Le complexe de chaînes d’un G-complexe simplicial acyclique

S. Bouc

1. Introduction

Soit G un groupe fini. Un G-complexe simplicial est un complexe simplicial doté d’une action de G préservant sa structure simpliciale. Si X est un G-complexe simplicial, l’action de G est dite admissible si pour tout simplexe s de X, le stabilisateur de s dans G fixe s point par point. On peut toujours se ramener à une action admissible, quitte à remplacer X par sa subdivision barycentrique.

Lorsque l’action de G est admissible, le complexe de chaînes C_{∗}(X) est un complexe de ℤG-modules de permutations. Les groupes d’homologie de C_{∗}(X) sont notés H_{i}(X, ℤ) ou H_{i}(X). Ce sont les groupes d’homologie (entière) de X.

Le complexe de chaînes réduit C̃_{∗}(X) est le complexe C_{∗}(X), auquel on rajoute un terme C_{−1}(X) = ℤ, la différentielle d_{0} envoyant chaque point de X (ou 0simplexe) sur 1 ∈ ℤ. Les groupes d’homologie H̃_{i}(X) de ce complexe sont les groupes d’homologie réduits de X.

Le complexe simplicial X est dit acyclique si H_{i}(X) = 0 pour i ≥ 1, et si H_{0}(X) = ℤ. Il revient au même de dire que tous les groupes d’homologie réduits de X sont nuls.

Le but de cette note est de démontrer le théorème suivant:

Théorème 1.1: Soit G un groupe fini agissant de manière admissible sur un complexe simplicial X acyclique de dimension finie. Alors le complexe de chaînes réduit de X est un complexe acyclique et scindé de ℤG-modules.

Pour démontrer ce théorème, je montre que le complexe 𝔽_{p} ⊗ C̃_{∗}(X) est un complexe acyclique scindé de 𝔽_{p}G-modules pour tout nombre premier p. La considération d’un p-sous-groupe de Sylow de G permet alors de se ramener au cas où G est un p-groupe, et d’utiliser le théorème suivant, du à Smith:

Théorème 1.2 (Smith [4]) Soit p un nombre premier, et P un p-groupe fini agissant de manière admissible sur un complexe simplicial X acyclique modulo p (i.e. 𝔽_{p}-acyclique) de dimension finie. Alors l’ensemble X^{P} des points fixes de P sur X est un sous-complexe simplicial de X, et X^{P} est acyclique modulo p.

Dans toute la suite, je note p un nombre premier, et k un corps de caractéristique p. Le second ingrédient de la preuve est alors la notion de module de p-permuta-tions: un kG-module de p-permutations est par définition un module isomorphe à un facteur direct d’un kG-module de permutations.

Les modules de p-permutations se comportent bien vis-à-vis de la construction de Brauer: si M est un kG-module, et H un sous-groupe de G, le quotient de Brauer M(H) est défini par

M(H) = M^{H}/( ∑_{K⊂H} T r_{K}^{H}M^{K})

où la somme porte sur les sous-groupes propres de H, et T r_{K}^{H} : M^{K} → M^{H} est l’application de trace relative définie par

T r_{K}^{H}(m) = ∑_{x∈H/K} xm

Le point crucial est alors le théorème suivant:

Théorème 1.3: Soit k un corps de caractéristique p > 0 et G un groupe fini. Si f : L → M est un morphisme entre deux kG-modules de p-permutations, les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le morphisme f est une injection directe.

2. Pour tout p-sous-groupe P de G, le morphisme f(P) : L(P) → M(P) est injectif.

De même, les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le morphisme f est une surjection scindée.

2. Pour tout p-sous-groupe P de G, le morphisme f(P) : L(P) → M(P) est surjectif.

Ce théorème est déjà démontré dans [2] pour des modules M et N de type fini. La démonstration donnée ici est indépendante, et s’applique à des modules quelconques.

2. Preuve du théorème 1.3

2.1. Modules de permutations

Définition 2.1: Soit G un groupe fini, et k un corps. Un kG-module de permutations est par définition un kG-module admettant une k-base stable par G. Si X est une telle base, alors X est un G-ensemble, et M est isomorphe au kG-module kX.

Si H-est un sous-groupe de G, un kG-module de permutations M sera dit Hisotypique si M admet une base X stable par G telle que pour tout x ∈ X, le stabilisateur G_{x} de x dans G soit conjugué de H dans G. Une telle base sera appelée base H-isotypique de M. Si M est H-isotypique, alors M est isomorphe à une somme directe de copies du module Ind_{H}^{G}k.

Si M est un kG-module, et K un sous-groupe de G, je note M^{K} l’ensemble des points fixes de K sur M, et M_{K} l’ensemble des coinvariants de K sur M, défini comme le quotient de M par le sous-espace engendré par les km−m, pour k ∈ K et m ∈ M. En d’autres termes

M^{K} = H^{0}(K, M) M_{K} = H_{0}(K, M)

Les modules M^{K}, M_{K}, et M(K) ont une structure naturelle de module pour le normalisateur N_{G}(K) de K dans G, et même pour le groupe N_{G}(K)/K. Les constructions qui à M font correspondre M^{K}, M_{K} et M(K) sont des foncteurs de la catégorie des kG-modules dans la catégorie des kN_{G}(K)/K-modules: si f : M → N est un morphisme de kG-modules, je noterai f^{K}, f_{K}, et f(K) les images de f par chacun des ces foncteurs.

Lemme 2.2: Soit k un corps de caractéristique p > 0, et P un p-groupe. Soit M un kP -module de permutations, et X une k-base de M stable par P. Alors:

1. Si Q est un sous-groupe de P, les modules M^{Q} et M_{Q} sont isomorphes comme kN_{P} (Q)-modules à k(Q\X).

2. Si Q est un sous-groupe de P, le module M(Q) est isomorphe comme kN_{P} (Q)-module à k(X^{Q}).

Démonstration: Il est clair que M^{Q} admet une k-base formée des éléments

s_{ω} = ∑_{x∈ω} x

où ω décrit l’ensemble Q\X des orbites de Q sur X. Le groupe N_{P} (Q) permute ces orbites, et la base obtenue est stable par N_{P} (Q).

De même, on obtient une k-base de M_{Q} en choisissant un élément x_{ω} dans chaque orbite de Q sur X, et en prenant l’image des x_{ω} dans M_{Q}. A nouveau, la base obtenue est stable par N_{P} (Q). D’où la première assertion.

Soit Q_{ω} le stabilisateur de x_{ω} dans Q. Alors

∑_{x∈ω} x = T r_{Q_{ω}}^{Q}(x_{ω})

L’image de cet élément dans M(Q) est nulle si Q_{ω} ≠ Q, c’est-à-dire si ω n’est pas réduite à un point. Donc les images des points de X^{Q} dans M(Q) engendrent M(Q) sur k.

Elles sont de plus linéairement indépendantes sur k: en effet, si

∑_{x∈X^{Q}} a_{x}x = ∑_{R⊂Q} T r_{R}^{Q}(m_{R})

avec a_{x} ∈ k et m_{R} ∈ M^{R}, alors comme m_{R} est combinaison linéaire de vecteurs T r_{R_{y}}^{R}(y), il en résulte que T r_{R}^{Q}(m_{R}) est combinaison linéaire de vecteurs T r_{R_{y}}^{Q}(y). Or

T r_{R_{y}}^{Q}(y) = T r_{Q_{y}}^{Q}T r_{R_{y}}^{Q_{y}}(y) = [Q_{y} : R_{y}]T r_{Q_{y}}^{Q}(y)

est nul si Q_{y} ≠ R_{y}. Et si Q_{y} = R_{y}, alors Q_{y} est un sous-groupe de R, donc un sousgroupe propre de Q. Finalement la somme ∑_{x∈X^{Q}} a_{x}x est égale à une combinaison linéaire d’éléments de la forme T r_{Q_{y}}^{Q}(y), pour des y tels que Q_{y} ≠ Q. Comme X est une base, cela entraîne ∑_{x∈X^{Q}} a_{x}x = 0.

Donc l’image de X^{Q} dans M(Q) est une base de M(Q), stable par N_{P} (Q).

2.2. Modules de permutations Q-isotypiques

Lemme 2.3: Soient Q ⊆ P des p-groupes, et L et M des kP -modules de permutations Q-isotypiques. Si f : L → M est un morphisme de kP -modules, alors les morphismes f^{P} et f_{P} ont même matrice dans des bases convenables.

Démonstration: Soit X (resp. Y) une k-base Q-isotypique de L (resp. de M) Pour chaque orbite ω ∈ P \X, il existe un point x_{ω} de ω dont le stabilisateur P_{x_{ω}} est égal à Q: en effet, si x ∈ X et g ∈ P, le stabilisateur de P_{gx} est égal à gP_{x} = gP_{x}g^{−1}.

Je suppose de même choisi un élément y_{ω′} de ω′ de stabilisateur égal à Q pour chaque orbite ω′ de P sur Y.

Alors L_{P} (resp. M_{P}) admet pour base sur k les images des x_{ω} (resp. les images des y_{ω′}).

Le morphisme f : L → M s’exprime dans les bases X et Y par une matrice m indexée par Y × X, définie par

f(x) = ∑_{y∈Y} m(y, x)y ∀x ∈ X

Pour chaque x ∈ X, il n’y a qu’un nombre fini de y ∈ Y tels que m(y, x) ≠ 0.

De plus, le morphisme f est un morphisme de kP -modules si et seulement si la matrice m est P -invariante, i.e. si

m(gy, gx) = m(y, x) ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, ∀g ∈ P

La matrice m permet d’exprimer les matrices des morphismes f^{P} et f_{P}: si ω ∈ P \X, alors

f(∑_{x∈ω} x) = ∑_{x∈ω} ∑_{y∈Y} m(y, x)y  (1)

Il en résulte qu’en identifiant la base de L^{P} formée des éléments ∑_{x∈ω} x pour ω ∈ P \X, avec P \X, et en identifiant la base de M^{P} formée des ∑_{y∈ω′} y, pour ω′ ∈ P \Y, avec P \Y, la matrice m^{P} de f^{P} est donnée par

m^{P} (ω′, ω) = ∑_{x∈ω} m(y_{ω′}, x)

En effet m^{P} (ω′, ω) est le coefficient de y_{ω′} dans le second membre de (1).

Cette somme peut aussi s’écrire

m^{P} (ω′, ω) = ∑_{g∈P/Q} m(y_{ω′}, gx_{ω})

Le groupe Q opère à gauche sur l’ensemble P/Q, et la fonction

φ : g ∈ P/Q ↦ m(y_{ω′}, gx_{ω})

est invariante par cette action: en effet pour h ∈ Q

φ(hg) = m(y_{ω′}, hgx_{ω}) = m(h^{−1}y_{ω′}, gx_{ω}) = m(y_{ω′}, gx_{ω})

puisque m est invariante par P, et puisque Q fixe y_{ω′}. Il en résulte que

m^{P} (ω′, ω) = ∑_{g∈Q\P/Q}[Q : Q ∩^{g}Q]m(y_{ω′}, gx_{ω})

et je peux me contenter de sommer sur g ∈ N_{P} (Q)/Q. Finalement

m^{P} (ω′, ω) = ∑_{g∈N_{P} (Q)/Q} m(y_{ω′}, gx_{ω})

De manière analogue, la matrice m_{P} de f_{P} dans les bases formées des x_{ω} et y_{ω′} s’obtient en calculant

f(x_{ω}) = ∑_{y∈Y} m(y, x_{ω})y

et en regroupant au second membre les termes correspondant à une orbite ω′ donnée, qui ont même image que y_{ω′} dans M_{P}. Alors

m_{P} (ω′, ω) = ∑_{y∈ω′} m(y, x_{ω}) = ∑_{g∈P/Q} m(gy_{ω′}, x_{ω})

Le même raisonnement que ci-dessus montre qu’il suffit de sommer sur les g dans N_{P} (Q)/Q, et alors

m_{P} (ω′, ω) = ∑_{g∈N_{P} (Q)/Q} m(gy_{ω′}, x_{ω})

En changeant g en g^{−1} dans cette somme, et en utilisant l’invariance de m par P, il vient

m_{P} (ω′, ω) = m^{P} (ω′, ω)

ce qui prouve le lemme.

Corollaire 2.4: Soient Q ⊆ P des p-groupes, et L et M des kP -modules de permutations Q-isotypiques. Alors les morphismes

f ∈ Hom_{P} (L, M) ↦ f^{P} ∈ Hom_{k}(L^{P} , M^{P})
f ∈ Hom_{P} (L, M) ↦ f_{P} ∈ Hom_{k}(L_{P} , M_{P})

sont surjectifs.

Démonstration: Ce corollaire peut se démontrer indépendamment du lemme 2.3, en se ramenant d’abord au cas où L ≃ Ind_{Q}^{P}k, et en utilisant le fait que les foncteurs de points fixes et de co-invariants commutent aux sommes directes. La démonstration du lemme 2.3 permet d’expliciter le raisonnement: avec les notations précédentes, soit φ : L^{P} → M^{P} un k-morphisme. En identifiant les bases de L^{P} et M^{P} avec P \X et P \Y respectivement, le morphisme φ s’exprime par une matrice μ indexée par (P \Y) × (P \X), sous la forme

φ(ω) = ∑_{ω′∈P \Y} μ(ω′, ω)ω′

La matrice μ est telle que pour tout ω, il n’y a qu’un nombre fini de ω′ tels que μ(ω′, ω) ≠ 0.

Je définis alors une matrice m, indexée par Y × X, en posant pour (y, x) ∈ Y × X

m(y, x) = \{ \begin{matrix}μ(ω′, ω) si ∃g ∈ P, ∃ω′ ∈ P \Y, ∃ω ∈ P \X, gy = y_{ω′}, gx = x_{ω} \\ 0 sinon \end{matrix}

Alors m(y, x) est bien défini, car les égalités gx = x_{ω} et gy = y_{ω′} déterminent ω et ω′ sans ambigüité lorsqu’un tel g ∈ P existe.

De plus, la matrice m ainsi obtenue est clairement invariante par P. Enfin, si x ∈ X est donné, et si m(y, x) ≠ 0, alors il existe g ∈ P et des orbites ω′ ∈ P \Y et ω ∈ P \X tels que gx = x_{ω} et gy = y_{ω′}, et μ(ω′, ω) ≠ 0. Alors ω est l’orbite de x, et y est dans la réunion des orbites ω′ telles que μ(ω′, ω) ≠ 0. Ces orbites sont en nombre fini, et de cardinal fini. Donc il n’y a qu’un nombre fini de y ∈ Y tels que m(y, x) ≠ 0, et la matrice m définit un morphisme de kP -modules f de L dans M.

La matrice m^{P} de f^{P} se calcule alors par

m^{P} (ω′, ω) = ∑_{g∈N_{P} (Q)/Q} m(y_{ω′}, gx_{ω})

Le coefficient m(y_{ω′}, gx_{ω}) vaut μ(ω′_{1}, ω_{1}) s’il existe g_{1} ∈ P tel que

g_{1}y_{ω′} = y_{ω′_{1}} g_{1}gx_{ω} = x_{ω_{1}}

Ces égalités équivalent à

ω_{1} = ω  ω′_{1} = ω′  g_{1}y_{ω′} = y_{ω′}  g_{1}gx_{ω} = x_{ω}

Alors g_{1} fixe y_{ω′}, donc g_{1} ∈ Q. Et comme g_{1}g fixe x_{ω}, j’ai g_{1}g ∈ Q, donc g ∈ Q. Finalement

m^{P} (ω′, ω) = m(y_{ω′}, x_{ω}) = μ(ω′, ω)

Donc f^{P} = φ, et le morphisme f ↦ f^{P} est surjectif. Comme f^{P} et f_{P} ont même matrice dans des bases convenables, il en résulte que le morphisme f ↦ f_{P} est lui aussi surjectif.

Lemme 2.5: Soient Q ⊆ P des p-groupes, et L et M des kP -modules de permutations Q-isotypiques. Soit de plus f : L → M un morphisme de kP -modules. Alors:

1. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Le morphisme f est une injection directe.

(b) Le morphisme f est injectif.

(c) Le morphisme f^{P} est injectif.

(d) Le morphisme f_{P} est injectif.

2. De même, les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Le morphisme f est une surjection scindée.

(b) Le morphisme f est surjectif.

(c) Le morphisme f^{P} est surjectif.

(d) Le morphisme f_{P} est surjectif.

Démonstration: Soit X (resp. Y) une base Q-isotypique de L (resp. de M). Pour chaque orbite ω ∈ P \X, je suppose choisi x_{ω} ∈ ω de stabilisateur égal à Q. Je suppose de même choisi un élément y_{ω′} de ω′ de stabilisateur égal à Q pour chaque orbite ω′ de P sur Y.

Alors L_{P} (resp. M_{P}) admet pour base sur k les images des x_{ω} (resp. les images des y_{ω′}).

Il est clair que les conditions (a) ci-dessus entraînent les conditions (b), (c), et (d) correspondantes. De plus, puisque f_{P} et f^{P} ont même matrice dans des bases convenables, les conditions (c) et (d) sont équivalentes. Enfin il est clair que 1.(b) entraîne 1.(c), car le foncteur M ↦ M^{P} est exact à gauche, et que 2.(b) entraîne 2.(d) car le foncteur M ↦ M_{P} est exact à droite.

A présent, si f^{P} est injectif, alors c’est une injection directe de k-espaces vectoriels, et il existe α ∈ Hom_{k}(M^{P} , L^{P}) tel que α ∘ f^{P} = Id_{L^{P}}. Le corollaire 2.4 montre alors qu’il existe a ∈ Hom_{P} (M, L) tel que a^{P} = α. Alors (a ∘ f)^{P} = Id_{L^{P}}, donc (a ∘ f)_{P} = Id_{L_{P}}.

En particulier, le morphisme (a ∘ f)^{P} est injectif, et le morphisme (a ∘ f)_{P} est surjectif. Comme le foncteur L ↦ L^{P} est exact à gauche, il en résulte que Ker(a ∘ f)^{P} = 0. Et comme le foncteur L ↦ L_{P} est exact à droite, il en résulte que Coker(a ∘ f)_{P} = 0. Alors Ker(a ∘ f) et Coker(a ∘ f) sont tous deux nuls par un résultat classique (lemme 4 du chapitre IX de [3]). Donc a ∘ f est un isomorphisme, et f est une injection directe. D’où l’équivalence des conditions 1.(a), 1.(b) 1.(c) et 1.(d).

De même si f_{P} est surjectif, alors c’est une surjection scindée de k-espaces vectoriels, et une section de f_{P} se relève en un morphisme b de kP -modules de M dans L tel que (f ∘ b)_{P} = Id_{M_{P}}. Alors (f ∘ b)^{P} = Id_{M^{P}}, et le même raisonnement montre que f ∘ b est un isomorphisme, donc que f est une surjection scindée. D’où l’équivalence des conditions 2.(a), 2.(b), 2.(c), et 2.(d).

Si M est un kP -module, et Q un sous-groupe de P, le morphisme de projection M^{Q} → M(Q) s’appelle morphisme de Brauer, et il est noté Br_{Q}.

Lemme 2.6: Soient Q ⊆ P des p-groupes finis, et M un kP -module de permutations Q-isotypique. Alors le morphisme de Brauer induit par restriction un isomorphisme

M^{P} → M(Q)^{N_{P} (Q)}

Démonstration: Soit X une k-base de M, stable par P, et telle que pour tout x ∈ X, le stabilisateur de x dans P soit conjugué de Q.

Alors M^{P} admet pour base les éléments ∑_{x∈ω} x, pour ω ∈ P \X. Il est clair d’autre part que le morphisme de Brauer envoie M^{P} dans M(Q)^{N_{P} (Q)}: plus précisément, en identifiant M(Q) avec le module k(X^{Q})

Br_{Q}(∑_{x∈ω} x) = ∑_{x∈ω∩X^{Q}} x

Or ω∩X^{Q} est non-vide, puisque chaque orbite ω contient un point de stabilisateur égal à Q. Et si x et x′ sont deux points de ω ∩ X^{Q}, comme les stabilisateurs de x et x′ sont conjugués de Q et contiennent Q, ils sont égaux à Q. De plus il existe g ∈ P tel que gx = x′. Alors ^{g}P_{x} = P_{x′}, donc g normalise Q. En d’autres termes, l’ensemble ω ∩ X^{Q} est égal à une orbite de N_{P} (Q) sur X^{Q}.

Alors si ω′ est l’orbite de x ∈ X^{Q} par N_{P} (Q), et si ω est l’orbite de x par P, il est clair que

Br_{Q}(∑_{x∈ω} x) = ∑_{x∈ω′} x

et le morphisme qui envoie ∑_{x∈ω′} x sur ∑_{x∈ω} x est l’inverse de la restriction de Br_{Q} à M^{P}.

2.3. Modules de p-permutations

Lemme 2.7: Soit G un groupe fini, et M un kG-module de p-permutations. Si Q \underline{◁} R sont des p-sous-groupes de G, alors le morphisme

M^{R} \underrightarrow{Res_{M^{R}}Br_{Q}} M(Q)^{R} \underrightarrow{Br_{R/Q}} M(Q)(R/Q)

induit un isomorphisme de kN_{G}(Q, R)-modules

Res_{N_{G}(Q,R)}M(R) →^{π_{Q,R}} M(Q)(R/Q)

Démonstration: Je dois d’abord montrer que le morphisme en question passe au quotient M(R) de M^{R}. Or si m ∈ M^{R} est dans le noyau de Br_{R}, alors m est combinaison linéaire d’éléments de la forme T r_{S}^{R}(m_{S}), où m_{S} ∈ M^{S}. Je peux de plus supposer [R : S] = p, donc S \underline{◁} R. Alors si Q ⊈ S, comme

Res_{Q}^{R}T r_{S}^{R}(m_{S}) = T r_{Q∩S}^{Q}Res_{Q∩S}^{S}m_{S}

l’image de T r_{S}^{R}(m_{S}) dans M(Q) est nulle. Et si Q ⊆ S, alors il est clair que

Br_{Q}T r_{S}^{R}(m_{S}) = T r_{S/Q}^{R/Q}Br_{Q}(m_{S})

dont l’image par Br_{R/Q} est nulle. J’ai donc bien un morphisme π_{Q,R} de M(R) dans M(Q)(R/Q), qui est clairement un morphisme de kN_{G}(Q, R)-modules.

Si M est un module de permutations, ayant une k-base G-stable X, alors en identifiant M(R) avec k(X^{R}) et M(Q) avec k(X^{Q}), le module M(Q)(R/Q) s’identifie à k((X^{Q})^{R}), c’est-à-dire k(X^{R}), et avec ces identifications, le morphisme π_{Q,R} et l’identité.

Si M est un module de p-permutations, alors il existe un module de permutations L et un sous-module M′ de L tels que L = M ⊕ M′. Le lemme résulte alors des remarques précédentes, et du diagramme commutatif

M(R) ⊕ M′(R)  \underrightarrow{≃}  L(R)
π_{Q,R} ⊕ π′_{Q,R} ↓  ↓ π_{Q,R}
M(Q)(R/Q) ⊕ M′(Q)(R/Q) \overrightarrow{≃} L(Q)(R/Q)

où les flèches horizontales et la flèche verticale de droite sont des isomorphismes. La flèche de gauche est alors un isomorphisme, et π_{Q,R} et π′_{Q,R} aussi.

Corollaire 2.8: Soit Q un sous-groupe de G, maximal tel que M(Q) ≠ 0. Alors M(Q) est un kN_{G}(Q)/Q-module projectif.

Démonstration: En effet, si M(Q) ≠ 0, alors Q est un p-groupe, car si S est un p-Sylow de Q, et si m ∈ M^{Q}, alors

m = \frac{1}{[Q : S]}T r_{S}^{Q}(m)

Et si Q est maximal tel que L = M(Q) ≠ 0, alors pour tout p-sous-groupe nontrivial R/Q de N_{P} (Q)/Q, j’ai L(R/Q) = 0. Une récurrence immédiate montre alors que

L^{R/Q} = T r_{1}^{R/Q}(L)

Alors si P = R/Q est un p-Sylow du groupe H = N_{G}(Q)/Q, comme Ĥ^{0}(P, L) = 0, le Théorème 5 du chapitre IX de [3] montre que L est un kP -module libre. Il est alors bien connu que L est un kH-module projectif (car un morphisme de kH-modules admet une section si et seulement si sa restriction à P en admet une).

Lemme 2.9: Soit P un p-groupe fini, soit L un kP -module libre, et M un kP - module de permutations admettant une k-base X stable par P telle que pour tout x ∈ X, le stabilisateur P_{x} de x dans P soit non-trivial. Alors si f : L → M est un morphisme de kP -modules, le morphisme f^{P} est nul. De même, si f′ : M → L est un morphisme de kP -modules, alors f′_{P} =0.

Démonstration: Comme L est un module libre, c’est un kP -module de permutations admettant une k-base X stable par P, sur laquelle P agit librement. Soit Y une base stable de M vérifiant l’hypothèse du lemme. Si f : L → M est un morphisme, ayant pour matrice m dans les bases X et Y, et si ω est une orbite de P sur X, alors

f(∑_{x∈ω} x) = ∑_{x∈ω} ∑_{y∈Y} m(y, x)y

Soit x_{ω} ∈ ω. La somme ci-dessus s’écrit aussi

f(∑_{x∈ω} x) = ∑_{g∈P} ∑_{y∈Y} m(y, gx_{ω})y = ∑_{g∈P} ∑_{y∈Y} m(g^{−1}y, x_{ω})y = …

… = ∑_{y∈Y} ∑_{g∈P/P_{y}} |P_{y}|m(gy, x_{ω})y

Cette dernière somme est nulle puisque pour tout y ∈ Y, le groupe P_{y} est nontrivial. D’où la première assertion.

De même, soit f′ : M → L un morphisme de kP -modules de matrice m′ dans les bases X et Y. Soit (x_{ω})_{ω∈P \X} (resp. (y_{ω′})_{ω′∈P \Y}) un système de représentants des orbites de P sur X (resp. sur Y). La matrice de f_{P} dans les bases de M_{P} et L_{P} formées des images des x_{ω} et des y_{ω′} est donnée comme dans la démonstration du lemme 2.3 par

m_{P} (ω, ω′) = ∑_{g∈P} m(gx_{ω}, y_{ω′}) = ∑_{g∈P} m(x_{ω}, g^{−1}y_{ω′}) = …

… = ∑_{g∈P/P_{y_{ω′}}} |P_{y_{ω′}}|m(x_{ω}, gy_{ω′})

Elle est donc également nulle, puisque P_{y_{ω′}} ≠ {1} pour tout ω′.

2.4. Un cas particulier du théorème

Proposition 2.10: Soient Q ⊆ P des p-groupes. Soit L un kP -module de permutations Q-isotypique, et M un kP -module de permutations.

1. Soit f : L → M un morphisme de kP -modules. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Le morphisme f est une injection directe.

(b) Le morphisme f(Q) est injectif.

2. Soit f′ : M → L un morphisme de kP -modules. Les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Le morphisme f′ est une surjection scindée.

(b) Le morphisme f′(Q) est surjectif.

Démonstration: Soit Y une k-base P -stable de M. Alors Y est réunion disjointe de l’ensemble Y_{0} des points dont le stabilisateur est conjugué de Q, de l’ensemble Y_{+} des points dont le stabilisateur contient strictement Q à conjugaison près dans P, et d’un ensemble Y_{−}. Le module M se décompose en M = M_{0} ⊕ M_{+} ⊕ M_{−}, où

M_{0} = ∑_{y∈Y_{0}} ky  M_{+} = ∑_{y∈Y_{+}} ky  M_{−} = ∑_{y∈Y_{−}} ky

Comme L est Q-isotypique, le module L(Q) est un kN_{P} (Q)/Q-module libre (par le corollaire 2.8 car tout kN_{P} (Q)/Q-module projectif est libre puisque N_{P} (Q)/Q est un p-groupe, ou plus simplement ici puisque N_{P} (Q)/Q opère librement sur la base stable naturellement associée à une base P -stable de L), et il en est de même de M_{0}(Q). Comme Q n’a pas de point fixe sur Y_{−}, il en résulte que M_{−}(Q) = 0. Le module M_{+}(Q) admet quant à lui une k-base N_{P} (Q)/Q-stable, dont tous les points ont un stabilisateur non-trivial dans N_{P} (Q)/Q, car ce sont les points fixes de Q sur Y_{+}.

Soit alors f : L → M un morphisme de kP -modules, que je peux représenter par

f = ( \begin{matrix}f_{0} \\ f_{+} \\ f_{−} \end{matrix} )

conformément à la décomposition M = M_{0} ⊕ M_{+} ⊕ M_{−}.

Il est clair que si f est une injection directe, alors f(Q) est injectif. Inversement, si f(Q) est injectif, alors il en est de même de

f(Q)^{N_{P} (Q)} = \binom{f_{0}(Q)^{N_{P} (Q)}}{f_{+}(Q)^{N_{P} (Q)}} : L(Q)^{N_{P} (Q)} → M_{0}(Q)^{N_{P} (Q)} ⊕ M_{+}(Q)^{N_{P} (Q)}

Mais le morphisme f_{+}(Q)^{N_{P} (Q)} de L(Q)^{N_{P} (Q)} dans M_{+}(Q)^{N_{P} (Q)} est nul par le lemme 2.9. Donc le morphisme f_{0}(Q)^{N_{P} (Q)} de L(Q)^{N_{P} (Q)} dans M_{0}(Q)^{N_{P} (Q)} doit être injectif. Alors j’ai le diagramme commutatif

L^{P}  \underrightarrow{f_{0}^{P}}  M_{0}^{P}
Br_{Q} ↓  ↓ Br_{Q}
L(Q)^{N_{P} (Q)} \overrightarrow{f_{0}(Q)^{N_{P} (Q)}} M_{0}(Q)^{N_{P} (Q)}

Les flèches verticales de ce diagramme sont des isomorphismes par le lemme 2.6. La flèche horizontale du bas est injective. Il en est donc de même de celle du haut. Alors f_{0}^{P} est injectif, donc f_{0} est une injection directe par le lemme 2.5. Il en résulte que f est une injection directe, ce qui démontre l’assertion 1) de la proposition.

Soit à présent f′ : M → L un morphisme de kP -modules, représenté par

f′ = (f′_{0}, f′_{+}, f′_{−})

conformément à la décomposition M = M_{0} ⊕ M_{+} ⊕ M_{−}.

Il est clair que si f′ est une surjection scindée, alors f′(Q) est surjectif. Inversement, si f′(Q) est surjectif, il en est de même de f′(Q)_{N_{P} (Q)}, que je peux représenter par

f′(Q)_{N_{P} (Q)} = (f′_{0}(Q)_{N_{P} (Q)}, f′_{+}(Q)_{N_{P} (Q)})

Le morphisme f′_{+}(Q)_{N_{P} (Q)} est nul par le lemme 2.9. Donc f′_{0}(Q)_{N_{P} (Q)} est surjectif, et il en est de même par le lemme 2.5 du morphisme f′_{0}(Q)^{N_{P} (Q)}. Alors le diagramme commutatif

M_{0}^{P}  \underrightarrow{f_{0}^{′P}}  L_{0}^{P}
Br_{Q} ↓  ↓ Br_{Q}
M_{0}(Q)^{N_{P} (Q)} \overrightarrow{f′_{0}(Q)^{N_{P} (Q)}} L_{0}(Q)^{N_{P} (Q)}

montre que f_{0}^{′P} est surjectif. Un nouvelle application du lemme 2.5 montre que f′_{0} est une surjection scindée, ce qui prouve l’assertion 2) de la proposition.

2.5. Modules de p-permutations pour les p-groupes

Lemme 2.11: Soit P un p-groupe. Alors tout kP -module de p-permutations est un module de permutations.

Démonstration: Ce résultat est classique pour les modules de type fini. Le cas général est une conséquence du théorème de Crawley-Jonsson-Warfield (cf. [1] Corollary 26.6), qui entraîne que tout facteur direct d’une somme directe ⊕_{i∈I}X_{i} de kP -modules indécomposables de dimension finie sur k est isomorphe à ⊕_{i∈J}X_{i}, pour un sous-ensemble convenable J de I.

Pour éviter de recourir à ce théorème, j’indiquerai la démonstration élémentaire suivante:

Soit M un kP -module de p-permutations. Je procède par récurrence sur le nombre de sous-groupes Q de P tels que M(Q) ≠ 0. Si ce nombre est nul, alors M = 0, et le résultat est vrai.

Sinon, soit Q un sous-groupe maximal de P tel que M(Q) ≠ 0. Alors M(Q) est un kN_{P} (Q)/Q-module projectif par le corollaire 2.8. Donc c’est un kN_{P} (Q)/Qmodule libre, puisque N_{P} (Q)/Q est un p-groupe (cf. [3] Théorème 5 chapitre IX). Il en résulte en particulier que

M(Q)^{N_{P} (Q)} = T r_{1}^{N_{P} (Q)/Q}(M(Q)) = T r_{Q}^{N_{P} (Q)}(M(Q))

Soient (m_{j})_{j∈J} des éléments de M^{Q} tels que les éléments T r_{Q}^{N_{P} (Q)}Br_{Q}(m_{j}) forment une k-base de M(Q)^{N_{P} (Q)}. Chaque élément m_{j} définit un morphisme μ_{j} de Ind_{Q}^{P}k dans M par

μ_{j}(g ⊗ 1) = gm_{j}

Ce morphisme envoie le générateur ∑_{g∈P/Q} g ⊗ 1 de (Ind_{Q}^{P}k)^{P} sur ∑_{g∈P/Q} gm_{j} = T r_{Q}^{P}(m_{j}) ∈ M^{P}. Par la formule de Mackey

Res_{Q}^{P}T r_{Q}^{P}(m_{j}) = ∑_{x∈Q\P/Q} T r_{Q∩^{x}Q}^{Q}(xm_{j})

il en résulte que

Br_{Q}T r_{Q}^{P}(m_{j}) = ∑_{x∈N_{P} (Q)/Q} xm_{j} = T r_{Q}^{N_{P} (Q)}Br_{Q}(m_{j})

Alors soit A la somme directe indexée par J de copies de Ind_{Q}^{P}k, et μ : A → M la somme directe des μ_{j}. Par construction le morphisme μ(Q)^{N_{P} (Q)} est un isomorphisme. Il en est donc de même du morphisme μ(Q), par le lemme 2.5. Soit i une injection directe de M dans un kP -module de permutations L. Alors par la proposition 2.10, le morphisme i ∘ μ est une injection directe, admettant une section s. Alors σ = s ∘ i est une section de μ, qui est donc une injection directe. Alors l’application

\binom{μσ}{1 − μσ} : M → μσ(M) ⊕ (1 − μσ)(M)

est un isomorphisme, qui composé avec μ donne le morphisme

ν = \binom{μ}{0} : A → μσ(M) ⊕ M′

où M′ = (1 − μσ)(M). Alors ν(Q) = \binom{μ(Q)}{0} doit être un isomorphisme, ce qui montre que M′(Q) = 0. De plus, les applications μ et σ sont des isomorphismes inverses l’un de l’autre entre A et μσ(M). Donc μσ(M) est un kP -module de permutations (Q-isotypique). De plus M′ est un facteur direct de M, donc c’est un kP -module de p-permutations. Mais l’ensemble des sous-groupes R de P tels que M′(R) ≠ 0 est strictement contenu dans l’ensemble des R tels que M(R) ≠ 0: il en en effet clairement contenu dans cet ensemble, puisque M′ est facteur direct de M, et de plus M′(Q) = 0.

L’hypothèse de récurrence montre alors que M′ est un kP -module de permutations. Alors M est somme directe de deux modules de permutations: c’est donc un module de permutations, ce qui prouve le lemme.

2.6. Démonstration du théorème 1.3 Soit G un groupe fini, et f : L → M un morphisme entre kG-modules de p-permutations. Il est clair que si f est une injection directe (ou une surjection scindée), il en est de même de f(Q) pour tout sous-groupe Q de G.

Inversement, si f(Q) est injectif pour tout p-sous-groupe Q de G, je dois montrer que f est une injection directe. Il suffit pour cela que la restriction de f à un p-Sylow P de G soit une injection directe: en effet, si a est un morphisme de kP -modules de M dans L tel que a ∘ f = Id_{L}, alors

T r_{P}^{G}(a ∘ f) = T r_{P}^{G}(a) ∘ f = [G : P]Id_{L}

et il en résulte que le quotient de T r_{P}^{G}(a) par [G : P] est une section de f qui commute à l’action de G.

Je peux donc supposer que G = P est un p-groupe, auquel cas L et M sont des kP -modules de permutations par le lemme 2.11. Soient X et Y des k-bases P -stables de L et M respectivement.

Je raisonne par récurrence sur le nombre de sous-groupes Q de P tels que L(Q) ≠ 0 (i.e. X^{Q} ≠ ∅). Si ce nombre est nul, alors L = 0, et f : 0 → M est une injection directe.

Sinon, soit Q maximal dans P tel que L(Q) ≠ 0. Alors X est réunion disjointe de l’ensemble X_{0} des x ∈ X dont le stabilisateur dans P est conjugué de Q, et d’un ensemble X_{−}. Alors L = L_{0} ⊕ L_{−}, où L_{0} est le k-sous-espace engendré par X_{0}, et L_{−} le k-sous-espace engendré par X_{−}.

De manière analogue, l’ensemble Y est réunion disjointe de l’ensemble Y_{0} des éléments dont le stabilisateur dans P est conjugué de Q, de l’ensemble Y_{+} des éléments dont le stabilisateur contient strictement un conjugué de Q dans P, et d’un ensemble Y_{−}. Soit M_{0}, M_{+}, et M_{−} les k-sous-espaces de M engendrés par Y_{0}, Y_{+}, et Y_{−} respectivement. Alors M = M_{0} ⊕ M_{+} ⊕ M_{−}.

Le morphisme f = L_{0} ⊕ L_{−} → M_{0} ⊕ M_{+} ⊕ M_{−} peut être représenté par

f = ( \begin{matrix}r & s \\ t & u \\ v & w \end{matrix} )

Il est clair que L_{−}(Q) = M_{−}(Q) = 0, et le morphisme

f(Q) : L(Q) = L_{0}(Q) → M(Q) = M_{0}(Q) ⊕ M_{+}(Q)

est représenté par

f(Q) = \binom{r(Q)}{t(Q)}

Ce morphisme est injectif par hypothèse, donc il en est de même de f(Q)^{N_{P} (Q)}. De plus L_{0}(Q) est un kN_{P} (Q)/Q-module libre, et M_{+}(Q) admet une base stable par N_{P} (Q)/Q telle que le stabilisateur de chaque élément dans N_{P} (Q)/Q soit nontrivial. Le lemme 2.9 permet de conclure que t(Q)^{N_{P} (Q)} = 0, et alors r(Q)^{N_{P} (Q)} doit être injectif. Alors le lemme 2.5 montre que r(Q) est injectif, et la proposition 2.10 permet de conclure que r est une injection directe de L_{0} dans M_{0}.

Soit donc β : M_{0} → L_{0} un morphisme de kG-modules tel que β ∘ r = Id_{L_{0}}, et soit f′ le morphisme de M dans L défini conformément aux décompositions L = L_{0} ⊕ L_{−} et M = M_{0} ⊕ M_{+} ⊕ M_{−} par

f′ = ( \begin{matrix}β & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Alors soit

e = f′ ∘ f = ( \begin{matrix}Id_{L_{0}} & βs \\ 0 & 0 \end{matrix} )

Soit de plus e_{0} l’endomorphisme

e_{0} = ( \begin{matrix}Id_{L_{0}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

de L, c’est-à-dire la projection sur L_{0}. Des calculs élémentaires montrent que

e ∘ e = e  e ∘ e_{0} = e_{0}  e_{0} ∘ e = e

Il en résulte que e et e_{0} sont des idempotents qui ont la même image L_{0}. De plus l’application

l ∈ L_{−} ↦ \binom{−βs(l)}{l}

est un isomorphisme de L_{−} sur le noyau de e. Soit d’autre part

e′ = f ∘ f′ = ( \begin{matrix}rβ & 0 & 0 \\ tβ & 0 & 0 \\ vβ & 0 & 0 \end{matrix} )

et e′_{0} l’endomorphisme de M défini par

e′_{0} = ( \begin{matrix}rβ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

c’est-à-dire le projecteur sur l’image de l’idempotent rβ. Des calculs non moins élémentaires montrent que

e′ ∘ e′ = e′  e′_{0} ∘ e′ = e′_{0}  e′ ∘ e′_{0} = e′

Il en résulte que e′ et e′_{0} sont des idempotents qui ont le même noyau

Ker(e′) = Ker(e′_{0}) = Ker(rβ) ⊕ M_{+} ⊕ M_{−}

De plus l’application

m ∈ Im(rβ) ↦ ( \begin{matrix}rβ(m) \\ tβ(m) \\ vβ(m) \end{matrix} )

est un isomorphisme de Im(rβ) sur l’image de e′.

Comme d’autre part fe = ff′f = e′f, l’application f induit un isomorphisme de eL sur e′M, dont l’inverse est induit par f′. Enfin la restriction φ de f à (1−e)L a son image contenue dans (1−e′)M, et vérifie l’hypothèse du théorème: pour tout sous-groupe R de P, l’application φ(R) est injective. Comme de plus L′ = (1 − e)L est facteur direct de L, et isomorphe à L_{−}, l’ensemble des R tels que L′(R) ≠ 0 est contenu dans l’ensemble des R tels que L(R) ≠ 0, strictement car L′(Q) = L_{−}(Q) = 0. L’hypothèse de récurrence montre que la restriction de f à (1 − e)L est une injection directe. Alors f est la somme directe d’un isomorphisme et d’une injection directe. C’est donc une injection directe, ce qui prouve l’assertion 1) du théorème.

L’assertion 2) se démontre de manière analogue: il suffit de montrer que si f′ : L → M est un morphisme tel que f′(Q) soit surjectif pour tout p-sous-groupe Q de G, alors f′ est une surjection scindée. Comme pour l’assertion 1), il suffit de considérer le cas où G = P est un p-groupe. Soient X et Y des k-bases P -stables pour L et M respectivement.

Je procède par récurrence sur le nombre de sous-groupes Q de P tels que M(Q) ≠ 0. Si ce nombre est nul, le résultat est trivial, puisqu’une surjection nulle est scindée.

Sinon soit Q maximal tel que M(Q) ≠ 0. L’ensemble X est la réunion disjointe de l’ensemble X_{0} des points dont le stabilisateur est conjugué de Q, de l’ensemble X_{+} des points dont le stabilisateur contient strictement un conjugué de Q dans P, et d’un ensemble X_{−}. D’où une décomposition L = L_{0} ⊕ L_{+} ⊕ L_{−} associée.

De même, l’ensemble Y est réunion disjointe de l’ensemble Y_{0} des points dont le stabilisateur est conjugué de Q dans P, et d’un ensemble Y_{−}, et il y a une décomposition M = M_{0} ⊕ M_{−} associée.

L’application f′ peut alors être représentée par

f′ = ( \begin{matrix}r & t & v \\ s & u & w \end{matrix} )

et l’application f′(Q) : L_{0}(Q) ⊕ L_{+}(Q) → M_{0}(Q) est représentée par

f′(Q) = (r(Q), t(Q))

Cette application est surjective, donc l’application f′(Q)_{N_{P} (Q)} l’est aussi, et comme t(Q)_{N_{P} (Q)} = 0 par le lemme 2.9, l’application r(Q)_{N_{P} (Q)} est surjective. Alors r est une surjection scindée par la proposition 2.10. Donc il existe un morphisme de kP -modules β : M_{0} → L_{0} tel que rβ = Id_{M_{0}}.

Soit alors f : M → L défini par

f = ( \begin{matrix}β & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

Je pose

e = f′ ∘ f = ( \begin{matrix}Id_{M_{0}} & 0 \\ sβ & 0 \end{matrix} ) e_{0} = ( \begin{matrix}Id_{M_{0}} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

Il est facile de vérifier que e et e_{0} sont des idempotents, et que

e ∘ e_{0} = e e_{0} ∘ e = e_{0}

En particulier e et e_{0} ont même noyau, et le morphisme

l ∈ M_{0} ↦ \binom{l}{sβ(l)}

est un isomorphisme de M_{0} sur l’image de e.

De manière analogue, en posant

e′ = f ∘ f′ = ( \begin{matrix}βr & βt & βv \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) e′_{0} = ( \begin{matrix}βr & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

les morphismes e′ et e′_{0} sont des idempotents, tels que

e′ ∘ e′_{0} = e′_{0} e′_{0} ∘ e′ = e′

Il en résulte que Im(e′) = Im(e′_{0}) = Im(βr). De plus l’application

(n, b, c) ∈ Ker(βr) ⊕ L_{+} ⊕ L_{−} ↦ ( \begin{matrix}n − βtb − βvc \\ b \\ c \end{matrix} ) ∈ Ker(e′)

est un isomorphisme.

Alors comme f′e′ = ef′, la restriction de f′ à e′L induit un isomorphisme de e′L sur eM, qui est isomorphe à M_{0}. La restriction de f′ à (1 − e′)L a son image contenue dans (1 − e)M, qui est égal à M_{−}. Comme l’ensemble des R tels que M_{−}(R) ≠ 0 est strictement contenu dans l’ensemble des R tels que M(R) ≠ 0 (puisque M_{−}(Q) = 0), l’hypothèse de récurrence appliquée à cette restriction montre que f′ est la somme directe d’un isomorphisme et d’une surjection scindée, donc que c’est une surjection scindée, ce qui termine la démonstration du théorème 1.3.

Ce théorème admet la conséquence suivante:

Théorème 2.12: Soit G un groupe fini, et C_{∗} un complexe de kG-modules de p-permutations, nul en un degré au moins (i.e. il existe n ∈ ℤ tel que C_{n} = 0). Les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le complexe C_{∗} est un complexe acyclique scindé de kG-modules.

2. Pour tout p-sous-groupe P de G, le complexe C_{∗}(P) est acyclique.

Démonstration: Soit n tel que C_{n−1} = 0. La différentielle d_{n+1} : C_{n+1} → C_{n} est alors un morphisme de kG-modules de permutations, tel que pour tout p-sous-groupe P de G, le morphisme d_{n+1}(P) est surjectif. Donc d_{n+1} est une surjection scindée de kG-modules.

Alors il existe des morphisme de kG-modules h_{n} : C_{n} → C_{n+1}, et h_{n−1} : C_{n−1} → C_{n} (le morphisme nul!) tels que

d_{n+1}h_{n} + h_{n−1}d_{n} = Id_{C_{n}}

Or si m est un entier tel qu’il existe des morphismes de kG-modules h_{i} : C_{i} → C_{i+1}, pour m − 1 ≥ i ≥ n − 1 vérifiant

d_{i+1}h_{i} + h_{i−1}d_{i} = Id_{C_{i}} ∀i, m − 1 ≥ i ≥ n

alors h_{m−1}d_{m} : C_{m} → C_{m} est un projecteur dont le noyau est égal au noyau de d_{m}, puisque d_{m}h_{m−1}d_{m} = d_{m}. Donc Ker(d_{m}) est un kG-module de p-per-mutations. De plus, la différentielle d_{m+1} : C_{m+1} → Ker(d_{m}) est telle que pour tout p-sous-groupe P de G, le morphisme d_{m+1}(Q) est surjectif. Donc il y a un morphisme h′_{m} : Ker(d_{m}) → C_{m+1} tel que d_{m+1}h′_{m} = Id_{Ker(d_{m})}. En posant h_{m} = h′_{m}(Id_{C_{m}} − h_{m−1}d_{m}), j’obtiens un morphisme de kG-modules de C_{m} dans C_{m+1} tel que

d_{m+1}h_{m} + h_{m−1}d_{m} = Id_{C_{m}}

Par récurrence, un tel morphisme existe pour tout m ≥ n − 1.

De manière analogue, la différentielle d_{n−2} : C_{n−2} → C_{n−3} doit être une injection directe, et une récurrence similaire utilisant l’assertion 1) du théorème 1.3 montre l’existence de h_{m} pour tout entier m ≤ n − 1. Donc le complexe C_{∗} est scindé.

Corollaire 2.13: Soit f : C_{∗} → D_{∗} un morphisme de complexes de kG-modules de p-permutations, tels qu’il existe un entier n avec C_{n−1} = D_{n} = 0. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le morphisme f est une équivalence d’homotopie.

2. Pour tout p-sous-groupe P de G, le morphisme f(P) est un quasi-isomor-phisme.

Démonstration: Le corollaire se déduit du théorème précédent en considérant le cône K_{∗} de f, tel que K_{n} = C_{n−1} ⊕ D_{n}. Ce complexe est acyclique et scindé si et seulement si f est une équivalence d’homotopie, et le complexe K_{∗}(P) est le cône du morphisme f(P). Il est acyclique si et seulement si f(P) est un quasiisomorphisme. Comme K_{∗} est un complexe de kG-modules de p-permutations, nul en un degré par hypothèse, le corollaire en découle.

3. Preuve du théorème 1.1

Soit G un groupe fini opérant de manière admissible sur un complexe simplicial X. Soit C̃_{∗}(X) le complexe de chaînes réduit de X. C’est un complexe de ℤG-modules de permutations.

Si X est acyclique, il est en particulier acyclique modulo p pour tout p. Donc le complexe M_{∗} = 𝔽_{p} ⊗_{ℤ} C̃_{∗}(X) est acyclique. Si X est de plus de dimension finie, le théorème de Smith montre que X^{P} est acyclique modulo p. Or le complexe de chaînes réduit de X^{P} sur 𝔽_{p} n’est autre que M_{∗}(P). Alors le complexe M_{∗} est un complexe scindé de 𝔽_{p}G-modules.

Alors le théorème 1.1 résulte du théorème suivant:

Théorème 3.1: Soit G un groupe fini et K_{∗} un complexe de ℤG-modules de permutations, borné dans le sens des différentielles, et acyclique. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:

1. Le complexe K_{∗} est un complexe scindé de ℤG-modules.

2. Pour tout nombre premier p, le complexe 𝔽_{p} ⊗_{ℤ} K_{∗} est un complexe scindé de 𝔽_{p}G-modules.

Démonstration: Il est clair que 1) entraîne 2). Inversement, si 2) est vrai, alors il y a des morphismes de 𝔽_{p}G-modules

h_{n} : 𝔽_{p} ⊗_{ℤ} K_{n} → 𝔽_{p} ⊗_{ℤ} K_{n+1}

tels que

d_{n+1}h_{n} + h_{n−1}d_{n} = Id_{K_{n}}

Ces morphismes se relèvent en des morphismes de ℤG-modules ĥ_{n} : K_{n} → K_{n+1}: en effet, le module K_{n} est un module de permutations, admettant une ℤ-base stable Y_{n}. Le morphisme h_{n} est défini par une matrice m_{n} à coefficients dans 𝔽_{p}, indexée par le produit Y_{n+1} × Y_{n}, et G-invariante. Pour relever h_{n}, il suffit de choisir un relèvement m̂_{n}(y′, y) dans ℤ de m_{n}(y′, y), pour (y′, y) parcourant un système de représentants des orbites de G sur Y_{n+1} ×Y_{n}, en prenant m̂_{n}(y′, y) = 0 si m_{n}(y′, y) = 0, et de poser ensuite m̂_{n}(gy′, gy) = m̂_{n}(y′, y) pour tout g ∈ G.

Par construction, les morphismes ĥ_{n} sont tels que

Im(Id_{C_{n}} − d_{n+1}ĥ_{n} − ĥ_{n−1}d_{n}) ⊆ pK_{n}

donc il existe des endomorphismes de ℤG-modules l_{n} de K_{n} tels que

Id_{C_{n}} − d_{n+1}ĥ_{n} − ĥ_{n−1}d_{n} = pl_{n}

Si cette équation est vraie, alors en particulier

pd_{n+1}l_{n+1} = d_{n+1} − d_{n+1}h_{n}d_{n+1} = pl_{n}d_{n+1}

et alors d_{n+1}l_{n+1} = l_{n}d_{n+1} puisque les K_{n} sont sans torsion.

Donc il existe un endomorphisme l du ℤG-complexe K_{∗} tel que l’identité de K_{∗} soit égale à homotopie près à pl.

Soit E l’ensemble des entiers a > 0 tels qu’il existe un endomorphisme φ du ℤG-complexe K_{∗} tel que aφ soit homotope à l’identité. Alors E contient tous les nombres premiers par les remarques précédentes, et de plus E est stable par produit, car si

Id ≃ aφ Id ≃ a′φ′

alors Id ≃ aφ ≃ aa′φφ′. Donc E contient tous les entiers naturels non-nuls, et en particulier l’ordre g de G. Je suppose choisi un endomorphisme φ tel que Id ≃ gφ.

Le complexe K_{∗} est un complexe acyclique de ℤG-modules libres sur ℤ, borné dans le sens des différentielles. Il est donc acyclique et scindé comme complexe de ℤ-modules. Il existe donc des morphismes de ℤ-modules ψ_{n} : K_{n} → K_{n+1} tels que

Id_{K_{n}} = d_{n+1}ψ_{n} + ψ_{n−1}d_{n}

En prenant la trace de 1 à G de cette égalité, il vient

gId_{K_{n}} = d_{n+1}T r_{1}^{G}(ψ_{n}) + T r_{1}^{G}(ψ_{n−1})d_{n}

Autrement dit le morphisme gId est homotope à 0 comme endomorphisme du ℤG-complexe K_{∗}. Alors le morphisme gφ, homotope à l’identité par construction, est homotope à 0, ce qui montre que le complexe K_{∗} est un complexe scindé de ℤG-modules.

Remerciements: Je tiens à remercier Jean-Pierre Serre pour ses remarques et suggestions améliorant et simplifiant la rédaction de cette note.

Références

[1] W. Anderson and R. Fuller. Rings and Categories of modules, volume 13 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, 1973.

[2] S. Bouc. Résolutions de foncteurs de Mackey. In Group representations: Cohomology, Group Actions and Topology, volume 63. AMS Proceedings of Symposia in pure mathematics, Janvier 1998.

[3] J.-P. Serre. Corps locaux, volume VIII/1296 of Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Nancago. Herrmann, 1962.

[4] P. Smith. Fixed points of periodic transformations. Amer. Math. Soc. Coll. Pub., XXvII:350–373, 1942.

S. BOUC UFR de Mathématiques Université Paris 7 Denis Diderot 75251. Paris Cedex 05 email: bouc@math.jussieu.fr