CONSTRUCTION DE FONCTEURS ENTRE CATEGORIES DE G-ENSEMBLES

Serge Bouc

1 Le produit ∘_{G}

1.1 Définition

Les groupes et les ensembles considérés ici sont supposés finis. Si G est un groupe, soit G-ens la catégorie des G-ensembles, i.e. des ensembles dotés d’une action du groupe G. Cette catégorie est l’une des plus simples parmi les catégories de représentations du groupe G.

Si H est un autre groupe, il est naturel d’étudier les foncteurs de G-ens dans H-ens pour en déduire certaines ressemblances entre G et H. Je me restreindrai ici aux foncteurs F de G-ens dans H-ens possédant les deux propriétés suivantes:

1. Le foncteur F commute aux réunions disjointes: si X et Y sont deux Gensembles, soient i_{X} et i_{Y} les injections de X et Y dans la réunion disjointe X ∐ Y. L’hypothèse est alors que l’application F (i_{X}) ∐ F (i_{Y}) de F (X) ∐ F (Y) dans F (X ∐ Y) est une bijection, quels que soient X et Y.

2. Le foncteur F commute aux diagrammes cartésiens (“pull-back”): si

γ
T → Y
δ ↓  ↓ α
β
Z → X

est un diagramme cartésien (i.e. si T est la limite projective du système formé par Y, Z et X), alors le diagramme

F (γ)
F (T) → F (Y)
F (δ) ↓  ↓ F (α)
F (β)
F (Z) → F (X)

est un diagramme cartésien.

Ces conditions expriment aussi le fait que F commute avec certaines limites inductives et projectives finies. Elles apparaissent naturellement lorque l’on cherche quels foncteurs de G-ens dans H-ens produisent par composition des foncteurs entre les catégories de foncteurs de Mackey correspondantes.

Il est possible de classifier complètement les foncteurs de G-ens dans H-ens possédant ces deux propriétés: ils sont associés à un ensemble A muni d’une double action, ou H-ensemble-G (le groupe H agit à gauche, le groupe G agit à droite, et ces deux actions commutent au sens où h.(a.g) = (h.a).g pour tout g ∈ G, a ∈ A, h ∈ H). Alors si K est un troisième groupe, la composition des foncteurs induit un produit sur les ensembles munis d’une double action, défini de la façon suivante:

Soient G, H, K trois groupes. Soit A un H-ensemble-G, et B un K-ensemble-H. Si b ∈ B (resp. a ∈ A), je note _{b}H (resp. H_{a}) son stabilisateur à droite (resp. à gauche) dans H, et b.H ou bH (resp. H.a ou Ha) son orbite par H. Je note aussi B/H (resp. H\A) l’ensemble des orbites de H. Le groupe H agit à droite sur l’ensemble des couples (b, a) tels que _{b}H.a ⊆ a.G par (b, a).h = (b.h, h^{−1}.a): en effet si _{b}H.a ⊆ a.G, alors

b.hH.h^{−1}.a = h^{−1}._{b}Hh.h^{−1}.a = h^{−1}._{b}H.a ⊆ h^{−1}a.G

Je pose alors

B ∘_{H} A = {(b, a) ∈ B × A | _{b}H.a ⊆ a.G}/H

C’est un K-ensemble-G par

k.(b, a)H.g = (k.b, a.g)H

En effet si _{b}H.a ⊆ a.G, alors

k.bH.a.g = _{b}H.a.g ⊆ a.Gg = a.G = a.g.G

Cette construction est fonctorielle en A: si f est un morphisme de H-ensembles-G de A dans A′, soit B ∘_{H} f l’application définie par

(B ∘_{H} f)((b, a)H) = (b, f(a))H

C’est une application de B ∘_{H} A dans B ∘_{H} A′: si _{b}H.a ⊆ a.G, alors

bH.f(a) = f(_{b}H.a) ⊆ f(a.G) = f(a).G

En particulier, si A est un H-ensemble-G, je lui associe un foncteur A ∘_{G} − de Gens dans H-ens, défini ainsi: si X est un G-ensemble, ou G-ensemble-{1}, alors je peux construire A∘_{G} X, qui est un H-ensemble-{1}, ou H-ensemble. De même, si f est un morphisme du G-ensemble X dans le G-ensemble Y,alors A ∘_{G} f est un morphisme du H-ensemble A ∘_{G} X dans le H-ensemble A ∘_{G} Y. Remarque: Comme l’orbite à droite de x ∈ X par le groupe trivial est réduite à x, l’ensemble A ∘_{G} X n’est autre que le quotient de l’ensemble des couples (a, x) ∈ A × X tels que _{a}G ⊆ G_{x} par l’action de G.

1.2 Classification de foncteurs

Avec ces définitions, je peux énoncer plus précisément les considérations précédentes:

Théorème 1: Soient G et H des groupes (finis), et F un foncteur de G-ens dans H-ens possédant les propriétés 1) et 2). Alors il existe un H-ensemble-G unique E_{F}, tel que F soit isomorphe au foncteur E_{F} ∘_{G} −. Inversement, si A est un H-ensemble-G, alors le foncteur A∘_{G}− de G-ens dans H-ens possède les propriétés 1) et 2).

Je démontrerai d’abord la seconde assertion.

1.2.1 La seconde assertion

Elle est facile à vérifier: soit A un H-ensemble-G. Il est clair que le foncteur A ∘_{G} − commute aux réunions disjointes. De plus, si

γ
T → Y
δ ↓  ↓ α
β
Z → X

est un diagramme cartésien, je dois montrer que le diagramme

A ∘_{G} γ
A ∘_{G} T → A ∘_{G} Y
A ∘_{G} δ ↓ ↓ A ∘_{G} α
A ∘_{G} β
A ∘_{G} Z → A ∘_{G} X

l’est aussi. Or si (a, y) ∈ A ∘_{G} Y et (b, z) ∈ A ∘_{G} Z sont tels que

A ∘_{G} α((a, y)) = A ∘_{G} β((b, z)) dans A ∘_{G} X

alors (a, α(y)) = (b, β(z)) dans A ∘_{G} X, et il existe g ∈ G tel que ag = b et g^{−1}α(y) = α(g^{−1}y) = β(z). Alors il existe t ∈ T unique tel que g^{−1}y = γ(t) et z = δ(t). L’élément (b, t) est dans A ∘_{G} T: en effet, si x ∈ G est tel que b.x = b, alors comme (b, z) ∈ A ∘_{G} Z, j’ai aussi x.z = z, donc δ(x.t) = δ(t). D’autre part, j’ai aussi a.gx = a.g, soit a.^{g}x = a, et comme (a, y) ∈ A ∘_{G} Y, j’ai aussi ^{g}x.y = y, ou encore x.g^{−1}y = g^{−1}y, soit γ(xt) = γ(t). L’unicité de t impose alors x.t = t, et (b, t) ∈ A ∘_{G} T.

De plus, j’ai bien

A ∘_{G} γ((b, t)) = (b, γ(t)) = (ag, g^{−1}y) = (a, y)

et

A ∘_{G} δ((b, t)) = (b, δ(t)) = (b, z)

Inversement, si (b′, t′) ∈ A ∘_{G} T est tel que A ∘_{G} γ((b′, t′)) = A ∘_{G} γ((b, t)) et A ∘_{G} δ((b′, t′)) = A ∘_{G} δ((b, t)), alors il existe s et s′ dans G tels que

b′ = bs , s^{−1}γ(t) = γ(t′) , b′ = bs′ , s^{′−1}δ(t) = δ(t′)

Alors posant u = ss^{′−1}, j’ai bu = b et s = us′. Comme (b, t) ∈ A ∘_{G} T, j’ai aussi ut = t, et alors

δ(t) = δ(ut) = uδ(t) = uδ(s′t′) = δ(us′t′) = δ(st′)

Comme γ(t) = γ(st′), j’ai donc t = st′, et (b′, t′) = (bs, s^{−1}t) = (b, t), et le diagramme ci-dessus est cartésien.

1.2.2 Réduction au cas transitif

Notation: Je noterai pt l’ensemble réduit à un élément, sur lequel G opère (trivialement). Je suppose donné un foncteur F de G-ens dans H-ens possédant les propriétés 1) et 2). Alors F (pt) est un H-ensemble, et je vais me ramener au cas où il est transitif. Soient F_{1} et F_{2} des foncteurs de G-ens dans H-ens. Je peux définir leur réunion disjointe F = F_{1} ∐ F_{2} en posant pour tous G-ensembles X et Y et tout morphisme ϕ de X dans Y

F (X) = F_{1}(X) ∐ F_{2}(X)
F (ϕ) = F_{1}(ϕ) ∐ F_{2}(ϕ)

Il est alors facile de voir que si F_{1} et F_{2} possèdent les propriétés 1) et 2), il en est de même de F.

Ceci étant, si X est un G-ensemble, il existe un unique morphisme p_{X} de X dans pt. Alors si ω est une orbite de H sur F (pt), et X un G-ensemble, soit F_{ω}(X) l’image réciproque de ω dans F (X) par F (p_{X}). L’ensemble F_{ω}(X) est un sous-H-ensemble de F (X), car si F (p_{X})(u) ∈ ω, alors h.F (p_{X})(u) = F (p_{X})(h.u) ∈ ω. De plus, si Y est un G-ensemble, et f un morphisme de X dans Y, alors puisque p_{Y} .f = p_{X}, j’ai F (p_{Y}).F (f) = F (p_{X}), et F (f)(F_{ω}(X)) ⊆ F_{ω}(Y). En notant F_{ω}(f) la restriction de F (f) à F_{ω}(X), je définis un foncteur F_{ω} de G-ens dans H-ens, et le foncteur F est réunion disjointe des foncteurs F_{ω}, lorsque ω décrit H\F (pt). Si je montre que F_{ω} possède les propriétés 1) et 2), je pourrai alors supposer que F (pt) est un H-ensemble transitif.

Soient donc X et Y des G-ensembles. Les injections i_{X} et i_{Y} de X et Y dans X ∐ Y sont telles que F (i_{X}) ∐ F (i_{Y}) est une bijection de F (X) ∐ F (Y) dans F (X ∐ Y). La propriété 1) pour les F_{ω} résulte alors du fait que dans le diagramme

∐_{ω} F_{ω}(X) ∐ ∐_{ω} F_{ω}(Y) → F (X) ∐ F (Y)
↓  ↓
∐_{ω} F_{ω}(X ∐ Y)  → F (X ∐ Y)

les flèches horizontales et la flèche verticale de droite sont des bijections. Il en est donc de même de la flèche de gauche. La propriété 2) résulte quant à elle du fait que dans le diagramme

F (γ)
F (T) → F (Y)
F (δ) ↓  ↓ F (α)
F (β)
F (Z) → F (X)

si x ∈ F_{ω}(X) ⊆ F (X), si y ∈ F (Y) et z ∈ F (Z) sont tels que

F (α)(y) = F (β)(z) = x

alors F (p_{X})(x) = F (p_{Y})(y) = F (p_{Z})(z) ∈ ω, donc que x, y et z sont dans F_{ω}(X), F_{ω}(Y), et F_{ω}(Z) respectivement. De plus il existe alors t ∈ F (T) unique tel que y = F (γ)(t) et z = F (δ)(t). Le même raisonnement montre que t ∈ F_{ω}(T), et que le diagramme

F_{ω}(γ)
F_{ω}(T) → F_{ω}(Y)
F_{ω}(δ) ↓  ↓ F_{ω}(α)
F_{ω}(β)
F_{ω}(Z) → F_{ω}(X)

est cartésien.

1.2.3 Sous-groupes minimaux

Si F (G/G) = F (pt) est vide, l’existence du morphisme F (p_{X}) de F (X) dans F (pt) prouve que F (X) est vide pour tout X, et dans ce cas F est isomorphe à ∅ ∘_{G} −. Je peux donc supposer que F (pt) est un H-ensemble transitif non-vide, donc isomorphe à H/L, pour un sous-groupe L convenable de H. Dans ces conditions, un sous-groupe minimal pour F sera par définition un sous-groupe K de G minimal tel que F (G/K) ≠ ∅.

Si X est un G-ensemble, et K un sous-groupe de G, alors l’ensemble des homomorphismes de G-ensembles de G/K dans X s’identifie à l’ensemble X^{K} des points fixes de K sur X, par l’application qui à x ∈ X^{K} associe le morphisme m_{x} défini par

m_{x}(yK) = yx

En particulier, l’ensemble des endomorphismes de G/K s’identifie à N_{G}(K)/K. Si n ∈ N_{G}(K), je noterai aussi m_{n} l’endomorphisme de G/K qui s’en déduit. Alors pour n ∈ N_{G}(K) et x ∈ X, j’ai

m_{nx}(yK) = ynx = m_{x}(ynK) = m_{x}m_{n}(yK)

c’est-à-dire

m_{nx} = m_{x}m_{n}

En particulier, si x ∈ X^{K}, le couple (x, K) est un point fixe de K sur l’ensemble X × G/K, et j’ai une application m_{(x,K)} de G/K dans X × G/K, définie par

m_{(x,K)}(yK) = (yx, yK)

Avec ces notations:

Lemme 1: Soient G et H des groupes, et F un foncteur (non-vide) de G-ens dans H-ens possédant les propriétés 1) et 2), tel que F (pt) soit un H-ensemble transitif. Soit K un sous-groupe minimal pour F, et X un G-ensemble. Alors l’application ϕ_{X} de X^{K} × F (G/K) dans F (X × G/K) définie par

ϕ_{X}((x, u)) = F (m_{(x,K)})(u)

est un isomorphisme de H-ensembles, l’action de H sur X^{K} étant triviale.

Pour prouver ce lemme, je remarque que les foncteurs X ↦ X^{K} × F (G/K) et X ↦ F (X × G/K) commutent aux réunions disjointes si F possède la propriété 1), et il suffit donc de supposer que X est un G-ensemble transitif, de la forme G/K′, pour un sous-groupe K′ de G. Dans ces conditions, j’ai un isomorphisme

G/K′ × G/K ≈ ∐_{x∈K\G/K′} G/(K ∩^{x}K′)

défini (de droite à gauche) par les applications

y(K ∩^{x}K′) ∈ G/(K ∩^{x}K′) ↦^{m_{(xK′,K)}} (yxK′, yK) ∈ G/K′ × G/K

De plus, comme K est minimal pour le foncteur F, l’ensemble F (G/(K∩^{x}K′)) est vide si K ⊈ ^{x}K′, i.e. si xK′ n’est pas un point fixe de K sur G/K′. L’image par F de l’isomorphisme ci-dessus est alors l’isomorphisme ∐_{x∈(G/K′)^{K}} F (m_{(xK′,K)}) de ∐_{x∈(G/K′)^{K}} F (G/K) ≈ (G/K′)^{K} × F (G/K) dans F (G/K′ × G/K). D’où le lemme.

Comme F possède la propriété 2), l’image par F du diagramme cartésien

p_{2}
X × G/K → G/K
p_{1} ↓ ↓ p_{G/K}
p_{X}
X  → pt

est le diagramme cartésien

F (p_{2})
F (X × G/K) → F (G/K)
F (p_{1}) ↓ ↓ F (p_{G/K})
F (p_{X})
F (X)  →  F (pt)

L’application λ de X^{K} × F (G/K) dans F (X) composée de F (p_{1}) avec l’isomorphisme ϕ_{X} du lemme ci-dessus est donnée par

λ((x, u)) = F (p_{1})(F (m_{(x,K)})(u)) = F (p_{1}m_{(x,K)})(u)

et de plus

p_{1}m_{(x,K)}(yK) = p_{1}(yx, yK) = yx = m_{x}(yK)

ce qui prouve que

λ((x, u)) = F (m_{x})(u)

L’application μ de X^{K} × F (G/K) dans F (G/K) composée de F (p_{2}) avec l’isomorphisme ϕ_{X} est donnée par

μ(x, u)) = F (p_{2})(F (m_{(x,K)}(u)) = F (p_{2}m_{(x,K)})(u)

et

p_{2}m_{(x,K)}(yK) = p_{2}(yx, yK) = yK

donc

μ((x, u)) = F (Id)(u) = u

et μ n’est autre que la seconde projection.

J’en déduis le diagramme cartésien

μ

X^{K} × F (G/K) → F (G/K)
λ ↓ ↓ F (p_{G/K})

F (p_{X})

F (X)  →  F (pt)

Alors X^{K} ×F (G/K) s’identifie à l’ensemble des couples (a, b) ∈ F (G/K)×F (X) tels que F (p_{G/K})(a) = F (p_{X})(b). Cette remarque permet le calcul du cardinal

|X^{K} × F (G/K)| = ∑_{w∈F (pt)} |F (p_{X})^{−1}(w)||F (p_{G/K})^{−1}(w)|

De plus |F (p_{X})^{−1}(w)| et |F (p_{G/K})^{−1}(w)| sont indépendants de w ∈ F (pt) car ils sont invariants par H qui est transitif sur F (pt). Donc pour w ∈ F (pt), j’ai

|X^{K} × F (G/K)| = |F (pt)||F (p_{X})^{−1}(w)||F (p_{G/K})^{−1}(w)|

De plus

|F (G/K)| = |F (pt)||F (p_{G/K})^{−1}(w)| et |F (X)| = |F (pt)||F (p_{X})^{−1}(w)|

Il en résulte que

|X^{K}||F (G/K) = \frac{|F (X)||F (G/K)|}{|F (pt)|}

et comme F (G/K) est non-vide par hypothèse, il vient

|F (X)| = |X^{K}||F (pt)|

Cette égalité entraîne en particulier que le groupe K est unique à conjugaison près par G: en effet, si K′ est un sous-groupe tel que F (G/K′) ≠ ∅, alors (G/K′)^{K} ≠ ∅, et K ⊆_{G} K′.

1.2.4 Existence de E_{F}

Exprimant à présent le fait que le diagramme précédent est cartésien, j’en déduis que l’application λ × μ de X^{K} × F (G/K) dans l’ensemble des couples (v, u) ∈ F (X) × F (G/K) tels que F (p_{X})(v) = F (p_{G/K})(u) est bijective. En particulier si (x, u) et (x′, u′) sont deux couples de X^{K} × F (G/K) qui ont même image par λ et μ, ils sont égaux. Donc si

(F (m_{x})(u), u) = (F (m_{x′})(u′), u′)

alors u = u′ et x = x′. Ceci revient à dire que l’application x ↦ F (m_{x})(u) est une injection de X^{K} dans F (X), ce pour tout u ∈ F (G/K). De même, si (v, u) ∈ F (X) × F (G/K) est tel que F (p_{X})(v) = F (p_{G/K})(u), alors il existe (x, w) ∈ X^{K} × F (G/K) tel que v = F (m_{x})(w) et u = w, c’est-à-dire qu’il existe x ∈ X^{K} tel que v = F (m_{x})(u).

Soit alors u ∈ F (G/K) fixé et

L_{u} = {(h, n) ∈ H × N_{G}(K) | hu = F (m_{n})(u)}

L’ensemble L_{u} est un sous-groupe de H × G: en effet si (h, n) et (h′, n′) sont dans L_{u}, alors

h′hu = h′F (m_{n})(u) = F (m_{n})(h′u) = F (m_{n})F (m_{n′})(u) = F (m_{n′n})(u)

Je peux alors considérer (H × G)/L_{u} comme un H-ensemble-G, et définir une application θ_{X} de (H × G)/L_{u} ∘_{G} X dans F (X) de la façon suivante: l’élément ((h, g)L_{u}, x) de (H × G)/L_{u} ∘_{G} X est égal à ((h, 1)L_{u}.g^{−1}, x) = ((h, 1)L_{u}, g^{−1}x). Ce dernier est dans (H × G)/L_{u} ∘_{G} X si g^{−1}x est invariant par le stabilisateur de (h, 1)L_{u} dans G. Ce stabilisateur est égal à

k_{2}(L_{u}) = {g ∈ G | (1, g) ∈ L_{u}}

Mais (1, g) ∈ L_{u} si et seulement si F (m_{g})(u) = u = F (m_{1})(u). Comme l’application qui à g ∈ (G/K)^{K} = N_{G}(K)/K associe F (m_{g})(u) est injective, il en résulte que g = 1 dans N_{G}(K)/K, i.e. que g ∈ K. Donc k_{2}(L_{u}) = K.

Alors ((h, g)L_{u}, x) est dans (H × G)/L_{u} ∘_{G} X si et seulement si g^{−1}x est dans X^{K}. Je peux alors considérer le morphisme m_{g^{−1}x} de G/K dans X et poser

θ_{X}(((h, g)L_{u}, x)) = hF (m_{g^{−1}x})(u)

Je dois vérifier d’abord que cette application est bien définie: si g′ ∈ G, alors

θ_{X}(((h, g)L_{u}g^{′−1}, g′x)) = θ_{X}(((h, g′g)L_{u}, g′x)) = …
… = hF (m_{(g′g)^{−1}g′x})(u) = hF (m_{g^{−1}x})(u)

De même, si (l, n) ∈ L_{u}, alors

hlF (m_{(gn)^{−1}x})(u) = hF (m_{n^{−1}g^{−1}x})(lu) = hF (m_{g^{−1}x})F (m_{n^{−1}})(lu) =
= hF (m_{g^{−1}x})F (m_{n^{−1}})F (m_{n})(u) = hF (m_{g^{−1}x})(u)

L’application θ_{X} est injective, car si deux éléments ((h, g)L_{u}, x) et ((h′, g′)L_{u}, x′) de (H × G)/L_{u} ∘_{G} X ont même image par θ_{X}, je peux supposer g = g′ = 1, et alors

hF (m_{x})(u) = h′F (m_{x′})(u)

En prenant l’image par F (p_{X}), il en résulte que

F (p_{G/K})(hu) = F (p_{G/K})(h′u)

Alors il existe n ∈ (G/K)^{K} = N_{G}(K)/K tel que h′u = F (m_{n})(hu), ce qui revient à dire que (h^{−1}h′, n) ∈ L_{u}. Alors (h, 1)L_{u} = (h, 1)(h^{−1}h′, n)L_{u} = (h′, n)L_{u} et dans (H × G)/L_{u} ∘_{G} X

((h, 1)L_{u}, x) = ((h′, 1)L_{u}, n^{−1}x)

Alors j’ai h′F (m_{x′})(u) = h′F (m_{n^{−1}x})(u), donc F (m_{x′})(u) = F (m_{n^{−1}x})(u) et x′ = n^{−1}x puisque l’application x ↦ F (m_{x})(u) est injective. Il s’ensuit que dans (H × G)/L_{u} ∘_{G} X, j’ai ((h, 1)L_{u}, x) = ((h′, 1)L_{u}, x′), et θ_{X} est injective.

Pour démontrer qu’elle est surjective, il suffit alors de montrer que les ensembles (H × G)/L_{u} ∘_{G} X et F (X) ont même cardinal, ce qui résultera du lemme suivant:

Lemme 2: Soient G et H des groupes, et L un sous-groupe de H × G. Si X est un G-ensemble, alors X^{k_{2}(L)} a une structure naturelle de p_{1}(L)- ensemble, et (H × G)/L ∘_{G} X s’identifie à Ind_{p_{1}(L)}^{H}X^{k_{2}(L)}

En particulier, ce lemme entraîne que

|(H × G)/L_{u} ∘_{G} X| = [H : p_{1}(L_{u})]|X^{K}|

et comme |F (X)| = |F (pt)||X^{K}|, il suffit pour prouver le lemme 1 de montrer que |F (pt)| = [H : p_{1}(L_{u})]. Or si h ∈ p_{1}(L_{u}), alors il existe n ∈ N_{G}(K)/K tel que hu = F (m_{n})(u), et en prenant l’image par F (p_{G/K}) il en résulte que hF (p_{G/K})(u) = F (p_{G/K})(u). Donc p_{1}(L_{u}) est contenu dans le stabilisateur H_{r} de l’élément r = F (p_{G/K})(u) ∈ F (pt).

Inversement, si hr = r, alors F (p_{G/K})(hu) = F (p_{G/K})(u) et il existe n ∈ (G/K)^{K} = N_{G}(K)/K tel que hu = F (m_{n})(u), donc tel que (h, n) ∈ L_{u}. Donc p_{1}(L_{u}) = H_{r}, et H/p_{1}(L_{u}) s’identifie à H/H_{r}, c’est-à-dire à F (pt), ce qui prouve que θ_{X} est une bijection.

Pour prouver le lemme 2, je définis d’abord une action de p_{1}(L) sur l’ensemble X^{k_{2}(L)}: si p ∈ p_{1}(L), alors il existe q ∈ G tel que (p, q) ∈ L. Un tel q est bien défini modulo multiplication à droite par un élément de k_{2}(L). Je pose alors pour x ∈ X^{k_{2}(L)}

p.x = qx

et cette égalité définit l’action cherchée. L’application a de Ind_{p_{1}(L)}^{H}X^{k_{2}(L)} dans (H × G)/L ∘_{G} X qui à (h, x) associe ((h, 1)L, x) est alors bien définie, car si p ∈ p_{1}(L), il existe q ∈ G tel que (p, q) ∈ L, et alors

((hp^{−1}, 1)L, p.x) = ((hp^{−1}, 1)L, qx) = ((hp^{−1}, 1)Lq, x) =
= ((hp^{−1}, q^{−1})L, x) = ((h, 1)L, x)

Inversement, l’application b de (H×G)/L∘_{G}X dans Ind_{p_{1}(L)}^{H}X^{k_{2}(L)} qui à ((h, 1)L, x) associe (h, x) est également bien définie, car si ((h, 1)L, x) = ((h′, 1)L, x′), il existe g ∈ G tel que x′ = gx et (h′, 1)L = (h, 1)Lg^{−1}, i.e. (h^{′−1}h, g) ∈ L. Alors dans Ind_{p_{1}(L)}^{H}X^{k_{2}(L)}, j’ai

(h′, x′) = (h′, gx) = (h′, h^{′−1}h.x) = (h′h^{′−1}h, x) = (h, x)

Il est alors clair que a et b sont des bijections inverses l’une de l’autre, et qu’elles sont compatibles avec l’action de H, ce qui prouve le lemme 2.

L’application θ_{X} est une bijection pour tout X, qui est clairement un morphisme de H-ensembles. Je dispose ainsi pour tout G-ensemble X d’un isomorphisme de H-ensembles de (H × G)/L_{u} ∘_{G} X dans F (X). Ces isomorphismes sont en fait fonctoriels en X, et définissent un isomorphisme de foncteurs de (H × G)/L_{u} ∘_{G} − sur F: en effet, si Y est un G-ensemble, et f un morphisme de X dans Y. Je dois montrer que F (f)θ_{X} = θ_{Y} (H × G/L_{u}) ∘_{G} f. Or

F (f)θ_{X}((h, g)L_{u}, x)) = F (f)(hF (m_{g^{−1}x})(u)) = hF (fm_{g^{−1}x})(u)

De plus

fm_{g^{−1}x}(yK) = f(yg^{−1}x) = yg^{−1}f(x) = m_{g^{−1}f(x)}(yK)

donc fm_{g^{−1}x} = m_{g^{−1}f(x)} et

F (f)θ_{X}((h, g)L_{u}, x)) = hF (m_{g^{−1}f(x)})(u) = θ_{Y} (((h, g)L, f(x))

ce qu’il fallait démontrer.

Ainsi tout foncteur F de G-ens dans H-ens ayant les propriétés 1) et 2) est la réunion disjointe de foncteurs de la forme E_{ω} ∘_{G} − pour ω ∈ H\F (pt). Mais comme la réunion disjointe des foncteurs A ∘_{G} − et B ∘_{G} − est le foncteur (A ∐ B) ∘_{G} −, il existe un H-ensemble-G que je note E_{F} tel que F soit isomorphe à E_{F} ∘_{G} −.

1.2.5 Unicité de E_{F}

Pour démontrer l’unicité d’un tel ensemble E_{F}, il suffit d’indiquer un procédé qui en fonction du foncteur F isomorphe à A∘_{G}− redonne A comme H-ensemble-G à isomorphisme près. Je commence par décomposer l’ensemble F (pt) en ses orbites ω sous l’action de H. Pour chaque orbite ω, je choisis un sous-groupe K_{ω} de G minimal parmi les sous-groupes K de G tels que ω ⊆ F (p_{G/K})(F (G/K)). Un tel sous-groupe est un sous-groupe minimal pour le foncteur F_{ω}, donc K_{ω} est bien déterminé à conjugaison près par G. Je choisis ensuite u_{ω} dans F (G/K_{ω}), qui s’envoie dans ω par F (p_{G/K}). Je pose enfin

L_{ω} = {(h, n) ∈ H × N_{G}(K_{ω}) | hu_{ω} = F (m_{n})(u_{ω})}

A conjugaison près par H × G, le groupe L_{ω} ne dépend pas des choix de K_{ω} et u_{ω}: si je change K_{ω} en K_{ω}^{g}, j ’ai l’isomorphisme m_{g} : xK_{ω} ↦ xgK_{ω}^{g} de G/K_{ω} sur G/K_{ω}^{g}, donc l’isomorphisme F (m_{g}) de F (G/K_{ω}) sur F (G/K_{ω}^{g}). Alors si l’élément v_{ω} ∈ F (G/K_{ω}^{g}) s’envoie dans ω par F (p_{G/K_{ω}^{g}}), je peux écrire v_{ω} = F (m_{g})(u′_{ω}), pour u′_{ω} ∈ F (G/K_{ω}). Alors F (p_{G/K_{ω}})(u′_{ω}) et F (p_{G/K_{ω}})(u_{ω}) sont dans ω, et il existe h_{0} ∈ H tel que

h_{0}F (p_{G/K_{ω}})(u_{ω}) = F (p_{G/K_{ω}})(h_{0}u_{ω}) = F (p_{G/K_{ω}})(u′_{ω})

Alors il existe n_{0} ∈ N_{G}(K) tel que

u′_{ω} = F (m_{n_{0}})(h_{0}u_{ω})

Par suite, si (h, n^{g}) ∈ H × N_{G}(K_{ω}^{g}) est tel que

hv_{ω} = F (m_{n^{g}})(v_{ω})

j’ai

hF (m_{g})F (m_{n_{0}})(h_{0}u_{ω}) = F (m_{n^{g}})F (m_{g})F (m_{n_{0}})(h_{0}u_{ω})

ou encore

h^{h_{0}}F (m_{g}m_{n_{0}})(u_{ω}) = F (m_{n^{g}}m_{g}m_{n_{0}})(u_{ω})

ce qui donne

h^{h_{0}}u_{ω} = F (m_{(n_{0}g)^{−1}}m_{n_{0}gn^{g}})(u_{ω}) = F (m_{n_{0}gn^{g}(n_{0}g)^{−1}})(u_{ω}) = F (m_{^{n_{0}}n})(u_{ω})

donc que (h^{h_{0}},^{n_{0}}n) ∈ L_{ω}.

Le groupe L_{ω} est donc bien déterminé à conjugaison près, et le H-ensemble-G

B = ∐_{ω∈H\F (pt)}(H × G)/L_{ω}

ne dépend que de F à isomorphisme près.

Si F′ est un autre foncteur, et θ un isomorphisme de F sur F′, alors l’ensemble B′ obtenu par la construction précédente pour F′ est isomorphe comme H-ensemble-G à B: en effet, l’application θ_{pt} est alors un isomorphisme de Hensembles de F (pt) sur F′(pt), et je peux identifier les ensembles d’orbites H\F (pt) et H\F′(pt). Pour faire la construction pour F′ et l’orbite ω, je peux alors choisir K′_{ω} = K_{ω} et u′_{ω} = θ_{G/K_{ω}}(u_{ω}). Si (h, n) ∈ L′_{ω}, j’ai hu′_{ω} = F′(m_{n})(u′_{ω}), soit

hθ_{G/K_{ω}}(u_{ω}) = F′(m_{n})θ_{G/K_{ω}}(u_{ω})

et donc

hu_{ω} = θ_{G/K_{ω}}^{−1}F′(m_{n})θ_{G/K_{ω}}(u_{ω}) = F (m_{n})(u_{ω})

ce qui montre que L′_{ω} = L_{ω}.

Il me reste à voir que si F est le foncteur A ∘_{G} −, alors la construction précédente redonne A comme H-ensemble-G. Je peux pour cela supposer que A est de la forme (H × G)/L, donc qu’il y a une seule orbite ω = (H × G)/L ∘_{G} pt = H/p_{1}(L). Comme (H × G)/L ∘_{G} X est non-vide si et seulement si X^{k_{2}(L)} est non-vide, je vois que K_{ω} = K = k_{2}(L). Alors si u_{ω} = ((1, 1)L, K), si h ∈ H et n ∈ N_{G}(K), j’ai

hu_{ω} = ((h, 1)L, K) et F (m_{n})(u_{ω}) = ((1, 1)L, nK)

Donc (h, n) ∈ L_{ω} si et seulement si

((h, 1)L, K) = ((1, 1)L, nK)

i.e. s’il existe g ∈ G tel que (h, 1)Lg^{−1} = (h, g)L = (1, 1)L et gK = nK. Alors (h, g) ∈ L et (h, n) = (h, g)(1, g^{−1}n) ∈ L car g^{−1}n ∈ K = k_{2}(L). Donc L_{ω} ⊆ L. Inversement, si (h, n) ∈ L, alors

((h, 1)L, K) = ((h, n)Ln, K) = ((1, 1)L, nK)

et L ⊆ L_{ω}, ce qui prouve le résultat annoncé, et termine la démonstration du théorème 1.

1.3 Le foncteur identité

Soit Id Le foncteur identité de G-ens dans G-ens. Ce foncteur possède évidemment les propriétés 1) et 2). Comme Id(pt) = pt, il y a une seule orbite ω. Comme Id(G/K) = G/K est non-vide pour tout K, le groupe trivial est minimal pour Id. De plus Id(G/1) est l’ensemble G sur lequel G agit à gauche. Je peux prendre u_{ω} = u = 1 ∈ G. Alors (h, n) ∈ L_{ω} = L si et seulement si (h, n) ∈ G × G et h.1 = n.1. Le groupe L est donc la diagonale de G × G, et l’ensemble E_{Id} est l’ensemble G sur lequel G opère à gauche et à droite. Il est d’ailleurs trivial de vérifier directement que si A est un H-ensemble-G, alors A∘_{G} G ≈ A et H ∘_{H} A ≈ A comme H-ensembles-G.

1.4 Associativité

Il est clair d’autre part que si F et F′ sont des foncteurs possédant les propriétés 1) et 2), et s’ils sont composables, alors le foncteur composé possède aussi ces propriétés. La proposition suivante montre que

E_{F} ∘_{G} (E_{F′} ∘_{G′} −) = (E_{F} ∘_{G} E_{F′}) ∘_{G′} −

et l’ensemble E_{F ∘F′} associé à F ∘ F′ est donc égal à E_{F} ∘_{G} E_{F′}:

Proposition 1: Soient G, H, K et L des groupes. Soit A un H-ensemble-G, soit B un K-ensemble-H, et C un L-ensemble-K. Alors

C ∘_{K} (B ∘_{H} A) ≈ (C ∘_{K} B) ∘_{H} A

comme L-ensembles-G.

Si b ∈ B et a ∈ A, et si _{b}Ha ⊆ aG, je noterai b ∘_{H} a la classe du couple (b, a) dans B ∘_{H} A.

Soit alors c∘_{K} (b∘_{H} a) ∈ C ∘_{K} (B ∘_{H} A). Alors pour tout k ∈ K tel que ck = c, il existe g ∈ G tel que k(b ∘_{H} a) = (b ∘_{H} a)g. Donc il existe h ∈ H tel que kb = bh et a = h^{−1}ag. Donc

∀k ∈ K ck = c ∃g ∈ G, h ∈ H tels que kb = bh ha = ag

En particulier, pour tout k tel que ck = c, il existe h ∈ H tel que kb = bh, et je peux parler de c ∘_{K} b ∈ C ∘_{K} B. De plus si h ∈ H est tel que (c∘_{K} b)h = c∘_{K} b, alors il existe k ∈ K tel que ck = c et k^{−1}bh = b. Mais comme ck = c, il existe h′ ∈ H et g ∈ G tels que bh′ = kb et h′a = ag. Alors h s’écrit h = αh′, avec α ∈ _{b}H. Donc

ha = αh′a = αag ⊆ aG

car αa ⊆ aG, puisque α ∈ _{b}H et b ∘_{H} a ∈ B ∘_{H} A. Ce raisonnement prouve que c∘_{K}bHa ⊆ aG, et je peux parler de (c ∘_{K} b) ∘_{H} a ∈ (C ∘_{K} B) ∘_{H} A. Il est clair que cet élément ne dépend que de c ∘_{K} (b ∘_{H} a). J’ai ainsi défini une application c ∘_{K} (b ∘_{H} a) ↦ (c ∘_{K} b) ∘_{H} a de C ∘_{K} (B ∘_{H} A) dans (C ∘_{K} B) ∘_{H} A.

Inversement, si (c ∘_{K} b) ∘_{H} a ∈ (C ∘_{K} B) ∘_{H} A, alors pour tout h tel que (c ∘_{K} b)h = c ∘_{K} b, il existe g ∈ G tel que ha = ag. Donc pour tout h tel qu’il existe k ∈ K avec ck = c et k^{−1}bh = b, il existe un tel g.

∀h ∈ H, ∃k ∈ K ck = c bh = kb ⇒ ∃g ∈ G ha = ag

Mais si h ∈ H est tel que bh = b, alors il existe k ∈ K tel que ck = c et bh = kb, par exemple k = 1. Donc il existe g ∈ G tel que ha = ag, et je peux parler de b ∘_{H} a ∈ B ∘_{H} A. De plus, si k ∈ K est tel que ck = c, alors comme c∘_{K} b ∈ C ∘_{K} B, il existe h ∈ H tel que kb = bh. Cet élément h est tel qu’il existe k ∈ K avec ck = c et kb = bh. Donc il existe g ∈ G tel que ha = ag. Alors

k(b ∘_{H} a) = kb ∘_{H} a = bh ∘_{H} a = b ∘_{H} ha = b ∘_{H} ag = (b ∘_{H} a)g

ce qui prouve que c ∘_{K} (b ∘_{H} a) ∈ C ∘_{K} (B ∘_{H} A), et il est clair que cet élément ne dépend que de (c ∘_{K} b) ∘_{H} a. D’où une application (c ∘_{K} b) ∘_{H} a ↦ c ∘_{K} (b ∘_{H} a) de (C ∘_{K} B) ∘_{H} A dans C ∘_{K} (B ∘_{H} A).

Les deux applications ainsi construites sont de façon évidente des bijections inverses l’une de l’autre. La proposition en découle.

1.5 Calcul des produits

Notation: Si L est un sous-groupe de G × H, je note p_{1}(L) (resp. p_{2}(L)) sa projection sur G (resp. H), et k_{1}(L) (resp. k_{2}(L)) le groupe p_{1}(L ∩ (G × {1})) (resp. p_{2}(L ∩ ({1} × H))). Soient G, H, et K des groupes. Si B est un K-ensemble-H et A un H-ensemble-G, le produit B ∘_{H} A est un sous-ensemble du produit B ×_{H} A, quotient de B ×A par l’action de H. Si B est libre à droite (i.e. si _{b}H = (1) pour tout b ∈ B), ou si A est transitif à droite (i.e. si G est transitif sur A), alors la condition _{b}H.a ⊆ a.G est réalisée, et dans ce cas B ∘_{H} A = B ×_{H} A.

Si L est un sous-groupe de K × H et M un sous-groupe de H × G, je vais calculer le produit

P = ((K × H)/L) ∘_{H} ((H × G)/M)

Soit e = (k, h)L ∘_{H} (h′, g)M ∈ P. Je peux écrire

e = k(1, 1)L ∘_{H} (h^{−1}h′, 1)Mg^{−1}

Chaque orbite de P sous l’action de K×G admet donc un représentant de la forme (1, 1)L ∘_{H} (h, 1)M, pour h ∈ H convenable. Un autre élément (1, 1)L ∘_{H} (h′, 1)M de ce type est dans la même orbite si il existe k ∈ K, g ∈ G et x ∈ H tels que

((k, x)L, (xh, g)M) = ((1, 1)L, (h′, 1)M)

donc (k, x) ∈ L, et x ∈ p_{2}(L). De même, (h^{′−1}xh, g) ∈ M, et h^{′−1}xh ∈ p_{1}(M), donc h ∈ p_{2}(L)h′p_{1}(L). Inversement, si h s’écrit xh′y, avec x ∈ p_{2}(L) et y ∈ p_{1}(M), il existe k ∈ K tel que (k, x) ∈ L et g ∈ G tel que (y, g) ∈ M, et alors

(1, 1)L ∘_{H} (h, 1)M = (1, 1)L ∘_{H} (xh′y, 1)M = …
… = (k, x)L ∘_{H} x(h′, 1)(y, g)M = k(1, 1) ∘_{H} (h′, 1)Mg^{−1}

Je peux donc indexer les orbites de K × G par des doubles classes p_{2}(L)hp_{1}(M). Le stabilisateur dans K × G de l’élément (1, 1)L ∘_{H} (h, 1)M est l’ensemble des couples (k, g) tels que

k(1, 1)L ∘_{H} (h, 1)Mg^{−1} = (k, 1)L ∘_{H} (h, g)M = (1, 1)L ∘_{H} (h, 1)M

Cela signifie qu’il existe x ∈ H tel que (k, x)L = (1, 1)L et (xh, g)M = (h, 1)M, ou encore (k, x) ∈ L et (x^{h}, g) ∈ M, c’est à dire (k, g) ∈ L ∗^{(h,1)}M. Les considérations ci dessus montrent que

((K × H)/L) ×_{H} ((H × G)/M) = ∑_{h∈p_{2}(L)\H/p_{1}(M)}(K × G)/(L ∗^{(h,1)}M)

De plus l’élément (1, 1)L ∘_{H} (h, 1)M est dans P si et seulement si

(1,1)LH.(h, 1)M ⊆ (h, 1)M.G

Or (1, 1)L.x = (1, 1)L si et seulement si x ∈ k_{2}(L). Donc si x ∈ k_{2}(L), il doit exister g ∈ G tel que (xh, 1)M = (h, g)M, ce qui revient à dire que x^{h} ∈ p_{1}(M). Je dois donc avoir k_{2}(L)^{h} ⊆ p_{1}(M), et finalement le produit P s’écrit

Proposition 2: (Formule de Mackey) Soient G, H et K des groupes. Si L est un sous-groupe de K × H et M un sous-groupe de H × G, alors

((K × H)/L) ∘_{H} ((H × G)/M) = ∑ ; \begin{matrix}h ∈ p_{2}(L)\H/p_{1}(M) \\ k_{2}(L)^{h} ⊆ p_{1}(M) \end{matrix} (K × G)/(L ∗^{(h,1)}M)

2 L’anneau de Grothendieck

Soit G un groupe, et Γ(G) le groupe de Grothendieck des G-ensembles-G, les relations étant données par les réunions disjointes. Alors Γ(G) peut être muni d’une structure d’anneau, la multiplication étant donnée par le produit ∘_{G}.

2.1 Un sous-anneau de Γ(G)

Soient X et M des sous-groupes de G tels que X ⊆ N_{G}(M). Je pose

Δ_{X,M} = {(a, b) | a ∈ X, ab^{−1} ∈ M}

C’est un sous-groupe de G: en effet, si (a, b) et (a′, b′) sont dans Δ_{X,M}, alors

aa′b^{′−1}b^{−1} = ^{a}(a′b^{′−1}).ab^{−1}

est un élément de M si X normalise M.

De plus, la première projection de Δ_{X,M} est égale à X, car elle est contenue dans X, et d’autre part la diagonale de X est contenue dans Δ_{X,M}. Il est clair de même que k_{1}(Δ_{X,M}) = X ∩ M. De même, la seconde projection de Δ_{X,M} est égale à X.M, et k_{2}(Δ_{X,M}) = M.

Je pose alors

t_{X,M} = (G × G)/Δ_{X,M}

et je note T (G) le sous-module de Γ(G) engendré par les éléments t_{X,M}. Remarque: L’élément t_{X,M} ne dépend de (X, M) qu’à conjugaison près: si x ∈ G, j’ai t_{X,M} = t_{X^{x},M^{x}}. Le lemme suivant montre que T (G) est en fait un sous-anneau de Γ(G):

Lemme 3: Soient (X, M) et (Y, N) des couples de sous-groupes de G, tels que X ⊆ N_{G}(M) et Y ⊆ N_{G}(N). Alors, pour tout x ∈ G tel que M^{x} ⊆ Y, le groupe X ∩^{x}Y normalise le groupe M.^{x}N, et

t_{X,M} ∘_{G} t_{Y,N} = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ X\G/Y \\ M^{x} ⊆ Y \end{matrix} t_{X∩^{x}Y,M.^{x}N}

La première assertion est claire car X ∩^{x}Y normalise M et ^{x}N, donc M.^{x}N, qui est un sous-groupe de G car M ⊆ ^{x}Y ⊆ N_{G}(^{x}N).

Je peux alors utiliser la formule de Mackey

t_{X,M} ∘_{G} t_{Y,N} = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ XM\G/Y \\ M^{x} ⊆ Y \end{matrix} (G × G)/(Δ_{X,M} ∗^{(x,1)}Δ_{Y,N})

De plus, si M^{x} ⊆ Y, alors XMxY = Xx.M^{x}.Y = XxY, et je peux sommer sur x dans X\G/Y. D’autre part

Δ_{X,M} ∗^{(x,1)}Δ_{Y,N} = {(a, b) | ∃c, a ∈ X, ac^{−1} ∈ M, c^{x} ∈ Y, c^{x}.b^{−1} ∈ N}

Dans ces conditions, l’élément a est dans X ∩ (M.^{x}Y) = X ∩^{x}Y, car M ⊆ ^{x}Y, et a.(^{x}b)^{−1} = (ac^{−1})(c(^{x}b)^{−1}) ∈ M.^{x}N. Inversement, si a ∈ X ∩^{x}Y et a.(^{x}b)^{−1} ∈ M.^{x}N, alors je peux écrire a.(^{x}b)^{−1} = m.^{x}n, pour m ∈ M et n ∈ N. Posant alors c = m^{−1}a = ^{x}(nb), j’ai bien c ∈ ^{x}Y car a ∈ ^{x}Y et M ⊆ ^{x}Y. De plus a.c^{−1} = m ∈ M, et c^{x}.m^{−1} = n ∈ N. Il en résulte que

Δ_{X,M} ∗^{(x,1)}Δ_{Y,N} = Δ_{X∩^{x}Y,M.^{x}N}

ce qui prouve la formule annoncée.

2.2 Des idempotents orthogonaux

2.2.1 Projecteurs dans l’anneau de Burnside

Dans [BO1], j’introduisais des projecteurs dans l’anneau de Burnside du groupe G, associés à des familles \underline{F} de sous-groupes de G ayant les propriétés suivantes:

1. La famille \underline{F} est stable par conjugaison par G.

2. La famille \underline{F} est stable par produit, i.e. si H et K sont dans \underline{F}, et si H ⊆ N_{G}(K), alors H.K ∈ \underline{F}.

3. La famille \underline{F} contient le groupe trivial.

Le projecteur associé au sous-groupe P ∈ \underline{F}, que je noterai ici π_{P}^{G}, était défini par

π_{P}^{G}(X) = ∑ ; Q ∈ \underline{F} ; \begin{matrix}Q ⊇ P \\ Q mod.N_{G}(P) \end{matrix} Ind_{N_{G}(P,Q)}^{G}μ_{F} (P, Q).X^{Q}

où μ_{F} (P, Q) désignait l’invariant de Möbius, i.e. l’invariant de Lefschetz réduit de l’intervalle ]P, Q[_{F}, vu comme élément de l’anneau de Burnside de N_{G}(P, Q). Lorsque P décrit \underline{F} /G, les projecteurs π_{P}^{G} obtenus sont deux à deux orthogonaux et leur somme est l’endomorphisme identique de b(G).

D’autre part, le produit ∘_{G}, étendu par linéarité, définit une application de Γ(G) dans l’anneau d’endomorphismes de l’anneau de Burnside de G, par l’application

A ∈ Γ(G) ⟼ (X ∈ b(G) ↦ A ∘_{G} X ∈ b(G))

L’associativité du produit ∘_{G} montre que j’ai en fait un morphisme d’anneaux de Γ(G) dans End_{Z}(b(G)). Une question naturelle est alors de savoir si les projecteurs ci-dessus proviennent d’idempotents de Γ(G).

Je note tout d’abord que je peux réécrire le projecteur π_{P}^{G} sous la forme

π_{P}^{G}(X) = − ∑ ; \begin{matrix}inf s = P \\ s mod.N_{G}(P) \end{matrix} (−1)^{|s|}Ind_{N_{G}(s)}^{G}X^{sup s}

où la somme porte sur des suites croissantes s d’éléments de \underline{F} (ce que je noterai s ∈ Sd(\underline{F})), et |s| désigne le cardinal de la suite s.

J’ai montré de plus que si L est un sous-groupe de G × G, alors

(G × G)/L ∘_{G} X = Ind_{p_{1}(L)}^{G}X^{k_{2}(L)}

Je pose alors, pour P ∈ \underline{F},

E_{P}^{G} = − ∑ ; \begin{matrix}inf s = P \\ s ∈ Sd(\underline{F})/N_{G}(P) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × G)/Δ_{N_{G}(s),sup s}

Comme p_{1}(Δ_{N_{G}(s),sup s}) = N_{G}(s), et comme k_{2}(Δ_{N_{G}(s),sup s}) = sup s, j’ai pour tout X ∈ b(G)

π_{P}^{G}(X) = E_{P}^{G} ∘_{G} X

et les E_{P}^{G} sont des candidats raisonnables pour les idempotents cherchés. Remarque: Il est clair que E_{P}^{G} ne dépend que de la classe de conjugaison de P dans G: si g ∈ G, alors E_{P}^{G} = E_{P^{g}}^{G}.

2.2.2 Calcul de E_{P}^{G} ∘_{G} (G × H)/L

Soit H un autre groupe, et L un sous-groupe de G × H. Par la formule de Mackey, je peux écrire, en désignant par s une suite croissante d’éléments de \underline{F}, et en notant L_{s} le groupe Δ_{N_{G}(s),sup s}

E_{P}^{G} ∘_{G} (G × H)/L = …

… = − ∑ ; inf s = P ; \begin{matrix}x ∈ G \\ sup s^{x} ⊆ p_{1}(L) \end{matrix}\frac{|N_{G}(s)|}{|N_{G}(P)|} \frac{|(sup s.N_{G}(s))^{x} ∩ p_{1}(L)|}{| sup s.N_{G}(s)||p_{1}(L)|}(−1)^{|s|}(G×H)/(L_{s}∗^{(x,1)}L)

Or

L_{s} ∗^{(x,1)}L = {(a, b) | ∃c a ∈ N_{G}(s) , a.c^{−1} ∈ sup s , (c^{x}, b) ∈ L} = …
… = {(a, b) | ∃c^{x} a^{x} ∈ N_{G}(s^{x}) , a^{x}.(c^{x})^{−1} ∈ sup s^{x} , (c^{x}, b) ∈ L} = …
… = {(a, b) | (a^{x}, b) ∈ L_{s^{x}} ∗ L} = ^{(x,1)}(L_{s^{x}} ∗ L)

De plus, comme sup s^{x} ⊆ p_{1}(L), j’ai

(sup s.N_{G}(s))^{x} ∩ p_{1}(L) = sup s^{x}.(N_{G}(s^{x}) ∩ p_{1}(L))

Donc

|(sup s.N_{G}(s))^{x} ∩ p_{1}(L)| = \frac{| sup s^{x}||N_{G}(s^{x}) ∩ p_{1}(L)|}{| sup s^{x} ∩ N_{G}(s^{x})|}

Comme

| sup s.N_{G}(s)| = \frac{| sup s||N_{G}(s)|}{| sup s ∩ N_{G}(s)|}

Il vient finalement, en sommant sur s^{x}

E_{P}^{G} ∘_{G} (G × H)/L = − ∑ ; x ∈ G ; \begin{matrix}inf s = P^{x} \\ sup s ⊆ p_{1}(L) \end{matrix} \frac{|N_{p_{1}(L)}(s^{x})|}{|N_{G}(P)||p_{1}(L)|}(−1)^{|s|}(G × H)/(L_{s} ∗ L)

Notations: Si P et Q sont deux sous-groupes du groupe G, je noterai T_{G}(P, Q) l’ensemble des x ∈ G tels que P^{x} ⊆ Q, et \overline{T}_{G}(P, Q) le quotient N_{G}(P)\T_{G}(P, Q)/Q. Si K est un sous-groupe de G, je note \underline{F} (K) l’ensemble des sous-groupes de K qui sont dans F. Les conditions sur la famille \underline{F} entraînent l’existence pour tout sous-groupe K de G, d’un plus grand sous-groupe normal de K qui soit dans \underline{F}, que je note O_{F} (K).

Avec ces notations, je peux écrire

E_{P}^{G} ∘_{G} (G × H)/L = − ∑_{x∈\overline{T}_{G}(P,p_{1}(L))} ∑ ; inf s = P^{x} ; \begin{matrix}sup s ⊆ p_{1}(L) \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × H)/(L_{s} ∗ L)

De plus

L_{s} ∗ L = {(a, b) | a ∈ N_{G}(s) , ∃c, a.c^{−1} ∈ sup s , (c, b) ∈ L}

Il est alors clair que sup s normalise k_{1}(L), puisque sup s ⊆ p_{1}(L), et en introduisant le groupe Ω_{L} = O_{F} (k_{1}(L)), j’ai

L_{s} ∗ L ⊆ {(a, b) | a ∈ N_{G}(s) , ∃c, a.c^{−1} ∈ sup s.Ω_{L} , (c, b) ∈ L}

Inversement, si a.c^{−1} ∈ sup s.Ω_{L}, alors il existe u ∈ sup s et v ∈ Ω_{L} tels que a.c^{−1} = u.v. En posant c′ = v.c, j’ai alors a.c^{′−1} = u ∈ sup s, et (c′, b) = (v, 1)(c, b) ∈ L. Donc

L_{s} ∗ L = {(a, b) | a ∈ N_{G}(s) , ∃c, a.c^{−1} ∈ sup s.Ω_{L} , (c, b) ∈ L}

et je peux dans la somme donnant E_{P}^{G} ∘_{G} (G × H)/L regrouper les termes s pour lesquels sup s.Ω_{L} est un élément R donné de \underline{F} (p_{1}(L)), contenant P^{x}.Ω_{L}. Il vient

E_{P}^{G} ∘_{G} (G × H)/L = …
= − ∑_{x∈\overline{T}_{G}(P,p_{1}(L))} ∑ ; \begin{matrix}P^{x}.Ω_{L} ⊆ R ⊆ p_{1}(L) \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}) \end{matrix} ∑ ; inf s = P^{x} ; \begin{matrix}sup s.Ω_{L} = R \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × H)/(L_{s} ∗ L)

Si K est un sous-groupe de N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R), alors

Δ_{K,R} ∗ L = {(a, b) ∈ G × H | a ∈ K, ∃c, a.c^{−1} ∈ R, (c, b) ∈ L}

est un sous-groupe de G × H. De plus, si u ∈ N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R), soit v tel que (u, v) ∈ L. Alors

Δ_{K^{u},R} ∗ L = {(a, b) | a ∈ K^{u}, ∃c, a.c^{−1} ∈ R, (c, b) ∈ L} = …
… = {(a, b) | a ∈ K^{u} ∃c, ^{u}a.(^{u}c)^{−1} ∈ R, (^{u}c,^{v}b) ∈ ^{(u,v)}L = L} = …

… = {(a^{u}, b) | a ∈ K ∃c, a.c^{−1} ∈ R, (c,^{v}b) ∈ L} = {(a^{u}, b^{v}) | (a, b) ∈ Δ_{K,R} ∗ L}

Donc Δ_{K^{u},R} ∗ L = (Δ_{K,R} ∗ L)^{(u,v)}. Je peux alors définir une application λ de l’anneau de Burnside de N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R) dans celui de G × H en posant

λ(N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R)/K) = (G × H)/(Δ_{K,R} ∗ L)

Avec cette définition, j’ai

S = ∑ ; inf s = P^{x} ; \begin{matrix}sup s.Ω_{L} = R \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × H)/(L_{s} ∗ L) = …

… = λ( ∑ ; inf s = P^{x} ; \begin{matrix}sup s.Ω_{L} = R \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R) \end{matrix} (−1)^{|s|}N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R)/N_{p_{1}(L)}(s))

Remarque: Si inf s = P^{x} et sup s.Ω_{L} = R, j’ai bien N_{p_{1}(L)}(s) ⊆ N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R).

Or l’invariant de Lefschetz réduit de “l’intervalle semi-ouvert” ]P^{x}, R]_{F} des éléments de \underline{F} (R) contenant strictement P est donné par

Λ̃_{]P^{x},R]_{F}} = ∑ ; \begin{matrix}inf s = P^{x} \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R) \end{matrix} (−1)^{|s|}N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R)/N_{p_{1}(L)}(s)

et il est nul si P^{x} ≠ R. Soit Z =]P^{x}, R]_{F} − {Q | Q.Ω_{L} = R}. Alors

Λ̃_{Z} = ∑ ; inf s = P^{x} ; \begin{matrix}sup s.Ω_{L} ≠ R \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R) \end{matrix} (−1)^{|s|}N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R)/N_{p_{1}(L)}(s)

et l’ensemble Z est N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R)-contractile par les contractions Q ↦ Q.k_{1}(L) ↦ P^{x}.k_{1}(L), si Ω_{L} ⊈ P^{x} et si P^{x}.Ω_{L} ≠ R. Finalement, si P^{x} ≠ R, si Ω_{L} ⊈ P^{x} et si P^{x}.Ω_{L} ≠ R, alors par différence

Λ̃_{]P^{x},R]_{F}} − Λ̃_{Z} = 0 = ∑ ; inf s = P^{x} ; \begin{matrix}sup s.Ω_{L} = R \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R) \end{matrix} (−1)^{|s|}N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R)/N_{p_{1}(L)}(s)

De plus, si P^{x} = R, alors P^{x}.Ω_{L} = R. Et si P^{x}.Ω_{L} = R et inf s = P^{x}, j’ai sup s.Ω_{L} = R si et seulement si sup s ⊆ R. Alors

S = λ( ∑ ; inf s = P^{x} ; \begin{matrix}sup s ⊆ R \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R) \end{matrix} (−1)^{|s|}N_{p_{1}(L)}(P^{x}, R)/N_{p_{1}(L)}(s) = λ(Λ̃_{]P^{x},R]_{F}}) = 0

si P^{x} ≠ R. Il ne reste donc que les cas où P^{x} = R ou P^{x} ⊇ Ω_{L}. Mais si P^{x} = R, alors P^{x} ⊇ Ω_{L}. Finalement, la somme S est nulle, sauf si Ω_{L} ⊆ P^{x}. Il vient

Lemme 4: Soit P un sous-groupe de G, et L un sous-groupe de G × H. Alors

E_{P}^{G} ∘_{G} (G×H)/L = − ∑ ; \begin{matrix}x ∈ \overline{T}_{G}(P, p_{1}(L)) \\ O_{F} (k_{1}(L)) ⊆ P^{x} \end{matrix}  ∑ ; inf s = P^{x} ; \begin{matrix}sup s ⊆ p_{1}(L) \\ mod.N_{p_{1}(L)}(P^{x}) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G×H)/(L_{s} ∗L)

et en particulier le produit est nul si O_{F} (k_{1}(L)) n’est contenu dans aucun conjugué de P.

2.2.3 Calcul de (H × G)/L ∘_{G} E_{P}^{G}

Si à présent L est un sous-groupe de H × G, un procédé analogue permet le calcul de (H × G)/L ∘_{G} E_{P}^{G}:

(H × G)/L ∘_{G} E_{P}^{G} = − ∑ ; \begin{matrix}inf s = P \\ mod.N_{G}(P) \end{matrix} (H × G)/L ∘_{G} (G × G)/L_{s}

et par la formule de Mackey

(H × G)/L ∘_{G} E_{P}^{G} = …

… = − ∑ ; inf s = P ; \begin{matrix}x ∈ G \\ k_{2}(L) ⊆ N_{G}(^{x}s) \end{matrix} \frac{|N_{G}(s)|}{|N_{G}(P)|} \frac{|p_{2}(L) ∩ N_{G}(^{x}s)|}{|N_{G}(s)||p_{2}(L)|}(−1)^{|s|}(H × G)/(L ∗^{(x,1)}L_{s})

De plus

L ∗^{(x,1)}L_{s} = {(a, b) | ∃c (a, c) ∈ L , c^{x} ∈ N_{G}(s) , c^{x}.b^{−1} ∈ sup s} = …
… = {(a, b) | ∃c (a, c) ∈ L , c ∈ N_{G}(^{x}s) , c.(^{x}b)^{−1} ∈ sup ^{x}s} = …
… = {(a, b) | (a,^{x}b) ∈ L ∗ L_{^{x}s}} = (L ∗ L_{^{x}s})^{(1,x)}

Je peux donc écrire, en sommant sur ^{x}s

(H ×G)/L∘_{G}E_{P}^{G} = − ∑ ; x ∈ G ; \begin{matrix}inf s = ^{x}P \\ k_{2}(L) ⊆ N_{G}(s) \end{matrix} \frac{|p_{2}(L) ∩ N_{G}(s)|}{|N_{G}(P)||p_{2}(L)|}(−1)^{|s|}(H ×G)/(L∗L_{s}) = …

… = − ∑_{x∈p_{2}(L)\T_{G}(k_{2}(L),N_{G}(P))/N_{G}(P)} ∑ ; inf s = ^{x}P ; \begin{matrix}k_{2}(L) ⊆ N_{G}(s) \\ mod.N_{p_{2}(L)}(^{x}P) \end{matrix} (−1)^{|s|}(H × G)/(L ∗ L_{s})

De plus

L ∗ L_{s} = {(a, b) | ∃c (a, c) ∈ L , c ∈ N_{G}(s) , c.b^{−1} ∈ sup s}

Or la suite s est invariante par k_{2}(L), et il est clair que, en posant Ω_{L} = O_{F} (k_{2}(L)), j’ai

L ∗ L_{s} ⊆ {(a, b) | ∃c (a, c) ∈ L , c ∈ N_{G}(s) , c.b^{−1} ∈ Ω_{L}. sup s}

Inversement, si (a, c) ∈ L, si c ∈ N_{G}(s), et si c.b^{−1} ∈ Ω_{L}. sup s, alors il existe u ∈ sup s et v ∈ Ω_{L} tels que c.b^{−1} = v.u, et en posant c′ = v^{−1}.c, j’ai bien c′ ∈ N_{G}(s), puisque Ω_{L} ⊆ N_{G}(s). J’ai aussi (a, c′) = (1, v^{−1})(a, c) ∈ L car v ∈ k_{2}(L), et c′.b^{−1} = u ∈ sup s. L’inclusion ci-dessus est donc une égalité.

Dans la somme donnant (H × G)/L ∘_{G} E_{P}^{G}, je peux alors regrouper les termes s pour lesquels Ω_{L}. sup s est un sous-groupe R donné, contenant ^{x}P .Ω_{L}. Il vient

(H × G)/L ∘_{G} E_{P}^{G} = …

… = − ∑ ; x ∈ p_{2}(L)\T_{G}(k_{2}(L), N_{G}(P))/N_{G}(P) ; \begin{matrix}R ⊇ ^{x}P .Ω_{L} \\ mod.N_{p_{2}(L)}(^{x}P) \end{matrix} ∑ ; \begin{matrix}inf s = ^{x}P \\ k_{2}(L) ⊆ N_{G}(s) \end{matrix} ; \begin{matrix}Ω_{L}. sup s = R \\ mod.N_{p_{2}(L)}(^{x}P , R) \end{matrix} (−1)^{|s|}(H × G)/(L ∗ L_{s})

Si K est un sous-groupe de N_{p_{2}(L)}(^{x}P , R), alors

L ∗ Δ_{K,R} = {(a, b) ∈ H × G | ∃c (a, c) ∈ L c ∈ K , c.b^{−1} ∈ R}

est un sous-groupe de H×G. De plus si v ∈ N_{p_{2}(L)}(^{x}P , R), soit u tel que (u, v) ∈ L. Alors

L ∗ Δ_{K^{v},R} = {(a, b) | ∃c (a, c) ∈ L , c ∈ K^{v} , c.b^{−1} ∈ R} = …
… = {(a, b) | ∃c (^{u}a,^{v}c) ∈ ^{(u,v)}L = L , ^{v}c ∈ K , ^{v}c.(^{v}b)^{−1} ∈ R} = …
… = {(a, b) | (^{u}a,^{v}b) ∈ ψ(K)} = (L ∗ Δ_{K,R})^{(u,v)}

D’où une application μ de l’anneau de Burnside de N_{p_{2}(L)}(^{x}P , R) dans celui de H × G, définie par

μ(N_{p_{2}(L)}(^{x}P , R)/K) = (H × G)/(L ∗ Δ_{K,R})

La somme

T = ∑ ; inf s = ^{x}P , k_{2}(L) ⊆ N_{G}(s) ; \begin{matrix}Ω_{L}. sup s = R \\ mod.N_{p_{2}(L)}(^{x}P , R) \end{matrix} (−1)^{|s|}(H × G)/(L ∗ L_{s})

est alors l’image par μ de

∑ ; inf s = ^{x}P , k_{2}(L) ⊆ N_{G}(s) ; \begin{matrix}Ω_{L}. sup s = R \\ mod.N_{p_{2}(L)}(^{x}P , R) \end{matrix} (−1)^{|s|}N_{p_{2}(L)}(^{x}P , R)/N_{p_{2}(L)}(s)

Si ^{x}P ≠ R et ^{x}P.Ω_{L} ≠ R et Ω_{L}.^{x}P ≠ ^{x}P,cette somme n’est autre que

Λ̃_{]P^{x},R]_{F}} − Λ̃_{]P^{x},R]_{F} −{Q | Ω_{L}.Q=R}}

et ces deux invariants de Lefschetz sont nuls par le même argument que plus haut. Or si ^{x}P = R, alors ^{x}P.Ω_{L} = R. Et si ^{x}P.Ω_{L} = R, alors T est l’image par μ de Λ̃_{]^{x}P,R]_{F}}, qui est nul si^{x}P ≠ R. Finalement, la somme T est nulle sauf si Ω_{L} ⊆ ^{x}P, et alors Lemme 5: Soit P un sous-groupe de G, et L un sous-groupe de H × G. Alors

(H × G)/L ∘_{G} E_{P}^{G} = − ∑ ; x ∈ p_{2}(L)\T_{G}(k_{2}(L), N_{G}(P))/N_{G}(P) ; \begin{matrix}O_{F} (k_{2}(L)) ⊆ inf s = ^{x}P , \\ mod.N_{p_{2}(L)}(^{x}P) \end{matrix} (−1)^{|s|}(H × G)/(L ∗ L_{s})

et en particulier le produit est nul si O_{F} (k_{2}(L)) n’est contenu dans aucun conjugué de P.

2.2.4 Orthogonalité

Soient P et Q des éléments de \underline{F} (G) tels que E_{P}^{G} ∘_{G} E_{Q}^{G} ≠ 0. Alors:

1. Il existe une suite t telle que inf t = Q et telle que E_{P}^{G} ∘_{G} (G × G)/L_{t} ≠ 0. Alors O_{F} (k_{1}(L_{t})) = O_{F} (sup t ∩ N_{G}(t)) est contenu dans un conjugué de P. Mais comme Q = inf t est distingué dans sup t ∩ N_{G}(t), je vois que Q est contenu dans un conjugué de P.

2. Il existe une suite s telle que inf s = P et telle que (G × G)/L_{s} ∘_{G} E_{Q}^{G} ≠ 0. Alors O_{F} (k_{2}(L_{s})) = sup s est contenu dans un conjugué de Q. Mais comme inf s = P est contenu dans sup s, je vois que P est contenu dans un conjugué de Q.

Donc si E_{P}^{G} ∘_{G} E_{Q}^{G} ≠ 0, alors P et Q sont conjugués dans G .

2.2.5 Calcul de la somme des E_{P}^{G}

Soit U la somme des E_{P}^{G}, lorsque P décrit un système de représentants des classes de conjugaison de sous-groupes de G. Alors

U = − ∑_{P mod.G} ∑ ; \begin{matrix}inf s = P \\ mod.N_{G}(P) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × G)/L_{s}

Alors il est clair que

U = − ∑_{s mod.G}(−1)^{|s|}(G × G)/L_{s}

et je regroupe les termes pour lesquels sup s est un sous-groupe Q donné de G:

U = − ∑_{Q mod.G} ∑ ; \begin{matrix}sup s = Q \\ mod.N_{G}(Q) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × G)/Δ_{N_{G}(s),Q}

Si K est un sous-groupe de N_{G}(Q), alors Δ_{K,Q} est un sous-groupe de G × G. De plus, si u ∈ N_{G}(Q), alors

Δ_{K^{u},Q} = Δ_{K^{u},Q^{u}} = Δ_{K,Q}^{(u,u)}

D’où une application θ de l’anneau de Burnside de N_{G}(Q) dans celui de G × G, définie par

θ(N_{G}(Q)/K) = (G × G)/Δ_{K,Q}

Alors la somme

∑ ; \begin{matrix}sup s = Q \\ mod.N_{G}(Q) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × G)/Δ_{N_{G}(s),Q}

est l’image par θ de Λ̃_{[1,Q[_{F}}, qui est nul si Q ≠ {1}. Il en résulte que

U = − ∑ ; \begin{matrix}sup s = 1 \\ mod.N_{G}(1) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × G)/Δ_{N_{G}(s),\{1\}} = (G × G)/L_{\{1\}} = (G × G)/Δ(G)

qui est l’élément neutre de l’anneau Γ(G) pour le produit ∘_{G}.

Comme les E_{P}^{G} sont deux à deux orthogonaux, il s’ensuit que ce sont des idempotents, puisque

E_{P}^{G} = E_{P}^{G} ∘_{G} U = ∑_{Q∈\underline{F} /G} E_{P}^{G} ∘_{G} E_{Q}^{G} = E_{P}^{G} ∘_{G} E_{P}^{G}

D’où

Proposition 3: Les E_{P}^{G}, lorsque P décrit \underline{F} /G, sont des idempotents deux à deux orthogonaux de Γ(G), et leur somme est l’élément neutre de Γ(G).

2.3 Un morphisme de b(G) dans Γ(G)

Si X est un G-ensemble, soit X̃ l’ensemble X × G, doté de la double action du groupe G définie par

g(x, u)h = (gx, guh)

Lemme 6: Si X et Y sont des G-ensembles, alors

X̃ ∘_{G} Ỹ ≈ X̃ × Y

comme G-ensembles-G En effet, les ensembles X̃ et Ỹ sont libres à gauche et à droite comme G-ensembles-G. Il en résulte que X̃ ∘_{G} Ỹ est égal à X̃ ×_{G} Ỹ, lui même isomorphe à X̃ × Y par les applications

((x, g), (y, h)) ∈ X̃ ×_{G} Ỹ ↦ (x, gy, gh) ∈ X̃ × Y
(x, y, g) ∈ X̃ × Y ↦ ((x, 1), (y, h)) ∈ X̃ ×_{G} Ỹ

qui sont des bijections inverses l’une de l’autre.

En particulier l’application X ↦ X̃ se prolonge en un homomorphisme d’anneaux de l’anneau de Burnside b(G) dans Γ(G). Comme G̃/G ≈ (G × G)/Δ(G), ce morphisme est unitaire, et permet en particulier de transférer à Γ(G) une décomposition de l’unité en idempotents orthogonaux de b(G).

2.4 Semi-simplicité en caractéristique 0

Notation: Si K est un anneau, je noterai Γ_{K}(G) (resp. b_{K}(G)) le produit tensoriel K ⊗_{Z} Γ(G) (resp. K ⊗_{Z} b(G). Je suppose de plus dans cette partie que K est un corps de caractéristique 0 ou p > 0 ne divisant pas l’ordre de G. D’autre part, les idempotents E_{H}^{G} considérés sont ceux associés à la famille \underline{F} de tous les sousgroupes de G.

Dans ce cas, l’anneau b_{K}(G) est semi-simple. Ses idempotents primitifs sont indexés par les classes de conjugaison de sous-groupes de G, l’idempotent e_{H}^{G} étant donné par la formule

e_{H}^{G} = \frac{1}{|N_{G}(H)|} ∑_{K⊆H} |K|χ̃]K, H[.(G/K)

Puisque G̃/K = (G × G)/Δ(K), l’image de e_{H}^{G} par le morphisme X ↦ X̃ est égale à

ẽ_{H}^{G} = \frac{1}{|N_{G}(H)|} ∑_{K⊆H} |K|χ̃]K, H[.(G × G)/Δ(K)

2.4.1 Produits par ẽ_{G}^{G}

Je dispose donc de deux décompositions de l’unité de Γ_{K}(G) en idempotents orthogonaux. Il est naturel d’essayer de les multiplier. Pour cela, j’étudie d’abord la multiplication par ẽ_{G}^{G}:

Lemme 7: Soient G et G′ des groupes, et L un sous-groupe de G × G′. Alors

1. Le produit ẽ_{G}^{G} ∘_{G} (G × G′)/L est nul si p_{1}(L) ≠ G.

2. Le produit (G × G′)/L ∘_{G′} ẽ_{G′}^{G′} est nul si p_{2}(L) ≠ G′.

Remarque: Comme ẽ_{G}^{G} est somme algébrique de G-ensembles-G libres à gauche et à droite, si A est un G-ensemble-G′, j’ai

ẽ_{G}^{G} ∘_{G} A = ẽ_{G}^{G} ×_{G} A et A ∘_{G′} ẽ_{G′}^{G′} = A ×_{G′} ẽ_{G′}^{G′}

En notant A^{∗} le G′-ensemble-G “dual” de A, égal à A en tant qu’ensemble, la double action étant définie par

g′.a.g dans A^{∗} = g.a.g′ dans A, pour g′ ∈ G′, a ∈ A, g ∈ G

j’ai de plus (A×_{G′} B)^{∗} ≈ B^{∗} ×_{G′} A^{∗}, pour tout groupe G” et tout G′-ensemble-G” B. La seconde assertion du lemme se déduit donc de la première.

Il s’agit de calculer le produit

P = \frac{1}{|G|} ∑_{X⊆G} |X|χ̃(G)(G × G)/Δ(X) ∘_{G} (G × G′)/L

Par la formule de Mackey, il vient

P = \frac{1}{|G|} ∑ ; \begin{matrix}X ⊆ G \\ x ∈ G \end{matrix} χ̃(G)\frac{|X ∩^{x}p_{1}(L)|}{|p_{1}(L)|}(G × G′)/(Δ(X) ∗^{(x,1)}L)

et

Δ(X) ∗^{(x,1)}L = {(a, b) | a ∈ X ∩^{x}p_{1}(L) , (a^{x}, b) ∈ L}

Je peux alors sommer en fixant le groupe Y = X ∩^{x}p_{1}(L). Le lemme résultera alors du lemme suivant, appliqué au treillis des sous-groupes de G:

Lemme 8: Soit X un ensemble ordonné ayant un plus grand élément γ, et dans lequel toute paire {x, y} admet une borne inférieure x ∧ y. Soient y ≤ z ∈ X. Si z ≠ γ, alors

∑ ; \begin{matrix}x ∈ X \\ x ∧ z = y \end{matrix} χ̃]x, γ[= 0

En effet, si z ≠ γ, alors soit i l’injection de ]y, z] dans ]y, γ[. Elle est telle que si x ∈]y, γ[, alors

i^{x} = {u ∈]y, z] | i(u) ≤ x} =]y, x ∧ z]

Donc i^{x} a un plus grand élément x ∧ z si y ≠ x ∧ z, et i^{x} est vide sinon. Alors

χ̃]y, γ[= χ̃]y, z] − ∑ ; \begin{matrix}x ∈]y, γ[ \\ x ∧ z = y \end{matrix} χ̃]x, γ[= − ∑ ; \begin{matrix}x ∈]y, γ] \\ x ∧ z = y \end{matrix} χ̃]x, γ[

Donc

χ̃]y, γ[+ ∑ ; \begin{matrix}x ∈]y, γ] \\ x ∧ z = y \end{matrix} χ̃]x, γ[= ∑ ; \begin{matrix}x ∈ [y, γ] \\ x ∧ z = y \end{matrix} χ̃]x, γ[= 0

D’où le lemme, puisque si x ∈ X est tel que x ∧ z = y, alors x ∈ [y, γ].

Lemme 9: Soit H un sous-groupe de G. Alors

1. Le produit ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{H}^{G} est nul si H n’est pas un sous-groupe normal de G.

2. De plus ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{H}^{G} = ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{H}^{G} ∘_{G} ẽ_{G}^{G}.

En effet, j’ai

E_{H}^{G} = ∑ ; \begin{matrix}inf s = H \\ mod.N_{G}(H) \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × G)/L_{s}

et le produit ẽ_{G}^{G}∘(G×G)/L_{s} est nul, sauf si p_{1}(L_{s}) = G. Or p_{1}(L_{s}) = N_{G}(s), donc s est composée de sous groupes normaux de G, et en particulier H = inf s \underline{◁} G, d’où la première assertion. Alors la seconde assertion est trivialement vraie si H n’est pas un sous-groupe normal de G. Et si H \underline{◁} G,

ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{H}^{G} = ∑ ; \begin{matrix}inf s = H \\ N_{G}(s) = G \end{matrix} (−1)^{|s|}ẽ_{G}^{G} ∘_{G} (G × G)/L_{s}

Par le même argument, puisque p_{2}(L_{s}) = sup s.N_{G}(s), j’ai aussi

E_{H}^{G} ∘_{G} ẽ_{G}^{G} = ∑ ; inf s = H ; \begin{matrix}sup s.N_{G}(s) = G \\ mod.G \end{matrix} (−1)^{|s|}(G × G)/L_{s} ∘_{G} ẽ_{G}^{G}

D’autre part, l’élément ẽ_{G}^{G} est combinaison linéaire de termes de la forme (G × G)/Δ(X), où X parcourt les sous-groupes de G. Or comme p_{2}(L_{s}) = G, le produit (G × G)/L_{s} ∘_{G} (G × G)/Δ(X) est nul si k_{2}(L_{s}) = sup s ⊈ X, et égal à (G × G)/(L_{s} ∗ Δ(X)) sinon. Mais le produit ẽ_{G}^{G} ∘_{G} (G × G)/(L_{s} ∗ Δ(X)) est nul si p_{1}(L_{s} ∗ Δ(X)) ≠ G. Et si p_{1}(L_{s} ∗ Δ(X)) = G, alors en particulier p_{1}(L_{s}) = G, donc N_{G}(s) = G. De plus, pour tout a ∈ G, il existe des éléments b et c tels que (a, c) ∈ L_{s} et (c, b) ∈ Δ(X). Donc il existe b ∈ X tel que a.b^{−1} ∈ sup s. Donc X. sup s = G, et comme sup s ⊆ X, le seul terme ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{H}^{G} ∘ (G × G)/Δ(X) non-nul est celui correspondant à X = G, dont le coefficient est 1. Donc

ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{H}^{G} = ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{H}^{G} ∘_{G} ẽ_{G}^{G}

ce qui prouve le lemme.

2.4.2 Définition des F_{K,H}^{G}

Il en résulte que si je pose F_{H}^{G} = ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{H}^{G}, pour H \underline{◁} G, j’obtiens des idempotents othogonaux de Γ_{K}(G), dont la somme est ẽ_{G}^{G}. Plus généralement, si H \underline{◁} K ⊆ G, je note x ↦ \overline{x} la projection de K sur K/H = \overline{K}, et je considère le \overline{K}-ensemble-G α_{K,H} défini par

α_{K,H} = (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K)

Je note de même β_{K,H} le G-ensemble-\overline{K} défini par

β_{K,H} = (G × K)/Δ(K) ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} (K × \overline{K})/\{(k, \overline{k}) | k ∈ K\}

Alors soit H′ \underline{◁} K′ ⊆ G. Je vais calculer le produit α_{K,H} ∘_{G} β_{K′,H′}. Je peux écrire

α_{K,H} ∘_{G} β_{K′,H′} = (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K) ∘_{G} …

… (G × K′)/Δ(K′) ∘_{K′} F_{H′}^{K′} ∘_{K′} (K′ × \overline{K′})/\{(k′, \overline{k′}) | k ∈ K′\}

Comme

F_{H}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K) ∘_{G} (G × K′)/Δ(K′) ∘_{G} F_{H′}^{K′} = …
… = F_{H}^{K} ∘_{K} ẽ_{K}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K) ∘_{G} (G × K′)/Δ(K′) ∘_{K′} ẽ_{K′}^{K′} ∘_{K′} F_{H′}^{K′}

et comme

(K × G)/Δ(K) ∘_{G} (G × K′)/Δ(K′) = ∑_{x∈K\G/K′}(K × K′)/{(k, k^{x}) | k ∈ K ∩^{x}K′}

je dois avoir

p_{1}({(k, k^{x}) | k ∈ K ∩^{x}K′}) = K

soit K ⊆ ^{x}K′, et

p_{2}({(k, k^{x}) | k ∈ K ∩^{x}K′}) = ^{x}K′

donc K ⊇ ^{x}K′. Finalement, le produit α_{K,H}∘_{G}β_{K′,H′} est nul si K et K′ ne sont pas conjugués dans G. Et si K′ = K^{g}, pour g ∈ G, alors en notant γ l’isomorphisme canonique entre K/H et \overline{K^{g}} = K^{g}/H^{g}, et en posant

t = (\overline{K^{g}} × \overline{K})/\{(γ(\overline{k}), \overline{k} | k ∈ K\}

t^{∗} = (\overline{K} × \overline{K^{g}})/\{(\overline{k}, γ(\overline{k}) | k ∈ K\}

il est clair que t ∘\overline{K} t^{∗} = 1_{Γ(\overline{K^{g}})} et que t^{∗} ∘\overline{K^{g}} t = 1_{Γ(\overline{K})}. De plus

t ∘\overline{K} α_{K,H} = α_{K^{g},H^{g}}

et il suffit de considérer le couple (K, H) à conjugaison près par G. Je peux donc supposer K = K′, et dans ce cas

α_{K,H} ∘_{G} β_{K,H′} = ∑_{x∈N_{G}(K)/K}(\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} …

… (K × K)/\{(k, k^{x}) | k ∈ K\} ∘_{K} F_{H′}^{K} ∘_{K} (K × \overline{K})/\{(k, \overline{k}) | k ∈ K\} De plus, je peux écrire

F_{H}^{K} ∘_{K} (K × K)/{(k, k^{x}) | k ∈ K} = (K × K)/{(k, k^{x}) | k ∈ K} ∘_{K} F_{H}^{K} ce qui résulte par exemple du lemme suivant: Lemme 10: Soit H un sous-groupe du groupe G, et θ un isomorphisme de G sur un groupe G′. Alors

ẽ_{G}^{G} ∘_{G} (G × G′)/{(u, θ(u)) | u ∈ G} = (G × G′)/{(u, θ(u)) | u ∈ G} ∘_{G′} ẽ_{G′}^{G′} E_{H}^{G} ∘_{G} (G × G′)/{(u, θ(u)) | u ∈ G} = (G × G′)/{(u, θ(u)) | u ∈ G} ∘_{G′} E_{θ(H)}^{G′}

En effet la première assertion résulte de ce que (G×G)/Δ(X)∘_{G}(G×G′)/{(u, θ(u)) | u ∈ G} = (G×G′)/(Δ(X)∗{(u, θ(u)) | u ∈ G}) = …

… = (G × G′)/{(x, θ(x)) | x ∈ X}

Alors que

(G × G′)/{(u, θ(u)) | u ∈ G} ∘_{G′} (G × G)/Δ(θ(X)) = …

… = (G × G′)/({(u, θ(u)) | u ∈ G} ∗ Δ(θ(X))) = (G × G′)/{(x, θ(x)) | x ∈ X} La seconde résulte quant à elle de manière analogue de l’égalité (G×G)/L_{s}∘_{G}(G×G′)/{(u, θ(u)) | u ∈ G} = (G×G′)/{(u, θ(u)) | u ∈ G}∘_{G′}(G×G)/L_{θ(s)} En utilisant ce lemme et l’orthogonalité des F_{H}^{K}, pour H \underline{◁} K, je vois que

α_{K,H}∘_{G}β_{K,H′} = ∑_{x∈N_{G}(K)/K}(\overline{K}×K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}∘_{K}(K×K)/\{(k, k^{x}) | k ∈ K\}∘_{K}…

… F_{H^{x}}^{K} ∘_{K} F_{H′}^{K} ∘_{K} (K × \overline{K})/\{(k, \overline{k}) | k ∈ K\}

et cette somme est nulle sauf si il existe x ∈ N_{G}(K) tel que H^{x} = H′, auquel cas (K, H)^{x} = (K, H′).

Donc le produit α_{K,H} ∘_{G} β_{K′,H′} est nul si (K, H) et (K′, H′) ne sont pas conjugués par G.

Je peux donc supposer K = K′ et H = H′, et alors

α_{K,H}β_{K,H} = ∑_{x∈N_{G}(K,H)/K}(\overline{K}×\overline{K})/\{(\overline{k}, \overline{k^{x}}) | k ∈ K\}∘\overline{K}(\overline{K}×K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}∘_{K}…

… F_{H}^{K} ∘_{K} (K × \overline{K})/\{(k, \overline{k}) | k ∈ K\} = …

… = ( ∑_{x∈N_{G}(K,H)/K}(\overline{K} × \overline{K})/\{(\overline{k}, \overline{k^{x}}) | k ∈ K\}) ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1

moyennant le lemme suivant

Lemme 11: Soit H un sous-groupe normal du groupe K, et \overline{K} = K/H. Alors

(\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} F_{H}^{K} = F \overline{K} ; 1 ∘\overline{K} (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}

De même

(\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} (K × \overline{K})/\{(k, \overline{k}) | k ∈ K\} = (\overline{K} × \overline{K})/Δ(\overline{K})

En effet, par définition

F_{H}^{K} = ẽ_{K}^{K} ∘_{K} E_{H}^{K} = − ∑ ; \begin{matrix}inf s = H \\ mod.N_{K}(H) \end{matrix} (−1)^{|s|}ẽ_{K}^{K} ∘_{K} (K × K)/L_{s}

et je sais que je peux sommer uniquement sur les suites s formées de sous-groupes normaux de K. D’autre part, l’élément ẽ_{K}^{K} est combinaison linéaire de termes de la forme (K × K)/Δ(X), pour X décrivant les sous-groupes de K. Le produit (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} (K × K)/Δ(X) est nul si k_{2}(\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}) = H n’est pas contenu dans p_{1}(Δ(X)) = X, et sinon, il est égal à

(\overline{K} × K)/\{(\overline{x}, x) | x ∈ X\}

De plus

(\overline{K} × K)/\{(\overline{x}, x) | x ∈ X\} ∘_{K} (K × K)/L_{s} = (\overline{K} × K)/(\{(\overline{x}, x) | x ∈ X\} ∗ L_{s})

Or, en notant \overline{s} la suite des quotients par H des termes de s, j’ai \{(\overline{x}, x) | x ∈ X\}∗L_{s} = \{(\overline{x}, y) | x ∈ X , x.y^{−1} ∈ sup s\} = Δ(\overline{X})∗L\overline{s}∗\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ce qui prouve que

(\overline{K} × K)/\{(\overline{x}, x) | x ∈ X\} ∘_{K} (K × K)/L_{s} = …
… = (\overline{K} × \overline{K})/Δ(\overline{X}) ∘\overline{K} (\overline{K} × \overline{K})/L\overline{s} ∘\overline{K} (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}

et la première assertion du lemme en résulte, en multipliant cette égalité par

\frac{1}{|K|}|X|χ̃]X, K[(−1)^{|s|} = \frac{1}{|\overline{K}|}|\overline{X}|χ̃]\overline{X}, \overline{K}[(−1)^{|\overline{s}|}

et en sommant sur les suites s telles que inf s = H et N_{K}(s) = K, et les sousgroupes X ⊇ H de K.

La seconde assertion du lemme résulte du fait que

\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∗ \{(k, \overline{k}) | k ∈ K\} = Δ(\overline{K})

Pour calculer β_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H}, j’observe que

(K × \overline{K})/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘\overline{K} (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} = (K × K)/Δ_{K,H} qui n’est autre que l’élément t_{K,H} de l’anneau T (K). J’ai donc

β_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} = (G × K)/Δ(K) ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} t_{K,H} ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K) Comme F_{H}^{K} = ẽ_{K}^{K} ∘_{K} E_{H}^{K}, comme E_{H}^{K} est combinaison linéaire de termes de la forme (K × K)/L_{s} = t_{N_{K}(s),sup s} pour des suites s telles que inf s = H, et comme

t_{N_{K}(s),sup s} ∘_{K} t_{K,H} = t_{N_{K}(s)∩K,sup s.H} = t_{N_{K}(s),sup s}

il en résulte que

β_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} = (G × K)/Δ(K) ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K)

Notation: Si K et H sont des sous-groupes du groupe G tels que H \underline{◁} K, je pose

F_{K,H}^{G} = \frac{1}{|N_{G}(K, H)/K|}(G × K)/Δ(K) ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K)

J’ai donc

β_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} = |N_{G}(K, H)/K|F_{K,H}^{G}

Pour obtenir une autre expression des éléments F_{K,H}^{G}, je développe le produit F_{H}^{K} = ẽ_{K}^{K} ∘_{K} E_{H}^{K} sous la forme

F_{H}^{K} = ẽ_{K}^{K} ∘_{K} ∑ ; \begin{matrix}inf s = H \\ N_{K}(s) = K \end{matrix} (−1)^{|s|}(K × K)/L_{s}

L’élément ẽ_{K}^{K} est quant à lui combinaison linéaire de termes de la forme (K×K)/Δ(X), pour X parcourant les sous-groupes de K. De plus, si N_{K}(s) = K, alors

(K × K)/Δ(X) ∘_{K} (K × K)/L_{s} = (K × K)/(Δ(X) ∗ L_{s})

et Δ(X)∗L_{s} n’est autre que Δ_{X,sup s}, et ne dépend que de sup s. Or la somme des (−1)^{|s|}, pour les suites s formées de sous-groupes normaux de K, telles que inf s = H et sup s = N est aussi égale à la caractéristique d’Euler-Poincaré réduite de l’ensemble ]H, N[^{K} des sous-groupes normaux de K contenant strictement H et contenus strictement dans N. Comme de plus

(G×K)/Δ(K)∘_{K}(K×K)/Δ_{X,N}∘_{K}(K×G)/Δ(K) = (G×G)/(Δ(K)∗Δ_{X,N}∗Δ(K)) = …

… = (G × G)/Δ_{X,N}

qui est aussi l’élément t_{X,N} de T (G), il vient finalement

F_{K,H}^{G} = \frac{1}{|N_{G}(K, H)|} ∑ ; \begin{matrix}X ⊆ K \\ H ⊆ N \underline{◁} K \end{matrix} |X|χ̃]X, K[χ̃]H, N[^{K}.t_{X,N}

2.4.3 Orthogonalité et somme des F_{K,H}^{G}

Il résulte du calcul des produits α_{K,H} ∘_{G} β_{K′,H′} et de la formule F_{K,H}^{G} = \frac{1}{|N_{G}(H)|}β_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} que le produit F_{K,H} ∘_{G} F_{K′,H′}^{G} est nul si (K′, H′) n’est pas conjugué de (K, H) dans G. De plus, si g ∈ G,

F_{K^{g},H^{g}} = \frac{1}{|N_{G}(K, H)|} ∑ ; \begin{matrix}X ⊆ K \\ H ⊆ N \underline{◁} K \end{matrix} |X|χ̃]X, K[χ̃]H, N[^{K}.t_{X^{g},N^{g}}

et comme dans T (G), j’ai t_{X^{g},N^{g}} = t_{X,G}, je vois que F_{K^{g},H^{g}}^{G} = F_{K,H}^{G}.

Je peux alors calculer la somme des différents F_{K,H}^{G}, lorque (K, H) décrit un système de représentants des classes de conjugaison de couples de sous-groupes de G tels que H \underline{◁} G:

∑_{(K,H) mod.G} F_{K,H} = ∑_{(K,H)} \frac{|N_{G}(K, H)|}{|G|} \frac{|K|}{|N_{G}(K, H)|}(G×K)/Δ(K)∘_{K}F_{H}^{K}∘_{K}(K×G)/Δ(K)

De plus

∑_{H} F_{K,H} = ∑_{H} ẽ_{K}^{K} ∘_{K} E_{H}^{K} = ẽ_{K}^{K}

car la somme des E_{H}^{K} pour H sous-groupe normal de K est égale à 1_{Γ_{K}(K)}. D’autre part, il est facile de vérifier que

(G × K)/Δ(K) ∘_{K} ẽ_{K}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K) = |N_{G}(K)/K|ẽ_{K}^{G}

car si X est un sous-groupe de K, alors

(G × K)/Δ(K) ∘_{K} (K × K)/Δ(X) ∘_{K} (K × G)/Δ(K) = (G × G)/Δ(X)

Alors

∑_{H} F_{K,H} = ∑_{K} \frac{|N_{G}(K)|}{|G|}ẽ_{K}^{G} = ∑_{K mod.G} ẽ_{K}^{G} = 1_{Γ_{K}(G)}

Il en résulte comme plus haut que les F_{K,H}^{G} sont des idempotents: en effet

F_{K,H}^{G} = F_{K,H}^{G} ∘_{G} ∑_{(K′,H′) mod.G} F_{K′,H′}^{G} = F_{K,H}^{G} ∘_{G} F_{K,H}^{G}

Finalement:

Proposition 4: Les éléments F_{K,H}^{G}, lorsque (K, H) décrit un système de représentants des classes de conjugaison par G de couples de sousgroupes de G tels que H \underline{◁} K, sont des idempotents deux à deux orthogonaux de Γ_{K}(G), et leur somme est égale 1_{Γ_{K}(G)}.

2.4.4 Identification de Γ_{K}(G)

Soient H \underline{◁} K et H′ \underline{◁} K′ des sous-groupes de G tels que F_{K′,H′}^{G}∘_{G}Γ_{K}(G)∘_{G}F_{K,H}^{G} ne soit pas réduit à {0}. Alors soit X un G-ensemble-G tel que

F_{K′,H′}^{G} ∘_{G} X ∘_{G} F_{K,H}^{G} ≠ 0

J’ai donc en particulier

α_{K′,H′} ∘_{G} X ∘_{G} β_{K,H} ∘_{G} α_{K,H} ≠ 0

En posant Z = α_{K′,H′} ∘_{G} X ∘_{G} β_{K,H} ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1, comme par le lemme 11, j’ai

α_{K,H} = (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} F_{H}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K) = …

… = F \overline{K} ; 1 ∘\overline{K} (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} (K × G)/Δ(K)

j’ai F \overline{K} ; 1 ∘\overline{K} α_{K,H} = α_{K,H}, donc

F \overline{K′} ; 1 ∘\overline{K′} Z ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1 = Z ≠ 0

Dans ces conditions, il existe un sous-groupe L de \overline{K′} × \overline{K} tel que

F \overline{K′} ; 1 ∘\overline{K′} (\overline{K′} × \overline{K})/L ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1 ≠ 0

Lemme 12: Pour tout groupe G,

E_{1}^{G} ∘_{G} F_{1}^{G} = F_{1}^{G}

En effet, j’ai E_{1}^{G} ∘_{G} F_{1}^{G} = E_{1}^{G} ∘_{G} ẽ_{G}^{G} ∘_{G} E_{1}^{G}, et ce produit est combinaison linéaire d’éléments de la forme

(G × G)/L_{s} ∘_{G} (G × G)/Δ(X) ∘_{G} E_{1}^{G}

pour inf s = {1} et X sous-groupe de G. Or

(G × G)/L_{s} ∘_{G} (G × G)/Δ(X) = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ p_{2}(L_{s})\G/X \\ k_{2}(L_{s})^{x} ⊆ X \end{matrix} (G × G)/(L_{s} ∗^{(x,1)}Δ(X))

et k_{2}(L_{s}) = sup s. Mais si le produit

(G × G)/(L_{s} ∗^{(x,1)}Δ(X)) ∘_{G} E_{1}^{G}

est non-nul, alors k_{2}(L_{s} ∗^{(x,1)}Δ(X)) = 1. Comme

k_{2}(L_{s} ∗^{(x,1)}Δ(X)) = X ∩ (sup s)^{x} = sup s^{x}

il en résulte que sup s = {1}, donc que s est réduite au groupe trivial. Comme L_{{1}} = Δ(G), le lemme en découle.

Dans ces conditions, si

F \overline{K′} ; 1 ∘\overline{K′} (\overline{K′} × \overline{K})/L ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1 ≠ 0

alors comme

F \overline{K′} ; 1 = F \overline{K′} ; 1 ∘\overline{K′} ẽ\overline{K′} ; \overline{K′} = F \overline{K′} ; 1 ∘\overline{K′} E\overline{K′} ; 1

je vois que p_{1}(L) = \overline{K′} et k_{1}(L) = \{1\}. De même, comme

F \overline{K} ; 1 = ẽ\overline{K} ; \overline{K} ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1 = E\overline{K} ; 1 ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1

j’ai aussi p_{2}(L) = \overline{K} et k_{2}(L) = \{1\}. Alors les groupes \overline{K} et \overline{K′} sont isomorphes à q(L), donc isomorphes entre eux. Finalement, j’ai montré la

Proposition 5: Soient H \underline{◁} K et H′ \underline{◁} K′ des sous-groupes de G tels que F_{K′,H′}^{G} ∘_{G} Γ_{K}(G) ∘_{G} F_{K,H}^{G} ≠ 0. Alors les quotients K/H et K′/H′ sont isomorphes. Corollaire: Si S est un groupe, soit

B_{S} = ∑ ; (K, H) mod.G ; \begin{matrix}H \underline{◁} K \\ K/H ≈ S \end{matrix} F_{K,H}^{G}

Alors les B_{S}, lorsque S décrit un système de représentants des classes d’isomorphismes de sections de G, sont des idempotents centraux de Γ_{K}(G), et leur somme est égale à 1_{Γ_{K}(G)}.

Le corollaire provient du fait que la somme des B_{S} est égale à la somme des F_{K,H}^{G}, donc à 1_{Γ_{K}(G)}. Alors si x ∈ Γ_{K}(G), j’ai

B_{S} ∘_{G} x = ∑_{T} B_{S} ∘_{G} x ∘_{G} B_{T}

et il est clair que le produit B_{S} ∘_{G} x ∘_{G} B_{T} ne peut être non-nul que si S = T. Alors B_{S} ∘_{G} x = B_{S} ∘_{G} x ∘_{G} B_{S}, et le même raisonnement appliqué à x ∘_{G} B_{S} prouve que x ∘_{G} B_{S} = B_{S} ∘_{G} x ∘_{G} B_{S}, donc que B_{S} est central.

Pour identifier l’algèbre B_{S}∘_{G}Γ_{K}(G), je choisis un système R_{S} de représentants des classes de conjugaison de couples (K, H) de sous-groupes de G tels que H \underline{◁} K et K/H ≈ S. Pour chaque (K, H) ∈ R_{S}, je pose

γ_{K,H} = \frac{1}{|N_{G}(K, H)/K|}β_{K,H}

Je fixe alors un isomorphisme π_{K,H} de K/H = \overline{K} sur S, et je note ρ_{K,H} le S-ensemble-\overline{K} défini par

ρ_{K,H} = (S × \overline{K})/\{(π_{K,H}(\overline{k}), \overline{k}) | k ∈ K\}

Je note

ρ_{K,H}^{∗} = (\overline{K} × S)/\{(\overline{k}, π_{K,H}(\overline{k})) | k ∈ K\}

son “inverse”, qui est tel que

ρ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} = 1_{Γ_{K}(S)}
ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} ρ_{K,H} = 1_{Γ_{K}(\overline{K})}

Si x ∈ N_{G}(K, H), alors x induit un automorphisme i_{x} de \overline{K} = K/H, qui est intérieur si x ∈ K, et je note a_{K,H} le morphisme de N_{G}(K, H)/K dans le groupe Ext(S) des automorphismes extérieurs de S défini par

a_{K,H}(x) = π_{K,H}.i_{x}.π_{K,H}^{−1}

Je pose également

μ_{K,H} = \frac{1}{|N_{G}(K, H)/K|} ∑_{x∈N_{G}(K,H)/K}(\overline{K} × \overline{K})/\{(i_{x}(\overline{k}), \overline{k}) | k ∈ K\}

C’est un idempotent de Γ_{K}(\overline{K}). Enfin je note σ_{K,H} l’idempotent de Γ_{K}(S) correspondant, défini par

σ_{K,H} = ρ_{K,H} ∘\overline{K} μ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗}

Il résulte du lemme 10 que

F \overline{K} ; 1 ∘\overline{K} (\overline{K} × \overline{K})/\{(\overline{k}, \overline{k^{x}}) | k ∈ K\} = (\overline{K} × \overline{K})/\{(\overline{k}, \overline{k^{x}}) | k ∈ K\} ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1

Il s’ensuit que μ_{K,H} ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1 = F \overline{K} ; 1 ∘\overline{K} μ_{K,H}, donc que

σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} = F_{1}^{S} ∘_{S} σ_{K,H}

et en particulier σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} est un idempotent de Γ_{K}(S).

Soient (K, H) et (K′, H′) deux éléments de R_{S}, et u ∈ F_{K,H}^{G} ∘_{G}Γ_{K}(G)∘_{G}F_{K′,H′}^{G}. Je pose

θ_{K′,H′}^{K,H}(u) = ρ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} u ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗}

C’est un élément de Γ_{K}(S). Il est clair de plus que

σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} ρ_{K,H} = ρ_{K,H} ∘\overline{K} μ_{K,H} ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1

Or j’ai vu que

μ_{K,H} ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1 = α_{K,H} ∘_{G} γ_{K,H}

Il en résulte que

σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} θ_{K′,H′}^{K,H}(u) = ρ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} γ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} u ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗}

Mais γ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} = F_{K,H}^{G}, et F_{K,H}^{G} ∘_{G} u = u. Donc

σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} θ_{K′,H′}^{K,H}(u) = ρ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} u ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗} = θ_{K′,H′}^{K,H}(u)

De la même manière, comme

ρ_{K′,H′}^{∗} ∘_{S} σ_{K′,H′} ∘_{S} F_{1}^{S} = μ_{K′,H′} ∘\overline{K′} F \overline{K′} ; 1 ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗}

j’ai θ_{K′,H′}^{K,H}(u)∘_{S} σ_{K′,H′} ∘_{S} F_{1}^{S} = ρ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} u∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗} De plus γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} = F_{K′,H′}^{G}, et u ∘_{G} F_{K′,H′}^{G} = u. Donc θ_{K′,H′}^{K,H}(u) ∘_{S} σ_{K′,H′} ∘_{S} F_{1}^{S} = ρ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} u ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗} = θ_{K′,H′}^{K,H}(u) Ainsi, j’ai défini une application θ_{K′,H′}^{K,H} de F_{K,H}^{G} ∘_{G} Γ_{K}(G) ∘_{G} F_{K′,H′}^{G} dans

σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} Γ_{K}(S) ∘_{S} σ_{K′,H′} ∘_{S} F_{1}^{S}

Inversement, si v est un élément de σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} Γ_{K}(S) ∘_{S} σ_{K′,H′} ∘_{S} F_{1}^{S}, je pose

ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v) = γ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′}

Alors, je peux écrire

F_{K,H}^{G} ∘_{G} ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v) = γ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} γ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} et

α_{K,H} ∘_{G} γ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v = μ_{K,H} ∘\overline{K} F \overline{K} ; 1 ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v = …

… = ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} v = ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v

Donc

F_{K,H}^{G} ∘_{G} ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v) = γ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} = ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v)

De même ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v) ∘_{G} F_{K′,H′}^{G} = γ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} et

v ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} ∘_{G} γ_{K′,H′} = v ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} μ_{K′,H′} ∘\overline{K′} F \overline{K′} ; 1 = …

… = v ∘_{S} σ_{K′,H′} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} ρ_{K′,H′} = v ∘_{S} ρ_{K′,H′}

donc

ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v) ∘_{G} F_{K′,H′}^{G} = γ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} = ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v)

J’ai ainsi défini une application ϕ_{K′,H′}^{K,H} de σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} Γ_{K}(S) ∘_{S} σ_{K′,H′} ∘_{S} F_{1}^{S} dans F_{K,H}^{G} ∘_{G} Γ_{K}(G) ∘_{G} F_{K′,H′}^{G}.

Les applications θ_{K′,H′}^{K,H} et ϕ_{K′,H′}^{K,H} sont des bijections inverses l’une de l’autre: en effet, ϕ_{K′,H′}^{K,H}.θ_{K′,H′}^{K,H}(u) = γ_{K,H}∘\overline{K}ρ_{K,H}^{∗}∘_{S}ρ_{K,H}∘\overline{K}α_{K,H}∘_{G}u∘_{G}γ_{K′,H′}∘\overline{K′}ρ_{K′,H′}^{∗}∘_{S}ρ_{K′,H′}∘\overline{K′}α_{K′,H′} Alors

γ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} ρ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} u = γ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} u = F_{K,H}^{G} ∘_{G} u = u et u ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗} ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} = u ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} = u ∘_{G} F_{K′,H′}^{G} = u et j’ai bien ϕ_{K′,H′}^{K,H}.θ_{K′,H′}^{K,H}(u) = u. De la même manière, θ_{K′,H′}^{K,H}.ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v) = ρ_{K,H}∘\overline{K}α_{K,H}∘_{G}γ_{K,H}∘\overline{K}ρ_{K,H}^{∗}∘_{S}v∘_{S}ρ_{K′,H′}∘\overline{K′}α_{K′,H′}∘_{G}γ_{K′,H′}∘\overline{K′}ρ_{K′,H′}^{∗} Or

ρ_{K,H} ∘\overline{K} α_{K,H} ∘_{G} γ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v = ρ_{K,H} ∘\overline{K} μ_{K,H}F \overline{K} ; 1 ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗} ∘_{S} v = …

… = ρ_{K,H} ∘\overline{K} ρ_{K,H}^{∗}σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} v = v

et

v∘_{S}ρ_{K′,H′}∘\overline{K′}α_{K′,H′}∘_{G}γ_{K′,H′}∘\overline{K′}ρ_{K′,H′}^{∗} = v∘_{S}ρ_{K′,H′}∘\overline{K′}μ_{K′,H′}∘\overline{K′}F \overline{K′} ; 1∘\overline{K′}ρ_{K′,H′}^{∗} = …

… = v ∘_{S} σ_{K′,H′} ∘_{S} F_{1}^{S} ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗} = v

et j’ai donc bien θ_{K′,H′}^{K,H}.ϕ_{K′,H′}^{K,H}(v) = v.

Si à présent j’ai trois éléments (K, H), (K′, H′) et (K”, H”) de R_{S}, si u est un élément de F_{K,H}^{G} ∘_{G} Γ_{K} ∘_{G} F_{K′,H′}^{G} et u′ un élément de F_{K′,H′}^{G} ∘_{G} Γ_{K} ∘_{G} F_{K”,H”}^{G}, alors

θ_{K′,H′}^{K,H}(u) ∘_{S} θ_{K”,H”}^{K′,H′}(u′) = …

… = ρ_{K,H}∘\overline{K}α_{K,H}∘_{G}u∘_{G}γ_{K′,H′}∘\overline{K′}ρ_{K′,H′}^{∗}∘_{S}ρ_{K′,H′}∘\overline{K′}α_{K′,H′}∘_{G}u′∘_{G}γ_{K”,H”}∘\overline{K”}ρ_{K”,H”}^{∗} Mais u ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,H′}^{∗} ∘_{S} ρ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} ∘_{G} u′ = u ∘_{G} γ_{K′,H′} ∘\overline{K′} α_{K′,H′} ∘_{G} u′ = …

… = u ∘_{G} F_{K′,H′}^{G} ∘_{G} u′ = u ∘_{G} u′

Il vient donc

θ_{K′,H′}^{K,H}(u) ∘_{S} θ_{K”,H”}^{K′,H′}(u′) = θ_{K”,H”}^{K,H}(u ∘_{G} u′)

Soit alors A_{S} l’algèbre F_{1}^{S} ∘_{S} Γ_{K}(S) ∘_{S} F_{1}^{S}, et

W_{S} = ⨁_{(K,H)∈R_{S}} A_{S} ∘_{S} σ_{K,H}

vu comme un A_{S}-module. Alors

End_{A_{S}}(W_{S}) ≈ ⨁_{(K,H),(K′,H′)∈R_{S}} σ_{K,H} ∘_{S} A_{S} ∘_{S} σ_{K′,H′}

De même, pour l’algèbre B_{S} ∘_{G} Γ_{K}(S), j’ai

B_{S} ∘_{G} Γ_{K}(S) ≈ ⨁_{(K,H),(K′,H′)∈R_{S}} F_{K,H}^{G} ∘_{G} Γ_{K}(G) ∘_{G} F_{K′,H′}^{G}

et les considérations précédentes montrent que l’application θ de B_{S} ∘_{G} Γ_{K}(S) dans End_{A_{S}}(W_{S}) définie par

θ(u) = ⊕_{(K,H),(K′,H′)∈R_{S}}θ_{K′,H′}^{K,H}(F_{K,H}^{G} ∘_{G} u ∘_{G} F_{K′,H′}^{G})

est un isomorphisme d’algèbres.

D’autre part, si ζ est un automorphisme de S, alors le S-ensemble-S diagonal (S × S)/{(ζ(s), s) | s ∈ S} ne dépend que de la classe de ζ dans Ext(S), à isomorphisme près. Je pose alors

Z_{ζ} = F_{1}^{S} ∘_{S} (S × S)/{(ζ(s), s) | s ∈ S} ∘_{S} F_{1}^{S}

Comme F_{1}^{S} commute avec (S × S)/{(ζ(s), s) | s ∈ S} (lemme 10), j’ai aussi

Z_{ζ} = F_{1}^{S} ∘_{S} (S × S)/{(ζ(s), s) | s ∈ S}

et si ζ′ ∈ Aut(S), alors

Z_{ζ} ∘_{S} Z_{ζ′} = F_{1}^{S} ∘_{S} (S × S)/{(ζ(s), s) | s ∈ S} ∘_{S} (S × S)/{(ζ′(s), s) | s ∈ S} = …

… = F_{1}^{S} ∘_{S} (S × S)/{(ζζ′(s), s) | s ∈ S} = Z_{ζζ′}

D’où un homomorphisme d’algèbres de KExt(S) dans A_{S}. Cet homomorphisme est surjectif, car si L est un sous-groupe de S×S tel que F_{1}^{S}∘_{S}(S×S)/L∘_{S}F_{1}^{S} ≠ 0, alors

p_{1}(L) = S , k_{1}(L) = {1} , p_{2}(L) = S , k_{2}(L) = {1}

et il existe un automorphisme ζ de S tel que L = {(ζ(s), s) | s ∈ S}. Il est de plus injectif, car le seul terme (S × S)/L figurant dans le développement de Z_{ζ}, pour lequel L vérifie les propriétés ci-dessus correspond à L = L_{ζ} = {(ζ(s), s) | s ∈ S}, avec coefficient 1: en effet, l’élément Z_{ζ} est combinaison linéaire d’éléments de la forme

(S × S)/Δ(X) ∘_{S} (S × S)/L_{s} ∘_{S} (S × S)/L_{ζ}

où X est un sous-groupe de S, et s est une suite de sous-groupes que je peux supposer normaux de S. Ce produit est aussi égal à

(S × S)/(Δ(X) ∗ L_{s} ∗ L_{ζ})

Mais si p_{1}(Δ(X) ∗ L_{s} ∗ L_{ζ}) = S, alors X = S et Δ(X) ∗ L_{s} ∗ L_{ζ} = L_{s} ∗ L_{ζ}. Si de plus k_{1}(L_{s} ∗ L_{ζ}) = {1}, alors k_{1}(L_{s}) = {1}, donc sup s = {1}, et s est réduite au groupe trivial. Et alors j’ai bien L_{s} ∗ L_{ζ} = L_{ζ}.

En d’autres termes, je vois que l’algèbre A_{S} est isomorphe à l’algèbre du groupe Ext(S). Il est clair que cet isomorphisme transforme l’idempotent σ_{K,H} ∘_{S} F_{1}^{S} en l’idempotent

λ_{K,H} = \frac{1}{|N_{G}(K, H)/K|} ∑_{x∈N_{G}(K,H)/K} a_{K,H}(x)

de KExt(S). Or en tant que KExt(S)-modules, j’ai l’isomorphisme

KExt(S)λ_{K,H} ≈ Ind_{a_{K,H}(N_{G}(K,H)/K)}^{Ext(S)}K

et j’ai finalement montré le

Théorème 2: Si K est un corps de caractéristique 0 ou p > 0 ne divisant pas l’ordre de G, alors l’algèbre Γ_{K}(G) est isomorphe au produit direct des algèbres

End_{Ext(S)}(⊕_{(K,H)∈R_{S}}Ind_{a_{K,H}(N_{G}(K,H)/K)}^{Ext(S)}K)

lorsque S décrit les classes d’isomorphisme de groupes finis, l’ensemble R_{S} étant un système de représentants des classes de conjugaison par G de couples de sous-groupes (K, H) de G tels que K/H ≈ S, le groupe a_{K,H}(N_{G}(K, H)/K) étant l’image de N_{G}(K, H)/K dans Ext(S) déduite d’un tel isomorphisme. Corollaire: Si K est un corps de caractéristique 0 ne divisant aucun des ordres des groupes Ext(S), pour S section de G, alors l’algèbre Γ_{K}(G) est semi-simple.

3 Catégories associées

Le produit ∘_{G} est associatif et possède un élément neutre. Il est naturel d’essayer de lui associer une catégorie dont les objets sont les groupes finis, un morphisme d’un groupe G dans un groupe H étant un H-ensemble-G, le produit des morphismes étant donné par le produit ∘_{G}. Il est possible de raffiner un peu cette définition, en ne considérant que certains types d’ensembles munis d’une double action.

3.1 Ensembles P-libres-Q

Soit P une famille non-vides de groupe finis telle que

1. Si P ∈ P, et si Q ⊆ P, alors Q ∈ P.

2. Si Q \underline{◁} P ∈ P, alors P/Q ∈ P.

3. Si Q \underline{◁} P, si Q ∈ P, et si P/Q ∈ P, alors P ∈ P.

Remarque: Ces propriétés signifient en fait que P est la famille des groupes finis dont les facteurs de composition sont dans une famille donnée de groupe finis simples.

Si G et H sont des groupes finis, et A un H-ensemble-G, je dirai que A est P-libre (resp libre-P) si pour tout a ∈ A, le groupe H_{a} est dans P (resp. le groupe aG dans P). Cette appellation tient au fait que, dans le cas où P est réduite au groupe trivial, cette définition est celle d’un ensemble libre à gauche. Si Q est une autre famille ayant ces propriétés, je dirai de même que A est P-libre-Q s’il est P- libre et libre-Q .

Les ensembles P-libres se multiplient entre eux par le produit ∘_{G}:

Lemme 13: Soient G, H, et K des groupes. Soit A est un H-ensemble-G et B un Kensemble-H. Si A et B sont P-libres (resp. libres-P), il en est de même de B ∘_{H} A.

Soit en effet b ∘_{H} a ∈ B ∘_{H} A, et k ∈ K tel que k(b ∘_{H} a) = b ∘_{H} a. Alors il existe h ∈ H tel que kb = bh et ha = a. Soit P l’ensemble des h ∈ H_{a} tels qu’il existe k ∈ K avec kb = bh. Alors P est un sous-groupe de H_{a}, donc P est dans P, de même que son quotient P/_{b}P . Mais l’application qui à k ∈ K_{b∘_{H}a} associe dans P/_{b}P l’image de l’élément h ∈ H tel qu kb = bh est bien définie et surjective. Son noyau est K_{b} qui est dans P par hypothèse. Donc K_{b∘_{H}a} est dans P, et B ∘_{H} A est P-libre. Le raisonnement pour les ensembles libres-P est analogue.

3.2 La catégorie C(P, Q)

Je peux à présent définir la catégorie C(P, Q): ses objets sont simplement les groupes finis. Un morphisme du groupe G dans le groupe H est un élément du groupe de Grothendieck des H-ensembles- G qui sont P-libres-Q, ou encore une somme algébrique de tels H-ensembles-G (que j’appellerai aussi H-ensemble-G virtuel). Le produit du K-ensemble-H virtuel V différence des ensembles C et D et du H-ensemble-G virtuel U différence de A et B est donné par la règle des signes

V ∘ U = (C − D) ∘ (A − B) = ((C ∘_{H} A) ∐(D ∘_{H} B)) − ((C ∘_{H} B) ∐(D ∘_{H} A))

ce qui a un sens car le produit ∘_{H} est distributif à gauche et à droite par rapport aux réunions disjointes.

C’est une catégorie additive, au sens où pour tous groupes finis G et H, l’ensemble Hom_{C(P,Q)}(G, H) a une structure de groupe abélien, telle que la composition des morphismes soit bi-additive.

Je vais en fait étudier les représentations de cette catégorie dans une catégorie de modules. Je fixe pour cela un anneau R, et je note F_{R}(P, Q) la catégorie des foncteurs de C(P, Q) dans la catégorie R-mod des R-modules de type fini, au sens des catégories additives (les foncteurs induisent des morphismes de groupes entre groupes d’homomorphismes).

Cette catégorie de foncteurs est une catégorie abélienne, et je dispose des notions classiques d’objets projectifs, injectifs, simples, etc. . ..

Il est facile de vérifier que la catégorie F_{R}(P, Q) est équivalente à la catégorie des foncteurs R-linéaires à valeurs dans R-mod de la catégorie C_{R}(P, Q) “produit tensoriel” de C(P, Q) par R, i.e. la catégorie dont les objets sont les groupes finis, et telle que

Hom_{C_{R}(P,Q)}(G, H) = R ⊗ Hom_{C(P,Q)}(G, H)

Dans cette catégorie, un morphisme de G dans H est une combinaison linéaire à coefficients dans R de H-ensembles-G, le produit de deux morphismes étant défini par R-linéarité.

3.3 La catégorie F_{R}(P, Q)

3.3.1 Structure des foncteurs simples

Il résulte de [BO2] que les foncteurs simples peuvent être indexés par des couples (H, V), où H est un groupe fini et V un ExtH-module simple: le foncteur simple associé au groupe H et au module V est donné par

S_{H,V} (G) = L_{H,V} (G)/K_{H,V} (G)

avec L_{H,V} (G) = Hom(H, G) ⊗_{End(H)} V, le sous-module K_{H,V} (G) étant l’ensemble des éléments w = ∑_{i} ψ_{i} ⊗ v_{i} tels que ∑_{i}(ϕψ_{i}).v_{i} = 0 pour tout ϕ ∈ Hom(G, H).

Comme le groupe H est minimal pour S_{H,V}, il en résulte que si ψ ∈ Hom(H, G) factorise sous la forme ψ = αβ par un groupe K d’ordre strictement plus petit que celui de H, alors dans S_{H,V} (G)

ψ ⊗ v = S_{H,V} (α)(β ⊗ v) = 0

car β ⊗ v = 0 dans S_{H,V} (K). Or si ψ = (G × H)/L, pour un sous-groupe L de G × H, alors en notant a (resp.

b) une surjection de p_{1}(L) (resp. de p_{2}(L)) dans q(L) telle que

L = {(g_{1}, g_{2}) ∈ p_{1}(L) × p_{2}(L) | a(g_{1}) = b(g_{2})}

je peux factoriser ψ sous la forme

ψ = (G×q(L))/{(g_{1}, a(g_{1})) | g_{1} ∈ p_{1}(L)}∘_{q(L)}(q(L)×H)/{(b(g_{2}), g_{2}) | g_{2} ∈ p_{2}(L)}

et si ψ est P-libre-Q, il en est de même des deux facteurs du produit ci-dessus. Si donc ψ ne factorise pas par un groupe d’ordre strictement inférieur à celui de H, et si ψ est un G-ensemble-H transitif, alors il existe un sous-groupe G_{1} de G et une surjection s de G_{1} dans H telle que Ker s ∈ P, tels que

ψ = (G × H)/{(g_{1}, s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}

De plus, si θ est un automorphisme de H, alors

ψ ∘_{H} (H × H)/{(θ(h), h) | h ∈ H} ≈ (G × H)/{(g_{1}, θ^{−1}s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}

Donc dans S_{H,V} (G)

(G × H)/{(g_{1}, θ^{−1}s(g_{1})) ⊗ v = (G × H)/{(g_{1}, s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}} ⊗ θv

Remarque: De même, si x ∈ G et y ∈ H, alors

(G × H)/{(g_{1}^{x}, s(g_{1})^{y}) | g_{1} ∈ G_{1}} = (G × H)/{(g_{1}, s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}

Si x normalise G_{1} et le noyau N_{1} de s, i.e. x ∈ N_{G}(G_{1}, N_{1}), alors il existe un automorphisme ϕ_{x} de H tel que pour tout g_{1} ∈ G_{1}

s(^{x}g_{1}) = ϕ_{x}(s(g_{1}))

et dans ces conditions

(G × H)/{(g_{1}^{x}, s(g_{1})^{y}) | g_{1} ∈ G_{1}} = (G × H)/{(g_{1}, s(^{x}g_{1}))^{y} | g_{1} ∈ G_{1}} = …

… = (G × H)/{(g_{1}, i_{y}ϕ_{x}s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}

en notant i_{y} l’automorphisme intérieur associé à y. Donc dans L_{H,V} (G)

(G × H)/{(g_{1}, s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}} ⊗ v = (G × H)/{(g_{1}, s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}} ⊗ ϕ_{x}^{−1}i_{y}^{−1}v

Je vois donc que S_{H,V} (G) est engendré par les images des éléments

(G × H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}} ⊗ v

où j’ai choisi pour chaque représentant des classes de conjugaison par G de couples (G_{1}, N_{1}) de sous-groupes de G tels que N_{1} ∈ P et N_{1} \underline{◁} G_{1}, le quotient G_{1}/N_{1} étant isomorphe à H, une surjection s_{G_{1},N_{1}} de noyau N_{1} de G_{1} sur H.

Pour connaître K_{H,V} (G), je dois évaluer les produits

(ϕ ∘_{G} (G × H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}).v

pour un morphisme ϕ de G dans H. Comme le module V est annulé par tout morphisme factorisant par un groupe d’ordre strictement inférieur à celui de H, je peux supposer qu’il existe un sousgroupe G_{2} de G et une surjection t de G_{2} dans H, de noyau N_{2} ∈ Q tels que

ϕ = (H × G)/{(t(g_{2}), g_{2}) | g_{2} ∈ G_{2}})

Je peux alors calculer le produit

(H × G)/{(t(g_{2}), g_{2}) | g_{2} ∈ G_{2}}) ∘_{H} (G × H)/{(g_{1}, s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}) = …

… = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ G_{2}\G/G_{1} \\ N_{2}^{x} ⊆ G_{1} \end{matrix} (H × H)/\{(t(a), s(a^{x})) | a ∈ G_{2} ∩^{x}G_{1}\}

Soit u_{x} = (H × H)/{(t(a), s(a^{x})) | a ∈ G_{2} ∩^{x}G_{1}}. Alors u_{x}.v = 0, sauf si il existe un automorphisme θ de H tel que

{(t(a), s(a^{x})) | a ∈ G_{2} ∩^{x}G_{1}} = {(θ(h), h) | h ∈ H}

Ceci impose en particulier que t(G_{2} ∩^{x}G_{1}) = H, donc que

(G_{2} ∩^{x}G_{1})N_{2} = G_{2}

mais comme N_{2}^{x} ⊆ G_{1}, j’ai G_{2} ∩^{x}G_{1} = G_{2} et G_{2} ⊆ ^{x}G_{1}. Je dois avoir de même s(G_{2}^{x} ∩ G_{1}) = H donc

(G_{2}^{x} ∩ G_{1})N_{1} = G_{2}^{x}.N_{1} = G_{1}

ou encore G_{2}.^{x}N_{1} = ^{x}G_{1}. De plus, si a ∈ N_{2} ∩^{x}G_{1}, alors t(a) = 1, et je dois avoir aussi s(a^{x}) = 1. Donc s(N_{2}^{x} ∩ G_{1}) = 1 et

N_{2}^{x} ∩ G_{1} = N_{2}^{x} ⊆ N_{1}

Et en particulier, comme N_{1} est dans P, le groupe N_{2} est aussi dans P, donc dans P ∩ Q. De même, si a ∈ G_{2} ∩ ^{x}N_{1}, alors s(a^{x}) = 1, et je dois avoir t(a) = 1. Donc t(G_{2} ∩^{x}N_{1}) = 1 et

G_{2} ∩^{x}N_{1} ⊆ N_{2}

mais comme N_{2} ⊆ ^{x}N_{1}, j’ai finalement

G_{2} ∩^{x}N_{1} = N_{2} et G_{2}.^{x}N_{1} = ^{x}G_{1}

Notation: Je résumerai les conditions ci-dessus en écrivant (G_{2}, N_{2}) ⪯ (^{x}G_{1},^{x}N_{1}).

Inversement, si ces conditions sont remplies, alors l’application uN_{2} ↦ u^{x}.N_{1} est un isomorphisme λ_{x} de G_{2}/N_{2} sur G_{1}/N_{1}. Si \overline{t} (resp. \overline{s}) désigne l’isomorphisme de G_{2}/N_{2} (resp. de G_{1}/N_{1}) sur H déduit de t (resp. de s), je note θ_{x} l’automorphisme de H tel que θ_{x}s(a^{x}) = t(a) pour tout a ∈ G_{2}. Il peut être défini par

θ_{x} = \overline{t}λ_{x}^{−1}\overline{s}^{−1}

Finalement, je peux donc écrire

(ϕ ∘_{G} (G × H)/\{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}\}).v = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ G_{2}\G/G_{1} \\ (G_{2}, N_{2}) ⪯ (^{x}G_{1},^{x}N_{1}) \end{matrix} θ_{x}.v

Je remarque alors que si G_{2}^{x} ⊆ G_{1}, j’ai G_{2}xG_{1} = xG_{1}, et alors

(ϕ ∘_{G} (G × H)/\{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}\}).v = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ G/G_{1} \\ (G_{2}, N_{2}) ⪯ (^{x}G_{1},^{x}N_{1}) \end{matrix} θ_{x}.v

Je peux alors décomposer la somme sur G/G_{1} en une somme sur G/N_{G}(G_{1}, N_{1}) et une somme sur N_{G}(G_{1}, N_{1})/G_{1}:

(ϕ ∘_{G} (G × H)/\{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}\}).v = ∑ ; x ∈ G/N_{G}(G_{1}, N_{1}) ; \begin{matrix}y ∈ N_{G}(G_{1}, N_{1})/G_{1} \\ (G_{2}, N_{2}) ⪯ (^{x}G_{1},^{x}N_{1}) \end{matrix} θ_{xy}.v

Mais comme pour y ∈ N_{G}(G_{1}, N_{1}), j’ai

θ_{xy}s(a^{xy}) = θ_{xy}ϕ_{y}^{−1}s(a^{x}) = t(a) = θ_{x}s(a^{x})

je vois que θ_{xy} = θ_{x}ϕ_{y}. Alors le groupe N_{G}(G_{1}, N_{1})/G_{1} agit sur V (par y.v = ϕ_{y}(v)), et en posant

T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(v) = ∑_{y∈N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}} ϕ_{y}.v

j’ai (ϕ ∘_{G} (G × H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}).v = …

… = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ G/N_{G}(G_{1}, N_{1}) \\ (G_{2}, N_{2}) ⪯ (^{x}G_{1},^{x}N_{1}) \end{matrix} θ_{x}.T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(v)

L’élément ∑_{(G_{1},N_{1}) mod.G}(G × H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}} ⊗ v_{G_{1},N_{1}} est donc dans K_{H,V} (G) si et seulement si pour tout ϕ = (H × G)/{(t(g_{2}), g_{2}) | g_{2} ∈ G_{2}}, avec Ker t = N_{2} ∈ P ∩ Q, j’ai la relation

∑_{(G_{1},N_{1}) mod.G} ∑ ; \begin{matrix}x ∈ G/N_{G}(G_{1}, N_{1}) \\ (G_{2}, N_{2}) ⪯ (^{x}G_{1},^{x}N_{1}) \end{matrix} θ_{x}.T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(v_{G_{1},N_{1}}) = 0

Soit alors T_{H,V} (G) la somme directe

T_{H,V} (G) = ⨁_{(G_{1},N_{1})} T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(V)

où la somme porte sur les classes de conjugaison de couples (G_{1}, N_{1}) tels que N_{1} ∈ P, N_{1} \underline{◁} G_{1} et G_{1}/N_{1} ≈ H. Il résulte du raisonnement ci-dessus que l’application de T_{H,V} (G) dans S_{H,V} (G) qui à w = T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(v) associe l’image de (G × H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})} ⊗ v est bien définie, et surjective, et cette application montre que

S_{H,V} (G) ≈ T_{H,V} (G)/R

où R est l’ensemble des éléments v de la forme v = ∑_{G_{1},N_{1}} v_{G_{1},N_{1}} tels que pour tout (G_{2}, N_{2}) avec N_{2} ∈ P ∩ Q,

∑ ; \begin{matrix}x ∈ G/N_{G}(G_{1}, N_{1}) \\ (G_{2}, N_{2}) ⪯ (^{x}G_{1},^{x}N_{1}) \end{matrix} θ_{x}(v_{G_{1},N_{1}}) = 0

En particulier dans le cas où P ⊆ Q, si v = ∑_{G_{1},N_{1}} v_{G_{1},N_{1}} ∈ R − {0}, alors je peux prendre pour (G_{2}, N_{2}) une paire maximale pour ⪯ telle que v_{G_{2},N_{2}} ≠ 0. La somme ci-dessus se réduit à v_{G_{2},N_{2}} = 0, et cette contradiction prouve que R = 0. D’où la

Proposition 6: Soit H un groupe, et V un RExt(H)-module simple. Si P ⊆ Q, alors pour tout groupe G,

S_{H,V} (G) ≈ ⨁_{(G_{1},N_{1})} T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(V)

où la somme porte sur les classes de conjugaison de couples (G_{1}, N_{1}) de sous-groupes de G tels que N_{1} \underline{◁} G_{1}, N_{1} ∈ P, et G_{1}/N_{1} ≈ H.

3.3.2 Exemples de foncteurs simples

a) En caractéristique zéro: Soit K un corps de caractéristique zéro. Je suppose que les familles P et Q sont la famille de tous les groupes finis. Je vais évaluer le foncteur simple S_{1,K} pour le groupe G.

Je dois trouver les couples (G_{1}, N_{1}) pour lesquels le quotient G_{1}/N_{1} est trivial. Cela revient à classer les sous-groupes G_{1} de G à conjugaison près. Comme T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(K) = K, il est clair que S_{1,K} s’identifie au foncteur de Burnside.

b) En caractéristique p > 0 Soit k un corps de caractéristique p > 0. Je suppose que les familles P et Q sont la famille de tous les p-groupes finis. Je vais évaluer le foncteur simple S_{1,k} pour le groupe G.

Je dois trouver les couples (G_{1}, N_{1}) pour lesquels N_{1} est un p-groupe, le quotient G_{1}/N_{1} étant trivial. Cela revient à classer les p-sous-groupes de G. D’autre part, je dois calculer T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(1), qui est simplement le cardinal |N_{G}(G_{1}, N_{1})/G_{1}| = |N_{G}(G_{1})/G_{1}|, qui est non-nul dans k si et seulement si G_{1} est un Sylow de son normalisateur, donc un Sylow de G. En d’autre termes, le module S_{1,k}(G) est de dimension 1 sur k, pour tout G.

3.3.3 Action sur les foncteurs simples

La proposition précédente permet d’identifier S_{H,V} (G) avec le quotient T_{H,V} (G)/R. Si G′ est un autre groupe, il me reste à expliciter l’application S_{H,V} (f), lorsque f est un G′-ensemble-G de la forme

f = (G′ × G)/L

pour un sous-groupe L de G′ × G.

Soit e ∈ S_{H,V} (G) provenant de l’élément T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(w) de la composante (G_{1}, N_{1}) de T_{H,V} (G). Alors e est l’image dans S_{H,V} (G) de

(G × H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}} ⊗ w

Or, en posant s = s_{G_{1},N_{1}}, j’ai

((G′ × G)/L) ∘_{G} ((G × H)/{(g_{1}, s(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}) = …

… = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ p_{2}(L)\G/G_{1} \\ k_{2}(L)^{x} ⊆ G_{1} \end{matrix} (G′ × H)/L ∗^{(x,1)}\{(g_{1}, s(g_{1}))\}

Je dois chercher les éléments x pour lesquels le groupe L ∗ ^{(x,1)}{(g_{1}, s(g_{1}))} est conjugué dans G′ × H d’un sous-groupe de la forme {(g_{x}, θs′_{G′_{x},N′_{x}}(g_{x})) | g_{x} ∈ G′_{x}} pour un représentant (G′_{x}, N′_{x}) convenable dans G′ des classes de conjugaison de couples tel que N′_{x} ∈ P et G′_{x}/N′_{x} ≈ H, et un automorphisme θ de H. Cela revient à dire que

k_{2}(L ∗^{(x,1)}{(g_{1}, s(g_{1}))}) = 1 et p_{2}(L ∗^{(x,1)}{(g_{1}, s(g_{1}))}) = H

Or un élément u est dans k_{2}(L ∗ ^{(x,1)}{(g_{1}, s(g_{1}))}) si et seulement si il existe un élément v tel que (1, v) ∈ L et (v^{x}, u) ∈ {(g_{1}, s(g_{1}))}, i.e. s’il existe v ∈ k_{2}(L) ∩^{x}G_{1} = k_{2}(L) tel que u = s(v^{x}). Donc k_{2}(L ∗^{(x,1)}{(g_{1}, s(g_{1}))}) = 1 si et seulement si k_{2}(L)^{x} ⊆ N_{1}.

De même, pour tout h ∈ H, il doit exister u et v tels que (u, v) ∈ L, avec v^{x} ∈ G_{1} et s(v^{x}) = h. Ceci revient à dire que s(p_{2}(L)^{x} ∩ G_{1}) = H, donc que N_{1}(G_{1} ∩ p_{2}(L)^{x}) = G_{1}.

Inversement, si ces conditions sont remplies, alors il existe un unique représentant (G′_{x}, N′_{x}), un automorphisme α_{x} de H, et des éléments y_{x} ∈ G′ et h_{x} ∈ H tels que

L ∗^{(x,1)}{(g_{1}, s(g_{1}))} = {(g_{x}, α_{x}s′_{G′_{x},N′_{x}}(g_{x})) | g_{x} ∈ G′_{x}}^{(y_{x},h_{x})} = …
… = {(g_{x}^{y_{x}}, α_{x}s′_{G′_{x},N′_{x}}(g_{x}))^{h_{x}})}

L’image de e par S_{H,V} ((G′ × G)/L) est alors

S_{H,V} ((G′ × G)/L)(e) = ∑_{x} T r_{1}^{N_{G′}(G′_{x},N′_{x})/G′_{x}}(α_{x}^{−1}w)

où la somme porte sur les x ∈ p_{2}(L)\G/G_{1} tels que

k_{2}(L)^{x} ⊆ N_{1} et N_{1}(G_{1} ∩ p_{2}(L)^{x}) = G_{1}

En particulier, cette condition impose que k_{2}(L) soit dans P, donc dans P ∩ Q, et cette remarque montre que le foncteur S_{H,V} est le même pour F_{R}(P, Q) et F_{R}(P, P ∩ Q).

3.4 Semi-simplicité

Il résulte de l’étude des foncteurs simples que pour étudier la semi-simplicité éventuelle de la catégorie F_{R}(P, Q), je peux me contenter du cas où Q ⊆ P. Je vais montrer ici, que si Q = P, et si R est un corps K de caractéristique 0, alors la catégorie F_{R}(P, Q) est semi-simple, au sens où un objet indécomposable est simple.

3.4.1 Des idempotents orthogonaux

Notation: Les propriétés exigées de la famille P assurent l’existence, pour chaque groupe G, d’un plus grand sous-groupe normal de G qui soit dans P. Je noterai O_{P}(G) ce sous-groupe.

Avec ces notations, si K est un sous-groupe de G, et P un sous-groupe normal de K appartenant à P, je pose

Φ_{K,P}^{G} = ∑ ; H \underline{◁} K ; \begin{matrix}O_{P}(H) = P \\ H mod.N_{G}(K, P) \end{matrix} F_{K,H}^{G}

C’est à priori un élément de Γ_{K}(G). Je vais montrer qu’il est dans l’algèbre End_{C_{K}(P,P)}(G), que je noterai End_{K,P}(G) pour simplifier:

Lemme 14: Avec les notations ci-dessus

ϕ_{K,P}^{G} = \frac{1}{|N_{G}(K, P)|} ∑ ; X ⊆ K ; \begin{matrix}P ⊆ N \underline{◁} K \\ N ∈ P \end{matrix} |X|χ̃]X, K[χ̃]P, N[^{K}t_{X,N}

et les ϕ_{K,P}^{G}, lorsque (K, P) décrit un système de représentants des classes de conjugaison de couples de sous-groupes de G tels que P ∈ P et P \underline{◁} K, sont des idempotents orthogonaux de End_{K,P}(G), et leur somme est l’élément neutre (G × G)/Δ(G).

En effet, j’ai vu que

F_{K,H}^{G} = \frac{1}{|N_{G}(K, H)|} ∑ ; \begin{matrix}X ⊆ K \\ H ⊆ N \underline{◁} K \end{matrix} |X|χ̃]X, K[χ̃]H, N[^{K}t_{X,N}

Il en résulte que

Φ_{K,P}^{G} = ∑_{O_{P}(H)=P} \frac{|N_{G}(K, H, P)|}{|N_{G}(K, P)|} \frac{1}{|N_{G}(K, H)|} ∑ ; \begin{matrix}X ⊆ K \\ H ⊆ N \underline{◁} K \end{matrix} |X|χ̃]X, K[χ̃]H, N[^{K}t_{X,N}

Or si O_{P}(H) = P, alors N_{G}(K, H, P) = N_{G}(K, H). D’autre part, si H est un sous-groupe normal de K, alors O_{P}(H) = H ∩O_{P}(K). Mais le lemme 8, appliqué au treillis [P, N]^{H} des sous-groupes normaux de K contenant P et contenus dans N, montre que la somme

∑ ; P ⊆ H \underline{◁} K ; \begin{matrix}H ⊆ N \\ H ∩ O_{P}(K) = P \end{matrix} χ̃]H, N[^{K}

est nulle si N ≠ N ∩ O_{P}(K), i.e. si N n’est pas un sous-groupe de O_{P}(K), ou encore si N ∉ P. Et si N ∈ P, alors k_{1}(Δ_{X,N}) = X ∩ N ∈ P, et k_{2}(Δ_{X,N}) = N ∈ P. Il en résulte que Φ_{K,P}^{G} a bien la forme annoncée, et qu’il appartient à End_{K,P}(G). Comme de plus, si (K, H′) est conjugué de (K, H), et tel que O_{P}(H′) = P, alors il existe g ∈ N_{G}(K, P) tel que (K, H′) = (K, H)^{g}, les idempotents F_{K,H}^{G} qui figurent dans la somme Φ_{K,P}^{G} sont deux à deux distincts, donc orthogonaux, et Φ_{K,P}^{G} est un idempotent. Le même raisonnement prouve que les Φ_{K,P}^{G} sont deux à deux orthogonaux, et un calcul simple montre que leur somme est égale à celle des F_{K,H}^{G}. D’où le lemme.

3.4.2 Identification de End_{K,P}(G)

Je vais montrer que l’algèbre End_{K,P}(G) est semi-simple, et pour cela, je vais utiliser une démonstration analogue à celle concernant Γ_{K}(G). Notation: Si P est un sous-groupe normal de K, et si P ∈ P, je note Φ_{P}^{K} l’idempotent Φ_{K,P}^{K} de End_{K,P}(K). Je remarque que

Φ_{P}^{K} = ∑ ; \begin{matrix}H \underline{◁} K \\ O_{P}(H) = P \end{matrix} F_{H}^{K}

Lemme 15: Soit L (resp L′) un sous-groupe de K × K′ (resp. de K′ × K) tel que k_{1}(L) ∈ P (resp. tel que k_{2}(L′) ∈ P). Alors Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × K′)/L = 0, sauf si k_{1}(L) ⊆ P et p_{1}(L) = K. De même, le produit (K′ × K)/L′ ∘_{K} Φ_{P}^{K} est nul, sauf si k_{2}(L′) ⊆ P et p_{2}(L′) = K.

En effet, si le produit Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K ×K′)/L est non-nul, alors il existe un sous-groupe normal H de K tel que O_{P}(H) = P, et

F_{H}^{K} ∘_{K} (K × K′)/L ≠ 0

Alors p_{1}(L) = K, et k_{1}(L) ⊆ H. Alors k_{1}(L) est un sous-groupe normal de K qui est dans P, et en particulier k_{1}(L) ⊆ O_{P}(H) = P. Le raisonnement pour L′ est analogue.

Je peux alors introduire l’analogue des éléments α_{K,H} et β_{K,H}: je pose \overline{K} = K/P, et

A_{K,P} = (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K)
B_{K,P} = (G × K)/Δ(K) ∘_{K} Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × \overline{K})/\{(k, \overline{k}) | k ∈ K\}

Alors pour calculer le produit A_{K,P} ∘_{G} B_{K′,P′}, je commence par calculer

S = Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K) ∘_{G} (G × K′)/Δ(K′) ∘′_{K} Φ_{P′}^{K′}

qui est la somme pour x ∈ K\G/K′ de

Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × K′)/{(k, k^{x}) | k ∈ K ∩^{x}K′} ∘_{K′} Φ_{P′}^{K′}

Un tel produit est nul sauf si

p_{1}({(k, k^{x}) | k ∈ K ∩^{x}K′} = K et p_{2}({(k, k^{x}) | k ∈ K ∩^{x}K′}) = ^{x}K′

i.e. si K = ^{x}K′. Je peux donc supposer K = K′, et alors

S = ∑_{x∈N_{G}(K)/K} Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × K)/{(k, k^{x}) | k ∈ K} ∘_{K} Φ_{P′}^{K}

Finalement, j’ai aussi par le lemme 10

Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × K)/{(k, k^{x}) | k ∈ K} = (K × K)/{(k, k^{x}) | k ∈ K} ∘_{K} Φ_{P^{x}}^{K}

et il en résulte que le produit A_{K,P} ∘_{G} B_{K′,P′} est nul si les couples (K, P) et (K′, P′) ne sont pas conjugués par G. Et sinon:

A_{K,P} ∘_{G}B_{K,P} = ∑_{x∈N_{G}(K,P)/K}(\overline{K}×K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}∘_{K}(K×K)/\{(k, k^{x}) | k ∈ K\}∘_{K}…

… Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × \overline{K})/\{(k, \overline{k}) | k ∈ K\}

De plus

(\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} (K × K)/\{(k, k^{x}) | k ∈ K\} = …
… = (\overline{K} × \overline{K})/\{(\overline{k}, \overline{k^{x}}) | k ∈ K\} ∘\overline{K} (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}

J’ai alors, généralisant le lemme 11

Lemme 16: Soit P un sous-groupe normal du groupe K, appartenant à P, et \overline{K} = K/P. Alors

(\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} Φ_{P}^{K} = Φ\overline{K} ; 1 ∘\overline{K} (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}

En effet, je sais que

Φ_{P}^{K} = \frac{1}{|K|} ∑ ; X ⊆ K ; \begin{matrix}P ⊆ N \underline{◁} K \\ N ∈ P \end{matrix} |X|χ̃]X, K[χ̃]P, N[^{K}t_{X,N}

De plus, le produit

(\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∘_{K} t_{X,N}

est nul si P ⊈ X, et égal à

(\overline{K} × K)/(\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∗ Δ_{X,N})

sinon. Le lemme résulte alors du fait que si P ⊆ N, en posant \overline{X} = X/P et \overline{N} = N/P, j’ai

\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\} ∗ Δ_{X,N} = Δ_{\overline{X},\overline{N}} ∗ \{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}

Finalement, le produit A_{K,P} ∘_{G} B_{K′,P′} est nul si les couples (K, P) et (K′, P′) sont distincts modulo G, et

A_{K,P} ∘_{G} B_{K,P} = ∑_{x∈N_{G}(K,P)/K}(\overline{K} × \overline{K})/\{(\overline{k}, \overline{k^{x}}) | k ∈ K\} ∘\overline{K} Φ\overline{K} ; 1

De même, comme

(K × \overline{K})/\{(k, \overline{k}) | k ∈ K\} ∘\overline{K} (\overline{K} × K)/\{(\overline{k}, k) | k ∈ K\}

n’est autre que l’élément t_{K,P} de T (K), j’ai

B_{K,P} ∘\overline{K} A_{K,P} = (G × K)/Δ(K) ∘_{K} Φ_{P}^{K} ∘_{K} t_{K,P} ∘_{K} Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K)

De plus, l’élément Φ_{P}^{K} est combinaison linéaire d’éléments t_{X,N}, pour X ⊆ K et P ⊆ N \underline{◁} K. Comme

t_{X,N} ∘_{K} t_{K,P} = t_{X∩K,N.P} = t_{X,N}

j’ai finalement Φ_{P}^{K} ∘_{K} t_{K,P} = Φ_{P}^{K}, et

B_{K,P} ∘\overline{K} A_{K,P} = (G × K)/Δ(K) ∘_{K} Φ_{P}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K)

Comme de plus

(G × K)/Δ(K) ∘_{K} t_{X,N}^{K} ∘_{K} (K × G)/Δ(K) = t_{X,N}^{G}

j’en déduis que

B_{K,P} ∘\overline{K} A_{K,P} = |N_{G}(K, H)/K|Φ_{K,P}^{G}

Continuant le parallèle avec la démonstration de la semi-simplicité de Γ_{K}(G), je suppose que les couples (K, P) et (K′, P′) sont tels que

Φ_{K′,P′}^{G} ∘_{G} End_{K,P} ∘_{G} Φ_{K,P}^{G} ≠ 0

Alors il existe un G-ensemble-G, que je note X, qui est P-libre-P et tel que

Φ_{K′,P′}^{G} ∘_{G} X ∘_{G} Φ_{K,P}^{G} ≠ 0

En posant Z = A_{K′,P′} ∘_{G} X ∘_{G} B_{K,P} ∘\overline{K} A_{K,P}, j’ai

Φ\overline{K′} ; 1 ∘\overline{K′} Z ∘\overline{K} Φ\overline{K} ; 1 = Z ≠ 0

par le lemme 0. De plus l’ensemble Z est combinaison linéaire d’ensembles Plibres-P. Il existe donc un sous-groupe L de \overline{K′} × \overline{K}, tel que k_{1}(L) ∈ P et k_{2}(L) ∈ P, et tel que

Φ\overline{K′} ; 1 ∘\overline{K′} (\overline{K′} × \overline{K})/L ∘\overline{K} Φ\overline{K} ; 1 ≠ 0

Il en résulte que p_{1}(L) = \overline{K′}, et que p_{2}(L) = \overline{K}. De plus k_{1}(L) = k_{2}(L) = \{1\}, et alors les groupes \overline{K} et \overline{K′} sont isomorphes à q(L).

Alors si pour tout groupe fini S (à isomorphisme près), je pose

C_{S} = ∑ ; (K, P) mod.G ; \begin{matrix}P \underline{◁} K, P ∈ P \\ K/P ≈ S \end{matrix} Φ_{K,P}^{G}

j’obtiens des idempotents centraux deux à deux orthogonaux de End_{K,P}(G), dont la somme est (G × G)/Δ(G).

Alors en calquant toujours la démonstration du théorème 2, je choisis un système R_{P,S} de représentants des classes de conjugaison par G de couples (K, P) de sous-groupes de G tels que P ∈ P, P \underline{◁} K et K/P ≈ S. Pour chaque (K, P) ∈ R_{P,S}, je choisis un isomorphisme π_{K,P} de \overline{K} = K/P sur S. Si x ∈ N_{G}(K, P), je note encore i_{x} l’automorphisme de \overline{K} associé, tel que i_{x}(\overline{k}) = \overline{^{x}k}, et a_{K,P} le morphisme de N_{G}(K, P)/K dans Ext(S) défini par a_{K,P} (x) = π_{K,P} .i_{x}.π_{K,P}^{−1} .

Je pose alors

C_{K,P} = \frac{1}{|N_{G}(K, P)/K|}B_{K,P}

ρ_{K,P} = (S × \overline{K})/\{(π_{K,P} (\overline{k}), \overline{k}) | k ∈ K\}
ρ_{K,P}^{∗} = (\overline{K} × S)/\{(\overline{k}, π_{K,P} (\overline{k})) | k ∈ K\}

μ_{K,P} = \frac{1}{|N_{G}(K, P)/K|} ∑_{x∈N_{G}(K,P)/K}(\overline{K} × \overline{K})/\{(i_{x}(\overline{k}), \overline{k}) | k ∈ K\}

σ_{K,P} = ρ_{K,P} ∘\overline{K} μ_{K,P} ∘\overline{K} ρ_{K,P}^{∗}

Le lemme 10 montre que

Φ\overline{K} ; 1 ∘\overline{K} (\overline{K} × \overline{K})/\{(i_{x}(\overline{k}), \overline{k}) | k ∈ K\} = (\overline{K} × \overline{K})/\{(i_{x}(\overline{k}), \overline{k}) | k ∈ K\} ∘\overline{K} Φ\overline{K} ; 1

donc que Φ\overline{K} ; 1 commute pour le produit ∘\overline{K} avec μ_{K,P}. Il en résulte que

σ_{K,P} ∘_{S} Φ_{1}^{S} = Φ_{1}^{S} ∘_{S} σ_{K,P}

et ce produit est un idempotent de End_{K,P}(S).

Alors si (K, P) et (K′, P′) sont deux éléments de R_{P,S}, et si

u ∈ Φ_{K,P}^{G} ∘_{G} End_{K,P}(G) ∘_{G} Φ_{K′,P′}^{G}

je pose

θ_{K′,P′}^{K,H}(u) = ρ_{K,P} ∘\overline{K} A_{K,P} ∘_{G} u ∘_{G} C_{K′,P′} ∘\overline{K′} ρ_{K′,P′}

Le calcul de A_{K,P} ∘_{G} B_{K,P} montre que

μ_{K,P} ∘\overline{K} Φ\overline{K} ; 1 = A_{K,P} ∘_{G} C_{K,P}

et celui de B_{K,P} ∘\overline{K} A_{K,P} montre que

C_{K,P} ∘\overline{K} A_{K,P} = Φ_{K,P}^{G}

La transcription mot à mot du calcul du théorème 2 montre alors que

θ_{K′,P′}^{K,P}(u) ∈ σ_{K,P} ∘_{S} Φ_{1}^{S} ∘_{S} End_{K,P}(S) ∘_{S} σ_{K′,P′} ∘_{S} Φ_{1}^{S}

Inversement, si v ∈ σ_{K,P} ∘_{S} Φ_{1}^{S} ∘_{S} End_{K,P}(S) ∘_{S} σ_{K′,P′} ∘_{S} Φ_{1}^{S}, je pose

ϕ_{K′,P′}^{K,P}(v) = C_{K,P} ∘\overline{K} ρ_{K,P}^{∗} ∘_{S} v ∘_{S} ρ_{K′,P′} ∘\overline{K′} A_{K′,P′}

et le même calcul que dans le théorème 2 montre que

ϕ_{K′,P′}^{K,P}(v) ∈ Φ_{K,P}^{G} ∘_{G} End_{K,P}(G) ∘_{G} Φ_{K′,P′}^{G}

Elle montre aussi que les applications θ_{K′,P′}^{K,P} et ϕ_{K′,P′}^{K,P} sont des bijections inverses l’une de l’autre, et que pour trois éléments (K, P), (K′, P′) et (K”, P ”) de R_{P,S}, j’ai

θ_{K′,P′}^{K,P}(u) ∘_{S} θ_{K”,P ”}^{K′,P′}(u′) = θ_{K”,P ”}^{K,P}(u ∘_{G} u′)

Finalement, en notant E_{S} l’algèbre Φ_{1}^{S} ∘_{S} End_{K,P} ∘_{S} Φ_{1}^{S}, et W_{S} le E_{S}-module

W_{S} = ⊕_{(K,P)∈R_{P,S}}E_{S} ∘_{S} σ_{K,P}

les applications θ et ϕ établissent des isomorphismes inverses l’un de l’autre entre l’algèbre C_{S} ∘_{G} End_{K,P}(G) et l’algèbre End_{E_{S}}(W_{S}).

Il reste à voir que si L est un sous-groupe de S × S tel que k_{1}(L) ∈ P et k_{2}(L) ∈ P, et tel que

Φ_{1}^{S} ∘_{S} (S × S)/L ∘_{S} Φ_{1}^{S} ≠ 0

alors les deux projections de L sont égales à S, et les deux groupes k_{1}(L) et k_{2}(L) sont triviaux. Ceci montre que l’application qui à ζ ∈ Ext(S) associe

Z_{ζ} = Φ_{1}^{S} ∘_{S} (S × S)/{(ζ(s), s) | s ∈ S} ∘_{S} Φ_{1}^{S}

se prolonge en une surjection de l’algèbre KExt(S) sur E_{S}. Finalement, comme Φ_{1}^{S} = C_{S,1} est central dans E_{S}, et comme

Φ_{1}^{S} = \frac{1}{|S|} ∑ ; X ⊆ S ; \begin{matrix}N \underline{◁} S \\ N ∈ P \end{matrix} |X|χ̃]X, S[χ̃]1, N[^{S}t_{X,N}^{S}

je vois que Z_{ζ} est combinaison linéaire de termes de la forme

t_{X,N}^{S} ∘_{S} (S × S)/{(ζ(s), s) | s ∈ S} = (S × S)/L_{X,N,ζ}

où j’ai posé L_{X,N,ζ} = Δ_{X,N} ∗ {(ζ(s), s) | s ∈ S}. Or si les deux projections de L_{X,N,ζ} sont égales à S, alors X = S. Et si k_{1}(L_{X,N,ζ}) = k_{2}(L_{X,N,ζ}) = {1}, alors X ∩ N = {1}, et N est trivial. La somme Z_{ζ} comporte donc un seul terme (S × S)/L pour lequel p_{1}(L) = p_{2}(L) = S et k_{1}(L) = k_{2}(L) = {1}, et ce terme est égal à (S × S)/{(ζ(s), s) | s ∈ S}.

Le morphisme prolongeant l’application ζ ↦ Z_{ζ} est donc injectif, ce qui prouve que l’algèbre E_{S} est isomorphe à KExt(S). Finalement, le théorème 2 se généralise sous-la forme suivante

Proposition 7: Si K est un corps de caractéristique 0 ou p > 0 ne divisant pas |G|, alors l’algèbre End_{K,P}(G) est isomorphe au produit direct des algèbres

End_{Ext(S)}(⊕_{(K,P)∈R_{P,S}}Ind_{a_{K,P} (N_{G}(K,P)/K)}^{Ext(S)}K)

lorsque S décrit les classes d’isomorphisme de groupes finis, l’ensemble R_{P,S} étant un système de représentants des classes de conjugaison par G de couple (K, P) de sous-groupes de G tels que P ∈ P, P \underline{◁} K et K/P ≈ S, le groupe a_{K,P} (N_{G}(K, P)/K) étant l’image de N_{G}(K, P)/K dans Ext(S) déduite d’un tel isomorphisme. Corollaire: Si Kest de caractéristique 0 ou ne divisant pas |Ext(S)|, pour S = K/P, pour K sous-groupe de G et P ∈ P, alors l’algèbre End_{K,P}(G) est semi-simple.

3.4.3 Résidus

Si M est un objet de F_{K}(P, P), et si G est un groupe fini, je définis le résidu \overline{M}(G) de M en G par la formule

\overline{M}(G) = Φ_{1}^{G} ∘_{G} M(G)

cette notation désignant par définition l’image de l’application M(Φ_{1}^{G}). C’est un KExt(G)-module. Si P \underline{◁} K ⊆ G, le groupe N_{G}(K, P)/K agit sur \overline{M}(K/P), et je pose

M̂(G) = (⊕_{(K,P)}\overline{M}(K/P))_{G} = ⊕_{(K,P) mod.G}\overline{M}(K/P)_{N_{G}(K,P)/K}

où les sommes portent sur les couples (K, P) de sous-groupes de G tels que P \underline{◁} K et P ∈ P. C’est aussi un KExt(G)-module.

Je définis une application a de M(G) dans M̂(G) par

a(u) = ⊕_{(K,P)}A_{K,P} ∘_{G} u

J’ai de même une application b de M̂(G) dans M(G) définie par

b(v_{(K,P)}) = B_{K,P} ∘_{(K/P)} v

Les calculs de la section précédente et le fait que, puisque K est un corps de caractéristique 0, j’ai

\overline{M}(K/P)_{N_{G}(K,P)/K} ≈ \overline{M}(K/P)^{N_{G}(K,P)/K} = T r_{1}^{N_{G}(K,P)/K}(\overline{M}(K/P))

montrent alors que a et b sont des isomorphismes inverses l’un de l’autre.

Proposition 8: Soit M un objet de F_{K}(P, P), et G est un groupe fini. Alors

M(G) ≈ ⊕_{(K,P) mod.G} \overline{M}(K/P)^{N_{G}(K,P)/K}

où la somme porte sur les classes de conjugaison de couples (K, P) de sous-groupes de G tels que P \underline{◁} K et P ∈ P.

Remarque: Comme l’idempotent Φ_{K,P}^{G} est combinaison linéaire d’éléments t_{X,N}, pour X ⊆ K et P ⊆ N, et comme q(Δ_{X,N}) ≈ X/(X ∩ N), il en résulte que t_{X,N} factorise par le groupe X/(X ∩ N) d’ordre strictement plus petit que |G|, sauf si X = G et N = {1}, auquel cas K = G et P = {1}. Ainsi, si (K, P) ≠ (G, 1), tout élément de Φ_{K,P}^{G} ∘_{G} M(G) est combinaison linéaire d’éléments de la forme M(f)(u), pour des groupes H tels que |H| < |G|, des éléments u ∈ M(H) et des morphismes f de H dans G. Comme inversement, j’ai Φ_{1}^{G} ∘_{G} f = 0 pour tout morphisme de ce type, je vois que \overline{M}(G) s’identifie au quotient de M(G) par la somme des M(f)(M(H)), pour des groupes H d’ordre strictement inférieur à celui de G, et des morphismes f de H dans G.

Un raisonnement analogue montre que \overline{M}(G) est l’ensemble des éléments u ∈ M(G) tels que M(f)(u) = 0 pour tout groupe H d’ordre strictement inférieur à celui de G et tout morphisme f de G dans H.

3.4.4 Décomposition

Soit Γ un groupe fini. Si M est un objet de F_{K}(P, P), et G un groupe fini, je note M_{Γ}(G) la partie de M̂(G) correspondant aux couples (K, P) tels que K/P ≈ Γ, c’est-à-dire

M_{Γ}(G) = ⊕_{\begin{matrix}(K, P) mod.G \\ K/P ≈ Γ \end{matrix}} \overline{M}(K/P)_{N_{G}(K,P)/K} = …

… = ⊕_{\begin{matrix}(K, P) mod.G \\ K/P ≈ Γ \end{matrix}} B_{K,P} ∘_{K/P} A_{K,P} ∘_{G} M(G) = C_{Γ}^{G} ∘_{G} M(G)

avec

C_{Γ}^{G} = C_{Γ} = ∑ ; \begin{matrix}(K, P) mod.G \\ K/P ≈ Γ \end{matrix} Φ_{K,P}^{G}

Alors M_{Γ} est un sous-foncteur de M: en effet, si G′ est un autre groupe, si f est un G′-ensemble-G, et si pour un autre groupe fini Γ′ , j’ai

C_{Γ′}^{G′} ∘_{G′} f ∘_{G} C_{Γ}^{G} ≠ 0

alors il existe des couples (K′, P′) et (K, P) avec K′ ⊆ G′ et K′/P′ ≈ Γ′, et K ⊆ G et K/P ≈ Γ, tels que

Z = A_{K′,P′} ∘_{G′} f ∘_{G} Φ_{K,P} ≠ 0

Alors Z est un (K′/P′)-ensemble-(K/P) virtuel non-nul, combinaison linéaire d’ensembles P-libres-P, tel que

Z = Φ_{1}^{K′/P′} ∘_{(K′/P′)} Z ∘_{(K/P)} Φ_{1}^{K/P}

Dans ces conditions, j’ai vu que K′/P′ ≈ K/P, et donc Γ′ = Γ, ce qui montre que M(f)(M_{Γ}(G)) ⊆ M_{Γ}(G′). Donc M_{Γ} est un sous-foncteur de M, et M est la somme directe des M_{Γ}, lorsque Γ décrit les classes d’isomorphisme de groupes finis.

De plus, si G est un groupe tel que \overline{M_{Γ}}(G) ≠ 0, alors Φ_{1}^{G} ∘_{G} C_{Γ}^{G} ≠ 0, et comme Φ_{1}^{G} = C_{G}^{G}, j’en déduis que G est isomorphe à Γ. Le seul résidu non-nul de M_{Γ} est donc \overline{M_{Γ}}(Γ) = M_{Γ}(Γ), car Γ est un groupe minimal pour M_{Γ}, et ce dernier n’est autre que Φ_{1}^{Γ} ∘_{Γ} M(Γ) = \overline{M}(Γ).

D’autre part, si H est un groupe et V un End_{K,P}(H)-module simple, je sais définir le foncteur simple S_{H,V}. Je peux supposer que H est un groupe minimal pour S_{H,V}, ce qi revient à dire que V est un KExt(H)-module simple. Le foncteur S_{H,V} est le quotient du foncteur L_{H,V} défini par

L_{H,V} (G) = Hom(H, G) ⊗_{End_{K,P}(H)} V

par son unique sous-foncteur maximal. J’ai montré que l’application

(G × H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}} ⊗ w ∈ L_{H,V} (G) ↦ T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(w)

passe au quotient en un isomorphisme de S_{H,V} (G) sur ⊕(G_{1}, N_{1})T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(V), la somme directe portant sur les classes de conjugaison de couples (G_{1}, N_{1}) tels que N_{1} ∈ P, N_{1} \underline{◁} G_{1}, et G_{1}/N_{1} ≈ H. Or si T r_{1}^{N_{G}(G_{1},N_{1})/G_{1}}(w) = 0, comme K est un corps de caractéristique 0, je sais que w est somme de vecteurs de la forme ϕ_{n}.v − v, pour des vecteurs v ∈ V et des automorphismes ϕ_{n} de H provenant d’éléments n de N_{G}(G_{1}, N_{1}). Et comme dans L_{H,V} (G), j’ai

(G×H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}⊗ϕ_{n}.v = (G×H)/{(g_{1}, s_{G_{1},N_{1}}(g_{1})) | g_{1} ∈ G_{1}}⊗v

je vois que w = 0 dans L_{H,V} (G), ce qui prouve que L_{H,V} (G) = S_{H,V} (G), donc que L_{H,V} = S_{H,V}. De plus, si M est un foncteur quelconque,

Hom_{F_{K}(P,P)}(L_{H,V} , M) = Hom_{End_{K,P}(H)}(V, M(H))

Comme V est un End_{K,P}(H)-module projectif (comme l’algèbre End_{K,P}(G) est semi-simple, tous les End_{K,P}(G) sont projectifs), et comme le foncteur M ↦ M(H) est exact, je vois que le foncteur L_{H,V} = S_{H,V} est un objet projectif de F_{K}(P, P).

Le raisonnement précédent montre que si V est un End_{K,P}(H)-module (nonnécessairement simple), le foncteur S_{H,V} = L_{H,V} est semi-simple et projectif. En particulier, pour tout groupe fini Γ, le foncteur S_{Γ,\overline{M}(Γ)} est un foncteur semisimple et projectif, et l’application identique de \overline{M}(Γ) dans M_{Γ}(Γ) donne par adjonction un morphisme λ de S_{Γ,\overline{M}(Γ)} dans M_{Γ}, qui est l’identité en évaluation au groupe Γ.

De plus, je sais que pour tout groupe G,

S_{Γ,\overline{M}(Γ)}(G) ≈ ⊕_{\begin{matrix}K/P ≈ Γ \\ (K, P) mod.G \end{matrix}} T r_{1}^{N_{G}(K,P)/K}(\overline{M}(Γ)) ≈ …

… ⊕_{\begin{matrix}K/P ≈ Γ \\ (K, P) mod.G \end{matrix}} \overline{M}(K/P)^{N_{G}(K,P)/K} ≈ ⊕_{(K,P) mod.G}\overline{M_{Γ}}(K/P)^{N_{G}(K,P)/K} ≈ M_{Γ}(G)

Si je sais que λ est surjectif, alors λ sera un isomorphisme. Or le groupe Γ est minimal pour S_{Γ,\overline{M}(Γ)} et pour M_{Γ}. Donc λ_{G} est nul si |G| < |Γ|, donc un isomorphisme, et c’est aussi un isomorphisme si G ≈ Γ. Soit alors G un groupe d’ordre minimal tel que λ_{G} ne soit pas surjectif. Comme G n’est pas isomorphe à Γ, je sais que \overline{M_{Γ}}(G) = 0. Alors tout élément w de M(G) est combinaison linéaire d’éléments de la forme M_{Γ}(f)(u), pour des groupes H d’ordre strictement plus petit que celui de G, des éléments u ∈ M_{Γ}(H) et des morphismes f de H dans G. Comme λ_{H} est surjectif, il existe v ∈ S_{Γ,\overline{M}(Γ)}(H) tel que v = λ_{H}(u), et alors

M_{Γ}(f)(u) = M_{Γ}(f)λ_{H}(v) = λ_{G}S_{Γ,\overline{M}(Γ)}(f)(v)

et M_{Γ}(f)(u) est dans l’image de λ_{G}, qui est donc surjective. Cette contradiction prouve que λ_{G} est surjective pour tout G, donc que c’est un isomorphisme. En particulier, le foncteur M_{Γ} est semi-simple, et le foncteur M l’est aussi. Ainsi tout objet de la catégorie F_{K}(P, P) est semi-simple. Finalement, j’ai prouvé le

Théorème 3: Si K est un corps de caractéristique 0, alors la catégorie F_{K}(P, P) est semi-simple: le foncteur M se décompose en

M ≈ ⊕_{Γ}S_{Γ,\overline{M}(Γ)}

la somme portant sur les classes d’isomorphisme de groupes finis.

4 Applications

4.1 Foncteurs de Mackey

4.1.1 Composition

Une des définitions possibles des foncteurs de Mackey est la suivante: soit R un anneau commutatif. Un foncteur de Mackey M pour le groupe G, à valeurs dans R-mod, est un bifoncteur de G-ens dans R-mod, c’est-à-dire un couple de foncteurs (M^{∗}, M_{∗}) de G-ens dans R-mod, avec M^{∗} contravariant et M_{∗} covariant, qui coïncident sur les objets (i.e. M^{∗}(X) = M_{∗}(X) = M(X) pour tout G-ensemble X), et possédant les deux propriétés suivantes:

1) Si X et Y sont des G-ensembles, soient i_{X} et i_{Y} les injections respectives de X et Y dans X ∐ Y. Alors les applications M^{∗}(i_{X}) ⊕ M^{∗}(i_{Y}) et M_{∗}(i_{X}) ⊕ M_{∗}(i_{Y}) sont des isomorphismes de R-modules inverses l’un de l’autre de M(X ∐ Y) dans M(X) ⊕ M(Y).

2) Si

γ
T → Y
δ ↓  ↓ α
β
Z → X

est un diagramme cartésien de G-ensembles, alors M^{∗}(β).M_{∗}(α) = M_{∗}(δ).M^{∗}(γ).

Soit alors H un autre groupe, et F un foncteur de G-ens dans H-ens. Si M est un foncteur de Mackey pour le groupe H, et si X est un G-ensemble, je pose

(M ∘ F)(X) = M(F (X))

De même, si Y est un H-ensemble, et f un morphisme de H-ensembles de X dans Y, je pose

(M ∘ F)^{∗}(f) = M^{∗}(F (f)) et (M ∘ F)_{∗}(f) = M_{∗}(F (f))

J’ai ainsi défini un bifoncteur sur les G-ensembles.

Proposition 9: Si M est un foncteur de Mackey pour le groupe H, et F un foncteur de G-ens dans H-ens possédant les propriétes 1) et 2) du théorème 1), alors M ∘ F est un foncteur de Mackey pour le groupe G.

En effet, j’ai le diagramme commutatif suivant de G-ensembles:

F (i_{X})  F (i_{Y})
F (X) →  F (X ∐ Y)  ← F (Y)
↘  ↑ f  ↙
i_{F (X)} F (X) ∐ F (Y) i_{F (Y)}

où f est l’application F (i_{X}) ∐ F (i_{Y}). En prenant l’image par M^{∗} et M_{∗} de ce diagramme, j’obtiens le diagramme commutatif suivant de R-modules:

a  b
S  →  M ∘ F (X ∐ Y)  →  S
γ ↘  α ↗↘ β  ↗ δ
M(F (X) ∐ F (Y))  →  M(F (X) ∐ F (Y))

avec

S = M ∘ F (X) ⊕ M ∘ F (Y)
a = (M ∘ F)_{∗}(i_{X}) ⊕ (M ∘ F)_{∗}(i_{Y})
b = (M ∘ F)^{∗}(i_{X}) ⊕ (M ∘ F)^{∗}(i_{Y})
γ = M_{∗}(i_{F (X)}) ⊕ M_{∗}(i_{F (Y)})
δ = M^{∗}(i_{F (X)}) ⊕ M^{∗}(i_{F (Y)})
α = M_{∗}(F (i_{X}) ∐ F (i_{Y}))
β = M^{∗}(F (i_{X}) ∐ F (i_{Y}))

Or si M est un foncteur de Mackey, et si ϕ est un isomorphisme de U sur V, alors le diagramme

Id
U → U
Id ↓  ↓ ϕ
ϕ
U → V

est cartésien, donc M^{∗}(ϕ).M_{∗}(ϕ) = M_{∗}(Id).M^{∗}(Id) = Id. Il en résulte que M^{∗}(ϕ) = (M_{∗}(ϕ))^{−1}. Comme F possède la propriété 1), l’application F (i_{X}) ∐ F (i_{Y}) est un isomorphisme, et le produit β.α est donc l’identité. Alors le produit des flèches en oblique du diagramme précédent vaut

δ.β.α.γ = (M^{∗}(i_{F (X)}) ⊕ M^{∗}(i_{F (Y)})).(M_{∗}(i_{F (X)}) ⊕ M_{∗}(i_{F (Y)})

qui est l’identité si M est un foncteur de Mackey. Donc

((M ∘ F)^{∗}(i_{X}) ⊕ (M ∘ F)^{∗}(i_{Y})).((M ∘ F)_{∗}(i_{X}) ⊕ (M ∘ F)_{∗}(i_{Y})) = Id

et un raisonnement analogue montre que

((M ∘ F)_{∗}(i_{X}) ⊕ (M ∘ F)_{∗}(i_{Y})).((M ∘ F)^{∗}(i_{X}) ⊕ (M ∘ F)^{∗}(i_{Y}))) = Id

et le foncteur M ∘ F possède la première propriété des foncteurs de Mackey.

Pour la seconde, si le diagramme

γ
T → Y
δ ↓  ↓ α
β
Z → X

est cartésien, alors comme F possède la propriété 2), le diagramme

F (γ)
F (T) → F (Y)
F (δ) ↓  ↓ F (α)
F (β)
F (Z) → F (X)

l’ est aussi, et puisque M est un foncteur de Mackey, j’ai alors

M^{∗}(F (β)).M_{∗}(F (α)) = M_{∗}(F (δ)).M^{∗}(F (γ))

ce qui montre que M ∘ F est bien un foncteur de Mackey.

4.1.2 Identification

Notation: Si G et H sont des groupes, si A est un H-ensemble-G, et M un foncteur de Mackey pour le groupe H, je noterai M ∘ A le foncteur de Mackey pour G défini par composition de M avec le foncteur A ∘_{G} −. Pour interpréter ce foncteur en termes plus classiques, je remarque d’abord que le foncteur M ∘ (A ∐ B) s’identifie à la somme directe (M ∘ A) ⊕ (M ∘ B). Il suffit donc de considérer le cas où A est isomorphe à (H × G)/L, pour un sous-groupe L de H × G. Alors si X est un G-ensemble, j’ai

(M ∘ A)(X) = M(A ∘_{G} X) = M(Ind_{p_{1}(L)}^{H}X^{k_{2}(L)})

Or si G′ est un sous-groupe de G, alors la restriction de M à G′ peut être définie par

(Res_{G′}^{G})M(X′) = M(Ind_{G′}^{G}X′)

De même pour l’induction des foncteurs de Mackey, j’ai

(Ind_{G′}^{G}M′)(X) = M(Res_{G′}^{G}X)

D’autre part, si N est un sous-groupe normal de G, alors l’inflation des foncteurs de Mackey du groupe G′ = G/N au groupe G peut être définie par

(Inf_{G′}^{G}M′)(X) = M(X^{N})

Inversement, je noterai ρ_{G′}^{G} la “coinflation” des foncteurs de Mackey du groupe G au groupe G′, définie par

(ρ_{G′}^{G}M)(X′) = M(Inf_{G′}^{G}X′)

Enfin, en notant θ_{L} l’isomorphisme canonique entre p_{1}(L)/k_{1}(L) et p_{2}(L)/k_{2}(L) déduit du groupe L, et M ↦ θ(M) le transport par isomorphisme d’un foncteur de Mackey, je vois que le foncteur M ∘ A s’identifie à

M ∘ A ≈ Ind_{p_{2}(L)}^{G}Inf_{p_{2}(L)/k_{2}(L)}^{p_{2}(L)}θ_{L}(ρ_{p_{1}(L)/k_{1}(L)}^{p_{1}(L)}Res_{p_{1}(L)}^{H}M)

4.1.3 Fonctorialité

J’ai vu que si le foncteur F de G-ens dans H-ens possédant les propriétes 1) et 2), alors F induit un foncteur entre les catégories de foncteurs de Mackey correspondantes. Une question naturelle est alors de savoir si cette construction est fonctorielle en F: en d’autres termes, si F′ est un autre foncteur de G-ens dans H-ens possédant les propriétes 1) et 2), si θ un morphisme de foncteurs de F′ dans F, et si M est un foncteur de Mackey pour le groupe H, à quelle condition θ induit-il un homomorphisme de foncteurs de Mackey de M ∘ F dans M ∘ F′?

J’ai deux manières d’associer à θ un morphisme de foncteurs de Mackey éventuel: la première consiste à poser, pour un G-ensemble-X

θ_{X}^{∗} = M^{∗}(θ_{X})

c’est une application de (M ∘ F)(X) dans (M ∘ F′)(X), et l’ensemble de ces applications est susceptible de définir un morphisme θ^{∗} de foncteurs de Mackey de M ∘ F dans M ∘ F′. Inversement, je peux poser

θ_{∗X} = M_{∗}(θ_{X})

C’est une application de (M ∘F′)(X) dans (M ∘F)(X), définissant éventuellement un morphisme θ_{∗} de foncteurs de Mackey de M ∘ F′ dans M ∘ F. Pour savoir si θ^{∗} est un morphisme de foncteurs de Mackey, je dois vérifier que si f : X → Y est un morphisme de G-ensembles, alors les carrés

M_{∗}(F (f))

M ∘ F (X)  →  M ∘ F (Y)
θ_{X}^{∗}  ↓  ↓  θ_{Y}^{∗}
M_{∗}(F′(f))
M ∘ F′(X) → M ∘ F′(Y)

et

M^{∗}(F (f))

M ∘ F (X)  ←  M ∘ F (Y)
θ_{X}^{∗}  ↓  ↓  θ_{Y}^{∗}
M^{∗}(F′(f))
M ∘ F′(X)  ←  M ∘ F′(Y)

commutent. Pour le second, c’est facile, car

θ_{X}^{∗}M^{∗}(F (f)) = M^{∗}(θ_{X})M^{∗}(F (f)) = M^{∗}(F (f)θ_{X}) = …
… = M^{∗}(θ_{Y} F′(f)) = M^{∗}(F′(f))M^{∗}(θ_{Y}) = M^{∗}(F′(f))θ_{Y}^{∗}

Pour faire commuter le premier carré, il semble par contre nécessaire d’imposer à θ la condition (C) suivante: si X et Y sont des G-ensembles, et f un morphisme de X dans Y, alors le carré

F′(f)
F′(X) → F′(Y)
θ_{X} ↓ ↓ θ_{Y}
F (f)
F (X) → F (Y)

est cartésien. Dans ces conditions en effet, comme M est un foncteur de Mackey, j’ai bien

M_{∗}(F′(f))θ_{X}^{∗} = M_{∗}(F′(f))M^{∗}(θ_{X}) = M^{∗}(θ_{Y})M_{∗}(F (f)) = θ_{Y}^{∗} M_{∗}(F (f))

ce qui prouve que θ^{∗} est un morphisme de foncteurs de Mackey. Un raisonnement analogue montre que si (C) est vérifiée, alors θ_{∗} est un morphisme de foncteurs de Mackey. D’où la

Proposition 10: Soit θ est un morphisme de foncteurs de F′ dans F vérifiant la condition (C). Si M est un foncteur de Mackey pour H, alors θ^{∗} est un morphisme de foncteurs de Mackey de M ∘F dans M ∘F′, et θ_{∗} est un morphisme de foncteurs de Mackey de M ∘ F′ dans M ∘ F.

Par le théorème 1), je peux supposer que F est le foncteur U ∘_{G}− et F′ le foncteur U′ ∘_{G} −, pour des H-ensembles-G convenables, notés U et U′. Il est naturel de se demander à quelle condition un morphisme f de H-ensembles-G de U′ dans U induit un morphisme de foncteurs f ∘_{G} − de F′ dans F vérifiant la condition (C). Si X est un G-ensemble, la seule définition raisonnable de l’application f ∘_{G} X de U′ ∘_{G} X dans U ∘_{G} X est la suivante

(f ∘_{G} X)(u′ ∘_{G} x) = f(u′) ∘_{G} x

Malheureusement, rien ne dit que si _{u′}G ⊆ G_{x}, alors _{f(u′)}G ⊆ G_{x}, donc que f(u′) ∘_{G} x ∈ U ∘_{G} X. Une façon de s’en assurer est d’imposer pour tout u′ ∈ U′ l’égalité des stabilisateurs _{u′}G = _{f(u′)}G, ce qui revient à dire que la restriction de f à chaque orbite à droite de G sur U′ est injective.

Dans ces conditions, je peux définir l’application f ∘_{G} X de U′ ∘_{G} X dans U ∘_{G} X. Si a est un morphisme de G-ensembles de X dans Y, il est clair que le carré

U′ ∘_{G} a
U′ ∘_{G} X → U′ ∘_{G} Y
f ∘_{G} X ↓ ↓ f ∘_{G} Y
U ∘_{G} a
F (X)  →  F (Y)

commute, car

(U ∘_{G} a).(f ∘_{G} X)(u′ ∘_{G} x) = (U ∘_{G} a)(f(u′) ∘_{G} x) = f(u′) ∘_{G} a(x) = …
… = (f ∘_{G} Y)((u′ ∘_{G} a)(x)) = (f ∘_{G} Y).(U′ ∘_{G} a)(u′ ∘_{G} x)

Ce carré est de plus cartésien: si en effet les éléments u′ ∘_{G} y ∈ U′ ∘_{G} Y et u ∘_{G} x ∈ U ∘_{G} X sont tels que

(f ∘_{G} Y)(u′ ∘_{G} y) = f(u′) ∘_{G} y = (U ∘_{G} a)(u ∘_{G} x) = u ∘_{G} a(x)

alors il existe g ∈ G tel que f(u′) = u.g et y = g^{−1}.a(x). Alors l’élément u′∘_{G}g^{−1}x ne dépend pas du choix d’un tel g, car si u.g′ = u, alors g^{′−1}.a(x) = a(g^{′−1}.x) = a(x), car u ∘_{G} x ∈ U ∘_{G} X. Il est de plus dans U′ ∘_{G} X, car si g′ ∈ G est tel que u′.g′ = u′, alors

u.g = f(u′) = f(u′.g′) = f(u′).g′ = u.(gg′)

donc u = u.^{g}g′, et comme u ∘_{G} x ∈ U ∘_{G} X, j’ai ^{g}g′.x = x, ou encore g′.(g^{−1}.x) = g^{−1}.x. Enfin j’ai bien

(U′ ∘_{G} a)(u′ ∘_{G} g^{−1}x) = u′ ∘_{G} a(g^{−1}x) = u′ ∘_{G} y

et

(f ∘_{G} X)(u′ ∘_{G} g^{−1}x) = f(u′) ∘_{G} g^{−1}x = u.g ∘_{G} g^{−1}x = u ∘_{G} x

Inversement, si v ∘_{G} z est un élément de U′ ∘_{G} X dont les images par U′ ∘_{G} a et f ∘_{G} X sont respectivement u′ ∘_{G} y et u ∘_{G} x, je peux écrire

v ∘_{G} a(z) = u′ ∘_{G} y et f(v) ∘_{G} z = u ∘_{G} x

Il existe donc g ∈ G tel que f(v).g = u et g^{−1}.z = x. Et comme v.g ∘_{G} g^{−1}.z = v∘_{G} z, je peux supposer g = 1, i.e. f(v) = u et z = x. Alors il existe g′ ∈ G tel que v.g′ = u′ et g^{′−1}.a(z) = y. Alors j’ai bien f(u′) = f(v.g′) = u.g′ et y = g^{′−1}.a(x), donc v ∘_{G} z est égal à l’élément défini précédemment. Donc si f est un morphisme de H-ensembles-G de U′ dans U qui est injectif sur les orbites à droite de G sur U′, je lui associe un morphisme de foncteurs f ∘_{G} − de U′ ∘_{G} − dans U ∘_{G} −, et ce morphisme vérifie (C).

Je vais montrer inversement que si θ est un morphisme de foncteurs vérifiant (C) de F′ = U′ ∘_{G} − dans F = U ∘_{G} −, alors θ provient naturellement d’un morphisme de H-ensembles-G de U′ dans U, qui est de plus injectif sur chaque orbite à droite de G sur U′. Je note tout d’abord que la condition (C) impose la structure de F′(X), lorsque F, F′(pt) et θ_{pt} sont connus. En effet, le diagramme

F′(p_{X})
F′(X) → F′(pt)
θ_{X} ↓ ↓ θ_{pt}
F (p_{X})
F (X) → F (pt)

doit être cartésien, donc F′(X) est isomorphe à la limite projective du système formé par les trois autres ensembles. De plus, si F = U ∘_{G} −, alors F (pt) s’identifie narurellement à U/G. Soit alors

A = {(u, u′G) ∈ U × U′/G | uG = θ_{pt}(u′G)}

Je fais de A un H-ensemble-G en posant

h.(u, u′G).g = (h.u.g, h.u′G)

pour (h, g) ∈ H × G et (u, u′G) ∈ A. La première projection π est alors un morphisme de H-ensembles-G de A dans U, et la seconde π′ factorise par un isomorphisme ϕ de H-ensembles de A/G sur U′/G, défini par ϕ((u, u′G)G) = u′G: en effet, si u′G ∈ U′/G, alors il existe u ∈ U tel que uG = θ_{pt}(u′G), et alors (u, u′G) ∈ A est tel que u′G = π′((u, u′G)). Et si π′((u, u′G)) = π′((v, v′G)), alors u′G = v′G, donc uG = vG, et il existe g ∈ G tel que v = u.g. Dans ces conditions, j’ai (v, v′G) = (u.g, u′G) = (u, u′G)g, et (v, v′G)G = (u, u′G)G. Comme de plus le morphisme π est injectif sur les orbites à droite de G, puisque (u, u′G).g = (u, u′G) si et seulement si u = u.g, je sais que π induit un morphisme de foncteurs π ∘_{G} − vérifiant (C) de A ∘_{G} − dans U ∘_{G} −, et en particulier le carré de gauche du diagramme suivant est cartésien:

A ∘_{G} p_{X}  ϕ
A ∘_{G} X  →  A ∘_{G} pt → U′ ∘_{G} pt
π ∘_{G} X  ↓  ↓  π ∘_{G} pt  ↓  θ_{pt}
U ∘_{G} p_{X}  →  U ∘_{G} pt → U ∘_{G} pt
U ∘_{G} p_{X}  Id

La définition de A montre d’autre part que le carré de droite est commutatif, et que ses flèches horizontales sont des isomorphismes. Il en résulte qu’il existe un isomorphisme μ_{X} unique de U′ ∘_{G} X sur A ∘_{G} X, tel que

ϕ.(A ∘_{G} p_{X}).μ_{X} = U′ ∘_{G} p_{X} et (π ∘_{G} X).μ_{X} = θ_{X}

L’unicité de μ_{X} montre de plus que si f est un morphisme de X dans le Gensemble Y, alors (A ∘_{G} f).μ_{X} = μ_{Y} .(U′ ∘_{G} f), donc que les μ_{X} définissent un isomorphisme μ du foncteur U′∘_{G}− sur le foncteur A∘_{G}−. Alors U′ est isomorphe comme H-ensemble-G à l’ensemble A, et le morphisme θ provient du morphisme π ∘_{G} −, ce qui prouve finalement la

Proposition 11: Soient U et U′ des H-ensembles-G, θ un homomorphisme du foncteur U′ ∘_{G} − dans le foncteur U ∘_{G} −. Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le morphisme θ vérifie la condition (C).

2. Il existe un morphisme π de H-ensembles-G de U′ dans U, injectif sur les orbites à droite de G, tel que θ = π ∘_{G} −

4.2 Classes de conjugaison et cohomologie de Hochschild

Si G est un groupe, je note [G] un système de représentants des classes de conjugaison de G, et je pose

c_{G} = ∐_{g∈[G]} t_{C_{G}(g),<g>}

considéré comme élément de T (G). Si M est un foncteur de Mackey pour le groupe G, et si K est un sous-groupe de G, alors en notant \overline{C}_{G}(g) le quotient C_{G}(g)/ < g >, j’ai

M ∘ c_{G} = ⊕_{g∈[G]}Ind_{C_{G}(g)}^{G}Inf_{\overline{C}_{G}(g)}^{C_{G}(g)}ρ_{\overline{C}_{G}(g)}^{C_{G}(g)}Res_{C_{G}(g)}^{G}M

En particulier, si K est un sous-groupe de G, j’ai

(M ∘ c_{G})(K) = ⊕_{g∈[G]}Ind_{C_{G}(g)}^{G}Inf_{\overline{C}_{G}(g)}^{C_{G}(g)}ρ_{\overline{C}_{G}(g)}^{C_{G}(g)}Res_{C_{G}(g)}^{G}M(G/K) = …
… = ⊕_{g∈[G]}Inf_{\overline{C}_{G}(g)}^{C_{G}(g)}ρ_{\overline{C}_{G}(g)}^{C_{G}(g)}Res_{C_{G}(g)}^{G}M(Res_{C_{G}(g)}^{G}G/K) = …
… = ⊕_{g∈[G]}(ρ_{\overline{C}_{G}(g)}^{C_{G}(g)}Res_{C_{G}(g)}^{G}M)(Res_{C_{G}(g)}^{G}G/K)^{g} = …
… = ⊕_{g∈[G]}M(Ind_{C_{G}(g)}^{G}Inf_{\overline{C}_{G}(g)}^{C_{G}(g)}(Res_{C_{G}(g)}^{G}G/K)^{g})

Or en tant que \overline{C}_{G}(g)-ensemble, j’ai

(Res_{C_{G}(g)}^{G}G/K)^{g} = ∐_{x∈C_{G}(g)\T_{G}(g,K)/K} \overline{C}_{G}(g)/\overline{C}_{^{x}K}(g)

et finalement

(M ∘ c_{G})(K) = ⊕_{g∈[G]} ⊕_{x∈C_{G}(g)\T_{G}(g,K)/K} M(C_{^{x}K}(g))

ce qui peut encore s’écrire, en sommant sur g^{x} ∈ K

(M ∘ c_{G})(K) = ⊕_{k∈[K]}M(C_{K}(k))

Je noterai HM le foncteur composé M ∘ c_{G}: cette notation tient au fait que si M est le foncteur de Mackey H^{i}(−, R) (resp. H_{i}(−, R)), alors l’égalité cidessus permet d’identifier (M ∘c_{G})(K) avec le i-ème groupe de cohomologie (resp. d’homologie) de Hochschild de K, souvent noté HH^{i}(K, R) (resp HH_{i}(K, R)) (cf.

[BE] chp.2).

En particulier, la cohomologie de Hochschild peut être dotée d’une structure de foncteur de Mackey: dans le cas i = 0, cette structure n’est autre que celle du foncteur de Mackey “centre de l’algèbre de groupe”, duale de celle des fonctions centrales: ce foncteur Z est tel que pour tout sous-groupe K de G, j’ai Z(K) = ZRK. La restriction de l’élément ∑_{x∈K} r_{x}.x de ZRK au sous-groupe K′ ⊆ K est définie par projection

Res_{K′}^{K} ∑_{x∈K} r_{x}.x = ∑_{x∈K′} r_{x}.x

alors que le transfert à K de l’élément ∑_{x∈K′} r_{x}.x de ZRK′ est défini par les traces relatives

Tr_{K′}^{K}( ∑_{x∈K′} r_{x}.x) = ∑_{k∈K/K′} r_{x}.^{k}x

Plus généralement, la structure de foncteur de Mackey pour la cohomologie de Hochschild peut être définie ainsi: si

… → L_{1} → L_{0} → RK → 0

est une résolution de RK par des RK-bimodules projectifs, alors en restreignant ces bimodules à K′, j’obtiens une résolution de RK par des RK′-bimodules projectifs. D’autre part,

Hom_{K′×K′}(Res_{K′×K′}L_{∗}, RK′) ≈ Hom_{K×K}(L_{∗}, Ind_{K′×K′}^{K×K}RK′)

Comme RK′ est facteur direct de Res_{K′×K′}RK, les groupes HH^{∗}(K′, R) sont facteurs directs des groupes de cohomologie du membre de gauche. Le morphisme canonique de Ind_{K′×K′}^{K×K}RK′ dans RK fournit alors un homomorphisme du complexe du second membre dans le complexe Hom_{K×K}(L_{∗}, RK), dont la cohomologie est égale à HH^{∗}(K, R). D’où finalement le transfert de HH^{∗}(K′, R) dans HH^{∗}(K, R). La restriction se déduit de même du morphisme de RK dans Ind_{K′×K′}^{K×K}RK′.

Dans le cas général d’un foncteur de Mackey M, si K est un sous-groupe de G, alors HM(K) est aussi égal à

HM(K) = (⊕_{k∈K}M(C_{K}(k)))_{K}

et si L ⊆ K, alors le transfert T_{L}^{K}(m_{l}) de HM(L) dans HM(K) de l’élément m_{l} ∈ M(C_{L}(l)) est donné par

T_{L}^{K}(m_{l}) = t_{C_{L}(l)}^{C_{K}(l)}(m_{l}) ∈ M(C_{K}(l))

et la restriction R_{L}^{K}(m_{k}) est donnée par

R_{L}^{K}(m_{k}) = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ K \\ k^{x} ∈ L \end{matrix} x^{−1}r_{C_{^{x}L}(k)}^{C_{K}(k)}(m_{k})

où l’élément x^{−1}r_{C_{^{x}L}(k)}^{C_{K}(k)}(m_{k}) est dans M(C_{L}(k^{x})).

4.3 Foncteurs de Mackey et conjecture d’Alperin

Dans [TH-WE], Thévenaz et Webb proposent la conjecture suivante, qu’ils prouvent être équivalente à la conjecture d’Alperin:

Conjecture: Pour tout groupe fini G, et tout nombre premier p, il existe des foncteurs de Mackey M_{1} et M_{2}, tels que M_{1}(H) et M_{2}(H) sont des espaces vectoriels sur un corps R de caractéristique 0 ou première à |G|, satisfaisant les conditions suivantes:

1. Pour tout sous-groupe H de G, les restrictions Res_{H}^{G}M_{1} et Res_{H}^{G}M_{2} sont projectifs par rapport au sous-groupes p-locaux de H.

2. Pour tout sous-groupe H de G,

dim M_{1}(H) − dim M_{2}(H) = np(H)

où np(H) désigne le nombre de kG-modules simples non-projectifs, pour un corps k algébriquement clos de caractéristique p.

Les définitions des sections précédentes permettent de donner une version explicite de cette conjecture. Soit en effet s_{G} l’idempotent E_{1}^{G}, lorsque \underline{F} est la famille \underline{s}_{p}(G) des p-sous-groupes de G, i.e.

s_{G} = − ∑ ; \begin{matrix}inf s = 1 \\ s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/G \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),s}

Soit d’autre part F P_{R} le foncteur de Mackey dont la valeur en tout sous-groupe de G est égale à l’anneau R, la restriction r_{H}^{K} étant l’identité, et le transfert t_{H}^{K} la multiplication par [K : H]. Alors pour tout G-ensemble X, j’ai F P_{R}(X) = Hom_{G}([X], R), en notant [X] le RG-module de permutations de base X. Donc F P_{R}(X) admet une base sur R, en bijection avec G\X.

Soit alors A un G-ensemble-G. La valeur de F P_{R} ∘ A en G est égale à

(F P_{R} ∘ A)(G) = F P_{R}(A ∘_{G} (G/G)) = F P_{R}(A/G)

et admet donc une base en bijection avec G\A/G.

Soit alors Alp_{G} = c_{G} ∘_{G} s_{G} ∈ Γ(G). Le calcul donne

Alp_{G} = − ∑_{g∈[G]} ∑ ; \begin{matrix}inf s = \{1\} \\ s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/G \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{C_{G}(g),g} ∘_{G} t_{N_{G}(s),s}

En développant le produit t_{C_{G}(g),g} ∘_{G} t_{N_{G}(s),s} et en réorganisant la somme, il vient

Alp_{G} = − ∑ ; g ∈ G, s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G)), inf s = \{1\} ; \begin{matrix}g ∈ N_{G}(s) \\ (g, s) mod.G \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{C_{G}(g)∩N_{G}(s),<g>. sup s}

Comme t_{X,N} est un G-ensemble-G transitif pour tout (X, N), j’ai |G\t_{X,N}/G| = 1, et alors

|G\Alp_{G}/G| = − ∑ ; g ∈ G, s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G)), inf s = \{1\} ; \begin{matrix}g ∈ N_{G}(s) \\ (g, s) mod.G \end{matrix} (−1)^{|s|}

ce qui s’écrit encore

|G\Alp_{G}/G| = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/G \\ inf s = \{1\} \end{matrix} (−1)^{|s|}k(N_{G}(s))

en notant k(H) le nombre de classes de conjugaison de sous-groupes du groupe H.

En particulier, la version de Robinson (cf. [KN-RO]) de la conjecture d’Alperin donne la valeur conjecturale du second membre, égale à f_{0}(G), nombre de modules simples projectifs sur un corps k algébriquement clos de caractéristique p. Cette conjecture équivaut donc à

|G\Alp_{G}/G| = f_{0}(G)

De même, le lemme 5 montre que le produit

t_{c_{G}(g),<g>} ∘_{G} s_{G} = t_{c_{G}(g),<g>} ∘_{G} E_{1}^{G}

est nul si O_{p}(< g >) n’est pas contenu à conjugaison près dans P = {1}, i.e. si g n’est pas un p′-élément. Donc, en posant

c′_{G} = ∑_{g∈[G_{p′}]} t_{C_{G}(g),<g>}

j’ai aussi

Alp_{G} = c′_{G} ∘_{G} s_{G} = − ∑ ; g ∈ G_{p′}, s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G)), inf s = \{1\} ; \begin{matrix}g ∈ N_{G}(s) \\ (g, s) mod.G \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{C_{G}(g)∩N_{G}(s),<g>. sup s}

ce qui redémontre que la conjecture d’Alperin équivaut aussi à

f_{0}(G) = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/G \\ inf s = \{1\} \end{matrix} (−1)^{|s|}l(N_{G}(s))

en notant l(H) le nombre de classes de conjugaison p-régulières de H.

Finalement, j’observe que c_{G} et s_{G}, donc aussi Alp_{G}, commutent à l’induction, au sens suivant:

Lemme 17: Soit H un sous-groupe de G. Alors

c_{G} ∘_{G} (G × H)/Δ(H) = (G × H)/Δ(H) ∘_{H} c_{H}
c′_{G} ∘_{G} (G × H)/Δ(H) = (G × H)/Δ(H) ∘_{H} c′_{H}
s_{G} ∘_{G} (G × H)/Δ(H) = (G × H)/Δ(H) ∘_{H} s_{H}

En effet, soit X un sous-groupe de G normalisant N. Alors

t_{X,N} ∘_{G} (G × H)/Δ(H) = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ X.N\G/H \\ N^{x} ⊆ H \end{matrix} (G × H)/(Δ_{X,N} ∗^{(x,1)}Δ(H)

Alors

Δ_{X,N} ∗^{(x,1)}Δ(H) = {(a, b) | ∃c, a ∈ X, a.c^{−1} ∈ N, c^{x} = b ∈ H} = …
… = {(a, b) | a ∈ X, b ∈ H, a.(^{x}b)^{−1} ∈ N}

ou encore

Δ_{X,N} ∗^{(x,1)}Δ(H) = ^{(x,1)}{(a, b) | a ∈ X^{x}, a.b^{−1} ∈ N^{x}} = …
… = ^{(x,1)}{(a, b) | a ∈ X^{x} ∩ H, a.b^{−1} ∈ N^{x}}

la dernière égalité résultant du fait que b ∈ H et N^{x} ⊆ H. Finalement

Δ_{X,N} ∗^{(x,1)}Δ(H) = ^{(x,1)}(Δ(H) ∗ Δ_{X^{x}∩H,N^{x}})

de sorte que

(G × H)/(Δ_{X,N} ∗^{(x,1)}Δ(H)) = (G × H)/Δ(H) ∘_{H} (H × H)/Δ_{X^{x}∩H,N^{x}}

Alors pour la première assertion du lemme

c_{G} ∘_{G} (G × H)/Δ(H) = ∑_{g∈[G]} t_{C_{G}(g),<g>} ∘_{G} (G × H)/Δ(H) = …

… = (G × H)/Δ(H) ∘_{H} ∑ ; g ∈ G ; \begin{matrix}x ∈ G \\ g^{x} ∈ H \end{matrix} \frac{|C_{G}(g)|}{|G|} \frac{|C_{G}(g^{x}) ∩ H|}{|C_{G}(g)||H|}(H × H)/Δ_{C_{H}(g^{x}),<g^{x}>}

et la première assertion en résulte, en sommant sur g^{x} ∈ H. Pour la seconde, le calcul est analogue, la somme ne portant que sur des éléments p-réguliers. De même, pour la troisième

s_{G}∘_{G}(G×H)/Δ(H) = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/G \\ inf s = \{1\} \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),sup s}∘_{G}(G×H)/Δ(H) = …

… = −(G × H)/Δ(H) ∘_{H} ∑ ; \begin{matrix}s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G)) \\ inf s = \{1\} \end{matrix} ; \begin{matrix}x ∈ G \\ sup s^{x} ⊆ H \end{matrix} f_{s}(−1)^{|s|}(H × H)/Δ_{N_{H}(s^{x}),sup s^{x}}

avec

f_{s} = \frac{|N_{G}(s)|}{|G|} \frac{|N_{G}(s^{x}). sup s^{x} ∩ H|}{|N_{G}(s). sup s||H|} = \frac{|N_{G}(s)|}{|G|} \frac{| sup s^{x}.N_{H}(s^{x})|}{|N_{G}(s). sup s||H|} = …

… = \frac{|N_{G}(s)|| sup s||N_{H}(s^{x})|}{|G||N_{G}(s) ∩ sup s||N_{G}(s). sup s||H|} = \frac{|N_{H}(s^{x})|}{|G||H|}

Une sommation sur s^{x} donne alors la seconde assertion du lemme.

Il en résulte que

Alp_{G} ∘_{G} (G × H)/Δ(H) = (G × H)/Δ(H) ∘_{H} Alp_{H}

Or pour tout H-ensemble X, j’ai

Ind_{H}^{G}X = (G × H)/Δ(H) ∘_{H} X

Donc

Alp_{G} ∘_{G} Ind_{H}^{G}X = Ind_{H}^{G}(Alp_{H} ∘_{H} X)

Dans ces conditions, le “foncteur de Mackey virtuel” F P_{R} ∘ Alp_{G} est tel que

(Res_{H}^{G}(F P_{R} ∘ Alp_{G}))(X) = (F P_{R} ∘ Alp_{G})(Ind_{H}^{G}X) = F P_{R}(Alp_{G} ∘_{G} Ind_{H}^{G}X) = …

… = F P_{R}(Ind_{H}^{G}(Alp_{H}∘_{H}X)) = (Res_{H}^{G}F P_{R})(Alp_{H}∘_{H}X) = (Res_{H}^{G}F P_{R}∘Alp_{H})(X)

Donc

Res_{H}^{G}(F P_{R} ∘ Alp_{G}) = (Res_{H}^{G}F P_{R}) ∘ Alp_{H} = F P_{R} ∘ Alp_{H}

et la valeur en H de F P_{R} ∘ Alp_{G}, égale à la valeur en H de sa restriction à H, est donc différence de modules libres sur R, et de rang virtuel

rang_{R}(F P_{R} ∘ Alp_{G})(H) = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(H))/H \\ inf s = \{1\} \end{matrix} (−1)^{|s|}l(N_{G}(s))

Conjecturalement, ce rang vaut f_{0}(H) pour tout sous-groupe de G.

Le lemme précédent prouve aussi que

Res_{H}^{G}(F P_{R} ∘ (c′_{G} − Alp_{G})) = (Res_{H}^{G}F P_{R}) ∘ (c′_{H} − Alp_{H}) = F P_{R} ∘ (c′_{H} − Alp_{H})

De plus, j’ai c′_{G} − Alp_{G} = c′_{G} ∘_{G} (t_{G,{1}} − s_{G}), et

t_{G,{1}} − s_{G} = − ∑_{s∈Sd(s_{p}(G))/G}(−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),sup s}

où Sd(s_{p}(G)) désigne l’ensemble des suites croissantes de p-sous-groupes nontriviaux de G. Ainsi tout foncteur de Mackey de la forme M ∘ (c′_{G} − Alp_{G}) est combinaison linéaire de foncteurs de la forme M′∘t_{N_{G}(s),sup s}. D’après les formules d’identification, si A = (G × G)/L, alors le foncteur M′ ∘ A est un foncteur induit de p_{2}(L) à G. Ici, j’ai p_{2}(L_{s}) = N_{G}(s). sup s, pour une suite s de p-sous-groupes non-triviaux. En particulier O_{p}(p_{2}(L_{s})) ≠ {1}, et le foncteur M′ ∘ t_{N_{G}(s),sup s} est un foncteur induit de N_{G}(O_{p}(p_{2}(L))) à G. Le foncteur M ∘ (c′_{G} − Alp_{G}) est donc projectif par rapport aux sous-groupes p-locaux de G.

Le foncteur M = F P_{R} ∘ (c′_{G} − Alp_{G}) est donc tel que Res_{H}^{G}M est projectif par rapport aux sous-groupes p-locaux de H, pour tout sous-groupe H de G. Le rang sur R de son évaluation en G est égal à

− ∑_{s∈Sd(s_{p}(G))/G}(−1)^{|s|}l(N_{G}(s))

Il est aussi égal à |G\(c′_{G} − Alp_{G})/G| = l(G) − |G\Alp_{G}/G|, et la conjecture d’Alperin équivaut au fait que ce rang soit égal à l(G) − f_{0}(G) = np(G). J’ai donc

Proposition 12: Le foncteur de Mackey virtuel M = F P_{R} ∘ (c′_{G} − Alp_{G}) est tel que

1. Si H est un sous-groupe de G, alors Res_{H}^{G}M est projectif par rapport aux sous-groupes p-locaux de H.

2. Si H est un sous-groupe de G, le rang sur R de M(H) est égal à

l(H) − |H\Alp_{H}/H| = − ∑_{s∈Sd(s_{p}(H))/H}(−1)^{|s|}l(N_{H}(s))

Corollaire: La conjecture d’Alperin est équivalente à

|G\Alp_{G}/G| = f_{0}(G)

4.4 p-sous-groupes et résidu de Steinberg

4.4.1 Autres expressions de s_{G}

Notation: Si p un nombre premier, et G est un groupe fini, je note \underline{R}_{p}(G) l’ensemble des suites s de p-sous-groupes de G qui sont strictement croissantes, et telles que sup s ⊆ N_{G}(s). Je note également \underline{a}_{p}(G) l’ensemble des p-sous-groupes abéliens élémentaires (triviaux ou non) de G.

Lemme 18: : Avec ces notations,

s_{G} = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ Sd(\underline{a}_{p}(G))/G \\ inf s = \{1\} \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),sup s}

s_{G} = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ \underline{R}_{p}(G)/G \\ inf s = \{1\} \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),sup s}

En effet, en regroupant dans la définition de s_{G} les termes pour lesquels sup s est un p-sous-groupe P donné de G, il vient

s_{G} = − ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} ∑ ; s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/N_{G}(P) ; \begin{matrix}inf s = \{1\} \\ sup s = P \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),P}

Soit alors ϕ_{P} l’application de b(N_{G}(P)) dans Γ(G) définie par

ϕ_{P} (N_{G}(P)/K) = t_{K,P}

Alors

− ∑ ; s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/N_{G}(P) ; \begin{matrix}inf s = \{1\} \\ sup s = P \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),P} = ϕ_{P} (μ(P))

où μ(P) désigne l’invariant de Möbius de P dans l’ensemble \underline{s}_{p}(G), i.e. l’invariant de Lefschetz de ]{1}, P [. Cet ensemble est N_{G}(P)-contractile si P n’est pas abélien élémentaire, par les contractions Q ↦ Q.Φ(P) ↦ Φ(P). Donc μ(P) = 0 si P ∉ \underline{a}_{p}(G), et la première assertion du lemme en résulte.

Pour démontrer la seconde, je pose provisoirement

s′_{G} = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ \underline{R}_{p}(G)/G \\ inf s = \{1\} \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),sup s}

et je regroupe dans s′_{G} les suites s ∈ \underline{R}_{p}(G) pour lesquelles sup s est un p-sous-groupe P donné de G. Il vient

s_{G} = − ∑_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} ∑ ; s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G)^{P})/N_{G}(P) ; \begin{matrix}inf s = \{1\} \\ sup s = P \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),P}

J’observe alors que

− ∑ ; s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G)^{P})/N_{G}(P) ; \begin{matrix}inf s = \{1\} \\ sup s = P \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),P}

est l’image par ϕ_{P} de l’invariant de Lefschetz de ]{1}, P [^{P}, et ce dernier est nul pour la même raison que précédemment si P ∉ \underline{a}_{p}(G). Et si P ∈ \underline{a}_{P} (G), alors ]{1}, P [^{P} =]{1}, P [, et s′_{G} est égal au second membre de la première assertion du lemme, donc à s_{G}.

4.4.2 Autre expression de E_{P}^{G}

Si P est un p-sous-groupe de G, soit \overline{N}_{G}(P) = N_{G}(P)/P, et

u_{P} = (\overline{N}_{G}(P) × G)/\{(nP, n) | n ∈ N_{G}(P)\}
u_{P}^{∗} = (G × \overline{N}_{G}(P))/\{(n, nP) | n ∈ N_{G}(P)\}

Soit E_{P}^{G} l’idempotent de Γ(G) associé au groupe P et à la famille \underline{F} = \underline{s}_{p}(G), à savoir

E_{P}^{G} = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/N_{G}(P) \\ inf s = P \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),sup s}

Par un calcul analogue à celui de la section précédente, je peux regrouper les suites pour lesquelles sup s est un p-sous-groupe Q donné, contenant P. Il vient

E_{P}^{G} = − ∑ ; \begin{matrix}Q ∈ \underline{s}_{p}(G)/N_{G}(P) \\ Q ⊇ P \end{matrix} ∑ ; s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/N_{G}(P, Q) ; \begin{matrix}inf s = P \\ sup s = Q \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),Q}

Soit alors ϕ_{P,Q} l’application de b(N_{G}(P, Q)) dans Γ(G) définie par

ϕ_{P,Q}(N_{G}(P, Q)/K) = t_{K,Q}

Alors

− ∑ ; s ∈ Sd(\underline{s}_{p}(G))/N_{G}(P, Q) ; \begin{matrix}inf s = P \\ sup s = Q \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),Q} = ϕ_{P,Q}(μ(P, Q))

où μ(P, Q) est l’invariant de Lefschetz de ]P, Q[. Cet ensemble est N_{G}(P, Q)- contractile si P ⊉ Φ(Q), par les contractions R ↦ R.Φ(Q) ↦ P.Φ(Q).

Et si P ⊆ Q, alors P \underline{◁} Q, et de plus ]P, Q[=]P, Q[^{Q}. Ces considérations montrent finalement que

E_{P}^{G} = − ∑ ; \begin{matrix}s ∈ \underline{R}_{p}(G)/N_{G}(P) \\ inf s = P \end{matrix} (−1)^{|s|}t_{N_{G}(s),sup s}

J’observe alors qu’en notant \overline{s} la suite des quotients par P des termes de s, j’ai

t_{N_{G}(s),sup s} = u_{P}^{∗} ∘_{\overline{N}_{G}(P)} t_{N_{G}(\overline{s}),sup \overline{s}} ∘_{\overline{N}_{G}(P)} u_{P}

et il en résulte que

E_{P}^{G} = u_{P}^{∗} ∘_{\overline{N}_{G}(P)} s_{\overline{N}_{G}(P)} ∘_{\overline{N}_{G}(P)} u_{P}

4.4.3 Résidus de Steinberg

Je suppose ici que la famille P contient la famille des p-groupes finis. Si M est un objet de F_{R}(P, P), et G un groupe fini, j’appelle résidu de Steinberg de M en G, et je note SM(G), le R-module image de M(s_{G}), i.e.

SM(G) = M(s_{G})(M(G)) = s_{G} ∘_{G} M(G)

Comme u_{P} est un morphisme de G dans \overline{N}_{G}(P), j’ai une application a de M(G) dans ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G}SM(\overline{N}_{G}(P)), définie par

a(m) = ⊕_{P} M(s_{\overline{N}_{G}(P)} ∘_{\overline{N}_{G}(P)} u_{P})(m)

J’ai de même une application b de ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G}SM(\overline{N}_{G}(P)) dans M(G) définie par

b(m_{P}) = M(u_{P}^{∗})(m_{P}) pour m_{P} ∈ SM(\overline{N}_{G}(P))

Alors a et b sont des bijections inverses l’une de l’autre: en effet, si m ∈ M(G), alors

ba(m) = b(⊕_{P} M(s_{\overline{N}_{G}(P)}∘_{\overline{N}_{G}(P)}u_{P})(m)) = ∑_{P mod.G} M(u_{P}^{∗} ∘_{G}s_{\overline{N}_{G}(P)}∘_{\overline{N}_{G}(P)}u_{P})(m) = …

… = M( ∑_{P mod.G} E_{P}^{G})(m) = m

De même, si m_{Q} ∈ SM(\overline{N}_{G}(Q)), alors

ab(m_{Q}) = ⊕_{P mod.G}M(s_{\overline{N}_{G}(P)} ∘_{\overline{N}_{G}(P)} u_{P})M(u_{P}^{∗})(m_{Q}) = …
… = ⊕_{P} M(s_{\overline{N}_{G}(P)} ∘_{\overline{N}_{G}(P)} u_{P} ∘_{G} u_{Q}^{∗} ∘_{\overline{N}_{G}(Q)} s_{\overline{N}_{G}(Q)})(m_{Q})

Le calcul donne

u_{P} ∘_{G} u_{Q}^{∗} = ∑ ; \begin{matrix}x ∈ N_{G}(P)\G/N_{G}(Q) \\ P^{x} ⊆ N_{G}(Q) \end{matrix} (\overline{N}_{G}(P) × \overline{N}_{G}(Q))/L_{x}

où j’ai posé

L_{x} = {(nP, n^{x}Q) | n ∈ N_{G}(P,^{x}Q)}

Alors k_{2}(L_{x}) = P^{x}.Q/Q est un p-groupe, et si O_{p}(k_{2}(L_{x})) = {1}, alors P^{x} ⊆ Q. Donc si P^{x} ⊈ Q, alors le produit

(\overline{N}_{G}(P) × \overline{N}_{G}(Q))/L_{x} ∘_{\overline{N}_{G}(Q)} s_{\overline{N}_{G}(Q)}

est nul. Mais si P^{x} ⊆ Q, alors k_{1}(L_{x}) = ^{x}Q/P n’est égal à {1} que si ^{x}Q = P. Finalement, le produit

s_{\overline{N}_{G}(P)} ∘_{\overline{N}_{G}(P)} u_{P} ∘_{G} u_{Q}^{∗} ∘_{\overline{N}_{G}(Q)} s_{\overline{N}_{G}(Q)}

est nul si P n’est pas conjugué de Q. Et si P = Q

s_{\overline{N}_{G}(Q)}∘_{\overline{N}_{G}(Q)}u_{Q}∘_{G}u_{Q}^{∗}∘_{\overline{N}_{G}(Q)}s_{\overline{N}_{G}(Q)} = s_{\overline{N}_{G}(Q)}∘_{\overline{N}_{G}(Q)}(\overline{N}_{G}(Q)×\overline{N}_{G}(Q))/L_{1}∘_{\overline{N}_{G}(Q)}s_{\overline{N}_{G}(Q)}

Mais (\overline{N}_{G}(Q) × \overline{N}_{G}(Q))/L_{1} est l’élément neutre de Γ(\overline{N}_{G}(Q)), donc

s_{\overline{N}_{G}(Q)} ∘_{\overline{N}_{G}(Q)} u_{Q} ∘_{G} u_{Q}^{∗} ∘_{\overline{N}_{G}(Q)} s_{\overline{N}_{G}(Q)} = s_{\overline{N}_{G}(Q)}^{2} = s_{\overline{N}_{G}(Q)}

et comme M(s_{\overline{N}_{G}(Q)})(m_{Q}) = m_{Q}, j’ai bien ab(m_{Q}) = m_{Q}. D’où

Proposition 13: Si P contient les p-groupes finis, et si M est un objet de F_{R}(P, P), alors pour tout groupe G

M(G) ≈ ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} SM(\overline{N}_{G}(P))

Exemple: Si P est la famille des p-groupes finis, et si S_{H,V} est un objet simple de F_{R}(P, P), alors j’ai vu que

S_{H,V} (G) ≈ ⊕_{(K,P) mod.G} T r_{1}^{N_{G}(K,P)/K}(V)

la somme portant sur les couples de sous-groupes (K, P) de G tels que P soit un p-sous-groupe normal de K, et tels que K/P soit isomorphe à H. En sommant d’abord sur P, je vois que

S_{H,V} (G) ≈ ⊕_{P ∈\underline{s}_{p}(G)/G} ⊕_{K/P ⊆ N_{G}(P)/P ; \begin{matrix}K/P ≈ H \\ K/P mod.N_{G}(P)P/P \end{matrix}} T r_{1}^{N_{G}(K,P)/K}(V)

Comme

N_{G}(K, P)/K ≈ N_{N_{G}(P)/P} (K/P)/(K/P)

il en résulte que pour tout groupe fini G, j’ai

SS_{H,V} (G) = ⊕_{K ⊆ G ; \begin{matrix}K ≈ H \\ K mod.G \end{matrix}} T r_{1}^{N_{G}(K)/K}(V)

En particulier, si R est un corps k de caractéristique p, et si V est le module trivial, alors je sais que S_{H,V} (G) est de dimension 1 sur k pour tout G. Donc SS_{H,V} (G) est de dimension 1 sur k si H est isomorphe à un p-sous-groupe de Sylow de G, et il est nul sinon.

4.5 Adjonction et modules de Steinberg généralisés

Soient G et H des groupes, et A un H-ensemble-G. Si M est un foncteur de Mackey pour le groupe H, alors l’identification effectuée plus haut permet d’observer que le foncteur qui à M associe M ∘ A admet un adjoint à gauche: en effet, les opération d’induction, de restriction, d’inflation et de coinflation ont chacune un adjoint à gauche. Je noterai N ↦ A∘N cet adjoint. Si A = (G×H)/L, alors

A ∘ N = Ind_{p_{1}(L)}^{H}ι_{p_{1}(L)/k_{1}(L)}^{p_{1}(L)}θ_{L}^{−1}(Res_{p_{2}(L)}^{G}N)^{k_{2}(L)}

où ι désigne l’adjoint de ρ, et N ↦ N^{k_{2}(L)} le foncteur adjoint du foncteur d’inflation de p_{2}(L)/k_{2}(L) à p_{2}(L).

Comme de plus le foncteur qui à M associe M ∘ A est un foncteur exact, il en résulte que le foncteur qui à N associe A ∘ N transforme un foncteur projectif en un foncteur projectif.

Si R est un corps de caractéristique p, alors les foncteurs de Mackey projectifs indécomposables et projectifs par rapport aux p-sous-groupes peuvent être indexés par les modules de p-permutations indécomposables. Il est facile de voir d’autre part que si P est la famille des p-groupes finis, et si A est P-libre-P, alors le foncteur A ∘ M est projectif par rapport aux p-sous-groupes si M l’est.

Dans ces conditions, si pg(G) désigne le sous-anneau de l’anneau de Green engendré par les modules de p-permutations, je vois que pg(G) devient un objet de F_{R}(P, P): Si N est un module de p-permutations pour le groupe G, et si A est un H-ensemble-G qui est P-libre-P, alors il existe un unique foncteur de Mackey L_{N} pour G qui soit projectif, projectif par rapport aux p-sous-groupes, et dont la valeur en {1} est N. Alors le foncteur A ∘ L_{N} est projectif, projectif par rapport aux p-sous-groupes de H, et sa valeur en {1} est par définition le module A∘_{G} N. C’est un H-module de p-permutations.

Dans la cas où A est isomorphe à (H × G)/L, alors il est possible de montrer que

A ∘_{G} N ≈ Ind_{p_{1}(L)}^{H}N[k_{2}(L)]

où, lorsque P est un p-sous-groupe de G, le module N[P] est défini par

N[P] = N^{P} / ∑_{Q⊂P} T r_{Q}^{P}N^{Q}

Ces remarques permettent de retrouver les modules de Steinberg généralisés des modules de p-permutations définis dans [BO1]: Le module de Steinberg St(G, N) n’est autre que s_{G} ∘ N. De même, le résidu de Steinberg du foncteur pg est tel que Spg(G) est le sous-module de pg(G) engendré par les modules projectifs.

Bibliographie

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[BO1] S.BOUC. Projecteurs dans l’anneau de Burnside. Projecteurs dans l’anneau de Green. Modules de Steinberg généralisés, J.Algebra. 139 n.2 June 1-1991 p.395-445.

[BO2] S.BOUC. Foncteurs d’ensembles munis d’une double action, Preprint .

[KN-RO] R.KNÖRR. G.R.ROBINSON. Some remarks on a conjecture of Alperin. J. London Math. Soc. (2) 39 (1989) p.48-60.

[TH-WE] J.THÉVENAZ. P.J.WEBB. A Mackey Functor Version of a conjecture of Alperin. Astérisque. 181-182(1990) p.263-272.

Sommaire

1 Le produit ∘_{G} 1 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Classification de foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 La seconde assertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Réduction au cas transitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Sous-groupes minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 Existence de E_{F} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Unicité de E_{F} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Le foncteur identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Calcul des produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 L’anneau de Grothendieck 16 2.1 Un sous-anneau de Γ(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Des idempotents orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 Projecteurs dans l’anneau de Burnside . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Calcul de E_{P}^{G} ∘_{G} (G × H)/L . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Calcul de (H × G)/L ∘_{G} E_{P}^{G} . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.4 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.5 Calcul de la somme des E_{P}^{G} . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Un morphisme de b(G) dans Γ(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Semi-simplicité en caractéristique 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Produits par ẽ_{G}^{G} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2 Définition des F_{K,H}^{G} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3 Orthogonalité et somme des F_{K,H}^{G} . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.4 Identification de Γ_{K}(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Catégories associées 41 3.1 Ensembles P -libres-Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 La catégorie C(P, Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 La catégorie F_{R}(P, Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Structure des foncteurs simples . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.2 Exemples de foncteurs simples . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.3 Action sur les foncteurs simples . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Semi-simplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.1 Des idempotents orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.2 Identification de End_{K,P} (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.3 Résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4.4 Décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Applications 60

4.1 Foncteurs de Mackey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.1 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.2 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.1.3 Fonctorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Classes de conjugaison et cohomologie de Hochschild . . . . . . . 67 4.3 Foncteurs de Mackey et conjecture d’Alperin . . . . . . . . . . . . 69 4.4 p-sous-groupes et résidu de Steinberg . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4.1 Autres expressions de s_{G} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4.2 Autre expression de E_{P}^{G} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.4.3 Résidus de Steinberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5 Adjonction et modules de Steinberg généralisés . . . . . . . . . . 79