,V}^{o} (P) = 1 ⊗ V, j’en déduis un morphisme β de M(P) dans V, tel que α_{P} = 1 ⊗ β. Si Q est un p-sous-groupe de G, si m ∈ M(Q), et si α_{Q}(m) = ⊕_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,Q)}x^{−1} ⊗ v_{x}, soit x ∈ N_{G}(P)\T_{G}(P, Q). Comme r_{P^{x}}^{Q}α_{Q}(m) = x^{−1} ⊗ v_{x}, je dois donc avoir x^{−1} ⊗ v_{x} = r_{P^{x}}^{Q}α_{Q}(m) = α_{P^{x}}r_{P^{x}}^{Q}(m) = x^{−1}α_{P} xr_{P^{x}}^{Q}(m), j’ai donc v_{x} = β(xr_{P^{x}}^{Q}(m)), et β détermine entièrement α.

Inversement, si β est donné, je définis α_{Q} de M(Q) dans L_{P,V}^{o} (Q) en posant

α_{Q}(m) = ⊕_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,Q)}x^{−1} ⊗ β(xr_{P^{x}}^{Q}(m))

Il est facile de voir que α est un morphisme de M dans L_{P,V}^{o}. Les deux constructions ci-dessus sont clairement inverses l’une de l’autre. Donc

Proposition 3.6. Le foncteur qui à V associe L_{P,V}^{o} est adjoint à droite du foncteur de restriction de rμ_{R}(G)-Mod dans RN_{G}(P)/P -Mod.

ce qui permet bien sûr de trouver les rμ_{R}(G)-modules injectifs.

4. Résolutions

4.1. Projectivité relative à un foncteur. La définition suivante généralise la notion de projectivité relative, lorsque R est un foncteur de restriction à un sous-groupe.

Définition 4.1. Soient C et D des catégories, et R un foncteur de C dans D. Je dirai qu’un objet M de C est projectif par rapport à R (ou projectif relativement à R, ou R-projectif) si pour tout diagramme

\begin{aligned}& & M \\ & & ↓ β \\ & α \\ X & → & Y \end{aligned}

tel que le morphisme R(α) soit un épimorphisme scindé, il existe un morphisme ϕ de M dans X tel que αϕ = β.

Le lemme suivant résulte immédiatement des définitions:

Lemme 4.2. a) Si M est projectif par rapport à R, et si f : M → N est un épimorphisme scindé, alors N est projectif par rapport à R.

b) Si M_{1} et M_{2} sont projectifs par rapport à R, et si N est un coproduit de M_{1} et M_{2}, alors N est projectif par rapport à R

Le lemme suivant est une formalisation de résultats connus dans les cas classiques de projectivité relative, dans le cas où R a un adjoint à gauche:

Lemme 4.3. Soient C et D des catégories, et R un foncteur de C dans D, ayant un adjoint à gauche I. Soit M un objet de C. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. L’objet M est projectif par rapport à R.

2. Le morphisme naturel IR(M) → M déduit par adjonction de l’identité de R(M) est un épimorphisme scindé.

3. Il existe un objet Y de D et un épimorphisme scindé I(Y) → M.

Si X est un objet de C, si Y est un objet de D, et α (resp. β) un morphisme de Y dans R(X) (resp. un morphisme de I(Y) dans X), je note α^{∗} (resp. β_{∗}) le morphisme de I(Y) dans X (resp. de Y dans R(X)) qui lui correspond par adjonction. Alors (α^{∗})_{∗} = α et (β_{∗})^{∗} = β.

Puisque l’isomorphisme entre Hom_{C}(I(−), −) et Hom_{D}(−, R(−)) est un isomorphisme de bifoncteurs, si f ∈ Hom_{D}(Y_{1}, Y_{2}), et si α ∈ Hom_{D}(Y_{2}, R(X)), j’ai (αf)^{∗} = α^{∗}I(f). De même, si g ∈ Hom_{C}(X_{1}, X_{2}), et si β ∈ Hom_{C}(I(Y), X_{1}), alors (gβ)_{∗} = R(g)β_{∗}.

Alors si 1) est vrai, la considération du diagramme

M
↓ Id_{M}
(Id_{R(M)})^{∗}
IR(M)  →  M

montre que 2) est vraie, si je sais que le morphisme u = R((Id_{R(M)})^{∗}) est un épimorphisme scindé. Mais si je pose v = (Id_{IR(M)})_{∗}, j’ai

uv = ((Id_{R(M)})^{∗}Id_{R(M)})_{∗} = ((Id_{R(M)})^{∗})_{∗} = Id_{R(M)}

Il est clair que 2) implique 3). Inversement, si u : I(Y) → M est un épimorphisme scindé, alors il existe v : M → I(Y) tel que uv = Id_{M}. D’autre part, le morphisme I(u_{∗}) est un morphisme de I(Y) dans IR(M) et

(Id_{R(M)})^{∗}I(u_{∗}) = (Id_{R(M)}u_{∗})^{∗} = u

donc

(Id_{R(M)})^{∗}I(u_{∗})v = uv = Id_{M}

ce qui prouve 2). Enfin si 2) est vraie, soit τ : M → IR(M) tel que (Id_{R(M)})^{∗}τ = Id_{M}. Si j’ai un diagramme

\begin{aligned}& & M \\ & & ↓ β \\ & α \\ X & → & Y \end{aligned}

tel que R(α) soit un épimorphisme scindé, alors il existe un morphisme

γ : R(Y) → R(X)

tel que R(α)γ = Id_{R(Y)}. En posant alors

ϕ = (Id_{R(X)})^{∗}I(γ)IR(β)τ

il vient

αϕ = α(Id_{R(X)})^{∗}I(γR(β))τ
= (R(α)Id_{R(X)})^{∗}I(γR(β))τ
= (R(α)γR(β))^{∗}τ = (R(β))^{∗}τ
= (R(β)Id_{R(M)})^{∗}τ = β(Id_{R(M)})^{∗}τ = β

ce qui prouve 1), et l’équivalence des conditions annoncées.

Lemme 4.4. Soient C et D des catégories, et R un foncteur de C dans D, ayant un adjoint à gauche I. Alors R est fidèle si et seulement si pour tout objet M de C, le morphisme naturel de IR(M) dans M est un épimorphisme.

En effet, le morphisme de IR(M) dans M est un épimorphisme si et seulement si pour tout objet X, le morphisme

Hom(M, X) → Hom(IR(M), X)

est injectif, i.e. par adjonction si et seulement si le morphisme

Hom(M, X) → Hom(R(M), R(X))

est injectif.

Remarque 4.5. Il en résulte que si R est fidèle, alors tout objet projectif est projectif par rapport à R.

Je suppose à présent que C et D sont des catégories abéliennes, que R est fidèle et admet un adjoint à gauche I. Je note K(M) le noyau de l’épimorphisme de IR(M) dans M.

Alors K(M) est le quotient de IRK(M) par K(K(M)) = K^{2}(M), qui est lui-même le quotient de IRK^{2}(M) par K(K^{2}(M)) = K^{3}(M), et je peux ainsi construire une résolution de M par des objets de C de la forme I(L), qui sont projectifs par rapport à R. En fait:

Lemme 4.6. Soient C et D des catégories abéliennes, et R un foncteur fidèle de C dans D admettant un adjoint à gauche I. Alors pour tout objet M de C, il existe une résolution

… → L_{i} → L_{i−1} → … → L_{0} → M → 0

où les L_{i} sont projectifs par rapport à R, telle que le complexe

… → R(L_{i}) → R(L_{i−1}) → … → R(L_{0}) → R(M) → 0

soit exact et scindé, et une telle résolution de M est unique à homotopie près.

L’existence d’une telle résolution résulte de l’argument précédent, et du fait que le morphisme RIR(M) → R(M) est un épimorphisme scindé (voir la démonstration du lemme 4.3).

Un argument classique d’homologie prouve alors que si M et N sont deux objets de C, si X_{∗} est une résolution de M par des objets R-projectifs, et Y_{∗} une résolution de N telle que le complexe R(Y_{∗}) → R(N) soit scindé, tout homomorphisme de M dans N se relève en un homomorphisme de X_{∗} dans Y_{∗}, et un tel relèvement est unique à homotopie près. L’unicité de la résolution cherchée en résulte.

Remarque 4.7. Si M est projectif, une résolution de M ayant les propriétés du lemme 4.6 est scindée, car M est projectif par rapport à R.

4.2. Résolutions de foncteurs de Mackey. Les foncteurs R et I définis plus haut entre les catégories rμ_{R}(G)-Mod et Mack_{R}(G, 1) ont les propriétés du lemme 4.6 (le foncteur R est fidèle car c’est le composé d’un foncteur d’oubli et d’une équivalence de catégories).

Ainsi, tout foncteur de Mackey dans Mack_{R}(G, 1) admet une résolution par des foncteurs R-projectifs, dont la transformée par R est scindée. Cela signifie cette résolution peut être scindée par des homomorphismes commutant aux conjugaisons par G, et aux restrictions (mais ne commutant pas, en général aux traces). De plus une telle résolution est unique à homotopie près. Ce qui est particulier ici est que cette résolution peut être choisie finie.

En effet, soit M un foncteur de Mackey. Alors K(M)(H) est l’image dans (⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}M(P))_{H} de l’ensemble des suites n_{P} telles que ∑_{P} t_{P}^{H}n_{P} = 0. En particulier, si H est un p-sous-groupe Q de G, cette condition équivaut à n_{Q} = − ∑_{P ⊂Q} t_{P}^{Q}n_{P}. J’en déduis que RK(M)(Q) s’identifie à

R(M)_{1}(Q) = (⊕_{P ⊂Q}M(P))_{Q}

Plus généralement, soit M un rμ_{R}(G)-module: je poserai M_{0} = M, et si i est un entier positif, je pose

M_{i}(Q) = (⊕_{P_{0}⊂P_{1}...⊂P_{i−1}⊂Q}M(P_{0}))_{Q}

Si n ∈ M(P_{0}), je note n_{P_{0},P_{1},... ,P_{i−1},Q} l’élément correspondant de (⊕_{P_{0}⊂P_{1}...⊂P_{i−1}⊂Q}M(P_{0})), et π_{Q}(n_{P_{0},P_{1},... ,P_{i−1},Q}) son image dans M_{i}(Q). Si x ∈ G, je pose

xπ_{Q}(n_{P_{0},... ,P_{i−1},Q}) = π_{^{x}Q}((xn)_{^{x}P_{0},... ,^{x}P_{i−1},^{x}Q})

et si S est un sous-groupe de Q, je pose

r_{S}^{Q}π_{Q}(n_{P_{0},... ,P_{i−1},Q}) = ∑_{{x∈S\Q/P_{0} \atop S∩^{x}P_{0}≠S∩^{x}P_{1}...≠S∩^{x}P_{i−1}≠S}} π_{S}((xr_{S^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{S∩^{x}P_{0},... ,S∩^{x}P_{i−1},S})

Lemme 4.8. Les définitions précédentes font de M_{i} un rμ_{R}(G) module.

Le seul point non-trivial est la transitivité des restrictions. Soient donc T ⊆ R ⊆ Q des p-sous-groupes de G, et s = (P_{0}, …, P_{i−1}, Q) une suite croissante de sous-groupes de Q. Je dirai que s est une suite propre si elle est strictement croissante. Si A est un sous-groupe de G, je noterai A∩s la suite (A∩P_{0}, …, A∩P_{i−1}, A∩Q).

Alors si n ∈ M(P_{0}), j’ai

r_{S}^{Q}(π_{Q}(n_{s})) = ∑_{{x∈S\Q/P_{0} \atop S∩^{x}s propre}} π_{S}((xr_{S^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{S∩^{x}s})

Donc

r_{T}^{S}r_{S}^{Q}(π_{Q}(n_{s})) = ∑_{{x∈S\Q/P_{0} \atop S∩^{x}s propre}} ∑_{{y∈R\S/S∩^{x}P_{0} \atop R∩^{y}(S∩^{x}s) propre}} π_{R}((yr_{R^{y}∩S∩^{x}P_{0}}^{S∩^{x}P_{0}}xr_{S^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{R∩^{y}(S∩^{x}s)})

ou encore

r_{T}^{S}r_{S}^{Q}(π_{Q}(n_{s})) = ∑_{{x∈S\Q/P_{0} \atop S∩^{x}s propre}} ∑_{{y∈R\S/S∩^{x}P_{0} \atop R∩^{yx}s propre}} π_{R}((yxr_{R^{yx}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{R∩^{yx}s})

Alors l’élément z = yx décrit exactement l’ensemble des doubles classes R\Q/P_{0} telles que R ∩^{z}s soit propre. Donc

r_{T}^{S}r_{S}^{Q}(π_{Q}(n_{s})) = ∑_{{z∈R\Q/P_{0} \atop R∩^{z}s propre}} π_{R}((zr_{R^{z}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{R∩^{z}s}) = r_{T}^{Q}(π_{Q}(n_{s}))

ce qui prouve le lemme.

La construction précédente associe à tout rμ_{R}(G)-module M des rμ_{R}(G)- modules M_{i}, et de plus M_{i} = 0 si i est supérieur ou égal à la p-valuation de l’ordre de G. Si M est un foncteur de Mackey dans Mack_{R}(G, 1), et i un entier naturel, je noterai δ_{i}(M) le foncteur I(R(M)_{i}): la résolution de M cherchée sera alors formée des foncteurs δ_{i}(M). Ces derniers s’expriment d’ailleurs assez simplement

Lemme 4.9. Soit M dans Mack_{R}(G, 1), et H un sous-groupe de G. Alors

δ_{i}(M)(H) = (⊕_{P_{0}⊂...⊂P_{i}∈\underline{s}_{p}(H)}M(P_{0}))_{H}

Si s est la suite (P_{0}, …, P_{i}) de p-sous-groupes de H, et si n ∈ M(P_{0}), je note n_{s} l’élément correspondant de (⊕_{P_{0}⊂...⊂P_{i}∈\underline{s}_{p}(H)}M(P_{0})) si la suite s est strictement croissante, et je pose n_{s} = 0 sinon. Je note π_{H}(n_{s}) l’image de n_{s} dans (⊕_{P_{0}⊂...⊂P_{i}∈\underline{s}_{p}(H)}M(P))_{H}. Je peux alors définir une application f de δ_{i}(M)(H) dans (⊕_{P_{0}⊂...⊂P_{i}∈\underline{s}_{p}(H)}M(P))_{H} en posant

f(π_{H}π_{Q}(n_{s})) = π_{H}(n_{s∪Q})

ce qui a un sens puisque si h ∈ H et q ∈ Q, alors

f(π_{H}(hπ_{Q}(q.n_{s}))) = f(π_{H}π_{^{h}Q}((hqn)_{^{hq}s})) = π_{H}((hqn)_{^{hq}s∪^{h}Q}))
= π_{H}(h.(qn)_{^{q}s∪Q}) = π_{H}(q.n_{s∪Q}) = π_{H}(n_{s∪Q})

Inversement, je définis une application g

g : (⊕_{P_{0}⊂...⊂P_{i}∈\underline{s}_{p}(H)}M(P))_{H} → δ_{i}(M)(H)

en posant

g(π_{H}(n_{s})) = π_{H}π_{sups}(n_{s−sups})

ce qui a un sens car si h ∈ H, alors

g(π_{H}(h.n_{s})) = g(π_{H}((hn)_{^{h}s})) = π_{H}π_{^{h}sups}((hn)_{^{h}s−^{h}sups}))
= π_{H}(h.π_{sups}(n_{s−sups})) = π_{H}π_{sups}(n_{s−sups})

Il est alors clair que f et g sont des isomorphismes inverses l’un de l’autre, ce qui prouve le lemme.

Si K est un sous-groupe de H, si s = (P_{0}, …, P_{i}) est une suite de p-sous-groupes de K, et si n ∈ M(P_{0}), il résulte des définitions que

t_{K}^{H}(π_{K}(n_{s})) = π_{H}(n_{s})

De même, si s = (P_{0}, …, P_{i}) est une suite de p-sous-groupes de H, et si n ∈ M(P_{0}), alors

r_{K}^{H}(π_{H}(n_{s})) = ∑_{{x∈K\H/P_{0} \atop K∩^{x}s propre}} π_{K}((xr_{K^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{K∩^{x}s})

Et je peux donc identifier δ_{0}(M) avec IR(M). Je noterai d_{0} le morphisme canonique de δ_{0}(M) dans M. Si i > 0, je définis une application d_{i} de δ_{i}(M) dans δ_{i−1}(M) en posant

d_{i,H}(π_{H}(n_{s})) = π_{H}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}n_{s_{j}})

où s_{j} désigne la suite s − {P_{j}}. Alors

Théorème 4.10. Soit M dans Mack_{R}(G, 1). La suite

0 → … →^{d_{i+1}} δ_{i}(M) →^{d_{i}} … →^{d_{1}} δ_{0}(M) →^{d_{0}} M → 0

est un complexe exact de foncteurs de Mackey dans Mack_{R}(G, 1), et le complexe

0 → … →^{R(d_{i+1})} R(δ_{i}(M)) →^{R(d_{i})} … →^{R(d_{1})} R(δ_{0}(M)) →^{R(d_{0})} R(M) → 0

est exact et scindé.

Je dois d’abord vérifier que les applications d_{i} sont bien des morphismes de foncteurs de Mackey. C’est clair en ce qui concerne d_{0}. Si i > 0, si H ⊆ K sont des sous-groupes de G, si s = (P_{0}, …, P_{i}) est une suite croissante de p-sous-groupes de H, et si n ∈ M(P_{0}), alors

d_{i,K}(t_{H}^{K}π_{H}(n_{s})) = d_{i,K}(π_{K}(n_{s})) = π_{K}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}n_{s_{j}})

alors que

t_{H}^{K}d_{i,H}(π_{H}(N_{s})) = t_{H}^{K}(π_{H}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}n_{s_{j}}) = π_{K}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}n_{s_{j}})

et les applications d_{i} commutent aux traces.

De même, si s = (P_{0}, …, P_{i}) est une suite croissante de p-sous-groupes de K, et si n ∈ M(P_{0}), alors

d_{i,H}(r_{H}^{K}π_{K}(n_{s})) = d_{i,H}( ∑_{x∈H\K/P_{0}} π_{H}((xr_{H^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{H∩^{x}s}))

= ∑_{x∈H\K/P_{0}} π_{H}((t_{H∩^{x}P_{0}}^{H∩^{x}P_{1}}xr_{H^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{(H∩^{x}s)_{0}} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}(xr_{H^{x}∩P_{0}}^{P_{0}})_{(H∩^{x}s)_{j}}) (1)

D’autre part

r_{H}^{K}d_{i,K}(π_{K}(n_{s})) = r_{H}^{K}π_{K}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}n_{s_{j}})

Or si j > 0, alors le plus petit élément de s_{j} est P_{0}, et

r_{H}^{K}(π_{K}(n_{s_{j}})) = ∑_{x∈H\K/P_{0}} π_{H}((xr_{H^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{H∩^{x}s_{j}})

Et ces termes sont égaux aux termes correspondants de l’égalité (1), puisque pour tout m de M(P_{0}), j’ai m_{(H∩^{x}s)_{j}} = m_{H∩^{x}s_{j}}. De même

r_{H}^{K}π_{K}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}}) = ∑_{y∈H\K/P_{1}} π_{H}(yr_{H^{y}∩P_{1}}^{P_{1}}(t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{H∩^{y}s_{0}})

= π_{H} ∑_{y∈H\K/P_{1}}(y ∑_{z∈H^{y}∩P_{1}\P_{1}/P_{0}} t_{H^{y}∩^{z}P_{0}}^{H^{y}∩P_{1}}r_{H^{y}∩^{z}P_{0}}^{^{z}P_{0}}zn)_{H∩^{y}s_{0}})

= ∑_{y∈H\K/P_{1}} ∑_{z∈H^{y}∩P_{1}\P_{1}/P_{0}} π_{H}(t_{H∩^{yz}P_{0}}^{H∩^{y}P_{1}}r_{H∩^{yz}P_{0}}^{^{yz}P_{0}}yzn)_{H∩^{y}s_{0}})

et comme z ∈ P_{1} = inf s_{0}, j’ai ^{y}P_{1} = ^{yz}P_{1} et H ∩^{y}s_{0} = H ∩^{yz}P_{0}, et je peux sommer sur x = yz, qui décrit l’ensemble H\K/P_{0}. Il vient

r_{H}^{K}π_{K}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}}) = ∑_{x∈H\K/P_{0}} π_{H}(t_{H∩^{x}P_{0}}^{H∩^{x}P_{1}}r_{H∩^{x}P_{0}}^{^{x}P_{0}}xn)_{H∩^{x}s_{0}})

= ∑_{x∈H\K/P_{0}} π_{H}(t_{H∩^{x}P_{0}}^{H∩^{x}P_{1}}xr_{H^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{H∩^{x}s_{0}})

qui est bien le terme correspondant de l’égalité (1), puisque (H ∩^{x}s)_{0} = H ∩^{x}s_{0}, ce qui prouve que les applications d_{i} commutent aux restrictions.

Enfin il est clair que les d_{i} commutent aux conjugaisons par les éléments de G, donc ce sont bien des morphismes de foncteurs de Mackey.

Un calcul classique montre que d_{i}d_{i+1} = 0 pour tout i, et la suite de l’énoncé du théorème 4.10 est bien un complexe de foncteurs de Mackey (dans Mack_{R}(G, 1) par définition des foncteurs δ_{i}(M)).

Pour vérifier que ce complexe est exact, il suffit de démontrer que son image par R est acyclique, puisque le foncteur R est un foncteur d’oubli. Or je dois montrer que ce dernier est acyclique et scindé. Soit donc Q est un p-sous-groupe de G. Si s = (P_{0}, …, P_{i}) est une suite de sous-groupes de Q, et si n ∈ M(P_{0}), je pose α_{i,Q}(π_{Q}(n_{s})) = π_{Q}(n_{s∪Q}). De même, si n ∈ M(Q), je pose α_{−1,Q}(n) = π_{Q}(n_{{Q}}). J’ai ainsi défini pour tout i une application de δ_{i}(M)(Q) dans δ_{i+1}(M)(Q). Il s’agit en fait d’un morphisme de R(δ_{i}(M)) dans R(δ_{i+1}(M)): en effet, si S est un sous-groupe de Q, alors

α_{i,S}r_{S}^{Q}π_{Q}(n_{s}) = α_{i} ∑_{x∈S\Q/P_{0}} π_{S}((xr_{S^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{S∩^{x}s}) = ∑_{x∈S\Q/P_{0}} π_{S}((xr_{S^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{(S∩^{x}s)∪S})

Or

r_{S}^{Q}α_{i,Q}π_{Q}(n_{s}) = r_{S}^{Q}π_{Q}(n_{s∪Q}) = ∑_{{x∈S\Q/P_{0} \atop S∩^{x}(s∪Q) propre}} π_{S}((xr_{S^{x}∩P_{0}}^{P_{0}}n)_{S∩^{x}(s∪Q)})

et comme pour tout m de M(S), j’ai m_{(S∩^{x}s)∪S} = m_{S∩^{x}(s∪Q)} si S ∩^{x}(s ∪ Q) est propre, et m_{(S∩^{x}s)∪S} = 0 sinon, je vois que les applications α_{i} commutent aux restrictions. Il est clair d’autre part qu’elles commutent aux conjugaisons, donc que ce sont des morphismes de R(δ_{i}(M)) dans R(δ_{i+1}(M)).

Enfin

d_{i+1,Q}α_{i,Q}π_{Q}(n_{s}) = d_{i+1,Q}π_{Q}(n_{s∪Q}) = π_{Q}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{(s∪Q)_{0}} + ∑_{j=1}^{i+1}(−1)^{j}n_{(s∪Q)_{j}})

D’autre part

α_{i−1,Q}d_{i,Q}π_{Q}(n_{s}) = α_{i−1,Q}π_{Q}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}n_{s_{j}})

= π_{Q}((t_{P_{0}}^{P_{1}}n)_{s_{0}∪Q} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}n_{s_{j}∪Q})

Il vient donc par différence

d_{i+1,Q}α_{i,Q}π_{Q}(n_{s}) − α_{i−1,Q}d_{i,Q}π_{Q}(n_{s}) = (−1)^{i+1}π_{Q}(n_{(s∪Q)_{i+1}}) = (−1)^{i+1}π_{Q}(n_{s})

donc d_{i+1}α_{i} − α_{i−1}d_{i} = (−1)^{i+1}Id, et un changement de signe adéquat sur les α_{i} donne la dernière assertion du théorème.

4.3. Résultats duaux. J’ai indiqué plus haut comment l’algèbre tμ_{R}(G) s’identifie à l’algèbre opposée de rμ_{R}(G). Les résultats précédents ont une traduction en termes de cette algèbre, obtenue en remplaçant les restrictions par les traces, les traces par les restrictions, les éléments de G par leurs inverses, les points “cofixes” par les points fixes, et en inversant le sens des flèches.

Je noterai T le foncteur de restriction déduit de l’inclusion de tμ_{R}(G) dans μ_{R}(G). Le foncteur T admet un adjoint à droite, que je note J, défini par

J (N)(H) = (⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}N(P))^{H}

si N est un tμ_{R}(G)-module et H un sous-groupe de G.

Si K est un sous-groupe de H, et si ⊕_{P} n_{P} ∈ J (N)(H), alors r_{K}^{H}(⊕_{P} n_{P}) = ⊕_{Q}m_{Q}, avec m_{Q} = n_{Q} si Q est un sous-groupe de K, et m_{Q} = 0 sinon.

De même, si ⊕_{Q}m_{Q} ∈ J (N)(K), alors t_{K}^{H}(⊕_{Q}m_{Q}) = ⊕_{P} n_{P}, avec

n_{P} = ∑_{x∈P \H/K} t_{P ∩^{x}K}^{P}xn_{P^{x}∩K}

Si M est un foncteur de Mackey dans Mack_{R}(G, 1), je peux définir de la même façon les foncteurs ∂^{i}(M) par les formules

∂^{i}(M)(H) = (⊕_{P_{0}⊂...⊂P_{i}∈\underline{s}_{p}(H)}M(P_{0}))^{H}

Avec ces notations r_{K}^{H}(⊕_{s}n_{s}) = ⊕_{t}m_{t}, avec m_{t} = n_{t} si sup t ⊆ K, et m_{t} = 0 sinon. De même, t_{K}^{H}(⊕_{t}m_{t}) = ⊕_{s}n_{s}, avec

n_{s} = ∑_{x∈P_{0}\H/K} t_{P_{0}∩^{x}K}^{P_{0}}xm_{s^{x}∩K} avec P_{0} = inf s

La différentielle d̂^{i} de ∂^{i}(M) dans ∂^{i+1}(M) est donnée par d̂^{i}(⊕_{s}n_{s}) = ⊕_{t}m_{t} avec

m_{t} = r_{P_{0}}^{P_{1}}n_{s_{0}} + ∑_{j=1}^{i}(−1)^{j}n_{s_{j}}

Le résultat dual du théorème 4.10 est alors le suivant:

Théorème 4.11. Soit M dans Mack_{R}(G, 1). La suite

0 → M →^{d̂^{−1}} ∂^{0}(M) →^{d̂^{0}} … →^{d̂^{i−1}} ∂^{i}(M) →^{d̂^{i}} … → 0

est un complexe exact de foncteurs de Mackey dans Mack_{R}(G, 1), et le complexe

0 → T (M) →^{T (d̂^{−1})} T (∂^{0}(M)) →^{T (d̂^{0})} … →^{T (d̂^{i−1})} T (∂^{i}(M)) →^{T (d̂^{i})} … → 0

est exact et scindé.

5. Applications

5.1. Modules de Steinberg. Le théorème 4.11 permet d’étendre à tout foncteur de Mackey dans Mack_{R}(G, 1) un résultat de P.Webb concernant l’expression de l’homologie en termes de modules de Steinberg (cf [7]):

Proposition 5.1. Soit M un foncteur de Mackey dans Mack_{R}(G, 1), et H un sous-groupe de G. Alors

M(H) = − ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(H)/N_{G}(H)} Ind_{N_{G}(H,P)/N_{H}(P)}^{N_{G}(H)/H}Hom_{RN_{H}(P)/P} (St_{p}(N_{H}(P)/P), M(P))

dans l’anneau de Green des RN_{G}(H)/H-modules.

Remarque 5.2. Le théorème de Webb concerne le cas où H = G et M(K) = Ĥ^{n}(K, V)_{p}, où V désigne un Z_{p}G-module et n ∈ Z: dans ce cas, le terme correspondant à P = 1 dans la somme ci-dessus est nul. D’autre part, le fait que Ĥ^{n}(−, V)_{p} soit dans Mack_{R}(G, 1) est démontré dans [6] (section [16]).

Je rappelle que le module de Steinberg d’un groupe G pour un nombre premier p est défini par

St_{p}(G) = −R − ∑_{s}(−1)^{|s|}Ind_{N_{G}(s)}^{G}R

où la somme porte sur les classes de conjugaison par G de suites strictement croissantes s de p-sous-groupes non-triviaux de G, et |s| désigne le cardinal de la suite s. Cette somme a un sens dans l’anneau de Green des RG-modules de type fini. D’autre part, si A, B et C sont des RG-modules, alors Hom_{RG}(A − B, C) est égal par définition à Hom_{RG}(A, C) − Hom_{RG}(B, C).

La proposition 5.1 découle de ce que, par le théorème 4.11, si H est un sousgroupe de G, la suite

0 → M(H) → ∂^{0}(M)(H) → … → ∂^{i}(M)(H) → … → 0

est une suite exacte et scindée de RN_{G}(H)/H-modules. En notant Δ_{i}(H) l’ensemble des suites P_{0} ⊂ … ⊂ P_{i} de p-sous-groupes de H, j’ai donc

M(H) = ∑_{i≥0}(−1)^{i}∂^{i}(M)(H) = ∑_{i≥0}(−1)^{i}(⊕_{s∈Δ_{i}(H)}M(inf s))^{H}

Or ⊕_{s∈Δ_{i}(H)}M(inf s) est un RN_{G}(H)-module, isomorphe à

⊕_{s∈Δ_{i}(H)/N_{G}(H)}Ind_{N_{G}(H,s)}^{N_{G}(H)}M(inf s)

De plus, si H est un sous-groupe normal du groupe G, si K est un sous-groupe de G, et L un RK-module, le module (Ind_{K}^{G}L)^{H} s’identifie comme RG/H-module à Ind_{HK/H}^{G/H}L^{H∩K}. Cette remarque donne ici

∂^{i}(M)(H) = ⊕_{s∈Δ_{i}(H)/N_{G}(H)}Ind_{HN_{G}(H,s)/H}^{N_{G}(H)/H}M(inf s)^{N_{H}(s)}

D’autre part, le module St_{p}(N_{H}(P)/P) est un RN_{G}(H, P)-module, isomorphe à

− ∑_{i}(−1)^{i} ∑_{{s∈Δ_{i}(H)/N_{G}(H,P) \atop inf s=P}} Ind_{N_{G}(H,s)}^{N_{G}(H,P)}R

donc le module Hom_{R}(St_{p}(N_{H}(P)/P), M(P)) est isomorphe à

− ∑_{i}(−1)^{i} ∑_{{s∈Δ_{i}(H)/N_{G}(H,P) \atop inf s=P}} Ind_{N_{G}(H,s)}^{N_{G}(H,P)}Hom_{R}(R, M(P))

Une nouvelle application de la remarque précédente, pour le groupe N_{G}(H, P) et son sous-groupe normal N_{H}(P), donne alors Hom_{RN_{H}(P)}(St_{p}(N_{H}(P)/P), M(P)) =

− ∑_{i}(−1)^{i} ∑_{{s∈Δ_{i}(H)/N_{G}(H,P) \atop inf s=P}} Ind_{N_{G}(H,s)/N_{H}(s)}^{N_{G}(H,P)/N_{H}(P)}M(P)^{N_{H}(s)}

et le second membre de l’égalité de la proposition devient

∑_{P ∈\underline{s}_{p}(H)/N_{G}(H)} ∑_{i}(−1)^{i} ∑_{{s∈Δ_{i}(H)/N_{G}(H,P) \atop inf s=P}} Ind_{N_{G}(H,s)/N_{H}(s)}^{N_{G}(H)/H}M(P)^{N_{H}(s)}

c’est-à-dire

∑_{i}(−1)^{i} ∑_{s∈Δ_{i}(H)/N_{G}(H)} Ind_{N_{G}(H,s)/N_{H}(s)}^{N_{G}(H)/H}M(inf s)^{N_{H}(s)}

qui n’est autre que ∑_{i}(−1)^{i}∂^{i}(M)(H), ce qui prouve la proposition.

5.2. Foncteurs T -injectifs, foncteurs R-projectifs.

5.2.1. Résidus. Les définitions et résultats de la section 3 concernant la projectivité par rapport à R se dualisent en renversant le sens des flèches et en remplaçant partout “gauche” par “droite”, et “projectif” par “injectif” (en d’autres termes, je dirai qu’un objet M est injectif relativement au foncteur T s’il est projectif par rapport au foncteur dual de T pour les catégories duales). Pour énoncer le résultat suivant, j’aurai besoin de deux notations: Soit M un foncteur de Mackey pour le groupe G, et K un sous-groupe de G. Je noterai \overline{M}(K) le quotient

\overline{M}(K) = M(K)/ ∑_{L⊂K} t_{L}^{K}M(L)

et \underline{M}(K) l’intersection

\underline{M}(K) = ⋂_{L⊂K} Ker r_{L}^{K}

Ces définitions de “résidus” de M en K sont duales l’une de l’autre: si N est un foncteur de Mackey pour le groupe N_{G}(K)/K, je définis (avec Thévenaz et Webb cf.[5]) un foncteur de la catégorie des R(N_{G}(K)/K)-foncteurs de Mackey dans celle des μ_{R}(G)-modules en associant à N le foncteur

F (N) = Ind_{N_{G}(K)}^{G}Inf_{N_{G}(K)/K}^{N_{G}(K)}N

Alors le foncteur F a un adjoint à gauche, défini par

M^{K}(L/K) = M(L)/ ∑_{K⊄H⊂L} t_{H}^{L}M(H)

et un adjoint à droite, défini par

M_{K}(L/K) = ⋂_{K⊄H⊂L} Ker r_{H}^{L}

Alors \overline{M}(K) est la valeur en K/K de M^{K}, et \underline{M}(K) la valeur en K/K de M_{K}.

Soit alors X un rμ_{R}(G)-module, et P un p-sous-groupe de G. Il est facile de voir que \overline{I(X)}(P) s’identifie à X(P). Si F P_{V} désigne le N_{G}(P)/P -foncteur de Mackey “points fixes sur V ”, défini par F P_{V} (H) = V^{H}, r_{K}^{H}v = v, et t_{K}^{H}(w) = T r_{K}^{H}(v), ceci entraîne que

Hom(I(X), Ind_{N_{G}(P)}^{G}Inf_{N_{G}(P)/P}^{N_{G}(P)} F P_{V}) = Hom(I(X)^{P} , F P_{V}) =
Hom_{RN_{G}(P)/P} (X(P), V)

la seconde égalité tenant au fait que le foncteur qui à V associe F P_{V} est adjoint à droite du foncteur d’évaluation en P/P (de la catégorie des RN_{G}(P)/P -foncteurs de Mackey dans celle des RN_{G}(P)/P -modules)(cf.[5] Proposition 6.1).

Comme de plus

Hom(I(X), Ind_{N_{G}(P)}^{G}Inf_{N_{G}(P)/P}^{N_{G}(P)} F P_{V}) = Hom(X, R(Ind_{N_{G}(P)}^{G}Inf_{N_{G}(P)/P}^{N_{G}(P)} F P_{V}))

j’en déduis que le foncteur qui à V associe R(Ind_{N_{G}(P)}^{G}Inf_{N_{G}(P)/P}^{N_{G}(P)} F P_{V}) est adjoint à droite du foncteur qui à X associe X(P) (de la catégorie des rμ_{R}(RN_{G}(P)/P)- modules dans celle des RN_{G}(P)/P -modules), donc qu’il s’identifie au foncteur qui à V associe L_{P,V}^{o} (cf proposition 3.6). La proposition suivante permet de calculer la valeur d’un foncteur de Mackey Rprojectif ou T -injectif en fonction de ses résidus:

Proposition 5.3. Soit M est un foncteur de Mackey dans Mack_{R}(G, 1).

1. Si M est R-projectif (par exemple si M est projectif), alors

M(H) = (⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}\overline{M}(P))_{H}

comme RN_{G}(H)/H-module.

2. Si M est T -injectif (par exemple si M est injectif), alors

M(H) = (⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}\underline{M}(P))^{H}

comme RN_{G}(H)/H-module.

Ces deux résultats étant duaux l’un de l’autre, il suffit par exemple de prouver le second, qui sera une conséquence du résultat suivant, plus fort mais moins parlant:

Proposition 5.4. Soit M est un foncteur de Mackey dans Mack_{R}(G, 1). Si M est T -injectif, alors

R(M) = ⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} L_{P,\underline{M}(P)}^{o} = R( ⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} Ind_{N_{G}(P)}^{G}Inf_{N_{G}(P)/P}^{N_{G}(P)} F P_{\underline{M}(P)})

La proposition 5.3 en découle car

( ⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} Ind_{N_{G}(P)}^{G}Inf_{N_{G}(P)/P}^{N_{G}(P)} F P_{\underline{M}(P)})(H) =

⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} ⨁_{x∈N_{G}(P)\G/H}(Inf_{N_{G}(P)/P}^{N_{G}(P)} F P_{\underline{M}(P)})(N_{G}(P) ∩^{x}H)

= ⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} ⨁_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,H)/H} F P_{\underline{M}(P)}(N_{^{x}H}(P)/P)

et en acceptant pour le calcul des coefficients rationnels, cette dernière somme vaut

⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G)} \frac{|N_{G}(P)|}{|G|} ⨁_{x∈T_{G}(P,H)} \frac{|N_{^{x}H}(P)|}{|N_{G}(P)||H|}\underline{M}(P)^{N_{^{x}H}(P)/P} =

⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G),x∈G,P^{x}⊆H} \frac{|N_{H}(P^{x})|}{|G||H|}\underline{M}(P^{x})^{N_{H}(P^{x})/P^{x}}

= ⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(H)} \frac{|N_{H}(P)|}{|H|}\underline{M}(P)^{N_{H}(P)} = (⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(H)}\underline{M}(P))^{H}

La proposition 5.4 indique que l’identification de la partie 2 de la proposition 5.3 commute aux restrictions.

Pour prouver la proposition 5.4, je vais d’abord identifier les rμ_{R}(G)-modules isomorphes à des sommes directes de modules du type L_{P,V_{P}}^{o}. Je note d’abord que je peux définir \underline{M}(P) lorsque M un rμ_{R}(G)-module et P un p-sous-groupe de G, puisque cette définition ne fait intervenir que des restrictions. Alors:

Lemme 5.5. Soit M un rμ_{R}(G)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Il existe des N_{G}(P)/P -modules V_{P} tels que M soit isomorphe à

⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} L_{P,V_{P}}^{o}

2. Le module M est isomorphe à

⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} L_{P,\underline{M}(P)}^{o}

3. Pour tout p-sous-groupe P de G, l’inclusion de \underline{M}(P) dans M(P) est une injection directe de RN_{G}(P)/P -modules, et le quotient M(P)/\underline{M}(P) est isomorphe à (\underleftarrow{lim}_{Q⊂P} M(Q))^{P}.

Je rappelle que L_{P,V}^{o} est défini par

L_{P,V}^{o} (Q) = (⊕_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,Q)}x^{−1} ⊗ V)^{Q}

et

r_{Q}^{R}(⊕_{x}x^{−1} ⊗ v_{x}) = ⊕_{P^{x}⊆Q}x^{−1} ⊗ v_{x}

En particulier L_{P,V}^{o} (R) est nul si P n’est pas contenu dans R à conjugaison près, donc \underline{L}_{P,V}^{o} (R) = 0 dans ce cas.

Dans le cas contraire, si v = ⊕_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,R)}x^{−1} ⊗ v ∈ \underline{L}_{P,V} (R), et si R n’est pas conjugué de P, soit y ∈ T_{G}(P, R). Comme r_{P^{y}}^{R}(v) = y^{−1} ⊗ v_{y} = 0, je vois que v = 0. Ce qui prouve que \underline{L}_{P,V}^{o} (R) est nul si R n’est pas conjugué de P, et égal à V sinon, donc que l’assertion 1) entraîne l’assertion 2).

Il est clair inversement que l’assertion 2) entraîne l’assertion 1). Le raisonnement précédent montre également que l’assertion 1) entraîne la première partie de l’assertion 3), car si M = L_{P,V}^{o}, alors l’injection de \underline{M}(R) dans M(R) est nulle si R n’est pas conjugué de P, et l’application identique sinon.

Pour prouver la seconde, je note que le morphisme naturel de M(R) dans (\underleftarrow{lim}_{Q⊂R}M(Q))^{R} a pour noyau \underline{M}(R). Il suffit donc de montrer que ce morphisme

est surjectif.

Soit donc M = L_{P,V}^{o}. Il n’y a rien à démontrer si P n’est pas contenu dans R à conjugaison près. De même, si R = P, alors (\underleftarrow{lim}_{Q⊂R}M(Q))^{R} = 0, et

\underline{M}(R) = M(R) dans ce cas. Je peux donc supposer que R contient strictement P à conjugaison près. Alors si v ∈ (\underleftarrow{lim}_{Q⊂R}M(Q))^{R}, j’ai pour tout sous-groupe

propre Q de R un élément v_{Q} de M(Q), tel que si S ⊆ Q, alors r_{S}^{Q}(v_{Q}) = v_{S}. En particulier, si x ∈ T_{G}(P, R), alors l’élément v_{P^{x}} s’écrit x^{−1} ⊗ v_{x}. Comme v est fixe par R, l’élément w = ⊕_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,R)}x^{−1} ⊗ v_{x} est dans M(R), et il est clair que r_{Q}^{R}(w) = v_{Q} pour tout sous-groupe propre Q de R, ce qui prouve la seconde partie de l’assertion 3).

Il me reste donc à montrer que l’assertion 3) entraîne l’assertion 2). Soit X le module ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G}L_{P,\underline{M}(P)}^{o}. Je note tout d’abord que

Hom(M, X) = ⊕_{P} Hom_{RN_{G}(P)/P} (M(P), \underline{M}(P))

par la propriété d’adjonction du foncteur V ↦ L_{P,V}^{o}. Alors par la première partie de l’assertion 3), je peux choisir pour tout P modulo G une section de l’inclusion de \underline{M}(P) dans M(P), et ce choix détermine un morphisme ϕ de M dans X.

Ce morphisme est tel que \underline{ϕ}(P) est l’identité pour tout P. Soit alors K le noyau de ϕ, et Q un p-sous-groupe minimal de G tel que K(Q) ≠ 0. Alors par définition de Q,

K(Q) = \underline{K}(Q) = Ker \underline{ϕ}(Q) = 0

et cette contradiction prouve que ϕ est injectif. Soit donc Y le conoyau de ϕ. J’admettrai pour l’instant le lemme suivant:

Lemme 5.6. Le foncteur qui à M associe \underline{M}(P) est exact à gauche, et son premier foncteur dérivé droit D_{P} est défini par

D_{P} (M) = (\underleftarrow{lim}_{Q⊂P} M(Q))^{P} /(Image de M(P))

Alors la suite exacte 0 → M →^{ϕ} X → Y → 0 donne pour tout P la suite exacte

0 → \underline{M}(P) →^{\underline{ϕ}(P)} \underline{X}(P) → \underline{Y} (P) → 0, par la seconde partie de l’assertion 3). Comme \underline{ϕ}(P) est l’identité, j’en déduis que \underline{Y} (P) = 0 pour tout P.

Alors si Q est minimal tel que Y (Q) ≠ 0, j’ai \underline{Y} (Q) = Y (Q) = 0, contradiction qui prouve que Y est nul, donc que ϕ est surjectif, d’où finalement l’assertion 2) du lemme 5.5.

Il reste donc à prouver le lemme 5.6. Si 0 → X → Y → Z → 0 est une suite exacte de rμ_{R}(G)-modules, il est clair que \underline{X}(P) est un sous-module de \underline{Y} (P). Et si w est dans le noyau de l’application \underline{Y} (P) → \underline{Z}(P), alors w est un élément de Y (P) qui s’envoie sur 0 dans Z(P). Donc w est dans X(P) ∩ \underline{Y} (P) = \underline{X}(P), ce qui prouve que le foncteur M ↦ \underline{M}(P) est exact à gauche.

Pour prouver le lemme 5.6, il reste à voir que son premier foncteur dérivé D_{P} a la forme annoncée. Je noterai d_{P} le foncteur qui à M associe le quotient de (\underleftarrow{lim}_{Q⊂P} M(Q))^{P} par l’image de M(P).

J’ai déjà noté (dans la démonstration de l’implication 1)⇒ 3) du lemme 5.5), que d_{P} (M) = 0 si M est de la forme L_{P,V}^{o}. La propriété d’adjonction du foncteur V ↦ L_{P,V}^{o} montre que L_{P,V}^{o} est injectif si V l’est, et j’ai bien D_{P} (L_{P,V}^{o}) = d_{P} (L_{P,V}^{o}) = 0 dans ce cas.

Soit alors M un rμ_{R}(G)-module quelconque. Je choisis pour tout P modulo G un RN_{G}(P)/P module injectif I_{P} contenant \underline{M}(P). L’inclusion de \underline{M}(P) dans I_{P} se prolonge en un morphisme de M(P) dans I_{P}, et j’obtiens ainsi un morphisme de M dans X = ⊕_{P} L_{P,I_{P}}^{o}, et X est un module injectif. Il est facile de voir que ce morphisme est de plus injectif.

Soit Y le conoyau de ce morphisme. Si je sais que toute suite exacte 0 → M → X → Y → 0 fournit une suite exacte

0 → \underline{M}(P) → \underline{X}(P) → \underline{Y} (P) → d_{P} (M) → d_{P} (X)

j’obtiens alors une suite exacte

0 → \underline{M}(P) → \underline{X}(P) → \underline{Y} (P) → d_{P} (M) → 0

Comme de plus, par définition de D_{P}, j’ai la suite exacte

0 → \underline{M}(P) → \underline{X}(P) → \underline{Y} (P) → D_{P} (M) → 0

le lemme 5.6 sera démontré.

Soit donc 0 → M → X →^{b} Y → 0 une suite exacte, dans laquelle je considère M comme sous-module de Y, et y un élément de \underline{Y} (P). Alors il existe x dans X(P) tel que y = b(x). De plus, si Q est un sous-groupe propre de P, alors r_{Q}^{P}x appartient à M(Q).

La suite (r_{Q}^{P}x)_{Q⊂P} définit un élément de (\underleftarrow{lim}_{Q⊂P} M(Q))^{P}, unique modulo

l’image de M(P), i.e. un élément de d_{P} (M). Cet élément est nul si et seulement si il existe un élément m de M(P) tel que r_{Q}^{P}x = r_{Q}^{P}m pour tout sous-groupe propre Q de P, i.e. si y est dans l’image de \underline{X}(P) (car alors y = b(x − m), et x − m ∈ \underline{X}(P)). J’ai ainsi construit une suite exacte

0 → \underline{M}(P) → \underline{X}(P) → \underline{Y} (P) →^{c} d_{P} (M)

L’inclusion a de M dans X fournit un morphisme d_{P} (a) de d_{P} (M) dans d_{P} (X). Soit m un élément de d_{P} (M). Alors m est représenté par une suite (m_{Q})_{Q⊂P} d’éléments de M(Q) telle que r_{S}^{Q}(m_{Q}) = m_{S} si S ⊆ Q ⊂ P, et pm_{Q} = m_{^{p}Q} si p ∈ P. L’élément m est dans le noyau de d_{P} (a) si et seulement si il existe un élément x de X(P) tel que m_{Q} = r_{Q}^{P}x pour tout Q ⊂ P, donc si et seulement si m est dans l’image de \underline{Y} (P) (l’élément m est alors l’image par c de b(x)).

J’ai donc prouvé que la suite

0 → \underline{M}(P) → \underline{X}(P) → \underline{Y} (P) →^{c} d_{P} (M) →^{d_{P} (a)} d_{P} (X)

est exacte, ce qui prouve le lemme 5.6, et achève la démonstration du lemme 5.5.

Il me reste à voir comment le lemme 5.5 entraîne la proposition 5.4. Soit donc M un foncteur de Mackey T -injectif dans Mack_{R}(G, 1). Je vais montrer que R(M) vérifie la condition 3 du lemme 5.5.

Cette dernière étant invariante par passage à un facteur direct, je peux supposer que M est de la forme J (X). Soit alors P un p-sous-groupe de G. Par définition

J (X)(P) = ( ⨁_{Q⊆P} X(Q))^{P}

Si R est un sous-groupe de P, et si v = (v_{Q}) ∈ J (X)(P), alors la composante Q de r_{R}^{P}(v) est égale à v_{Q} (pour Q ⊆ R). Si donc v est dans \underline{J (X)}(P), alors v_{Q} est nul pour tout sous-groupe d’un sous-groupe propre de P, donc pour tout sous-groupe propre de P. La seule composante non-nulle de v est donc sa composante P. Or il est clair que J (X)(P) se décompose en

J (X)(P) = X(P) ⨁( ⨁_{Q⊂P} X(Q))^{P}

comme N_{G}(P)/P -module, ce qui prouve que l’injection de \underline{J (X)}(P) dans J (X)(P) est une injection directe.

De même, si w ∈ ( lim ; ⟵_{Q⊂P} J (X)(Q))^{P}, alors w est une suite d’éléments w_{Q} de

J (X)(Q) telle que r_{R}^{Q}(w_{Q}) = w_{R} si Q ⊂ P, et x.w_{Q} = w_{^{x}Q} si x ∈ P. Chaque élément w_{Q} est lui-même défini par une suite w_{R,Q} d’éléments de X(R), pour R ⊆ Q. Alors si R ⊆ S ⊆ Q ⊂ P, je dois avoir r_{S}^{Q}(w_{Q}) = w_{S}, donc w_{R,S} = w_{R,Q}. En posant u_{R} = w_{R,R} pour R ⊂ P, et u_{P} = 0, je définis bien un élément u = (u_{R}) de J (X)(P) (car w est invariant par P) tel que r_{Q}^{P}(u) = w_{Q} pour Q ⊂ P. Le morphisme naturel de J (X)(P) dans ( lim ; ⟵_{Q⊂P} J (X)(Q))^{P} est donc bien surjectif, ce

qui prouve la condition 3 du lemme 5.5, et la proposition 5.4.

5.2.2. Homomorphismes. Soit X un rμ_{R}(G)-module, et Y un tμ_{R}(G)-module. Je définis à partir de X et Y un tμ_{R}(G)-module h(X, Y), en posant

h(X, Y)(P) = Hom_{R}(X(P), Y (P))

Si P est un sous-groupe de Q, et si ϕ ∈ h(X, Y)(P), je pose

t_{P}^{Q}(ϕ) = t_{P}^{Q}.ϕ.r_{P}^{Q}

Si x est un élément de G, je définis le transformé de ϕ par x en posant

x(ϕ) = x.ϕ.x^{−1}

Une construction analogue, quoique plus complexe, existe pour les foncteurs de Mackey: si X et Y sont des G-foncteurs de Mackey, je définis le foncteur de Mackey H(X, Y) en posant

H(X, Y)(K) = Hom(Res_{K}^{G}X, Res_{K}^{G}Y)

Un élément de H(X, Y)(K) est donc une suite d’homomorphismes ϕ_{L} de X(L) dans Y (L),pour L sous-groupe de K telle que

ϕ_{L}.t_{M}^{L} = t_{M}^{L}.ϕ_{M}  ϕ_{M}.r_{M}^{L} = r_{M}^{L}.ϕ_{L}  si M ⊆ L ⊆ K
x.ϕ_{L} = ϕ_{^{x}L}.x si x ∈ K, L ⊆ K

La restriction d’un tel élément ϕ = (ϕ_{L})_{L⊆K} à un sous-groupe M de K est définie par r_{M}^{K}(ϕ)_{L} = ϕ_{L} pour L ⊆ M. La trace de ϕ de K à un sous-groupe N de G contenant K est définie par

t_{K}^{N}(ϕ)_{L} = ∑_{x∈K\N/L} t_{K^{x}∩L}^{L}.x^{−1}.ϕ_{K∩^{x}L}.x.r_{K^{x}∩L}^{L}

Enfin, si x ∈ G, alors le transformé par x de ϕ est défini par

(xϕ)_{L} = x.ϕ_{L^{x}}.x^{−1}

Un calcul un peu pénible permet de vérifier que H(X, Y) est bien un foncteur de Mackey. Cette construction joue le rôle pour les foncteurs de Mackey du foncteur Hom(−, −) pour les G-modules: par exemple, un foncteur de Mackey X est projectif par rapport au sous-groupe K de G si et seulement si H(X, X)(G) = t_{K}^{G}H(X, X)(K) (critère de Higman).

Il est facile de voir d’autre part que si X et Y sont dans Mack_{R}(G, 1), alors H(X, Y) y est aussi (cela tient au fait que Res_{K}^{G}f_{1}^{G} = f_{1}^{K}).

Ces deux constructions sont reliées par le lemme suivant:

Lemme 5.7. Soit X un rμ_{R}(G)-module, et Y un tμ_{R}(G)-module. Alors

H(I(X), J (Y)) ≃ J (h(X, Y))

Corollaire 5.8. Soient X et Y des foncteurs de Mackey dans Mack_{R}(G, 1). Si X est R-projectif et si Y est T -injectif, alors H(X, Y) est T -injectif, et en particulier

Hom(X, Y) = ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G}Hom_{RN_{G}(P)/P} (\overline{X}(P), \underline{Y} (P))

Soit K un sous-groupe de G. Il y a un foncteur évident de restriction de la catégorie des rμ_{R}(G)-modules à celle des rμ_{R}(K)-modules: si P est un p-sous-groupe de K, et X un rμ_{R}(G)-module, alors Res_{K}^{G}(X)(P) = X(P). Il est clair d’autre part que ce foncteur commute aux foncteurs I et R: plus précisément, si I_{G} (resp. I_{K}) désigne le foncteur I pour le groupe G (resp. pour le groupe K), alors Res_{K}^{G}I_{G} = I_{K}Res_{K}^{G} (ici le premier Res désigne celui des foncteurs de Mackey, le second celui des rμ_{R}(G)-modules).

De même, il y a un foncteur de restriction, que je note encore Res_{K}^{G}, de la catégorie des tμ_{R}(G)-modules à celle des tμ_{R}(K)-modules, qui commute aux foncteurs J et T .

Avec ces notations

Hom(Res_{K}^{G}I_{G}(X), Res_{K}^{G}J (Y)) = Hom(I_{K}(Res_{K}^{G}X), Res_{K}^{G}J (Y)) =
Hom(Res_{K}^{G}X, R_{K}Res_{K}^{G}J_{G}(Y)) = Hom(Res_{K}^{G}X, R_{K}J_{K}(Res_{K}^{G}Y))

Mais J_{K}(Res_{K}^{G}Y) est T_{K}-injectif, et \underline{J_{K}(Res_{K}^{G})(Y)}(P) = Y (P). La proposition 5.4 permet alors d’affirmer que

R_{K}J_{K}(Res_{K}^{G}Y) = ⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(K)/K} L_{P,Y (P)}^{o}

et alors

Hom(Res_{K}^{G}I_{G}(X), Res_{K}^{G}J (Y)) = ⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(K)/K} Hom_{N_{G}(P)/P} (X(P), Y (P))

donc

Hom(Res_{K}^{G}I_{G}(X), Res_{K}^{G}J (Y)) = ( ⨁_{P ∈\underline{s}_{p}(K)} h(X, Y)(P))^{K}

qui n’est autre que J (h(X, Y))(K).

Il est facile de préciser cet isomorphisme: si pour tout p-sous-groupe P de K, j’ai un morphisme ϕ_{P} de X(P) dans Y (P) tel que xϕ_{P} x^{−1} = ϕ_{^{x}P} si x ∈ K, et si L est un sous-groupe de K, je définis un morphisme ϕ_{L} de (⊕_{P ⊆L}X(P))_{L} dans (⊕_{Q⊆L}Y (Q))^{L} en posant

ϕ_{L}(π_{L}(u))_{Q} = ∑_{x∈P \L/Q} t_{Q∩^{x}P}^{Q} .x.r_{Q^{x}∩P}^{P} .ϕ_{P} (u)

Cette identification permet de vérifier que l’isomorphisme obtenu est bien un isomorphisme de foncteurs de Mackey, ce qui prouve le lemme 5.7.

Alors si X est R-projectif et si Y est T -injectif, le foncteur H(X, Y) est facteur direct d’un foncteur de la forme H(I(A), J (B)), isomorphe à J (h(A, B)), donc il est T -injectif. Pour démontrer le corollaire, il reste alors à appliquer la proposition 5.4 et le lemme suivant:

Lemme 5.9. Soient X et Y des G-foncteurs de Mackey, et K un sous-groupe de G. Alors H(X, Y)_{P} s’identifie à H(X^{P} , Y_{P})

Ce lemme montre en effet que

\underline{H(X, Y)}(P) = H(X^{P} , Y_{P})(P/P) = Hom_{R}(\overline{X}(P), \underline{Y} (P))

donc que

(⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)}\underline{H(X, Y)}(P))^{G} = ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G}Hom_{N_{G}(P)/P} (\overline{X}(P), \underline{Y} (P))

Il reste donc à prouver le lemme 5.9. Soit K un sous-groupe de G. Alors par définition, H(X, Y)(K) est le groupe d’homomorphismes (comme K-foncteurs de Mackey) de Res_{K}^{G}X dans Res_{K}^{G}Y. Un élément de H(X, Y)(K) est donc une suite (ϕ_{L}) d’homomorphimes de X(L) dans Y (L), pour L ⊆ K, commutant aux restrictions, aux traces, et aux éléments de K.

Si P est un sous-groupe normal de K, un tel élément est dans H(X, Y)_{P} (K/P) si sa restriction à tout sous-groupe M de K ne contenant pas P est nulle, i.e. si ϕ_{M} = 0 si P ⊈ M.

Si L/P est un sous-groupe de K/P, alors r_{M}^{L}ϕ_{L} = ϕ_{M}r_{M}^{L} = 0 si P ⊈ M, et l’image de ϕ_{L} est contenue dans Y_{P} (L/P). De même, puisque ϕ_{L}t_{M}^{L} = t_{L}^{M}ϕ_{M} = 0, l’application ϕ_{L} factorise par X^{P} (L/P). Je définis ainsi pour tout sous-groupe L/P de K/P un morphisme de X^{P} (L/P) dans Y_{P} (L/P).

Il est clair que ces morphismes commutent aux restrictions, aux traces et aux éléments de K, donc que j’ai défini un morphisme de K/P -foncteurs de Mackey de X^{P} dans Y_{P}. La construction ci-dessus s’inversant de manière évidente, le lemme 5.9 est démontré.

5.3. Foncteurs projectifs et matrice de Cartan.

5.3.1. Notations et rappels. Je supposerai dans cette section que R est un corps k, de caractéristique p > 0.

Dans ces conditions, les foncteurs de Mackey simples dans Mack_{k}(G, 1) sont indexés par les classes de conjugaison par G de couples (Q, V), où Q est un p-sous-groupe de G et V un kN_{G}(Q)/Q-module simple (non-nul).(cf.[5] Theorem 8.3 et [6] Theorem 9.7). Le foncteur simple S_{Q,V}^{G} est défini pour Q ≠ 1 par

S_{Q,V}^{G} = Ind_{N_{G}(Q)}^{G}Inf_{N_{G}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)}S_{1,V}^{N_{G}(Q)/Q}

le foncteur S_{1,V}^{G} étant quant à lui l’unique sous-foncteur minimal du foncteur de points fixes F P_{V}. Sa valeur en un sous-groupe H est donnée par S_{1,V}^{G} (H) = T r_{1}^{H}(V).

En notant F Q_{V} le foncteur de points “cofixes” de V, dont la valeur en H est F Q_{V} (H) = V_{H}, le foncteur S_{1,V}^{G} est également le quotient de F Q_{V} par son unique sous-foncteur maximal.

Je noterai P_{Q,V}^{G} l’enveloppe projective du foncteur S_{Q,V}^{G}. Alors P_{Q,V}^{G} est dans Mack_{k}(G, 1). En notant b_{Q} le foncteur de Burnside du groupe Q, le foncteur P_{Q,V}^{G} est facteur direct du foncteur Ind_{Q}^{G}b_{Q}. Le module P_{Q,V} (1) est un kG-module de ppermutations indécomposable (cf.[6] Theorem 12.7). Inversement, étant donné un kG-module de p-permutations W, il existe un unique foncteur de Mackey projectif L dans Mack_{k}(G, 1) tel que L(1) = W.

Les foncteurs de Mackey projectifs dans Mack_{k}(G, 1) sont ainsi entièrement caractérisés par leur évaluation sur le sous-groupe trivial. Le résultat principal de cette section sera un moyen de calculer la matrice de Cartan de Mack(G, 1) à partir des modules de p-permutations.

Si M est un foncteur de Mackey, je noterai M^{∗} son dual, défini par M^{∗}(H) = M(H)^{∗}, par t_{H}^{K}(ϕ) = ϕ ∘ r_{H}^{K}, par r_{H}^{K}(ϕ) = ϕ ∘ r_{H}^{K} et x.ϕ = ϕ ∘ x^{−1}. Si M et N sont deux foncteurs de Mackey, alors Hom(M, N) s’identifie à Hom(N^{∗}, M^{∗}), donc le dual d’un foncteur projectif est un foncteur injectif, et le dual d’un foncteur injectif est un foncteur projectif.

Le dual du foncteur S_{Q,V}^{G} étant le foncteur S_{Q,V^{∗}}^{G}, le dual du foncteur P_{Q,V}^{G} est l’enveloppe injective I_{Q,V^{∗}}^{G} du foncteur S_{Q,V^{∗}}^{G}.

Si L est un foncteur de Mackey projectif, alors les morphismes naturels de F Q_{L(1)} dans L et de L dans F P_{L(1)} sont respectivement injectif et surjectif.(cf.[6] Lemma 12.4). Il en est de même par dualité si L est un foncteur injectif, puisque le dual du foncteur F P_{V} est le foncteur F Q_{V^{∗}}.

Enfin si K est un sous-groupe de G, le dual du foncteur M^{K} est le foncteur (M^{∗})_{K}.

5.3.2. Résidus. Les foncteurs de Mackey dans Mack_{R}(G, 1) qui sont de plus projectifs (resp. injectifs) sont R-projectifs (resp. T -injectifs). Je peux leur appliquer le corollaire du lemme 5.7 (d’ailleurs pour cela R n’a pas besoin d’être un corps). Lorsque R est un corps k, les résidus des foncteurs de Mackey projectifs ou injectifs sont facilement calculables:

Lemme 5.10. Soit M un foncteur de Mackey projectif (resp. injectif) dans Mack_{k}(G, 1), et P un p-sous-groupe de G. Alors \overline{M}(P) (resp. \underline{M}(P)) est isomorphe à M(1)[P].

(pour la notation V [P], voir la remarque 3.5)

Il suffit par dualité de prouver ce lemme lorsque M est projectif: en effet, si M est injectif, alors M^{∗} est projectif et

\underline{M}(P) = M_{P} (P/P) = ((M^{∗})^{∗})_{P} (P/P) = ((M^{∗})^{P})^{∗}(P/P) = ((M^{∗})^{P} (P/P))^{∗} =

(M^{∗}(1)[P])^{∗} = (M(1)[P]^{∗})^{∗} = M(1)[P]

puisque si V est un module de p-permutations, alors V^{∗}[P] = (V [P])^{∗}.

Soit donc M un foncteur de Mackey projectif dans Mack_{k}(G, 1), et Q un psous-groupe de G. Le morphisme naturel α de M(Q) dans F P_{M(1)}(Q) = M(1)^{Q} est l’application qui à v associe r_{1}^{Q}v. Ce morphisme est surjectif. D’autre part, si v est une trace relative t_{S}^{Q}w à partir d’un sous-groupe propre S de Q, alors

r_{1}^{Q}v = ∑_{x∈Q/S} t_{1}^{1}xr_{1}^{S}w = T r_{S}^{Q}(w)

et le morphisme α passe aux quotients, donnant un morphisme surjectif \overline{α} de \overline{M}(Q) dans M(1)[Q]. Je dois donc établir que ce morphisme est injectif. Cette propriété étant stable par somme directe et passage à un facteur direct, je peux supposer que M est de la forme Ind_{S}^{G}b_{S}, où S est un p-sous-groupe de G.

Dans ce cas, le module M(1) est isomorphe à Ind_{S}^{G}k, et en notant \overline{T}_{G}(Q, S) le quotient N_{G}(Q)\G/S, j’ai (cf.[2])

M(1)[Q] = (Ind_{S}^{G})[Q] = ∑_{x∈\overline{T}_{G}(Q,S)} Ind_{N_{^{x}S}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)/Q}k

D’autre part, si L est un foncteur de Mackey pour le groupe N_{G}(Q)/Q, alors

Hom((Ind_{S}^{G}b_{S})^{Q}, L) = Hom(Ind_{S}^{G}b_{S}, Ind_{N_{G}(Q)}^{G}Inf_{N_{G}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)}L)

ou

Hom((Ind_{S}^{G}b_{S})^{Q}, L) = Hom(Res_{N_{G}(Q)}^{G}Ind_{S}^{G}b_{S}, Inf_{N_{G}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)}L)

De plus

Res_{N_{G}(Q)}^{G}Ind_{S}^{G}b_{S} = ∑_{x∈N_{G}(Q)\G/S} Ind_{N_{G}(Q)∩^{x}S}^{N_{G}(Q)}b_{N_{G}(Q)∩^{x}S}

donc

Hom((Ind_{S}^{G}b_{S})^{Q}, L) = ∑_{x∈N_{G}(Q)\G/S} Hom(b_{N_{G}(Q)∩^{x}S}, Res_{N_{G}(Q)∩^{x}S}^{N_{G}(Q)}Inf_{N_{G}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)}L)

Comme pour tout groupe S et tout S-foncteur de Mackey X, le groupe Hom(b_{S}, X) est isomorphe à X(S), et comme (Inf_{N_{G}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)}L)(N_{^{x}S}(Q)) est nul si Q n’est pas contenu dans ^{x}S, i.e. si x ∉ \overline{T}_{G}(Q, S), et égal à L(N_{^{x}S}(Q)/Q) sinon, j’ai

Hom((Ind_{S}^{G}b_{S})^{Q}, L) = ∑_{x∈\overline{T}_{G}(Q,S)} L(N_{^{x}S}(Q)/Q)

Finalement, pour tout L, j’ai

Hom((Ind_{S}^{G}b_{S})^{Q}, L) = ∑_{x∈\overline{T}_{G}(Q,S)} Hom(Ind_{N_{^{x}S}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)/Q}b_{N_{^{x}S}(Q)/Q}, L)

Or le foncteur qui à M associe M^{Q} étant adjoint à gauche d’un foncteur exact, il en résulte que M^{Q} est projectif si M l’est. Alors les foncteurs X = (Ind_{S}^{G}b_{S})^{Q} et Y = ∑_{x∈\overline{T}_{G}(Q,S)} Ind_{N_{^{x}S}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)/Q}b_{N_{^{x}S}(Q)/Q} sont tous deux projectifs, et tels que Hom(X, L) = Hom(Y, L) pour tout L. Ils sont donc isomorphes.

Ils ont donc même valeur en Q/Q, ce qui donne

\overline{M}(Q) = ∑_{x∈\overline{T}_{G}(Q,S)} Ind_{N_{^{x}S}(Q)/Q}^{N_{G}(Q)/Q}k = M(1)[Q]

et termine la démonstration du lemme 5.10.

5.3.3. Matrice de Cartan. Je supposerai de plus ici que le corps k est assez gros (i.e. qu’il neutralise tous les groupes N_{G}(Q)/Q, pour Q ∈ \underline{s}_{p}(G)).

Soit Q (resp. L) un p-sous-groupe de G, et V (resp. W) un kN_{G}(Q)/Qmodule simple (resp. un kN_{G}(L)/L-module simple). Le lemme 5.10 et le corollaire 5.8 permettent d’affirmer que

Hom(P_{Q,V}^{G} , (P_{L,W}^{G})^{∗}) = ⊕_{S∈\underline{s}_{p}(G)/G}Hom_{kN_{G}(S)/S}(P_{Q,V}^{G} (1)[S], (P_{L,W}^{G})^{∗}(1)[S])

D’autre part, dans le groupe de Grothendieck des foncteurs de Mackey

P_{L,W}^{G} = ∑_{H,M} C_{(L,W),(H,M)}S_{H,M}^{G}

où la somme porte sur les paires indexant les foncteurs de Mackey simples de Mack_{k}(G, 1), en notant C_{(L,W),(H,M)} le coefficient de la matrice de Cartan correspondant aux foncteurs simples S_{L,W}^{G} et S_{H,M}^{G}. Le dual de S_{H,M}^{G} étant S_{H,M^{∗}}^{G}, il vient

(P_{L,W}^{G})^{∗} = ∑_{H,M} C_{(L,W),(H,M)}S_{H,M^{∗}}^{G}

et comme Hom(P_{Q,V}^{G} , S_{H,M^{∗}}^{G}) est nul si la paire (H, M^{∗}) n’est pas conjuguée de la paire (Q, V), et de dimension 1 sur k sinon (d’où l’hypothèse supplémentaire sur k), il vient

C_{(L,W),(Q,V^{∗})} = ∑_{S∈\underline{s}_{p}(G)/G} dim_{k}Hom_{kN_{G}(S)/S}(P_{Q,V}^{G} (1)[S], (P_{L,W}^{G})^{∗}(1)[S])

Or (P_{L,W}^{G})^{∗}(1) = (P_{L,W}^{G} (1))^{∗}, et (P_{L,W}^{G} (1))^{∗} = P_{L,W^{∗}}^{G}(1) (car P_{L,W}^{G} (1) est le correspondant de Green de l’enveloppe projective de W par le théorème 12.7 de [6], et puisque la correspondance de Green commute à la dualité). Changeant alors V en V^{∗} dans l’égalité ci-dessus, il vient

C_{(L,W),(Q,V)} = ∑_{S∈\underline{s}_{p}(G)/G} dim_{k}Hom_{kN_{G}(S)/S}((P_{Q,V}^{G} (1))^{∗}[S], (P_{L,W}^{G} (1))^{∗}[S])

ou encore

C_{(L,W),(Q,V)} = ∑_{S∈\underline{s}_{p}(G)/G} dim_{k}Hom_{kN_{G}(S)/S}(P_{L,W}^{G} (1)[S], P_{Q,V}^{G} (1)[S])

Finalement, par linéarité, il en résulte la

Proposition 5.11. Soit k un corps “assez gros”. Si M et N sont des foncteurs de Mackey projectifs dans Mack_{k}(G, 1), alors

dim_{k}Hom(M, N) = ∑_{S∈\underline{s}_{p}(G)/G} dim_{k}Hom_{kN_{G}(S)/S}(M(1)[S], N(1)[S])

Corollaire 5.12. Soit pg(G) l’anneau de Green des kG-modules de p-permu-tations. La forme bilinéaire sur pg(G) définie par

< X, Y >_{G}= ∑_{S∈\underline{s}_{p}(G)/G} dim_{k}Hom_{kN_{G}(S)/S}(X[S], Y [S])

est symétrique, définie et positive. De plus, si H est un sous-groupe de G, alors

< Ind_{H}^{G}X, Y >_{G}=< X, Res_{H}^{G}Y >_{H}

Le corollaire résulte du fait que la matrice de Cartan de Mack_{k}(G, 1) est symétrique, définie et positive, et que la forme bilinéaire correspondante vérifie la réciprocité de Fröbenius (de plus, si M est un kH-foncteur de Mackey, alors (Ind_{H}^{G}M)(1) = Ind_{H}^{G}M(1)).

5.3.4. Une autre formule. Je suppose ici qur R est un corps k de caractéristique p. Les notations concernant les modules de Steinberg généralisés sont celles de [1].

Proposition 5.13. Soit L un foncteur de Mackey projectif dans Mack_{k}(G, 1), et X un foncteur de Mackey quelconque. Alors

dim_{k} Hom(L, X) = ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} dim_{k} Hom_{kN_{G}(P)/P} (St(N_{G}(P)/P, L(1)[P]), X(P))

Pour prouver cette proposition, j’utilise les ingrédients suivants:

1) Si N est un sous-groupe normal de G, il existe un morphisme d’algèbres naturel de μ_{k}(G/N) dans μ_{k}(G), qui envoie l’élément t_{\overline{x}L/N}^{K/N} \overline{x}r_{L/N}^{H/N} sur t_{^{x}L}^{K}xr_{L}^{H}. Si N est un p-sous-groupe normal de G, alors ce morphisme envoie l’algèbre μ_{k}^{1}(G/N) dans l’algèbre μ_{k}^{1}(G): en effet, si P/N est un p-sous-groupe de G/N, alors l’image de t_{P/N}^{H/N} (resp. r_{P/N}^{H/N}) est t_{P}^{H} (resp. r_{P}^{H}), et P est un p-sous-groupe de G.

2) Ce morphisme induit un foncteur exact ρ_{G/N}^{G} de la catégorie des G-foncteurs de Mackey dans celle des G/N-foncteurs de Mackey: si M est un G-foncteur de Mackey, alors le foncteur ρ_{G/N}^{G}(M) est tel que

ρ_{G/N}^{G}(M)(H/N) = M(H)

Si N est un p-sous-groupe normal de G, le foncteur ρ_{G/N}^{G} envoie Mack_{k}(G, 1) dans Mack_{k}(G/N, 1). Le foncteur ρ_{G/N}^{G} admet un adjoint à gauche, noté ι_{G/N}^{G}. Comme le foncteur ρ_{G/N}^{G} est exact, le foncteur ι_{G/N}^{G}(M) est projectif si M l’est. Si N est un p-sous-groupe normal de G, et si M est dans Mack_{k}(G/N, 1), alors ι_{G/N}^{G}(M) est dans Mack_{k}(G, 1).

3) Si M est un G/N-foncteur de Mackey, alors pour tout kG-module V

Hom(ι_{G/N}^{G}(M), F P_{V}) = Hom(M, ρ_{G/N}^{G}(F P_{V}))

et il est facile de voir que ρ_{G/N}^{G}(F P_{V}) s’identifie à F P_{V^{N}}. Alors

Hom(ι_{G/N}^{G}(M), F P_{V}) = Hom_{kG/N}(M(N/N), V^{N}) = Hom_{kG}(M(N/N), V)

Comme d’autre part

Hom(ι_{G/N}^{G}(M), F P_{V}) = Hom_{G}(ι_{G/N}^{G}(M)(1), V)

il en résulte que ι_{G/N}^{G}(M)(1) est isomorphe comme kG-module au module M(N/N).

4) Si M = A − B est un kG-module projectif virtuel, je note F Q_{M} le foncteur de Mackey projectif virtuel F Q_{A} − F Q_{B}, dans l’anneau de Green des foncteurs de Mackey projectifs dans Mack_{k}(G, 1). Si X et Y sont deux kG-foncteurs de Mackey projectifs virtuels dans Mack_{k}(G, 1) tels que X(1) = Y (1) dans l’anneau de Green des kG-modules, alors X = Y. Les considérations précédentes prouvent le lemme suivant:

Lemme 5.14. Soit L un foncteur de Mackey projectif dans Mack_{k}(G, 1). Alors

L = ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} Ind_{N_{G}(P)}^{G}ι_{N_{G}(P)/P}^{N_{G}(P)} (F Q_{St(N_{G}(P)/P,L(1)[P])})

dans l’anneau de Green des foncteurs projectifs dans Mack_{k}(G, 1).

En effet, le module L(1) s’écrit (cf.[1])

L(1) = ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} Ind_{N_{G}(P)}^{G}St(N_{G}(P)/P, L(1)[P])

Alors les deux membres de l’égalité du lemme sont des foncteurs de Mackey projectifs virtuels dans Mack_{k}(G, 1), qui ont même valeur en (1). Ils sont donc égaux.

La proposition s’en déduit en appliquant le foncteur Hom(−, X) aux deux membres.

Remarque 5.15. Il est possible de calculer effectivement le foncteur ι_{G/N}^{G}: soit M un kG/N-foncteur de Mackey, et K un sous-groupe de G. Soit ω_{N}(K) l’ensemble des sous-groupes de K ordonné par la relation

L ⪯ L′ ⇔ \{ \begin{matrix}L ⊆ L′ \\ L ∩ N = L′ ∩ N \end{matrix}

Je note

lim ; ⟶_{L∈ω_{N} (K)} M(LN/N)

le quotient de ⊕_{L⊆K}M(LN/N) par le sous-module engendré par les éléments de la forme t_{LN/N}^{L′N/N}m − m, pour L ⪯ L′ et m ∈ M(LN/N).

Le groupe K opère sur lim ; ⟶_{L∈ω_{N} (K)} M(LN/N), et alors

ι_{H}^{G}(M)(K) = ( lim ; ⟶_{L∈ω_{N} (K)} M(LN/N))_{K}

est le plus grand quotient sur lequel K agit trivialement. Si L est un sous-groupe de K, et m un élément de M(LN/N), je note m_{L}^{K} l’image de m dans ι_{H}^{G}(M)(K).

Si K ⊆ K′, alors t_{K}^{K′} (resp. r_{K}^{K′}) est l’application de ι_{H}^{G}(M)(K) dans ι_{H}^{G}(M)(K′) (resp. de ι_{H}^{G}(M)(K′) dans ι_{H}^{G}(M)(K)) définie par

t_{K}^{K′}(m_{L}^{K}) = m_{L}^{K′} r_{K}^{K′}(m′_{L′}^{K′}) = ∑_{x∈K\K′/L′} (^{x}r_{(K^{x}∩L′)N/N}^{L′N/N}m′)_{K∩^{x}L′}^{K}

Enfin si x ∈ G, alors ^{x}(m_{L}^{K}) = (^{x}m)_{^{x}L}^{^{x}K}.

6. Foncteurs projectifs et image de I

J’essaierai de voir dans cette section dans quelles conditions un foncteur de Mackey projectif dans Mack(G, 1) est dans l’image de I. Je supposerai que R est un anneau local complet, dont le corps résiduel est de caractéristique p.

6.1. Résolutions projectives finies. Je vais établir l’équivalence suivante:

Théorème 6.1. Soit X un rμ_{R}(G)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le foncteur I(X) est projectif.

2. Le module X a une résolution projective finie.

La démonstration de ce théorème nécessite une série de résultats préliminaires.

Lemme 6.2. Soient X et Y des foncteurs projectifs dans Mack_{R}(G, 1). Le morphisme ϕ ↦ ϕ(1) d’évaluation en 1 de Hom(X, Y) dans Hom_{RG}(X(1), Y (1)) est surjectif. De plus ϕ est une injection directe (resp. une surjection directe) si et seulement si ϕ(1) est une injection directe (resp. une surjection directe).

J’ai déjà rappelé que le morphisme naturel de Y dans F P_{Y (1)} est surjectif si Y est projectif. Soit alors f dans Hom_{RG}(X(1), Y (1)). Il lui correspond par adjonction un morphisme F de X dans F P_{Y (1)}. Alors le diagramme

Y
↓
X →^{F} F P_{Y (1)}

se complète en un morphisme ϕ de X dans Y, car la flèche de droite est surjective, et le foncteur X est projectif. Il est clair que ϕ(1) est égal à f, ce qui prouve la première assertion.

Il est clair de plus que si ϕ est une injection directe, alors ϕ(1) en est une. Inversement,si ϕ(1) est une injection directe, alors il existe un morphisme f de Y (1) dans X(1) tel que fϕ(1) = Id_{X(1)}. Le morphisme f se relève en un morphisme F, et alors le morphisme ψ = F ϕ est un endomorphisme de X tel que ψ(1) = Id. Une certaine puissance de ψ est un élément de Fitting. Son image I est alors un facteur direct de X, donc I est un foncteur de Mackey projectif dans Mack(G, 1) tel que I(1) = X(1), ce qui prouve que I est isomorphe à X, donc que ψ = F ϕ est inversible, et ϕ est une injection directe. Le cas d’une surjection directe est analogue.

Lemme 6.3. Soient X et Y sont des foncteurs projectifs dans Mack_{R}(G, 1), et ϕ un morphisme de X dans Y. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le morphisme ϕ est une injection directe (resp. une surjection directe).

2. Pour tout p sous-groupe P de G, le morphisme \overline{ϕ}(P) de \overline{X}(P) dans \overline{Y} (P) est injectif (resp. surjectif).

Comme le relèvement des morphismes entre objets projectifs de la caractéristique p à la caractéristique 0 ne pose pas de problèmes, je peux supposer que R est un corps k de caractéristique p. Dans ce cas, le module \overline{X}(P) s’identifie à X(1)[P], et le morphisme \overline{ϕ}(P) à ϕ(1)[P]. Je démontrerai simultanément le lemme 6.3 et la proposition suivante:

Proposition 6.4. Soient M et N des kG-modules de p-permutations, et f un morphisme de M dans N. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le morphisme f est une injection directe (resp. une surjection directe).

2. Pour tout p sous-groupe P de G, le morphisme f[P] de M[P] dans N[P] est injectif (resp. surjectif).

En effet soient X, Y et ϕ comme dans le lemme 6.3. Il est clair que si ϕ est une surjection directe, alors pour tout P, le morphisme \overline{ϕ}(P) est une surjection (directe). Inversement, si \overline{ϕ}(P) est surjectif pour tout P, alors ϕ(1) = \overline{ϕ}(1) est surjectif. Soit Q un p-sous-groupe tel que ϕ(R) soit surjectif pour tout sous-groupe propre R de Q. Soit de plus v ∈ Y (P).

Comme \overline{ϕ}(P) est surjectif, il existe des éléments v_{R} ∈ Y (R), pour R ⊂ Q, et un élément w ∈ X(Q) tels que

v = ϕ(Q)(w) + ∑_{R⊂Q} t_{R}^{Q}v_{R}

Alors chaque v_{R} s’écrit v_{R} = ϕ(R)(w_{R}) puisque ϕ(R) est surjective, et alors

v = ϕ(Q)(W) + ∑_{R⊂Q} t_{R}^{Q}ϕ(R)(w_{R}) = ϕ(Q)(w) + ∑_{R⊂Q} ϕ(Q)(t_{R}^{Q}w_{R})

ce qui prouve que ϕ(Q) est surjectif pour tout Q. Alors ϕ est surjectif, donc ϕ est une surjection directe puisque Y est projectif. Ceci montre l’équivalence des conditions du lemme 6.3 dans le cas surjectif.

Alors soient M, N et f comme dans la proposition 6.4. Si f est une surjection directe, il est clair que f[P] est une surjection (directe) pour tout P. Inversement, si f[P] est surjectif pour tout P, soit L_{M} (resp. L_{N}) le foncteur de Mackey projectif dans Mack_{k}(G, 1) tel que L_{M}(1) = M (resp. L_{N}(1) = N). Le morphisme f se prolonge en un morphisme ϕ de L_{M} dans L_{N}, tel que ϕ(1) = f. L’hypothèse entraîne que \overline{ϕ}(P), qui s’identifie à f[P], est surjectif pour tout P. Alors ϕ est une surjection directe, et f = ϕ(1) également. Ce qui prouve l’équivalence des conditions de la proposition 6.4 dans le cas surjectif.

Mais par dualité, cela prouve l’équivalence des conditions de la proposition 6.4 dans le cas injectif.

Soient alors de nouveau X, Y, et ϕ comme dans le lemme 6.3. Il est clair que si ϕ est une injection directe, alors \overline{ϕ}(P) est injectif pour tout P (c’est une injection directe). Inversement, si \overline{ϕ}(P) est injectif pour tout P, soit f = ϕ(1). Alors f est un morphisme de X(1) dans Y (1) tel que f[P] soit injectif pour tout P, donc f est une injection directe, et le lemme 22 entraîne que ϕ est une injection directe, ce qui termine la démontration du lemme 6.3 et de la proposition 6.4.

Comme les modules projectifs et les morphismes entre eux se relèvent de la caractéristique p à la caractéristique 0, il suffit de prouver le théorème 6.1 dans le cas où R est un corps k de caractéristique p.

Si M est un kG-module, et P un p-sous-groupe de G, je noterai Br_{P} le morphisme de projection de M^{P} sur M[P]. Si X est un rμ_{R}(G)-module, comme l’image de r_{1}^{P} est contenue dans X(1)^{P}, je peux par abus de langage noter Br_{P} r_{1}^{P} l’application composée de X(P) dans X(1)[P]. Avec ces notations:

Proposition 6.5. Soit X un rμ_{k}(G)-module. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le module X a une résolution projective finie.

2. Le module X(1) est un kG-module de permutations, et pour tout p-sous-groupe P de G, l’application Br_{P} r_{1}^{P} est un isomorphisme de X(P) sur X(1)[P].

Je vais démontrer que l’assertion 1 de la proposition entraîne l’assertion 2 par récurrence sur la longueur d’une résolution projective finie de X.

J’ai déjà observé (section 2) que l’assertion 2 est vraie si X est projectif: en effet, si P est un p-sous-groupe de G, si E est un kN_{G}(P)/P -module projectif, et si X = L_{P,E}, alors

X(Q) = ⊕_{x∈T_{G}(Q,P)/N_{G}(P)}x ⊗ E

D’autre part, le module X(1) s’identifie à Ind_{N_{G}(P)}^{G}E. Un élément v de X(1)^{Q} s’écrit donc ∑_{x∈G/P} x ⊗ v_{x}, la suite v_{x} étant telle que v_{σ_{q}(x)} = h_{q,x}v_{x}, en notant x ↦ σ_{q}(x) la permutation de G/P induite par q, et h_{q,x} l’élément de N_{G}(P) défini par qx = σ_{q}(x)h_{q,x}. En particulier, l’élément v_{x} est invariant par Q ∩ ^{x}P, et v s’écrit aussi

v = ∑_{x∈Q\G/N_{G}(P)} T r_{Q∩^{x}P}^{Q} (x ⊗ v_{x})

Il est alors clair que r_{1}^{Q}X(Q) est un supplémentaire dans X(1)^{Q} du noyau de Br_{Q}.

Soit donc X un rμ_{k}(G)-module ayant une résolution projective finie. Il existe un rμ_{k}(G)-module projectif L et un rμ_{k}(G)-module Y ayant une résolution projective strictement plus courte que celle de X, et une suite exacte

0 → Y →^{i} L → X → 0

L’hypothèse de récurrence entraîne que Y (1) est un module de p-permutations, et que Br_{P} r_{1}^{P} est un isomorphisme de Y (P) sur Y (1)[P]. Alors le diagramme commutatif

0 →  Y (P)  →^{i(P)} L(P)
↓ Br_{P} r_{1}^{P}  ↓ Br_{P} r_{1}^{P}
Y (1)[P] →^{i(1)[P]} L(1)[P]

où les flèches verticales sont des isomorphismes, montre que l’application i(1) est une injection de Y (1) dans L(1) telle que i(1)[P] soit injective pour tout P. Donc i(1) est une injection directe par le proposition 6.4, et la suite

0 → Y (1) →^{i(1)} L(1) → X(1) → 0

est exacte et scindée. En particulier, le module X(1) est facteur direct de L(1). C’est donc un module de p-permutations. Alors le diagramme complété

0 →  Y (P)  →^{i(P)}  L(P)  →  X(P)  → 0
↓ Br_{P} r_{1}^{P}  ↓ Br_{P} r_{1}^{P}  ↓ Br_{P} r_{1}^{P}
0 → Y (1)[P] →^{i(1)[P]} L(1)[P] → X(1)[P] → 0

montre que la flèche verticale de droite est un isomorphisme, ce qui prouve l’assertion 2 de la proposition.

Je vais à présent démontrer que l’assertion 2 de la proposition entraîne l’assertion 1. Tout d’abord une notation: si X est un rμ_{k}(G)-module, je note Supp(X) l’ensemble des sous-groupes P tels que X(P) ≠ 0, et \overline{Supp}(X) sa clôture “vers le bas” pour l’inclusion, i.e. l’ensemble des sous-groupes qui sont contenus dans un élément de Supp(X).

Soit X un rμ_{k}(G)-module ayant les propriétés de l’assertion 2 de la proposition. Je vais procéder par récurrence sur le cardinal de \overline{Supp}(X).

Il n’y a rien à démontrer si ce cardinal est nul, puisqu’alors X est nul, donc projectif. J’utiliserai alors le lemme suivant, que j’admets pour l’instant:

Lemme 6.6. Soit X un rμ_{k}(G)-module, et pour tout p-sous-groupe P de G, soit E_{P} l’enveloppe projective du kN_{G}(P)/P -module

X(P)/( ∑_{Q⊃P} r_{P}^{Q}X(Q))

Alors l’enveloppe projective de X est isomorphe à ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G}L_{P,E_{P}}.

Les propriétés de l’assertion 2 montrent en effet que si P est un élément maximal de Supp(X) (ou de \overline{Supp}(X), ce qui revient au même), alors le module X(P) est un kN_{G}(P)/P -module de p-permutations. De plus, si P ⊂ Q ⊆ N_{G}(P), alors X(P)[Q/P], isomorphe à X(1)[P][Q/P], donc à X(1)[Q], donc à X(Q), est nul. Alors X(P) est un kN_{G}(P)/P -module projectif. Comme de plus, r_{P}^{Q}X(Q) est nul si Q contient strictement P, je vois que X(P) est égal à E_{P} pour tout P maximal dans Supp(X).

Soit alors L = ⊕_{P} L_{P,E_{P}} l’enveloppe projective de X, et Y le noyau d’une surjection s de L sur X. Comme L_{P,E_{P}} (P) = E_{P} = X(P), je vois que Y (P) est nul si P est maximal dans Supp(X). De plus L(Q) est nul si Q n’est pas dans \overline{Supp(X)}: en effet, le support de L_{P,E_{P}} est l’ensemble des sous-groupes de G contenus dans P à conjugaison près, si E_{P}, donc X(P) sont non-nuls.

Le cardinal de \overline{Supp(Y)} est donc strictement plus petit que le cardinal de \overline{Supp(X)}. D’autre part, le diagramme commutatif

L(P) →^{s(P)}  X(P)  → 0
Br_{P} r_{1}^{P} ↓  ↓ Br_{P} r_{1}^{P}
L(1)[P] →^{s(1)[P]}  X(1)[P]

montre comme précédemment que s est une surjection scindée. De la même manière, le diagramme complété

0 →  Y (P)  →  L(P)  →^{s(P)}  X(P)  → 0
↓ Br_{P} r_{1}^{P}  ↓ Br_{P} r_{1}^{P}  ↓ Br_{P} r_{1}^{P}
0 → Y (1)[P] → L(1)[P] →^{s(1)[P]} X(1)[P] → 0

montre alors que Y a les propriétés de l’assertion 2. L’hypothèse de récurrence permet alors d’affirmer que Y a une résolution projective finie. Donc il en est de même de X, et la proposition 6.5 est démontrée.

Remarque 6.7. Le raisonnement précédent montre aussi que si p^{n} est la ppartie de l’ordre de G, alors tout rμ_{k}(G)-module ayant une résolution projective finie a une résolution de longueur inférieure ou égale à n. La longueur des résolutions projectives finies minimales est donc bornée.

Je dois à présent démontrer le lemme 24. Je rappelle que les rμ_{k}(G)-modules simples, que j’ai notés N_{P,V}, sont indexés par les paires {P, V }, où P est un p-sous-groupe de G et V un kN_{G}(P)/P -module simple. Ils sont définis par N_{P,V} (Q) = 0 si Q n’est pas conjugué de P, et N_{P,V} (P) = V. Il est alors facile de voir que pour tout rμ_{k}(G)-module X

Hom(X, N_{P,V}) = Hom_{kN_{G}(P)/P} (X(P)/ ∑_{Q⊃P} r_{P}^{Q}X(Q), V)

ce qui montre, en notant J(X) le radical de X, que

J(X)(P) = J(X(P)) + ∑_{Q⊃P} r_{P}^{Q}X(Q)

Le lemme 24 en découle facilement.

Je peux alors démontrer le théorème 6.1: soit X un rμ_{k}(G)-module tel que I(X) soit projectif. Alors, comme X(1) = I(X)(1), le module X(1) est un module de p-permutations. D’autre part, le module \overline{I(X)}(P) s’identifie à X(1)[P] si I(X) est projectif, par le lemme 5.10. Mais pour tout X, il s’identifie aussi à X(P). De plus le diagramme

X(P) → I(X)(P)
↓ r_{1}^{P}  ↓ r_{1}^{P}
X(1) → I(X)(1)

est commutatif, donc X vérifie les conditions de l’assertion 2 de la proposition 6.5. Donc X a une résolution projective finie, ce qui prouve l’assertion 2 du théorème.

Pour montrer que l’assertion 2 du théorème entraîne l’assertion 1, je procède par récurrence sur la longueur d’une résolution projective finie de X. Si X est projectif, alors I(X) est projectif, car le foncteur I est adjoint à gauche d’un foncteur exact.

Si X a une résolution projective finie, alors il existe un rμ_{k}(G)-module projectif L, un rμ_{k}(G)-module Y ayant une résolution projective strictement plus courte que X, et une suite exacte

0 → Y →^{i} L → X → 0

Alors I(Y) et I(L) sont des foncteurs de Mackey projectifs. De plus, puisque \overline{I(i)}(P) = i(P) est injectif pour tout P, le morphisme I(i) est une injection directe par le lemme 6.3. Comme le foncteur I est exact à droite, il en résulte que la suite

0 → I(Y) →^{I(i)} I(L) → I(X) → 0

est exacte et scindée, et le foncteur I(X) est donc projectif, ce qui prouve le théorème 6.1.

6.2. Exemples. Soit M un module de p-permutations. Il existe un unique foncteur de Mackey projectif L_{M} dans Mack_{k}(G, 1), tel que L_{M}(1) = M. La proposition 6.5 et le lemme 5.10 donnent une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un rμ_{k}(G)-module X tel que L_{M} soit isomorphe à I(X): en effet dans ce cas, le module X(P) doit être isomorphe à \overline{L_{M}}(P), donc à M[P]. Il doit donc exister des applications r_{Q}^{P}, définies pour Q ⊆ P, de M[P] dans M[Q], telles que

• r_{S}^{Q}r_{Q}^{P} = r_{S}^{P} si S ⊆ Q ⊆ P.
• r_{P}^{P} = Id pour tout P ∈ \underline{s}_{p}(G).
• xr_{Q}^{P}x^{−1} = r_{^{x}Q}^{^{x}P} pour tout x ∈ G et tout Q ⊆ P.

• r_{1}^{P} est injective et son image est un supplémentaire de KerBr_{P} dans M^{P} =

M[1]^{P}

Inversement, si de telles applications existent, alors elles définissent un rμ_{k}(G)- module X tel que I(X) soit projectif, et de plus I(X)(1) = X(1) = M, donc I(X) est isomorphe à L_{M}.

6.2.1. Modules de permutations. Un exemple simple de cette situation est le cas où M est un module de permutations: en effet, si B est une base de M stable par G, alors l’inclusion de B^{P} dans B^{Q} fournit l’application r_{Q}^{P} cherchée. Par exemple, si M = k, le foncteur L_{M} est le foncteur b_{p}(G) de Mack_{k}(G, 1) associé au foncteur de Burnside (i.e. le sous-foncteur du foncteur de Burnside tel que b_{p}(H) soit engendré par les H/P, le groupe P étant un p-sous-groupe de H). Le rμ_{k}(G)-module X associé est tel que X(P) = k pour tout P, les applications r_{Q}^{P} étant l’identité, de même que les conjugaisons par les éléments de G. En d’autres termes, le module X est isomorphe à R(F P_{k}). Donc

Proposition 6.8. Le module R(F P_{k}) a une résolution projective finie.

Je vais donner à présent d’autres exemples de cette situation.

6.2.2. Certains modules de p-permutations indécomposables. Je rappelle (cf.[2]) que les modules de p-permutations indécomposables peuvent être indexés par les paires (P, E), où P est un p-sous-groupe de G et E un kN_{G}(P)/P -module projectif indécomposable (non-nul): le module M(P, E) correspondant à la paire (P, E) est le seul module de p-permutations indécomposable de vortex P tel que M(P, E)[P] = E. La multiplicité de M(P, E) comme facteur direct d’un module de p-permutations N est égale à la multiplicité de E comme facteur direct de N[P]. Cette dernière est donnée par le

Lemme 6.9. Soit N un kG-module, et E un kG-module projectif. La multiplicité de E comme facteur direct de N est égale à

dim_{k}T r_{1}^{G}Hom_{k}(N, E/J(E))/dim_{k}End_{kG}(E/J(E))

En effet, dim_{k} T r_{1}^{G}Hom_{k}(N, E/J(E)) est la dimension de l’ensemble des kGhomomorphismes f de N dans E/J(E) qui factorisent par un module projectif, i.e. qui s’écrivent f = πg, où π est la projection de E sur E/J(E) (car E est l’enveloppe projective de E/J(E)). Comme π est essentiel, le morphisme g est alors surjectif si f est non-nul, donc surjectif. Alors E est facteur direct de N. Inversement, si N s’écrit N = E^{n} ⊕ M, le module E n’étant pas facteur direct de M, alors dim_{k}T r_{1}^{G}Hom_{k}(M, E/J(E)) est nul, et dim_{k}T r_{1}^{G}Hom_{k}(N, E/J(E)) est égal à ndim_{k}T r_{1}^{G}Hom_{k}(E, E/J(E)), donc à ndim_{k}End_{kG}(E/J(E)).

Proposition 6.10. Soit P (resp. Q) un p-sous-groupe de G, et E (resp. F) un kN_{G}(P)/P -module (resp. un kN_{G}(Q)/Q)-module) projectif indécomposable. Si M(P, E) est facteur direct de Ind_{N_{G}(Q)}^{G}F, alors il existe x ∈ G tel que Q^{x} ∩ O_{p}(N_{G}(P)) = P, et en particulier

Q ∩ O_{p}(G) ⊆ ^{x}P ⊆ Q

Corollaire 6.11. Si Q ⊆ O_{p}(G), alors le module Ind_{N_{G}(Q)}^{G}F est indécomposable (égal à M(Q, F)), et le foncteur L_{M(Q,F)} est isomorphe à I(L_{Q,F}).

En effet (cf. [1] lemme 3), si N = Ind_{N_{G}(Q)}^{G}F, alors

N[P] = ∑_{x∈N_{G}(P)\T_{G}(P,Q)/N_{G}(Q)} Ind_{N_{G}(P,^{x}Q)/P}^{N_{G}(P)/P} ^{x}F

De plus supposant pour simplifier x = 1, donc P ⊂ Q

dim_{k} T r_{1}^{N_{G}(P)/P} Hom_{k}(Ind_{N_{G}(P,Q)/P}^{N_{G}(P)/P} F, E/J(E)) = …

… = dim_{k} T r_{1}^{N_{G}(P,Q)/P} Hom_{k}(F, E/J(E))

Or N_{Q}(P)/P opère trivialement sur F, donc

dim_{k} T r_{1}^{N_{G}(P,Q)/P} Hom_{k}(F, E/J(E)) = …

… = dim_{k} T r_{N_{Q}(P)/P}^{N_{G}(P,Q)/P} Hom_{N_{Q}(P)/P} (F, T r_{1}^{N_{Q}(P)/P} (E/J(E))

Mais O_{p}(N_{G}(P)/P) opère trivialement sur le kN_{G}(P)/P module simple E/J(E). Cette expression est donc nulle si N_{Q}(P) ∩ O_{p}(N_{G}(P)) est différent de P, donc si Q ∩ O_{p}(N_{G}(P)) ≠ P.

Comme N_{G}(P) normalise P O_{p}(G), j’ai N_{P O_{p}(G)}(P) ⊆ O_{p}(N_{G}(P)), et je dois donc avoir Q ∩ N_{P O_{p}(G)}(P) = P, i.e. Q ∩ P O_{p}(G) = P, ou encore Q ∩ O_{p}(G) ⊆ P, ce qui prouve la proposition.

La première partie du corollaire en découle puisque le seul facteur de vortex Q de N est M(Q, F), avec multiplicité 1. D’autre part le foncteur I(L_{Q,F}) est projectif, et sa valeur sur le sous-groupe trivial est Ind_{N_{G}(Q)}^{G}F = M(Q, F).

Proposition 6.12. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Pour tout p-sous-groupe de G et tout kN_{G}(P)/P -module projectif indécomposable, le module Ind_{N_{G}(P)}^{G}E est indécomposable.

2. Pour tout module de p-permutations indécomposable M, il existe un p-sous-groupe P et un kN_{G}(P)/P -module projectif indécomposable E tels que M soit isomorphe à Ind_{N_{G}(P)}^{G}E.

3. Le groupe G a un p-Sylow normal.

4. Tout rμ_{k}(G)-module ayant une résolution projective finie est projectif.

Si l’assertion 1) est vraie, comme M(P, E) est facteur direct de Ind_{N_{G}(P)}^{G}E qui est indécomposable, il lui est isomorphe, et l’assertion 2) est vraie.

Il est clair que l’assertion 2 entraîne l’assertion 3: en effet, si le module k est isomorphe à Ind_{N_{G}(P)}^{G}E, alors en prenant les dimensions, je vois que [G : N_{G}(P)] dim_{k} E = 1, donc que P est un sous-groupe normal de G. Comme p ne divise pas la dimension du kN_{G}(P)/P -module projectif E, ce dernier groupe est un p’-groupe, et P est un p-sous-groupe de Sylow de G.

De même, si G a un p-Sylow normal, égal à O_{p}(G), alors tous les p-sous-groupes de G sont contenus dans O_{p}(G), et l’assertion 1) est vraie par la proposition précédente.

L’assertion 4) entraîne l’assertion 3) car je sais que R(F P_{k}) a une résolution projective finie. C’est donc un rμ_{k}(G)-module projectif, nécessairement indécomposable puisque R(F P_{k})(1) = k. Il existe donc P et E tels que R(F P_{k}) soit isomorphe à L_{P,E}. Alors k est isomorphe à Ind_{N_{G}(P)}^{G}E, et G a un p-Sylow normal par le raisonnement ci-dessus.

Pour prouver que l’assertion 1) entraîne l’assertion 4), j’utiliserai le lemme suivant:

Lemme 6.13. Soit P un p-sous-groupe de G et E un kN_{G}(P)/P -module projectif tel que le module Ind_{N_{G}(P)}^{G}E soit indécomposable. Soit X un rμ_{k}(G)-module ayant une résolution projective finie. Si M(P, E) = Ind_{N_{G}(P)}^{G}E est facteur direct de X(1), alors il existe un sous-module de X isomorphe à L_{P,E}.

Soit en effet α une injection directe de Ind_{N_{G}(P)}^{G}E dans X(1): l’application α est déterminée par un N_{G}(P)-homomorphisme de E dans X(1), i.e. par un N_{G}(P)/P -homomorphisme β de E dans X(1)^{P}. En composant cette application avec la projection Br_{P} sur X(1)[P], puis avec l’isomorphisme σ inverse de Br_{P} r_{1}^{P}, j’obtiens l’application ϕ = σBr_{P} β de E dans X(P), qui donne par adjonction un morphisme Φ de L_{P,E} dans X. Le morphisme Φ(1) est défini par

Φ(1)(x ⊗ e) = xr_{1}^{P} σBr_{P} β(e)

alors que α est définie par

α(x ⊗ e) = xβ(e)

Soit alors γ un morphisme de X(1) dans Ind_{N_{G}(P)}^{G}E tel que γα = Id. En particulier, j’ai γβ(e) = 1 ⊗ e. Le morphisme γΦ(1) est un endomorphisme du module indécomposable Ind_{N_{G}(P)}^{G}E. Il est donc inversible ou nilpotent. Mais

γΦ(1)(1 ⊗ e) = γr_{1}^{P} σBr_{P} β(e)

et

Br_{P} r_{1}^{P} σBr_{P} β(e) = Br_{P} β(e)

par définition de σ. Donc r_{1}^{P} σBr_{P} β(e) − β(e) ∈ KerBr_{P}, donc

γΦ(1)(1 ⊗ e) − 1 ⊗ e ∈ KerBr_{P}

ce qui peut encore s’écrire

γΦ(1)[P] = Id_{E}

prouvant que γΦ(1) n’est pas nilpotent, donc qu’il est inversible. Donc Φ(1) est une injection directe, ce qui prouve que Φ(1)[Q] est injectif pour tout Q, donc que Φ est injectif, ce qui prouve le lemme.

Alors si je suis dans les conditions de l’assertion 1) de la proposition, et si X est un contre-exemple minimal à l’assertion 4), soit M(P, E) = Ind_{N_{G}(P)}^{G}E un facteur direct indécomposable de X(1), et L un sous-module de X isomorphe à L_{P,E}. Le quotient Y de X par L a une résolution projective finie: en effet, un module Y a une résolution projective finie si et seulement si il existe un entier n tel que Ext^{m}(Y, Z) = 0 pour tout Z et tout m ≥ n. Alors si

0 → A → B → C → 0

est une suite exacte, la suite exacte longue des Ext associée montre que si deux des modules A, B, C ont une résolution projective finie, le troisième aussi.

Alors la minimalité de X entraîne que Y est projectif, donc facteur direct de X, qui est donc somme directe de deux modules projectifs, donc projectif, ce qui contredit l’hypothèse faite sur X et termine la démonstration de la proposition.

6.2.3. Intersections quasi-triviales. Je dirai qu’un p-sous-groupe de G est à intersections quasi-triviales si pour tout x ∈ G, ou bien P = P^{x}, ou bien P ∩ P^{x} ⊆ O_{p}(G). Dans le cas où O_{p}(G) = (1), cette définition est celle d’un sous-groupe à intersections triviales. Dans ces conditions:

Proposition 6.14. Soit P un p-sous-groupe de G à intersections quasi-trivia-les, et M un kG-module de p-permutations indécomposable de vortex P. Alors il existe un rμ_{k}(G)-module X tel que I(X) = L_{M}.

En effet, si M(Q, F) est un facteur direct de Ind_{N_{G}(P)}^{G}E, alors il existe x ∈ G tel que P^{x} ∩ O_{p}(N_{G}(Q)) = Q. Alors si Q ⊈ O_{p}(G), le groupe Q est contenu dans un seul conjugué P^{x} de P, donc N_{G}(Q) normalise P^{x}, ce qui prouve que N_{P^{x}}(Q) ⊆ O_{p}(N_{G}(Q)). Alors nécessairement P^{x} = Q. Le module Ind_{N_{G}(P)}^{G}E est donc somme directe de M(P, E) et de modules indécomposables de vortex contenus dans O_{p}(G).

Soit alors M un kG-module de p-permutations indécomposable de vortex P. Je note E le kN_{G}(P)/P -module projectif M[P]. Si P est contenu dans O_{p}(G), alors Ind_{N_{G}(P)}^{G}E est indécomposable, égal à M(P, E), et le rμ_{k}(G)-module X = L_{P,E} est tel que I(X) soit projectif, et X(1) = Ind_{N_{G}(P)}^{G}E = M(P, E). Donc X répond à la question pour le module M = M(P, E).

Si P n’est pas contenu dans O_{p}(G), soit X un quotient minimal de L_{P,E} tel que X ait une résolution projective finie, et que X(P) = E. Un tel quotient existe, puisque L_{P,E}(P) = E.

Comme X est quotient de L_{P,E}, et comme X a une résolution projective finie, je sais que X(1) est facteur direct de Ind_{N_{G}(P)}^{G}E = L_{P,E}(1).

Alors si M(Q, F) est un facteur direct indécomposable de X(1), ou bien Q est conjugué de P, ou bien Q est contenu dans O_{p}(G). Dans ce cas, le module Ind_{N_{G}(Q)}^{G}F est indécomposable, égal à M(Q, F), et l’injection directe de M(Q, F) dans X(1) fournit une injection de L_{Q,F} dans X, donc une suite exacte

0 → L_{Q,F} → X → Y → 0

Alors Y est un quotient de L_{P,E}, puisque X en est un, et de plus Y (P) est égal à E, puisque L_{Q,F} (P) = 0. Comme Y a une résolution projective finie, ceci contredit l’hypothèse faite sur X, ce qui prouve que Q est conjugué de P, donc que F = E, et que X(1) est indécomposable de vortex P, tel que X(1)[P] = E. Le module X répond donc à la question, ce qui prouve la proposition.

Proposition 6.15. Si les p-Sylows de G/O_{p}(G) sont à intersections triviales, alors:

1. Pour tout p-sous-groupe P de G et tout kN_{G}(P)/P -module projectif E, il existe un kN_{G}(P ∩ O_{p}(G))/(P ∩ O_{p}(G))-module projectif F tels que

Ind_{N_{G}(P)}^{G}E = M(P, E) ⊕ Ind_{N_{G}(P ∩O_{p}(G))}^{G}F

2. Pour tout kG-module de p-permutations M, il existe un rμ_{k}(G)-module X tel que I(X) = L_{M}.

En effet, si les p-Sylows de G/O_{p}(G) sont à intersections triviales, alors les p-Sylows de G sont à intersections quasi-triviales. Si P est un p-sous-groupe de G non contenu dans O_{p}(G), si S est un p-Sylow de G contenant P, alors S est le seul p-Sylow de G contenant P.

Alors si M(Q, F) est un facteur direct indécomposable de Ind_{N_{G}(P)}^{G}E, il existe x ∈ G tel que P^{x} ∩ O_{p}(N_{G}(Q)) = Q, et P^{x} ∩ O_{p}(G) ⊆ Q. Si Q n’est pas contenu dans O_{p}(G), alors S^{x} est le seul p-Sylow de G contenant Q.En particulier N_{G}(Q) ⊆ N_{G}(S^{x}), et N_{S^{x}}(Q) ⊆ O_{p}(N_{G}(Q)). Donc N_{P^{x}}(Q) ⊆ O_{p}(N_{G}(Q)), ce qui prouve que Q = P^{x}. Et si Q est contenu dans O_{p}(G), alors Q = P^{x} ∩ O_{p}(G), ce qui prouve l’assertion 1).

Soit alors M un module de p-permutations indécomposable de vortex P, et E = M[P]. Soit comme ci-dessus X un quotient minimal de L_{P,E} ayant une résolution projective finie, et tel que X(P) = E.

En particulier, le module X(1) est facteur direct de Ind_{N_{G}(P)}^{G}E. Donc si P ⊆ O_{p}(G), alors X(1) est égal à Ind_{N_{G}(P)}^{G}E = M(P, E), et X répond aux conditions de l’assertion 2).

Si P n’est pas contenu dans O_{p}(G), soit M(Q, F) un facteur direct indécomposable de X(1). Alors M(Q, F) est facteur direct de Ind_{N_{G}(P)}^{G}E. Donc si Q n’est pas conjugué de P, alors Q ⊆ O_{p}(G), et M(Q, F) = Ind_{N_{G}(Q)}^{G}F est facteur direct de X(1). Le module L_{Q,F} est alors un sous-module de X, et le quotient Y est un quotient de L_{P,E} plus petit que X, ayant une résolution projective finie, et tel que Y (P) = X(P) = E, puisque L_{Q,F} (P) = 0. Cela contredit la définition de X, et prouve que Q = P, donc que F = E, et que X(1) est indécomposable. Comme X(1)[P] = X(P) = E, ceci prouve que X(1) est isomorphe à M, d’où l’assertion 2).

6.2.4. Le cas des groupes cycliques. Si M est un module de p-permutations indécomposable de vortex P, alors M est facteur direct de Ind_{P}^{G}k. Ceci revient à dire qu’il existe une forme linéaire ϕ sur M invariante par P, et un vecteur f de M^{P}, tels que

Id_{M} = T r_{P}^{G}(ϕ ⊗ f)

en notant ϕ ⊗ f l’endomorphisme de M défini par

(ϕ ⊗ f)(v) = ϕ(v)f

Soit alors Q un p-sous-groupe de G. Je définis un endomorphisme α_{Q} de M en posant

α_{Q}(v) = ∑_{x∈T_{G}(Q,P)/P} ϕ(x^{−1}v)xf

de sorte que α_{1} est l’application identique. Alors:

Lemme 6.16. Avec ces notations:

1. Si Q ∈ \underline{s}_{p}(G) et x ∈ G, alors xα_{Q}x^{−1} = α_{^{x}Q}.

2. L’image de α_{Q} est contenue dans M^{Q}, et son noyau contient [Q, M].

3. Si A ⊇ B ⊆ C, alors α_{A}α_{B}α_{C} = α_{A}α_{C}

4. En particulier, pour tout p-sous-groupe Q de G, j’ai

α_{Q}^{3} = α_{Q}^{2}

et α_{Q}^{2} est un projecteur dont l’image est isomorphe à M[Q].

L’assertion 1) tient au fait que T_{G}(^{x}Q, P) = T_{G}(Q, P)x. Pour l’assertion 2), j’observe que si q ∈ Q, alors

qα_{Q}(v) = q ∑_{x∈T_{G}(Q,P)/P} ϕ(x^{−1}v)xf = ∑_{x∈T_{G}(Q,P)/P} ϕ(x^{−1}v)xq^{x}f = α_{Q}(v)

puisque f est invariant par P. La seconde partie de l’assertion 2) se déduit alors de l’assertion 1), puisque α_{Q}(qv) = qα_{Q}(v) = α_{Q}(v). Sous les hypothèses de l’assertion 3), soit v ∈ M^{B}. Puisque α_{1} est l’identité, je peux écrire

v = ∑_{x∈B\G/P} ∑_{y∈B/B∩^{x}P} ϕ(x^{−1}y^{−1}v)yxv

ou encore puisque v est invariant par B

v = ∑_{x∈B\G/P} ϕ(x^{−1}v)T r_{B∩^{x}P}^{B} (xv)

Or α_{A}(T r_{B∩^{x}P}^{B} (xv)) = 0 si B ⊈ ^{x}P, et donc

α_{A}(v) = α_{A}α_{B}(v) si v ∈ M^{B}

et comme l’image de α_{C} est contenue dans M^{C}, donc dans M^{B}, l’assertion 3) est démontrée.

La première partie de l’assertion 4) s’en déduit en prenant A = B = C = Q. La seconde résulte du fait que pour v ∈ M^{Q}, le vecteur v − α_{Q}(v) est dans le noyau de Br_{Q}, lui même contenu dans le noyau de α_{Q}.

Dans le cas où P est cyclique, j’en déduis la

Proposition 6.17. Soit P un p-sous-groupe cyclique de G, et M un kGmodule de p-permutations indécomposable de vortex P. Alors il existe un rμ_{k}(G)- module X tel que I(X) = L_{M}. Si les p-Sylows de G sont cycliques, alors pout tout module de p-permutations indécomposable M il existe un rμ_{k}(G)-module X tel que I(X) = L_{M}.

Avec les notations précédentes, je pose, pour tout p-sous-groupe Q de G

β_{Q} = α_{Φ^{n}(Q)}α_{Φ^{n−1}(Q)} … α_{Φ(Q)}α_{Q}^{2}

en notant Φ(Q) le sous-groupe de Frattini de Q, l’entier n étant choisi tel que Φ^{n+1}(Q) = (1) (la définition de β_{Q} ne dépend pas d’un tel entier n, puisque α_{1} = Id). Il est clair que si x ∈ G, alors

xβ_{Q}x^{−1} = β_{^{x}Q}

De plus, si S est un sous-groupe de Q, il existe k tel que S = Φ^{k}(Q), et

α_{S}β_{Q} = α_{Φ^{k}(Q)}α_{Φ^{n}(Q)}α_{Φ^{n−1}(Q)} … α_{Φ(Q)}α_{Q}^{2}

donc

α_{S}β_{Q} = α_{Φ^{k}(Q)}α_{Φ^{k+1}(Q)} … α_{Q}^{2}

ce qui donne

β_{S}β_{Q} = β_{Q}

Il en résulte que β_{Q} est un projecteur. De plus, il est clair que β_{Q}α_{Q} = β_{Q}, et que α_{Q}β_{Q} = α_{Q}^{2} (c’est le cas S = Q, donc k = 0, de l’égalité ci-dessus). En particulier, les projecteurs β_{Q} et α_{Q}^{2} ont même noyau, donc des images isomorphes à M[Q]. De plus si S est un sous-groupe de Q, alors β_{S}β_{Q} = β_{Q}, et l’image de β_{Q} est contenue dans celle de β_{S}.

En notant r_{S}^{Q} cette inclusion, j’obtiens les applications cherchées de M[Q] dans M[S]: je définis ainsi un rμ_{k}(G)-module X tel que I(X) soit projectif et I(X)(1) = M, donc I(X) est isomorphe à L_{M}, ce qui prouve la proposition. Le corollaire s’en déduit trivialement.

6.2.5. Un contre-exemple. Soit G le groupe symétrique S_{5}, et k le corps à deux éléments. Je vais construire un kG-module M pour lequel il sera impossible de trouver un rμ_{k}(G)-module X tel que I(X) soit isomorphe à L_{M}.

Soit M un espace vectoriel de dimension 6 sur k. Je fais opérer les générateurs standard de S_{5} sur M par la correspondance ρ suivante:

ρ((12)) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ρ((23)) = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

ρ((34)) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ρ((45)) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Alors ρ((12)), ρ((23)), et ρ((34)) permutent les vecteurs de base de M suivant la correspondance

ρ((12)) ↦ (23)(45)  ρ((23)) ↦ (12)(56)  ρ((34)) ↦ (24)(35)

Il est alors clair que la restriction de ρ au groupe S_{4} engendré par (12), (23), et (34) est une représentation de permutations de S_{4}.

Un calcul élémentaire montre que ρ((45)) commute à ρ((12) et ρ((23)), et que le produit ρ((34))ρ((45)) est d’ordre 3. Il en résulte que ρ est une représentation de S_{5}, ou que M est un kS_{5} module.

Comme la restriction de M à S_{4} est un module de permutations, et comme S_{4} contient un 2-Sylow de S_{5}, le module M est un kS_{5}-module de 2-permutations.

Soit S le 2-Sylow de S_{5} engendré par (12), (34) et (13)(24). Alors S stabilise la base canonique B = {e_{1}, …, e_{6}} de M. Comme

(13)(24) = (23)(34)(12)(23)

l’élément (13)(24) de S opère sur B par la permutation

(12)(56)(24)(35)(23)(45)(12)(56) = (16)(34)

Les orbites de S sur B sont donc {e_{1}, e_{6}} et {e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}}. Le stabilisateur de e_{1} dans S est le groupe P engendré par (12) et (34), et le stabilisateur de e_{2} dans S est le groupe T engendré par (13)(24). Il en résulte que

Res_{S}^{S_{5}}M = Ind_{P}^{S} k ⊕ Ind_{T}^{S} k

Les facteurs directs indécomposables de M sont donc de vortex contenus dans P ou dans T à conjugaison près. Le module M n’a aucun facteur direct projectif, puisque sa dimension est inférieure à la 2-composante de l’ordre de S_{5}. D’autre part, le module M[T] a une base en bijection avec B^{T} = {e_{2}, e_{5}}. Comme N_{S_{5}}(T)/T est d’ordre 4, il en résulte que M[T] n’a aucun facteur direct kN_{S_{5}}(T)/T -projectif. Le module M n’a donc que des facteurs directs indécomposables de vortex non-triviaux contenus dans P.

Le module M[P] a une base en bijection avec B^{P}, composée des vecteurs e_{1} et e_{6}. Le normalisateur de P dans S_{5} est égal à S, et le groupe S échange e_{1} et e_{6}. Il en résulte que le module M[P] est kN_{S_{5}}(P)/P -projectif indécomposable, donc que M a un facteur direct isomorphe à M(P, E_{k}), en notant E_{k} l’enveloppe kN_{S_{5}}(P)/P -projective du module trivial.

Soit alors Q le sous-groupe de P engendré par (12). Le module M[Q] a une base en bijection avec B^{Q}, c’est-à-dire {e_{1}, e_{6}}. Le normalisateur de Q, isomorphe à Z/2Z × S_{3}, est engendré par Q et les éléments (34) et (45), qui opèrent trivialement sur le quotient de M par le sous-espace engendré par {e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5}}. Donc N_{S_{5}}(Q)/Q opère trivialement sur M[Q], qui n’a donc aucun facteur direct projectif comme kN_{S_{5}}(Q)/Q-module. Il en résulte que M n’a aucun facteur direct de vortex Q.

Le seul sous-groupe propre non-trivial de P qui ne soit pas conjugué de Q est le groupe U engendré par (12)(34), qui opère sur B par la permutation (25)(34).

Donc M[U] est de dimension 2. Comme N_{S_{5}}(U)/U est d’ordre 4, le module M[U] n’a aucun facteur direct projectif comme kN_{S_{5}}(U)/U-module, et le module M n’a aucun facteur direct de vortex U.

Le module M est donc indécomposable de vortex P. Comme M[P] est l’enveloppe projective du module trivial, le module M est le module de Scott de S_{5} pour le sous-groupe P (cf. [2]).

Alors s’il est possible de trouver des applications de restriction convenables, en particulier, l’application r_{1}^{P} doit être injective, ainsi que l’application r_{Q}^{P}, puisque r_{1}^{P} = r_{1}^{Q}r_{Q}^{P}. Comme M[P] et M[Q] ont la même dimension, l’application r_{Q}^{P} doit être surjective. Alors r_{1}^{P} et r_{1}^{Q} ont la même image W, qui doit être un sous-espace de M^{P} invariant par le groupe H engendré par N_{S_{5}}(P) et N_{S_{5}}(Q).

Le groupe H est un sous-groupe transitif de S_{5} qui contient une transposition. Donc H = S_{5}. D’autre part, un vecteur v de M^{P} est de la forme

v = ( \begin{matrix}a \\ b \\ b \\ b \\ b \\ c \end{matrix} )

Le transformé de v par ρ((23)) est le vecteur

ρ((23))(v) = ( \begin{matrix}b \\ a \\ b \\ b \\ c \\ b \end{matrix} )

Donc si v ∈ W, alors ρ((23))(v) ∈ W et alors a = b = c. Le seul sous-espace de M^{P} invariant par S_{5} est donc de dimension 1, engendré par le vecteur

v = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )

C’est le module M^{S_{5}}. L’espace W ne peut pas être de dimension 2, et il est donc impossible de trouver un rμ_{k}(G)-module X tel que I(X) = L_{M}.

7. Complexes de foncteurs de Mackey projectifs

Je supposerai ici que l’anneau R est un anneau local complet, dont le corps résiduel k est de caractéristique p.

7.1. Complexes scindés. Soit A un anneau et L^{∗} un complexe de A-modules, dont la différentielle d est de degré 1. Dans [7], Webb donne la définition suivante d’un complexe scindé: le complexe L^{∗} est scindé si il existe des applications α_{n} de L^{n} dans L^{n−1} telles que pour tout n,

d^{n}α_{n+1}d^{n} = d^{n}

Lemme 7.1. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le complexe L^{∗} est scindé.

2. Le complexe L^{∗} est homotope à un complexe à différentielles nulles.

En effet, si M^{∗} est un complexe à différentielles nulles, et f une équivalence d’homotopie de L^{∗} dans M^{∗}, d’inverse g, alors il existe des applications α_{n} de L^{n} dans L^{n−1} telles que

Id − g_{n}f_{n} = d^{n−1}α_{n} + α_{n+1}d^{n}

Alors d^{n}α_{n+1}d^{n} = d^{n} − d^{n}g_{n}f_{n}, et d^{n}g_{n} est nul puisque g est un morphisme de complexes et puisque la différentielle de M^{∗} est nulle.

Inversement, si L^{∗} est scindé, soit M^{n} = H^{n}(L^{∗}) son n-ième groupe d’homologie. Je considère M^{∗} comme un complexe à différentielles nulles. Soit Z^{n} le noyau de d^{n}, soit i_{n} l’injection de Z^{n} dans L^{n}, et p_{n} la projection de Z^{n} sur M^{n}. L’image de Id − α_{n+1}d^{n} est dans Z^{n} par hypothèse, et je pose

f_{n} = p_{n}(Id − α_{n+1}d^{n})

Inversement, l’application Id − d^{n−1}α_{n} envoie Z^{n} dans lui-même, et sa restriction à Z^{n} factorise par M^{n}, sous la forme

Id − d^{n−1}α_{n} = h_{n}p_{n}

et je note g_{n} la composée de h_{n} et i_{n}. Il est alors clair que si u = p_{n}(v) ∈ M^{n}

f_{n}g_{n}(u) = p_{n}(Id − α_{n+1}d^{n})i_{n}h_{n}p_{n}(v) = p_{n}(Id − α_{n+1}d^{n})(Id − d^{n−1}α_{n})(v)

ou encore, puisque d^{n}(v) = 0

f_{n}g_{n}(u) = p_{n}(v − d^{n−1}α_{n}(v)) = p_{n}(v) = u

Inversement, si w ∈ L^{n}, alors

g_{n}f_{n}(w) = i_{n}h_{n}p_{n}(Id − α_{n+1}d^{n})(w) = i_{n}(Id − d^{n−1}α_{n})(Id − α_{n+1}d^{n})(w)

soit

g_{n}f_{n} = Id − α_{n+1}d^{n} − d^{n−1}(α_{n} − α_{n}α_{n+1}d^{n})

et en posant β_{n} = α_{n} − α_{n}α_{n+1}d^{n}, j’ai bien

g_{n}f_{n} = Id − β_{n+1}d^{n} − d^{n−1}β_{n}

ce qui montre que L^{∗} est homotope à M^{∗}.

Il résulte de ce lemme que L^{∗} est homotope au complexe nul si et seulement si L^{∗} est acyclique et scindé au sens de la définition ci-dessus.

Corollaire 7.2. Soit L^{∗} un complexe de A-modules. Si pour tout entier n, il existe un complexe M^{∗} (dépendant éventuellement de n) homotope à L^{∗} et tel que M^{n} = 0, alors L^{∗} est homotope au complexe nul.

En effet dans ces conditions, le complexe L^{∗} est certainement acyclique, puisque H^{n}(L^{∗}) = H^{n}(M^{∗}) = 0. De plus, si f est une équivalence d’homotopie de L^{∗} dans M^{∗}, d’inverse g, alors il existe des applications α_{m} de L^{m} dans L^{m−1} et β_{m} de M^{m} dans M^{m−1} telles que pour tout m

Id − g_{m}f_{m} = α_{m+1}d^{m} + d^{m−1}α_{m}

En particulier, je vois que d^{n} − d^{n}g_{n}f_{n} = d^{n}α_{n+1}d^{n}, et comme M^{n} = 0, j’ai d^{n}g_{n} = 0. Alors le complexe L^{∗} est scindé, donc il est homotope au complexe nul.

7.2. Complexes scindés de foncteurs de Mackey projectifs. Le lemme 6.3 et la proposition 6.4 peuvent se généraliser sous la forme suivante:

Proposition 7.3. Soit L^{∗} un complexe de foncteurs de Mackey projectifs dans Mack_{R}(G, 1), tel qu’il existe n avec L^{n} = 0. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le complexe L^{∗} est acyclique et scindé.

2. Pour tout p-sous-groupe P de G, le complexe \overline{L}^{∗}(P) est acyclique.

Il est clair que l’assertion 1) entraîne l’assertion 2). Inversement, je peux par exemple supposer que L^{−1} est nul. Le lemme 6.3 montre alors que d^{0} est une injection directe, ce qui revient à dire que le complexe L^{∗} est homotope au complexe

… L^{−2} →^{d^{−2}} 0 → 0 → 0 → L^{1}/L^{0} →^{d′^{1}} L^{2} → …

Le lemme 6.3 montre aussi que d^{−3} est une surjection scindée. Par récurrence, il en résulte que le complexe L^{∗} est homotope à un complexe ayant un nombre arbitraire de modules nuls consécutifs autour de L_{0}, et le corollaire 7.2 permet de conclure.

De même:

Proposition 7.4. Soit M^{∗} un complexe de RG-modules de p-permutations, tel qu’il existe n avec M^{n} = 0. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le complexe M^{∗} est acyclique et scindé.

2. Pour tout p-sous-groupe de G, le complexe M^{∗}[P] est acyclique.

Si K^{∗} et L^{∗} sont deux complexes de modules sur un anneau quelconque, à tout morphisme f de K^{∗} dans L^{∗} est associé un troisième complexe, le cône de f, noté C^{∗}(K, L, f) ayant les propriétés suivantes:

• Le complexe C^{∗}(K, L, f) est acyclique si et seulement si H^{n}(f) est un isomorphisme pour tout n (i.e. si f est un homologisme)

• Le complexe C^{∗}(K, L, f) est acyclique et scindé si et seulement si f est une équivalence d’homotopie.

• Le module C^{n}(K, L, f) est la somme directe de K^{n} et de L^{n−1}. La troisième propriété permet de voir que si K^{∗} et L^{∗} sont des complexes de foncteurs de Mackey dans Mack_{R}(G, 1), il en est de même de C^{∗}(K, L, f). De même, si K^{∗} et L^{∗} sont des complexes de modules de p-permutations, il en est de même de C^{∗}(K, L, f). Les propositions et remarques ci-dessus donnent alors les deux propositions suivantes:

Proposition 7.5. Soient K^{∗} et L^{∗} des complexes de foncteurs de Mackey projectifs dans Mack_{R}(G, 1), tels qu’il existe n tel que K^{n} = L^{n} = 0 et K^{n−1} = L^{n−1} = 0. Soit f un morphisme de K^{∗} dans L^{∗}. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le morphisme f est une équivalence d’homotopie.

2. Pour tout p-sous-groupe P de G, le morphisme \overline{f}(P) est un homologisme.

Proposition 7.6. Soient M^{∗} et N^{∗} des complexes de kG-modules de p-per-mutations, tels qu’il existe m tel que M^{n} = N^{n} = 0 et M^{n−1} = N^{n−1} = 0. Soit f un morphisme de M^{∗} dans N^{∗}. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le morphisme f est une équivalence d’homotopie.

2. Pour tout p-sous-groupe P de G, le morphisme f[P] est un homologisme.

7.3. Complexes de p-permutations. Je vais essayer de voir comment se transforment les résultats précédents lorsque l’hypothèse “pour tout P ” est remplacée par “pour tout P non-trivial”: la conséquence de ce changement sera le remplacement des modules nuls par des modules projectifs, des foncteurs de Mackey nuls par des foncteurs de Mackey projectifs de vortex trivial, des complexes acycliques et scindés par des complexes homotopes à des complexes de modules projectifs.

Je supposerai que R est un corps k. J’appelle complexe de p-permutations un complexe de kG-modules de p-permutations.

Je vais chercher ici à quelles conditions un tel complexe est homotope à un complexe de kG-modules projectifs. Je peux tout d’abord me ramener au cas où G est un p-groupe:

Lemme 7.7. Soit L^{∗} un complexe de kG-modules de type fini, et S un p-Sylow de G. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le complexe L^{∗} est homotope à un complexe de kG-modules projectifs.

2. La restriction de L^{∗} à S est homotope à un complexe de kS-modules projectifs.

Il est clair que l’assertion 1) entraine l’assertion 2). Inversement, soit E^{∗} un complexe de kS-modules projectifs, et a une équivalence d’homotopie de E^{∗} dans Res_{S}^{G}L^{∗}, d’inverse b. Alors le complexe Ind_{S}^{G}E^{∗} est un complexe de kG-modules projectifs, et les morphismes a et b fournissent par adjonction des morphismes A et B entre Ind_{S}^{G}E^{∗} et L^{∗}. Il est facile de voir que le morphisme AB est homotope à [G : S]Id. Le lemme résulte alors du lemme suivant:

Lemme 7.8. Soient M^{∗} et L^{∗} des complexes de kG-modules de type fini. Soit A un morphisme de M^{∗} dans L^{∗} et B un morphisme de L^{∗} dans M^{∗} tels que AB soit homotope à l’identité de L^{∗}. Alors L^{∗} est homotope à un facteur direct de M^{∗}.

En effet, soit L_{1}^{∗} = ∩_{n}(AB)^{n}(L^{∗}), et L_{2}^{∗} = ∑_{n} Ker(AB)^{n}. Alors L_{1}^{∗} et L_{2}^{∗} sont des sous-complexes de L^{∗}, stables par AB, et L^{∗} s’identifie à la somme directe des complexes L_{1}^{∗} et L_{2}^{∗}. La restriction de AB à L_{1}^{∗} et L_{2}^{∗} est homotope à l’identité. Comme en chaque degré n, la restriction de AB à L_{2}^{n} est nilpotente, il en résulte que pour tout n, il existe un complexe K^{∗} homotope à L_{2}^{∗}, tel que K^{n} = 0. Alors le complexe L_{2}^{∗} est homotope au complexe nul, et le complexe L^{∗} est homotope au complexe L_{1}^{∗}.

D’autre part, le complexe L_{1}^{∗} est isomorphe au complexe B(L_{1}^{∗}), lui-même homotope à ∩_{n}(BA)^{n}(M^{∗}), qui est facteur direct de M^{∗}. Ceci prouve le lemme.

Les lemmes précédents permettent de démontrer la

Proposition 7.9. Soit L^{∗} un complexe de kG-modules de p-permutations, tel qu’il existe un entier n pour lequel L^{n} est projectif. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le complexe L^{∗} est homotope à un complexe de kG-modules projectifs.

2. Pour tout p-sous-groupe P non-trivial de G, le complexe L^{∗}[P] est acyclique.

Il est clair que l’assertion 1) entraîne l’assertion 2). Pour montrer la réciproque, j’ai besoin d’une notation:

Si X et Y son des kG-modules, je noterai J_{kG}(X, Y) l’ensemble des kGhomomorphismes f de X dans Y tels que pour tout kG-homomorphisme g de Y dans X, le morphisme gf soit nilpotent. Par exemple, J_{kG}(X, X) est le radical de Jacobson de End_{kG}(X). Il est facile de voir d’autre part que cette définition est bi-additive en X et Y: l’isomorphisme canonique entre Hom_{kG}(X, Y ⊕ Z) et Hom_{kG}(X, Y)⊕Hom_{kG}(X, Z) induit en effet un isomorphisme entre J_{kG}(X, Y ⊕Z) et J_{kG}(X, Y) ⊕ J_{kG}(X, Z). De même, si X^{∗} et Y^{∗} sont les duaux respectifs de X et Y, alors ϕ ∈ J_{kG}(X, Y) si et seulement si ϕ^{∗} ∈ J_{kG}(Y^{∗}, X^{∗}): en effet, le morphisme ψ^{∗}ϕ^{∗} est nilpotent si et seulement si le morphisme ϕ^{∗}ψ^{∗} = (ψϕ)^{∗} l’est.

Par le lemme précédent, je peux supposer que G est un p-groupe. Soit alors n un entier quelconque, et ϕ un morphisme de L^{n+1} dans L^{n}, tel que ϕd^{n} ne soit pas nilpotent. Le diagramme

… L^{n−1} →  L^{n}  →^{d^{n}} L^{n+1} → L^{n+2} …
0 ↓  ϕd^{n} ↓  ↙^{ϕ}  ↓ d^{n}ϕ  ↓ 0
… L^{n−1} →  L^{n}  →^{d^{n}} L^{n+1} → L^{n+2} …

définit alors un endomorphisme γ de L^{∗} homotope à 0. Je peux alors remplacer L^{∗} par son facteur direct ∩_{m}(Id + γ)^{m}(L^{∗}), qui lui est homotope. Les seules modules que je modifie par cette opération sont L^{n} et L^{n+1}, qui sont remplacés par des facteurs directs L′^{n} et L′^{n+1}. Les différentielles d^{n−1}, d^{n} et d^{n+1} deviennent respectivement d′^{n−1}, d′^{n} et d′^{n+1}. Si d^{n−1} ∈ J_{kG}(L^{n−1}, L^{n}), alors d′^{n−1} ∈ J_{kG}(L′^{n−1}, L′^{n}). De même, si d^{n+1} ∈ J_{kG}(L^{n+1}, L^{n+2}), alors d′^{n+1} ∈ J_{kG}(L′^{n+1}, L′^{n+2}).

Je peux donc supposer que d_{n} ∈ J_{kG}(L^{n}, L^{n+1}) pour tout n.

Soit alors k un entier tel que L^{k} soit un kG-module projectif. Si l’un des modules L^{n}, pour n > k, n’est pas projectif, soit n le plus petit entier supérieur à k tel que L^{n} ne soit pas projectif.

Soit de plus Q un sous-groupe maximal de G qui soit vortex d’un facteur direct indécomposable de L^{n}. Le seul kG-module de p-permutations indécomposable de vortex Q est Ind_{Q}^{G}k, car G est un p-groupe. Le module M est alors somme de sa partie A de vortex Q, isomorphe à une somme d’un certain nombre de copies de Ind_{Q}^{G}k, et d’un module X tel que X[Q] = 0. Le module L^{n+1} est quant à lui somme de sa partie B de vortex Q, d’un module Z tel que Z[Q] = 0, et d’un module Y n’ayant que des facteurs directs de vortex strictement plus grands que Q.

Alors d^{n} peut être représenté par une matrice

( \begin{matrix}ϕ_{B,A} & ϕ_{B,X} \\ ϕ_{Y,A} & ϕ_{Y,X} \\ ϕ_{Z,A} & ϕ_{Z,X} \end{matrix} )

Le morphisme d^{n}[Q] peut alors être représenté par la matrice

( \begin{matrix}ϕ_{B,A}[Q] \\ ϕ_{Y,A}[Q] \end{matrix} )

Alors si Q ≠ (1), comme le complexe L^{∗}[Q] est acyclique, et comme L^{n−1}[Q] = 0, l’application d^{n}[Q] doit être injective.

Le morphisme ϕ_{B,A} est une matrice à coefficients dans End_{kG}(Ind_{Q}^{G}k), dont chaque coefficient est en fait dans J(End_{kG}(Ind_{Q}^{G}k)), donc annule le socle de Ind_{Q}^{G}k (isomorphe à k), puisque ϕ ∈ J_{kG}(M, N). Donc ϕ_{B,A} annule le socle de A.

Or ce socle s’envoie \underline{sur} le socle de A[Q]. Donc ϕ_{Y,A}[Q] restreinte à ce socle doit être injective, donc ϕ_{Y,A}[Q] doit être injective. Alors A[Q], qui est projectif comme N_{G}(Q)/Q module, s’injecte dans Y [Q], donc A[Q] est facteur direct de Y [Q]. Mais comme Y n’a que des facteurs directs de vortex strictement plus grands que Q, c’est impossible, et cette contradiction prouve que Q = (1), donc que L^{n} est projectif.

Donc L^{n} est projectif pour tout n ≥ k. Je peux alors appliquer le même raisonnement au complexe dual Hom_{k}(L^{∗}, k) pour montrer que L_{n} est projectif pour tout n ≤ k, donc que L^{∗} est un complexe de modules projectifs. D’où la proposition.

Elle admet le corollaire suivant, qui précise un résultat de Webb (cf.[8]):

Corollaire 7.10. Soit Δ un complexe simplicial sur lequel agit le groupe G. Les conditions suivantes sont équivalentes

1. Le complexe de chaines C(Δ) de Δ sur k est homotope à un complexe de kG-modules projectifs.

2. Pour tout sous-groupe d’ordre p de G, l’ensemble Δ^{P} est acyclique modulo p.

En effet, un argument classique montre que si l’assertion 2) est vraie, alors Δ^{P} est acyclique modulo p pour tout p-sous-groupe P non-trivial de G. D’autre part, le complexe C(Δ)[P] est le complexe de chaines de Δ^{P}.

7.4. Complexes de foncteurs de Mackey projectifs. Je suppose ici encore que R est un corps k de caractéristique p. Les propositions 18 et 20 ont la conséquence suivante:

Proposition 7.11. Soit X^{∗} un complexe de foncteurs de Mackey projectifs dans Mack_{k}(G, 1), tel qu’il existe un entier n pour lesquels X^{n} = X^{n+1} = 0. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Il existe un complexe L^{∗} de kG-modules projectifs tels que X^{∗} soit homotope au complexe F Q_{L^{∗}}.

2. Pour tout p-sous-groupe non-trivial P de G, le complexe \overline{X}^{∗}(P) est acyclique.

3. Le complexe X^{∗}(1) est homotope à un complexe de modules projectifs.

4. Le complexe X^{∗} est homotope au complexe F Q_{X^{∗}(1)}.

En effet, si M est un kG-module et Y est un foncteur de Mackey de la forme F Q_{M}, il est facile de voir que \overline{Y} (P) est nul pour tout P non-trivial, car les traces t_{R}^{P} sont surjectives pour R ≠ P. Il est alors clair que l’assertion 1) entraîne l’assertion 2). De même, l’assertion 4) entraîne l’assertion 2).

De même, l’assertion 2) entraîne que le complexe X^{∗}(1) vérifie les hypothèses de l’assertion 2) de la proposition 7.9. Il existe alors un complexe L^{∗} de kG-modules projectifs tel que X^{∗}(1) soit homotope à L^{∗}. Donc l’assertion 2) entraîne l’assertion 3).

Il est clair que l’assertion 3) entraîne l’assertion 2), puisque \overline{X}^{∗}(P) s’identifie à X^{∗}(1)[P].

Soit alors L^{∗} un complexe de modules projectifs homotope au complexe X^{∗}(1). Je peux, quitte à remplacer L^{∗} par un facteur direct, supposer que L^{n} = L^{n+1} = 0. Soit alors a une équivalence d’homotopie de L^{∗} dans X^{∗}(1). Le morphisme a fournit par adjonction un morphisme A du complexe F Q_{L^{∗}} dans le complexe X^{∗}: le morphisme A^{n}(H) de (L^{n})_{H} dans X^{n}(H) est donné par

A^{n}(v) = t_{1}^{H}a^{n}(v)

Le complexe X^{∗}(1)[P] est homotope au complexe \overline{X}^{∗}(P), et au complexe L^{∗}[P], qui est nul si P ≠ (1). Le complexe \overline{X}^{∗}(P) est donc acyclique et scindé dans ce cas. Le complexe \overline{F Q_{L}^{∗}}(P) est nul si P ≠ (1). Alors le morphisme \overline{A}(P) est trivialement un homologisme si P ≠ (1). Comme le morphisme \overline{A}(1) est égal à A(1), donc à a, c’est une équivalence d’homotopie, donc un homologisme.

Alors les complexes F Q_{L^{∗}} et X^{∗} vérifient les hypothèses de l’assertion 2 de la proposition 7.5, et A est une équivalence d’homotopie, ce qui prouve que l’assertion 3) entraîne l’assertion 1). Les assertions 1), 2) et 3) sont donc équivalentes.

Alors si l’assertion 1) est vraie, i.e. si X^{∗} est homotope au complexe F Q_{L^{∗}}, le complexe X^{∗}(1) est homotope au complexe F Q_{L^{∗}}(1), i.e. au complexe L^{∗}, donc le complexe F Q_{X^{∗}(1)} est homotope au complexe F Q_{L^{∗}}, donc aussi au complexe X^{∗}. Donc l’assertion 1) entraîne l’assertion 4), et la proposition est démontrée.

Je vais utiliser ce résultat pour préciser un théorème de Webb (cf.[8] Theorem 1) dans un cas particulier. Pour cela, j’ai besoin d’une notation: si le groupe G opère sur l’ensemble X, alors X peut-être décomposé en orbites par G, qui sont des ensembles de la forme G/H. Alors si M est un foncteur de Mackey, Webb note M_{X} le foncteur de Mackey défini par

M_{X ∐ Y} = M_{X} + M_{Y} M_{G/H} = Ind_{H}^{G}Res_{H}^{G}M

D’autre part, si Δ est un complexe simplicial, alors Δ_{i} désigne l’ensemble des simplexes de Δ de dimension i (ou de cardinal i + 1). Le théorème de Webb est alors le suivant:

Théorème 7.12. (Webb): Soit Δ un complexe simplicial sur lequel opère le groupe G. Soient Y ⊂ X des ensembles de sous-groupes de G fermés pour l’inclusion et stables par G. Alors si

1. Pour tout simplexe s de Δ, les sommets de s sont dans des orbites différentes par G.

2. Le foncteur M est projectif par rapport à X.

3. Pour tout H ∈ X − Y, le complexe Δ^{H} est contractile.

4. Pour tout H ∈ Y, le module M(H) est nul. il existe une suite exacte et scindée de foncteurs de Mackey

0 → M → M_{Δ_{0}} → … → M_{Δ_{i}} → … → 0

Je vais m’intéresser ici au cas où X est l’ensemble des p-sous-groupes de G, et Y = (1). Alors un foncteur de Mackey projectif par rapport à X est un foncteur dans Mack_{k}(G, 1). En notant C_{i}(Δ) le kG-module de base Δ_{i},

Proposition 7.13. Soit M un foncteur de Mackey dans Mack_{k}(G, 1), et Δ un complexe simplicial sur lequel opère G. Si:

1. Pour tout simplexe s de Δ, les sommets de s sont dans des orbites différentes par G,

2. Pour tout p-sous-groupe P d’ordre p de G, le complexe Δ^{P} est acyclique

modulo p, Alors le complexe

0 → M → M_{Δ_{0}} → … → M_{Δ_{i}} → … → 0

est homotope au complexe

0 → F Q_{M(1)} → F Q_{M(1)⊗C_{0}(Δ)} → … → F Q_{M(1)⊗C_{i}(Δ)} → … → 0

Pour démontrer cette proposition, je vais appliquer la proposition 7.11 au complexe b^{∗}

0 → (b_{p}) → (b_{p})_{Δ_{0}} → … → (b_{p})_{Δ_{i}} → … → 0

où je note b_{p} le foncteur z(f_{1}^{G})b_{G}. C’est un foncteur projectif dans Mack_{k}(G, 1), et comme le complexe ci-dessus est fini, il est nul en deux degrés consécutifs. La valeur en (1) de ce complexe est le complexe de chaines de Δ, qui est homotope à un complexe de modules projectifs par le corollaire de la proposition 7.9. La proposition 7.11 permet alors de conclure que le complexe b^{∗} est homotope au complexe F Q_{b^{∗}(1)} = F Q_{C^{∗}(Δ)}.

Mais pour tout foncteur de Mackey M dans Mack_{k}(G, 1), le foncteur H(b_{p}, M) est identique au foncteur M. Alors le foncteur H((b_{p})_{Δ_{i}}, M), égal à H(b_{p}, M_{Δ_{i}}), est égal à M_{Δ_{i}}. Alors si N désigne le foncteur dual de M, le complexe

0 ← H((b_{p}), N) ← H((b_{p})_{Δ_{0}}, N) ← … ← H((b_{p})_{Δ_{i}}, N) ← … ← 0

est égal au complexe

0 ← N ← N_{Δ_{0}} ← … ← N_{Δ_{i}} ← … ← 0

et ce complexe est homotope au complexe H(F Q_{C_{∗}(Δ)}, N). Il est clair d’autre part que pour tout kG-module V, le foncteur H(F Q_{V} , N) est identique au foncteur F P_{Hom_{k}(V,N(1))}. Comme le dual de ce foncteur est le foncteur F Q_{Hom_{k}(N(1),V)}, est comme Hom(N(1), C_{i}(Δ)) est identique à C_{i}(Δ) ⊗ M(1), le dual du complexe ci-dessus, qui est le complexe

0 → M → M_{Δ_{0}} → … → M_{Δ_{i}} → … → 0

est bien homotope au complexe

0 → F Q_{M(1)} → F Q_{M(1)⊗C_{0}(Δ)} → … → F Q_{M(1)⊗C_{i}(Δ)} → … → 0

ce qui prouve la proposition.

Remarque 7.14. L’hypothèse 1) n’intervient pas dans la démonstration, mais elle est nécessaire pour la construction du complexe considéré (cf.[8]).

References

1. Serge Bouc, Projecteurs dans l’anneau de Burnside, projecteurs dans l’anneau de Green, et modules de Steinberg généralisés, J. of Algebra 139 (1991), no. 2, 395–445.

2. Michel Broué, On scott modules and p-permutation modules: an approach through the brauer morphism, Proc.AMS 93 (1985), no. 3, 401–408.

3. Lluis Puig, Pointed groups and construction of characters, Math. Z. 176 (1981), 265–292.

4. Daniel Quillen, Homotopy properties of the poset of non-trivial p-subgroups, Adv. in Maths 28 (1978), no. 2, 101–128.

5. Jacques Thévenaz and Peter Webb, Simple Mackey functors, Proceedings of the 2nd International group theory conference Bressanone 1989, Rend. Circ. Mat. Palermo, vol. 23, 1990, Serie II, pp. 299–319.

6. , The structure of Mackey functors, Trans. Amer. Math. Soc. 347 (1995), no. 6, 1865– 1961.

7. Peter Webb, Subgroup complexes, The Arcata conference on representations of finite groups, vol. 47, AMS Proceedings of Symposia in pure mathematics, 1987.

8. , A split exact sequence for Mackey functors, Comment. Math. Helv. 66 (1991), 34–69.

S. Bouc, Equipe des groupes finis, UFR de Mathématiques, Université Paris 7-Denis Diderot, 2 place Jussieu, 75251. Paris Cedex 05, France

    E-mail address: bouc@mathp7.jussieu.fr