PRESENTATION DE LA PREMIERE ANNEE

DU MASTER MENTION MATHEMATIQUES


Dernière mise à jour le 19 juillet 2012

Responsable de la première année : M. Darbas


La première année du Master est commune aux trois spécialités de seconde année :
Elle est ouverte aux titulaires d'une licence de mathématiques ou d'un diplôme équivalent.

A l'issue de la première année, l'étudiant, suivant le choix de ses Unités d'Enseignement, aura acquis les compétences nécessaires pour se diriger vers une spécialité de la deuxième année du Master de Mathématiques.


Inscription :
Département de Mathématiques
Secrétariat : Martine Hazebroucq
33 rue Saint-Leu, 80039 Amiens
martine.hazebroucq@u-picardie.fr


Questions :

Pour toute question d'ordre administratif : martine.hazebroucq@u-picardie.fr
Pour toute question d'ordre pédagogique : marion.darbas@u-picardie.fr
Pour toute question susceptible d'être en rapport avec la spécialité Enseignement des Mathématiques : sabine.evrard@u-picardie.fr

Organisation de la première année
La validation de la 1ère année nécessite l'obtention de 60 ECTS :
soit, sur l'année, 4 UEs obligatoires et 8 UEs optionnelles
.

Les 4 UEs obligatoires :
Toutes les autres UEs sont optionnelles, leur choix est effectué en fonction du projet professionnel.

Remarque importante. La validation étant annuelle, le nombre d'UEs optionnelles à présenter par semestre n'est en fait pas fixé. L'étudiant suit toutes les UEs optionnelles qu'il souhaite et, pour la validation de l'année, sont prises en compte les 8 meilleures notes de toutes les UEs optionnelles présentées (cf. les modalités de contrôle des connaissances).


Les Unités d'Enseignement de la première année

Les UEs ``Recherche'' sont repérées par le symbole [R] et les UEs ``Enseignement'' par le symbole [E].
[Les enseignants pour l'année en cours sont mentionnés entre crochets]

Semestre 1
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1ère UE obligatoire : M0 - Langues constituée de deux 1/2-UEs M01 et M02 :
M01 -  Anglais (2ects)
            Analyse d'articles ou d'ouvrages mathématiques en anglais.

M02 - Langage de programmation : Formation à Matlab/Scilab (25h, 3ects) [M. Darbas]
Programme : Systèmes d'équations linéaires. Factorisation LU. Méthodes de Gauss-Seidel. Méthode de Jacobi. Recherche des valeurs propres. Equations non linéaires. Méthode de Newton. Méthode des approximations successives. Intégration numérique. Méthode de Newton-Cotes. Interpolation polynomiale. Interpolation des courbes et des surfaces. Interpolation spline. Exemples. Moindres carrés. Equations aux dérivées partielles. Méthodes à un pas. Méthode d'ordre élevé. Optimisation. Algorithme du gradient conjugué.

Prérequis : aucun
Bibliographie : - J.-M. Ferrard, Math et Maple, Dunod, 1998.
- A. Quarteroni, R. Sacco, F. Salezri, Méthodes numériques pour le calcul scientifique, Programmes en MATLAB, Springer, 2000.
- P.G. Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique et à l'optimisation, Masson, 1985.
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2ème UE obligatoire : Analyse (au choix M1 ou ME1)
Programme : Espaces métriques : complétude, compacité et conséquences. Espaces vectoriels normés : applications linéaires, théorèmes de Hahn-Banach, théorème de Banach-Steinhaus, théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé. Espaces de Hilbert : théorème de projection sur un convexe fermé non vide, dualité, supplémentaire topologique, théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram, bases hilbertiennes, convergence faible et conséquences. Espaces Lp : séparabilité, régularisation, densité, dualité et compacité.
Prérequis : Topologie et Intégration de la Licence mention Mathématiques.
Bibliographie : - H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, Dunod, 1983.
- W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 1998.
- M. Willem, Analyse harmonique réelle, Hermann, 1995.
Programme : Suites et séries numériques. Fonctions numériques, comparaison, convexité, intégrales. Approximations de nombres, calculs approchés d'intégrales.
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3ème UE obligatoire : Algèbre (au choix M2 ou ME2)
Programme : Produits directs et semi-directs. Groupes opérant sur un ensemble et conjugaison. Théorèmes de Sylow. Groupes symétriques et alternés. Groupes dérivés, groupes simples et groupes résolubles. Structure des groupes abéliens de type fini.
Prérequis: Arithmétique du semestre 2 de la Licence mention Mathématiques
Bibliographie : - J. Calais, Eléments de théorie des groupes, Presses Universitaires de France, 1998.
- J. Delcourt, Théorie des groupes, Dunod, 2001.
- D. Perrin, Cours d'Algèbre, Ellipses, 1995.
Programme : Groupes, anneaux, corps et morphismes correspondants ; Z, Q, R, C, K[X], K(X).
Algèbre linéaire : du kit de base à la réduction des endomorphismes.
   
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Liste des UEs optionnelles du 1er semestre
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M3 - Probabilités [R] (optionnel, 50h, 5ects) [A.-H. Fan, B. Testud]
Programme : Construction de mesures de probabilités. Pi-systèmes, lambda-systèmes et théorème de Dynkin. Théorème de Carathéodory. Proabilité sur l'espace symbolique, sur l'espace euclidien. Variables et vecteurs aléatoires, indépendance. Loi 0-1 de Kolmogorov et de Hewitt-Savage. Mesures positives et bornées, transformée de Fourier des mesures, théorème de Levy, théorème limite centrale. Espérance conditionnelle. Probabilité conditionnelle. Martingales et sous-martingales. Temps d'arrêt, convergence presque sûre (théorème de Doob), inégalité des montées, convergence presque sûre des martingales, loi des grands nombres, inégalité maximale de Doob. 
Prérequis : Intégration et Probabilités des semestres 5 et 6 de la Licence mention Mathématiques.
Bibliographie : - M. Cottrell, V. Genon-Catalot, Ch. Duhamel, Th. Meyre, Exercices de Probabilités, Cassini, Paris.
- J. Jacod, Ph. Protter, L'essentiel en théorie des probabilités, Cassini, Paris.
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M4 - Distributions [R] (optionnel, 50h, 5ects) [G. Vigny]
Programme : Eléments sur la notion de distributions (dérivée faible, convergence de suites de distribution, ordre, support). Notion de distributions tempérées et calcul de transformées de Fourier. Espaces de Sobolev (hilbertiens) et applications. Equation aux dérivées partielles, classification de Hadamard, propriétés qualitatives (équation de Laplace, des ondes, de la chaleur).
Prérequis : Aucun
Bibliographie : - Fr. Demengel et G. Demengel, Mesures et distributions : Théorie et illustration par les exemples, Ellipses, 2000.
- H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, Dunod, 1983.
- P.-A. Raviart et G. Thomas, Introduction à l'analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Masson, 1998.
- M. Willem, Analyse harmonique réelle, Hermann, 1995.
- Cl. Zuily, Distributions et équations aux dérivées partielles, Hermann, 1994.
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M5 - Théorie de Galois et application à la théorie des nombres [R] (optionnel, 50h, 5ects) [Y. Marin, K. Sorlin]
Programme : Extensions séparables, théorème de l'élément primitif. Extensions normales, extensions galoisiennes, groupes de Galois. Théorèmes de Galois en dimension finie. Groupe de Galois d'un polynôme et extensions par radicaux. Anneaux d'entiers de corps de nombres. Corps quadratiques et corps cyclotomiques. Groupe des unités, théorème de Dirichlet. Décomposition d'un nombre premier.
Prérequis : Algèbre Générale et Algèbre Générale 2 de la Licence mention Mathématiques.
Bibliographie : - P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann, 1967.
- I. Gozard, Théorie de Galois, Ellipses, 1997.
- I. Stewart, Galois theory, Chapman, 1989.
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M6 - Optimisation [R] (optionnel, 50h, 5ects) [J.-P. Chehab, Y. Mammeri]
Programme : Minimisation sans contrainte: descente par balayage et marches aléatoires sur un graphe. Energie convexe : algorithmes de gradient, de gradient conjugué, algorithme GMRES. Cas non convexe : algorithmes probabilistes (W-Sat, algorithmes génétiques, recuit simulé, ...). Minimisation avec contraintes : multiplicateurs de Lagrange, dualité, méthodes de projection, de pénalisation.
Prérequis : Analyse numérique matricielle du semestre 5 de la Licence mention Mathématiques.
Bibliographie : - S. Boyd, L. Vandenberghe, Convex optimization, Cambridge University Press, 2004.
- P.G. Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique et à l'optimisation, Masson, 1985
- I. Ekeland, R. Temam, Analyse convexe et problèmes variationnels, Dunod, 1973.
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M7 - Cryptographie [R] (optionnel, 50h, 5ects) [M. Eftekhari]
Programme : Cryptographie et cryptanalyse. Signature et identification. Chiffrements par blocs, chiffrements affines. Cryptosystèmes symétriques et asymétriques. R.S.A., logarithme discret, `sac à dos'. Algorithmes de factorisation et tests de primalité. Cryptosystèmes sur des courbes elliptiques.
Prérequis : aucun
Bibliographie : - D. Stinson, Cryptographie, théorie et pratique, Vuibert, 2001.
- J. Buchmann, Introduction à la cryptographie, Dunod, 2006.
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M8 - U.E. d'une autre mention (optionnel, 50h, 5ects)
L'étudiant pourra valider une (et au plus une sur l'année) U.E. d'une autre mention du domaine au Semestre 1 ou au Semestre 2. Le choix de l'étudiant doit être soumis au responsable de l'année. Par exemple, dans le Master de Physique (les intitulés peuvent  changer d'une année à l'autre) :
Au premier semestre : MP 105 Mécanique des milieux continus
Au deuxième semestre : MP 110 Processus Stochastiques.
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ME3 - Applications des mathématiques/Calculatrices [E] (optionnel, 50h, 5 ects) [F. Durand, S. Evrard, R. Soleil]

- Au travers de thèmes d'actualité, présenter l'utilisation des mathématiques (google...)
- Prise en main et découverte des possibilités et des limites des calculatrices. Création d'algorithmes et de programmes. Calcul formel, module de géométrie dynamique. Utilisation faite en classe.
- Découverte de quelques logiciels mathématiques spécifiques à l'enseignement.
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MF21/MF22 [E] : deux 1/2 UES à choisir conjointement
            Analyse d'activités proposées dans l'enseignement secondaire en algèbre, analyse et géométrie.
            Travail sur les programmes de l'enseignement secondaire
            Associée à un stage d'observation d'une semaine, études des activités proposées dans les ouvrages
            de l'enseignement secondaire, comparaison de programmes et de manuels,
            analyse de documents pédagogiques, conception de grilles d'observation et d'analyse a priori.
            Retour sur le stage.
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MF23 - Connaissance des publics et interdisciplinarité [E] (optionnel, 50h, 5ects)
   
            Ce module est mutualisé avec les autres spécialités ``Enseignement'' d'autres mentions scientifiques
            et est assuré au sein de l'I.U.F.M.
            Psychologie du développement. Les théories de l'apprentissage. L'évaluation.
            Connaissance et socilologie des publics scolaires. Relation maître-élèves (différentes modalités de travail).
            Gestion du groupe classe Autorité et sanctions.
            Interdisciplinarité : modélisation d'une situation dans un contexte extra-mathématique.

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Semestre 2
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1 seule UE obligatoire : Projet individuel encadré (au choix M20 ou MF20)
            Le projet individuel encadré est un stage au LAMFA [Laboratoire Amiénois de Mathématiques Fondamentale et Appliquée] (ou dans un autre laboratoire de recherche, éventuellement à l'étranger, ou en entreprise) validé par le biais d'un mémoire et d'une soutenance orale devant un jury. Pour ce projet individuel l'étudiant bénéficiera d'un encadrant au sein du LAMFA (UMR CNRS 6140).
            Pour des indications plus détaillées sur cette UE et la rédaction du mémoire correspondant, voir l'item : A propos du mémoire de l'UE M20.
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Liste des UEs optionnelles du second semestre

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M9 - Analyse de Fourier [R] (optionnel, 50h, 5ects) [O. Goubet, G. Vigny]     
Programme : Séries de Fourier. Lemme de Riemann-Lebesgue. Théorèmes de convergence uniforme et au sens des moindres carrés. Transformation de Fourier d'une fonction intégrable sur R ou Rn. Formule d'inversion. Produit de convolution. Théorie L2 et espace de Schwarz. Formules de Plancherel et Parseval. Fonctions à spectre borné. Règle d'échantillonnage de Shannon.
Prérequis : Intégration 2 du semestre 6 de la Licence mention Mathématiques et Distributions (M4) du Master 1.
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UE Analyse 2 (au choix M10 ou ME5)
Programme : Compacité dans les espaces de Banach : théorème de Riesz, théorème d'Ascoli. Topologie faible et topologie faible* : théorèmes de Banach-Aloaglu-Bourbaki et de Kakutani et application aux espaces fonctionnels. Convexité, uniforme convexité, réflexivité et leurs conséquences. Opérateurs compacts : alternative de Fredholm, spectre d'un opérateur compact, diagonalisation d'un opérateur compact, auto-adjoint sur un espace de Hilbert (exemple : équations intégrales de type Fredholm et Volterra).
Prérequis : Analyse fonctionnelle (M1) du Master 1.
Bibliographie : - H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Théorie et applications, Dunod, 1983.
- W. Rudin, Analyse réelle et complexe, Dunod, 1998.
- W. Rudin, Analyse fonctionnelle, Ediscience, 1995.
Programme : Topologie, connexité. Suites et séries de fonctions. Séries entières. Séries de Fourier.
Courbes paramétrées, propriétés métriques, cinématique.
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M11 - Modélisation et analyse numérique [R] (optionnel, 50h, 5ects) [M. Asch, V. Martin]
Programme : Rappel sur la discrétisation par différences finies d'équations aux dérivées partielles. Exemple : Laplace, convection, chaleur. Analyse de la méthode des éléments finis pour les équations aux dérivées partielles. Eléménts finis P1, estimation d'erreur. Introduction à la mise en oeuvre numérique. Assemblage.
[La moitié des TD se font avec passage sur machine.]
Prérequis : Analyse matricielle du semestre 5 et Analyse numérique 2 du semestre 6 de la Licence mention Mathématiques.
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UE Probabilités 2 (au choix M12 ou ME6)
Programme : Processus aléatoires. Loi. Théorème de Kolmogorov. Classification des processus. Chaines de Markov. Théorème de Perron-Frobenius. Equations de Chapman-Kolmogorov. Récurrence et transience, fonction de Green, théorème de Polya. Propriété de Markov forte. Etats stationnaires et théorème de convergence. Chaînes de Markov réversibles. Simulations. Nombres aléatoires et pseudo-aléatoires. Simulation de variables et de chaînes de Markov. Applications en biologie, en sciences de l'information et en management de ressources.
[La moitié des TD se font avec passage sur machine.]
Prérequis : Probabilités (M3) du Master 1.
Programme : Formule de Bayes, variables aléatoires, Bienaimé-Tchebychev, convergence en probabilité, loi faible des grands nombres.
Notions de statistiques, tests d'hypothèse, test de paramètres.
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UE Algèbre et Géométrie 2 : au choix M13 ou ME4
Programme : Formes quadratiques et hermitiennes. Géométrie des groupes classiques. Théorème de Witt.
Prérequis : Espaces euclidiens et hermitiens  du semestre 4 de la Licence mention Mathématiques et Théorie des groupes (M2) du Master 1.
Bibliographie : - D. Perrin, Cours d'Algèbre, Ellipses, 1995.
- N. Jacobson, Basic Algbera I, 2ème éd., Freeman & Co, 1985.
- E. Artin, Algèbre géométrique, J. Gabay, 1996.
Programme : Espaces euclidiens, groupe orthogonaux, géométrie vectorielle euclidienne.
Espaces hermitiens, groupes unitaires. Méthode de Householder.
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M14 - Topologie algébrique [R] (optionnel, 50h, 5ects) [J.-M. Cordier, L. Pernas]
Programme : Compléments de topologie : structures topologiques, axiomes de séparation, applications continues, homéomorphismes, compacité, connexité et connexité par arcs, topologie quotient, identification et recollement, variétés topologiques. Groupe fondamental : homotopie des chemins et groupe fondamental, cas du cercle, espaces simplement connexes, groupe fondamental de la n-sphère, d'un groupe topologique, rétract par déformation et théorème de Brouwer, théorème de Van Kampen et applications, revêtements.
Prérequis : Topologie et Algèbre générale du semestre 5 de la Licence mention Mathématiques.
Bibliographie : - C. Godbillon, Eléments de Topologie algébrique, Hermann.
- A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press.
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M15 - Représentation des groupes [R] (optionnel, 50h, 5ects) [A. Zimmermann]
Programme : Représentations linéaires, irréductibilité. Induction, restriction. Algèbre d'un groupe fini. Applications à la structure des groupes finis.
Prérequis : Algèbre linéaire, anneaux de polynômes de la Licence mention Mathématiques, Théorie des groupes (M2) du Master 1.
Bibliographie : - J. Alperin et R. Bell, Groups and representations, Springer, 1995.
- C. Curtis et I. Reiner, Methods of Representation Theory I, Wiley, 1990.
- J.-P. Serre, Représentation linéaire des groupes finis, Hermann, 1968.
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M16 Codes correcteurs [R] (optionnel, 50h, 5ects) [R. Stancu]
Programme : Codes linéaires. Distance de Hamming, matrice de contrôle, matrice générique, code dual, syndrome. Quelques codes particuliers (code isotope, code de Hamming). Borne de Varshamov-Gilbert, identité de Mac Williams. Théorie de l'information de Shannon ; le théorème de Shannon, entropie d'une source d'information, capacité d'un canal. Codes cycliques. Polynômes cyclotomiques sur F2. Matrice générique, de contrôle, syndrome pour un code cyclique. Utilisation et construction des idempotents pour un code cyclique par l'automorphisme de Frobenius. Code BCH, distance de ce code, décodage. Reed Salomon, Reed Muller, codes de résidus quadratiques. Designs, codes parfaits. Code de Golay, réseau de Leech. Code de Kerdock.
Prérequis : Algèbre linéaire 1 et 2 (sem. 2 et 3) de la Licence de Mathématiques et Théorie de Galois (sem. 1) du Master.
Bibliographie : - J. Bierbrauer, Introduction to coding theory, Chapman & Hall, 2005.
- J. van Lint, Introduction to coding theory, 3ème éd., Springer, 1999.
- J. Conway, N. Sloane, Sphere packing, lattices and groups, 3ème éd., Springer, 1999.
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ME7 - Synthèse Algèbre/Géométrie 1 [E] (optionnel, 50h, 5ects) [S. Ducay]

Programme : Géométrie du plan, coniques, transformations du plan.
Méthodologie pour préparer l'épreuve d'Algèbre/Géométrie du Capes.

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ME8 - Synthèse Analyse 1 [E] (optionnel, 50h, 5ects) [G. Vigny]

Programme : Méthodologie pour préparer l'épreuve d'Analyse du Capes.

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ME9/MF24 [E] : deux 1/2 UEs à choisir conjointement
Programme : Evolution des concepts mathématiques, différents modèles de géométrie, ...
Programme : Gestion des interactions maître/élèves. Cette 1/2UE est mutualisée avec d'autres spécialités Enseignement et est assurée au sein de l'I.U.F.M.
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